2. Peubah Acak (Random Variable)EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono

Isi0. Review dari EL2009 Konsep Peubah Acak Sebaran Peluang Diskrit Sebaran Peluang Kontinyu Sebaran Empiris Sebaran Peluang Gabungan Nilai Harap Hukum Nilai Harap Sifat Variansi Teorema Chebyshev

Konsep Pubah Acak Eksperimen statistik dipakai untuk menyatakan proses dimana pengukuran peluang dilakukan. Seringkali, yang lebih penting bukanlah detail dari hasil eksperimen, tetapi gambaran numerik terkait eksperimen tsb. Contoh: pelantunan koin 3 kali memberikan hasil S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} Gambaran umum mengenai jumlah H yang muncul dapat dilakukan jika nilai-nilai 0, 1, 2, atau 3 bisa dikaitkan dengan hasil diatas. Hal ini dilakukan melalui konsep peubah acak (random variable).

Definisi Def.2.1: Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan riil yang ditentukan oleh setiap anggota dari ruang cuplikan disebut sebagai peubah acah (random variable). SRandom variable

R-2 0 1

Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dengan huruf kecil-nya, yakni x untuk kasus ini. Untuk kasus pelantunan koin tsb diatas, X akan bernilai 2 untuk peristiwa: E = {HHT, HTH, THH}

Contoh Contoh 2.1 Dua bola diambil berturutan secara acak, tanpa penggantian, dari suatu wadah yang berisi empat bola merah (R) dan tiga bola hitam (B). Hasil dapat muncul dan nilai y dari peubah acak Y, dimana Y menyatakan banyaknya bola merah adalah Peristiwa RR RB BR BB y 2 1 1 0

Contoh 2.2: Petugas penyimpanan helm mengembalikan helm dari tiga orang pegawai Smith, Jones, dan Brown dalam urutan spt itu. Jika helm diambil acak dan dikembalikan sesuai urutan pegawai diatas, dan m menyatakan jumlah helm yang kembali ke pemilik sebenarnya , kemungkinan berikut bisa terjadi: Peristiwa SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS m 3 1 1 0 0 1

Peubah acak diskrit dan kontinyu Def.2.2: Ruang cuplikan yang mengandung sejumlah berhingga titik cuplikan, atau sejumlah tak berhingga titik sebanyak seluruh bilangan bulat, disebut sebagai ruang cuplikan diskrit, dan peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagai peubah acak diskrit. Def.2.3: Ruang cuplikan yang mengandung sejumlah takberhingga titik cuplikan, sebanyak seluruh titik dalam segmen garis, disebut sebagai ruang cuplikan kontinyu, dan peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagai peubah acak kontinyu.

Sebaran Peluang Diskrit

Sebaran peluang diskrit Dalam kasus pelantunan koin tiga kali, peubah X yang menyatakan banyaknya H muncul akan memberikan peluang 3/8 untuk x=2. Untuk kasus pengembalian helm, peluang tidak satupun pegawai mendapatkan helm yang benar, yakni m=0, adalah 2/6=1/3. Kita bisa membuat tabel berikut: m P(M=m) 0 1/3 1 1/2 3 1/6

Nilai m menyatakan semua kasus yang mungkin terjadi, sehingga seluruh peluang akan berjumlah 1. Seringkali lebih praktis menyatakan semua kemungkinan peubah acak X kedalam formula. Jadi kita tuliskan f(x) = P(X=x) , misalnya f(3) = P(X=3)

Fungsi atau sebaran peluang Def.2.4: Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran peluang dari peubah acak X jika, untuk setiap hasil yang muncul x berlaku: 1. f(x) 0 2. x f(x) = 1 3. P(X =x) = f(x) Contoh 2.3: Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasang mata dadu jika dilantunkan. Jawab: Andaikan X peubah acak yang nilainya x merupakan jumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari 2 sampai 12. Sepasang dadu akan memiliki kombinasi muncul sebanyak 66 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36.

..Mata Dadu 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

X

x f(x)

2 1/36

3 2/36

4 3/36

5 4/36

6 5/36

7 6/36

8 5/36

9 4/36

10 3/36

11 2/36

12 1/36

Sebaran kumulatif Def.2.5: Sebaran kumulatif F(x) dari peubah acak diskrit X dengan sebaran peluang f(x) adalah F(x) = P(X x) = tx f(t) Contoh 2.4 dan 2.5: Suatu koin dilantunkan empat kali. Tentukan: 1) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x), dan 2) sebaran kumulatif F(x) nya. Jawab: 1. Jumlah titik cuplikan ada 24 = 16. Jika x menyatakan banyaknya muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengan demikian f(x) = C(4, x)/16, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4 f(0) = (4!/4!)/16 = 1/16 ; f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16; f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16; f(3) = f(1); f(4)= f(0); 1. Berdasarkan Def.2.5, diperoleh : F(0) = f(0) = 1/16; F(1) = f(0) + f(1) = 5/16; ... dst

Dengan demikian

0, untuk x < 0 1 , untuk 0 x < 1 16 516 , untuk 1 x < 2 F (x ) = 11 16 , untuk 2 x < 3 1516 , untuk 3 x < 4 1, untuk x 4

F(x)1 3/4 1/2 1/4

0

1

2

3

4

x

Sebarang kumulatif diskrit

Sebaran peluang dlm bentuk grafis Dari contoh 2.4: f(x) = C(4, x)/16X f(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16

6/16 5/16 4/16 3/16 2/16 1/16

f(x)

6/16 5/16 4/16 3/16 2/16 1/16

f(x)

Luas=f(x)

0

1 2 3 Bar-chart

4

x

0 1 2 3 4 Histogram peluang

x

2.3 Sebaran peluang kontinyu

Arti kerapatan peluang (kontinyu) Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur 21 thn. Antara sebarang dua nilai, mis. 163.5 164.5, ada tak hingga macam tinggi badan. Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai eksak dari peubah acak ini. P(a