Sendi

Pelengkung Tiga

BAB II PELENGKUNG TIGA SENDI

2.1

UMUM Struktur balok yang ditumpu oleh dua tumpuan dapat menahan momen yang ditimbulkan oleh beban-beban yang bekerja pada struktur tersebut, ini berarti sebagian dari penempangnya dimuati dengan tekanan dan tarikan. Semakin panjang bentangan dari struktur balok tersebut maka momen yang didukung oleh balok semakin besar, demikian halnya semakin besar jarak antara sumbu balok dengan garis momen maka semakin besar momen yang timbul, sedangkan momen yang didukung oleh bagian/elemen balok tersebut tidak sama besar. Hal ini yang mengakibatkan struktur balok tidak efektif untuk bentangan yang panjang. Disamping itu tidak semua jenis bahan yang digunakan untuk struktur bangunan mampu menahan beban yang besar, misalnya beton, batu atau batu bata yang cukup getas. Untuk mengatasi momen yang besar ini maka diusahakan supaya garis momen tersebut mendekati sumbu balok yang berarti momen yang timbul semakin kecil, dengan pengertian diperlukan suatu struktur yang mampu untuk mendukung beban yang bekerja pada suatu bentangan yang besar tetapi tidak menimbulkan momen yang besar atau dengan kata lain, membuat struktur yang mampu mendistribusikan beban yang bekerja menjadi beban aksial dan beban geser pada struktur tersebut (mungkin ada momen tetapi sangat kecil). Struktur balok yang mampu untuk menyebarkan beban tersebut yaitu menjadikan garis tekan mendekati sumbu balok dengan membuat sumbu balok berbentuk pelengkung atau sebuah pelengkung parabola.

MEKANIKA TEKNIK II

II-1

Sendi

Pelengkung Tiga

Pelengkung parabola, jika dibebani secara merata penuh, tidak akan menahan momen, asalkan reaksi perletakannya mampu menghalangi translasi/pergeseran ke semua arah (baik vertical maupun horizontal). Oleh karena itu kedua tumpuan tersebut berupa perletakan sendi yang masing-masing akan menghasilkan dua komponen, yaitu RV dan RH, sehingga semuanya ada empat komponen reaksi. Persamaan statis/kesetimbangan yang ada hanya ada tiga,yaitu M = 0, V = 0, H = 0, karena itu struktur tersebut merupakan statis tidak tertentu. Dengan memberi sendi pada pelengkung di antara kedua tumpuannya dengan syarat momen di tempat sendi tersebut adalah nol. Dengan demikian diperoleh satu buah persamaan tambahan yang dapat digunakan untuk menghitung besarnya empat komponen reaksi perletakan tadi. Pelengkung yang demikian disebut pelengkung tiga sendi, dimana sendi yang ketiga biasanya ditempatkan pada puncak pelengkung.

2.2

PELENGKUNG TIGA SENDI SIMETRIS Analisis struktur pada pelengkung tiga sendi dengan bentuk

geometrinya simetris tetapi pembebanannya tidak harus simetris, dapat dihitung/ diselesaikan dengan langkah-langkah perhitungan sebagai pedoman analisis struktur pelengkung tiga sendi yang simetris sebagai berikut : Pelengkung tiga sendi A S B seperti pada gambar II 1(a) yang mempunyai tumpuan sama tingginya, dengan panjang bentang P dengan jarak a dari tumpuan A. A-B sama dengan L, puncak ketinggian sama dengan h , mendapat beban

MEKANIKA TEKNIK II

II-2

Sendi

Pelengkung Tiga

Dengan persamaan kesetimbangan : MB = 0 akan diperoleh RAV dan dengan persamaan berikut : MB = 0 ( RAV ) ( L ) ( P ) ( L a ) = 0 P(La) RAV = -------------L MA = 0 (- RBV ) ( L ) ( P ) ( a ) = 0 Pa RBV = -----------L MA = 0 akan didapatkan RBV sebagai

Gambar II 1 Reaksi vertikal RAV dan RBV, adalah sama seperti pada persamaan struktur balok sederhana AB. Perhitungan momen pada pelengkung tiga sendi sama dengan perhitungan momen pada balok sederhana.

MEKANIKA TEKNIK II

II-3

SendiMomen di C adalah :

Pelengkung Tiga

MC = RAV (x) RAH (y) tanda tergantung dari arah momen akibat RAH Untuk mencari koordinat pada pelengkung tiga sendi yang berjarak x meter dari tumpuan, digunakan persamaan dasar parabola : 4 h (x) ( L a ) y = --------------------L Dimana : y : tinggi titik yang ditinjau dari tumpuan

h : tinggi puncak parabola dari tumpuanx : jarak mendatar dari tumpuan terdekat

L : jarak mendatar dari dua buah tumpuannyaUntuk menghitung gaya geser dan gaya normal di setiap titik pada pelengkung tiga sendi, diperlukan kemiringan/garis singgung pada titik tersebut. Gaya vertical V diuraikan menjadi gaya yang tegak lurus garis singgung di titik tersebut atau gaya geser (SFV) dan gaya yang sejajar dengan garis singgung atau gaya normal (NFV), demikian pula gaya horizontal H diuraikan menjadi gaya geser (SFH) dan gaya normal (NFH) seperti terlihat pada Gambar II 1(b) Uraian gaya vertikal V : NFV sin = ------ NFV = V sin V .. (1) SFV cos = -----V Uraian gaya horizontal H : SFV = V cos

MEKANIKA TEKNIK II

II-4

SendiSFH sin = -----H NFH cos = -----H Dari uraian persamaan adalah : SFx = SFV SFH SFx = V cos H sin (1) dan

Pelengkung Tiga

SFH = H sin (2) NFH = H cos

(2), gaya geser pada titik ( x,y )

sedangkan gaya normal pada titik ( x,y ) adalah : NFx = NFV + NFH NFx = V sin + H cos

Contoh

(1) : Diketahui pelengkung tiga sendi A-S-B dengan beban dan ukuran seperti pada (9,6). Gambar II 2(a). Hitung reaksi tumpuan, gaya geser, gaya normal dan momen di titik x

Penyelesaian

: :

Reaksi Tumpuan

Misalkan reaksi tumpuan di A dan B mempunyai arah seperti pada gambar II 2(a) MB = 0 RAV (36) + RAH (0) (4)(18)(27) = 0 36 RAV + 0 1944 = 0 RAV = 54 T ( )

MEKANIKA TEKNIK II

II-5

Sendi

Pelengkung Tiga

MA = 0 - RBV (36) + RBH (0) + (4)(18)(9) = 0 - 36 RBV + 0 + 648 = 0 RBV = 18 T ( ) Kontrol terhadap V = 0 RAV + RBV (4)(18) = 0 54 +18 72 = 0 .ok !

Gambar II 2

Tinjau kesetimbangan bagian kiri, yaitu bagian AS MS kiri = 0 RAV (18) - RAH (8) (4)(18)(9) = 0 (54)(18) 8 RAH 648 = 0 324 8 RAH = 0 RAH = 40,5 T ()

MEKANIKA TEKNIK II

II-6

Sendi

Pelengkung Tiga

Tinjau kesetimbangan bagian kanan, yaitu bagian BS MS kanan = 0 - RBV (18) + RBH (8) = 0 - (18)(18) + 8 RBH = 0 - 324 + 8RBH = 0 RBH = 40,5 T () Kontrol terhadap H = 0 RAH + RBH = 0

40,5 40,5 = 0 .ok ! Titik koordinat pada pelengkung tiga sendi yang berjarak x m dari tumpuan dapat dicari dengan menggunakan persamaan dasar parabola ; 4 h (x) ( L x ) y = --------------------L Untuk h = 8 m dan L = 36 m, maka persamaan parabola menjadi, 4 (8)(x) ( 36 x ) 32(x)(36 x) 2 y = --------------------- = ---------------- = ---- ( 36x x ) (36) 1296 81

Untuk titik x = 9 m, maka nilai y : Y = dy dx 2 { (36)(9) (9) } = 6 m 81 = 2 (36 2x) 81

MEKANIKA TEKNIK II

II-7

Sendi

Pelengkung Tiga

dy dx 4 9

x=9

=

2 2 4 { (36 2(9) } = (18) = 81 81 9 4 = 23,9625o sin = 0,4061 9 cos = 0,9138

tg =

= arctg

Pada titik x (9,6), maka gaya vertikal, gaya horizontal, gaya geser, gaya normal dan momen adalah sebagai berikut : Gaya vertikal dan horizontal ( Vx dan Hx ) Vx = RAV (4)(x) = 54 (4)(9) = 18 T ( ) Hx = RAH = 40 T ( ) Gaya geser ( SFx ) SFx = V cos H sin = (18)(0,9138) (40,5)(0,4061) = 0,00135 Gaya normal ( NFx ) : 0 T

NFx = V sin + H cos = (18)(0,4061) + (40,5)(0,9138) = 44,3186 T ( tekan ) Momen ( Mx ) : Mx = (54)(9) (40,5)(6) (4)(9)(4,5) = 81 Tm

2.3

PELENGKUNG TIGA SENDI TIDAK SIMETRIS

MEKANIKA TEKNIK II

II-8

Sendi

Pelengkung Tiga

Pada pelaksanaan di lapangan, sering dihadapi persoalan struktur yang terjadi, bahwa suatu struktur pelengkng tiga sendi yang kedua buah tumpuannya merupakan sendi yang tidak terletak pada level atau ketinggian yang sama, atau dengan istilah panjang batang lengkungnya tidak sama. Pelengkung yang demikian disebut dengan pelengkung tiga sendi yang tidak simetris. Untuk menyelesaikan pelengkung tiga sendi yang tidak simetris, tidak dapat langsung digunakan persamaan parabola yang ada, tetapi dengan syarat, yaitu memperpanjang panjang lengkung yang pendek sehingga menjadi pelengkung tiga sendi simetris (secara fiktif), seperti pada contoh berikut :

Contoh (2) :

Diketahui sebuah pelengkung tiga sendi A-S-B dengan beban dan ukuran seperti pada Gambar II 3(a). Hitunglah reaksi-reaksi tumpuan serta gaya geser, gaya normal dan momen pada titik x .

MEKANIKA TEKNIK II

II-9

Sendi

Pelengkung Tiga

Gambar II - 3 Penyelesaian :

Reaksi Tumpuan : MB = 0 RAV (60) - RAH (9) (1)(40)(40) = 0 60 RAV 9 RAH = 1600 ...... (1) MS kiri = 0 RAV (40) RAH (12) - (1)(40)(20) = 0 40 RAV 12 RAH = 800 .... Dari persamaan (1) dan (2), maka : (1) . . . . . . . . . 60 RAV 9 RAH = 1600 (2) x 1,5 . . . . . 60 RAV 18 RAH = 1200 ------------------------------- 9 RAH = 400 RAH = 44,44 T ( ) (2)

MEKANIKA TEKNIK II

II-10

Sendi

Pelengkung Tiga

RAV = 33,33 T ( ) V = 0 RAV (1)(40) + RBV = 0 RBV = 40 33,33 = 6,67 T ( ) H = 0 RBH + RAH = 0 RBH = 44,44 T ( ) Dengan menggunakan persamaan parabola dasar, untuk h = 12 m, y = 9 m dan x = 60 m, maka panjang bentang pelengkug yang simetris dapat dihitung sebagai berikut ( Gambar II 3b ) 4 h (x) ( L x ) y = --------------------L 9 L = 2880 ( L 60 ) 4(12)(60)( L 60 ) 9 = ------------------------L L = 320 L 19200

L 320 L + 19200 = 0 (320) (320) (4)(1)(19200) L1&2 = -------------------------------------------------2 L1 = 240 m tidak mungkin (tidak memenuhi)

L2 = 80 m (memenuhi)Untuk h = 12 m dan L = 80 m, maka persamaan parabola dasar berubah menjadi : (4)(12)(x)( 80 x ) y = -----------------------80 3840(x) 48(x) y = --------------------6400 48(x)(80 x) y = -------------------6400 y = 0,6 x 0,0075 x

MEKANIKA TEKNIK II

II-11

Sendiy/x = 0,6 0,015 x

Pelengkung Tiga

Untuk x = 20 m, lihat Gambar II 3(b) maka, nilai y adalah: y = 0,6 x 0,0075 x y = (0,6)(20) 0,0075 (20) = 9 m titik X (20 , 9) Nilai y/x atau garis singgung pada titik X (20 , 9) adalah : y/x = 0,6 0,015 (20) y/x = 0,3 atau tg = 0,3 = 16 41 sin = 0,2873 cos = 0,9578 Besarnya gaya vertikal V dan gaya horizontal H pada titik X dapat dihitung : V = 33,33 (1)(20) = 13,33 T ( ) H = 44,44 T ( ) Setelah gaya vertikal dan gaya horizontal pada titik X (20 , 9) dapat ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik tersebut dapat dicari.

Gaya Geser (SFX)SFX = V cos H sin = (13,33)(0,9578) (44,44)(0,2873) = 0 T

Gaya Normal (NFX) NFX = V sin + H cos = (13,33)(0,2873) + (44,44)(0,9578) = 46,40 T Momen Lentur (MX)

MEKANIKA TEKNIK II

II-12

Sendi

Pelengkung Tiga

MX = RAV (20) RAH (9) - (0,5)(q)(20) = (13,33)(20) (44,44)(9) (0,5)(1)(20) = 66,67 Tm Contoh (3) : Struktur pelengkung tiga sendi A-S-B dan pembebanan seperti terlihat pada gambar II 4. Hitung reaksi tumpuan, gaya geser, gaya normal dan momen pada titik X yang berjarak 5 m di sebelah kiri dari tumpuan B. Penyelesaian :

Reaksi Tumpuan MB = 0 RAV (10) + RAH (5) (5)(4) = 0 10 RAV + 5 RAH = 20 (1) MA = 0 (5)(1) RBV (10) RBH (5) = 0 10 RBV + 5 RBH = 5 MS kanan = 0 (5)(2) RBV (L/2) RBH (6) = 0 (2)

Gambar II 4

MEKANIKA TEKNIK II

II-13

Sendi

Pelengkung Tiga

Untuk menghitung panjang bentang parabola dasar pada titik (10 , 5) 4 h (x) ( L x ) y = --------------------L 5 L = 240 L 2400 )

L, dengan persamaan

4(6)(10)( L 10 ) 5 = ------------------------L 5L 240 L + 2400 = 0

L1&2 =

(240) (240) (4)(5)(2400) -------------------------------------------------(2)(5)

L1 = 14,20 m, memenuhi L2 = 33,79 m, tidak mungkin (tidak memenuhi)Persamaan MS kanan = 0 dapat dituliskan menjadi MS kanan = 0 (5)(2) RBV (L/2) RBH (6) = 0 10 RBV (7,1) RBH (6) = 0 7,1 RBV + 6 RBH = 10 . Dari persamaan (2) dan (3), maka (2) x 6 . . . . . . . . . 60 RBV + 30 RBH = 30 (3)

(3) x 5 . . . . . . . . . 35,5 RBV + 30 RAH = 50 --------------------------------- 24,5 RBV = - 20 RBV = - 0,81 T ( ) (2) . . . . . . . . . . . 10 RBV + 5 RBH = 5 5 RBH = 5 + 10 (0,81) = 13,16 RBH = 2,63 T () V = 0 RAV + RBV = 0 RAV + (- 0,81) = 0 RAV = 0,81 T ( )

MEKANIKA TEKNIK II

II-14

SendiH = 0 RAH + RBH 5 = 0

Pelengkung Tiga

RAH + 2,63 5 = 0 RAH = 2,37 T () Untuk h = 6 m dan L = 14,2 m, maka persamaan parabola dasar berubah menjadi : (4)(6)(x)(14,2 x ) y = ------------------------(14,2) 340(x) 24(x) y = --------------------201,64 24(x)(14,2 x) y = -------------------201,64 y = 1,69 x 0,12 x

y/x = 1,69 0,24 x Untuk x = 5 m, lihat Gambar VI 4 maka nilai y adalah : y = 1,69 x 0,12 x y = (1,69)(5) 0,12 (5) = 5,45 m titik X (5 , 5,45)

Nilai y/x atau garis singgung pada titik X (5 , 5,45) adalah : y/x = 1,69 0,24 x = 1,69 (0,24)(5) = 0,49 y/x = 0,49 atau tg = 0,49 = 26 6 sin = 0,44 cos = 0,89 Besarnya gaya vertikal V dan gaya horizontal H pada titik X dapat dihitung : V = 0,81 T ( ) H = 2,37 T ( )

MEKANIKA TEKNIK II

II-15

Sendi

Pelengkung Tiga

Setelah gaya vertikal dan gaya horizontal pada titik X dapat ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik tersebut dapat dicari. Gaya Geser (SFX) SFX = V cos H sin = (0,81)(0,89) (- 2,37)(0,44) = 1,7637 T Gaya Normal (NFX) NFX = V sin + H cos = (0.81)(0,44) + (- 2,37)(0,89) = - 1,7529 T Momen Lentur (MX) MX = RAV (20) RAH (9) - (0,5)(q)(20) = (- 0,81)(5) + (2,63)(5,45) (5)(1,45) = 3,0335 Tm

MEKANIKA TEKNIK II

II-16