Algebra de Boole e Simplifioao

de Cirol/ilos Lgioos

3.1Introduo

No captulo anterior,trabalhamoscom os circuitos lgicos sem nospreocuparmoscom simplificaes.Na prtica,porm,estescircuitosobtidosadmitemgeralmentesimplificaes.

Paraentrarmosno estudodasimplificaodoscircuitoslgicos,teremosque fazer um breve estudoda lgebra de Boole, pois atravsde seuspostulados,propriedades,teoremasfundamentaise identidadesqueefetuamosas mencionadassimplificaes,e almdisso,notamosque na lgebra deBoolequeestotodososfundamentosdaEletrnicaDigital.

3.2VariveiseExpressesnalgebradeBoole

Como vimos anteriormente,as variveisbooleanasso representadasatravsde letras,podendoassumirapenasdois valores distintos:O ou 1.Denomin..amosexpressobooleana sentenamatemticacompostade termoscujas variveis so booleanas,da mesmaforma, podendo assumir comoFesultadofinal Oou 1.

3.3Postulados

A seguir,apresentaremosospostuladosdacomplementao,daadioeela multiplicaoda lgebra de Boole, e suas respectivasidentidadesrcsullantcs.

3.3.1Postuladosda Complementao

Este postulado,mostracomo so as regrasda complementaona

lgebradeBoole.Chamaremosde A o complementodeA:

1) SeA =O~ A = 1

2) SeA = 1~ A =O

Atravs do postulado da complementao,podemosestabeleceraseguinteidentidade:

A=A - -SeA = 1,temos:A =Oe se A =O~ A =1.- -SeA =O,temos:A = 1e se A = 1~ A =O.

Assim sendo,podemosescrever:A =A.

~ blocolgicoqueexecutao oostuladodacomplementao o Inversor.~_ ...~~-----------._~~~.3.3.2PostuladodaAdio

Estepostulado,mostracomosoasregrasda adiodentroda lgebradeBoole.

1~0+0=0

2~0+1=1

3~1+0=1

4~1+1=1

Atravsdestepostulado,podemosestabelecerasseguintesidentidades:

_ A+O=A. A podeserOou 1,vejamos,ento,todasaspossibilidades:

A=O~O+O=O

A= 1~ 1+0= 1

Notamosqueo resultadosersempreigualvarivelA.

A +1 = 1. Vejamostodasaspossibilidades:

A=O~O+l=l

A=l~l+l=l

Notamosque se somarmos1 a umavarivel,o resultadosersempre1.

A +A =A. Vejamostodasaspossibilidades:

A=O~O+O=O

A=l~l+l=l

Notamosque se somarmosa mesmavarivel,o resultadoserelamesma.

A +A =1. Vejamostodasaspossibilidades:

A=O~ A =l~O+l=l

A=l~ A =O~1+0=1

Notamosquesemprequesomarmosa umavarivelo seucomplemento,teremoscomoresultado1.

O blocolgicoqueexecutao postuladodaadio o OU.

3.3.3Postuladoda Multiplicao

o postuladoquedeterminaasregrasdamultiplicaobooleana:

l)O.O=O

2)'O. 1 =O

3) 1 . O =O

4) 1 . 1=1

Atravsdestepostulado,podemosestabelecerasseguintesidentidades:

A. 0= O. Podemosconfirmar,verificandotodasaspossibilidades:

A=O~O.O=O

A=1~1.0=O

NotamosquetodonmeromultiplicadoporO O.

A . 1 =A. Analisandotodasaspossibilidades,temos:

A=O~O.l=O

A=1~1.1=1

Notamosqueo resultadodestasexpressesnumricassersempreigualaA.

A . A =A. Esta identidade, primeiravista estranha, verdadeira,como podemos confirmar pela anlise de todas aspossibilidades:

A=O~O.O=O

A=1~1.1=1

NotamosqueosresultadosserosempreiguaisaA.

A. A =O. Vamosanalisartodasaspossibilidades:

A=O~O.l=O

A=1~1.0=O

Notamosqueparaambososvalorespossveisqueavarivelpodeassumir,o resultadodaexpressosersempreO.

O blocolgicoqueexecutao postuladodamultiplicaooE.

3.4Propriedades

A seguir, descreveremosas principaispropriedadesalgbricas,teisprincipalmente,no manuseioe simplificaode expresses.Tal como namat~mticacomum,valemna lgebra de Boole as propriedadescomutativa,associativaedistributiva.

92 /,:It'/111'1I11l,\'dI' /':It'/nlllif'll /Ji,l./i/II/

3.4.1PropriedadeComutativa

Estapropriedadevlidatantonaadio,bemcomonamultiplicao:

Adio:A +B=B +A

Multiplicao:A . B =B . A

3.4.2PropriedadeAssociativa

Da mesmaformaquenaanterior,temosapropriedadeassociativavlidanaadioenamultiplicao:

Adio:A +(B +C) =(A +B) +C =A +B +C

Multiplicao:A. (RC) =(AB) . C =ARC

3.4.3PropriedadeDistributiva

A. (B+C)=AB +AC

Vamosverificarestapropriedadeatravsda tabelaverdade,analisandotodasaspossibilidades:

o OO O O

O

O1 O O

O

1O O O

O

11 O O

1

OO O O

1

O1 1 1

1

1O 1 1

1

11 1 1

Tabela3.1 Notamos,pelatabela3.1,queasexpressessequivalem.

3.5TeoremasdeDeMorgan

Os teoremasde De Morgan so muito empregadosna prtica, emsimplificaesde expressesbooleanase, ainda, no desenvolvimentodecircuitosdigitais,comoveremosemtpicosposteriores.

3.5.1 1TeoremadeDeMorganO complementodoprodutoigualsomadoscomplementos:

(-) --A.B =A+BPara provaresteteorema,vamosmontara tabelada verdadede cada

membroecompararosresultados:

o O 11O

1111

O 111

1 O O

Tabela3.2

Notamosaigualdadedeambasascolunas.

Este teoremafoi aplicadono itemreferente equivalnciaentreblocoslgicos(captulo2).

O teoremapodeserestendidoparamaisdeduasvariveis:

(A.B.C ... N) =A+ 13+C+ ... +N

3.~.2"Z TeoremadeDeMorganO complementodasomaigualaoprodutodoscomplementos.Esteteoremaumaextensodoprimeiro:

(A.B)=A+B f-1QTeorema

94 /':h'fIIt'/I10,1'dt' Hh'/n1/1/(,(/ n/H/IIII

Podemosreescrev-lodaseguintemaneira:

NotamosqueA o complementode A e queB o complementode B.VamoschamarA deX e B deY. Assimsendo,temos:

X.Y =(X+ Y).

Reescrevendo,emtermosdeA eB, temos:

A.B= (A + B) f- 2QTeorema ~

Da mesmaformaque no anterior,o teoremapode ser estendidoparamaisdeduasvariveis:

(A+B+C+ ... + N) =A.B.C ... N

Notamos, tambm,a aplicao deste teoremano item relativo equivalnciaentreblocoslgicos.

3.6 IdentidadesAuxiliares

A seguir,vamosdeduzirtrsidentidadesteisparaa simplificaodeexpresses.

3.6.1)A +A . B =A

Provamosestaidentidade,utilizandoa propriedadedistributiva.VamosevidenciarA no 1Q termo:

A(l +B)=A~

Do postuladodasomatemos:1+B = 1,logopodemosescrever:

A . 1 =A :. A +AB =A

3.6.2)(A+B). (A+C)=A +B.C

Vamosagora,provarestaidentidade:

(A+B) . (A+C)

=AA +AC +AB +B.C ~ Propriedadedistributiva

=A +AC +AB +B.C ~ IdentidadeAA =A

=A(1 +B+C) +B.C ~ Propriedadedistributiva

=A. 1+B.C ~ Identidades:1+X =1e A. 1=A

:. (A+B) . (A+C) =A +BC

3.6.3)A +AB =A +B

Vamos,agora,provarestaidentidade:

A+A.B = (A+A.B)

=[A. (AB)]

=[A. (A+B)]

=(A.A+A. B)

=(A. B)

=(A +B)

~'.(A + A .B) =A+B

~ IdentidadeX =X

-42Q Teorema de De Morgan:(-) --X+Y =X.Y

~ 1Q Teoremade De Morgan aplicadono

parnteses:X . Y =(X+ Y)

~ propriedade distributiva e identidadeA.A=O

~ 1Q TeoremadeDe Morgan

Ii

3.7QuadroResumo

Complementao

A=O~A=l

A=I~A=O

Adio0+0=00+1=11+0=11+1=1

Multiplicao0.0= O0.1 =O1. O =O

1.1=1

Complementao

A=A

AdioA+O=AA+l=1A+A=A.

A+ A = 1

MultiplicaoA.O=OA.l=AA.A=A

A. A =0

Comutativa:

Associativa:

Distributiva:

A+B=B+AA.B=B.A

A +(B +C) =(A +B) +C =A +.B+CA . (B . C) =(A . B) . C =A . B . CA.(B+C)=A.B+A.C

A+A.B=A

A+ A .B=A+B

(A +B) . (A +C) =A +B . C

Tabela3.3

3.8SimplificaodeExpressesBooleanas

Utilizando o conceito da lgebra de Boole, podemossimplificarexpressese consequentementecircuitos.

Para efetuarmosestas simplificaes, existem, basicamente,doisprocessos.O primeirodeles a simplificaoatravsda lgebrade Boole, osegundo a utilizaodosmapasdeVeitch-Karnaugh,comoveremosno item3.9.Paraelucidar,vamosutilizar,porexemplo,aexpresso:, .

s= ABC+AC+AB

Vamos simplific-Ia, utilizando a lgebra de Boole. Primeiramente,vamosevidenciaro termoA:

Agora,aplicandoap~

TirandoA . C emevidncianosdoisprimeirostermos,temos:

S=A.C.(B +B)+ABC

Aplicandoaidentidade:B+li=1,temos:S=A.C.(B+B)+ABC=A.C+ABC :. S=AC+ABC

3.8.1ExercciosResolvidos

1- Simplifiqueasexpressesbooleanas,apresentadasaseguira) S=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

EvidenciandoC, temos:

S=ABC +C(A B +AB +AB +AB)

EvidenciandoA eA, temos:

s=ABC +C[A(B +B) +A(B +B)]- -- -S=ABC +C(A.1+A.l) -7 identidadeX +X =1- --S=ABC+C(A+A)

S=ABC +C.1-7 identidadeX +X =1

- -S=(ABC +C) -7 identidadeX=X

____ ~,~,'~~i

S=.[(ABC),C]-7l;oremadeDeMorgan:(X+Y)=X. Y

S=[(A+B+C).C]-7teoremadeDeMorgan:(X. Y.Z) =X+Y +Z

S=(AC +BC +C.C)-7 propriedadedistributiva..

S=fC.(A+B)]-7 propriedadedistributivaeidentidadeX.X=O

S=[c +(A +B)]-7 teoremadeDeMorgan:(X.Y)=X+ Y

S=(C +A.B)-7 teoremadeDeMorgan:(x+ Y)=X. Y

:.S=C+A.B

b) S =(A+ B+ C).(A+ B +C)

Aplicandoapropriedadedistributiva,temos:-- ,----

S=AA+AB+AC+AB+BB+BC+AC+BC+CC

VamosusarasidentidadesX. X =OeX.x=X ereescrever:

S=AB+AC+AB+BC+AC+BC+C

ColocandoC emevidncia,temos:- - - -. S =AB+C(A+B+A+ B+1)+AB

Usandoasidentidades:X+1=1eX.1=X,obtemoso resultadofinal:

S=AB+AB+C

c) S =[(AC) +B +D]+ C(ACD)

Aplicandoo teoremadeDe Morganao1 e2 termos,obtemos:

S =(A+ C+ B+D)+C(A+ C+ D)

Agora, aplicandoo teoremade De Morganao 1 termoe a propriedadedistributivaao2 termo,temos:

S=ACD B +AC+CC +CD

Reescrevendo,aplicandoaidentidadeX. X =O, temos:

S=A~D+AC+CD

~vt{~ci~~l~~~termoCD, vamoster::tSl~lY(AB'tf\+AC

UJ1~CD .~~~identidadeX+1=1~ ~ --

~ :. S=CD+AC~ ..

--\l:> i A partirdaexpressoS =(A 0 B), obtenhaS =A

AplicandoDe Morgan(X +y)=X. Y , temos:

Aplicandoo outroteorema,(X. Y) =X +Y , emcadaparnteses,temos:

S=(A+B).(A+B)

Aplicandoapropriedadedistributiva,temos:- - --S =AA+AB+AB+ BB- -Como AA=O e BB=O, temos:

S =till +AB~S =AE!1B

3 - Obtenhao circuitosimplificadoqueexecutaaexpresso:

S =(AE!1B~[B(A +C) +D(A +B +C)]

Aplicando a propriedadedistributivae De Morgan respectivamenteaostermosdocolchete,temos:

S =(A E!1B)(AB +BC +DABC)

Reescrevendoo ltimotermo,emordem,temos:

S=(AE!1B) (AB + BC + ABCD)

AplicandoDe Morganao22parntese,temos:

S = (A E!1B) (AB) (BC) (ABCD)

Aplicando novamenteem cada parntesee substituindoo 12 pelaexpressoequivalentedoOU Exclusivo,obtemos:

S = (A B + A B) (A + B) (B + C) (A + B + C + D)

Efetuandoa multiplicaoentreOs doisprimeirosparnteses,eliminando- -ostermosresultantes,onde:A . A = O e B. B"= O, obtemos:

S = (AAB + ABB) (B + C) (A + B + C + D)

Comox . x =x, temos:

S =(AB + AB) (B + C) (A +B + C + D),."'.'1'/'1'"

Damesmaforma,efetuandontt'rltiplicaoentreosdoisltimos,obtemos:

S =(A B + AB) (A B +B C + BD + AC + BC + CD)

Novamentemultiplicando,temos:

S =ABC + ABC + ABCD +ABC +ABD +ABCD

,....,/1>Tirando emevidnciaA BC paraos trsprimeirostermose Ai3 paraosltimos,temos:

S =ABC (1+1+D) +AB (C+ D +CD)

Fazendo(1 +D) =1ecolocandoemevidnciaD no2parntesetemos:

S =ABC + AB [C + D(1 + C)]

Como1+C == 1,temos:

S =ABC + AB(C + D)- ---

:. S=ABC+ABC+ABD

A partirdaexpresso,desenhamoso circuitosimplificadovistonafigura3.1.A B C D

s

FiRura3.1