Identitas TrigonometriPosted on 14 Februari 2015 by yos3prens Terdapat dua fungsi trigonometri atau lebih yang walaupun memiliki bentuk berbeda, tetapi grafik fungsinya sama. Sebagai contoh, dua fungsi

dan

yang tampaknya berbeda, tetapi kedua fungsi tersebut memiliki grafik fungsi yang dapat digambarkan sebagai berikut.

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa walaupun kedua fungsi tersebut tampak berbeda, tapi sebenarnya kedua fungsi tersebut sama. Hal ini berarti, untuk setiap nilai x,

Persamaan yang terakhir ini disebut sebagai identitas trigonometri, dan akan kita diskusikan pada pembahasan kali ini. Gambar berikut ini mendaftar delapan identitas trigonometri dasar.

Catatan Tiga identitas pertama (dalam kotak warna orange) disebut sebagai identitas kebalikan. Dua identitas selanjutnya (dalam kotak warna hijau) disebut sebagai identitas rasio. Sedangkan, tiga identitas terakhir (dalam kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Dua identitas Pythagoras terakhir dapat diturunkan dari identitas sebelumnya, yaitu cos + sin = 1, dengan membagi kedua ruasnya secara berturut-turut dengan cos dan sin . Sebagai contoh, dengan membagi kedua ruas cos + sin = 1 dengan cos , kita mendapatkan

Untuk menurunkan identitas Pythagoras terakhir, kita harus membagi kedua ruas cos + sin = 1 dengan sin untuk mendapatkan 1 + cot = csc .Setelah mengetahui kedelapan identitas trigonometri dasar di atas, selanjutnya kita akan menggunakan identitas-identitas tersebut, bersama dengan pengetahuan kita mengenai aljabar, untuk membuktikan identitas-identitas lainnya.Ingat bahwa identitas trigonometri merupakan pernyataan yang memuat kesamaan dua bentuk untuk setiap penggantian variabelnya dengan nilai di mana bentuk tersebut didefinisikan. Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita gunakan substitusi trigonometri dan manipulasi aljabar dengan tujuan1. Mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan, atau2. Mengubah bentuk pada ruas kanan identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kiri.Satu hal yang harus diingat dalam membuktikan identitas trigonometri adalah kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita tidak boleh menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitasseperti sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melakukan hal tersebut, kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang akan kita buktikan. Intinya, kita tidak boleh memperlakukan masalah sebagai suatu persamaan.Kita membuktikan identitas trigonometri untuk membangun kemampuan kita dalam mengubah satu bentuk trigonometri menjadi bentuk lainnya. Ketika kita bertemu dengan permasalahan dalam topik lain yang membutuhkan teknik pembuktian identitas, kita biasanya menemukan bahwa solusi permasalahan tersebut bergantung kepada bagaimana mengubah bentuk yang memuat trigonometri tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam kasus ini, kita tidak harus selalu bekerja dengan persamaan.Contoh 1: Membuktikan Identitas TrigonometriBuktikan bahwa sin cot = cos .Pembahasan Untuk membuktikan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.

Pada contoh ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita membuktikan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.Contoh 2: Membuktikan Identitas TrigonometriBuktikan bahwa tan x + cos x = sin x (sec x + cot x).Pembahasan Kita dapat memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin x. Kemudian kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan x dan cos x.

Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.Sebelum kita lanjut ke contoh-contoh selanjutnya, mari kita daftar beberapa petunjuk yang mungkin berguna dalam membuktikan identitas-identitas trigonometri.

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas1. Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.2. Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

Selain petunjuk-petunjuk di atas, cara terbaik untuk menjadi mahir dalam membuktikan identitas trigonometri adalah dengan banyak latihan. Semakin banyak identitas trigonometri yang telah kita buktikan, maka kita akan semakin ahli dan percaya diri dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya. Kita tidak boleh takut untuk berhenti kemudian memulai kembali jika langkah-langkah kita menemui jalan buntu. Sebagian besar identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan menggunakan berbagai macam pembuktian. Beberapa pembuktian mungkin lebih panjang dari pembuktian yang lain.Halaman: 1 2 3Dipublikasi di Kelas X, Materi SMA | Tag Aljabar, Cosecan, Cosinus, Cotangen, Distributif, Grafik, Identitas trigonometri, Kontracontoh, pecahan, Secan, Sinus, Soal, Tangen, Trigonometri | Tinggalkan komentar 10+ Soal dan Pembahasan Limit FungsiTrigonometriPosted on 12 Februari 2015 by yos3prens Terdapat berbagai macam fungsi trigonometri yang sering muncul dalam permasalahan limit. Pada pembahasan ini akan didiskusikan bagaimana menyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri untuk x (atau variabel lainnya) mendekati nol. Sifat-sifat berikut kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan.

Soal 1: Menghitung Limit Fungsi TrigonometriHitunglah,

Pembahasan Sebelum kita menentukan nilai eksak limit fungsi trigonometri tersebut, kita akan perkirakan nilai limit tersebut dengan menggunakan tabel. Tabel tersebut dengan mudah dapat dibuat di Ms. Excel.

Berdasarkan tabel di atas, kita dapat memperkirakan bahwa nilai limit fungsi tersebut adalah 4. Selanjutnya kita tentukan nilai limitnya dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri.

Jadi, limit fungsi trigonometri yang diberikan adalah 4.Soal 2: Limit Fungsi TrigonometriTentukan nilai,

Pembahasan Kita perkirakan terlebih dahulu nilai limit fungsi tersebut dengan menggunakan tabel.

Dari tabel di atas, kita bisa memperkirakan nilai limit fungsi yang diberikan adalah 0,222 atau 2/9. Selanjutnya, kita tentukan nilai limitnya dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri.

Jadi, kita peroleh nilai limit fungsi yang diberikan adalah 2/9.Halaman: 1 2 3 4 5 6Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag Cosinus, Fungsi, Identitas trigonometri, Limit, Microsoft Excel, Pembahasan, Secan, Sinus, Soal, Tangen, Trigonometri, Turunan | 1 Komentar Limit Fungsi TrigonometriPosted on 11 Februari 2015 by yos3prens Permasalahan limit muncul ketika kita akan menentukan garis singgung suatu kurva atau kecepatan dari suatu objek. Sekarang, secara lebih khusus, kita akan menentukan limit fungsi trigonometri. Perhatikan Contoh 1 berikut.

Contoh 1: Limit Fungsi SinusTebaklah nilai,

Pembahasan Fungsi f(x) = (sin x)/x tidak terdefinisi ketika x = 0. Dengan menggunakan Ms. Excel (dan ingat, jika x anggota bilangan real, maka sin x berarti nilai sinus sudut x yang diukur dengan satuan radian), kita dapat membuat tabel nilai (sin x)/x seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menebak bahwa

Tebakan tersebut sebenarnya sudah tepat, seperti yang akan kita buktikan dengan menggunakan argumen geometris pada Contoh 2.

Halaman: 1 2 3Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag Cosinus, Fungsi, Fungsi trigonometri, Limit, Microsoft Excel, Sinus, Tangen, Teorema Apit, Trigonometri | Tinggalkan komentar Distribusi BinomialPosted on 1 Februari 2015 by yos3prens Sering dalam berbagai macam permasalahan peluang hanya memiliki dua kemungkinan hasil atau dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Sebagai contoh, ketika suatu koin dilempar, maka kita akan mendapat angka atau gambar. Ketika seorang bayi lahir, maka seorang bayi tersebut merupakan bayi laki-laki atau perempuan. Dalam permainan bola basket, tim yang bermain bisa menang atau kalah. Keadaan benar/salah tersebut dapat dijawab dengan dua cara, yaitu benar atau salah. Kondisi-kondisi lainnya dapat disederhanakan untuk menghasilkan dua kemungkinan. Sebagai contoh, suatu pengobatan medis dapat diklasifikasikan sebagai efektif atau tidak efektif, tergantung hasilnya. Seseorang dapat dikategorikan memiliki tekanan darah normal atau tidak normal, tergantung dari pengukuran tekanan darahnya. Pertanyaan-pertanyaan pilihan ganda, walaupun memiliki empat atau lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan menjadi benar atau salah. Kondisi-kondisi yang telah dicontohkan tersebut dinamakan percobaan binomial.Pada pembahasan ini kita akan membahas beberapa hal mengenai distribusi binomial, yaitu: Percobaan binomial. Pengertian distribusi binomial. Rumus peluang binomial. Menghitung peluang binomial dengan tabel. Rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk distribusi binomial.

Percobaan binomial merupakan suatu percobaan yang memenuhi empat syarat berikut:1. Terdapat n kali percobaan.2. Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal.3. Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas.4. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.

Suatu percobaan binomial dan hasilnya memberikan distribusi peluang khusus yang disebut sebagai distribusi binomial.Hasil-hasil percobaan binomial dan peluang yang bersesuaian dari hasil tersebut dinamakan distribusi binomial.Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal. Notasi-notasi yang umumnya digunakan dalam percobaan binomial dan distribusi binomial adalah sebagai berikut.NotasiKeterangan

P(S)Simbol untuk peluang sukses.

P(F)Simbol untuk peluang gagal.

pPeluang sukes.

qPeluang gagal.

P(S) = p dan P(F) = 1 p = q

nBanyaknya percobaan

XBanyaknya sukses dalam n kali percobaan

Perhatikan bahwa 0 X n dan X = 0, 1, 2, 3, , n.

Peluang sukses dalam percobaan binomial dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut.

Rumus Peluang BinomialDalam suatu percobaan binomial, peluang untuk mendapatkan tepat X sukses dalam n percobaan adalah

Untuk mengetahui bagaimana ilustrasi dari rumus peluang binomial tersebut bermula, perhatikan Contoh 1 berikut.Contoh 1: Melempar KoinSuatu koin dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang mendapatkan tepat dua angka.

Pembahasan Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan melihat ruang sampelnya. Ruang sampel dari pelemparan satu koin sebanyak tiga kali adalahS = {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}Dari ruang sampel, kita dapat melihat bahwa ada tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka, yaitu AAG, AGA, dan GAA. Sehingga peluang kita mendapatkan tepat dua angka adalah 3/8 atau 0,375.Dengan melihat kembali Contoh 1 dari sudut pandang percobaan binomial, maka contoh tersebut memenuhi keempat kriteria percobaan binomial.1. Terdapat tiga kali percobaan.2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu angka (A) atau gambar (G).3. Hasil dari masing-masing percobaan saling bebas (hasil dari suatu pelemparan tidak mempengaruhi hasil pelemparan lainnya).4. Peluang percobaan sukses (angka) adalah di setiap percobaannya.Dalam kasus ini, n = 3, X = 2, p = , dan q = . Sehingga dengan mensubstitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan

Jawaban tersebut sama dengan jawaban kita sebelumnya yang menggunakan ruang sampel.Contoh 1 tersebut juga dapat digunakan untuk menjelaskan rumus peluang binomial. Pertama, perhatikan bahwa terdapat tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka dan satu gambar dari delapan kemungkinan. Ketiga cara tersebut adalah AAG, AGA, dan GAA. Sehingga, dalam kasus ini banyaknya cara kita mendapatkan dua angka dari pelemparan koin sebanyak tiga kali adalah 3C2, atau 3. Secara umum, banyak cara untuk mendapatkan X sukses dari n percobaan tanpa memperhitungkan urutannya adalah

Ini merupakan bagian pertama rumus binomial. (Beberapa kalkulator dapat digunakan untuk menghitung kombinasi tersebut).Selanjutnya, masing-masing sukses memiliki peluang dan muncul sebanyak dua kali. Demikian juga masing-masing gagal memiliki peluang dan muncul sekali. Sehingga akan memberikan,

pada rumus binomial. Sehingga apabila masing-masing percobaan sukses sukses memiliki peluang p dan muncul X kali serta peluang gagalnya adalah q dan muncul n X kali, maka dengan menuliskan peluang percobaan sukses kita akan mendapatkan rumus binomial.Halaman: 1 2 3Dipublikasi di Kelas XI, Materi SMA | Tag Distribusi binomial, Distribusi hipergeometrik, Distribusi peluang, Peluang, Percobaan binomial, Rata-rata, Simpangan baku, Statistika, Teori peluang, Varians | Tinggalkan komentar Dekomposisi Bentuk Aljabar Rasional Menjadi Pecahan-PecahanParsialPosted on 5 Januari 2015 by yos3prens Serupa dengan bilangan rasional, bentuk aljabar rasional memiliki bentuk P(x)/Q(x), dimana P dan Q merupakan polinomial atau suku banyak dan Q(x) 0. Penjumlahan dari bentuk-bentuk aljabar tersebut dilakukan dengan mengubah masing-masing bentuk aljabar tersebut menjadi bentuk aljabar rasional yang senilai dengan menyamakan penyebutnya. Penjumlahan semacam ini sama dengan apa yang kita lakukan dalam menjumlahkan bilangan rasional. Setelah semua penyebut memiliki bentuk yang sama, kita dapat menjumlahkan suku-suku yang sejenis pada pembilangnya. Dalam penerapan di matematika yang lebih lanjut, kita dapat membalik proses penjumlahan tersebut untuk mendekomposisi atau menguraikan suatu bentuk aljabar rasional menjadi penjumlahan dari beberapa pecahan parsial.Oleh karena itu, dalam pembahasan ini kita akan membahas beberapa topik. Topik-topik yang akan kita bahas adalah sebagai berikut.1. Menuliskan susunan dekomposisi untuk penyebut dengan faktor-faktor linear yang berbeda maupun berulang.2. Menuliskan susunan dekomposisi untuk penyebut dengan faktor-faktor kuadrat dan linear.3. Menjelaskan prosedur untuk mendekomposisi bentuk aljabar rasional.4. Mendekomposisi bentuk aljabar rasional untuk penyebut dengan faktor-faktor linear.5. Mendekomposisi bentuk aljabar rasional untuk penyebut dengan faktor-faktor kuadrat.6. Mendekomposisi bentuk aljabar rasional dengan bantuan Ms. Excel.Pertama, kita amati proses berikut.1. Perhatikan penjumlahan dari bentuk aljabar rasional berikut.

Kedua suku dari bentuk aljabar tersebut merupakan pecahan yang wajar (derajat dari pembilang kurang dari derajat penyebutnya) dan memiliki penyebut linear yang berbeda.

Andaikan kita tidak melihat penjumlahan dua suku di atas, kita dapat membalik proses tersebut dengan menggunakan susunan dekomposisi seperti berikut.

Kemudian kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan konstanta A dan B. Kita tahu bahwa pembilangnya haruslah konstanta, jika tidak, kita akan mendapatkan pecahan-pecahan yang tidak wajar, padahal bentuk aljabar rasional yang diberikan merupakan bentuk yang wajar.2. Selanjutnya perhatikan penjumlahan

yang melibatkan dua pecahan yang wajar.

Perhatikan bahwa ketika penyebut barunya merupakan faktor berulang (x 1), maka (x 1) dan (x 1) merupakan penyebut dalam penjumlahan aslinya. Dengan menganggap kita tidak tahu penjumlahan aslinya, kita dapat membalik proses di atas dengan menggunakan susunan dekomposisi

dan menyelesaikannya untuk mendapatkan konstanta A dan B. Seperti pada pengamatan yang telah kita lakukan pada poin 1, kita tahu bahwa pembilang dari suku pertama haruslah konstanta. Walaupun suku keduanya akan menjadi pecahan yang wajar jika pembilangnya linear (derajat 1), penyebutnya merupakan faktor linear yang berulang dan dengan menggunakan suatu konstanta sebagai pembilang dari semua pecahan semacam ini akan memastikan kita mendapatkan nilai yang tunggal untuk A dan B. Sehingga, untuk sembarang faktor linear berulang (ax b)n dalam penyebut aslinya, suku-suku dalam bentuk

haruslah muncul dalam susunan dekomposisinya, walaupun nantinya mungkin beberapa pembilang tersebut akan bernilai nol.