IDEAL FUZZY PADA BN-ALJABAR SKRIPSIrepository.ub.ac.id/4656/1/SRI WENI.pdf · i IDEAL FUZZY PADA...

i

IDEAL FUZZY PADA BN-ALJABAR

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

oleh :

SRI WENI

125090407111011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI


Disusun Oleh:

SRI WENI 125090407111011

Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji

pada tanggal 7 Agustus 2017

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

Pembimbing

Drs. Bambang Sugandi, M.Si

NIP. 195905151992031002

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,M.Si.,Ph.D

NIP. 197509082000031003

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Sri Weni

NIM : 125090407111011

Jurusan : Matematika

Judul Skripsi : Ideal Fuzzy pada BN-Aljabar

Penuli

Dengan ini menyatakan bahwa:

1. Isi dari Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya sendiri

dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama- nama yang

termaktub di isi dan tertulis di Daftar Pustaka dalam Skripsi ini.

2. Apabila di kemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis

terbukti hasil jiplakan, maka saya akan bersedia menanggung

segala risiko yang akan saya terima.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang, 7 Agustus 2017

yang menyatakan,

Sri Weni

NIM. 125090407111011

vii


ABSTRAK

BN-Aljabar adalah struktur aljabar yang dilengkapi satu operasi biner *

dan 0 sebagai elemen khusus. BN-Aljabar dapat dikaitakan dengan

konsep teori fuzzy untuk mendapatkan konsep ideal fuzzy pada BN-

Aljabar. Pada skripsi ini dibahas definisi dan contoh ideal fuzzy pada BN-

Aljabar beserta sifat-sifat dari ideal fuzzy pada BN-Aljabar. Salah satu

sifatnya adalah jika level subset yang tidak kosong merupakan ideal,

maka himpunan fuzzy μ disebut ideal fuzzy pada BN-Aljabar.

Kata kunci: himpunan fuzzy, level subset, BN-Aljabar, ideal, ideal fuzzy.

ix

FUZZY IDEAL ON BN-ALGEBRA

ABSTRACT

BN-Algebra is an algebraic structure with one binary operation * and 0

as a special element. BN-Algebra can be associated with the concept of

theory fuzzy to get the fuzzy ideal concept on BN-Algebra. In this article

discussed the definition and fuzzy ideal example on BN-Algebra along

with the properties of fuzzy ideal on BN-Algebra. One of it’s properties

is that if the non-empty subset level is ideal, then the fuzzy μ set is called

the fuzzy ideal on BN-Algebra.

Kata kunci: fuzzy set, subset level, BN-Algebra, ideal, fuzzy ideal.

xi

KATA PENGANTAR

Syukur terucap kehadirat Allah SWT atas limpahan berkah dan

karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Ideal Fuzzy pada BN-Aljabar” dengan proses yang bermanfaat.

Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana pada program studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Brawijaya.

Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, bimbingan, dan

dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan

terima kasih kepada:

1. Drs. Bambang Sugandi, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi atas

bimbingan, arahan, saran dan kesabaran yang telah diberikan selama

penyusunan skripsi ini.

2. Dra. Ari Andari, M.Si. dan Drs. Abdul Rouf Alghofari, M.Sc., Ph.D

selaku Majelis Penguji, atas segala kritik dan saran yang telah

diberikan untuk perbaikan skripsi ini.

3. Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si selaku Dosen Penasehat Akademik yang

selalu memberikan motivasi dan nasihat selama penulis menjadi

mahasiswa di Universitas Brawijaya.

4. Ratno Bagus Edy Wibowo S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua Jurusan

Matematika dan Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program

Studi Matematika atas segala bantuan yang diberikan.

5. Seluruh dosen Matematika FMIPA Universitas Brawijaya yang telah

memberikan bekal dan ilmu pengetahuan serta staff administrasi dan

karyawan Jurusan Matematika atas segala bantuannya.

6. Bapak dan Ibu yang selalu memberikan doa dan dukungan selama

proses penulisan.

7. Semua pihak yang telah membantu selama proses penulisan skripsi

dan perkuliahan di program studi Matematika FMIPA Universitas

Brawijaya yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

xii

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi masih terdapat

kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua

pihak. Kritik dan saran dapat dikirim melalui email penulis

[email protected].

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya

mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Brawijaya.

Malang,

Penulis

mailto:[email protected]

xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................. i

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................. iii

HALAMAN PERNYATAAN .............................................................. v

ABSTRAK ........................................................................................... vii

ABSTRACT ......................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ......................................................................... xi

DAFTAR ISI ...................................................................................... xiii

DAFTAR SIMBOL ............................................................................ xv

DAFTAR TABEL ............................................................................. xvii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ........................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ..................................................................... 2

1.3 Tujuan ........................................................................................ 2

BAB II DASAR TEORI

2.1 Pemetaan dan Operasi Biner ..................................................... 3

2.2 Himpunan Fuzzy dan Operasi pada Himpunan Fuzzy ................ 5

2.3 Struktur Aljabar ....................................................................... 10

2.4 Latis Lengkap .......................................................................... 10

2.5 Grup Komutatif ........................................................................ 19

2.6 BN-Aljabar .............................................................................. 21

2.7 Ideal BN-Aljabar ..................................................................... 27

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Ideal Fuzzy pada BN-Aljabar .................................................. 35

3.2 Sifat-sifat Ideal Fuzzy pada BN-Aljabar ................................... 41

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan .............................................................................. 59

4.2 Saran ........................................................................................ 59

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................... 61

xv

DAFTAR SIMBOL

𝑋 × Y : Hasil kali Cartesian

∈ : Elemen atau anggota dari himpunan

∩ : Operasi irisan

∪ : Operasi gabungan

⊆ : Subset atau himpunan bagian

ℤ : Himpunan bilangan bulat

ℕ : Himpunan bilangan asli

∨ (join) : Menunjukkan maksimum dari dua nilai atau lebih

∧ (meet) : Menunjukkan minimum dari dua nilai atau lebih

xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Operasi biner * pada X .......................................................... 21

Tabel 2.2 Hasil jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼2 dan 𝑦 ∈ 𝐼2, maka 𝑥 ∈ 𝐼2 ..................... 28

Tabel 2.3 Hasil Jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼3 dan 𝑦 ∈ 𝐼3, maka 𝑥 ∈ 𝐼3 ................. 29

Tabel 2.4 Hasil jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼4 dan 𝑦 ∈ 𝐼4, maka 𝑥 ∈ 𝐼4 ................. 30

Tabel 2.5 Hasil jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼5 dan 𝑦 ∈ 𝐼5, maka 𝑥 ∈ 𝐼5 .................. 31



Tabel 3.1 Hasil 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) ................................................................ 35

Tabel 3.2 Hasil operasi 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) ............................... 36

Tabel 3.3 Hasil operasi 𝜇(𝑦) ≥ 𝜇(𝑦 ∗ 𝑥) ∧ 𝜇(𝑥)............................... 41

Tabel 3.4 Hasil dari Jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0,

maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Struktur aljabar merupakan himpunan tidak kosong

yang dilengkapi satu operasi biner atau lebih. Contoh struktur aljabar

yang dilengkapi satu operasi biner adalah grup. Aksioma-aksioma

yang harus dipenuhi oleh grup yaitu tertutup, assosiatif, memiliki

elemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers. Selain grup, BN-

Aljabar adalah contoh lain dari struktur aljabar.

BN-Aljabar pertama kali diperkenalkan oleh Chang

Bum dan Hee Sik (2003). BN-Aljabar adalah struktur aljabar yang

dilengkapi satu operasi biner * dan suatu angka sebagai elemen

khusus, kemudian dinotasikan dengan (𝑋,∗, ). BN-Aljabar dapat dikaitkan dengan teori himpunan

fuzzy. Teori himpunan fuzzy merupakan salah satu ilmu di dalam

ilmu matematika yang diperkenalkan pertama kali oleh L.A. Zadeh

(1965) sebagai perkembangan dari himpunan klasik. Jika pada

himpunan klasik memiliki derajat keanggotaan adalah 0 dan 1, di

mana 1 menyimbolkan anggota dari himpunan dan 0 berarti bukan

anggota, beda halnya dengan himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy

memiliki derajat keanggotaan yang terletak pada bilangan riil di

interval 0 sampai dengan 1.

Peneltiian tentang keterkaitan dua konsep antara BN-

Aljabar dan teori fuzzy telah dilakukan oleh Grzegorz Dymek dan

Anderzej Walendziak (2014) di Polandia. Pada penelitian tersebut

dibahas tentang ideal fuzzy pada BN-Aljabar dan sifat-sifatnya. Hasil

dari penelitian didapatkan definisi, contoh, proporsisi, dan teorema

yang berhubungan dengan ideal pada BN-Aljabar dan ideal fuzzy pada

BN-Aljabar.

Berdasarkan hasil yang didapat dari penelitian itu,

skripsi ini mengacu dan membahas kembali definisi beserta contoh

ideal fuzzy pada BN-Aljabar beserta sifat-sifatnya.

2

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, rumusan masalah untuk

skripsi ini sebagai berikut.

1. Bagaimana definisi dan contoh ideal fuzzy pada BN-

Aljabar?

2. Bagaimana sifat-sifat ideal fuzzy pada BN-Aljabar?

1.3 Tujuan

Skripsi ini disusun dengan tujuan menjawab rumusan

masalah yaitu

1. Membahas tentang definisi dan contoh ideal fuzzy pada

BN-Aljabar.

2. Membuktikan sifat-sifat ideal fuzzy pada BN-Aljabar.

3

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini diberikan beberapa definisi dan contoh sebagai

dasar untuk memahami pembahasan bab selanjutnya yaitu ideal fuzzy

pada BN-Aljabar. Dasar-dasar teori yang diberikan sebagai berikut.

2.1 Pemetaan dan Operasi Biner

Konsep dasar pertama yang diberikan adalah teori pemetaan

dan operasi biner. Masing-masing definisi dan contoh yang berkaitan

dirujuk dari Bhattacharya dkk (1995).

Definisi 2.1.1 (Hasil Kali Cartesian)

Misalkan X dan Y masing-masing adalah himpunan tidak kosong.

Himpunan dari seluruh pasangan terurut (x, y) disebut sebagai hasil

kali cartesian dari himpunan X dan Y, di mana 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑦 ∈ 𝑌

dinotasikan sebagai berikut.

𝑋 × 𝑌 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌}.

Contoh 2.1.2

Diberikan himpunan tidak kosong 𝑋 = {1,2,3, } dan 𝑌 = {6,7}. Hasil

kali cartesian dari himpunan X dan Y adalah

𝑋 × 𝑌 = {1,2,3} × {6,7} = {(1,6), (1,7), (2,6), (2,7), (3,6), (3,7)}.

𝑌 × 𝑋 = {6,7} × {1,2,3} = {(6,1), (6,2), (6,3), (7,1), (7,2), (7,3)}.

Definisi 2.1.3 (Relasi)

Misalkan X dan Y masing-masing adalah himpunan tidak kosong. f

disebut relasi dari 𝑋 𝑘𝑒 𝑌 jika f adalah subset dari 𝑋 × 𝑌. Jika

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, maka x dihubungkan dengan y oleh f .

Contoh 2.1.4

Berdasarkan Contoh 2.1.2 diberikan 𝑓 = {(1,6), (2,6), (2,7), (3,7)}.

Buktikan f adalah relasi dari 𝑋 × 𝑌.

4

Bukti.

Berdasarkan Contoh 2.1.2 yang telah diberikan, himpunan bagian

𝑓 = {(1,6), (2,6), (2,7), (3,7)} ⊆ 𝑋 × 𝑌. Jadi terbukti bahwa f

adalah relasi dari 𝑋 × 𝑌. ∎

Definisi 2.1.5 (Pemetaan)

Misalkan X dan Y dua himpunan yang masing-masing tidak kosong.

Relasi f dari X ke Y disebut pemetaan dari X ke Y, jika untuk setiap

elemen x di X terdapat dengan tunggal elemen y di Y, sedemikian

sehingga (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓.

Pemetaan dari X ke Y dinotasikan dengan

𝑓: 𝑋 → 𝑌

𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) = 𝑦

Konsep pemetaan juga dapat dinyatakan dengan

𝑥1 = 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)

Contoh 2.1.6

Diberikan himpunan bilangan bulat ℤ dan relasi 𝑓 dari ℤ ke ℤ dengan

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ. Buktikan bahwa 𝑓 adalah suatu

pemetaan.

Bukti.

Ambil sebarang 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℤ dengan 𝑥1 = 𝑥2.

Jika 𝑓(𝑥1) = 𝑥2 + 2, maka 𝑓(𝑥2) = 𝑥12 + 2 = 𝑥2

2 + 2. Sehingga

𝑥1 = 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). Terlihat untuk setiap setiap 𝑥 ∈ ℤ

terdapat tepat satu 𝑓(𝑥) ∈ ℤ. Jadi terbukti 𝑓 adalah pemetaan. ∎

Definisi 2.1.7 (Operasi Biner)

Misalkan X adalah himpunan yang tidak kosong. Operasi biner ∗ pada

himpunan X adalah pemetaan dari setiap pasangan terurut (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑋 ke 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑋

yang dinotasikan sebagai berikut.

∗∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋

(𝑥, 𝑦) ↦ 𝑥 ∗ 𝑦

5

Contoh 2.1.8

Diberikan ℤ adalah himpunan bilangan bulat yang dilengkapi operasi

penjumlahan +. Buktikan bahwa operasi penjumlahan + adalah

operasi biner.

Bukti.

Operasi penjumlahan + adalah suatu operasi biner pada ℤ yang

dinotasikan dengan

+∶ ℤ × ℤ ⟶ ℤ (𝑥, 𝑦) ↦ 𝑥 + 𝑦,

karena x dan y adalah elemen di ℤ, 𝑥 + 𝑦 juga elemen di ℤ. Jadi

operasi penjumlahan + pada ℤ adalah operasi biner. ∎

Sifat-sifat Operasi Biner 2.1.9

Suatu operasi biner ∗∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 pada himpunan 𝑋 dikatakan

i. Komutatif, jika

𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋,

ii. Assosiatif, jika

𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋,

Misalkan ∘ adalah operasi biner lain pada 𝑋, maka * disebut

iii. Distributif kiri atas ∘ jika

𝑥 ∗ (𝑦 ∘ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∘ (𝑥 ∗ 𝑧) untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋,

iv. Distributif kanan atas ∘ jika (𝑦 ∘ 𝑧) ∗ 𝑥 = (𝑦 ∗ 𝑥) ∘ (𝑧 ∗ 𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Jika * adalah distributif kiri dan kanan atas ∘ maka * dikatakan

distributif atas ∘.

2.2 Himpunan Fuzzy dan Operasi pada Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy adalah himpunan yang setiap unsurnya

memiliki nilai derajat keanggotaan tertentu. Nilai derajat keanggotaan

pada himpunan fuzzy terletak pada bilangan riil di interval [0,1].

Definisi dan contoh tentang himpunan fuzzy dirujuk dari Klir dan Yan

(2003), sedangkan definisi dan contoh himpunan level berdasarkan

Barthakur dan Khargharia (2013). Diberikan pula definisi irisan dan

gabungan himpunan fuzzy yang merujuk dari Zadeh (1965).

6

Definisi 2.2.1 (Himpunan Fuzzy)

Misalkan 𝑋 adalah himpunan tidak kosong. Himpunan fuzzy

𝜇 (himpunan bagian fuzzy ) di X adalah himpunan pasangan terurut

dari suatu fungsi keanggotaan yang didefinisikan

𝜇: 𝑋 → [0,1]

Berdasarkan Definisi 2.2.1, himpunan pasangan terurut dari

fungsi keanggotaan di atas adalah

𝜇 = {𝑥, 𝜇(𝑥)|𝑥 ∈ 𝑋}

Contoh 2.2.2

Diberikan himpunan tidak kosong 𝑋 = {0,1,2,3,4,5} dan didefinisikan

fungsi keanggotaannya sebagai berikut.

𝜇(𝑥) = {1 ; 𝑥 = 1, 𝑥 = 30,5 ; 𝑥 = 2, 𝑥 = 40.7 ; 𝑥 = 0, 𝑥 = 5,

Himpunan fuzzy 𝜇 di X adalah himpunan pasangan terurut dari fungsi

keanggotan yang didefinisikan di atas, yaitu

𝜇 = {(0,0.7), (1,1), (2,0.5), (3,1), (4,0.5), (5,0.7)}

Definisi 2.2.3 (Himpunan Level)

Misalkan 𝑋 adalah himpunan tidak kosong dan 𝜇 adalah himpunan

fuzzy di X. Himpunan {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜇(𝑥) ≥ 𝑖} disebut level subset dan

dinotasikan dengan 𝜇𝑖 di mana 𝑖 ∈ [0,1].

Contoh 2.2.4

Berdasarkan Contoh 2.2.2 diperoleh himpunan fuzzy seperti di bawah

ini.

𝜇 = {(0,0.7), (1,1), (2,0.5), (3,1), (4,0.5), (5,0.7)}

Tentukan level subset 𝜇0.6

Jawab.

Himpunan

𝜇0.6 = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜇(𝑥) ≥ 𝑖} = {(0,0.7), (1,1), (3,1), (5,0.7)}.

7

Definisi 2.2.5 (Irisan Himpunan Fuzzy)

Misalkan X adalah himpunan tidak kosong dan, 𝜇 dan 𝜆 adalah dua

himpunan fuzzy di X dengan fungsi keanggotaan masing-masing

𝜇(𝑥) dan 𝜆(𝑥). 𝜇 ∩ 𝜆 adalah himpunan pasangan terurut dari fungsi

keanggotaan yang didefinisikan sebagai berikut.

(𝜇 ∩ 𝜆)(𝑥) = min [𝜇(𝑥), 𝜆(𝑥)] atau dalam notasi lain

(𝜇 ∩ 𝜆)(𝑥) = 𝜇(𝑥) ∧ 𝜆(𝑥)


fungsi keanggotaan (𝜇 ∩ 𝜆)(𝑥) adalah

(𝜇 ∩ 𝜆) = {(𝑥, ((𝜇 ∩ 𝜆)(𝑥))) |𝑥 ∈ 𝑋},

atau

(𝜇 ∩ 𝜆) = {(𝑥, ((𝜇(𝑥) ∧ 𝜆(𝑥) )))|𝑥 ∈ 𝑋}.

Berdasarkan notasi Zadeh, dalam skripsi ini digunakan notasi

" ∧ " (dibaca meet) untuk menunjukkan minimum dari dua nilai atau

lebih. Misalkan 𝜇(𝑥) ∧ 𝜆(𝑥) digunakan untuk menunjukan

min [𝜇(𝑥), 𝜆(𝑥)]. Notasi ⋀ 𝜇(𝑥)𝑥∈𝑋 digunakan untuk menunjukkan

min𝑥∈𝑋

𝜇(𝑥) yang berarti fungsi keanggotaan 𝜇(𝑥) bernilai minimum di

𝑥 ∈ 𝑋.

Contoh 2.2.6

Diberikan himpunan tidak kosong 𝑋 = {0,1,2,3,4,5}, dan

didefinisikan fungsi keanggotaannya sebagai berikut.

𝜇(𝑥) = {1; 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 20; 𝑥 = 3, 𝑥 = 4, 𝑥 = 5,

𝜆(𝑥) = {1; 𝑥 = 3, 𝑥 = 4, 𝑥 = 50; 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2,

Himpunan fuzzy 𝜇 dan 𝜆 di X adalah

𝜇 = {(0,1), (1,1), (2,1), (3,0), (4,0), (5,0)}, dan

𝜆 = {(0,0), (1,0), (2,0), (3,1), (4,1), (5,1)}.

8

Jadi irisan himpunan fuzzy (𝜇 ∩ 𝜆) ditentukan sebagai berikut.

(𝜇 ∩ 𝜆) (0) = 𝜇(0) ⋀ 𝜆(0)

= 1 ∧ 0

= 0

(𝜇 ∩ 𝜆) (1) = 𝜇(1) ⋀ 𝜆(1)

= 1 ∧ 0

= 0

(𝜇 ∩ 𝜆) (2) = 𝜇(2) ⋀ 𝜆(2)

= 1 ∧ 0

= 0

(𝜇 ∩ 𝜆) (3) = 𝜇(3) ⋀ 𝜆(3)

= 0 ∧ 1

= 0

(𝜇 ∩ 𝜆) (4) = 𝜇(4) ⋀ 𝜆(4)

= 0 ∧ 1

= 0

(𝜇 ∩ 𝜆) (5) = 𝜇(5) ⋀ 𝜆(5)

= 0 ∧ 1

= 0

Dengan demikian irisan himpunan fuzzy 𝜇 dan 𝜆 di X adalah

(𝜇 ∩ 𝜆) = {(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0)}.

Definisi 2.2.7 (Gabungan Himpunan Fuzzy)

Misalkan X adalah himpunan tidak kosong dan 𝜇, 𝜆 adalah dua

himpunan fuzzy di X dengan fungsi keanggotaan masing-masing

𝜇(𝑥) dan 𝜆(𝑥). 𝜇 ∪ 𝜆 adalah himpunan pasangan terurut dari fungsi

keanggotaan yang didefinisikan sebagai beikut.

(𝜇 ∪ 𝜆)(𝑥) = max [𝜇(𝑥), 𝜆(𝑥)] atau dalam notasi lain

(𝜇 ∪ 𝜆)(𝑥) = 𝜇(𝑥) ∨ 𝜆(𝑥)


fungsi keanggotaan (𝜇 ∪ 𝜆)(𝑥) adalah

(𝜇 ∪ 𝜆) = {(𝑥, ((𝜇 ∪ 𝜆)(𝑥))) |𝑥 ∈ 𝑋},

9

atau

(𝜇 ∪ 𝜆) = {(𝑥, ((𝜇(𝑥) ∨ 𝜆(𝑥) )))|𝑥 ∈ 𝑋}.

Berdasarkan notasi Zadeh, dalam skripsi ini digunakan notasi

" ∨ " (dibaca join) untuk menunjukkan maksimum dari dua nilai atau

lebih.

Contoh 2.2.8

Berdasarkan Contoh 2.2.6 diperoleh himpunan fuzzy 𝜇 dan 𝜆 di X

adalah

𝜇 = {(0,1), (1,1), (2,1), (3,0), (4,0), (5,0)}, dan

𝜆 = {(0,0), (1,0), (2,0), (3,1), (4,1), (5,1)}.

Jadi gabungan himpunan fuzzy (𝜇 ∪ 𝜆) ditentukan sebagai berikut.

(𝜇 ∪ 𝜆) (0) = 𝜇(0) ⋁ 𝜆(0)

= 1 ⋁ 0

= 1

(𝜇 ∪ 𝜆) (1) = 𝜇(1)⋁ 𝜆(1)

= 1 ⋁ 0

= 1

(𝜇 ∪ 𝜆) (2) = 𝜇(2) ⋁ 𝜆(2)

= 1 ⋁ 0

= 1

(𝜇 ∪ 𝜆) (3) = 𝜇(3) ⋁ 𝜆(3)

= 0 ⋁ 1

= 1

(𝜇 ∪ 𝜆) (4) = 𝜇(4) ⋁ 𝜆(4)

= 0 ⋁ 1

= 1

(𝜇 ∪ 𝜆) (5) = 𝜇(5) ⋁ 𝜆(5)

= 0 ⋁ 1

= 1

Dengan demikian gabungan himpunan fuzzy 𝜇 dan 𝜆 di X adalah

(𝜇 ∪ 𝜆) = {(0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1)}.

10

2.3 Struktur Aljabar

Skripsi ini tergolong dalam bidang ilmu aljabar, sesuai dengan

itu diberikan definisi struktur aljabar untuk mempermudah isi dari

pembahsan di bab selanjutnya. Definisi struktur aljabar merujuk pada

Bhattacharya dkk (1995).

Definisi 2.3.1

Struktur aljabar merupakan himpunan tidak kosong yang dilengkapi

satu operasi biner atau lebih.

2.4 Latis Lengkap

Latis merupakan himpunan tidak kosong yang dilengkapi dua

operasi biner dan memenuhi aksioma tertentu. Berikut diberikan

definisi dan contoh yang berhubungan dengan latis lengkap

berdasarkan McKenzie dkk (1987).

Definisi 2.4.1 (Latis)

Misalkan L adalah himpunan tidak kosong yang dilengkapi dua

operasi biner meet (∧) dan join (∨). (𝐿,∧,∨) disebut latis jika operasi

biner meet (∧) dan join (∨) memenuhi aksioma-askioma di bawah ini

i. Idempoten yaitu

𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑥 dan 𝑥 ∨ 𝑥 = 𝑥,

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐿.

ii. Assosiatif yaitu

(𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = 𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) dan (𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧),

untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐿.

iii. Komutatif yaitu

𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ 𝑥 dan 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑦 ∨ 𝑥,

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿.

iv. Absorbsi yaitu

𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = 𝑥 dan 𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦) = 𝑥,

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿.

Contoh 2.4.2

Diberikan himpunan bilangan bulat ℤ yang dilengkapi dua operasi

biner meet (∧) dan join (∨). Didefinisikan 𝑥 ∧ 𝑦 = min{𝑥, 𝑦} dan

𝑥 ∨ 𝑦 = max{𝑥, 𝑦}. Buktikan bahwa (ℤ,∧,∨) adalah latis.

11

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa operasi meet (∧) dan join (∨) pada ℤ berlaku

sifat-sifat di bawah ini.

i. Idempoten.

Ambil sebarang 𝑥 ∈ ℤ.

Untuk operasi meet (∧) diperoleh

𝑥 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ ℤ,

dan untuk operasi join (∨) diperoleh

𝑥 ∨ 𝑥 = max{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ ℤ.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ, operasi meet (∧)

dan join (∨) pada ℤ berlaku sifat idempoten yaitu

𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℤ dan 𝑥 ∨ 𝑥 ∈ ℤ. Jadi askioma (i) terpenuhi.

ii. Assosiatif.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ.


(𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = min{𝑥, 𝑦} ∧ 𝑧

= min{min{𝑥, 𝑦}, 𝑧}

= min {𝑥, 𝑦, 𝑧} dan

𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) = min {𝑥, min{y, z}

= min {𝑥, 𝑦, 𝑧},

sehingga operasi meet (∧) pada ℤ berlaku sifat assosiatif (𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = 𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) = min {𝑥, 𝑦, 𝑧}.

Untuk operasi join (∨) diperoleh

(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = max {𝑥, 𝑦} ∨ 𝑧

= max{max{𝑥, 𝑦}, 𝑧}

= max{𝑥, 𝑦, 𝑧} dan

𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧) = max {𝑥, max{y, z}

= max {𝑥, 𝑦, 𝑧},

sehingga operasi join (∨) pada ℤ berlaku sifat assosiatif (𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧) = max {𝑥, 𝑦, 𝑧}.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ, operasi meet (∧) dan join (∨) pada ℤ berlaku sifat assosiatif yaitu

(𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = 𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) dan (𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧).

Jadi askioma (ii) terpenuhi.

12

iii. Komutatif.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ.


𝑥 ∧ 𝑦 = min{𝑥, 𝑦} dan 𝑦 ∧ 𝑥 = min{𝑦, 𝑥} = min{𝑥, 𝑦},

sehingga operasi meet (∧) pada ℤ berlaku sifat komutatif

𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑦}.


𝑥 ∨ 𝑦 = max{𝑥, 𝑦} dan 𝑦 ∨ 𝑥 = max{𝑦, 𝑥} = max{𝑥, 𝑦},

sehingga operasi join (∨) pada ℤ berlaku sifat komutatif

𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑦 ∨ 𝑥 = max{𝑦, 𝑥} = max{𝑥, 𝑦}.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, operasi meet

(∧) dan join (∨) pada ℤ berlaku sifat komutatif yaitu

𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ 𝑥 dan 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑦 ∨ 𝑥.

Jadi askioma (iii) terpenuhi.

iv. Absorbsi.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. Untuk operasi meet (∧) diperoleh

𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = min{𝑥, max{𝑥, 𝑦}} = 𝑥. Untuk operasi join (∨) diperoleh

𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦) = max{𝑥, min {𝑥, 𝑦}} = 𝑥.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, operasi meet (∧)

dan join (∨) pada ℤ berlaku sifat absorsi yaitu

𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = 𝑥 dan 𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦) = 𝑥.

Jadi askioma (iv) terpenuhi.

Berdasarkan aksioma (i), (ii), (iii), dan (iv) terbukti bahwa (ℤ,∧,∨)

latis.∎

Contoh 2.4.3

Diberikan himpunan tidak kosong 𝑋 = {0,1,2,3} yang dilengkapi

dua operasi biner meet (∧) dan join (∨). Didefinisikan suatu nilai

𝑥 ∧ 𝑦 = min{𝑥, 𝑦} dan 𝑥 ∨ 𝑦 = max{𝑥, 𝑦}. Buktikan bahwa (𝑋,∧,∨)

adalah latis.

13

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa operasi meet (∧) dan join (∨) pada 𝑋 berlaku

sifat-sifat di bawah ini.

i. Idempoten.


Jika 𝑥 = 0

𝑥 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋 0 ∧ 0 = min{0,0} = 0 ∈ 𝑋

Jika 𝑥 = 1

𝑥 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋 1 ∧ 1 = min{1,1} = 1 ∈ 𝑋

Jika 𝑥 = 2

𝑥 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋 2 ∧ 2 = min{2,2} = 2 ∈ 𝑋

Jika 𝑥 = 3

𝑥 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋

3 ∧ 3 = min{3,3} = 3 ∈ 𝑋


Jika 𝑥 = 0

𝑥 ∨ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋 0 ∨ 0 = min{0,0} = 0 ∈ 𝑋

Jika 𝑥 = 1

𝑥 ∨ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋 1 ∨ 1 = min{1,1} = 1 ∈ 𝑋

Jika 𝑥 = 2

𝑥 ∨ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋 2 ∨ 2 = min{2,2} = 2 ∈ 𝑋

Jika 𝑥 = 3

𝑥 ∨ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ 𝑋 3 ∨ 3 = min{3,3} = 3 ∈ 𝑋

Terbukti, operasi meet (∧) dan join (∨) pada 𝑋 berlaku sifat

idempoten yaitu

𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑥 ∨ 𝑥 ∈ 𝑋. Jadi askioma (i) terpenuhi.

14

ii. Assosiatif.

Ambil 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, dan 𝑧 = 2


(𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = min{𝑥, 𝑦} ∧ 𝑧


= min {𝑥, 𝑦, 𝑧}

= min {0,1,2}

= 0 ∈ 𝑋 dan

𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) = min {𝑥, min{y, z}


= min {0,1,2}

= 0 ∈ 𝑋

Sehingga operasi meet (∧) pada 𝑋 berlaku sifat assosiatif.

(𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = 𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) = min {𝑥, 𝑦, 𝑧}.


(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = max {𝑥, 𝑦} ∨ 𝑧


= max{0,1,2}

= 2 ∈ 𝑋 dan

𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧) = max {𝑥, max{y, z}

= max {𝑥, 𝑦, 𝑧}

= max{0,1,2}

= 2 ∈ 𝑋

sehingga operasi join (∨) pada ℤ berlaku sifat assosiatif

(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧) = max {𝑥, 𝑦, 𝑧}.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, operasi meet

(∧) dan join (∨) pada 𝑋 berlaku sifat assosiatif yaitu (𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = 𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) dan (𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧).


iii. Komutatif.

Ambil 𝑥 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 3


𝑥 ∧ 𝑦 = min{𝑥, 𝑦}

= min{2,3}

= 2 ∈ 𝑋

15

dan

𝑦 ∧ 𝑥 = min{𝑦, 𝑥}

= min{3,2} = min{2,3}

= 2 ∈ 𝑋

sehingga operasi meet (∧) pada 𝑋 berlaku sifat komutatif

𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑦}.


𝑥 ∨ 𝑦 = max{𝑥, 𝑦}

= max{2,3}

= 3 ∈ 𝑋 dan

𝑦 ∨ 𝑥 = max{𝑦, 𝑥}

= max{3,2} = max{2,3}

= 3 ∈ 𝑋

sehingga operasi join (∨) pada 𝑋 berlaku sifat komutatif

𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑦 ∨ 𝑥 = max{𝑦, 𝑥} = max{𝑥, 𝑦}.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, operasi meet (∧) dan join (∨) pada 𝑋 berlaku sifat komutatif yaitu

𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ 𝑥 dan 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑦 ∨ 𝑥.


iv. Absorbsi.

Ambil 𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 3


𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = min{𝑥, max{𝑥, 𝑦}}

= min{1, max{1,3}}

= min{1,3}

= 1 ∈ 𝑋


𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦) = max{𝑥, min{𝑥, 𝑦}}

= max{1, min{1,3}}

= min{1,1}

= 1 ∈ 𝑋

16

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, operasi meet (∧)

dan join (∨) pada 𝑋 berlaku sifat absorsi yaitu

𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = 𝑥 dan 𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦) = 𝑥.


Berdasarkan aksioma (i), (ii), (iii), dan (iv) terbukti bahwa (𝑋,∧,∨)

latis.∎

Contoh 2.4.4

Diberikan himpunan bilangan asli ℕ yang dilengkapi dua operasi biner

meet (∧) dan join (∨). Buktikan bahwa (ℕ,∧,∨) adalah latis.

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa operasi meet (∧) dan join (∨) pada ℕ

berlaku sifat-sifat di bawah ini.

i. Idempoten.

Ambil sebarang 𝑥 ∈ ℕ.


𝑥 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ ℕ,


𝑥 ∨ 𝑥 = max{𝑥, 𝑥} = 𝑥 ∈ ℕ.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥 ∈ ℕ, operasi meet (∧)

dan join (∨) pada ℕ berlaku sifat idempoten yaitu

𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℕ dan 𝑥 ∨ 𝑥 ∈ ℕ. Jadi askioma (i) terpenuhi.

ii. Assosiatif.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℕ.


(𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = min{𝑥, 𝑦} ∧ 𝑧



dan

𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) = min {𝑥, min{y, z}

= min {𝑥, 𝑦, 𝑧},

sehingga operasi meet (∧) pada ℕ berlaku sifat assosiatif

(𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = 𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) = min {𝑥, 𝑦, 𝑧}.


(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = max {𝑥, 𝑦} ∨ 𝑧


= max{𝑥, 𝑦, 𝑧}

17

dan

𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧) = max {𝑥, max{y, z}

= max {𝑥, 𝑦, 𝑧},

sehingga operasi join (∨) pada ℕ berlaku sifat assosiatif

(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧) = max {𝑥, 𝑦, 𝑧}.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℕ, operasi meet

(∧) dan join (∨) pada ℕ berlaku sifat assosiatif yaitu (𝑥 ∧ 𝑦) ∧ 𝑧 = 𝑥 ∧ (𝑦 ∧ 𝑧) dan (𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑧).


iii. Komutatif.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ.


𝑥 ∧ 𝑦 = min{𝑥, 𝑦} dan 𝑦 ∧ 𝑥 = min{𝑦, 𝑥} = min{𝑥, 𝑦},

sehingga operasi meet (∧) pada ℕ berlaku sifat komutatif

𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ 𝑥 = min{𝑥, 𝑦}.


𝑥 ∨ 𝑦 = max{𝑥, 𝑦} dan 𝑦 ∨ 𝑥 = max{𝑦, 𝑥} = max{𝑥, 𝑦},

sehingga operasi join (∨) pada ℕ berlaku sifat komutatif

𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑦 ∨ 𝑥 = max{𝑦, 𝑥} = max{𝑥, 𝑦}.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ, operasi meet

(∧) dan join (∨) pada ℕ berlaku sifat komutatif yaitu

𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ 𝑥 dan 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑦 ∨ 𝑥.


iv. Absorbsi.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ. Untuk operasi meet (∧) diperoleh

𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = min{𝑥, max{𝑥, 𝑦}} = 𝑥. Untuk operasi join (∨) diperoleh

𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦) = max{𝑥, min {𝑥, 𝑦}} = 𝑥.

Dengan cara yang sama, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ, operasi meet (∧)

dan join (∨) pada ℕ berlaku sifat absorsi yaitu

𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = 𝑥 dan 𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦) = 𝑥.


Berdasarkan aksioma (i), (ii), (iii), dan (iv) terbukti bahwa (ℕ,∧,∨)

latis.∎

18

Definisi 2.4.5 (Latis Lengkap)

Misalkan (𝐿,∧,∨) adalah latis. (𝐿,∧,∨) disebut latis lengkap jika

terdapat meet (∧) dan join (∨) pada setiap himpunan bagian L.

Meet (∧) dalam definisi latis lengkap memiliki arti batas bawah

terbesar, sedangkan join (∨) berarti batas atas terkecil.

Contoh 2.4.6

Diberikan himpunan tidak kosong 𝑋 = {0,1,2,3} adalah latis berdasarkan Contoh 2.4.3. Buktikan bahwa 𝑋 adalah latis lengkap.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa untuk setiap himpunan bagian 𝑋 terdapat meet (∧) dan join (∨).

Terdapat 16 himpunan bagian dari 𝑋 = {0,1,2,3}

{∅}

∧ {∅} = min{∅} = ∅ dan ∨ {∅} = max{∅} = ∅

{0}

∧ {0} = min{0} = 0 dan ∨ {0} = max{0} = 0

{1}

∧ {1} = min{1} = 1 dan ∨ {1} = max{1} = 1

{2}

∧ {2} = min{2} = 2 dan ∨ {2} = max{2} = 2

{3}

∧ {3} = min{3} = 3 dan ∨ {3} = max{3} = 3

{0,1}

∧ {0,1} = min{0,1} = 0 dan ∨ {0,1} = max{0,1} = 1

{0,2}

∧ {0,2} = min{0,2} = 0 dan ∨ {0,2} = max{0,2} = 2

{0,3}

∧ {0,3} = min{0,3} = 0 dan ∨ {0,3} = max{0,3} = 3

{1,2}

∧ {1,2} = min{1,2} = 1 dan ∨ {1,2} = max{1,2} = 2

{1,3}

∧ {1,3} = min{1,3} = 1 dan ∨ {1,3} = max{1,3} = 3

{2,3}

∧ {2,3} = min{2,3} = 2 dan ∨ {2,3} = max{2,3} = 3

19

{0,1,2}

∧ {0,1,2} = min{0,1,2} = 0 dan ∨ {0,1,2} = max{0,1,2} = 2

{0,1,3}

∧ {0,1,3} = min{0,1,3} = 0 dan ∨ {0,1,3} = max{0,1,2} = 3

{0,2,3}

∧ {0,2,3} = min{0,2,3} = 0 dan ∨ {0,2,3} = max{0,2,3} = 3

{1,2,3}

∧ {0,1,2} = min{1,2,3} = 1 dan ∨ {1,2,3} = max{1,2,3} = 3

{0,1,2,3}

∧ {0,1,2,3} = min{0,1,2,3} = 0 dan

∨ {0,1,2,3} = max{0,1,2,3}

Terbukti bahwa untuk setiap himpunan bagian 𝑋 terdapat meet (∧)

dan join (∨).

Jadi, 𝑋 = {0,1,2,3} adalah latis lengkap.

Contoh 2.4.7

Diberikan himpunan bilangan biasa ℕ adalah latis berdasarkan Contoh

2.4.4. Buktikan bahwa ℕ bukan merupakan latis lengkap.

Bukti.

Berdasarkan Contoh 2.4.4 biasa ℕ adalah latis. Akan tetapi bukanlah

latis lengkap karena tidak memiliki batas atas terkecil.

2.5 Grup Komutatif

Diberikan definisi dan contoh yang berhubungan dengan

grup. Definisi grup merujuk dari Bhattacharya dkk (1995).

Definisi 2.5.1 (Grup)

Misalkan 𝐺 adalah himpunan yang tidak kosong yang dilengkapi

operasi biner *. (𝐺,*) disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma

sebagai berikut.

i. Tertutup, yaitu untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺

ii. Assosiatif, yaitu untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧)

iii. Terdapat elemen identitas yaitu 𝑒 ∈ 𝐺 sehingga berlaku

(𝑥 ∗ 𝑒) = (𝑒 ∗ 𝑥) = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺

20

iv. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 memiliki invers yaitu 𝑥−1 ∈ 𝐺 sehingga

berlaku 𝑥 ∗ 𝑥−1 = 𝑥−1 ∗ 𝑥 = 𝑒

Definisi 2.5.2 (Grup Komutatif)

Misalkan 𝐺 adalah grup. (𝐺,*) disebut grup komutatif jika memenuhi

hukum komutatif.

Contoh 2.5.3

Diberikan himpunan bilangan bulat ℤ yang dilengkapi operasi biner

+. Buktikan bahwa (ℤ, +) adalah grup komutatif.

Bukti.

Akab dibuktikan bahwa (ℤ, +) adalah grup komutatif.

Akan ditunjukkan pada ℤ berlaku sifat

i. Tertutup.

Ambil sebarang 𝑥 dan 𝑦 pada ℤ.

Jika 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, maka 𝑥 + 𝑦 ∈ ℤ.

Jadi untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ memenuhi sifat tertutup.

Aksioma (i) terpenuhi.

ii. Assosiatif,

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝑧, pada ℤ.

Jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ, maka berlaku (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧).

Jadi untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ memenuhi sifat assosiatif.

Aksioma (ii) terpenuhi.

iii. Terdapat elemen identitas

Ambil sebarang 𝑥 pada ℤ.

Jika (𝑥 + 𝑒) = (𝑒 + 𝑥) = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺

Jadi elemen identitasnya adalah 0.

Aksioma (iii) terpenuhi.

iv. Memiliki invers

Ambil sebarang 𝑥 pada ℤ.

Jadi 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 𝑒

𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0

Jadi untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ memiliki invers.

Aksioma (iv) terpenuhi.

v. Berlaku hukum komutatif

Ambil sebarang 𝑥 dan 𝑦 pada ℤ

Jika 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, maka 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ∈ ℤ.

21

Jadi untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ berlaku hukum komutatif.

Aksioma (v) terpenuhi

Berdasarkan (i), (ii), (iii), (iv) dan (v) terbukti (ℤ, +) adalah grup

komutatif. ∎

2.6 BN-Aljabar

Skripsi ini membahas definisi BN-Aljabar dengan elemen

khusus dari BN-Aljabar adalah 0. Definisi dan contoh yang

berhubungan dengan BN-Aljabar merujuk dari Grzegorz Dymek dan

Andrzej Walendziak (2013).

Definisi 2.6.1 (BN-Aljabar)

Misalkan X adalah himpunan tidak kosong yang dilengkapi operasi

biner dan 0 sebagai elemen khususnya selanjutnya dinotasikan

dengan ( 𝑋,∗ ,0). ( 𝑋,∗ ,0) disebut BN-Aljabar jika memenuhi

aksioma-aksioma sebagai berikut.

i. 𝑥 ∗ 𝑥 = 0, ii. 𝑥 ∗ 0 = 𝑥,

iii. (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥), untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Contoh 2.6.2

Diberikan himpunan tidak kosong 𝑋 = {0,1,2,3} yang dilengkapi

operasi biner * seperti pada tabel sebagai berikut..

Tabel 2.1 Operasi biner * pada X

* 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 0 1 1

2 2 1 0 1

3 3 1 1 0

Buktikan bahwa himpunan X adalah BN-Aljabar.

Bukti.

Akan dibuktikan( 𝑋,∗ ,0) adalah BN-Aljabar .

i. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 memenuhi 𝑥 ∗ 𝑥 = 0. Berdasarkan Tabel 2.1, dapat ditunjukkan bahwa

untuk 𝑥 = 0, jelas bahwa 𝑥 ∗ 𝑥 = 0 ∗ 0 = 0


22



Jadi untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 memenuhi 𝑥 ∗ 𝑥 = 0.


ii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 memenuhi 𝑥 ∗ 0 = 𝑥. Berdasarkan Tabel 2.1, dapat ditunjukkan bahwa

untuk 𝑥 = 0, jelas bahwa 𝑥 ∗ 0 = 0 ∗ 0 = 0




Jadi untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 memenuhi 𝑥 ∗ 0 = 𝑥.


iii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 memenuhi

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥),

Berdasarkan Tabel 2.1, dapat ditunjukkan bahwa

untuk 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, dan 𝑧 = 3, jelas bahwa

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (1 ∗ 2) ∗ 3

= 1 ∗ 3

= 1,

(0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) = (0 ∗ 3) ∗ (2 ∗ 1)

= 3 ∗ 1

= 1,

dengan cara yang sama untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 memenuhi (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥),

Jadi aksioma (iii) terpenuhi.

Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti ( 𝑋,∗ ,0) adalah BN-

Aljabar. ∎

Contoh 2.6.3

Diberikan ℝ himpunan bilangan riil yang dilengkapi operasi biner *

dan elemen khusus 0. Buktikan (ℝ,∗ ,0) yang mengikuti ketentuan di

𝑥 ∗ 𝑦 = {

𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 = 0𝑦, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 0

0, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑛𝑦𝑎.

adalah BN-Aljabar.

23

Bukti.

Akan dibuktikan(ℝ ,∗ ,0) adalah BN-Aljabar .

i. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ memenuhi 𝑥 ∗ 𝑥 = 0. Berdasarkan ketentuan di atas, bahwa 𝑥 ∗ 𝑥 = 0.

Jadi untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ memenuhi 𝑥 ∗ 𝑥 = 0.


ii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ memenuhi 𝑥 ∗ 0 = 𝑥. Berdasarkan ketentuan di atas, dapat dilihat jika

𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥, jika 𝑦 = 0

𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦, jika 𝑥 = 0

Jadi untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ memenuhi 𝑥 ∗ 0 = 𝑥.


iii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ memenuhi

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥),

Berdasarkan ketentuan yang telah tersebutkan, dapat

ditunjukkan bahwa (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥),

untuk 𝑥 = 0

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧

= 𝑦 ∗ 𝑧 (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 0)

= 𝑧 ∗ 𝑦

untuk 𝑦 = 0

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (𝑥 ∗ 0) ∗ 𝑧

= 𝑥 ∗ 𝑧

(0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) = (0 ∗ 𝑧) ∗ (0 ∗ 𝑥)

= 𝑧 ∗ 𝑥

untuk 𝑥 ≥ 1 dan 𝑥 ≤ −1

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 0 ∗ 𝑧

= 𝑧 (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) = z ∗ 0

= 𝑧

untuk 𝑦 ≥ 1 dan 𝑦 ≤ −1

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 0 ∗ 𝑧

= 𝑧

(0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) = 𝑧 ∗ 0

= 𝑧 Jadi aksioma (iii) terpenuhi.

24

Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti ( 𝑋,∗ ,0) adalah BN-

Aljabar. ∎

Contoh 2.6.4

Diberikan (ℤ, +) adalah grup komutatif berdasarkan Contoh 2.5.3.

Jika didefinisikan 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, maka

buktikan (ℤ, −,0) adalah BN-Aljabar.

Bukti.

Akan dibuktikan(ℤ , −,0) adalah BN-Aljabar .

i. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ memenuhi 𝑥 ∗ 𝑥 = 0. Ambil sebarang 𝑥 ∈ ℤ.

Berdasarkan ketentuan di atas bahwa 𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0.

Jadi untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ memenuhi 𝑥 ∗ 𝑥 = 0.


ii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ memenuhi 𝑥 ∗ 0 = 𝑥. Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ.

Berdasarkan ketentuan di atas, bahwa 𝑥 ∗ 0 = 𝑥 − 0 = 0.

Jadi untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ memenuhi 𝑥 ∗ 0 = 0.


iii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ memenuhi (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥),

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ.

Berdasarkan ketentuan yang telah tersebutkan, dapat

ditunjukkan bahwa (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥)

(𝑥 − 𝑦) − 𝑧 = (0 − 𝑧) − (𝑦 − 𝑥)

dengan cara yang sama untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ memenuhi

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥),


Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti (ℤ , −,0) adalah BN-

Aljabar. ∎

BN-Aljabar ( 𝑋,∗ ,0) dinotasikan dengan 𝒜 untuk penulisan

berikutnya.

25

Contoh 2.6.5

Diberikan ℝ himpunan bilangan riil yang dilengkapi operasi biner *

dan elemen khusus 0. Buktikan (ℝ,∗ ,0) adalah BN-Aljabar dengan

ketentuan 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) adalah BN-Aljabar

Bukti.

Akan dibuktikan(ℝ ,∗ ,0) adalah BN-Aljabar .

i. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑎 ∈ ℝ memenuhi 𝑎 ∗ 𝑎 = 0. Berdasarkan ketentuan di atas, didapatkan bahwa

𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 + (−𝑎) = 0

Jadi untuk setiap 𝑎 ∈ ℝ memenuhi 𝑎 ∗ 𝑎 = 0.


ii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑎 ∈ ℝ memenuhi 𝑎 ∗ 0 = 𝑎. Berdasarkan ketentuan di atas, didapatkan bahwa

𝑎 ∗ 0 = 𝑎 + (−0) = 𝑎

Jadi untuk setiap 𝑎 ∈ ℝ memenuhi 𝑎 ∗ 0 = 𝑎.


iii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ memenuhi (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = (0 ∗ 𝑐) ∗ (𝑎 ∗ 𝑏),

Berdasarkan ketentuan yang telah tersebutkan, akan ditunjukkan

bahwa (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = (0 ∗ 𝑐) ∗ (𝑎 ∗ 𝑏)

(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = (𝑎 + (−𝑏)) + (−𝑐)

(0 ∗ 𝑐) ∗ (𝑎 ∗ 𝑏) = (0 + (−𝑐)) + (−(𝑏 + (−𝑎)))

= (0 + (−𝑐)) + ((−𝑏) + 𝑎)

= (0 + (−𝑐)) + ((−𝑏) + 𝑎)

= (𝑎 + (−𝑏)) + (−𝑐)


Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti (ℝ ,∗ ,0) di mana 𝑎 ∗ 𝑏 =𝑎 + (−𝑏) adalah BN-Aljabar. ∎

Proposisi 2.6.6

Jika ( 𝑋,∗ ,0) adalah BN-Aljabar, maka untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋

berlaku:

i. 0 ∗ (0 ∗ 𝑥) = 𝑥,

ii. (𝑦 ∗ 𝑥) = (0 ∗ 𝑥) ∗ (0 ∗ 𝑦),

iii. (0 ∗ 𝑥) ∗ 𝑦 = (0 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥,

iv. (𝑥 ∗ 𝑦) = 0 ⟹ 𝑦 ∗ 𝑥 = 0,

26

v. (0 ∗ 𝑥) − (0 ∗ 𝑦) = 𝑥 − 𝑦,

vi. 0 ∗ 𝑥 = 0 ∗ 𝑦 ⟹ 𝑥 = 𝑦

Bukti.

i. Akan ditunjukkan bahwa 0 ∗ (0 ∗ 𝑥) = 𝑥.

Perhatikan aksioma (iii) pada Definisi 2.6.1 yaitu

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥).

Misalkan 𝑦 ∶= 0, dan 𝑧 ∶= 0,

jadi (𝑥 ∗ 0) ∗ 0 = (0 ∗ 0) ∗ (0 ∗ 𝑥),

dengan menggunakan aksioma (i) dan (ii) pada Definisi 2.6.1

diperoleh

𝑥 ∗ 0 = 0 ∗ (0 ∗ 𝑥)

𝑥 = 0 ∗ (0 ∗ 𝑥).

Jadi pembuktian sifat (i) yaitu 0 ∗ (0 ∗ 𝑥) = 𝑥 terpenuhi.

ii. Akan ditunjukkan bahwa (𝑦 ∗ 𝑥) = (0 ∗ 𝑥) ∗ (0 ∗ 𝑦).

Perhatikan aksioma (iii) pada Definisi 2.6.1 yaitu

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥).

Berdasarkan aksioma (ii) dan (iii) pada Definisi 2.6.1 diperoleh

(𝑦 ∗ 𝑥) = (𝑦 ∗ 0) ∗ 𝑥

= (0 ∗ 𝑥) ∗ (0 ∗ 𝑦)

Jadi pembuktian sifat (ii) yaitu (𝑦 ∗ 𝑥) = (0 ∗ 𝑥) ∗ (0 ∗ 𝑦)

terpenuhi.

iii. Akan ditunjukkan bahwa (0 ∗ 𝑥) ∗ 𝑦 = (0 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥.

Perhatikan aksioma (iii) pada Definisi 2.6.1 yaitu (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥).

Berdasarkan aksioma (ii) dan (iii) pada Definisi 2.6.1

diperoleh

(0 ∗ 𝑥) ∗ 𝑦 = (0 ∗ 𝑦) ∗ (𝑥 ∗ 0)

= (0 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥.

Jadi pembuktian sifat (iii) yaitu (0 ∗ 𝑥) ∗ 𝑦 = (0 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥

terpenuhi.

iv. Akan dibuktikan bahwa (𝑥 ∗ 𝑦) = 0 ⟹ 𝑦 ∗ 𝑥 = 0.

Perhatikan aksioma (iii) pada Definisi 2.6.1 yaitu (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = (0 ∗ 𝑧) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥).

Misalkan 𝑧 ∶= 0, jadi (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 0 = (0 ∗ 0) ∗ (𝑦 ∗ 𝑥)

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 0 = 0 ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) (𝑥 ∗ 𝑦) = (𝑦 ∗ 𝑥)

27

Jadi pembuktian sifat (iv) yaitu (𝑥 ∗ 𝑦) = 0 ⟹ 𝑦 ∗ 𝑥 = 0

terpenuhi

v. Akan dibuktikan bahwa (0 ∗ 𝑥) − (0 ∗ 𝑦) = 𝑥 − 𝑦.

Berdasarkan sifat (i) diperoleh

𝑥 = 0 ∗ (0 ∗ 𝑥) dan

𝑦 = 0 ∗ (0 ∗ 𝑦) Jadi,

0 ∗ 𝑥 = 0 ∗ 0 ∗ (0 ∗ 𝑥)

= 0 ∗ (0 ∗ 𝑥)

= 𝑥

0 ∗ 𝑦 = 0 ∗ 0 ∗ (0 ∗ 𝑦)

= 0 ∗ (0 ∗ 𝑦)

= 𝑦

Jadi pembuktian sifat (v) yaitu (0 ∗ 𝑥) − (0 ∗ 𝑦) = 𝑥 − 𝑦.

vi. Akan dibuktikan bahwa 0 ∗ 𝑥 = 0 ∗ 𝑦 ⟹ 𝑥 = 𝑦.

Berdasarkan Proposisi 2.6.5 poin (i) diketahui 0 ∗ (0 ∗ 𝑥) = 𝑥.

Jadi

0 ∗ 𝑥 = 0 ∗ 0 ∗ (0 ∗ 𝑥)

= 0 ∗ (0 ∗ 𝑥)

= 𝑥

0 ∗ 𝑦 = 0 ∗ 0 ∗ (0 ∗ 𝑦)

= 0 ∗ (0 ∗ 𝑦)

= 𝑦

Jadi pembuktian sifat (vi) yaitu terpenuhi 0 ∗ 𝑥 = 0 ∗ 𝑦 ⟹ 𝑥 = 𝑦.∎

2.7 Ideal pada BN-Aljabar

Ideal pada BN-Aljabar dan hal yang berkaitan diberikan

dengan rujukan dari Grzegorz Dymek dan Andrzej Walendziak

(2013).

Definisi 2.7.1 (Ideal pada BN-Aljabar)

Misalkan 𝒜 = ( 𝑋,∗ ,0) dan I adalah himpunan bagian dari 𝑋.

𝐼 disebut ideal pada 𝒜 jika memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini:

i. 0 ∈ 𝐼

ii. Jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼 dan 𝑦 ∈ 𝐼, maka 𝑥 ∈ 𝐼, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

28

Contoh 2.7.2

Diberikan 𝒜 = ( 𝑋,∗ ,0) berdasarkan Contoh 2.6.2.. Buktikan bahwa

himpunan-himpunan bagian 𝐼1 = {0}, 𝐼2 = {0,2}, 𝐼3 = {0,2,3}, 𝐼4 = {0,1,2,3} 𝐼5 = {0,1}, 𝐼6 = {0,3} 𝑑𝑎𝑛 𝐼7 = {0,1,2} adalah

ideal pada 𝒜.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3, dan 𝐼4 memenuhi aksioma (i) dan

(ii).

Akan dibuktikan bahwa 𝐼1 = {0}, memenuhi aksioma (i) dan (ii).

i. Akan ditunjukkan 0 ∈ 𝐼1,

Karena 𝐼1 = {0} terlihat bahwa 0 ∈ 𝐼1.

Jadi aksioma (i) terpenuhi.

ii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 memenuhi

Jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼1 dan 𝑦 ∈ 𝐼1, berakibat 𝑥 ∈ 𝐼1

Dikarenakan 𝐼1 = {0}, hanya memiliki 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 0.

Karena 𝑥 ∗ 𝑦 = 0 ∈ 𝐼 dan 𝑦 = 0 ∈ 𝐼, maka 𝑥 = 0 ∈ 𝐼.

Jadi aksioma (ii) terpenuhi.

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝐼1 = {0}, adalah ideal pada

𝒜.

Akan dibuktikan bahwa 𝐼2 = {0,2} memenuhi aksioma (i) dan (ii)

i. Akan ditunjukkan 0 ∈ 𝐼2.

Karena 𝐼2 = {0,2}, terlihat bahwa 0 ∈ 𝐼2.



Jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼2 dan 𝑦 ∈ 𝐼2, maka 𝑥 ∈ 𝐼2.

Tabel 2.2 Hasil jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼2 dan 𝑦 ∈ 𝐼2, maka 𝑥 ∈ 𝐼2

𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝐼2 𝒚 ∈ 𝐼2 𝑥 ∈ 𝐼2

0 ∗ 0 = 0 ∈ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2

0 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2

0 ∗ 2 = 2 ∈ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2

0 ∗ 3 = 3 ∉ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2

1 ∗ 0 = 1 ∉ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2

1 ∗ 1 = 0 ∈ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2

1 ∗ 2 = 1 ∉ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2

29

𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝐼2 𝒚 ∈ 𝐼2 𝑥 ∈ 𝐼2

1 ∗ 3 = 1 ∉ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2

2 ∗ 0 = 2 ∈ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2

2 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2

2 ∗ 2 = 0 ∈ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2

2 ∗ 3 = 1 ∉ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2

3 ∗ 0 = 3 ∉ 𝐼2 0 ∈ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2

3 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼2 1 ∉ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2

3 ∗ 2 = 1 ∉ 𝐼2 2 ∈ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2

3 ∗ 3 = 0 ∈ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2 3 ∉ 𝐼2

Dari Tabel 2.2, terlihat jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼2 dan 𝑦 ∈ 𝐼2, maka 𝑥 ∈ 𝐼2.


Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝐼2 = {0,2} adalah ideal pada

𝒜.

Akan dibuktikan bahwa 𝐼3 = {0,2,3} memenuhi aksioma (i) dan (ii)

i. Akan ditunjukkan 0 ∈ 𝐼3. Karena 𝐼3 = {0,2,3} terlihat bahwa 0 ∈ 𝐼3.



Jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼3 dan 𝑦 ∈ 𝐼3, maka 𝑥 ∈ 𝐼3

Tabel 2.3 Hasil Jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼3 dan 𝑦 ∈ 𝐼3, maka 𝑥 ∈ 𝐼3

𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝐼3 𝒚 ∈ 𝐼3 𝒙 ∈ 𝐼3

0 ∗ 0 = 0 ∈ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3

0 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3

0 ∗ 2 = 2 ∈ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3

0 ∗ 3 = 3 ∈ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3

1 ∗ 0 = 1 ∉ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3

1 ∗ 1 = 0 ∈ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3

1 ∗ 2 = 1 ∉ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3

1 ∗ 3 = 1 ∉ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3

2 ∗ 0 = 2 ∈ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3

2 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3

2 ∗ 2 = 0 ∈ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3

2 ∗ 3 = 1 ∉ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3

30

𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝑰𝟑 𝒚 ∈ 𝑰𝟑 𝒙 ∈ 𝑰𝟑

3 ∗ 0 = 3 ∈ 𝐼3 0 ∈ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3

3 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼3 1 ∉ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3

3 ∗ 2 = 1 ∉ 𝐼3 2 ∈ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3

3 ∗ 3 = 0 ∈ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3 3 ∈ 𝐼3



Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝐼3 = {0,2,3} adalah ideal pada

𝒜.

Akan dibuktikan bahwa 𝐼4 = {0,1,2,3} memenuhi aksioma (i) dan

(ii) berikut.

i. Akan ditunjukkan 0 ∈ 𝐼4

Karena 𝐼4 = {0,1,2,3} , terlihat bahwa 0 ∈ 𝐼4.





𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝑰𝟒 𝒚 ∈ 𝑰𝟒 𝒙 ∈ 𝑰𝟒

0 ∗ 0 = 0 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4

0 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4

0 ∗ 2 = 2 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4

0 ∗ 3 = 3 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4

1 ∗ 0 = 1 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4

1 ∗ 1 = 0 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4

1 ∗ 2 = 1 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4

1 ∗ 3 = 1 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4

2 ∗ 0 = 2 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4

2 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4

2 ∗ 2 = 0 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4

2 ∗ 3 = 1 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4

3 ∗ 0 = 3 ∈ 𝐼4 0 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4

3 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼4 1 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4

3 ∗ 2 = 1 ∈ 𝐼4 2 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4

3 ∗ 3 = 0 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4 3 ∈ 𝐼4

31



Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝐼4 = {0,1,2,3} adalah ideal

pada 𝒜.



Karena 𝐼5 = {0,1} , terlihat bahwa 0 ∈ 𝐼5.


iii. Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 memenuhi



𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝑰𝟓 𝒚 ∈ 𝑰𝟓 𝒙 ∈ 𝑰𝟓

0 ∗ 0 = 0 ∈ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5

0 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5

0 ∗ 2 = 2 ∉ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5

0 ∗ 3 = 3 ∉ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5

1 ∗ 0 = 1 ∈ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5

1 ∗ 1 = 0 ∈ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5

1 ∗ 2 = 1 ∈ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5

1 ∗ 3 = 1 ∈ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5

2 ∗ 0 = 2 ∉ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5

2 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5

2 ∗ 2 = 0 ∈ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5

2 ∗ 3 = 1 ∈ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5

3 ∗ 0 = 3 ∉ 𝐼5 0 ∈ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5

3 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼5 1 ∈ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5

3 ∗ 2 = 1 ∈ 𝐼5 2 ∉ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5

3 ∗ 3 = 0 ∈ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5 3 ∉ 𝐼5

Dari Tabel 2.5, ternyata dapat terlihat jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼5 tidak seluruhnya

𝑦 ∈ 𝐼5. Sehingga terdapat 𝑥 ∉ 𝐼5.

Jadi aksioma (ii) tidak terpenuhi.

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝐼5 = {0,1} tidak ideal pada

𝒜.∎

32



Karena 𝐼6 = {0,3} , terlihat bahwa 0 ∈ 𝐼5.





𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝑰𝟔 𝒚 ∈ 𝑰𝟔 𝒙 ∈ 𝑰𝟔

0 ∗ 0 = 0 ∈ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6

0 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6

0 ∗ 2 = 2 ∉ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6

0 ∗ 3 = 3 ∈ 𝐼6 3 ∈ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6

1 ∗ 0 = 1 ∉ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6

1 ∗ 1 = 0 ∈ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6

1 ∗ 2 = 1 ∉ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6

1 ∗ 3 = 1 ∉ 𝐼6 3 ∉ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6

2 ∗ 0 = 2 ∉ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6

2 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6

2 ∗ 2 = 0 ∈ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6

2 ∗ 3 = 1 ∉ 𝐼6 3 ∉ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6

3 ∗ 0 = 3 ∈ 𝐼6 0 ∈ 𝐼6 3 ∈ 𝐼6

3 ∗ 1 = 1 ∉ 𝐼6 1 ∉ 𝐼6 3 ∈ 𝐼6

3 ∗ 2 = 1 ∉ 𝐼6 2 ∉ 𝐼6 3 ∈ 𝐼6

3 ∗ 3 = 0 ∈ 𝐼6 3 ∈ 𝐼6 3 ∈ 𝐼6

Dari Tabel 2.6, terlihat jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼6 dan 𝑦 ∈ 𝐼6𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 ∈ 𝐼6.


Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝐼6 = {0,3} ideal pada 𝒜.∎

33

Akan dibuktikan bahwa 𝐼7 = {0,1,2} memenuhi aksioma (i) dan (ii)


Karena 𝐼7 = {0,1,2} , terlihat bahwa 0 ∈ 𝐼7.





𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝑰𝟕 𝒚 ∈ 𝑰𝟕 𝒙 ∈ 𝑰𝟕

0 ∗ 0 = 0 ∈ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7

0 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7

0 ∗ 2 = 2 ∈ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7

0 ∗ 3 = 3 ∉ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7

1 ∗ 0 = 1 ∈ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7

1 ∗ 1 = 0 ∈ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7

1 ∗ 2 = 1 ∈ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7

1 ∗ 3 = 1 ∈ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7

2 ∗ 0 = 2 ∈ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7

2 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7

2 ∗ 2 = 0 ∈ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7

2 ∗ 3 = 1 ∈ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7

3 ∗ 0 = 3 ∉ 𝐼7 0 ∈ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7

3 ∗ 1 = 1 ∈ 𝐼7 1 ∈ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7

3 ∗ 2 = 1 ∈ 𝐼7 2 ∈ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7

3 ∗ 3 = 0 ∈ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7 3 ∉ 𝐼7

Dari Tabel 2.7, ternyata dapat terlihat jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼7 tidak seluruhnya

𝑦 ∈ 𝐼7. Sehingga terdapat 𝑥 ∉ 𝐼5.


Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝐼7 = {0,1,2} tidak ideal pada

𝒜.∎

Jadi. Himpunan-himpunan bagian

𝐼1 = {0}, 𝐼2 = {0,2}, 𝐼3 = {0,2,3}, 𝐼4 = {0,1,2,3} 𝑑𝑎𝑛 𝐼6 = {0,3} adalah ideal pada 𝒜.

34

Sedangkan himpunan bagian 𝐼5 = {0,1} 𝑑𝑎𝑛 𝐼7 = {0,1,2} bukanlah

ideal pada 𝒜.

Untuk menyatakan himpunan semua ideal pada 𝒜 dinotasikan

dengan Id(𝒜).

Id(𝒜) = {{0}, {0,2}, {0,2,3}, {0,1,2,3} 𝑑𝑎𝑛 {0,3}}

Proposisi 2.7.3

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝐼 adalah ideal pada 𝒜 untuk setiap

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Jika 𝑥 ≤ 𝑦 dan 𝑦 ∈ 𝐼, maka 𝑥 ∈ 𝐼. Bukti.

Diketahui 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝐼 adalah ideal pada 𝒜.

Akan dibuktikan jika 𝑥 ≤ 𝑦 dan 𝑦 ∈ 𝐼, maka 𝑥 ∈ 𝐼. Jika 𝑥 ≤ 𝑦, maka sesuai dengan pendefinisian relasi biner di 𝑋 pada

𝒜, maka 𝑥 ∗ 𝑦 = 0. Dikarenakan 𝑥 ∗ 𝑦 = 0 ∈ 𝐼 dan 𝑦 ∈ 𝐼, maka 𝑥 ∈ 𝐼. ∎

Definisi 2.7.4 (Barisan Ideal Naik Tegas pada BN-Aljabar)

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝐼1, 𝐼2, … 𝐼𝑛 adalah ideal-ideal pada 𝒜.

Barisan ideal 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑛 disebut barisan ideal naik tegas pada

𝒜.

Contoh 2.7.5

Diberikan –himpunan bagian 𝐼1 = {0}, 𝐼2 = {0,2}, 𝐼3 = {0,2,3}, dan

𝐼4 = {0,1,2,3} adalah ideal pada 𝒜 berdasarkan Contoh 2.7.2.

Buktikan bahwa 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ 𝐼3 ⊂ 𝐼4 adalah barisan ideal naik tegas

pada 𝒜. Bukti.

Telah terbukti bahwa 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3, dan 𝐼4 adalah ideal pada 𝒜 .

Barisan

𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ 𝐼3 ⊂ 𝐼4 = {0} ⊂ {0,2} ⊂ {0,2,3} ⊂ {0,1,2,3}

Adalah barisan ideal naik tegas pada 𝒜.

35

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas beberapa definisi, contoh, dan teorema

tentang ideal fuzzy pada BN-Aljabar dan sifat-sifatnya.

3.1 Ideal Fuzzy pada BN-Aljabar

Definisi 3.1.1

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan himpunan 𝜇 di X adalah himpunan fuzzy

pada 𝒜. 𝜇 disebut ideal fuzzy pada 𝒜, jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku:

i. 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), ii. 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦).

Contoh 3.1.2

Diberikan 𝒜 = ( 𝑋,∗ ,0) berdasarkan Contoh 2.6.2 dan

𝜇 = {(0, 𝛼1), (1, 𝛼3), (2, 𝛼2), (3, 𝛼3)} adalah himpunan fuzzy pada 𝒜

yang fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut

𝜇(𝑥) = {

𝛼1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 0𝛼2, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 2

𝛼3, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ∈ {1,3}

dengan 0 ≤ 𝛼3 ≤ 𝛼2 ≤ 𝛼1 ≤ 1. Buktikan bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy

pada 𝒜.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜.

i. Akan dibuktikan bahwa 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) terpenuhi.

Tabel 3.1 Hasil 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝒙 𝝁(𝒙) 𝝁(𝟎) ≥ 𝝁(𝒙)

0 𝜇(0) = 𝛼1 𝛼1 ≥ 𝛼1

1 𝜇(1) = 𝛼3 𝛼1 ≥ 𝛼3

2 𝜇(2) = 𝛼2 𝛼1 ≥ 𝛼2

3 𝜇(3) = 𝛼3 𝛼1 ≥ 𝛼3

36

Dari Tabel 3.1, jadi aksioma (i) terpenuhi.

ii. Akan dibuktikan bahwa 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) terpenuhi.

Tabel 3.2 Hasil operasi 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦)

𝒙 𝒚 𝒙 ∗ 𝒚 𝝁(𝒙) ≥ 𝝁(𝒙 ∗ 𝒚) ∧ 𝝁(𝒚) 0 0 0 𝜇(0) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(0)

𝛼1 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼1

𝛼1 ≥ 𝛼1

0 1 1 𝜇(0) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(1) 𝛼1 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼1 ≥ 𝛼3

0 2 2 𝜇(0) ≥ 𝜇(2) ∧ 𝜇(2) 𝛼1 ≥ 𝛼2 ∧ 𝛼2

𝛼1 ≥ 𝛼2

0 3 3 𝜇(0) ≥ 𝜇(3) ∧ 𝜇(3) 𝛼1 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼1 ≥ 𝛼3

1 0 1 𝜇(1) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(0) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼1

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 1 0 𝜇(1) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(1) 𝛼3 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 2 1 𝜇(1) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(2) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼2

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 3 1 𝜇(1) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(3) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

2 0 2 𝜇(2) ≥ 𝜇(2) ∧ 𝜇(0) 𝛼2 ≥ 𝛼2 ∧ 𝛼1

𝛼2 ≥ 𝛼2

2 1 1 𝜇(2) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(1) 𝛼2 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼2 ≥ 𝛼3

37

Dari Tabel 3.2 terbukti bahwa 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦). Jadi aksioma (ii) terpenuhi untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Berdasarkan aksioma (i) dan (ii) terbukti bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy

pada 𝒜.∎

Contoh 3.1.3

Diberikan 𝒜 = ( 𝑋,∗ ,0) berdasarkan Contoh 2.6.2 dan I adalah ideal

pada 𝒜. 𝜇 di 𝐼 adalah himpunan fuzzy pada 𝒜 dan didefinisikan

fungsi keanggotaannya sebagai berikut

𝜇𝐼(𝑥) = {𝛼, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ∈ 𝐼𝛽, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎.

Dengan 𝛼 ≥ 𝛽 dan bernilai [0,1]. Buktikan bahwa 𝜇 adalah ideal

fuzzy.

x 𝒚 𝒙 ∗ 𝒚 𝝁(𝒙) ≥ 𝝁(𝒙 ∗ 𝒚) ∧ 𝝁(𝒚) 2 2 0 𝜇(2) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(2)

𝛼2 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼2

𝛼2 ≥ 𝛼2

2 3 1 𝜇(2) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(3) 𝛼2 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼2 ≥ 𝛼3

3 0 3 𝜇(3) ≥ 𝜇(3) ∧ 𝜇(0) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼1

𝛼3 ≥ 𝛼3

3 1 1 𝜇(3) ≥ 𝜇(3) ∧ 𝜇(0) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼1

𝛼3 ≥ 𝛼3

3 2 1 𝜇(3) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(2) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼2

𝛼3 ≥ 𝛼3

3 3 0 𝜇(3) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(3) 𝛼3 ≥ 𝛼2 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

38

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy


Dikarenakan I adalah ideal pada 𝒜, maka 0 ∈ 𝐼. Berdasarkan fungsi keanggotaan yang telah tersebutkan

sebelumnya,

Jika 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝜇(𝑥) = 𝛼. Terlihat bahwa

Jika 𝑥 ∈ 𝐼 Maka 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥)

𝛼 ≥ 𝛼

Jika 𝑥 ∉ 𝐼 Maka 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥)

𝛼 ≥ 𝛽 Jadi aksioma (i) terpenuhi.


Jika 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝜇(𝑥) = 𝛼. Jadi 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦)

𝛼 ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) Kemudian jika 𝑥 ∉ 𝐼, Berdasarkan definisi ideal pada 𝒜, yaitu jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∉ 𝐼 atau

𝑦 ∉ 𝐼, maka 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) = 𝛽.

Sehinnga untuk askioma

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) 𝛼 ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦)

𝛼 ≥ 𝛽

Terbukti bahwa 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) Jadi aksioma (ii) terpenuhi.

Berdasarkan pembuktian diatas, aksioma (i) dan aksioma (ii)

terpenuhi. Jadi terbukti bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy. ∎

Contoh 3.1.4

Diberikan 𝒜 = (ℤ, −,0) berdasarkan Contoh 2.6.4 dan himpunan

fuzzy 𝜇 didefinisikan fungsi keanggotaannya sebagai berikut

𝜇(𝑥) = {𝛼1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 0𝛼2, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≠ 0

39

dengan 0 ≤ 𝛼2 ≤ 𝛼1 ≤ 1. Buktikan bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy pada

𝒜.

Bukti.



Jika 𝑥 = 0, maka 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝜇(𝛼1) ≥ 𝜇(𝛼1) Jika 𝑥 ≠ 0, maka 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥)

𝜇(𝛼1) ≥ 𝜇(𝛼2) Terbukti bahwa 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) terpenuhi.

Askioma (i) terpenuhi.


Jika 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 0, maka

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 − 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦)

𝜇(𝛼1) ≥ 𝜇(𝛼1) ∧ 𝜇(𝛼1) 𝜇(𝛼1) ≥ 𝜇(𝛼1)

Jika 𝑥 = 0 dan 𝑦 ≠ 0, maka

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 − 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) 𝜇(𝛼1) ≥ 𝜇(𝛼2) ∧ 𝜇(𝛼2) 𝜇(𝛼1) ≥ 𝜇(𝛼2)

Jika 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≠ 0, maka

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 − 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) 𝜇(𝛼2) ≥ 𝜇(𝛼2) ∧ 𝜇(𝛼2) 𝜇(𝛼2) ≥ 𝜇(𝛼2)

Terbukti bahwa 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) terpenuhi.

Askioma (ii) terpenuhi.

Sehingga terbukti bahwa (ℤ,−,0) adalah ideal fuzzy pada 𝒜.

Contoh 3.1.5

Diberikan 𝒜 = (ℝ,∗ ,0) berdasarkan Contoh 2.6.3 dan himpunan

fuzzy 𝜇 didefinisikan fungsi keanggotaannya sebagai berikut.

40

𝜇(𝑥) = {

1

|𝑥|, 𝑗𝑖𝑘𝑎 |𝑥| > 1

|𝑥|, 𝑗𝑖𝑘𝑎 |𝑥| ≤ 1

Buktikan apakah 𝜇 merupakan ideal fuzzy pada 𝒜? Bukti.



Untuk 𝑥 = 0

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝜇(0) ≥ 𝜇(0) 0 ≥ 0

Untuk 𝑥 > 1

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥)

0 ≥1

|𝑥|

0 ≱1

𝑥

Untuk 𝑥 < −1

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥)

0 ≥1

|𝑥|

0 ≱1

𝑥

Untuk 𝑥 = 1

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 0 ≥ |𝑥| 0 ≱ 𝑥

Untuk 𝑥 = −1

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 0 ≥ |𝑥| 0 ≱ 𝑥

Berdasarkan pada pembuktian aksioma (i) dapat dilihat

bahwa tidak memenuhi.

Sehingga 𝜇 tidak merupakan ideal fuzzy pada 𝒜.∎

41

3.2 Sifat-sifat Ideal Fuzzy pada BN-Aljabar

Sifat-sifat ideal fuzzy pada BN-Aljabar diberikan sebagai berikut.

Proposisi 3.2.1

Misalkan 𝓐 = (𝑿,∗, 𝟎) dan 𝝁 adalah ideal fuzzy pada 𝓐. Jika 𝒙 ≤ 𝒚,

maka 𝝁(𝒙) ≤ 𝝁(𝒚) untuk setiap 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑿.

Bukti.

Diketahui 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜.

Akan dibuktikan jika 𝑥 ≤ 𝑦, maka 𝜇(𝑥) ≤ 𝜇(𝑦), untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

Jika 𝑥 ≤ 𝑦, maka 𝑥 ∗ 𝑦 = 0. Berdasarkan Proporsisi 2.6.6 poin (iv), berlaku

𝑥 ∗ 𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 ∗ 𝑥 = 0 Kemudian berdasarkan ketentuan pada Definisi 3.1.1 yaitu

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) dan hasil perolehan dari Proporsisi 2.6.6 poin (iv) yakni 𝑦 ∗ 𝑥 = 0, diperoleh

𝜇(𝑦) ≥ 𝜇(𝑦 ∗ 𝑥) ∧ 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(𝑥)

𝜇(𝑦) ≥ 𝜇(𝑥), atau

𝜇(𝑥) ≤ 𝜇(𝑦).

Berdasarkan pembuktian, terbukti jika 𝒙 ≤ 𝒚, maka 𝝁(𝒙) ≤ 𝝁(𝒚) untuk setiap 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑿. ∎

Contoh 3.2.2

Diberikan 𝒜 = ( 𝑋,∗ ,0) berdasarkan Contoh 2.6.2 dan 𝜇 adalah ideal

fuzzy pada 𝒜 berdasarkan Contoh 3.1.2. Buktikan jika 𝑥 ≤ 𝑦, maka

𝜇(𝑥) ≤ 𝜇(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

Bukti.

Tabel 3.3 Hasil operasi 𝝁(𝒚) ≥ 𝝁(𝒚 ∗ 𝒙) ∧ 𝝁(𝒙) 𝒙 𝒚 𝒙 ∗ 𝒚 𝝁(𝒚) ≥ 𝝁(𝒚 ∗ 𝒙) ∧ 𝝁(𝒙) 0 0 0 𝜇(0) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(0)

𝛼1 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼1

𝛼1 ≥ 𝛼1

𝛼1 ≤ 𝛼1

42

Dari Tabel 3.3, terbukti jika 𝑥 ≤ 𝑦, maka 𝜇(𝑥) ≤ 𝜇(𝑦), untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

Himpunan semua ideal fuzzy pada 𝒜, dinotasikan menjadi

ℱId(𝒜) untuk penulisan selanjutnya.

Proposisi 3.2.3

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝜇 adalah himpunan fuzzy pada 𝒜. 𝜇

disebut ideal fuzzy pada 𝒜, jika dan hanya jika memenuhi aksioma-

aksioma sebagai berikut.

i. 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), ii. jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦), untuk

setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Bukti.

Diketahui 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝜇 adalah himpunan fuzzy pada 𝒜. Akan dibuktikan bahwa 𝜇 ideal fuzzy pada 𝒜.

(⟹) Misalkan 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜

Akan dibuktikan

i. 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), ii. jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦),

untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

𝒙 𝒚 𝒙 ∗ 𝒚 𝝁(𝒚) ≥ 𝝁(𝒚 ∗ 𝒙) ∧ 𝝁(𝒙) 1 1 0 𝜇(1) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(1)

𝛼3 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

𝛼3 ≤ 𝛼3

2 2 0 𝜇(2) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(2) 𝛼2 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼2

𝛼2 ≥ 𝛼2

𝛼2 ≤ 𝛼2

3 3 0 𝜇(3) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(3) 𝛼3 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

𝛼3 ≤ 𝛼3

43

Jika 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜, maka berdasarkan Definisi

3.1.1 poin (i) berlaku aksioma 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥). Jadi terbukti 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥)

Kemudian berdasarkan Definisi 3.1.1 poin (ii) berlaku aksioma

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦).

Diketahui (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, dan berdasarkan aksioma pada

Definisi 3.1.1 poin (ii)

diperoleh

𝜇(𝑧 ∗ 𝑦) ≥ 𝜇((𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥) ∧ 𝜇(𝑥)

𝜇(𝑧 ∗ 𝑦) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑧 ∗ 𝑦) ≥ 𝜇(𝑥) (1)

dan juga diperoleh

𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑧 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) (2)

Dari persamaan (1) dan (2) yang telah diperoleh, didapatkan

hasil subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2), menjadi

𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦) (3)

Jadi terbukti, jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦).

(⟸) Diketahui

i. 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), ii. jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦),

untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Akan dibuktikan 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜.

Berdasarkan Definisi 3.1.1 poin (i) harus berlaku aksioma

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), jad terbukti aksioma 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) telah terpenuhi.

Berdasarkan ketentuan

Jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦)

Dan persamaan (3), yaitu

𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦) Kemudian berdasarkan ketentuan pada Definisi 2.6.1 poin (i) yaitu

𝑥 ∗ 𝑥 = 0

44

diperoleh (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ (𝑥 ∗ 𝑦) = 0 (4)

Sehingga melalui subtitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (3),

didapatkan persamaan

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) (5)

Dari persamaan (5) terlihat bahwa 𝜇 memenuhi syarat disebut ideal

fuzzy yaitu

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦)

Jadi, terbukti bahwa 𝜇 ∈ ℱId(𝒜). Karena terbukti bahwa 𝜇 ∈ ℱId(𝒜), 𝜇 juga merupakan ideal fuzzy

pada 𝒜 ∎

Contoh 3.2.4

Diberikan 𝒜 = ( 𝑋,∗ ,0) berdasarkan Contoh 2.6.2 dan 𝜇 adalah ideal

fuzzy pada 𝒜 berdasarkan Contoh 3.1.2. Menggunakan Proporsisi

3.2.3, buktikan bahwa 𝜇 juga merupakan ideal fuzzy pada 𝒜.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜 menggunakan

Proporsisi 3.2.3.

i. Akan buktikan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋, berlaku 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥). Perhatikan bukti (i) pada Contoh 3.1.2.

Terlihat bahwa setiap 𝑥 ∈ 𝑋 memenuhi 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥). Jadi aksioma (i) terpenuhi.

ii. Akan dibuktikan berlaku aksioma

Jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦)

Tabel 3.4 Hasil dari

Jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦) x y z (𝒛 ∗ 𝒚) ∗ 𝒙 = 𝟎 𝝁(𝒛) ≥ 𝝁(𝒙) ∧ 𝝁(𝒚) 0 0 0 (0 ∗ 0) ∗ 0 = 0 𝜇(0) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(0)

𝛼1 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼1

𝛼1 ≥ 𝛼1

45

0 1 1 (1 ∗ 1) ∗ 0 = 0 𝜇(1) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(1) 𝛼3 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

0 2 2 (2 ∗ 2) ∗ 0 = 0 𝜇(2) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(2) 𝛼2 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼2

𝛼2 ≥ 𝛼2

0 3 3 (3 ∗ 3) ∗ 0 = 0 𝜇(3) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(3) 𝛼3 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 0 1 (1 ∗ 0) ∗ 1 = 0 𝜇(1) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(0) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼1

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 1 0 (1 ∗ 0) ∗ 1 = 0 𝜇(0) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(1) 𝛼1 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼1 ≥ 𝛼3

1 1 2 (2 ∗ 1) ∗ 1 = 0 𝜇(2) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(1) 𝛼2 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼2 ≥ 𝛼3

1 1 3 (3 ∗ 1) ∗ 1 = 0 𝜇(3) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(1) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 2 1 (1 ∗ 2) ∗ 1 = 0 𝜇(1) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(2) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼2

𝛼3 ≥ 𝛼3

46

Terbukti bahwa

Jika (𝑧 ∗ 𝑦) ∗ 𝑥 = 0, maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥) ∧ 𝜇(𝑦), untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Jadi 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜 ∎

x y z (𝒛 ∗ 𝒚) ∗ 𝒙 = 𝟎 𝝁(𝒛) ≥ 𝝁(𝒙) ∧ 𝝁(𝒚) 1 2 3 (3 ∗ 2) ∗ 1 = 0 𝜇(3) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(2)

𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼2

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 3 1 (1 ∗ 3) ∗ 1 = 0 𝜇(1) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(3) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼3 ≥ 𝛼3

1 3 2 (2 ∗ 3) ∗ 1 = 0 𝜇(2) ≥ 𝜇(1) ∧ 𝜇(3) 𝛼2 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼2 ≥ 𝛼3

2 0 2 (2 ∗ 0) ∗ 2 = 0 𝜇(2) ≥ 𝜇(2) ∧ 𝜇(0) 𝛼2 ≥ 𝛼2 ∧ 𝛼1

𝛼2 ≥ 𝛼2

2 2 0 (0 ∗ 2) ∗ 2 = 0 𝜇(2) ≥ 𝜇(0) ∧ 𝜇(2) 𝛼2 ≥ 𝛼1 ∧ 𝛼2

𝛼2 ≥ 𝛼3

3 0 3 (3 ∗ 0) ∗ 3 = 0 𝜇(3) ≥ 𝜇(3) ∧ 𝜇(0) 𝛼3 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼1

𝛼3 ≥ 𝛼3

3 3 0 (0 ∗ 3) ∗ 3 = 0 𝜇(0) ≥ 𝜇(3) ∧ 𝜇(3) 𝛼1 ≥ 𝛼3 ∧ 𝛼3

𝛼1 ≥ 𝛼3

47

Teorema 3.2.5

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝜇 adalah himpunan fuzzy pada 𝒜.

𝜇 disebut ideal fuzzy pada 𝒜, jika dan hanya jika level subset yang

tidak kosong

𝑈 (𝜇; 𝑖) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝝁(𝒙) ≥ 𝑖 }, adalah ideal pada 𝒜, untuk setiap 𝑖 ∈ [0,1]. Bukti.

Diketahui 𝒜(𝑋,∗ ,0) dan 𝜇 adalah himpunan fuzzy pada 𝒜.

Akan dibuktikan bahwa 𝜇 ∈ 𝐹𝐼𝑑(𝒜), jika dan hanya jika level subset

yang tidak kosong

𝑈 (𝜇; 𝑖) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝝁(𝒙) ≥ 𝑖 }, adalah ideal pada 𝒜, untuk setiap 𝑖 ∈ [0,1].

(⟹) Misalkan 𝜇 ∈ 𝐹𝐼𝑑(𝒜), Akan dibuktikan bahwa level subset yang tidak kosong

𝑈 (𝜇; 𝑖) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝝁(𝒙) ≥ 𝑖 }, adalah ideal.

Jika 𝜇 ∈ 𝐹𝐼𝑑(𝒜), maka berdasarkan Definisi 3.1.1 berlaku aksioma

i. 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), ii. 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦).

Kemudian akan dibuktikan bahwa,

jika level subset yang tidak kosong adalah ideal, maka berdasarkan

Definisi 2.6.1 berlaku aksioma

i. 0 ∈ 𝐼 ii. Jika 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐼 dan 𝑦 ∈ 𝐼,maka 𝑥 ∈

𝐼, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

Jika 𝑖 ∈ [0,1] dan 𝑈 (𝜇; 𝑖) ≠ ∅, maka 𝜇(𝑥0) ≥ 𝑖 untuk beberapa

𝑥0 ∈ 𝑋.

Berdasarkan aksioma (i) pada Definisi 3.1.1,

sehingga 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥0), dan diperoleh 0 ∈ 𝑈 (𝜇; 𝑖). Jadi aksioma (i) terpenuhi.

48

Kemudian,

Jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, maka 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑈 (𝜇; 𝑖) 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∈ 𝑈 (𝜇; 𝑖). Sehingga 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ≥ 𝑖 dan (𝑦) ≥ 𝑖 (6)

Berdasarkan persamaan (6) dan aksioma (ii) pada Definisi 3.1.1

yaitu

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦)

dapat disimpulkan bahwa

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦)) ≥ 𝑖.

Jadi

𝑥 ∈ 𝑈 (𝜇; 𝑖) dan aksioma aksioma (ii) pada Definisi 2.6.1 terpenuhi.

Sedemikian sehingga, terpenuhi bahwa 𝑈 (𝜇; 𝑖) adalah ideal pada

BN-Aljabar.

Tebukti bahwa level subset yang tidak kosong

𝑈 (𝜇; 𝑖) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝝁(𝒙) ≥ 𝑖 }, adalah ideal, untuk setiap 𝑖 ∈ [0,1].

(⟸) Diketahui bahwa level subset yang tidak kosong

𝑈 (𝜇; 𝑖) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝝁(𝒙) ≥ 𝑖 }, adalah ideal.

Akan dibuktikan bahwa 𝜇 ∈ 𝐹𝐼𝑑(𝒜).

Diketahu 𝑖 ∈ [0,1], dan 𝑈 (𝜇; 𝑖) adalah ideal pada 𝒜, di mana

𝑈 (𝜇; 𝑖) = ∅.

Asumsikan bahwa aksioma (i) pada Definisi 3.1.1

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) tidak terpenuhi.

Terdapat 𝑥0 ∈ 𝑋 , sedemikian sehingga 𝜇(0) < 𝜇(𝑥0) = 𝑗. Karena 𝜇(0) < 𝜇(𝑥0) = 𝑗, maka 𝑈 (𝜇; 𝑗) ≠ ∅.

Selanjutnya diasumsikan bahwa 𝑈 (𝜇; 𝑗) adalah ideal pada

BN-Aljabar.

49

Jika 𝑈 (𝜇; 𝑗) adalah ideal pada BN-Aljabar,

maka 0 ∈ 𝑈 (𝜇; 𝑗) dan berakibat pada 𝜇(0) ≥ 𝑗.

Pernyataan tersebut kontadiksi dengan asumsi awal bahwa

askioma 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) tidak terpenuhi.

Terbukti bahwa 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) terpenuhi.

Kemudian asumsikan bahwa aksioma (ii) pada Definisi 3.1.1

𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) tidak terpenuhi.

Terdapat 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋,

sedemikian sehingga

𝜇(𝑎) < 𝜇(𝑎 ∗ 𝑏) ∧ 𝜇(𝑏) Ambil

𝛾 =1

2(𝜇(𝑎) + 𝜇(𝑎 ∗ 𝑏) ∧ 𝜇(𝑏)) (7)

Dari persamaan (7) didapatkan

𝜇(𝑎) < 𝛾 < 𝜇(𝑎 ∗ 𝑏) ∧ 𝜇(𝑏) ≤ 𝜇(𝑎 ∗ 𝑏) Atau dapat ditulis

𝛾 < 𝜇(𝑏). Jika 𝛾 < 𝜇(𝑏), maka 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑈 (𝜇; 𝛾) 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝑈 (𝜇; 𝛾).

Pernyataan di atas merupakan ketidakmungkinan.

Sehingga aksioma 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) terpenuhi.

Jadi terbukti bahwa jika dan hanya jika level subset yang tidak

kosong

𝑈 (𝜇; 𝑖) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝝁(𝒙) ≥ 𝑖 }, adalah ideal pada 𝒜, untuk setiap 𝑖 ∈ [0,1]. Sehingga terbukti 𝜇 ∈ 𝐹𝐼𝑑(𝒜).∎

Contoh 3.2.6

Diberikan 𝒜 = ( 𝑋,∗ ,0) berdasarkan Contoh 2.6.2 dan didefinisikan

himpunan fuzzy 𝜇 pada X berdasarkan Contoh 3.1.2. Buktikan bahwa

himpunan 𝜇 dengan fungsi keanggotan sebagai berikut

50

U (𝜇; 𝑖) =

{

∅, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 > 𝛼1

{0}, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝛼2 < 𝑖 ≤ 𝛼1{0,2}, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝛼3 < 𝑖 ≤ 𝛼2

𝑋, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 ≤ 𝛼3,

adalah ideal fuzzy pada 𝒜 berdasarkan Teorema 3.2.5.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜 berdasarkan

Teorema 3.2.5.

Akan dibuktikan bahwa terdapat level subset

𝑈 (𝜇; 𝑖) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝝁(𝒙) ≥ 𝑖 }.

Berdasarkan fungsi keanggotan pada Contoh 3.2.6,

Untuk 𝑥 = 0

Maka 𝜇(𝑥) ≥ 𝑖 = 𝜇(0) ≥ 𝑖 = 𝛼1 ≥ 𝑖

Terlihat bahwa 0 ∈ 𝑋 ∶ 𝜇(0) ≥ 𝑖. Untuk 𝑥 = 1

Maka 𝜇(𝑥) ≥ 𝑖 = 𝜇(1) ≥ 𝑖 = 𝛼3 ≥ 𝑖


Maka 𝜇(𝑥) ≥ 𝑖 = 𝜇(2) ≥ 𝑖 = 𝛼2 ≥ 𝑖


Maka 𝜇(𝑥) ≥ 𝑖 = 𝜇(3) ≥ 𝑖 = 𝛼3 ≥ 𝑖

Terlihat bahwa 0 ∈ 𝑋 ∶ 𝜇(3) ≥ 𝑖.

Terbukti bahwa terdapat level subset yang tidak kosong yaitu {0}, {0,2}, dan X.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa level subset yang tidak kosong

ini {0}, {0,2}, dan 𝑋 = {0,1,2,3} adalah ideal pada 𝒜 untuk

membuktikan bahwa himpunan fuzzy 𝜇 disebut ideal fuzzy pada 𝒜.

51

Pada Contoh 2.7.2 telah terbukti bahwa {0}, {0,2}, dan 𝑋 = {0,1,2,3} adalah ideal pada 𝒜. Jadi terbukti 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜. ∎

Akibat Teorema 3.2.7

Jika 𝜇 adalah ideal fuzzy pada 𝒜, maka himpunan

𝑋𝜇 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝜇(𝑥) = 𝜇(0)},

adalah ideal pada 𝒜.

Contoh 3.2.8

Berdasarkan contoh 3.2.6 tunjukkan himpunan

𝑋𝜇 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝜇(𝑥) = 𝜇(0)}

yang merupakan ideal pada 𝒜. Bukti.

Akan dibuktikan himpunan 𝑋𝜇 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝜇(𝑥) = 𝜇(0)}

Jika 𝑥 = 0

Maka 𝜇(𝑥) = 𝜇(0) 𝜇(0) = 𝜇(0) 𝛼1 = 𝛼1

Jika 𝑥 = 1

Maka 𝜇(𝑥) = 𝜇(0) 𝜇(1) = 𝜇(0) 𝛼3 ≠ 𝛼1

Jika 𝑥 = 2

Maka 𝜇(𝑥) = 𝜇(0) 𝜇(2) = 𝜇(0) 𝛼2 ≠ 𝛼1

Jika 𝑥 = 3

Maka 𝜇(𝑥) = 𝜇(0) 𝜇(3) = 𝜇(0) 𝛼3 ≠ 𝛼1

Pada pembuktian tersebut, nilai yang memenuhi himpunan

𝑋𝜇 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝜇(𝑥) = 𝜇(0) , adalah hanya jika nilai 𝑥 = 0.

Maka pada 𝑥 = 0 yang merupakan ideal pada 𝒜.

52

Lemma 3.2.9

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝜇 adalah himpunan fuzzy pada 𝒜. Fungsi

keanggotaan himpunan fuzzy 𝜇 pada 𝒜 didefinisikan

𝜇(𝑥) = {0, jika 𝑥 ∉ In untuk setiap n ∈ ℕ ,

𝑡𝑛, jika 𝑥 ∈ In − In−1untuk suatu n ∈ ℕ ,

himpunan fuzzy 𝜇 disebut ideal fuzzy pada 𝒜 dengan

𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯𝐼𝑛 ⊂ ⋯ merupakan barisan naik tegas dari ideal pada 𝒜

dan (𝑡𝑛) merupakan barisan turun tegas pada (0,1) di mana 𝐼0 = ∅.

Bukti.

Diketahui 𝒜 = (𝑋,∗ ,0) dan 𝜇 adalah himpunan fuzzy pada 𝒜. Akan dibuktikan bahwa 𝜇 adalah ideal fuzzy.

Berdasarkan Definisi 3.1.1 berlaku aksioma

i. 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), ii. 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦).

Akan dibuktikan bahwa aksioma (i) 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) terpenuhi.

Misalkan 𝐼 =∪𝑛∈𝑁 𝐼𝑛 dan 𝐼 adalah ideal pada 𝒜. Pada fungsi keanggotaan,

Jika 𝑥 ∉ 𝐼𝑛 (𝑥 ∉ 𝐼𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 0)

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝜇(0) ≥ 𝜇(0) 0 ≥ 0

Jika 𝑥 ∈ 𝐼𝑛 − In−1

Untuk 𝑛 = 1, 𝑥 ∈ 1

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝜇(0) ≥ 𝜇(1) 0 ≥ 𝑡1

Untuk 𝑛 = 2, 𝑥 = 2

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝜇(0) ≥ 𝜇(2) 0 ≥ 𝑡2

Untuk 𝑛 = 2, 𝑥 = 2

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝜇(0) ≥ 𝜇(2) 0 ≥ 𝑡2

53

Untuk 𝑛 = 3, 𝑥 = 3

𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) 𝜇(0) ≥ 𝜇(3) 0 ≥ 𝑡3

Dan seterusmya untuk n ∈ ℕ. Jelas bahwa 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Terbukti aksioma (i) terpenuhi.

Selanjutnya,

akan dibuktikan bahwa aksioma (ii) 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) terpenuhi.

Pada pembuktian aksioma (ii) terdapat 2 kasus

Jika (𝑥 ∉ 𝐼𝑛), Maka analog berdasarkan Definisi 2.7.1 𝑥 ∗ 𝑦 ∉ 𝐼 atau 𝑦 ∉ 𝐼. Sehingga 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) = 0 = 𝜇(𝑥)

Jika (𝑥 ∈ In − In−1, untuk beberapa n ∈ ℕ), Maka 𝑥 ∗ 𝑦 ∉ In−1 atau 𝑦 ∉ In−1. Sehingga 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ≤ 𝑡𝑛 atau 𝜇(𝑦) ≤ 𝑡𝑛 (8)

Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (8), didapatkan

𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) ≤ 𝑡𝑛 =di mana 𝑡𝑛 = 𝜇(𝑥)

Sehingga, terbukti bahwa 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦). Jadi terbukti bahwa aksioma (ii) terpenuhi.

Berdasarkan pembuktian tersebut, terbukti 𝜇 adalah ideal fuzzy pada

𝒜.∎

Teorema 3.2.10

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0), 𝒯 adalah himpunan indeks dan

𝜇𝑡 ∈ ℱId(𝒜) ) untuk 𝑡 ∈ 𝒯. Jika 𝜇𝑡 ∈ ℱId(𝒜), maka

⋀𝑡∈𝒯𝜇𝑡 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜) untuk 𝑡 ∈ 𝒯, di mana ⋀ 𝜇𝑡𝑡∈𝒯 dari ideal fuzzy

pada 𝒜 didefinisikan sebagai berikut.

(⋀ 𝜇𝑡𝑡∈𝒯 )(𝑥) = ⋀{𝜇𝑡(𝑥)}, 𝑡 ∈ 𝒯.

54

Bukti.

Diketahui 𝒜 = (𝑋,∗ ,0), 𝒯 adalah himpunan indeks dan

𝜇𝑡 ∈ ℱId(𝒜). Akan dibuktikan bahwa ⋀𝑡∈𝒯𝜇𝑡 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜).

Jika ⋀𝑡∈𝒯𝜇𝑡 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜), maka ⋀𝑡∈𝒯𝜇𝑡 adalah ideal fuzzy dan berlaku

akasioma

i. 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥), ii. 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦).

berdasarkan Definisi 3.1.1.

Akan dibuktikan aksioma (i) 𝜇(0) ≥ 𝜇(𝑥) terpenuhi.

Berdasarkan aksioma (i) dan jika 𝜇𝑡 ∈ ℱId(𝒜) maka

𝜇𝑡(0) ≥ 𝜇𝑡(𝑥), 𝑡 ∈ 𝒯 (9)

Karena ⋀𝑡∈𝒯𝜇𝑡 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜) dan berdasarkan persamaan (9) diperoleh

⋀{ 𝜇𝑡(0)} ≥ ⋀{ 𝜇𝑡(𝑥)}, 𝑡 ∈ 𝒯

Jadi terbukti aksioma aksioma (i) terpenuhi.

Akan dibuktikan aksioma (ii) 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) terpenuhi.

Berdasarkan aksioma (ii) dan jika 𝜇𝑡 ∈ ℱId(𝒜), maka

𝜇𝑡(𝑥) ≥ 𝜇𝑡(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇𝑡(𝑦), 𝑡 ∈ 𝒯 (10)

Karena ⋀𝑡∈𝒯𝜇𝑡 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜) dan berdasarkan persamaan (10)

diperoleh

⋀{𝜇𝑡(𝑥)} ≥⋀{𝜇𝑡(𝑥 ∗ 𝑦)} ∧ 𝜇𝑡(𝑦)}, : 𝑡 ∈ 𝒯

⋀{𝜇𝑡(𝑥)} ≥⋀{𝜇𝑡(𝑥 ∗ 𝑦)}} ∧ ⋀{𝜇𝑡(𝑦)}, 𝑡 ∈ 𝒯

Jelas bahwa aksioma (ii) 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 ∗ 𝑦) ∧ 𝜇(𝑦) terpenuhi

55

Jadi terbukti

𝜇 ∈ ℱId(𝒜) Karena 𝜇 ∈ ℱId(𝒜), maka 𝜇𝑡 ∈ ℱId(𝒜).∎

Teorema 3.2.11

Misalkan 𝒜 = (𝑋,∗ ,0). Himpunan semua ideal fuzzy ℱ𝐼𝑑(𝒜) yang

dilengkapi dua operasi biner meet (∧) dan join (∨), (ℱ𝐼𝑑(𝒜), ∧ ,∨) adalah latis lengkap.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa (ℱ𝐼𝑑(𝒜), ∧, ∨) adalah latis.

Akan dibuktikan bahwa operasi meet (∧) dan join (∨) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat-sifat di bawah ini.

i. Tertutup.

Ambil sebarang ideal fuzzy 𝜇 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜). Untuk operasi meet (∧) diperoleh

𝜇 ∧ 𝜇 = min{𝜇, 𝜇} ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜), dan untuk operasi join (∨) diperoleh

𝜇 ∨ 𝜇 = max{𝜇, 𝜇} ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜). Dengan cara yang sama, untuk setiap ideal fuzzy 𝜇 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜), operasi meet (∧) dan join (∨) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜), berlaku sifat

tertutup yaitu

𝜇 ∧ 𝜇 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜) dan 𝜇 ∨ 𝜇 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜). Jadi askioma (i) terpenuhi.

ii. Assosiatif.

Ambil sebarang ideal fuzzy 𝜇, 𝜌, 𝜎 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜). Untuk operasi meet (∧) diperoleh

(𝜇 ∧ 𝜆) ∧ 𝜌 = min{𝜇, 𝜆} ∧ 𝜌

= min{min{𝜇, 𝜆}, 𝜌} = min {𝜇, 𝜆, 𝜌}

dan

𝜇 ∧ (𝜆 ∧ 𝜌) = min {𝜇,min{λ, ρ} = min {𝜇, 𝜆, 𝜌},

sehingga operasi meet (∧) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat assosiatif

(𝜇 ∧ 𝜆) ∧ 𝜌 = 𝜇 ∧ (𝜆 ∧ 𝜌) = min {𝜇, 𝜆, 𝜌} Untuk operasi join (∨) diperoleh

(𝜇 ∨ 𝜆) ∨ 𝜌 = max {𝜇, 𝜆} ∨ 𝜌

56

= max{max{𝜇, 𝜆}, 𝜌} = max{𝜇, 𝜆, 𝜌}

dan

𝜇 ∨ (𝜆 ∨ 𝜌) = max {𝜇,max{λ, ρ} = max {𝜇, 𝜆, 𝜌},

sehingga operasi join (∨) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat assosiatif

(𝜇 ∨ 𝜆) ∨ 𝜌 = 𝜇 ∨ (𝜆 ∨ 𝜌) = max {𝜇, 𝜆, 𝜌}. Dengan cara yang sama,

untuk setiap ideal fuzzy 𝜇, 𝜆, 𝜌 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜), operasi meet (∧) dan

join (∨) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat assosiatif yaitu

(𝜇 ∧ 𝜆) ∧ 𝜌 = 𝜇 ∧ (𝜆 ∧ 𝜌) = min {𝜇, 𝜆, 𝜌} ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜) dan

(𝜇 ∨ 𝜆) ∨ 𝜌 = 𝜇 ∨ (𝜆 ∨ 𝜌) = max {𝜇, 𝜆, 𝜌} ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜). Jadi askioma (ii) terpenuhi.

iii. Komutatif.

Ambil sebarang ideal fuzzy 𝜇, 𝜆 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜). Untuk operasi meet (∧) diperoleh

𝜇 ∧ 𝜆 = min{𝜇, 𝜆} dan 𝜆 ∧ 𝜇 = min{𝜆, 𝜇} = min{𝜇, 𝜆}, sehingga operasi meet (∧) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat

komutatif

𝜇 ∧ 𝜆 = 𝜆 ∧ 𝜇 = min{𝜇, 𝜆}. Untuk operasi join (∨) diperoleh

𝜇 ∨ 𝜆 = max{𝜇, 𝜆} dan 𝜆 ∨ 𝜇 = max{𝜆, 𝜇} = max{𝜇, 𝜆}, sehingga operasi join (∨) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat komutatif

𝜇 ∨ 𝜆 = 𝜆 ∨ 𝜇 = max{𝜆, 𝜇} = max{𝜇, 𝜆}. Dengan cara yang sama,

untuk setiap ideal fuzzy 𝜇, 𝜆 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜), operasi meet (∧) dan

join (∨) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat komutatif yaitu

𝜇 ∧ 𝜆 = 𝜆 ∧ 𝜇 dan 𝜇 ∨ 𝜆 = 𝜆 ∨ 𝜇


iv. Absorbsi.

Ambil sebarang ideal fuzzy 𝜇, 𝜆 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜). Untuk operasi meet (∧) diperoleh

𝜇 ∧ (𝜇 ∨ 𝜆) = min{𝜇,max{𝜇, 𝜆}} = 𝜇. Untuk operasi join (∨) diperoleh

𝜇 ∨ (𝜇 ∧ 𝜆) = max{𝜇,min {𝜇, 𝜆}} = 𝜇.

57

Dengan cara yang sama,

untuk setiap ideal fuzzy 𝜇, 𝜆 ∈ ℱ𝐼𝑑(𝒜) , operasi meet (∧) dan

join (∨) pada ℱ𝐼𝑑(𝒜) berlaku sifat absorsi yaitu

𝜇 ∧ (𝜇 ∨ 𝜆) = 𝜇dan 𝜇 ∨ (𝜇 ∧ 𝜆) = 𝜇.


Berdasarkan aksioma (i), (ii), (iii), dan (iv) terbukti bahwa

(ℱ𝐼𝑑(𝒜),∧,∨) latis.

Kemudian, akan dibuktikan bahwa (ℱ𝐼𝑑(𝒜), ∧, ∨) latis lengkap.

Misalkan (ℱ𝐼𝑑(𝒜), ∧, ∨) latis lengkap, berlaku untuk setiap

himpunan bagian dari ℱ𝐼𝑑(𝒜) memiliki nilai ∧ dan ∨.

Himpunan bagian dari ℱ𝐼𝑑(𝒜) adalah ℱ𝐼𝑑(𝒜) itu sendiri.

Jadi setiap nilai ∧ dan ∨ dari ℱ𝐼𝑑(𝒜) adalah ℱ𝐼𝑑(𝒜). Terbukti bahwa (ℱ𝐼𝑑(𝒜), ∧, ∨) adalah latis lengkap. ∎

59

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada skripsi ini dapat disimpulkan

bahwa: 1. BN-Aljabar dapat dihasilkan melalui grup komutatif.

2. Suatu BN-Ajabar memiliki ideal.

3. Selain adanya ideal, ideal fuzzy juga terdapat pada BN-

Aljabar.

4. Melalui keterkaitan konsep antara himpunan fuzzy pada BN-

Aljabar dengan level subset, barisan naik tegas, dan " ∧ ", ideal fuzzy pada BN-Aljabar dapat dihasilkan.

5. Himpunan semua ideal fuzzy pada BN-Aljabar yang

dilengkapi dengan operasi biner meet " ∧ " dan join " ∧ " adalah latis lengkap.

4.2 Saran

Pada skripsi ini dibahas mengenai definisi, contoh, dan sifat-

sifat ideal fuzzy pada BN-Aljabar. Untuk penelitian berikutnya,

penulis menyarankan pembahasan yang dilakukan adalah

karakterisasi dari Noetherian dan Artinian BN-Aljabar melalui ideal

fuzzy pada BN-Aljabar.

61

DAFTAR PUSTAKA

Andari, A. 2013. Ring, Field dan Daerah Integral. Universitas

Brawijaya Press. Malang

Andari, A. 2015. Teori Grup. Universitas Brawijaya Press.

Malang

Bhattacharya, P. B. 1990. Basic Abstract Algebra. Cambridge.

University Press. New York.

Kim, Bum Chang dan H. S. Kim . 2014. On BN-Algebras.

Korea.

Dymek1, Grzegorz dan A. Walendziak. 2014. (Fuzzy) Ideals of

BN-Algebras. Polandia.

Kim, Hee Sik dan H.J. Kim. 2006. On Pre-Coxeter Algebra and

Coxeter Algebra. Scientiae Mathematicae Japonicae

Online. e-2006, hal:1002-1008.

L. A. Zadeh. 1965. Fuzzy Sets*. Department of Electrical

Engineering and Electronics Research Laboratory.

University of California, Berkeley . 8, 33 McKenzie, R.N., G.F. McNulty, dan W.F. Taylor. 1987.

Algebras, Lattices, Varieties. math.hawaii.edu.

IDEAL FUZZY PADA BN-ALJABAR SKRIPSIrepository.ub.ac.id/4656/1/SRI WENI.pdf · i IDEAL FUZZY PADA...

Documents

Transcript of IDEAL FUZZY PADA BN-ALJABAR SKRIPSIrepository.ub.ac.id/4656/1/SRI WENI.pdf · i IDEAL FUZZY PADA...