SISTEM BILANGAN REAL

1

Sistem bilangan

N : bilangan asli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N : 1, 2, 3, ...

Z : …,-2,-1,0,1,2,..

0,,, = bZbab

aqQ :

R Q Irasional=

2.71828182845904523536028747135266249775724709369

2,

99 .

,

..

3

5e

=

Contoh bilangan irasional:

9/2/2018

Bilangan riil yang tidakrasional adalah sebuahbilangan irrasional.

Garis bilangan

0 1

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan.Titik-titik sebelah kanan titik asal disebut bilangan positif, dan titik-titikdisebelah kirir disebut bilangan negatif.

-3

2

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang/Interval

39/2/2018

IntervalNotasi himpunan Notasi interval

{ }axx < ( )a,-

{ }axx ( ]a,-

{ }bxax << ( )ba,

{ }bxax [ ]ba,

{ }bxx > ( ),b

{ }bxx [ ),b

{ }xx ( ),

Dalam garis bilangan

a

a

a b

a b

b

b

49/2/2018

Dalam notasi interval, hanya ditulis bilanganIn Interval Notation we just write the beginning and ending numbers of the interval, and use:• [ ] a square bracket when we want to include the end

value, or• ( ) a round bracket when we don't

With the Number Line we draw a thick line to show the values we are including, and:• a filled-in circle when we want to include

the end value, or• an open circle when we don't

5

Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan :

❑Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan real, maka pasti berlakusalah satu dari x < y atau x > y ataux = y

❑Transitif

Jika x < y dan y < z maka x < z

❑Perkalian

Jika z bilangan positif dan x < y, maka xz < yzjika z bilangan negatif dan x < y, maka xz > yz

9/2/2018

6

Pertidaksamaan

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), C(x), D(x) adalah suku banyak(polinom) dan B(x) ≠ 0, D(x) ≠ 0

( )

( )

( )

( )

A x C x

B x D x<

9/2/2018

7

Pertidaksamaan

• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalahmencari solusi semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku.

• Himpunan solusi bilangan real ini disebut jugaHimpunan Penyelesaian (Hp)

9/2/2018

8

Cara menentukan HP

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor linier dan/atau kuadrat

3. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor linear).

4. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garisbilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaandi setiap selang bagian yang muncul

0)(

)(<

xQ

xP

9/2/2018

CONTOHTentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut

53213 - x

352313 ++ x

8216 x

48 x

84 x

[ ]8,4Hp = 4 8

1.

99/2/2018

8462 -<- x

248 -<- x

248 -> x

842 <- x

22

1<- x

-= 2,

2

1

22

1-

Hp

2.

109/2/2018

0352 2 <-- xx

( )( ) 0312 <-+ xx

Titik pemecah : 2

1-=x and 3=x

3

++ ++--

21-

3.

Hp =

- 3,

2

1

119/2/2018

637642 +-- xxx

xx 7642 -- 6376 +- xxdan

4672 ++ xx dan 6637 +--- xx

4.

109 x 010 - xdan

9

10x 010 xdan

9

10x dan 0x

129/2/2018

HP = [ )

- ,0

9

10,

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

9

10,0

139/2/2018

13

2

1

1

-<

+ xx

013

2

1

1<

--

+ xx

( ) ( )( )( )

0131

2213<

-+

+--

xx

xx

5.

( )( )0

131

3<

-+

-

xx

x

Titik pemecah : -1, 1

3, 3

3

++ ++--

-1

--

13

Hp = ( )1

, 1 ,33

- -

149/2/2018

15

x

x

x

x

+

-

+

32

1

032

1

+-

-

+

x

x

x

x

( )( ) ( )( )( )

032

231

+-

--++

xx

xxxx

( )( )0

32

322 2

+-

++

xx

xx

6.

9/2/2018

16

322 2 ++ xxUntuk pembilang mempunyai nilai diskriminan(D < 0) sehingga nilainya selalu positif, maka pembilang tidakmenghasilkan titik pemecah.

Maka, titik pemecahnya adalah -3 dan 2 (dari penyebut)

-3 2

-- ++ --

( ) ( ), 3 2,- - Hp =

Soal LatihanCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2

2

2

2

2 57. 1

2

58. 1

2

9. 2 4 0

10. 1 0

2 111.

3

x

x

x x

x x

x

x x

xx

-

-

+ > -

- -

+

- +

+

179/2/2018

2

2

3 2

1. 3 5 2 1

2. 4 3 1 4

3. 6

4. 3 2 0

5. 5 4 0

16. 0

2

x x

x

x x

x x

x x x

x

x

- < +

- +

+ <

- - >

- +

-

+

Pertidaksamaan nilai mutlak

Definisi :

Nilai absolut pada bilangan real didefinisikan sebagai

<-

=

0,

0,

xx

xxx

Arti Geometris|x| : Jarak dari x ke titik 0 (asal)

189/2/2018

• Sifat-sifat nilai mutlak:

y

x

y

x=

2xx =

axaaax - 0,

axaax 0, or ax -

yx 22 yx

6. Ketaksamaan segitiga

yxyx ++

1.

2.

3.

4.

5.

yxyx --

Pertidaksamaan nilai mutlak

199/2/2018

CONTOH

Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut

41 << x

352 <-x

# Gunakan sifat kedua

3523 <-<- x

53235 +<<- x

822 << x

Hp = ( )4,1 1 4

1.

209/2/2018

21

( )( ) 0422 <-- xx

352 <-x

# Gunakan sifat keempatkarena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.

( ) 9522<- x

925204 2 <+- xx016204 2 <+- xx

08102 2 <+- xx

TP : 1, 4

1 4++--++

Hp = ( )4,1

9/2/2018

5432 ++ xx2.

# Gunakan sifat keempat

( ) ( )225432 ++ xx

2540169124 22 ++++ xxxx

0162812 2 --- xx23 7 4 0x x + +

3

4-Titik pemecah : , -1

229/2/2018

(3 4)( 1) 0x x + +

Hp = 4

[ , 1]3

- -

Jika digambar pada garis bilangan :

-13

4-

++--++

239/2/2018

24

272

+x

272

+x

272

-+x

52

-x

92

-x

10- x 18-x

[ ) ( ]18,,10 ---

3.

atau

atau

atau

Hp =

-18 -10

# Gunakan sifat ketiga

<-

-=-

22

222

xx

xxx

-<--

-+=+

11

111

xx

xxx

Jadi kita mempunyai 3 interval :

-1 2

I II III

( )1,-- [ )2,1- [ ),2

4. 2123 -+-- xx

Kita definisikan dahulu :

259/2/2018

1-<x

2123 -+-- xx

( ) ( ) 2123 ----- xx

2136 -++- xx

227 -- x

92 -- x

92 x

2

9 x

-

2

9,

I. Untuk

atau

269/2/2018

( )1,2

9, --

-

29-1

Hp1 =

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah

Sehingga Hp1 = ( )1,--

279/2/2018

( )1,--

21 <- xII. Untuk

2123 -+-- xx

( ) ( ) 2123 -+-- xx

2136 ---- xx

245 -- x

74 -- x

74 x4

7 x

-

4

7,atau

289/2/2018

Hp2 = [ )2,14

7, -

-

-1 24

7

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan

bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah

Sehingga Hp2 =

-

4

7,1

299/2/2018

-

4

7,1

2x

2123 -+-- xx

( ) ( ) 2123 -+-- xx

2163 ---- xx

272 -- x

52 x

III. Untuk

2

5 x

,

2

5atau

309/2/2018

Hp3 = [ )

,2,

2

5

22

5

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan

bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah

Sehingga Hp3 =

,

2

5

319/2/2018

5,

2

Hp

329/2/2018

Jadi Hp = 7 5

, ,4 2

-

47

25-1

47 2

5-1

47

25-1

( )

1 2 3

7 5, 1 1, ,

4 2

7 5, ,4 2

Hp Hp Hp=

= - - -

= -

Soal LatihanCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

8. 2 3 2 3

9. 2 3 4 5

410. 1 1

2 111. 3

5

12. 3 2

213.

1 1

x x

x x

x

x

x

x x

x x

x x

- + -

+ +

+ <

-

+

+

-

- +

339/2/2018

1. 2 7 3

2. 2 63

3. 1 2 2

4. 1 2( 2)

5. 2 2 3

26. 1

7. 2

x

x

x x

x x

x x x

xx

x x

- >

-

- < -

- < -

+ < +

-

+