HOMOMORFISMA GRUP

A. PENDAHULUAN

Pada pertemuan sebelumnya telah diberikan pengertian grup, sub grup dan sifat-

sifatnya. Pada pertemuan kali ini, akan dibahas mengenai pengertian pemetaan atau

fungsi di antara dua grup, yang dinamakan dengan homomorfisma grup. Makalah ini

membahas uraian tentang pemetaan dari suatu struktur grup ke struktur grup yang lain.

Untuk mengikuti uraian materi dalam makalah ini, harus sudah dikuasai konsep

pemetaan, pemetaan injektif,surjektif dan bijektif. Selainitu juga harus dikuasai konsep

grup, grup simetri, grup siklik, sub grup, sub grup normal dan grup faktor.

Pembahasan dalam makalah ini dimulai dari pemetaan / fungsi. Kemudian

dilanjutkan dengan membahas homomorfisma yang meliputi definisi, teorema –

teorema dan sifat–sifat homomorfisma. Setelah mempelajari makalah ini, mahasiswa

diharapkan mampu :

1. Memahami konsep homomorfisma dan menggunakannya dalam struktur yang ada :

a. Mengidentifikasi apakah suatu pemetaan (fungsi) merupakan homomorfisma

atau bukan.

b. Membuktikan suatu fungsi merupakan homomorfisma atau tidak.

2. Memahami sifat-sifat sederhana dari homomorfisma :

a. Menjelaskan sifat-sifat dari homomorfisma.

b. Membuktikan sifat-sifat dalam homomorfisma.

c. Menentukan kernel suatu homomorfisma.

d. Menunjukkan kernel homomorfisma adalah sub group normal.

e. Membuktikan bahwa bayangan dari homomorfima adalah subgroup.

B. PEMBAHASAN

1. PEMETAAN / FUNGSI

Deskripsi Singkat :

Pembahasan yang pertama yakni mengenai definisi dan sifat – sifat fungsi serta

contoh soal.

1.1. Pengertian Fungsi

Fungsi dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan

kepada anggota himpunan yang lain (Wikipedia, 2012). Selain itu, menurut Leibniz

(Markaban, 2004:1) fungsi adalah suatu hubungan yang khas antara dua himpunan.

1.2. Sifat – Sifat Fungsi

Tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :

a. Injektif (Satu – satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B, maka fungsi f disebut suatu fungsi

satu – satu (injektif). Apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan

dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat

dikatakan bahwa f : A → B yaitu fungsi injektif, apabila a ≠ a’. Sehingga f(a) ≠

f(b) atau ekuivalen. Jikaf(a) = f(a’) maka a ≠ a’.

b. Surjektif (Onto)

Misalkan f yaitu suatu fungsi yang memetakan A ke B, maka daerah hasil

f(A) dari fungsi f yaitu himpunan bagian dari B atau f(A) ⊂ B. apabila f(A) = B,

sehingga setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang – kurangnya

satu elemen di A maka dapat disimpulkan bahwa f yaitu suatu fungsi surjektif

atau “ f memetakan A onto B “ .

c. Bijektif (Korespondensi Satu – satu)

Suatu pemetaan f : A →B sedemikian hingga f merupakan fungsi yang

injektif dan surjektif sekaligus, maka dapat dikatakan “ f yaitu fungsi yang

bijektif “ atau A dan B berada dalam korespondensi satu – satu.

a

b

c

d

x

y

z

A B

1.3. ContohSoal

1) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 1.1

Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.1 di atas dan jika f(x) = x2

maka

termasuk fung siapakah ? Jelaskan !

Jawab

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 2𝑥

adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan yang

berlainan adalah berlainan pula.

Fungsi 𝑓 pada 𝑅 yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥2 bukan suatu fungsi satu-

satu sebab 𝑓 −2 = 𝑓 2 .

2) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 1.2

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B f

Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.2 di atas dan jika𝑓 𝑥 = 𝑥2 maka

termasuk fungsi apakah ? Jelaskan !

Jawab

Misal 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 dan 𝐵 = {𝑥,𝑦, 𝑧} dan fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 yang didefinisikan

dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil 𝑓

adalah sama dengan kodomain dari 𝑓 (himpunan B).

Fungsi 𝑓:𝑅 → 𝑅 yang didefinisikan dengan rumus 𝑓 𝑥 = 𝑥2 bukan fungsi

yang onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi

tersebut.

3) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 1.3

Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.3 di atas dan jika𝑓 𝑥 = 𝑥2maka

termasuk fungsi apakah ? Jelaskan !

Jawab

Relasi dari himpunan 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ke himpunan 𝐵 = {𝑝, 𝑞, 𝑟} yang didefinisikan

sebagai diagram diatas adalah fungsi bijektif.

Fungsi 𝑓 yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negara-

negara didunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena

tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

2. HOMOMORFISMA GRUP

Deskripsi Singkat :

Pembahasan yang kedua pada makalah ini yaitu mengenai definisi, teorema –

teorema dan sifat – sifat homomorfisma.

a

b

c

p

q

r

Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-

sifat tertentu.

2.1. Definisi Homomorfisma

Homomorfisma ϕ dari G ke 𝐺 adalah pemetaan dari ϕ : G → 𝐺 yang

mempertahankan operasi pada grup sehingga berlaku ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) untuk setiap a,b

𝜖 𝐺.

2.1.1. Contoh Soal

Diketahui Ζ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat.

Maka, ϕ : Ζ → Ζ dengan ϕ (a) = −a, untuk setiap a ∈ Ζ merupakan homomorfisma

grup.

2.1.2. Contoh Soal

Diketahui (Z,+) dan (R+, .) keduanya merupakan grup. Didefinisikan ϕ : Z R

+

dengan ϕ(n) = 2n untuk setiap n ∈ Z. Jelas ϕ merupakan fungsi dan ϕ(m+n) = 2

m+n =

2m

.2n = ϕ(m) ϕ(n). Jadi ϕ merupakan homomorfisma grup.

2.2. Jenis-jenis Homomorfisma Grup

Misalkan 𝜙 : G 𝐺 homomorfisma grup

(i) 𝜙 dinamakan monomorfisma apabila 𝜙 injektif.

(ii) 𝜙 dinamakan epimorfisma apabila 𝜙 surjektif.

(iii) 𝜙 dinamakan isomorfisma apabila 𝜙 bijektif.

(iv) 𝜙 dinamakan endomorfisma apabila G = G

(v) 𝜙 dinamakan automorfisma apabila G = G dan 𝜙 bijektif

Contoh 2.2.1:

Diketahui (Z, +) dan (R+, . ) keduanya merupakan grup. Didefinisikan ϕ : Z R

+

dengan ϕ n = 2n untuk setiap n ∈ Ζ. Jelas ϕ merupakan fungsi dan ϕ (m + n) = 2

m+n

= 2m

.2n = ϕ m ϕ n . Jadi, ϕ merupakan homomorfisma grup yang dinamakan

monomorfisma.

Contoh 2.2.2:

Misalkan G = R – {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol terhadap

perkalian, 𝐺 = {1, -1} juga grup terhadap perkalian. Telah ditunjukkan suatu

homomorfisma f dari G ke 𝐺 yang didefinisikan, ∀x ∈ G = R – {0} berlaku :

f x = 1 jika x bilangan real positif−1 jika x bilangan real negatif

misalkan x,y ∈ G, x ≠ 0 dan y ≠ 0, karena R – {0} bilangan real tanpa nol, maka

1. x > 0, y > 0 3. x < 0, y > 0

f(x) = 1, f(y) = 1 f(x) = -1, f(y) = 1

f(xy) = f(x). F(y) f(xy) = f(x). F(y)

= (1). (1) = (-1). (1)

= 1 = -1

2. x > 0, y < 0 4. x < 0, y < 0

f(x) = 1, f(y) = -1 f(x) = -1, f(y) = -1

f(xy) = f(x). F(y) f(xy) = f(x). F(y)

= (1). (-1) = (-1). (-1)

= -1 = 1

Selanjutnya, karena bayangan f atau f(G) = {1, -1} = 𝐺 maka f suatu fungsi surjektif

(pada/onto) maka homomorfisma f adalah epimorfisma.

Contoh 2.2.3:

Homomorfisma h dari Z ke 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk ∀a ∈ Ζ . Maka h

merupakan isomorfisma, sebab :

i. h injektif : ∀a,b ∈ Ζ, jika h(a) = h(b) maka 2a = 2b atau a = b

ii. h surjektif : ∀x ∈ 2Ζ, maka x = 2n = h(n), untuk suatu n ∈ Ζ

Contoh 2.2.4:

Ambil grup aditif bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan ϕ : Z Z sebagai berikut:

ϕ (x) = 2x. Maka ϕ (x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = ϕ(x) + ϕ(y), untuk setiap x,y Z.

Bentuk ϕ merupakan suatu endomorfisma.

Contoh 2.2.5:

Apakah pemetaan (G, . ), T : x – x adalah automorfisma dari Grup yang diberikan

Jawab:

Pengawetan:

𝑇 𝑥𝑦 = − 𝑥𝑦

= −(𝑥.− −𝑦 )

= −𝑥.−𝑦

= 𝑇(𝑥).𝑇(𝑦)

Ambil x, y G dan misalkan 𝑥𝑇 = 𝑦𝑇

−𝑥 = −𝑦

𝑥 = 𝑦 T ( 1-1)

Ambil y G maka pilih 𝑥 = −𝑦

𝑥𝑇 = −𝑥

= − (−𝑦)

= 𝑦 T onto

Jadi, bahwa 𝑇: 𝑥 → −𝑥 adalah automorfisma

2.3. Definisi Kernel Homomorfisma Grup

Misalkan 𝜙: G 𝐺 adalah homomorfisma dengan identitas e. Kernel dari 𝜙

adalah { x ∈ G | 𝜙(x) = e}. Kernel dari 𝜙 dinotasikan dengan Ker 𝜙.

2.4. Sifat– sifat Homomorfisma Grup

Sebelum mengkaji sifat-sifat homomorfisma grup perlu melihat kembali

beberapa pengertian berikut :

2.4.1. Definisi

Diketahui himpunan A, B, X, Y dengan A ⊂ X dan B ⊂ Y. Misalkan 𝜙: X Y

pemetaan. Maka:

1. Bayangan (image) dari A oleh 𝜙 didefinisikan 𝜙(A) = { 𝜙(a) | a ∈ A}

2. Prapeta (invers image) dari B oleh 𝜙 didefinisikan 𝜙-1(B) = ( x ∈ 𝑋 | 𝜙(𝑥) ∈ B)

3. 𝜙(X) = { 𝜙(x) | x ∈ X} dinamakan range (bayangan) dari X oleh 𝜙 dan

disimbolkan dengan im(𝜙)

Menggunakan istilah sebagaimana dinyatakan dalam definisi 2.4.1 dapat

dibuktikan teorema berikut:

Teorema 1. Misalkan 𝜙 merupakan homomorfisma dari grup G ke grup 𝐺 dan misalkan

g merupakan elemen dari G. Maka :

1. Jika e elemen identitas di G maka 𝜙 𝑒 = 𝑒 dengan 𝑒 identitas di 𝐺

2. 𝜙 (gn) = (𝜙 (g))

n untuk semua n ∈ Z.

3. Jika |g| finite, maka |𝜙 (g)| membagi |g|.

4. Ker 𝜙 adalah subgroup G.

5. 𝜙 (a) =∅ (b) jika dan hanya jika a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙.

6. Jika 𝜙 (g) = 𝑔 , maka 𝜙-1 (𝑔 ) = 𝑥 ∈ 𝐺 | 𝜙 𝑥 = 𝑔 = 𝑔 Ker 𝜙.

Bukti :

1. Ambil sembarang a ∈ G.

Diperoleh 𝜙(a) = 𝜙(ae)

↔ 𝜙(a) = 𝜙(a) 𝜙(e)

↔ 𝜙(a)-1

𝜙(a) = (𝜙(a)-1

𝜙(a)) 𝜙(e)

↔ 𝜙(a-1

a) = (𝜙(a-1

a)) 𝜙(e)

↔ 𝜙(e) = 𝜙(e) 𝜙(e)

↔ 𝑒 = 𝑒 𝜙(e)

↔ 𝑒 = 𝜙(e)

Jadi, 𝑒 identitas di 𝐺

2. Akan dibuktikan 𝜙 𝑔−1 = 𝜙 𝑔 −1

Bukti :

𝑔𝜖𝐺,𝑔𝑔−1 = 𝑒

Sehingga

𝜙 𝑔𝑔−1 = 𝜙 𝑒 = 𝑒

𝜙 𝑔).𝜙(𝑔−1 = 𝑒

𝑏.𝑎 = 𝑒

𝑏−1.𝑏.𝑎 = 𝑏−1. 𝑒

𝑒 .𝑎 = 𝑏−1. 𝑒

𝑎 = 𝑏−1

𝜙 𝑔−1 = (𝜙 𝑔 )−1

Dengan menginduksi, berlaku untuk semua bilangan asli, maka didapat :

𝜙 𝑔−𝑛 = (𝜙 𝑔 )−𝑛

3. Untuk membuktikan sifat ketiga. Digunakan sifat 1 dan sifat 2 diatas dengan gn = e

(|g| = n) menunjukkan bahwa e = ϕ (e) = ϕ (gn) = (ϕ (g))

n. Sehingga berdasarkan

teorema 4.1 pada buku Galian deketahui bahwa ak = e menunjukkan bahwa |a|

membagi k. Karenanya didapatkan | ϕ (g)| membagi |g| atau | ϕ (g)| membagi n

4. Ker 𝜙 tak kosong

Misalkan : a,b ∈ Ker𝜙 maka 𝜙(ab) = 𝜙(a) 𝜙(b) = 𝑒 . 𝑒 = 𝑒 . Sehingga, a,b ∈ Ker𝜙

Misalkan a ∈ Ker𝜙 . Perhatikan 𝜙(a-1

) = 𝜙(a)-1

= 𝑒 −1= 𝑒 . Sehingga, a-1

∈ Ker𝜙

Jadi, Ker𝜙 adalah subgrup dari G

5. 1. Akan dibuktikan 𝜙(a) = 𝜙(b) => a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙

Misalkan : 𝜙(a) = 𝜙(b)

Maka :

e = (𝜙(a))-1𝜙(a)

e = (𝜙(b))-1𝜙(a)

= 𝜙(b-1)𝜙(a)

= 𝜙(b-1

a)

Oleh karena itu :

b-1

a ∈ Ker 𝜙 (dilihat dari lemma properties of cosets no. 5 di chapter 7

menjelaskan bahwa jika aH = bH maka a-1

b ∈ H)

Sehingga :

a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙

2. a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙 => 𝜙(a) = 𝜙(b)

Misalkan : a Ker 𝜙 = b Ker 𝜙

Dengan menggunakan lemma properties of cosets no. 5 di chapter 7 menjelaskan

bahwa jika aH = bH maka a-1

b ∈ H, didapat : a-1

b ∈ Ker 𝜙

a (a-1

b) = b (a-1

b)

(a a-1

) b = b a-1

b

e b = b a-1

b

e b b-1

= b a-1

b b-1

e = b a-1

e = a-1

b

𝜙(e) = 𝜙(a-1

b)

e = 𝜙(a-1

) 𝜙(b)

e = (𝜙(a))-1

𝜙(b)

karena 𝑒 = (𝜙(a))-1

𝜙(a), maka : 𝜙(a) = 𝜙(b)

6. Harus ditunjukkan bahwa 𝜙-1(𝑔 ) ⊆ g Ker 𝜙 dan g Ker 𝜙 ⊆ 𝜙-1

(𝑔 )

1. Untuk membuktikan 𝜙-1(𝑔 ) ⊆ g Ker 𝜙

misalkan 𝑥 ∈ 𝜙-1(𝑔 ), sehingga 𝜙(x) = 𝑔 , maka 𝜙(g) = 𝜙(𝑥).

Dari teorema 5 diatas kita dapatkan

g Ker 𝜙 = x Ker 𝜙 oleh karena itu 𝑥 ∈ g Ker 𝜙

maka 𝜙-1(𝑔 ) ⊆ g Ker 𝜙

2. Untuk membuktikan bahwa g Ker 𝜙 ⊆ 𝜙-1(𝑔 ).

Misalkan k ∈ Ker 𝜙, maka 𝜙(gk) = 𝜙(g) 𝜙(k) = 𝑔 e = 𝑔

Dari definisi diketahui gk ∈ 𝜙-1(𝑔 )

Teorema 2. Misalkan 𝜙 merupakan homomorfisma dari grup G ke grup 𝐺 dan H

merupakan subgrup dari G. Maka :

1. 𝜙(H) = [𝜙(h) | h ∈ H] adalah subgrup dari 𝐺

2. Jika H cyclic, maka 𝜙(H) cyclic

3. Jika H abelian, maka 𝜙(H) abelian

4. Jika H normal di G, maka 𝜙(H) normal di 𝜙(G)

5. Jika | Ker 𝜙 | = n, maka 𝜙 adalah n ke 1 pemetaan dari G onto 𝜙(G).

6. Jika |H| = n, maka |𝜙(H)| membagi n

7. Jika 𝐾 adalah subgrup dari 𝐺 , maka 𝜙-1(𝐾 ) = {k ∈ G | 𝜙(k) ∈ 𝐾 } adalah subgrup

dari G

8. Jika 𝐾 adalah subgrup normal dari 𝐺 , maka 𝜙-1(𝐾 ) = {k ∈ G | 𝜙(k) ∈ 𝐾 } adalah

subgrup normal dari G

9. Jika 𝜙 onto dan ker 𝜙 = [e], maka 𝜙 adalah isomorfisma dari G ke 𝐺

Teorema 3 : jika 𝜙 : G 𝐺 hohomorfisma grup maka Ker 𝜙 merupakan subgrup

normal dari G

Bukti :

Karena {𝑒 }subgrup dari 𝐺 maka berdasarkan teorema, Ker(𝜙) = 𝜙-1({𝑒 }) merupakan

subgrup dari G.

Untuk menunjukkan bahwa Ker(𝜙) normal di G, berdasarkan teorema cukup

ditunjukkan ghg-1

∈ Ker(𝜙) untuk setiap g ∈ G dan h ∈ Ker(𝜙).

Ambil sembarang g ∈ G dan h ∈ Ker(𝜙).

Diperoleh 𝜙(ghg-1

) = 𝜙(g) 𝜙(h) 𝜙(g-1

)

= 𝜙(g) 𝑒 [𝜙(g)]-1

= 𝜙(g) [𝜙(g)]-1

= 𝑒

Jadi ghg-1

∈ Ker(𝜙) sehingga terbukti bahwa Ker(𝜙) normal di G.

Teorema 4 : setiap subgrup normal dari grup G adalah Kernel dari homomorfisma G.

Khususnya, subgrup normal N adalah kernel pemetaan g gN dari G ke G/N

Bukti :

Definisi 𝜙 : G G/N dengan 𝜙(g) = gN. (Pemetaan ini disebut homomorfisma natural

dari G ke G/N). Maka 𝜙(xy) = (xy)N = xNyN = 𝜙(x) 𝜙(y). Selain itu g ∈ Ker(𝜙) jika

dan hanya jika gN = 𝜙(g) = N. Benar jika dan hanya jika g ∈ N (lihat sifat 2 pada

lemma di bab 7 buku Galian)

Contoh Soal :

1. Misalkan (G, *) adalah grup, maka fungsi f : G G sehingga f(x) = x untuk setiap

x ∈ G adalah homomorfisma. Faktanya :

f(x*y) = x*y = f(x)*f(y)

2. Diberikan grup (M2 (R), + ) dan (R, +). Diberikan fungsi g: M2 (R) R dengan

definisi g a bc d

= a + b − c − d, untuk a bc d

∈ M2(R). Buktikan bahwa g

merupakan homomorfisma grup.

Jawab :

Diambil sembarang A, B ∈ M2(R), misalkan A = a bc d

dan B = e fg h

, maka

diperoleh bahwa

g A + B = g a bc d

+ e fg h

= g a + e b + fc + g d + h

= a + e + b + f − c + g − d + h

= a + e + b + f − c − g − d − h

= a + b − c − d + (e + f − g − h)

= g a bc d

+ g e fg h

= g A + g B

Terbukti bahwa g merupakan homomorfisma grup

3. Let G be a group of permutations. For each σ in G, define:

sgn(σ) = + 1 if σ is an even permutation−1 if σ is an odd permutation

Prove that sgn is homomorphism from G to the multiplicative group {+1,−1}. What

is the kernel?

Jawab :

Misalkan α,β ∈ G. Keduanya genap, keduanya ganjil, atau satu ganjil dan yang

lainnya genap., Kasus 1: keduanya genap. Maka α,β adalah genap.

sgn(α.β) = +1

= (+1)(+1)

= sgn(α)sgn(β)

Kasus 2: keduanya ganjil, maka α.β adalah genap.

sgn(α.β) = +1

= (−1)(−1)

= sgn(α)sgn(β)

Kasus 3: satu ganjil, satu genap. Maka α. β adalah ganjil. Misalkan α adalah ganjil

dan β adalah genap.

sgn(α.β) = −1

= (−1)(+1)

= sgn(α)sgn(β)

ker(sgn) = {x ∈ G|sgn(x) = 1}

= {x ∈ G|x is an even permutation}.

4. Let G be a subgroup of some dihedral group. For each 𝑥 ∈ G, define:

𝜙(σ) = + 1 if x is a rotation−1 if x is a reflection

Prove that 𝜙 is homomorphism from G to the multiplicative group {+1,−1}. What

is the ker(𝜙)?

Jawab :

Misalkan α,β ∈ G. Keduanya rotasi, keduanya refleksi, atau satu refleksi dan yang

lainnya rotasi

Kasus 1: keduanya rotasi. Maka α.β adalah rotasi.

𝜙 (α.β) = +1

= (+1)(+1)

= 𝜙 (α) 𝜙 (β)

Kasus 2: keduanya refleksi, maka α.β adalah rotasi.

𝜙 (α.β) = +1

= (−1)(−1)

= 𝜙 (α) 𝜙 (β)

Kasus 3: satu refleksi dan yang lainnya rotasi. Maka, α.β refleksi. Misalkan α

adalah refleksi dan β adalah rotasi.

𝜙 (α.β) = −1

= (−1)(+1)

= 𝜙 (α) 𝜙 (β)

ker(𝜙) = {x ∈ G| 𝜙 (x) = 1}

= {x ∈ G|x is an even permutation}.

5. Suppose that 𝜙 is a homomorphism from Z30 to Z30 and that Ker(𝜙) = {0; 10; 20}.

If 𝜙 (23) = 9, determine all elements that map to 9.

Jawab :

Kita butuh menemukan 𝜙-1(9).

Dari teorema 1 poin 5. Jika 𝜙 (g) = 𝑔 , maka 𝜙-1 (𝑔 ) = 𝑥 ∈ 𝐺 | 𝜙 𝑥 = 𝑔 = 𝑔

Ker 𝜙.

Di Z30 adalah operasi penjumlahan mod 30. Maka teorema 1 poin 5 menjadi :

Jika 𝜙 (g) = 𝑔 , maka 𝜙-1 (𝑔 ) = 𝑔 + Ker 𝜙, mod 30

Dari soal, kita ketahui bahwa 𝜙(23) = 9, maka :

𝜙-1 (9) = 23 + Ker 𝜙 = 23 + {0, 10, 20} mod 30 = {23, 3, 13}

Jadi, elemen pemetaan ke 9 adalah 3, 13, dan 23

GLOSARIUM

Homomorfisma : suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu.

Monomorfisma : homomorfisma yang 1-1 (injektif)

Epimorfisma : homomorfisma yang onto (surjektif)

Isomorfisma : homomorfis yang 1-1 dan onto (bijektif)

Endomorfisma : homomorfisma ke dalam diri sendiri

Automorfisma : isomorfisma pada diri sendiri

Kernel : elemen-elemen yang dipetakan ke 0’ atau pemetaannya

mengahsilkan elemen identitas.

DAFTAR PUSTAKA

Aljabar-Abstrak-I-Bab4. Online: http://zaki.math.web.id/diktat/Aljabar-Abstrak-I-

Bab4.pdf. Diakses pada tanggal 4 oktober 2012

Ekstra-Teorema Fundamental. Online: http://wijna.web.ugm.ac.id. Diakses pada

tanggal 18 nopember 2012

Gallian, J.A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. United State of America:

Brooks/Cole Cengage learning.

Homomorphisms And Isomorphisms. Online: http://cims.nyu.edu/~kiryl/teaching/

aa/les110703.pdf. Diakses pada tanggal 28 nopember 2012

Pengantar Struktur Aljabar 1 (Isnarto, S). Online:

http://www.angelputriafiles.wordpress.com/2011/01. diakses pada tanggal 18

nopember 2012

Pertemuan-9-26tgm1a. Online: http://mazhend.edublogs.org/files/2011/04/Pertemuan-

9-26tgm1a.pdf. Diakses pada tanggal 9 oktober 2012

RelasiFungsi. Online: http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/RelasiFungsi.pdf.

Diakses pada 4 oktober 2012-12-04

S_d015_056045_chapter 2. Online: http://www.repository.upi.edu/operator/upload.

diakses pada tanggal 28 nopember 2012