Persamaan Polinomial

Yan Batara Putra S.Si M.Si

A. Pengertian Polinomial dan Operasinya

Polinomial

Kolah kamar mandi Andi berbentuk balok. Dengan panjang kolah adalah 2 dm lebih dari lebarnya, Sedangkan tingginya 1 dm lebih dari lebarnya. Jika kolah tersebut diisi air hingga penuh, volumeAir yang mampu ditampung adalah 120 liter.Bagaimana model matematikanya?

Penyelesaiannya :Misal, x = lebar kolah dan V(x) = volumenya, sehinggaPanjang = x + 2 dan tinggi = x + 1Volume = panjang x lebar x tinggiV(x) = (x + 2)(x)(x + 1)

= x3 +3x2 + 2x

Disebut polinomial/sukubanyak

Bentuk x3 + 3x2 + 2x

Bentuk umum :anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ...+ a2 x2 + a1x + a0

Coba :1. (x – 1)(x + 2) = x2 + x - 2

2. x(x – 1)(x + 2) = x(x2 + x – 2)=x3 + x2 – 2x

3. x2 (x – 1)(x + 2) = x2(x2 + x – 2)=x4 + x3 – 2x2

Operasi-operasi polinomial

1. (3x2 + 4x – 1) + (2x4 + x2 – 5x + 4)

2. (3x2 + 4x + 1) - (4x4 + x2 + x + 3)

3. (7x2 + 4x – 8) + (2x4 + x2 – 5x )

Ex 1.

4. (x2 + 4x) + (x4 + 3x2 – 5x )

Ex 2. Diketahui :p(x) = ax2 + bx + 7q(x) = 3x2 + (a + b)x2 + (a – b)x – 8 r(x) = 3x3 + 7x2 + 2x – 1

Jika r(x) = p(x) + q(x), tentukan nilai a dan b.

Ex 3. Diketahui :

34)3)(4(147

x

B

x

A

xx

x

Tentukan nila A dan B

1. Tentukan nilai a dan b pada sukubanyak berikut jika berlaku p(x) + q(x)= r(x).a. p(x) =4x5 + ax2 + (a – 3)x + 3

q(x) = 2x4 – x3 + 2bx2 + (2b + 1)x + 1r(x) = 4x5 + 2x4 – x3 + 5x2 + 3x + 4

b. p(x) =x4 + (a + b)x3 – 2x2 + x – 1 q(x) = 2bx3 + 2x2 + (a – 3b)r(x) = x4 + 7x3 + x – 6

2. Tentukan nilai a, b, dan c :a. 2ax2 + (a + 2b)x + (c – 2a) ≡ 3x2 – x + 8

Tugas

b. )1)(2(

585

12 2

2

2

xxx

xx

xx

cbx

x

a

3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut :a.(2x3 + 3x2 + 4x + 1) : (x + 1)b x4 + 2x3 – 4x2 + 7x – 4 : (x – 3)

B. Pembagian Sukubanyak1. Pembagian Bersusun

Ex. 4 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :

14321.) 23 xxxxa

483412.) 23 xxxxb

2. Pembagian dengan cara Hornera. Pembagi bentuk linear ( x – k )

Bentuk : f(x) = ( x – k ) H(x) + S

Misal : dcxbxaxxf 23)( dibagi ( x – k )

Makahasil baginya :Sisa :

)()()( 22 cbkakxbakaxxH dckbkakS 23

Ex. 5 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :

)3(:)1536(

)1(:)210(23

3

xxxx

xxx

b).

a).

b. Pembagi bentuk linear ( ax + k )

)()(

)(

)()()(1

)()()()(

a

bf

a

xHbax

a

bfxHbax

a

a

bfxH

a

bxxf

Ex. 6 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :

)12(:)27984(

)32(:)12(234

23

xxxxx

xxx

b).

a).

c. Pembagi bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a ≠ 0

Ex. 7 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2x4 – 4x3 + 11x2 – 3x + 9 oleh x2 – 2x + 3

Sehingga :f(x) = (x2 – 2x + 3)H(x) + (px + q)

C. Teorema Sisa

Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi ( x – h ) makasisa pembagiannya adalah P(h)

Bukti : pandang P(x) = ( x – h ).H(x) + SDengan x – h = 0 atau x = h, diperoleh :P(h) = 0 . H(h) + SP(h) = 0 + SS = P(h)

Ex. 7 .Tentukan sisa dari pembagian sukubanyakP(x) = x2 – 6x – 8 dengan x + 1.

Ex. 8 .Jika sukubanyak f(x) dibagi ( x – 1 ) bersisa 2 dan f(x)dibagi dengan ( x + 2) bersisa – 1, tentukan sisanya jika f(x) dibagi ( x – 1 )(x + 2 ).

Tugas 2

1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya :a. (2x4 – 3x3 + 5x – 2) : (x2 – x – 2 )b. (3x8 – 4x4 – 5 ) : (x2 – 3x – 4 )

2. Jika P(x) dibagi oleh (x– 2) dan (x +3) masing-masingbersisa 5 dan - 10. tentukan sisanya jika P(x) dibagi(x2 + x – 6 ).

3. Tentukan nilai p agar 4x2 – 12x + p habis dibagi 2x – 1.

4. Tentukan nilai p dan q jika sukubanyak P(x) = 2x3 – px 2 + 4x + q habis dibagi 2x2 + x – 1 .

5. Sukubanyak P(x) habis dibagi x + 1 dan dibagi x2 – 4 bersisa 4x + 16. tentukan sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4)(x + 1).

D. Teorema FaktorJika f(x) adalah sukubanyak;

(x – k) merupakan faktor dari P(x)

jika dan hanya jika P(k) = 0

Artinya:

1. Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0

sebaliknya,

2. jika P(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor

Ex. 9Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1Jawab:(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1

= -1 + 4 – 2 – 1 = 0Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Ex. 10Tentukan faktor-faktor dariP(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6Jawab:Misalkan faktornya (x – k), makanilai k yang mungkin adalahpembagi bulat dari 6, yaitu

pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1diperoleh:P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6

= 2 – 1 – 7 + 6 = 0

Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktordari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6

Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x)oleh (x – 1) dengan pembagian horner:

Koefisien sukubanyakP(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6adalah

2 -1 -7 6k = 1

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6

+

2

2

1

1

-6

-6

0Koefisien hasil bagi

Karena hasil baginya adalahH(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)dengan demikian2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

E. Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak

Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak

Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak:P(x) = 0

Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao

dan (x – k) merupakan faktor dari P(x) maka

n

0

a daribulat

a daribulat

faktor

faktork

Ex. 11Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6.Kemudian tentukan akar-akar yang lain.Jawab:Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukanbahwa P(-3) = 0P(x) = x3 – 7x + 6. P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6

= -27 + 21 + 6= 0

Oleh karena P(-3) = 0,maka -3 adalah akar dariPersamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

P(x) = x3 – 7x + 6berarti koefisien P(x) adalah

1 0 -7 6k = -3

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2=(x – 1)(x – 2)

+

1

-3

-3

9

2

-6

0Koefisien hasil bagi

Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih

dahulu hasil bagi P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan

pembagian Horner sebagai berikut

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2

= (x – 1)(x – 2)

sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi

(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.

Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2

Ex. 12

Tentukan akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0.

Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akarakar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2

Algoritma penentuan akar rasional polinom P(x) = 0ii). 1. Selidiki apakah jumlah koefisien P(x) = 0

@ Jika ya, maka x = 1 merupakan akar dari P(x) = 0 ?@ Jika tidak, lakukan langkah berikut.

2. Periksa apakah jumlah koefisien variabel berpangkatgenap sama dengan jumlah koefisien berpangkat ganjil.@ Jika ya, maka x = -1 merupakan akar dari P(x) = 0@ Jika tidak, lakukan langkah berikut.

3. Tentukan faktor-faktor dari nilai nutlak a0, lakukan dengan cara coba-coba.

Misal : an xn +an-1 xn-1 +....+ a1x + a0 = 0, dengan a0 ≠ 0

i). Jika sebuah bilangan rasional,

Dimana b = faktor bulat dari a0

c = faktor bulat dari an

cb

1 0 -3 0 2k = 1

Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya,

Selanjutnya kita coba -1.Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

+1

1

1

1

-2

-2

0-2

-2

Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar

rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1

Koefisien x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 2

1 1 -2 -2k = -1

Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya,

Sehingga: (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

+1

-1

0

0

-2

2

0

Untuk :

(x2 – 2) dapat difaktorkan lagi menjadi

(x - √2)(x + √2) = 0

Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan

rasional.

Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi

(x - √2)(x + √2) = 0

Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,

tapi bukan bilangan rasional.

Jadi akar-akar rasionalnya hanya

ada 2 yaitu 1 dan -1.

Jumlah dan Hasil KaliAkar-akar

Persamaan Sukubanyak

Jika akar-akarPersamaan Sukubanyak:

ax3 + bx2 + cx + d = 0adalah x1, x2, dan x3 maka

x1 + x2 + x3 =

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =

x1.x2.x3 =

a

b

a

c

a

d

Contoh 1:

Jumlah akar-akar persamaan

x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….

Jawab:

a = 1, b = -3, c = 0, d = 2

x1 + x2 + x3 =

=a

b

1

3- = 3

Contoh 2:

Hasil kali akar-akar persamaan

2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….

Jawab:

a = 2, b = -1, c = 5, d = -8

x1.x2.x3 =

=a

d

2

8- = 4

Contoh 3:

Salah satu akar persamaan

x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2

Jumlah akar-akar persamaan

tersebut adalah….

Jawab:

-2 adalah akar persamaan

x3 + px2 – 3x - 10 = 0 →

-2 memenuhi persamaan tsb.

sehingga:

(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

4p – 12 = 0 4p = 12 p = 3

Persamaan tersebut:

x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0

Jumlah akar-akarnya:

x1 + x2 + x3 =

=a

b

1

3 = -3

Contoh 4:

Akar-akar persamaan

x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2,

dan x3. Nilai x12 + x2

2 + x32 =….

Jawab:

x12 + x2

2 + x32 = (x1 + x2 + x3)2

- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)

x3 – 4x2 + x – 4 = 0

x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4

x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1

x1 + x2 + x3 = 4x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1Jadi:

x12 + x2

2 + x32 = (x1 + x2 + x3)2

- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)

= 42 – 2.1

= 16 – 2

= 14

Selesai