BAB I

METODE BEDA HINGGA

1.1 Formulasi Beda Hingga

Deferensial dari peubah tak bebas di dalam persamaan diferensial harus kita dekati

dengan suatu pendekatan dengan bantuan computer.

Ada dua cara pendekatan dari deferensial suatu fungsi yaitu :

1. menggunakan uraian taylor

2. menggunakan polynomial derajat n

dalam pembahasan berikut kita hanya akan menggunakan pendekatan pertama yaitu

menggunakan uraian taylor.

Uraian Deret Taylor

Uraian Taylor dari f (x+∇ x ) disekitar x adalah :

f ( X+∆ X )=f (X )+ ∆ X1 !

∂ f∂ X

+(∆ X )2

2 !∂2 f∂ X2 +

(∆ X )3

3 !∂3 f∂ X3 +…

¿ f ( X )+∑n=1

∞ (∆ X)n

n !∂n f∂ Xn (1.1)

∂ f∂ X

=f (X+∆ X )−f (X )

∆ X−∆ X

2 !∂2 f∂ X2 −¿¿ (1.2)

0 (∆ X )→orde ∆ X

∂ f∂ X

=f (X+∆ X )−f (X )

∆ X+0 (∆ X ) (1.3)

Ini adalah pendekatan turunan pertama dari fungsi f terhadap X. aturan

pendekatan ini disebut pendekatan beda maju.

Pendekatan beda maju pada hakikatnya

menyatakan slop fungsi f di B menggunakan titik C

di titik B. Jika kita menggunakan indeks I untuk

menyatakan titik-titik diskrit dalam arah X, maka persamaan (1.3) dapat

dituliskan sebagai berikut :

∂ f∂ X|

i

=f i+1−f

∆ X+0(∆ X ) (1.4)

Makin kecil ∆ X makin baik pendekatan numeric yang kita lakukan.

Sekarang tinjau Uraian Taylor dari f (X−∆ X ) disekitar X

f ( X−∆ X )=f (X )−∆ X∂ f∂ X

+(∆ X )2

2 !∂2 f∂ X2 −

(∆ X )3

3 !∂3 f∂ X3 +…

¿ f ( X )+∑n=1

∞ [± (∆ X)n

n! ] ∂n f∂ X n (1.5)

+ untuk n genap

- untuk n ganjil

Dari persamaan (1.5) kita peroleh

∂ f∂ X

=f (X )−f (X+∆ X )

∆ X+0(∆ X )

Atau

∂ f∂ X|

i

=f i−f i−1

∆ X+0 (∆ X ) (1.6)

Ini adalah pendekatan beda mundur dari ∂ f∂ X

yang pada hakikatnya menyatakan slope

fungsi f dititik B menggunakan harga fungsi di titik A dan B

Sekarang kita tinjau kembali uraian taylor persamaan (1.1) dan persamaan (1.5)

f ( X+∆ X )=f (X )+∆ X∂ f∂ X

+(∆ X )2

2!∂2 f∂ X2 +

(∆ X )3

3!∂3 f∂ X3 +… (1.7)

f ( X−∆ X )=f (X )−∆ X∂ f∂ X

+(∆ X )2

2 !∂2 f∂ X2 −

(∆ X )3

3 !∂3 f∂ X3 +… (1.8)

Kurangkan persamaan (1.7) dan (1.8) hasilnya :

f ( X+∆ X )−f (X−∆ X )=2∆ X∂ f∂ X

+2(∆ X )3

3 !∂3 f∂ X 3 +… (1.9)

Dari persamaan (1.9) kita peroleh :

∂ f∂ X

=f (X+∆ X )−f (X−∆ X )

2∆ X+0¿

Atau

∂ f∂ X|

i

=f i+1−f i−1

∆ X+0¿ (1.10)

Ini adalah pendekatan beda pusat dari ∂ f∂ X

yang pada hakikatnya menyatakan slope

fungsi f di titik B menggunakan harga fungsi di titik A dan C

Ringkasan :

∂ f∂ X|

i

=f i+1−f

∆ X+0(∆ X ) Forward Difference (Beda Maju)

∂ f∂ X|

i

=f i−f i−1

∆ X+0 (∆ X ) Backward Difference (Beda Mundur)

∂ f∂ X|

i

=f i+1−f i−1

∆ X+0¿ Central Difference (Beda Pusat)

Sekarang kita ingin melakukan pendekatan dari differensial dengan orde yang lebih

tinggi. Tinjau kembali uraian taylor :

f ( X+∆ X )=f (X )+∆ X∂ f∂ X

+(∆ X )2

2!∂2 f∂ X2 +

(∆ X )3

3!∂3 f∂ X3 +… (1.11)

Selanjutnya kita cari uraian Taylor dari fungsi f (X+2∆ X) disekitar X

f ( X+2∆ X )= f (X )+∆ X∂ f∂ X

+(∆ X )2

2!∂2 f∂ X 2 +

(∆ X)3

3 !∂3 f∂ X3 +… (1.12)

Kalikan persamaan (1.11) dengan 2 dan ambil selisihnya dengan persamaan (1.12),

hasilnya :

−2 f (X+∆ X )−f (X−2∆ X )=−f (X )+(∆ X )2 ∂2 f∂ X2 −(∆ X )3 ∂3 f

∂ X 3 +… (1.13)

Dari persamaan (2.13) kitadapat menukarkan ∂2 f∂ X2

∂2 f∂ X2 =

f (X−2 ∆ X )−2 f (X+∆ X )+ f (X )(∆ X )2

+0 (∆ X )

Atau

∂2 f∂ X2|

i

=f i+2−2 f i+1+ f (X )

¿¿ (1.14)

Ini adalah pendekatan beda maju dari ∂2 f∂ X2 dengan tingkat kesalahan O(∆ X ). Dengan

cara yang sama kita dapat menentukan pendekatan beda mundur dari∂2 f∂ X2 sebagai

berikut :

∂2 f∂ X2|

i

=f i−2−2 f i−1+ f i−2

¿¿ (1.15)

Untuk mendapatkan pendekatan beda pusat dari ∂2 f∂ X2 adalah dengan cara

menjumlahkan persamaan (1.7) dan persamaan (1.8)

f ( X+∆ X )=f (X )+∆ X∂ f∂ X

+(∆ X )2

2 !∂2 f∂ X2 +

(∆ X )3

3 !∂3 f∂ X3 +… (1.7)

f ( X−∆ X )=f (X )−∆ X∂ f∂ X

+(∆ X )2

2 !∂2 f∂ X2 −

(∆ X )3

3 !∂3 f∂ X3 +… + (1.8)

f ( X+∆ X )+ f (X−∆ X )=2 f (X )+(∆ X )2 ∂2f

∂ X2 +…

∂2 f∂ X2 =

f (X+∆ X )−2 f (X )+ f (X−∆ X )¿¿

Atau

∂2 f∂ X2|

i

=f i+1−2 f i+f i−1

¿¿ (1.16)

Pendekatan untuk diferensial dengan orde yang lebih tinggi seperti ∂3 f∂ X3 ,

∂4 f∂ X4 dst.

Dapat kita lakukan denga prosedur yang sama seperti halnya dalam mencari ∂2 f∂ X2 .

Pada hakikatnya kita harus menggunakan uraian Taylor dari f ( X+∆ X ), f ( X+2∆ X ),

f ( X+3∆ X ), f ( X+4 ∆ X ), dst. Tatapi ada cara lain yang lebih sederhana. Untuk

kemudahan kita defenisikan :

Beda maju f i+1−f i sebagai ∆ f i

Beda mundur f i−f i−1 sebagai∇ f i

Beberapa operator untuk pendekatan beda pusat diberikan oleh rumusan-rumusan

berikut :

δ f i=f i+1−f i−1=∆ f i+∇ f

δ f i=fi+1

2

−fi−1

2

δ 2 f i=δ (δ f i)

¿δ (f i+12

−fi−1

2 )

¿ ( f i+1−f i )− (f i−f i−1 )

¿ f i+1−2 f i+ f i−1

¿∆ f i−∇ f i=∆∇ f i

Dengan menggunakan operator yang dideferensialkan di atas, pendekatan dari

deferensial orde yang lebih tinggi dengan pendekatan beda maju, beda mundur, dan

beda pusat dapat dinyatakan sebagai berikut :

∂2 f∂ Xn|

i

=∆n f i¿¿ beda maju (1.17)

∂2 f∂ Xn|

i

=∇n f i¿¿ beda mundur (1.18)

∂2 f∂ Xn|

i

=∆n f

i−n2

+∇n fi+

n2

2¿¿ (beda pusat untuk n genap) (1.19)

∂2 f∂ Xn|

i

=∆n f

i−n−1

2

+∇n fi+

n−12

2¿¿ (beda pusat untuk n ganjil) (1.20)

Kita letahmembahas pendekatan beda maju ∂ f∂ X

dengan tingkat kesalahan O(∆ X ).

Caranya kita mulai dari uraian Taylor f ( X+∆ X ) di sekitar X.

f ( X+∆ X )=f (X )+∆ X∂ f∂ X

−(∆ X )2

2!∂2 f∂ X2 −

(∆ X )3

3!∂3 f∂ X3 +… (1.21)

Dari persamaan (1.21) kita dapatkan ∂ f∂ X

∂ f∂ X

=f (X+∆ X )−f (X )

∆ X−∆ X

2 !∂2 f∂ X2 −

(∆ X )2

3 !∂3 f∂ X 3 +…

(1.22)

Kita dapat melakukan pendekatan beda maju dengan tingkat ketelitian lebih tinggi

(tingkat kesalahan O ¿) dengan mensubtitusikan pendekatan beda maju dari ∂2 f∂ X2

∂2 f∂ X2 =

f (X )−2 f (X+∆ X )+2 f (X+2∆ X )¿¿

Ke dalam persamaan (1.22) hasilnya :

∂ f∂ X

=f (X+∆ X )−f (X )

∆ X−∆ X

2¿

∂ f∂ X

=−2 f (X+∆ X )+4 f (X+2∆ X )−3 f (X )

2∆ X+O(∆ X)

Level waktu n

i-1, j

i, j-1

i, j

i, j+1y

Level waktu n+1

i-1, j

i, j-1

i, j

i, j+1y

Δt

Ini disebut pendekatan beda maju ∂ f∂ X

orde kedua.

Dengan cara yang sama kita dapat menentukan pendekatan beda maju, beda mundur,

dan beda pusat dari dengan orde yang lebih tinggi (orde ketiga, keempat, dst) dengan

cara mensubtitusi pendekatan untuk ∂3 f∂ x3 ,

∂4 f∂ x4 , dst kedalam uraian taylor. Dalam

praktek umumnya dilakukan pendekatan sampai orde kedua saja, karena makin tinggi

ketelitian yang kita inginkan makin lama waktu komputasinya.

1.2 Persamaan Beda Hingga

Kita telah menggunakan pendekatan beda hingga yang digunakan untuk mengganti

turunan di dalam suatu persamaan diferensial parsial. Sekarang kita ingin menerapkan

persamaan beda hingga dalam persamaan diferensial parsial. Tinjau suatu fungsi

f=f (x , y ,t ). Persamaan diferensial pengaturnya diberika oleh :

∂ f∂ t

=α [ ∂2 f∂ x2 +

∂2 f∂ y2 ] , α adalah suatu konstanta (1.23)

gunakan indeks i dan j untuk menyatakan koordinat Cartesian x dan y, dan indeks n

untuk menyatakan waktu t. Δx dan Δy untuk menyatakan spasi dari grid dalam arah x

dan y dan Δt untuk menyatakan langkah waktu.

Sistem grid di perlihatkan oleh gambar berikut :

kita terapkan pendekatan beda maju dalam waktu dan pendekatan beda pusat dalam

ruang. Dari persamaan (1.4) :

∂ f∂ t

=f ijn+1−f ij

n

∆ t+O(∆x )

dari persamaan (2.16)

∂2f∂ x2 =

f i+1 , jn −2 f ij

n+f i−1 , jn

(∆ x )2 +O (∆ x2 )

dan

∂2 f∂ y2=

f i , j+1n −2 f ij

n+ f i , j−1n

(∆ y)2 +O (∆ y2 )

Jadi persamaan beda hingga dari persamaan (1.23) dapat ditulis sebagai :

f ijn+1−f ij

n

∆ t=α [ f i+1, j

n −2 f ijn+ f i−1 , j

n

(∆ x)2+f i, j+1n −2 f ij

n+f i, j−1n

(∆ y)2 ]+O¿ (1.24a)

Terlihat disini turunan kedua dari f terhadap x dan y kita nyatakan pada langkah

waktu n, artinya nilai dari fungsi diketahui besarnya, hanya ada satu besaran yang

tidak diketahui dari persamaan (1.24a) yaitu f ijn+1. Jadi dengan mudah kita dapat

langsung menentukan f ijn+1 dari persamaan (1.24a). pendekatan ini dikenal dengan

pendekatan ekxplisit. Pendekatan ini sederhana dan mudah pengerjaannya, tetapi

harus memenuhi kriteria stabilitas.

Kita dapat menyatakan ∂2f∂ x2 dan

∂2 f∂ y2 pada langkah waktu n+1, persamaannya

diberikan oleh :

f ijn+1−f ij

n

∆ t=α [ f i+1, j

n+1 −2 f ijn+1+ f i−1 , j

n+1

(∆ x )2+f i , j+1n+1 −2 f ij

n+1+ f i , j−1n+1

(∆ y)2 ]+O ¿ (1.24b)

dari persamaan (1.24b) terlihat bahwa ada 5 besaran yang belum diketahui yaitu :

f i , j−1n+1 , f i−1, j

n+1 , f i , j+1n+1 , f i+1 , j

n+1 , f ijn+1 yang harganya tidak dapat ditentukan secara langsung

dari persamaan (1.24b). persamaan (1.24b) diterapkan di semua titik grid dari domain

yang dimodelkan sehingga di peroleh n persamaan dan n besaran yang tidak diketahui

dan sistem persamaan tersebut diselesaikan secara simultan. Pendekatan ini disebut

pendekatan secara implisit.

Pendekatan ini lebih stabil dari pendekatan eksplisit. Selanjutnya kita dapat merubah

bentuk persamaan (1.24a) menjadi

f ijn+1−f ij

n

∆ t−α [ f i+1, j

n+1 −2 f ijn+1+ f i−1 , j

n+1

(∆ x )2+f i , j+1n+1 −2 f ij

n+1+ f i , j−1n+1

(∆ y)2 ]=O¿ (1.25)

ruas kanan menyatakan kesalahan memutus (truncating error). Karena orde terendah

diruas kanan adalah orde satu,maka pendekatan beda hingga diatas disebut

pendekatan beda hingga dengan derajat ketelitian orde 1.

Bila misalnya ruas kanan berbentuk ¿, maka pendekatan ini disebut pendekatan

dengan ketelitian orde 2.

Contoh penerapan :

1. Tentukan pendekatan beda maju dari ∂4 f∂ x4

Solusi : terapkan persamaan (1.17)

∂n f∂ xn|

i

=∆n f i

(∆ x )n+O (∆ x )

untuk n = 4, kita peroleh :

∂4 f∂ x4|

i

=∆4 f i

(∆x ) 4 +O (∆ x )

∆4 f i=∆3 (∆ f i )=∆3 (f i+1−f i )=∆2 (∆ f i+1−∆ f i )

¿∆2 ( f i+2−f i+1−( f i+1−f i ))=∆2 ( f i+2−2 f i+1−f i )

¿∆ (∆ f i+2−2∆ f i+1+∆ f i )=∆ ¿

¿∆ ( f i+3−3 f i+2+3 f i+1−f i )

¿∆ f i+3−3∆ f i+2+3∆ f i+1−∆ f i

¿ ( f i+4−f i+3 )−3( f ¿¿ i+3−f i+2)+3 ( f i+2−f i+1 )−(f ¿¿ i+1−f i+1)¿¿

¿ f i+4−4 f i+3+6 f i+2−4 f i+1+ f i

jadi kita peroleh :

∂4 f∂ x4|

i

=[ f i+4−4 f i+3+6 f i+2−4 f i+1+f i]

(∆ x )4

2. Tentukan pendekatan beda maju dari ∂3 f∂ x3 dengan orde kesalahan ∆x untuk spasi

grid yang sama (lihat gambar).

a. Dengan cara uraian Taylor

f i

f i+1

f i+2

f i+3

x i x i+1 x i+3x i+2

x x x

y

b. Dengan menggunakan beda maju yang berulang

Solusi :

a. uraian Taylor dari f(x+∆x), f(x+2∆x) dan f(x+3∆x) disekitar x adalah :

f ( x+∆x )=f ( x )+∆ x∂ f∂ x

+(∆ x)2

2!∂2 f∂ x2 +

(∆ x )3

3 !∂3 f∂ x3 +O ¿ (1)

f ( x+2∆ x )= f ( x )+2∆ x∂ f∂ x

+(2∆ x)2

2 !∂2 f∂ x2 +

(2∆ x)3

3 !∂3 f∂ x3 +O ¿ (2)

f ( x+3∆ x )=f ( x )+3 ∆ x∂ f∂ x

+(3∆ x )2

2 !∂2 f∂ x2 +

(3 ∆ x)3

3 !∂3 f∂ x3 +O ¿ (3)

∂3 f∂ x3 ditentukan dari ke-3 persamaan di atas, dari pers. (1) dan (3) didapat :

3 f i+1−f i+3=2 f i−3(∆ x)2 ∂2 f

∂ x2 +3 (∆ x)3 ∂3 f

∂ x3 +O¿ (4)

Dan dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

f i+2− f i+1=−f i−(∆x )2 ∂2 f

∂ x2 +(∆ x)3 ∂3 f∂ x3 +O(∆ x4) (5)

Dari persamaan (5) dan (4_ diperoleh rumusan untuk ∂3 f∂ x3 yaitu :

∂3 f∂ x3 =

f i+3−3 f i+2+3 f i+1−f i(∆ x)3 +O(∆ x)

c. Cara yang termudah adalah dengan menggunakan persamaan (1.17)

∂3 f∂ x3 =

∆3 f i(∆ x)3 +O (∆ x)

Dimana :

∆3 f i=∆2 (∆ f i)=∆2 ( f i+1−f i )=∆ (∆ f i+1−∆ f i )

¿∆ [ ( f i+2−f i+1 )−( f i+1−f i ) ]=∆ ( f i+2−2 f i+1+ f i )

¿∆ f i+2−2∆ f i+1+∆ f i

¿ ( f i+3−f i+2 )−2 (f i+2−f i+1 )+( f i+1−f i )

¿ f i+3−3 f i+2+3 f i+1−f i

Jadi, ∂3 f∂ x3 =

f i+3−3 f i+2+3 f i+1−f i(∆ x)3 +O(∆ x)

3. Diberikan f ( x )= 14x2

hitung turunan pertama dari f pada x = 2 menggunakan

pendekatan beda maju dan beda mundur dengan orde kesalahan O(∆x).

bandingkan hasilnya dengan menggunakan pendekatan beda pusat dengan orde

O(∆x)2 dan dengan solusi eksaknya.

Gunakan ∆x = 0.1 dan ∆x = 0.4.

Solusi :

untuk ∆x = 0.1 didapat

Beda maju ∂ f∂ x

=f i+1−f i∆ x

+O (∆ x )

∂ f∂ x |i=2

=f (2.1)−f (2.0)

0.1+O (0.1 )

¿

14−( 4.1 )−1

4−(4 )

0.1+O (0.1 )

¿1.025+O (0.1 )

Beda mundur ∂ f∂ x

=f i−f i−1

∆ x+O (∆ x )

∂ f∂ x |i=2

=f (2.0)−f (1.9)

0.1+O (0.1 )

¿

14−( 4 )−1

4−(3.61 )

0.1+O (0.1 )

¿0.975+O (0.1 )

Beda pusat ∂ f∂ x

=f i+1−f i−1

∆x2 +O (∆ x2 )

∂ f∂ x |i=2

=f (2.1)−f (1.9)

0.1+O (0.1 )

¿

14−( 4.1 )−1

4−(3.61 )

0.1+O (0.1 )

¿1+O (0.1 )

Solusi eksak ∂ f∂ x

=14x→

∂f (2 )∂ x

=1

Menggunakan ∆x = 0.4 didapat :

Beda maju ∂ f∂ x |i=2

=f (2.4)−f (2.0)

0.4+O (0.41 )

¿1.2+O (0.4 )

Beda mundur ∂ f∂ x |i=2

=f (2.0)−f (1.6)

0.4+O (0.4 )

¿0.9+O (0.4 )

Beda pusat ∂ f∂ x |i=2

=f (2.4)−f (1.6)

0.8+O (0.16 )

¿1.1+O (0.16 )

Dari hasil diatas dapat kita lihat bahwa untuk ∆x yang besar pendekatan beda

maju dan mundur lebih menyimpang harganya dari solusi eksaknya, sedangkan

pendekatan beda pusat tidak. Pemilihan ukuran grid sangat penting dalam

analisis numerik.

4. Tentukan pendekatan beda mundur dari ∂ f∂ x

dengan orde kesalahan (∆x)3.

Solusi : uraian Taylor

f ( x−∆ x )=f ( x )+∆ x∂ f∂x

+(∆ x )2

2 !∂2 f∂ x2 +

(∆ x)3

3 !∂3 f∂ x3 +O ¿

Dari persamaan ini diperoleh :

∆ x∂ f∂ x

=f ( x )−f ( x−+∆ x )+(∆x )2

2!∂2 f∂ x2 +

(∆ x )3

3 !∂3 f∂ x3 +O ¿

Untuk mendapatkan pendekatan beda mundur dengan orde (∆x)3 kita harus

mensubtitusikan pendekatan beda mundur dari ∂2f∂ x2 dan

∂3 f∂ x3 dalam persamaan diatas.

Tetapi kita harus hati-hati dalam menentukan pendekatan beda mundur untuk ∂2f∂ x2

dengan orde kesalahan (∆x)2 dan pendekatan beda mundur untuk ∂3 f∂ x3 dengan orde

kesalahan (∆x). persamaan beda mundurnya adalah :

∂2f∂ x2 =

−f i−3−4 f i−2+5 f i−1−f i(∆ x)2 +O(∆ x)2

∂3 f∂ x3 =

−f i−3−2 f i−2+3 f i−1−f i(∆ x )3 +O (∆ x)

Setelah disubtitusikan ke dalam persamaan di atas, diperoleh,

∆ x∂ f∂x

=f i−f i−1+(∆ x )2

2 !¿

(∆ x )3

3 !¿

atau

6 ∆x∂ f∂ x

=−2 f i−3+9 f i−2−18 f i−1+11 f i+O (∆ x )4

∂ f∂ x

=−2 f i−3+9 f i−2−18 f i−1+11 f i

6(∆ x)3 +O (∆ x )4

BAB II

MODEL HIDRODINAMIKA

2.1 Persamaan Hidrodinamika Sederhana untuk Kasus 1 Demensi

Persamaan hidrodinamika sederhana satu dimensi yang lengkap adalah :

ut+uux+gζ x=disipasi+gaya luar (2.1)

(Hu)x+ζ t=0 (2.2)

Sistem persamaan (2.1) dan (2.2) adalah persamaan yang diintegrasikan terhadap

kedalaman jadi kecepatan u adalah kecepatan yang dirata-ratakan terhadap

kedalaman.

u= 1H

∫−D

ζ

u ( z)dz

(2.3)

Kedalaman total H diberikan oleh

H=ζ+D

(2.4)

D : still water level (permukaan air dalam keadaan tenang)

ζ : elevasi terhadap D

Sistem persamaan (2.1) dan (2.2) dapat disederhanakan menjadi persamaan

gerak ut+gζ x=0 Persamaan kontinuita ζ t+Hux=0s

Pada persamaan gerak, suku non linier, gaya disipasi dan gaya luar kita abaikan.

Pada persamaan kontinuitas HX << uX perubahan kedalaman terhadap x jauh lebih

kecil dari pada perubahan u terhadap x. untuk mendapatkan solusi eksak dari sistem

persamaan (2.5) dan (2.6) maka sistem persamaan tersebut perlu diubah bentuknya

menjadi persamaan gelombang :

Ftt = c2 Fxx

Diferensiasikan I terhadap (2.5) dan (2.6) terhadap x kemudian jumlahnya menjadi,

u tt+g ζ xt=0gζ xt+g Huxx=0

utt−g Hutt=0atau utt=g Huxx

−¿

Ini adalah persamaan gelombang dalam u.

Untuk membentuk persamaan gelombang dalam ζ kita diferensiasikan (2.5) terhadap

x dan (2.6) terhadap t kemudian jumlahkan menjadi:

−Huxt−gζ xx=0ζ tt+Hu xt=0

ζ tt−g H ζ tt=0atau ζ tt=g H ζ xx

+¿

Dalam persamaan kedua kecepatan gelombang adalah,

c2=g H atau c=√g H

2.2 Pengerjaan Eksplisit dari persamaan Hidrodinamika Satu Dimensi

Tinjau kembali persamaan (2.5) dan (2.6) :

I. ut+gζ x=0

II. ζ t+HU x=0

Pemecahana numerik dari sistem persamaan ini dilakukan dengan mengambil

pendekatan selisih pusat terhadap ruang dan selisih maju terhadap waktu. (catatan :

kalau kita perhatikan, bentuk persamaan (I) dan (II) adalah sama dengan persamaan

adveksi Ft + cFx =0 ).

Kita telah melihat bila kita lakukan pendekatan selisih pusat terhadap ruang dan

selisih maju terhadap waktu pada persamaan adveksi maka pemecahan numeriknya

tidak stabil. Untuk menghindari ketidakstabilan ini disusun suatu kasa (grid) yang

terletaknya dipindah baik terhadap waktu maupun terhadap ruang (kasa Richardson

1967, Hasen 1956, Sundermann 1966). Kasa Richardson dapat di gambarkan sbb :

Persamaan selisih dari I dan II diberikan oleh :

I. u jn+1/2−u j

n−1 /2+g ΔtΔ x

(ζ j+1n −ζ j

n )=0

II. u jn+1/2−u j

n−1 /2+g ΔtΔ x

(ζ j+1n −ζ j

n )=0

Dimana H jn=D+ζ j

n

Penyelesaian eksplisit ini adalah stabil bersyarat Kriterium stabilitas

Untuk menentukan kriteria kestabilan sistem persamaan (I) dan (II)

a. Kita tulis I dan II adalah bentuk matriks.

Ingat bahwa titik tumpu ζ Letaknya berjarak ∆x/2 dari titik u, H dianggap

konstan.

b. Tentukan matriks amplifikasi dari sistem persamaan yang digabungkan.

c. Kita tentukan nilai eigen dari matriks amplifikasi, A.

Peramaan selisih dari I dan II diberikan oleh :

I. u jn+1/2−u j

n−1 /2+g ΔtΔ x

(ζ j+1n −ζ j

n )=0

II. ζ jn+1−ζ j

n+H jn ΔtΔ x

(u jn+1 /2−u j−1

n+1 /2 )=0

dimana H jn=D+ζ j

n

Persamaan II dapat dituliskan dengan n n-1 :

Dalam rumus u=ueikx ; ζ=ζ 0eikx

Kita dapat menuliskan :

II. ζ jn=ζ j

n−1−H n ΔtΔ x

u jn−1/2(e

ik ∆x2 −e

−ik ∆ x2 )

Ingat u jterletak+Δ x /2dari ζ j

u j−1terletak+Δ x /2dari ζ j

II. ζ jn=ζ j

n−1−H n ΔtΔ x

2 i sin( k Δ x2

)uj

n−1/2

dalam bentuk matriks persamaan ini ditulis

II. ( ζ jn

u jn−1 /2)=(−2 i H n Δt

Δ xsin

k Δ x2

1

1 0)(u jn−1/2

ζ jn−1 )

Dengan cara yang sama kita juga dapat menulis I dalam bentuk matriks sbb:

I. (u jn+1 /2

ζ jn )=(−2i g

ΔtΔ x

sink Δ x

21

1 0)( ζ jn−1

u jn−1/2)

Bila I dan II digabung menjadi :

(u jn+1 /2

ζ jn )=(−2i g

ΔtΔ x

sink Δ x

21

1 0)(−2iH n ΔtΔ x

sink Δ x

21

1 0)(u jn−1/2

ζ jn−1 )

Matriks amplifikasi A adalah :

A=(−4 H n gΔt 2

Δ x2 . sin2 k Δx2

+1 −2 i gΔ tΔ x

sinkΔx

2

−2 i H n ΔtΔ x

sinkΔx

21 )

d. Menentukan nilai eigen dari matriks A

Det |A-λI|=0

(−4 H gΔt 2

Δ x2 . sin2 k Δx2

+1−λ −2 i gΔtΔ x

sinkΔx

2

−2iHΔtΔ x

sinkΔx2

1−λ )=0

(−4 H gΔt 2

Δ x2 . sin2 k Δx2

+1−λ) (1−λ )+4 H gΔt 2

Δ x2 . sin2 k Δx2

=0

Dengan menuliskan β=2 ΔtΔ x

√g H sinkΔx2

maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut :

(1− λ ) (1−λ−β2 )+β2atau λ2− λ (2−β2 )+1=0

nilai eigen :

λ1.2=2−β2

2±1 /2√(2−β¿¿2)2−4¿

Tinjauan beberapa kasus dari harga √(2−β¿¿2)2−4¿

1. Akar imajiner

λ λ=( ℜ+ℑ ) (ℜ−ℑ )=ℜ2−ℑ2

λ=kompleks konyugasi

λ λ=1/ 4¿

√ λ λ=|λ|=1

2. Akarnya sama dengan nol

(2−β¿¿2)2−4=0 ; β=0atau β2=4→β=±2¿

β=2 ΔtΔ x

√g H n sinkΔx

2

βmax2 =4=4 Δt2

Δ x2 g H n→Δt= Δ x

√g Hn

3. Bila akarnya real

(2−β¿¿2)2−4≥0→β2≥4 ¿

Jadi dari 2) dan 3). Dapat disimpulkan bahwa kriteria stabilitas penyelesaian eksplisit

dari persamaan hidrodinamika satu dimensi yaitu :Δt ≤Δ x

√g H n

Criteria stabilitas Counrant-Friederichs_Lewy (CFL), yaitu λ≤1

2.3 Pengerjaan Implisit (Crank_Nicholson)

Kembali perhatikan persamaan (2.5) dan (2.6) :

ut+gζ x=0 (2.5)

ζ t+HU x=0 (2.6)

Persamaan selisih dari persamaan (2.5) dan (2.6) diselesaikan secara implicit adalah :

I. u jn+1−u j

n+g Δt2 Δ x

(ζ j+1n+1−ζ j

n+1+ζ j+1n −ζ j

n )=0

II. ζ jn+1−ζ j

n+H jn Δt

2 Δ x(u j

n+1−u j−1n+1+u j

n−u j−1n )=0

Gambar susunan letak titik u dan ζ dari penjelasan implicit (crank_nicholson) dengan

kasa Richardson adalah seperti gambar berikut :

Untuk menyelesaikan system persamaan I dan II diatas,tentukan u jn+1−u j−1

n+1 dari I :

u jn+1=u j

n−gΔt

2 Δ x(ζ j+1

n+1−ζ jn+1+ζ j+1

n −ζ jn)

u j−1n+1=u j−1

n −gΔt

2 Δ x(ζ j

n+1−ζ j−1n+1 +ζ j

n−ζ j−1n )

Kemudian harga u j−1n+1 dan u j

n+1 ini disubstitusikan ke dalam II

tuliskan w jn=g H j

n Δt2

Δ x2

Hasilnya kita peroleh sbb:

III. −w j ζ j−1n+1+( 1+2w j ) ζ j

n+1−w jζ j+1n+1=w j ζ j1

n +(1−2w j ) ζ jn+w jζ j+1

n +H jn ΔtΔ x

(u j−1n −u j

n )

Dengan persamaan ini kita dapat menghitung ζ n+1

Hasil perhitungan ini kita subtitusikan ke dalam I untuk memperoleh un+1

2.4 Pemodelan Hidrodinamika di Saluran 1 Dimensi dengan Topografi yang

Bervariasi.

Dengan memakai persamaan (2.5) dan (2.6) serta menggantikan parameter kecepatan

dengan transport (volume) yang didefenisikan sebagai U = uH, maka diperoleh

persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport sbb :

I. ut+gζ x=0

II. ζ t+U x=0atauH t+U x=0

dimana H in=D+ζ i

n

a. Pengertian Eksplisit dari Persamaan I dan II adalah

I. u jn+1/2−u j

n1 /2+g Δt2 Δ x

12¿

II. ζ jn+1−ζ j

n+ ΔtΔ x

(u jn+1/2−u j−1 /2

n+1/2 )=0

Atau dapat juga dituliskan dalam bentuk lain sbb:

I. u jn+1/2−u j

n1 /2+g ΔtΔ x

12

¿

II. H jn+1−H j

n+ ΔtΔ x

(u jn+1/2−u j−1/2

n+1/2 )=0

b. Pengerjaan implisit dari persamaan hidrodinamika dalam bentuk

transport adalah :

I. u jn−u j

n+g ΔtΔ x

H jn 12

(ζ j+1n+1+ζ j

n+1+ζ j+1n −ζ j

n )=0

II. ζ jn+1−ζ j

n+ ΔtΔ x

12

(u jn+1−u j−1

n+1 +U jn−U j−1

n )=0

III.

−w j ζ j−1n+1+( 1+w j−1+w j ) ζ j

n+1−w j ζ j+1n+1=w j−1ζ j1

n +(1−w j−1 ) ζ jn+w jζ j+1

n + ΔtΔ x

(U j−1n −U j−1

n )

dimana w j=gΔt 2

4 Δ x2 H jn

H n=1 /2 (D j+D j+1+ζ jn+ζ j+1

n )

Persamaan (III) dapat diselesaikan dengan metode gauss ataumetode interatif yang

lain.

2.5 Pemodelan Hidrodinamika di dalam Kanal Satu Dimensi dengan

Memperhatikan Gesekan Dasar dan Stress Angin.

a). Pengerjaan Eksplisit

Persamaan model yang dipakai adalah persamaan Hidrodinamika dalam kecepatan

(persamaan 5 dan 6 + gesekan).

I. ut+gζ x=(τ s−τb)/H

II. ζ t+Hux=0

dimana τ s=stress angin

τ s=ρLCDw∨w∨¿

ρLCD=λ=koefisiengesekan angin

= 3.2 x 10-6 yang merupakan bilangan tak berdimensi

w= kecepatan angin

τ b=gesekandasar

Ada dua bentuk gesekan dasar yang digunakan :

a. Bentuk linier :τ b=αu

dimensi dari α adalah [T-1]

dimensi dari u adalah [MT-1]

b. Bentuk kuadratif :τ b=ru∨u∨¿

dimana r = koefisien gesekan dasar yang merupakan bilangan tak berdimensi

= 3.0x 10-3.

Untuk pendiskritan suku gesekan dasar, kita tinjau persamaan gerak yang

disederhanakan :

ut+τ b

H=0 atau dengan menggunakan rumus gesekan kuadratis maka persamaan

tersebut dapat ditulis :

ut+ru∨u∨ ¿H

=0¿

Pendiskritan cara pertama adalah :

u|u|=un.|un|

Subtitusikan ke dalam persamaan di atas :

un+1−un+Δt . run|un|

H=0atau

un+1=un−Δ t . run|un|

H

Pendiskritan cara kedua adalah :

u|u|=un+1.|un|

Subtitusikan ke dalam persamaan hidrodinamika yang disederhanakan sehingga

diperoleh :

un+1−un+ rΔtun

H|un|=0atau un+1= un

¿¿

Untuk melihat kelebihan dan kekurangan dari kedua cara pendiskritan di atas kita

tinjau dua kasus berikut :

a) H besar, maka ¿¿ adalah kecil sehingga un+1 = un. untuk kedua pendikritan di

atas.

b) H kecil, maka harga ¿¿ adalah besar yang biasa saja lebih besar dari satu.

Bila terjadi maka cara pertama akan menghasilkan un+1 = -un yangsecara fisis

gesekan akan merubah arah arus, hal ini tidak kita inginkan. Kondisi ini tidak

akan kita temui bila digunakan cara kedua.

un+1=un∗¿)

Bila ¿¿ maka pendiskritan cara pertama akan menghasilkan un+1=0, artinya energy

kinetik dihilangkan hanya oleh gesekan dasar. Hal ini tidak terjadi pada pendiskritan

cara kedua.

Kelemahan pendiskritan cara pertama juga berlaku bila kita menggunakan persamaan

hidrodinamika dalam bentuk transport (volume) :

I. ut+gHζ x=τ s−τb

II. ζ t+U x=0

dimana τ s=ρLCDw∨w∨¿

¿ λw∨w∨¿

λ=3.2 x10−6

τ b=ru∨u∨ ¿H 2

¿

R = 3 x10-3

Bentuk penyelesaian eksplisit dari persamaan hidro dalam bentuk transport dan

menggunakan pendiskritan cara pertama untuk gesekan dasar adalah :

U jn+1/2=U j

n1 /2 .¿

Dengan menggunakan pendiskritan cara kedua diperoleh

U jn+1/2=U j

n−1 /2 .¿

dimana H jn=

H jn+H j+1

n

2

b). Pengerjaan Implicit

Pengerjaan implisit dari persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport (volume)

yang menghitung stress angin dan gesekan dasar adalah sbb :

I. U jn+1=[U j

n+∆ tλw|w|−gΔtΔ x

H jn 1

2(ζ j+1

n+1+ζ jn+1+ζ j+1

n −ζ jn ) ]R j

dengan R j=1¿¿

II. ζ jn+1−ζ j

n+ Δt2 Δ x

[U jn+1−ζ j−1

n+1 +ζ jn−ζ j+1

n ]=0

Penggabungan persamaan I dan II adalah :

III.

−H j−1ζ j−1n+1+ (1+H j

¿+H j−1¿ )ζ j+1

n −H j¿ . ζ j−1

n+1=H j−1¿ ζ j+1

n +(1−(H j¿+H j−1

¿ ))ζ jn+H j

¿ζ j+1n + Δt

2 Δ x [U j−1n −U j

n−R j (U jn+w j

¿)+R j−1 (U j−1n +w j−1

¿ ) ]dimana : w j

¿=∆ t . λ .w j|w j|H j

¿=α . R jH jn

dimana : α=g− Δt2

4 Δ x2

H j¿=1

2α R j [ ζ j

n+ζ j+1n +D j+D j+1 ]

2.6 Model Hidrodinamika di Kanal Satu Dimensi dengan Memperhatikan

Gesekan Dasar, Stress Angin, Suku Non Linier, dan Penampang Melintang

yang Bervariasi

Persamaan model yang dipakai adalah persamaan dalam bentuk transport, sbb :

I. U t+ (U|U|/H )x+rU|U|/H 2+gHξ x=λW∨W∨¿

II. ξ x+U x=0

Sistem persamaan I dan II ini kita transformasikan dalam bentuk persamaan debit

(Q), dimana :

Q = kecepatan x penampang yang dialiri

= u x A

= u x H x B; B : lebar kanal

Q = UB atau U = Q/B

Subtitusikan harga U ini kedalam sistem persamaan I dan II diperoleh :

I.1BQt−

2QBH

ξx+r

(BH )2Q|Q|+gHξ x=λW∨W∨¿

II. ξ x+1BQx=0

Perubahan dalam ruang dari leber diabaikan terhadap variasi ruang dari Q danξ

Persamaan selisih dari sistem persamaan dalam bentuk debit di atas diberikan oleh :

I.

Q jn+1−Q j

n−Q j

n

H j

(ξ j+1n+1−ξ j+1

n +ξ jn+1−ξ j

n )+ r ΔtB jH j

2 Q jn+1 ¿Q j

n∨+gB j H jΔtΔ x

(ξ j+1n+1−ξ j

n+1 )=B j∆ t . λ .w j|w j|

II. ξ jn+1−ξ j

n+ ΔtB j Δ x

(Q jn+1−Q j−1

n+1 )=0

Atau

I. ξ j+1n+1(g B jH j

ΔtΔ x

−Q j

n

H j)−ξ j

n+1(gB j H jΔtΔ x

−Q j

n

H j)+Q j

n+1(1+ r Δt

(B j H j)2|Q j

n|)=¿

Q jn+B j ΔtλW j|W j|−

Q jn

H j

ξ jn−

Q jn

H j

ξ j+1n

II. ξ jn+1+ Δt

B j Δ x(Q j

n+1−Q j−1n+1 )=ξ j

n

Sistem persamaan di atas dapat disederhanakan dalam bentuk:

I. α j ξ j+1n+1−β jξ j

n+1+γ jQ jn+1=δ j

II. ξ jn+1+ε j (Q j

n+1−Q j−1n+1 )=η j

Sistem persamaaan ini dapat diubah bentuknya sesuai dengan kondisi kanal yang akan dimodelkan.

Kasus a. Kedua Ujung Kanal Terbuka

Sebagai syarat batas pada kedua ujung yang terbuka diberikan harga ξ. Untuk kondisi kanal seperti itu kita bentuk satu persamaan dalam ξ dengan jalan mensubtitusikan

persamaan I kedalam persamaan II. Dengan kata lain kita sunstitusikan harga Q jn+1

dan harga Q j−1n+1 yang diperoleh dari persamaan I kedalam persamaan II.

Hasilnya adalah:

ξ jn+1+

ε j

γ j (δ j−α j ξ j+1n+1+β j . ξ j

n+1)−

ε jγ j−1 (δ j−1−α j ξ j+1

n+1+β j−1 . ξ j−1n+1 )

=η j

Kasus b. Kedua Ujung Kanal Tertutup

Untuk kasus ini kita ubah sistem persamaan I dan II menjadi stu persamaan dalam Q. dengan cara mensubtitusikan persamaan II ke dalam persamaan I atau dapat kita lakukan dengan subtitusi harga dan dari persamaan II ke dalam persamaan I. hasilnya adalah:

α j (η j+1−ε j+1 (Q j+1n+1−Q j

n+1 ) )−β j (η j−ε j (Q jn+1−Q j−1

n+1 ))+γ jQ jn+1=δ j

Persamaan-persamaan IIIa dan IIIb dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss atau metoda iteratif yang untuk menghitung ξ dan Q yang hasilnya digunakan untuk menghitung Q (dari persamaan I) dan ξ dari persamaan II.

2.7. Model Hidrodinamika Dua Dimensi dengan Memperhatikan Gesekan Dasar dan Stress Angin

Persamaan hidrodinamika dalam bentuk transpor diberikan oleh:

I. U t+rU √U 2+V 2/H 2+gH ξx= λW ( x ) √W (x )2+W ( y)2

II. V t+rV √U 2+V 2/H 2+gH ξx=λW ( x ) √W (x)2+W ( y)2

III. ξ t+U x+V y=0

Pemecahan persamaan hidrodinamika diatas dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu metoda eksplisit dan metoda implisit.

Penyelesaian dengan metoda eksplisit

Persamaan selisih untuk pengerjaan eksplisit diberikan:

I. U j ,kn+1/2=(U j , k

n+1 /2−gΔtΔ x

H ¿ (ξ j , k+1n −ξ j ,k

n )+ΔtλW x √W (x)2+W ( y)2) . Rx

Dengan H ¿=(ξ j ,k +1n −ξ j , k

n +D j , k+1n +D j ,k

n )/2

R x=1

(1+r Δt √U j ,kn2 +V ¿ 2/H ¿2)

V ¿=(V j ,kn +V j ,k +1

n +V j−1 ,kn +V j−1 ,k +1

n ) /4

II. V j ,kn+1/2=(V j , k

n+1 /2−gΔtΔ y

H ¿ (ξ j , kn −ξ j+1 ,k

n )+ΔtλW y√W (x)2+W ( y)2) .R y

Dengan H ¿=(ξ j ,kn −ξ j+1 , k

n +D j , kn +D j+1 ,k

n )/2

R y=1

(1+r Δt √V j ,kn2 +U ¿ 2/H ¿ 2)

U ¿=(U j , kn +U j , k−1

n +V j+1 , kn +V j+1 ,k−1

n )/ 4

III. ξ j , kn+1=ξ j , k

n −Δt (U j , k+U j , k−1

Δ x+V j−1 , k+V j , k

Δ x )n+1 /2

Syarat stabilitas:

Δt ≤Δl

√2g Hmax

; Δl=min (Δ x , Δ y ) , Hmax=max (D+ξ )

Bila kasa berupa daratan maka H = D+ξ = 0

Pemecahan persamaan hidrodinamika diatas memerlukan syarat awal dan syarat batas.

Syarat Awal : t = 0

ξ = u = v = 0

Di sini dianggap pada awal simulasi, laut dianggap diam. Kalu kita mempunyai data pengamatan lapangan baik untuk ξ maupun di beberapa lokasi di daerah model, maka kita dapat memberikan harga awal dari u, v, ξ diseluruh grid, sebagai interpolasi harga pengamatan lapangan, pemberian syarat awal ξ= u = v = 0 atau

y

Pemberian syarat awal u = v = 0

harga lain yang tidak mendekati harga sebenarnya, maka pada awal-awal simulasi akan terjadi fluktuasi ξ yang ekstrim terhadap waktu.

Gambarfluktuasipadaawal-awalsimulasi

Fluktuasi yang ekstrim ini akan hilang setelah berlangsung interaksi nx perioda pasut ( umumnya 2-5x perioda pasut) dan setelah itu keadaan seimbang akan tercapai.

Syarat Batas

1. Syarat batas tertutupa. Tidak ada aliran tegak lurus batas:

- Bila batas sejajar sumbu x maka v = 0

- Bila batas sejajar sumbu y maka u = 0b. Tidak ada aliran sejajar batas atau ‘no slip’

- Bila batas sejajar sumbu x maka v = 0 dan u = 0

- Bila batas sejajar sumbu y maka u = 0 dan v = 02. Syarat harga terbuka dapat berupa harga pengamatan lapangan atau harga

yang diperoleh dari pengamatan numeric.

Contoh penspesifikasikan syarat batas terbuka:

Laut terbuka : ξ = ξ (t) dari pengamatan pasang surut.

Sisi barat:

U 1 , j=2U 2 , j−U 3 , j

x

V 1 , j=2V 2 , j−V 3 , j

ξ1 , j=2ξ2, j−ξ3 , j

Gambar susunan letak titik u, v, dan ξ dengan kasa Richardson adalah seperti gambar berikut:

Kriteria stabilitas untuk model dua dimensi:

Δt ≤Δl

√2g Hmax

; Δl=min (Δ x , Δ y ) , Hmax=max (D+ξ )

Definisi darat, pantai : H= D+ξ = 0

2.8. Model Hidrodinamika 2 Dimensi dengan Suku Coriolis dan Suku Gesekan Eddy dalam Bentuk Transpor

I. U t−fV=(AHU x )x+(AHU y) y=A H (U xx+U yy)II. V t−fU=AH (V xx+V yy)

Dimana : AH : suku gesekan eddy horizontal (m²/sec)

£ = 2w sin φ ; ω=2πT

T= 86.164 sec

Φ : lintang setempat

Pengerjaan eksplisit dari persamaan diatas memberikan:

I.

U j ,kn+1/2=U j ,k

n+1/2+Δt (f V ¿ n−1/2+AH {(U j+1 ,k−2U j ,k+U j−1 ,k

Δ x2 )+(U j , k+1−2U j ,k+U j ,k−1

Δ y2 )})n+1 /2

II.

V j ,kn+1/2=V j , k

n+1 /2+Δt( f U ¿ n−1 /2+AH {(V j+1 , k−2V j , k+V j−1 , k

Δ x2 )+(V j , k+1−2V j ,k+V j ,k−1

Δ y2 )})n+1 /2

U* dan V* di atas sama dengan U* dan V* pada pembahasan sebelumnya.

Bila Δx = Δy, maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

I. U j ,k

n+12=U j ,k

n−12 +∆ tf V ¿n−1/2

+∆ t AH

∆ x2 [U j+1 , k−4U j , k+U j−1 , k+U j , k+1 ]

II. U j ,k

n+12=V j , k

n− 12 +∆ tf U ¿n−1/2

+∆ t AH

∆ x2 [V j+1 ,k−4V j ,k+V j−1 ,k+V j ,k+1 ]

Karena suku gesekan eddy adanya adalah orde 2 maka kita harus memperhatikan

syarat batas tambahan. Bila j = M dan k = N maka diperlukan UM+1, k, Vj, N+1.

Syarat batas tersebut adalah :

- Sisi terbuka : turunan normal transpor ∂V∂n

=0

- Sisi tertutup : berbagai kemungkinan, yang bergantung dari syarat ketertutupan.

Untuk suku gesekan eddy berlaku kriteria stabilitas seperti tipe persamaan difusi :

∆ x2≥2 AH ∆ t

atau ∆ t ≤∆ x2

2 AH

Untuk suku coriolis, kriteria stabilitasnya adalah

√1+f 2∆ t 2<1

2. 9 Metoda Arah Berganti

Metoda ini adalah pengerjaan semi implisit untuk penyelesaian persamaan

hidrodinamika dua dimensi. Metoda ini tidak dibatasi oleh kriteria stabilitas CFL.

Pada prinsipnya metoda ini adalah penerapan pengerjaan semi implisit secara silang,

dimana setiap kali koordinat lain ditampilkan oleh pengerjaan eksplisit. Pemilihan ∆t

yang melebihi 4 – 5 kali ∆t yang diizinkan oleh kriteria stabilitas CFL tidak

disarankan.

Tinjau persamaan hidrodinamika 2 dimensi dalam bentuk transpor :

I. Ut + gHζx = X

II. Vt + gHζy = Y

III. ζΖt + Ux + Vt = 0

X, Y adalah gaya – gaya lain di dalam persamaan gerak.

Bentuk persamaan numerik dari persamaan di atas mengginakan indeks relatif

diberikan oleh :

1. Un+1 = Un+ - gH∆t ( ζE – ζW ) n+1 / ∆x + ∆t . Xn

2. Vn+1 = Vn - gH∆t ( ζN – ζS ) n+1 / ∆y + ∆t . Yn

3. ζn+1 = ζn - ∆t ( UE – UW ) n+1 / ∆x - ∆t . ( Vn – VS ) n / ∆y

4. ζn+1 = ζn - ∆t ( UE – UW ) n / ∆x - ∆t. ( VN – VS ) n+1 / ∆y

Disini kita lihat formulasi numeriknya tidak menggunakan perata – rataan terhadap

waktu ( n+1 ) dan ( n ) dari suku gradien tekanan dan suku divergensi. Perlu diingat

bahwa tidak dilakukannya perata – rataan terhadap waktu dari suku gradien tekanan

dan suku divergensi akan berakibat pada peredaman numerik.

Penyelesaian persamaan hidrodinamika I – III menggunakan persamaan 1 – 4

dilakukan dengan urutan sebagai berikut :

a >. ( 1, 3 ) I ; 2 E ; semi implisit dalam arah zonal

b >. ( 2, 4 ) I ; 1 E ; semi implisit dalam arah meridional

I : menyatakan pengerjaan secara implisit

E : menyatakan pengerjaan secara eksplisit

Pengerjaan implisit dapat dilakukan dengan metoda Eliminasi Gauss atau metoda

iterasi.

2. 10 Interasi Gauss Seidel dan Konsep Relaksasi

Misalkan kita mempumyai 3 persamaan :

C11X1 + C12X2 + C13X3 = r1

C21X1 + C22X2 + C23X3 = r2

C31X1 + C32X2 + C33X3 = r3

X1 = ? X2 = ? X3 = ?

Persamaan diatas dapat diubah menjadi :

x1=r1−c12 x2−c13 x3

c11

x2=r2−c21 x1−c23 x3

c22

x3=r3−c31 x1−c32 x2

c33

Taksiran awal diperlukan untuk harga X1 , X2 , dan X3.

Misalkan harga awal dari X1 , X2 , dan X3 diberikan oleh :

x1(0 ) , x2

(0 )dan x3(0 )

Dengan demikian harga X1, X2, dan X3 pada iterasi pertama adalah :

x1(1 )=

r1−c12 x2(0 )−c13 x3

(0 )

c11

x2(1 )=

r1−c21 x1(0 )−c23 x3

(0 )

c22

x3(1 )=

r1−c31 x1(0 )−c32 x2

(0 )

c33

Iterasi terus dilakukan sampai suatu konvergensi dari harga X1, X2, dan X3 dicapai.

Syarat konvergensi diberikan oleh :

|x1(1+1)−x1

(1)|≤ξ

Dimana ξ adalah suatu harga yang kecil ; misalnya 10-4. Untuk mempercepat

konvergensi diperkenalkan suatu metoda interasi lain yang merupakan modifikasi

dari metoda Gauss – Seidel dan disebut metoda relaksasi.

x1(1+1 )=x1

(1)+ω¿

0 < ω < 2 yang disebut faktor relaksasi ( parameter relaksasi ).

X1 (1+1)* adalah harga X1

(1+1) yang ditentukan dengan metode Gauss-Seidel.

Untuk 1 < ω < 2 metode ini disebut over relaxation.

untuk 0 < ω < 1 metoda ini disebut under relaxation.

2.11. Model Hidrodinamika 2 Dimensi Semi Implisit

(Penyelesaian dengan metode SOR)

Persamaan hidrodinamika dalam bentuk transpor diberikan oleh :

U t=gH ζ x=τbx+X

V t=gH ζ y=τby+Y

ζ t+U x+V y=0

Persamaan selisih dalam bentuk semi-implisit dari persamaan diatas diberikan oleh :

I. U n+1=Rxn [U n+∆ t(Xn− g H−n

2∆ x(ζ r

n+1+ζ 1n−ζ r

n−ζ 1n))]

II. V n+1=Ryn ⌈V n+∆ t(Y n−g H−n

2∆ y(ζ o

n+1+ζ un+1+ζ o

n−ζ un ))⌉

τ bx= rUn+1

H 2 √(U n)2+(V )2

τ bx= rV n+1

H 2 √(U )2+(V n)2

R xn= 1

[1+ r ∆t

H 2 √ (U n)2+ (V ¿)2]

R yn= 1

[1+r ∆ t

H 2 √ (U ¿ )2+(V n )2]Xn, Yn adalah suku lain dalam persamaan gerak.

III. ζ n+1−ζ n+∆ t [ [U rn+1−U 1

n+1+U rn−U r

1 ]2∆ x

+[V o

n+1−V un+1+V o

n−V u1 ]

2∆ y ]=0

Subtitusi harga U rn+1, U 1

n+1, V on+1 dan V u

n+1 dari persamaan ke dalam persamaan III

diperoleh persamaan untuk ζn+1

C1ζ 1n+1−Co ζ o

n+1+(1+C r+C1+Co+Cu ) ζ n+1−C r ζ rn+1−Cu ζ u

n+1=Dn

C1ζ 1n+Co ζ o

n+(1−(C r+C1+Co+Cu ))ζ n−C r ζ rn−Cu ζ u

n+∆ t [U 1 (1+Rx 1+∆ t Rx 1X 1−(U r (1+Rxr )+∆ t Rxr X r ))2∆ x ]+∆ t [Uu (1+R yu+∆ t Ryu Xu−(U o (1+R yo )+∆ t Ryo X o ))

2∆ y ]−C1 ζ 1n+1−Co ζ o

n+1+(1+C r+C1+Co+Cu ) ζ n+1−Cr ζ rn+1−Cu ζ u

n+1=Dn

Koefisien C didefinisikan di titik-titik U dan V kasa Richadson.

+ ζ

o Coo

+ζ 1oco o ζ +ζ rocr

o cu

+ ζ u

Disini I, u, r dan o adalah indeks relative, dimana koefisien system persamaan

diberikan oleh :

C=g( ∆ t2∆ x , y )

2

Rx, yn H−n

Contoh :

C r2=g( ∆ t

2∆ x )2

Rxrn H−n

Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan cara interasi; disini misalnya

menggunakan metode Succesive Over Relaxation (SOR)

ζ n+1=(1−w ) ζ n+w¿ (D+C1 ζ 1n+Co ζ o

n+C r ζ rn+1+Cu ζ u

n+1 )

Dimana w ¿= w

(1+C r+C1+Co+Cu )

w adalah parameter relaksasi 0 < w < 2 n = indeks interasi

Hasil intersai memberikan harga ζ diketahui untuk langkah waktu yang baru (n+1).

Hasilnya disubstitusikan kedalam persamaan I & II untuk menghitung Un+1 & Vn+1 dan

seluruh persamaan gerak dapat diselesaikan.

グフラン

MODEL HIDRODINAMIKA

Oleh :

Dr. Dadang K. MihardjaDr. Safwan Hadi

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG1999