Handout geometri transformasi

of 48 /48
Geometri Transformasi Sejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif syntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri. Fermat ( 1601 16650 dan Rene Descartes (1596 1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teorei yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan- hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi. Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik- titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan- himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada. Geometri Transformasi menawarkan pandangan yang dalam terhadap hakekat dari banyak topic tradisional, termasuk kongruensi, kesebangunan, dan symetri. Geometri transformasi juga berfungsi sebagai basis bagi banyak aplikasi kontemporer dalam seni, arsitek, engenering, film dan televisi.Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix Klein memberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometry adalah suatu studi tentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana element- elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini menetapkan geometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-hubungan diantara semua geometri, Euclid dan non Euclid.

Transcript of Handout geometri transformasi

Geometri Transformasi

Sejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif

syntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematika

dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifat

revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri.

Fermat ( 1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 – 1650) menciptakan geometri

analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan

notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada

gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan,

mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai

dengan teori-teorei yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli

matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip

pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-

hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri

Transformasi.

Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik-

titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan-

himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image.

Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkan

pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra

ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada.

Geometri Transformasi menawarkan pandangan yang dalam terhadap hakekat dari

banyak topic tradisional, termasuk kongruensi, kesebangunan, dan symetri. Geometri

transformasi juga berfungsi sebagai basis bagi banyak aplikasi kontemporer dalam seni,

arsitek, engenering, film dan televisi.Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix

Klein memberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometry adalah suatu studi

tentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana element-

elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini menetapkan

geometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-hubungan diantara

semua geometri, Euclid dan non Euclid.

Suatu Model analitik dari Bidang Euclid

Menyajikan titik dan garis

Untuk membahas model analitik dari bidang Euclid, harus dipilih beberapa bidang

di Ruang berdimensi 3. Banyak siswa telah terbiasa dengan bidang x-y, atau z = 0.

Tetapi masih ada pilihan yang lebih baik, yaitu bidang z = 1.

Z

Z = 1

(0, 0, 1)

. *

(x, y ,1)

Y

O

X

Setiap titik di bidang ini mempunyai koordinat (x, y, 1).

Garis pada bidang Euclid disaikan dalam bentuk slope – intercept pada bidang Euclid

disajikan dalam bentuk slope – intercept

y = mx + b atau dalam bentuk umum adalah ax + by = c

Bentuk ini dapat disajikan dengan menggunakan notasi matrix (oleh Arthur Cayley, 1821

– 1895).

Dalam notasi matrix suatu bentuk persamaan aljabar : u1 x + u2 y + u3 = 0 ditulis

sebagai vektor-vektor baris

[u1 u2 u3 ]

Titik-titik ditulis sebagai vektor kolom

1

y

x

Dengan mengkombinasi kedua notasi ini, kita peroleh suatu bentuk persamaan matrix

1

321 y

x

uuu

Jika entri-entri yang berkorespondensi pada baris dan kolom dikalikan dan hasilnya

dijumlahkan, maka diperoleh suatu bentuk aljabar. Sebagai contoh, persamaan matriks

1

231 y

x

=0

adalah ekivalen dengan persamaan 1x + 3y + 2 = 0. Persamaan-persamaan seperti ini

sering digunakan untuk menjawab pertanyaan “titik-titik apa pada bidang yang terletak

pada garis ini?”

Luas dan koliner

Bagaimana luas daerah yang ditentukan oleh tiga titik yang tidak koliner?

Sb y

(x2, y2)

(x3, y3)

III

(x1, y1)

I II

(x1,0) (x2,0) (x3,0) sb x

Luas daerah segitiga dapat dinyatakan dalam bentuk luas tiga daerah trapesium

Titik-titik trapesium 1: (x1, 0, 1), (x1, y1, 1), (x2, y2, 1) , (x2, 0, 1)

Titik-titik trapesium 2: (x2, 0, 1), (x2, y2, 1), (x3, y3, 1) , (x3, 0, 1)

Titik-titik trapesium 3: (x1, 0, 1), (x1, y1, 1), (x3, y3, 1) , (x3, 0, 1)

Luas segitiga adalah = [ luas trapesium 1] + [luas trapesium] 2 – [Luas trapesium 3]

= ½[(x2 – x1)( y1 + y2) + (x3 – x2)( y2 + y3) – ( x3 – x1)( y1 + y3)]

= ½ [ x2y1- x1y2 + x3y2 – x2 y3 –x3y1 + x1y3]

Dengan menggunakan pendekatan matriks, koordinat-koordinat dari titik-titik pada

segitiga dapat ditulis sebagai vektor-vektor kolom dalam matriks berikut:

111

321

321

yyy

xxx

Determinan dari matriks ini ditulis sebagai

111

321

321

yyy

xxx

Determinan ini diekspansikan dan menghasilkan bentuk

[x1 y2 + x3 y1 + x2 y3 – x3y2 – x2 y1 – x1y3]

Yang dapat disusun kembali sebagai berikut:

[– x2 y1 + x1 y2 – x3y2 + x2 y3 + x3 y1– x1y3]

Dengan membandingkan hasil ini dengan luas daerah segitiga, ternyata luas daerah

segitiga tadi dapat ditulis sebagai berikut:

Luas = (1/2) abs

111

321

321

yyy

xxx

Teorema 4.3.1:

Jika diketahui tiga titik yang non koliner pada bidang, maka luas daerah dari segitiga

ditentukan oleh ketiga titik itu dinyatakan dengan rumus

Luas = (1/2) abs

111

321

321

yyy

xxx

Persamaan garis

Gambar 1 dan teorema 1 memberi ide yang bermanfaat untuk melihat pada masalah yang

ada hubungannya, yaitu menemukan persamaan suatu garis melalui dua titik yang

diketahui di bidang Euclid. Gambar 1 mengemukakan bahwa luas daerah segitiga

berkaitan dengan tiga titik yang koliner akan sama dengan nol. Kedua, Teorema 1

mengemukakan bahwa, dalam keadaan tertentu determinan

111

321

321

yyy

xxx

juga dapat sama dengan nol. Dengan demikian, jika diketaui dua titik

1

1

1

y

x

dan

1

2

2

y

x

, maka semua titik lainnya

1

y

x

yang koliner dengan kedua titik yang diketahui itu harus memenuhi persamaan matriks:

111

321

321

yyy

xxx

= 0

Contoh: Tentukan persamaan suatu garis yang memuat titik-titik ( 2, 4, 1) dan (3, 1, 1).

Jawab: Dengan menuliskan titik-titik tadi sebagai vektor kolom – vektor kolom, dan

dengan menambahkan suatu kolom ketiga yang mewakili semua titik yang koliner

dengan titik-titik yang diketahui tadi, kita peroleh suatu persamaan matrix

111

14

32

y

x

=0

Selanjutnya determinan kita expansikan dan sederhanakan, dan akan diperoleh

111

14

32

y

x

= 4x + 3y + 2 – x – 2y – 12 → 3x + y – 10 = 0, atau

1

1013 y

x

=0

Teorema 4.1.2 Jika diketahui dua titik

1

1

y

x

dan

1

2

2

y

x

maka persamaan garis yang memuat kedua titik ini ditentukan oleh persamaan matrix

111

21

21

yyy

xxx

= 0

Perpotongan dua garis

Cara matrix dapat digunakan untuk menemukan titik persekutuan dua garis yang

berpotongan pada bidang. Diketahui persamaan-persamaan garis u1 x + u2 y + u3 = 0

dan v1 x + v2 y + v3 = 0. Koordinat-koordinat dari titik persekutuan dapat ditentukan

dengan menggunakan kombinasi linear atau substitusi dan selanjutnya dinyatakan dalam

notasi matrix sebagai berikut:

x =

21

21

32

32

1221

2332

vv

uu

vv

uu

vuvu

vuvu dan y =

21

21

32

32

1221

3113

vv

uu

vv

uu

vuvu

vuvu

Suatu kekurangan dari pendekatan ini adalah bahwa dua persamaan ini harus diingat dan

dievaluasi secara benar. Suatu pendekatan yang lebih baik akan memerlukan hanya satu

persamaan untuk menyajikan kedua koordinat dari titik potong. Dengan menuliskan

parameter-parameter garis sebagai elemen-elemen baris dalam persamaan matrix

cba

vvv

uuu

321

321

= 0

akan menghadirkan suatu penyajian/representasi yang lebih mudah. Dengan melakukan

ekspansi menurut baris terakhir, maka persamaan ini dapat ditulis sebagai

021

2

31

31

32

32

vv

uuc

vv

uub

vv

uua

Dengan membagi oleh determinan pada suku terakhir, diperoleh persamaan berikut:

0

21

21

21

21

21

21

31

31

21

21

32

32

vv

uu

vv

uu

c

vv

uu

vv

uu

b

vv

uu

vv

uu

a *

Ingat bahwa x

21

21

32

32

vv

uu

vv

uu

dan y

21

21

32

32

vv

uu

vv

uu

, maka persamaan diatas dapat disederhanakan

sebagai 0cbyax , dan ditulis dalam bentuk matrix

0

1

y

x

cba

Dalam hal ini, bentuk ini lebih daripada bentuk matrix umum untuk persamaan suatu

garis, karena parameter-parameter garis [a b c] adalah sembarang, x dan y adalah

koordinat-koordinat titik potong dari garis-garis yang diketahui u1 x + u2 y + u3 = 0

dan v1 x + v2 y + v3 = 0. Hasil ini diformalkan dalam teorema berikut dan sekaligus

contohnya.

Teorema

Jika diketahui persamaan-persamaan garis u1 x + u2 y + u3 = 0 dan v1 x + v2 y + v3 =

0, maka titik potong ini

1

y

x

Ditentukan oleh persamaan

0

1

y

x

cba

Yang diperoleh dengan mengekspansi dan menyederhanakan persamaan

cba

vvv

uuu

321

321

= 0

Contoh: Tentukanlah koordinat dari titik potong dari 0111 yx dan 0211 yx .

Persamaan matrixnya adalah :

cba

111

111

= 0

Dengan mengexpansikan serta menyederhanakan, maka diperoleh

cba

211

111

= cba 23 = 0, dan ini dapat dituliskan sebagai

cba

2

1

3

= 0

Karena vektor kolom

2

1

3

bukan menyatakan titik pada bidang euclid z = 1, maka tiap

elemen dalam vektor ini dibagi 2, akan menghasilkan titik pada bidang euclid

12

12

3

Selanjutnya, setiap garis yang memuat titik ini harus memenuhi persamaan matrix

cba

12

12

3

= 0

Jadi, oleh karena 0111 yx dan 0211 yx melalui titik ini, maka demikian juga

semua garis lain cba akan memenuhi persamaan matrx ini juga.

Suatu perbedaan penting sekarang dapat dibuat antara penggunaan notasi berbentuk

0

1

y

x

cba

1. Bila nilai-nilai yang direpresentasikan oleh vektor baris cba diketahui, dan nilai-

nilai yang direpresentasikan oleh vektor kolom

1

y

x

tidak diketahui, misalnya

0

1

521 y

x

Maka notasi ini disamakan ”suatu persamaan garis” dan biasanya digunakan untuk

menjawab pertanyaan ” Titik-titik manakah yang terletak pada aris ini?”

2. Bila situasinya dibalik dan nilai-nilai direpresentasikan oleh vektor baris cba

Tidak diketahui sedangkan nilai-nilai yang direpresentasikan oleh vektor kolom

1

y

x

diketahui, misalnya

0

1

3

1

cba , maka notasi ini disebut ”suatu persamaan dari titik” dan biasanya

digunakan untuk menjawab pertanyaan ”Garis-garis manakah yang melalui titik ini?”

Expresi-expresi yang simetris ini diperoleh dengan mengganti istilah-istilah titik dan

garis dikenal dengan nama dualitas.

Menyajikan Transformasi-transformasi Linear

di Dimensi 2 dengan matrix

Dari semua transformasi dalam geometri, isometri adalah paling mendasar. Isometri

artinya berukuran sama. Jika suatu isometri diterapkan ke suatu obyek, maka obyek

tersebut berserta bayangannya mempunyai ukuran linear dan ukuran sudut yang sama.

Transformasi dikatakan mengawetkan sifat-sifat ini, dan sifat-sifat itu dikatakan invariant

di bawah transformasi itu. Mengawetkan ukuran linear dan ukuran sudut menjamin

bahwa keliling dan jumlah sudut dan luas juga diawetkan. Akibatnya, obyek dan

imagenya dalam isometri ini adalah identik atau kongruen.

Isometri dalam geometri Euclid terdiri dari 3 kategori dan komposisinya: translasi,

rotasi, dan refleksi. Dari semua isometri, translasi adalah yang paling mudah untuk

dipahami. Dengan adanya operasi translasi setiap titik yang terdapat pada obyek akan

berpindah pada jarak yang sama dan dalam arah yang sama sesuai dengan vektor. Di

bawah operasi rotasi, setiap titik dipindahkan melalui suatu sudut putar relatif terhadap

pusat perputaran. Refleksi memetakan setiap titik ke seberang garis refleksi sejauh suatu

jarak yang sama terhadap jarak titik itu ke garis refleksi.

Definisi:

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu pemetaan atau fungsi dari A ke

B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap Ax tepat satu By dan ditulis

y = f(x).

Definisi: Suatu pemetaan dari A ke B adalah onto jika untuk tiap By , terdapat paling

sedikit satu Ax sedemikian sehingga y = f(x).

Definisi: Suatu pemetaan dari A ke B adalah satu – satu jika bilamana yx

)()(, yfxf

Definisi: Jika f: BA adalah suatu pemetaan satu-satu, maka ABf :1adalah Invers

dari f, jika xxff ))(*( 1untuk semua Ax dan yyff ))(*( 1

untuk semua By .

Definisi: Bidang Euclid terdiri dari semua himpunan dari semua titik X sedemikian

sehingga 1,, 21 xxX dimana ix merupakan anggota dari himpunan bilangan real,

ditulis ix .

Definisi:Misalkan V adalah suatu Ruang vektor pada dan T adalah fungsi dari V ke V.

T adalah suatu transformasi linear dari V, jika )()()( vTuTvuT untuk semua vector

Vu dan Vv dan )()( ukTkuT untuk semua vektor Vu dan skalar k .

Representasi Transformasi Linear dengan Matrix

Definisi: Suatu Transformasi Linear T(X) yang dapat dibalik (invertible) pada bidang

Euclid adalah suatu pemetaan satu-satu, onto dari titik-titik dari bidang Euclid onto

bidang Euclid. T(X) = A*X, dimana A titi 0 dan

333231

232221

131211

aa

aaa

aaa

A dimana ija

Oleh adanya suatu transformasi linear, setiap titik pada bidang (yang memuat) image

diasosiasikan dengan satu titik tunggal pada bidang (yang memuat) obyek.Tidak ada

satu titikpun yang diabaikan, tidak ada satu titikpun yang dihilangkan. Bidang Euclid

tetap lengkap sebelum dan setelah transformasi. Misalnya, gambar berikut ini

menunjukkan suatu suatu system koordinat tegaklurus pada bidang Euclid sebelum dan

setelah transformasi. Tentu saja, ketika transformasi linear seperti ini diterapkan pada

bidang, semua titik yang ada pada bidang akan mengalami transformasi yang sama.

Transformasi-transformasi linear dapat dikomposisikan, satu menyusul yang lain,

dalam suatu sekwens (urutan). Sebagai contoh suatu translasi T dapat diikuti oleh suatu

rotasi R. Dalam notasi fungsi, komposisi yang sama dituliskan sebagai

1

y

x

RT

Teorema:

Komposisi dari dua transformasi limear pada suatu bidang adalah suatu

transformasi linear juga pada bidang itu.

Menurut definisi tentang ruang vektor, T adalah suatu transformasi linear pada bidang

jika )()( vTuTvuT dan )()( ukTkuT untuk semua titik

,

1

2

1

u

u

u

1

2

1

v

v

v dan k adalah bilangan real.

Kita definisikan dua transformasi linear 1T dan 2T sebagai berikut:

1T

100

111

111

fdc

eba

dan 2T

100

222

222

fdc

eba

Komposisi 21TT dapat dihitung sebagai

-5 5 10

5

-5

O

O'

1T

100

111

111

fdc

eba

100

222

222

fdc

eba

1

y

x

=

100

121221212121

1212121212121

ffdecddbccdac

efbeadbbacbaa

Masing-masing yang menunjukkan perkalian dan jumlah adalah sebuah bilangan real,

tidaka ada yang sama. Karena penjumlahan dan perkalian dalam bilangan real adalah

tertutup, maka masing-masing entri ini adalah bilangan real, jika dihitung. Jadi

komposisi

1

21 y

x

TT dapat ditulis kembali sebagai

100

fdc

eba

1

y

x

, dimana fedcba ,,,,,

Jika kita misalkan

A

100

fdc

eba

satu-satunya syarat yang harus dipenuhi adalah 0A . Untuk menunjukkan kebenaran

hal ini diperlukan manipulasi sejumlah symbol.

Pengalaman-pengalaman dengan transformasi linear dalam dunia nyata

menyarankan bahwa paling sedikit beberapa transformasi linear dapat dibalik. Misalnya,

orang dapat menggeser atau memutarkan suatu obyek, kemudian mengembalikannya ke

posisi semula. Dalam matematika, pengertian pengembalian ini (reversibility) ekivalen

dengan invers dari suatu fungsi f dan ditulis 1f .

Jika

A

100

fdc

eba

adalah suatu transformasi linear, 1A ditulis

1

100

fdc

eba

Teorema:

Diketahui suatu transformasi linear T , terdapat suatu transformasi invers yang

berkorespondensi dengan T, yaitu T-1

sedemikian sehingga TT-1

= T-1

T = I, dimana I

adalah transformasi identitas.

Dalam Aljabar linear kita tahu bahwa suatu matrix A mempunyai suatu invers jika 0A

.

Bayangan suatu titik oleh suatu transformasi linear.

Dengan menggunakan notasi matrix, bayangan dari suatu titik dikarenakan suatu

transformasi linear yang diketahui didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Diketahui suatu transformasi linear

A

100

fdc

eba

bayangan dari titik

X =

1

y

x

oleh transformasi A disajikan sebagai

100

fdc

eba

1

y

x

=

1

fdycx

ebyax

=

1

'

'

y

x

Contoh: Persamaan matrix

100

fdc

eba

1

y

x

=

1

'

'

y

x

Digunakan untuk menemukan bayangan dari suatu titik dikarenakan suatu transformasi

linear. Persamaan ini juga ditulis sebagai AX = X’. Misalnya, bayangan dari titik

1

3

1

Oleh transformasi linear

100

210

101

A dihitung sebagai

100

210

101

1

3

1

=

1

5

2

dan ditulis sebagai

A

1

3

1

=

1

5

2

Teorema:

Diketahui suatu transformasi linear

T

100

fdc

eba

Dan suatu titik

X =

1

y

x

Invers dari operasi T dinyatakan oleh

1T

1

100

fdc

eba

=

100bcad

ceaf

bcad

a

bcad

cbcad

debf

bcad

b

bcad

d

Dengan melakukan perkalian, diperoleh TT-1

= T-1

T = I.

Contoh: Diketahui Transformasi linear

T

100

010

011

Dengan menggunakan rumus (*) pada teorema diperoleh T-1

=

100

010

011

TT-1

=

100

010

011

100

010

011

=

100

010

001

Bayangan suatu garis oleh suatu transformasi linear.

Menemukan bayangan dari suatu garis pada suatu transformasi linear memerlukan

pertimbangan tambahan dan menimbulkan hasil yang menarik.

Teorema 4.2.4

Bayangan dari garis 321 uuuu oleh transformasi linear

A

100

fdc

eba

Diberikan oleh persamaan '1 kuuA

Suatu garis u dapat disajikan dalam bentuk matrix sebagai

0

1

321 y

x

uuu

Bayangan dari garis 321 uuuu oleh transformasi linear S dapat direpresentasikan

sebagai uS = u’. Karena S adalah transformasi linear, ia harus mempunyai bentuk umum

yang sama seperti matrix transformasi untuk titik-titik

A

100

fdc

eba

Argumentasi berikut ini adalah mengenai menurunkan S, matrix transformasi garis, yang

dinyatakan dalam A (matrix transformasi titik).

1. Karena u dan u’ adalah garis-garis, uX = 0 dan u’X’ = 0

2. Karena itu uX = u’X’

3. Karena X’ adalah bayangan dari X (oleh A), maka AX = X’

4. Subsitusi 3 ke 2, akan menghasilkan u(X) = u’(AX) XAuXu )'()(

5. Karena itu Auu '

6. Kalikan kedua ruas persamaan dari sebelah kanan oleh A-1

menghasilkan

kkuuA ,'1 , himpunan bilangan real.

7. Jadi, matrix transformasi garis S, adalah invers dari matrix transformasi titik, A

(transformasi terhadap garis = transformasi terhadap tiap titik pada garis itu)

Contoh: Diketahui transformasi linear

T

100

010

011

dan suatu garis 121u , tentukanlah bayangan u di bawah tansformasi linear ini.

Menurut teorema, bayangan dari u oleh transformasi ini ditentukan oleh

121 111

100

010

011

k

Dengan kata lain, garis dengan persamaan 012yx dipetakan onto menjadi garis

dengan persamaan 01yx , atau suatu perkalian darinya.

Isometri-isometri Langsung: Translasi dan Rotasi

Merepresentasi Translasi

Persamaan matrix untuk translasi terhadap sebuah titik adalah:

1

'

'

1111100

10

01

y

x

f

e

y

x

fy

ex

y

x

f

e

Gambar 4.3.1 memperlihatkan dua daerah dari matrix translasi. Masing-masing daerah

menyajikan makna berbeda mengenai hakekat transformasi yang dibahas dan detail-

detail yang khusus mengenai gerakan/perpindahan yang diakibatkan. Dalam hal ini

matrix identitas 2×2 di bagian pojok kiri atas menunjukkan bahwa pergerakan itu sama

sekali tidak mengubah bentuk atau orientasi dari obyek-obyek di bidang. Unsur-unsur

dalam kolom yang diarsir diasosiasikan dengan perpindahan dari koordinat x dan

koordinat y dari titik-titik pada bidang. Seperti yang terlihat pada vektor

-15 -10 -5 5

10

5

-5

C

D

E

F

C'

E'

F'

Equation(Line CE): 0.50x + 1.00y = -0.50

Equation(Line F'E'): x + 1.00y = -1.00

1

fy

ex

Koordinat-x dari setiap titik digeserkan sejauh e unit dan koordinat y digeser sejauh f unit.

Inilah yang orang harapkan pada suatu transformasi translasi.

1

'

'

1100

10

01

y

x

y

x

f

e

Gambar 4.3.1

Secara konseptual, invers dari translasi yang direpresentasikan sebagai

1

fy

ex

adalah translasi

1

fy

ex

yaitu lawan dari menggusur sebuah obyek sejauh dan dalam arah tertentu haruslah sebuah

gusuran yang berlawanan arah dengan jarak yang sama. Hal ini menyimpulkan bahwa

1

100

10

01

f

e

100

10

01

f

e

Teorema 4.3.1

Diketahui suatu translasi

T=

100

10

01

f

e

Transformasi inversnya adalah:

T-1

=

100

10

01

f

e

Contoh: 4.3.1 Diketahui matrix translasi

T=

100

310

701

Invers dari translasinya adalah:

T-1

=

100

310

701

Matrix-matrix ini jika dikalikan, akan menghasilkan matrix identitas

100

310

701

100

310

701

100

010

001

Invarians pada Translasi

Pengalaman-pengalaman dalam keseharian memperlihatkan bahwa ukuran-ukuran

panjang, keliling, sudut, dan luas tidak berobah oleh adanya translasi (invarian). Sifat-

sifat lainnya tidak demikian. Misalnya, jika anda menggusur sebuah obyek di atas meja,

anda menggusur keseluruhan obyek. Jika suatu titik pada obyek itu tetap (invarian),

dengan memindahkan sisa lain dari obyek itu akan mengakibatkan apakah benda itu

sobek atau melar. Analisis geometri menyimpulkan bahwa translasi tidak memiliki satu

titik invarian pun. Pendekatan analitis yang didasarkan pada aljabar matrix pun

memberikan hasil yang sama.

Teorema 4.3.2.

Translasi-translasi yang bukan identitas tidak memiliki titik invarian.

Berdasarkan definisi, titik invarian tidak bergerak dalam suatu transformasi. Dengan kata

lain,

1

y

x

=

1

'

'

y

x

Dalam pengertian translasi, hal ini berarti

100

10

01

f

e

1

y

x

=

1

y

x

Dengan ekspansi dan menyederhanakan suku-suku, kita peroleh xex dan

yfy , dan ini berarti 0e dan 0f . Akibatnya, translasi yang bukan identitas

tidak memiliki titik invariant.

Pada beberapa transformasi linear, garis-garis dipetakan pada dirinya sendiri.

Dalam hal ini dikatakan bahwa garis-garis itu invariant pada transformasi. Misalnya,

suatu transformasi dapat menggusur titik-titik sepanjang suatu garis yang diketahui

dengan jarak tertentu. Titik-titik tersebut tidak invariant, namun garis yang ditentukan

oleh titik-titik itu invariant. Pada gambar berikut, image dari ABCpada translasi yang

ditetapkan oleh panah adalah ''' CBA . Garis putus-garis putus yang diperoleh dengan

cara menghubungkan setiap titik dengan bayangannya adalah invariant dalam translasi

ini, sama seperti semua garis yang paralel dengan panah.

Gambar 4.3.2.

Manakala suatu transformasi linear telah benar-benar dipahami, pendekatan secara

geometris biasanya lebih mudah serta cepat dalam mengidentifikasikan garis-garis

invariant. Bila transformasi tidak dipahami dengan baik, diperlukan pendekatan analitis

untuk mengidentifikasikan garis-garis invariant. Teorema berikut ini menetapkan suatu

A

B C

D

E

C'B'

A'

metode untuk mengidentifikasikan garis-garis invarian yang berasosiasi dengan suatu

transformasi linear.

Teorema 4.3.3:

Setiap translasi mempunyai garis-garis invariant

Garis-garis invariant tidak berpindah dalam suatu transformasi, karena itu 321 uuu =

''' 321 uuuk , dimana k untuk memungkinkan ada bentuk-bentuk ekivalen bagi

garis yang sama. Teorema 4.2.4 dan contoh 4.3.1 menyimpulkan bahwa

kf

e

uuu

100

10

01

321 321 uuu

Jika bentuk ini diexpansikan kemudian disederhanakan suku-sukunya, maka diperoleh:

1. 11 kuu

2. 22 kuu

3. 3321 )( kuufueu

Jika k = 1, observasi 3 dapat disederhanakan menjadi eufu 12 , atau

12 uf

eu

Hasil ini membawa kita pada bentuk solusi berikut

311 uuf

eu

Bentuk ini ditulis kembali sebagai berikut

031

1 uyf

euxu

Dan ditulis lagi dalam bentuk kemiringan, dan titik potong sumbu y, sebagai:

3

1

ueu

fx

e

fy

ini menjadi jelas bahwa semua garis invariant mempunyai kemiringan yang sama dengan

kemiringan dari panah. Pilihan 3u adalah independen terhadap 1u , yang mengarah pada

tak hingga titik-titik potong sb y dalam bentuk

3

1

uue

f

Dengan demikian panah dan semua garis yang sejajar dengannya invariant pada translasi.

Catatan: Untuk menunjukkan bahwa translasi selalu mempunyai garis-garis invarian

Periksalah gradiennya.

Contoh. Diketahui matrix translasi

100

310

701

T

Tentukanlah semua garis invariant pada transformasi ini. Dengan menggunakan Teorema

4.3.2

kuuu

100

310

701

321 321 uuu

Setelah expansi dan menyederhanakan suku-suku, diperoleh

32132121 37 kukukuuuuuu

Dengan memilih k = 1, diperoleh hubungan

123

7uu

Dan ini menghasilkan garis-garis dalam bentuk

3113

7uuu

Dengan menggunakan bentuk aljabar dan untuk u1 = 1, persamaan garis adalah:

03

73uyx atau 3

7

3

7

3uxy

Dengan demikian semua garis yang paralel terhadap panah (slide arrow) adalah invariant.

Sejumlah sifat-sifat geometri yang lain dari titik dan garis juga diawetkan dalam suatu

transformasi linear, termasuk jarak antara titik-titik, luas daerah poligon. Inilah yang

diharapkan dalam suatu translasi.

Teorema 4.3.4

Jarak invariant dalam translasi

Jarak antara dua titik pada bidang Euclid 11, yx dan 22 , yx dinyatakan dalam

2

12

2

12 yyxxd

Dengan menghitung jarak antara bayangan-bayangan dari titik-titik ini, ',' 11 yx dan

',' 22 yx maka akan diperoleh

-10 -5 5

5

-5

O

A

Coordinate(Point A): (-7.0, 3.0)

2

12

2

12 ][][[][ fyfyexexd

Jika persamaan ini disederhanakan, maka akan diperoleh

2

12

2

12 yyxxd

Dengan demikian, jarak diawetkan dalam transformasi

Teorema 4.3.5

Luas invariant dalam translasi

Berdasarkan Teorema 4.1.1. luas daerah yang ditentukan oleh tiga titik sembarang yang

tidak segaris pada bidang, 332211 ,,,,, yxyxyx adalah

Luas = (1/2) abs

111

321

321

yyy

xxx

Setelah translasi, luas daerah yang ditentukan oleh bayangan dari ketiga titik ini adalah:

Luas = (1/2) abs

111

)()()(

)(()(

321

321

fyfyfy

exexex

Ternyata kedua luas ini ekivalen.

Contoh: Diketahui matrix translasi

100

310

701

T

Dan titik-titik (1,1), (2,5) dan (6,2). Tunjukkanlah bahwa luas yang ditentukan oleh titik-

titik ini tidak berubah oleh adanya translasi T. Berdasarkan persamaan 4.1.1, luas daerah

yang ditentukan oleh ketiga titik ini adalah

5.9

111

251

621

2

1abs

Bayangan dari titik-titik yang diketahui oleh T diperoleh dari

111

122

1398

111

251

621

100

310

701

Luas daerah segitiga yang ditentukan oleh ketiga titik ini adalah

5.9

111

122

1398

2

1abs Jadi luas daerah kedua segitiga itu sama.

Merepresentasi Rotasi

Persamaan matrix untuk rotasi terhadap sebuah titik dengan pusat titik asal dan melalui

suatu sudut adalah

1

'

'

1100

0cossin

0sincos

1100

0

0

y

x

y

x

y

x

dc

ba

Dimana sudut putar yang berlawanan dengan arah jarum jam adalah positif. Matrix 2×2

pada pojok kiri atas berikut ini akan mereorientasikan obyek di bidang. Kolom ketiga

pada matrix itu menyatakan titik pusat rotasi, yaitu titik asal koordinat.

1

'

'

1100

0cossin

0sincos

1100

0

0

y

x

y

x

y

x

dc

ba

Teorema 4.3.6

Diketahui rotasi pada titik asal

Invers dari R adalah

1

1

100

0cossin

0sincos

R

100

0)cos()sin(

0)sin()cos(

100

0cossin

0sincos

Contoh:

Tentukan bayangan dari titik (1,3) oleh rotasi 300 berlawanan dengan putaran jarum jam

berpusat di titik asal. Rotasi ditentukan oleh

100

02

3

2

1

02

1

2

3

100

030cos30sin

030sin30cos

100

0cossin

0sincos00

00

Bayangan dari titik yang diketahui adalah

100

02

3

2

1

02

1

2

3

12

33

2

12

3

2

3

1

3

1

Operasi invers dapat diaplikasikan pada bayangan dari titik untuk mengembalikannya

pada lokasi semula adalah sebagai berikut.

100

0cossin

0sincos

R

100

02

3

2

1

02

1

2

3

12

33

2

12

3

2

3

=

1

3

1

Invariant pada suatu rotasi

Secara geometri paling sedikit ada satu titik invariant dalam suatu rotasi, yaitu titik pusat

rotasi. Karena tiap titik lainnya mengalami perubahan posisi yang ditentukan oleh jarak

dari titik pusat perputaran dan sudut putar, tidak ada lagi titik-titik lain yang invariant.

Fakta ini secara mudah dapat diperlihatkan secara analitis.

Teorema 4.3.7.Titik pusat koordinat sebagai pusat rotasi adalah invariant terhadap rotasi

100

0cossin

0sincos

R

Bayangan dari titik asal (0,0) dalam rotasi disajikan oleh

1

0

0

1

0

0

100

0cossin

0sincos

Untuk menunjukkan bahwa titik asal adalah satu-satunya titik invariant ( bila bukan

suatu kelipatan , expansikan persamaan matrix

Sehingga diperoleh xyx sincos dan yyx cossin . Dengan

menyelesaikan kedua persamaan ini untuk memperoleh y,

sin

1cosxy =

1cos

sinx

11100

0cossin

0sincos

y

x

y

x

Dengan menyamakan kedua persamaan ini dan melakukan perkalian menyilang akan

diperoleh persamaan .)(sin)1(cos 22 xx Karena 2

1cos dan 2

sin dua-

duanya positif, satu-satunya nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 0.

Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan untuk memperoleh y, ditemukan bahwa y = 0.

Jadi satu-satunya titik invariant adalah titik asal koordinat.

Secara geometri. Setiap garis di bidang direorientasikan dalam suatu rotasi, sehingga

tidak akan pernah ada garis invariant selain dari perputaran dengan sudut putar adalah

kelipatan 1800. Hal ini dipertegas dalam teorema berikut.

Teorema 4.3.8

Rotasi-rotasi ( dimana bukanlah kelipatan ) tidak mempunyai garis invariant.

Sendainya ada garis invariant, maka garis ini tidak berpindah dalam suatu transformasi,

karena itu harus berlaku kuuukuuu ,''' 321321 agar memungkinkan

bentuk-bentuk eqivalen bagi garis yang sama. Teorema 4.3. 6 menyimpulkan bahwa

'''

100

0cossin

0sincos

321321 uuukuuu

Dengan expansi dan penyederhanaan terhadap suku-suku, diperoleh hasil-hasil berikut:

1. 121 sincos kuuu

2. 221 cossin kuuu

3. 33 kuu

Jika 1,03 ku . Maka hasil 1 dapat disederhanakan menjadi

,sin

1cos12 uu dengan n

Dengan demikian diperoleh solusi-solusi berbentuk

311sin

1cosuuu

Koefisien suku kedua jelas bukan suatu konstanta, sehingga obyek yang digambarkan ini

bukanlah suatu garis. Jadi tidak ada garis yang diawetkan dalam suatu tranformasi yang

merupakan rotasi.

Rotasi-rotasi adalah transformasi-transformasi yang umum dalam kehidupan

keseharian. Pengalaman kami menyarankan bahwa jarak dan luas diawetkan juga dalam

rotasi. Teorema-teorema berikut ini memformalkan kesan-kesan tersebut.

Teorema 4.3.9

Jarak adalah invariant pada rotasi

Contoh:

Tentukan jarak antara titik (1,0) dan (0,1) dan bayanganya pada suatu rotasi 900 searah

dengan perputaran jarum jam. Dengan menggunakan rumus jarak, jarak antara (1,0) dan

(0,1) adalah 2 . Bayangan dari titik-titik ini oleh rotasi ditentukan sebagai berikut.

11

01

10

11

10

01

100

001

010

Dengan menggunakan rumus jarak terhadap titik-titik ini juga akan menghasilkan 2 .

Jadi jarak antara titi-titik sebelum dan sesudah rotasi tetap sama.

Teorema 4.3.10

Luas adalah invariant terhadap rotasi.

Contoh: Diketahui matrix rotasi

R =

100

001

010

dan titik (1,1), (2, 5) dan (6, 2). Periksalah apakah luas daerah yang ditentukan oleh

ketiga titik ini awet oleh adanya rotasi oleh R. Berdasarkan persamaan 4.1, daerah yang

ditentukan oleh titik-titik ini ditentukan oleh

5.9

111

251

621

2

1abs

Bayangan dari titik-titik yang diketahui oleh adanya rotasi R, ditentukan oleh:

100

001

010

111

621

251

111

251

621

Luas daerah segitiga yang ditentukan oleh titik-titik ini adalah

5.9

111

621

251

2

1abs

Jadi daerah yang ditentukan oleh kedua segitiga ini adalah sama.

Isometri-isometri tidak langsung

Merepresentasi refleksi

11100

010

001'

'

y

x

y

x

Matriks refleksi

Persamaan matrix untuk refleksi sebuah titik terhadap sumbu x ditentukan oleh:

111100

010

001'

'

y

x

y

x

y

x

Dengan adanya transformasi ini, setiap titik dipetakan onto ke titik yang mempunyai

koordinat x yang sama, tetapi koordinat y nya berlawanan tanda. Akibatnya, setiap titik

di atas sumbu x dipetakan ke titik yang berkorespondensi di bawah sumbu x, dan

sebaliknya.

Contoh: Tentukan bayangan dari titik (1, 3) oleh refleksi terhadap sumbu x. Persamaan

matriks nya adalah:

1

3

1

1

3

1

100

010

001

Secara geometri, oleh refleksi, sebuah obyek dan bayangannya akan kongruen.

Akan tetapi ada suatu orientasi yang terbalik. Dimulai dari A, bergerak keliling obyek

searah dengan putaran jarum jam, urutan titik-titik sudut adalah A-B-C. Dimulai dari A’,

dan mengulangi prosedur, urutan titik-titik sudut adalah : A’-C’-B’. Tidak ada kombinasi

dari translasi yang dapat mengakibatkan hasil ini.

Gambarlah sebuah segitiga kedua yang dipotong oleh sumbu refleksi. Tentukanlah

bayangan obyek ini oleh transformasi.

m

A

B

C

A'

C'

B'

Perbedaan yang jelas antara transformasi refleksi dengan translasi dan rotasi sangat

nyata. Misalnya, baik translasi maupun rotasi dapat diselesaikan dengan menggunakan

komposisi dari refleksi-refleksi. Gambar berikut menunjukkan dua garis refleksi yang

paralel, j dan k ,dan deretan dari tiga segitiga. Jika segitiga 1 dipandang sebagai obyek,

refleksinya terhadap garis j adalah segitiga 2. Refleksi dari segitiga 2 terhadap garis k

adalah segitiga 3. Jelas bahwa segitiga 3 adalah translasi dari segitiga 1. Dengan

menggunakan logika yang sama, segitiga 1 dapat dioandang sebagai bayangan dari

segitiga 3 oleh karena dua refleksi yang berturut-turut, mula-mula pada garis k dan

kemudian terhadap garis j. Terdapat suatu hubungan sederhana antara panjang dari vektor

dengan jarak antara garis-garis refleksi. Untuk menemukan hubungan itu, lakukanlah

sebagai suatu latihan.

Gambarlah suatu segitiga kedua yang dipotong oleh garis refleksi j.Tentukanlah

bayangan dari segitiga itu oelh adanya komposisi dari transformasi-transformasi.

Gambar berikut ini menunjukkan dua garis refleksi yang berpotongan j dan k, dan

serangkaian tiga buah segitiga. Pandang segitiga pertama sebagai obyek, refleksinya

terhadap garis j adalah segitiga 2. Refleksi dari segitiga 2 terhadap garis k adalah segitiga

3. Sangat jelas segitiga 3 adalah rotasi dari segitiga 1. Dengan menggunakan logika yang

sama, segitiga 1 dapat dipandang sebagai bayangan dari segitiga 3 oleh adanya dua

refleksi yang berturutan, mula-mula terhadap garis k, kemudian terhadap garis j. Sama

seperti pada pencerminan terhadap dua garis yang paralel, ada suatu relasi sederhana dan

sudut yang dibentuk oleh dua garis refleksi. Untuk menemukan hubungan itu, lakukanlah

sebagai suatu latihan.

Gambarlah suatu segitiga kedua yang dipotong oleh garis refleksi j. Temukanlah

bayangan dari segitiga itu oleh adanya komposisi dari transformasi-transformasi.

Kenyataan bahwa translasi-translasi dan rotasi-rotasi keduanya dapat ditulis sebagai

komposisi dari refleksi-refleksi, sementara tidak ada kombinasi antara translasi dan/atau

refleksi yang yang sama dengan suatu refleksi, menempatkan refleksi sebagai suatu

”atom” dari isometri. Semua isometri dapat ditulis sebagai suatu komposisi dari refleksi-

refleksi. Untuk alasan ini, secara matematika, refleksi lebih fundamental daripada

translasi dan rotasi.

Refleksi-refleksi juga lebih menarik dan menyenangkan dalam arti personal

Dengan berpikir secara geometri, jelas bahwa setiap refleksi adalah invers dari

dirinya sendiri. Transformasi dengan merefleksikan suatu titik yang diketahui terhadap

suatu garis akan ”ditiadakan” dengan cara merefleksikan titik itu lagi . Teorema berikut

ini menyajikan suatu notasi.

Teorema:

Diketahui suatu refleksi terhadap sumbu – x

F =

100

010

001

Invers dari F adalah 1

100

010

001

100

010

001

Bukti dari teorema ini dibiarkan sebagai latihan.

Invarian pada Refleksi

Eksistensi titik-titik dan garis-garis invariant pada suatu refleksi dapat diselidiki secara

geometri maupun secara analitis. Dengan cara berpikir geometri, jelaslah bahwa titik-titik

ysng terletak pada garis refleksi tidak berpindah oleh adanya transformasi ini. Mereka

invariant. Oleh karena dalam transformasi ini, setiap titik yang terletak pada garis refleksi

adalah tetap, garis ini dinamakan point wise invariant. Demikian juga, semua garis yang

tegaklurus terhadap garis refleksi adalah invariant, sekalipun tidak point wise invariant.

Sebagai contoh, dalam kasus refleksi terhadap sumbu x, bayangkan semua titik pada

garis x = 1, melncur melalui satu dengan lainnya ketika mereka melewati sumbu x

untuk menempati posisinya yang baru, semuanya koliner. Jadi, ketika titik-titik secara

individual tidak invariant, tetapi garis dimana titik-titik itu terletak tidak mengalami

perpindahan. Garis ini invariant. Penting untuk diingat bahwa kedua pasangan garis

invariant ini orthogonal satu terhadap lainnya.

Teorema:

Titik-titik paada sumbu x adalah invariant pada refleksi

R =

100

010

001

Untuk semua titik invariant (x , y, 1)

100

010

001

11

y

x

y

x

Dengan melakukan ekspansi dan menyederhanakan persamaan, diperoleh x = x dan y =

y. Interpretasi dari temuan ini adalah x tidak terbatas, tetapi tidak terbatas, tetapi y = 0.

Dengan kata lain, semua titik berbentuk ( x, 0, 1) adalah invariant. Semua titik seperti itu

terletak pada sumbu x.

Teorema: Sumbu x an semua garis yang tegaklurus padanya adalah invariant pada

refleksi

R =

100

010

001

Garis-garis invariant tidak berpindah dalam suatu transformasi, sehingga

[u1 u2 u3 ] = k [ u1’ u2’ u3’]

Dengan k untuk memberi peluang bagi bentuk ekivalen dari garis yang sama.

Sehingga,

[u1 u2 u3 ]

100

010

001

= k [ u1 u2 u3]

Dengan mengekspansi dan menyederhanakan suku-suku, diperoleh hasil berikut ini:

1. u1 = k u1

2. –u2 = k u2

3. u3 = k u3.

Jika k = 1, maka observasi 2 dapat disederhanakan menjadi u2

= 0. Dan ini

menghasilkan

[u1 0 u3 ] 0

1

y

x

Ini juga dapt ditulis sebagai x = -u3/u1. Ini adalah persamaan dari garis yang tegaklurus

pada sumbu x. Oleh karena u3tidak terbatas, maka persamaan ini merepresentasikan

semua garis yang tegaklurus pada sumbu x . Jika k = 1, analisis yang sama akan

mengarah pada bentuk

[0 u3 0 ] 0

1

y

x

yang juga dapat ditulis sebagai y = 0. Persamaan ini adalah sumbu x

Teorema: Jarak adalah invarian dalam transformasi refleksi

Teorema: Luas adalah invarian dalam transformasi refleksi

KOMPOSISI DAN ANALISIS TRANFORMASI

Transformasi-transformasi yang dipelajari sampai pada bagian ini adalah yang spesial:

Rotasi dengan titik pusat rotasi adalah titik asal koordinat, dan bukan rotasi pada

sembarang titik P; refleksi terhadap sumbu x , dan bukan refleksi terhadap sembarang

garis r, dst. Matriks-matriks yang berkaitan dengan hal-hal spesial ini jika dibandingkan

dengan yang lainnya, adalah matriks – matriks yang sederhana. Dalam bab ini kita

selidiki penggunaan matriks-matriks sederhana sebagai building block dalam

mengkonstruksi transformasi-transformasi yang lebih kompleks dan matriks-matriksnya.

Strategi yang umum digunakan adalah mengungkapkan transformasi yang diinginkan

sebagai suatu komposisi dari matriks-matriks sederhana, serta inversnya. Misalnya, rotasi

pada bidang dengan titik pusat rotasi (e, f ) dapat diperoleh melalui komposisi dari tiga

gerakan pada bidang Euclid:

T: Translasikan titik pusat rotasi ke titik asal.

R: Rotasi pada pusat rotasi yang sekarang adalah titik asal

T-1

: Translasikan titik pusat rotasi ke lokasinya semula yaitu ( e, f ).

Untuk suatu kumpulan titik X, komposisi dari matrik-mariks itu dapat ditulis sebagai

berikut: T-1

RTX = X-1

, atau

11100

10

01

100

0cossin

0sincos

100

10

01'

'

y

x

y

x

f

e

f

e

Dengan melakukan perkalian dari kiri ke kanan, diperoleh :

11100

)cos1(sincossin

sin)cos1(sincos'

'

y

x

y

x

fe

fe

Ini adalah rumus umum untuk rotasi dengan pusat (e,f), dan diformalkan dalam teorema

berikut. Karena kolom ketiga terlihat rumit, banyak mahasiswa matematika lebih suka

menggunakan komposisi matriks untuk menyatakan rotasi.

Teorema: Diketahui titik pusat rotasi adalah (e,f ), dan sudut putar adalah , tranformasi

rotasinya diberikan oleh:

11100

)cos1(sincossin

sin)cos1(sincos'

'

y

x

y

x

fe

fe

Menyajikan Refleksi sebagai komposisi dari matriks

Sudut putar

Pendekatan yang sama dapat ditempuh untuk merepresentasikan suatu refleksi terhadap

suatu garis yang bukan sumbu x. Gambar di atas ini menunjukkan suatu garis dengan

persamaan y =-2.0x + 2.0.

Mula-mula garis yang diketahui itu ditranslasikan oleh T sedemikian sehingga

bayangannya melalui titik asal. Selanjutnya bayangan ini dirotasikan oleh R berlawanan

dengan arah putaran jarum jam supaya berimpit dengan sumbu x. Setelah melakukan

refleksi F terhadap sumbu x, dilakukan lagi rotasi R-1

dan Translasi T-1

untuk

mengembalikan garis yang terefleksi tadi ke posisinya semula. Komposisi dari

-3 -2 -1 1

2

1

-1

A B

C D

Equation(Line DB): y = -2.00x + 2.00

Equation(Line CA): y = -2.00x

garis yangtertranslasi

garis yang terotasisb x

transformasi-transformasi ini dapat dinyatakan sebagai T-1

R-1

F R T X = X’. Persamaan

matriks nya adalah:

11100

210

001

100

0cossin

0sincos

100

010

001

100

0cossin

0sincos

100

210

001'

'

y

x

y

x

Dimana sudut putar adalah = artan (2)

Suatu matriks transformasi ditentukan untuk refleksi terhadap garis l [ a b c ], dimana l

memotong sumbu y di titik - c/b dengan kemiringan -a/b, b 0 .

Teorema: Diketahui garis l [ a b c ], matriks transformasi R1 untuk refleksi pada l

ditentukan oleh

100

2)(2

22)(

2222

22

22

222222

22

1ba

bc

ba

ba

ba

abba

ac

ba

ab

ba

ba

R , dimana 0b

Contoh: Tentukanlah matriks transformasi untuk suatu refleksi terhadap garis [ -1 3 3].

Misalkan a = -1, b = 3 , dan c = 3, matriks transformasinya adalah

R1 =

100

8.18.6.

6.6.8.

Menentukan suatu matriks untuk transformasi linear jika

diketahui obyek dan bayangannya

Suatu tugas yang terkait dengan ini adalah menentukan matriks dari suatu transformasi

linear jika diketahui obyek dan bayangannya dalam transformasi ini. Yaitu, diketahui

suatu kumpulan titik X dan bayangannya X’, kita menentukan suatu matriks A

sedemikian sehingga AX = X’. Isu pertama yang harus diperhatikan dalam hal ini adalah

“ Berapa titik yang diperlukan?” Dengan berpikir secara analitis, pertanyaan ini dapat

dinyatakan secara lain: Jika diketahui nilai-nilai dari x , y , x’, dan y’, apakah nilai-nilai

a, b,c, d , e dan f akan secara unik ditentukan oleh persamaan

11100

'

'

y

x

y

x

fdc

eba

Sebagai contoh, jika kita ambil (x , y, 1) = ( 1, 1, 1 ) dan (x’ , y’, 1) = ( 2, 1, 1), maka

persamaan ini akan menghasilkan bentuk aljabar a + b + e = 2 dan c + d + f = 1.

Jelaslah bahwa ada banyak pilihan untuk nilai-nilai , a, b, c, d, e, dan f yang memenuhi

persamaan-persamaan ini. Kita dapat memandang translasi T

100

010

101

memetakan (1, 1, 1 ) onto (2, 1, 1 ). Alternatif lainnya, transformasi yang disediakan

oleh matrix

100

010

011

Akan memberikan hasil yang sama. Dengan demikian , jika hanya diketahui satu titik

dan bayangannya, maka memang tidak cukup untuk secara unik menentukan suatu

transformasi linear.

Apakah dengan diketahui dua titik dan bayangannya , maka kita cukup punya

informasi untuk mengatakan bahwa hanya ada satu matriks? Persamaan matriks untuk

dua titik dan bayangannya adalah sebagai berikut.

1111100

'

2

'

1

'

2

'

1

21

21

yy

xx

yy

xx

fdc

eba

Untuk mengeksplore kemaungkinan ini , misalkan transformasi ini memetakan titik (1, 1,

1) onto ( 2, 1, 1), dan titik (0, 0, 1) onto ( 1, 1, 1). Pengandaian ini menghasilkan

hubungan a + b = 1, dan c + d = 1. Oleh karena terdapat ta hingga penyelesaian untuk

persamaan-persamaan ini, dengan hanya mengunakan dua titik tidak akan menghasilkan

suatu persamaan linear.

Bagaimana jika digunakan tiga titik? Dengan asumsi ini, persamaan matriks menjadi

111111100

'

3

'

2

'

1

'

3

'

2

'

1

321

321

yyy

xxx

yyy

xxx

fdc

eba

Persamaan matriks berbentuk seperti ini , AX = X’, dapat diselesaikan terhadap A

asalkan 0X . Dalam hal tiga titik itu tidak koliner, maka 0X . Jika persyaratan ini

terpenuhi, solusi dari persamaan matrix tadi dapat ditulis sebagai A= 1' XX .

Contoh: Tentukanlah matris transformasi T yang memetakan himpunan titik-titik

X =

111

301

201

menjadi himpunan titik-titik X1

111

100

301

Isu pertama adalah menentukan apakah 0X . Dengan pengecekan yang cepat dapat

ditemukan bahwa determinan ini sama dengan -5. Langkah berikutnya adalah

menentukan invers dari matriks

X =

111

301

201

Invers dari X adalah

X

05

1

5

1

15

3

5

2

05

2

5

3

1

Transformasi yang belum diketahui itu diberikan oleh A = X 1' X , atau

A =

111

100

301

100

05

1

5

1010

05

1

5

1

15

3

5

2

05

2

5

3

Garis-Garis Invariant dan Vector-vector Eigen

Di bagian depan dijumpai bahwa persamaan '1 kuuA dimodifikasi sebagai

kuuA 1 ketika kita mencari garis-garis invarian pada suatu transformasi linear A.

Sekarang kita coba mengeksplor hubungan diantara '1 kuuA dan hubungan

matematika yang terkenal lainnya, yaitu nilai eigen atau karakteristik pada persamaan

matriks. Persamaan eigen sering ditulis sebagai uuT , dimana T adalah suatu matrix,

dan Vu dan V adalah suatu ruang vektor.

Untuk suatu matrix T yang diketahui, pasangan dan yang memenuhi persamaan ini

berturut-turut dinamakan nilai eigen dan vektor eigen. Secara geometris hubungan ini

diinterpretasikan sebagai berikut: suatu vektor diskala lagi oleh dan hanya

mengalami perubahan besaran dalam ukuran panjang dan/atau arah yang berbalik. Agar

hal ini terjadi, baik ataupun bayangannya harus terletak pada garis yang sama, l.

Akibatnya, garis l harus invariant terhadap T. Hal ini menyarankan bahwa prosedur

untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dapat diterapkan untuk keperluan

menentukan garis invariant terhadap suatu transformasi linear. Dengan membandingkan

persamaan garis kuuA 1 dan persamaan eigen uuT , jelaslah bahwa nilai-nilai

yang diperoleh untuk k pada contoh-contoh di bagian 4.3 – 4.4 sesungguhnya adalah

nilai-nilai eigen yang berkaitan dengan matriks transformasi .1A

Persamaan eigen uuT dapat ditulis lagi sebagai 0uuT . Dengan memfaktorkan

bentuk ini dengan vektor u, dan mengalikan dengan matriks identitas I akan

menghasilkan .0)( IT Dalam bentuk matriks, ini adalah

0

100

232221

131211

321 ttt

ttt

uuu

Dapat diperlihatkan bahwa persamaan ini mempunyai penyelesaian yang nontrivial jika,

100

232221

131211

ttt

ttt

=0

Determinan ini dapat disederhanakan dan diselesaikan untuk memperoleh nilai .

Manaka nilai –nilai eigen telah ditentukan, vektor-vektor eigen dapat diperoleh dengan

mensubstitusikan nilai – nilai eigen ini pada persamaan eigen. Vektor-ektor eigen ini

dapat digunakan untuk mengidentifikasikan garis-garis invarian.

Kalkulator type TI-92, Maple, Matlab dapat menemukan nilai eigen dan vektor eigen

secara otomatis.

Contoh: Tentukan nilai eigen dan vektor eigen yang berkaitan dengan transformasi linear

100

010

001

Nilai-nilai eigen yang bertalian dengan matriks ini diperoleh dari persamaan

0

100

010

001

Jika ruas kiri diekspansikan maka akan diperoleh persamaan .0)1)(1( 2

Persamaan ini diselesaikan akan menghasilkan nilai 1 .Tiap nilai eigen ini jika

disubstitusikan kedalam persamaan eigen uuT , yaitu

321321

100

010

001

uuuuuu .

Jika 1, persamaan ini akan menghasilkan ,, 2211 uuuu dan .33 uu Interpretasi

dari hasil ini adalah bahwa untuk 02u akan menyebabkan 1u dan 3u tidak terbatas.

Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen berbentuk 31 0 uu atau 1

3

uu

x .

Semua garis ini tegak lurus pada sumbu x. Jika 1 , persamaan ini akan

menghasilkan ,11 uu dan .33 uu Interpretasi dari hasil ini adalah bahwa ,031 uu

yang menyebabkan 2u tidak terbatas. Vektor eigen berasosiasi dengan semua garis

berbentuk 00 2u atau y = 0. Ini adalah sumbu x. Perlu diperiksa bahwa nilai-nilai

eigen yang mungkin untuk suatu isometri adalah 1 dan -1.