HAND OUT PEMBINAAN

OLIMPIADE DI SMA NEGERI 1

INDERALAYA

OLEH:

PUTERI APRILIANTI (06101008036)

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

SOAL OLIMPIADE

Memahami soal

Fakta/informasi yang diberikan?

Apa yang ditanyakan, yang akan dicari atau dibuktikan?

Konsep / materi apa yang digunakan?

Menyusun strategi

Strategi apa yang akan digunakan?

Definisi/sifat apa yang mungkin digunakan.

Melakukan strategi yang telah dipilih

Melihat kembali pekerjaan yang dilakukan

STRATEGI PENYELESAIAN SOAL

OLIMPIADE

Melihat Pola

Menggunakan Variabel

Menggunakan definisi / sifat

Menggambar diagram

Bekerja Mundur

Mendata

SOAL OLIMPIADE MATERI ALJABAR

Diberikan 2log 8log 𝑥 = 8 log 2log 𝑥. Tentukan nilai dari 2log 𝑥 2.

Memahami masalah : Logaritma.

Diketahui : 2log 8log 𝑥 = 8 log 2log 𝑥.

Ditanya: nilai 2log 𝑥 2.

Menyusun Strategi :

- menggunakan definisi dan sifat-sifat logaritma:

- menggunakan variabel 𝑎 untuk menyatakan 2log 𝑥

sehingga persamaan yang diberikan semuanya dalam 𝑎 dan nilai

yang kita cari adalah 𝑎2.

𝑎log 𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑏 = 𝑎𝑐

𝑎𝑛log 𝑏𝑚 =𝑚

𝑛𝑎 log 𝑏

𝑎log 𝑏𝑚 = 𝑚 .𝑎 log 𝑏𝑎log 𝑏. 𝑐 = 𝑎 log 𝑏 + 𝑎 log 𝑐

Menjalankan strategi2log 8log 𝑥 = 8 log 2log 𝑥

2log 23log 𝑥1 = 23 log 2log 𝑥 1

2log1

3. 2 log 𝑥 =

1

3. 2 log 2log 𝑥

2log1

3+ 2 log 2log 𝑥 =

1

3. 2 log 2log 𝑥

Misalkan 2log 𝑥 = a, maka :

2log 3−1 + 2 log 𝑎 =1

3. 2 log 𝑎

− 2 log 3 + 2 log 𝑎 −1

3. 2 log 𝑎 = 0

2

3. 2 log 𝑎 = 2 log 3

2log 𝑎 =3

2. 2 log 3

2log 𝑎 = 2 log 332 ↔ 𝑎 = 3

32

Maka 2log 𝑥 2 = a2 = 33

2

2

= 33 = 27

LATIHAN SOAL

Berapakah nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan berikut :

a. 4log 2log 𝑥 = 0

b. 2log 4log 2𝑥 = 0

c. 2log 2log(2𝑥 − 2) = 2

Jika 53𝑥 = 8, maka nilai dari 53+𝑥

2 adalah...

Diketahui Sin 𝑎 Cos 𝑎 =9

32. Nilai

1

Sin 𝑎+

1

Cos 𝑎= ⋯

- Geoge Cantor -

The essence of mathematics is its freedom

(Inti dari matematika adalah kebebasan)

SOAL OLIMPIADE MATERI ALJABAR

Suatu fungsi 𝑓: 𝑍 → 𝑄 mempunyai sifat 𝑓 𝑥 + 1 =1+𝑓 𝑥

1−𝑓 𝑥

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑍. Jika 𝑓 2 = 2, maka nilai fungsi 𝑓 2009adalah...

Memahami masalah : Materi Fungsi.

Diketahui : 𝑓 𝑥 + 1 =1+𝑓 𝑥

1−𝑓 𝑥, 𝑓 2 = 2

Ditanya: 𝑓 2009

Menyusun Strategi :

-Mendata nilai 𝑓 1 , 𝑓 2 , 𝑓 3 , 𝑑𝑠𝑡

-Melihat apakah terdapat pola yang terbentuk.

Melakukan strategi

Karena 𝑓(2) diketahui maka dapat dicari 𝑓 1 , 𝑓 3 , 𝑓 4 , 𝑑𝑠𝑡

𝑓 2 =1 + 𝑓 1

1 − 𝑓 1↔ 2 =

1 + 𝑓 1

1 − 𝑓 1↔ 𝑓 1 =

1

3

𝑓 3 =1 + 𝑓 2

1 − 𝑓 2=1 + 2

1 − 2= −3,

𝑓 4 =1 + 𝑓 3

1 − 𝑓 3=1 − 3

1 + 3= −

1

2

𝑓 5 =1 + 𝑓 4

1 − 𝑓 4=1 −

12

1 +12

=1

3

𝑓 6 =1 + 𝑓 5

1 − 𝑓 5=1 +

13

1 −13

= 2

𝑓 𝑥 =1

3, 2, −3,−

1

2,1

3, 2, −3… . 𝑑𝑠𝑡

Membentuk pola yang berulang setiap kelipatan 4

𝑓 𝑥 = 𝑓 4𝑛 + 𝑥 , 𝑛, 𝑥 ∈ 𝑍+ 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≤ 4

Maka 𝑓 2009 = 𝑓 2008 + 1 = 𝑓 4 502 + 1 = 𝑓 1 =1

3

LATIHAN SOAL

Barisan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, …memenuhi 𝑎1 = 5, 𝑎2= 7, 𝑎3 = 10dan 𝑎4 = 14 serta

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−3 − 𝑎𝑛−4Tentukanlah:

a. 𝑎5 b. 𝑎6 c. 𝑎7 d. 𝑎11 e. 𝑎236

Jika bilangan ganjil di kelompokkan seperti berikut:

{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…dst

maka suku tengah dari kelompok ke-51 adalah....

- Rene Descartes -

It is not enough to have a good mind. The main thing is to use it well.

(tidak cukup hanya memiliki pemikiran yang baik. yang utama adalah

menggunakannya dengan baik)

SOAL OLIMPIADE MATERI GEOMETRI

Sebuah segitiga sama sisi, sebuah lingkaran, dan sebuah persegi memiliki keliling yang sama. diantara ketiga bangun tersebut, manakah yang memiliki luas terbesar.

Memahami masalah :Bangun datar.

Diketahui : keliling segitiga = keliling lingkaran = keliling persegi

Ditanya: luas bangun terbesar.

Menyusun Strategi :

-Menggunakan variabel k untuk memisalkan keliling segitiga = keliling lingkaran = keliling persegi = k.

-Mencari panjang sisi segitiga, jari-jari lingkaran dan sisi persegi semua dalam k.

-Mencari luas segitiga, luas lingkaran dan luas persegi

-Membandingkan luas segitiga, luas lingkaran dan luas persegi

Menjalankan Strategi

Keliling segitiga sama sisi dengan sisi = 𝑎

𝑘 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 3𝑎 ⇒ 𝑎 =1

3𝑘

Keliling lingkaran

𝑘 = 2𝜋𝑟 ⇒ 𝑟 =1

2𝜋𝑘

Keliling persegi

𝑘 = 4𝑠 ⇒ 𝑠 =1

4𝑘

𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 ∶ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 ∶ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖1

4𝑎2 3 ∶ 𝜋𝑟2: 𝑠2

1

4

1

3𝑘

2

3 ∶ 𝜋1

2𝜋𝑘

2

:1

4𝑘

2

3

36𝑘2:

1

4𝜋𝑘2:

1

16𝑘2

1

12 3:1

4𝜋:1

16

Karena 4𝜋 < 16 < 12 3 maka 1

4𝜋>

1

16>

1

12 3.

Luas terbesar adalah luas lingkaran

𝑠𝑖𝑓𝑎𝑡 ∶1

𝑎>1

𝑏>1

𝑐𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0

LATIHAN SOAL

Sepotong kawat dipotong menjadi 2 bagian, dengan

perbandingan panjang 3 : 2. Masing-masing bagian

kemudian dibentuk menjadi sebuah persegi.

Perbandingan luas kedua persegi adalah....

Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama

sisi mempunyai keliling yang sama, jika luas segitiga

adalah 3, maka luas segienam adalah...

- Albert Einstein -

Knowledges come from Experience

(Pengetahuan datang dari Pengalaman)

SOAL OLIMPIADE MATERI GEOMETRI

Diberikan segitiga ABC siku-siku di C, AC = 3, dan BC = 4.

Segitiga ABD, siku- siku di A, AD = 12, dan titik- titik C dan D

letaknya berlawanan terhadap sisi AB. Garis sejajar AC

melalui D memotong perpanjangan CB di E. Jika 𝐷𝐸

𝐷𝐵=𝑚

𝑛Dengan m dan n bilangan bulat positif yang relatif prima, maka

m+n = .... (OSP 2010)

Memahami masalah : Segitiga, teorema phytagoras, sudut,

trigonometri.

Diketahui :segitiga ABC. AC = 3, BC = 4. segitiga ABD, AD =12

Menyusun Strategi :

-Menggambarkan segitiga ABC, segitiga ABD dan titik E.

-Menggunakan teorema phytagoras untuk mencari AB dan BD

-Mencari nilai 𝐷𝐸

𝐷𝐵dengan menggunakan rumus trigonometri

Menjalankan Strategi

𝐷𝐸

𝐷𝐵= sin𝛼

= sin 180 − ∠𝐴𝐵𝐷 + ∠𝐴𝐵𝐶

= sin(𝐴𝐵𝐷 + ∠𝐴𝐵𝐶)

= sin 𝐴𝐵𝐷 . cos 𝐴𝐵𝐶 + sin 𝐴𝐵𝐶 . cos 𝐴𝐵𝐷

= 12

13.4

5+

3

5.5

13

𝐷𝐸

𝐷𝐵=

𝑚

𝑛=

48+15

65, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚, 𝑛 = 1.m + n = 63 + 65 = 128

AC

D

E

B

4

12

5

13

𝜶

3

LATIHAN SOAL

Pada trapesium PQRS, sisi PQ sejajar sisi RS dengan

PQ = 7, PS = QR = 8 , dan SR = 15. Tentukan :

a) Tinggi trapesium PQRS

b) Panjang diagonal PR

Pada segitiga ABC dengan AB = AC. Panjang garis tinggi

dari titik A sama dengan 8 cm. Jika diketahui keliling

segitiga tersebut adalah 32 cm. Berapa panjang BC.

- Sudie Black -

Be curious always! For knowledge will not acquire you, you must acquire

it.

(selalu ingin tahu! Pengetahuan tidak mendapatimu, kaulah yang harus

mendapatkannya

SOAL OLIMPIADE MATERI KOMBINATORIKA

Ada berapa banyakkah bilangan 4-angka berbentuk 𝑎𝑏𝑐𝑑dengan 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑

Memahami masalah : Kaidah Pencacahan.

Diketahui :𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑

Ditanya: banyak bilangan 𝑎𝑏𝑐𝑑 .

Menyusun Strategi :

-Mendata bilangan 𝑎𝑏𝑐𝑑 yang memenuhi keadaan

-Menghitung jumlah bilangan 𝑎𝑏𝑐𝑑 dengan menggunakan aturan

kombinasi.

Menjalankan Strategi

𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑Artinya 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑𝑎𝑛 𝑑 memenuhi keadaan berikut :

-𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 - 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 < 𝑑-𝑎 = 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 - 𝑎 = 𝑏 < 𝑐 = 𝑑-𝑎 < 𝑏 = 𝑐 < 𝑑 - 𝑎 < 𝑏 = 𝑐 = 𝑑-𝑎 < 𝑏 < 𝑐 = 𝑑 - 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑

- 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 ⇒ memilih 4 angka berbeda dari 9 angka

1,2,3,… , 9 dengan urutan tidak diperhatikan.maka

banyak bilangan dapat dihitung dengan rumus kombinasi

(1234, 1243, 4312, 1432, . .⇒ dihitung 1 yaitu 1234 yang

memenuhi keadaan)

9𝐶4 =9!

9 − 4 ! 4!= 126

- 𝑎 = 𝑏 < 𝑐 < 𝑑, 𝑎 < 𝑏 = 𝑐 < 𝑑, 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 = 𝑑 ⇒ memilih 3

angka berbeda dari 9 angka.

- 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 < 𝑑, 𝑎 = 𝑏 < 𝑐 = 𝑑, 𝑎 < 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 ⇒ memilih 2

angka berbeda dari 9 angka.

- 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 ⇒memilih 1 angka dari 9 angka.

Jumlah bilangan = N

𝑁 = 9𝐶4 + 3. 9𝐶3 + 3. 9𝐶2 + 9𝐶1 = 126 + 3.84 + 3.36 + 9= 126 + 252 + 108 + 9 = 495

LATIHAN SOAL

Bilangan enam digit 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 dengan 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 ≥ 𝑑 > 𝑒 > 𝑓 ada sebanyak...

Ada empat pasang sepatu akan diambil empat sepatu secara acak . Peluang bahwa yang terambil ada yang berpasangan adalah...

Bilangan 4 angka dibentuk dari 2, 3, 7 dan 9 dimana masing-masing angka digunakan tepat satu kali. Jika semua bilangan 4 angka yang diperoleh dengan cara ini dijumlahkan, maka jumlahini mempunyai angka puluhan yaitu ..

- Author Unknown -

Good mathematics is not about how many answers you know .

Its how you behave when you don’t know

(Matematika bukan tentang berapa banyak jawaban yang Anda tahu,

tetapi bagaimana Anda bersikap ketika Anda tidak tahu)

SOAL OLIMPIADE MATERI TEORI BILANGAN

Tentukan semua bilangan bulat positif 𝑚, 𝑛 dengan 𝑛 adalah bilangan ganjil yang memenuhi:

1

𝑚+

4

𝑛=

1

12

Memahami masalah : bilangan bulat

Diketahui : 𝑚,𝑛 bilangan bulat positif dan 𝑛 bilangan ganjil

Ditanya: semua bilangan 𝑚,𝑛 yang memenuhi 1

𝑚+

4

𝑛=

1

12

Menyusun Strategi :

-Bergerak dari apa yang ditanyakan (Bekerja mundur) yaitu dari1

𝑚+4

𝑛=

1

12dengan mengarahkan bentuk tersebut ke bentuk 𝑚 = ⋯ dan 𝑛 = ⋯

-Mendata nilai 𝑚 dan 𝑛 yang diketahui dengan menggunakan sifatbilangan bulat positif dan sifat bilangan ganjil.

Menjalankan Strategi1

𝑚+4

𝑛=

1

12↔

𝑛 + 4𝑚

𝑚𝑛=

1

1212𝑛 + 48𝑚 = 𝑚𝑛

𝑚𝑛 − 12𝑛 − 48𝑚 + 576 − 576 = 0𝑚− 12 𝑛 − 48 = 576 = 32. 26

⇒ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 ± 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

𝑛 ganjil maka 𝑛 − 48 juga ganjil. Faktor ganjil dari 576 adalah 1,3,

dan 9

𝑛 − 48 = 1 ⇒ 𝑛 = 49

𝑚 − 12 = 576 ⇒ 𝑚 = 588

𝑛 − 48 = 3 ⇒ 𝑛 = 51

𝑚 − 12 = 192 ⇒ 𝑚 = 204

𝑛 − 48 = 9 ⇒ 𝑛 = 57

𝑚 − 12 = 64 ⇒ 𝑚 = 76

∴ 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚 , 𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖: 49,588 , 51,204 , (57,76)

LATIHAN SOAL

Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif (𝑎, 𝑏)yang memenuhi :

1

𝑎+1

𝑏=1

6Dengan a adalah bilangan genap.

Semua 𝑛 sehingga 𝑛 dan 𝑛+3

𝑛−1keduanya merupakan

bilangan bulat adalah...

- Albert Einstein -

Imagination is more important than knowledge

(Imajinasi lebih penting daripada ilmu)

REFERENSI

Beberapa buku yang dapat kalian baca untuk

persiapan olimpiade diantaranya :

Baskoro, Bimmo dwi. 2012. Cespleng Olimpiade

Matematika. Jakarta : Berlian.

Budhi, Wono Setya. 2004. Langkah Awal Menuju

ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV Ricardo.

Muslihun, dkk. 2013. Sukses Juara Olimpiade

Matematika. Jakarta : Grasindo

Maulana, Farid. 2010. Juara Olimpiade Matematika

SMA. Jakarta : WahyuMedia.