Guia Practicas MATLAB

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Ing. Teddy Negrete Página 1 GUÍA DE PRÁCTICAS DE MATLAB CÁLCULO VECTORIAL 0. PROCESO DE INSTALACION MATLAB R2010a

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    GUA DE PRCTICAS DE MATLAB

    CLCULO VECTORIAL

    0. PROCESO DE INSTALACION MATLAB R2010a

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    1. FILE INSTALLATION KEY LICENSE

    we offer you two ways to license matlab r2010a:

    standalone

    1) choose "install manually without using the internet"

    2) enter the "file installation key"

    55013-56979-18948-50009-49060

    3) use "license_standalone.dat" when asked for license file

    network

    1) choose "install manually without using the internet"

    2) enter the "file installation key"

    42149-27753-04517-22198-03397

    3) if neccessary install "license manager"

    4) use "license_server.dat" when asked for license file

    enjoy !

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    2. AYUDA EN MATLAB:

    >>doc

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    >>help

    >> helpwin

    Retorna:

    M-File Help: Default Topics

    DEMOS:

    C:\Program Files\MATLAB\R2010a\toolbox\matlab\demos\html\GettingStartedwithMATLAB.html

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    3. UNIDAD # 0: INTRODUCCIN AL ENTORNO MATLAB

    EL SOFTWARE:

    MATLAB es una de las aplicaciones ms tiles que existen para poner a punto mtodos

    numricos en distintas asignaturas de ingeniera. Por ser una herramienta de alto nivel, el

    desarrollo de programas numricos con MATLAB puede requerir hasta un orden de magnitud

    menos de esfuerzo que con lenguajes de programacin convencionales, como Fortran, Pascal,

    C/C++, Java o Visual Basic.

    El escritorio de MATLAB, tiene 4 ventanas:

    1. COMMAND WINDOW (La ventana de comandos)

    2. WORKSPACE (El espacio de trabajo)

    3. CURRENT FOLDER (El directorio actual)

    4. COMMAND HISTORY (La historia de comandos)

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 20

    Actualizacin de su directorio personal:

    Por ejemplo: E:\MATLAB_2013

    Ejecute los siguientes comandos en el PROMPT de la ventana de comandos:

    dir

    help dir

    ls

    clc

    clear

    clear all

    close

    close all

    date

    clock

    help clock

    3-2

    15/6

    3-1,4*5

    sqrt(2)

    5^3

    3;

    pi/4

    8*9

    flecha direccional

    exit

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    ARCHIVO M-File

    Haga clic en el botn Pgina en Blanco llamada New M-File del TOOLBAR, y se mostrar el

    Editor de MATLAB, tal como se muestra en la figura adyacente.

    En este editor escriba aqu las siguientes lneas:

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    %PRCTICA DE VARIOS COMANDOS GENERALES

    %inicio de bloque

    help dir

    3+5

    3*5

    clear all

    date

    clock

    help clock

    %fin de bloque

    Este archivo se puede ejecutar de las siguientes formas:

    Haga clic en el botn de Save and run, en el TOOLBAR, antes de la ejecucin, el

    programa le pedir guardar el archivo, debe ponerle el nombre comandos_generales.m. lo

    guarda e inmediatamente se ejecuta, debe verificar la ejecucin regresando al escritorio de

    MATLAB, en la ventana de comandos, si tiene errores el programa emitir un sonido.

    Otra forma es: Seleccione todas las lneas de edicin y luego pulse la tecla funcional [F9], en

    este caso se ejecuta y no se guarda. Para guardarlo debe dar un clic en el botn Diskette,

    que es Save, escriba el nombre antes indicado.

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    NOTA:

    Como una norma de programacin vamos a documentar los ejercicios indicando que hacen o

    cul es el objetivo de la prctica, adems en la primera lnea de cada programa se debe escribir

    su nombre, la fecha y el nmero del ejercicio. Recuerde los comentarios en MATLAB empiezan

    con el smbolo %.

    EJERCICIOS DE COMANDOS GENERALES:

    1. Aumente los siguientes comandos al archivo anterior, a partir de la lnea 11, y comente el bloque de instrucciones despus de la ejecucin del mismo, cada comentario debe empezar con el signo %. (Se sugiere ejecutar cada uno de los bloques de instrucciones, analizar cules son los

    resultados y luego realizar el comentario por bloque).

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 24

    NOTA:

    La numeracin se asocia al nmero de archivos M-File que se van desarrollando en esta parte

    de la gua, con el fin de llevar un control del nmero de archivos que se deben registrar y

    guardar.

    %inicio de bloque

    rand

    rand(1)

    rand(2)

    rand(3)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    realmin

    realmax

    intmin

    intmax

    roots([1 2 1])

    roots([1 -2 1])

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    dir *.mat

    type matlab.mat

    %Por qu se presenta error?

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    save

    dir

    type matlab.mat

    %fin de bloque

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    %inicio de bloque

    mkdir SU_NOMBRE

    cd SU_NOMBRE

    save archivo_texto.txt

    save archivo_excel.xls

    dir

    pwd

    cd ..

    pwd

    %fin de bloque

    (Recuerde que tiene una ayuda usando el comando help + COMANDO, donde COMANDO es

    la funcin de MATLAB que usted quiere conocer).

    2. Elabore otro archivo, verifique que se guarde en su carpeta personal, con el nombre constantes.m, usando el Editor de archivos M-File y ejecute las siguientes lneas de programacin, comente cada lnea explicando el significado del resultado:

    %inicio de bloque

    %Nmeros reales

    1/2 + 3/4

    2+3*4-6/5^2+1

    2e3

    2*10^3

    4e-1

    4*10^-1

    sqrt(3)/pi

    exp(1)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 26

    %inicio de bloque

    %Nmeros complejos

    2i*(5-4i)

    (2-i)/(6i-4)

    sqrt(1-i)

    (1-5i)^2

    (1+5i)^3

    3*exp(i)

    2*exp(i*pi)

    4*exp(i*pi/4)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %Formas simblicas

    1/0

    -5/0

    inf

    Inf

    inf+inf

    0/inf

    inf/0

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %Formas indeterminadas

    nan

    NaN

    inf*0

    0*inf

    0/0

    0^0

    inf^0

    inf/inf

    inf-inf

    1^inf

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 27

    %inicio de bloque

    %Forma infinitesimal

    eps

    sin(0)/0

    sin(eps)/eps

    %fin de bloque

    Recordemos la expresin de clculo diferencial

    ( ) , 0f x L < >

    En qu casos usaramos este valor real, que ms parece variable?

    En matemticas, si escribimos 0, x se acerca a cero pero no es cero. En programacin, si escribimos 0, x toma el valor de cero.

    Entonces en programacin podramos escribir , que significara que x tiende a cero pero no es cero, es decir estaramos utilizando una variable infinitesimal (que aqui es una

    constante) para resolver un problema de asignacin en programacin.

    %IMPORTANTE: i es un nmero, que representa al igual que eps, pi, e, exp, un valor, por lo

    tanto no pueden ser usados como nombres de variables. Adems los nombres de formas

    simblicas o indeterminadas como inf, Inf, nan, NaN tampoco pueden ser usados como

    variables.

    %Formato de los nmeros

    %inicio de bloque

    format short

    5/7

    Format long

    5/7

    format short

    1/2 + 3/4

    format rat

    1/2 + 3/4

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 28

    %inicio de bloque

    format short

    10.239 + 23.89675

    format bank

    10.239 + 23.89675

    format short

    %dejemos este estndar de formato numrico

    %fin de bloque

    NOTA IMPORTANTE:

    REPASE conceptos de aritmtica tales como: nmeros decimales, nmeros racionales,

    nmeros irracionales, cifras significativas, notacin cientfica y notacin punto flotante.

    Ejercicios usando: clear, close, who, whos.

    3. Elabore un archivo, verifique que se guarde en su carpeta personal, con el nombre que_variable_limpiar_cerrar.m, usando el Editor de archivos M-File, ejecute los siguientes comandos, interprete resultados:

    %PRUEBAS CON CLOSE - CLOSE ALL

    %inicio de bloque

    clear all

    who

    whos

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    a=2+3

    b=2*3

    c=2/3

    d=3\2

    e= 2'

    date

    who

    whos

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 29

    %inicio de bloque

    clear b ans

    who

    whos

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    sqrt(8)

    8^(1/2)

    who

    whos

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    nthroot(27,3)

    who

    whos

    %fin de bloque

    %PRUEBAS CON VENTANAS TTULOS, GRILLAS Y CERRAR

    %inicio de bloque

    clc

    figure

    figure

    close

    figure(3)

    close

    figure

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close figure

    %Por qu se presenta error?

    close figure(1)

    %Por qu se presenta error?

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 30

    %inicio de bloque

    close(1)

    figure

    close all

    close all

    clc

    f1=figure(1)

    f2=figure(2)

    close(f1)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close all

    clear all

    who

    figure(10)

    title('UPS - GUAYAQUIL')

    grid

    %fin de bloque

    Los nombres de las variables no pueden ser comandos, funciones o nombres de valores

    definidos en MATLAB. No se puede usar espacios en blanco. Los nombres de variables se

    diferencian entre MAYSCULAS y minsculas. El nombre ans no debe usarse como variable,

    ya que este nombre se asigna a la respuesta de una operacin ejecutada. Los nombres de las

    variables deben empezar con caracteres, es decir letras.

    Cmo se realizan en otros programas o lenguajes de programacin, se suelen declarar las

    variables y el tipo de variables que se utilizarn, sin embargo en MATLAB, NO se requiere

    declarar las variables numricas ni las alfanumricas, solo se requiere diferenciar las numricas

    entre s, esto es escalar, vector o matriz.

    4. Elabore otro archivo, verifique que se guarde en su carpeta personal, con el nombre variables.m. Usando el Editor de archivos M-File, ejecute y comente cada bloque de instrucciones:

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 31

    ECALARES, VECTORES Y MATRICES

    %Variables, nombres, tipo

    %Tipos:

    %Numricas o escalares

    %Vectores numricos

    %Matrices numricas

    %inicio de bloque

    a=4*5

    A=2*3

    aA=a+A

    aB=a-A

    v1=[1 2 3 4]

    v2=[5 6 7 8]

    v3=v1+v2

    v4=v1-v2

    Ma=[1 2;3 4]

    MA=[5 6;7 8]

    MaA=Ma+MA

    MaB=Ma-MA

    %fin de bloque

    NOTA IMPORTANTE: En el editor de MATLAB, los caracteres o las cadenas de caracteres deben

    estar encerrados entre los apstrofes (tecla [? ]). La cadena toma, de un color ROJO (al

    abrirla) a un color VIOLETA (al cerrarla). Esta indicacin le servir para aplicar el apstrofe

    correcto usado por MATLAB.

    CADENAS DE CARACTERES O STRINGS

    %Caracteres

    %Cadena de caracteres, equivalente a vector de caracteres

    %Matrices de cadenas

    %inicio de bloque

    clear all

    a=34

    a=a

    a='a'

    b='b'

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 32

    a+b

    %Qu significa este resultado?

    double(a)

    double(b)

    double(a+b)

    %

    %Este es el mismo resultado anterior, pero no se unen los caracteres

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    c='u'

    d='p'

    e='s'

    strcat(c,d,e)

    c+d+e

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    f='matlab ups'

    g=' oso'

    h=' ups'

    strcat(f,g,h)

    f+g

    %Por qu se produce un error?

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    f+h

    %Por qu se produce un error?

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    g+h

    %Por qu NO sale error, ahora?

    strcat(f,g)

    strcat(f,h)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 33

    %inicio de bloque

    Ma=['ab' 'cd';'ef' 'gh']

    Mb=['teddy ' 'jhennse ';'negrete ' 'pea ' ]

    %Por qu se produce un error?

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    Mc=['teddy ' 'jhenn ';'negre ' 'pea_ ' ]

    %Por qu no sale error, ahora?

    %fin de bloque

    NOTA IMPORTANTE: El estudio de caracteres cadenas ser ms profundo en captulos

    posteriores, por ahora solo es una introduccin al concepto de variables. As mismo tambin se

    analizar en detalle los conceptos de vectores y matrices en otro captulo.

    GENERALIDADES: COMANDOS VARIOS UTILIZADOS EN MATLAB

    5. Elabore un archivo, verifique que se guarde en su carpeta personal, con el nombre EJEMPLO_#_01.m, usando el Editor de archivos M-File, ejecute los siguientes comandos, interprete resultados:

    % EJEMPLO # 01 %inicio de bloque %comandos varios dir clock date rand magic(4) pascal(5) %fin de bloque %F9 - para ejecutar %inicio de bloque x=linspace(0,20)%este el dominio de x plot(x,x.^2) %este es el grafico de la funcin cuadrtica grid %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 34

    OPERACIONES ARITMTICAS:

    Con la tabla y los ejemplos dados a continuacin vamos a comprender las operaciones

    de los vectores y matrices en MATLAB. Se definirn 2 operaciones nuevas que no se conocan

    en algebra comn, la DIVISIN VECTORIAL. Esta operacin ser analizada posteriormente

    como funciona matemticamente, pero por ahora, con los ejemplo analizaremos la dimensin

    de los resultados y la compatibilidad de los operandos.

    %OPERADOR .* %inicio de bloque a=5,a^2 b=rand(2) b^2 c=1:5 c^2 % ??? Error using ==> mpower % Inputs must be a scalar and a square matrix. c=1:5 c.^2 d=[1 2;3 4],d.^2 d^2 %fin de bloque %inicio de bloque %Resolucin de un sistema de ecuaciones 2x2 A=[1 2;-1 4] B=[2;3] linsolve(A,B) %fin de bloque

    ESCALAR MATRIZ VECTOR DESCRIPCIN + + + Adicin - - - Sustraccin

    * * .* Multiplicacin

    ^ ^ .^ Potencia

    / / . / Divisin hacia la derecha

    \ \ .\ Divisin hacia la izquierda

    . Transposicin

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 35

    %inicio de bloque format rat ans format short 5/6 x=A^(-1)*B x=A^(-1)*B x=A\B %fin de bloque %inicio de bloque %La inversa de una matriz c=[1 2;3 4],c.^(-1) format rat ans %fin de bloque %inicio de bloque %division por la derecha y por la izquierda rand(2,3)*rand(3,4) rand(2,2)/rand(2,2) rand(2,2)\rand(2,2) rand(2,3)\rand(3,1) %??? Error using ==> mldivide %Matrix dimensions must agree. %fin de bloque %inicio de bloque %division por la derecha y por la izquierda rand(2,3)\rand(2,1) rand(2,3)/rand(2,3) rand(2,4)/rand(4,4) rand(3,4)\rand(3,6) %fin de bloque

    VARIABLES LOGICAS (BOOLEANAS)

    6. Elabore otro archivo, verifique que se guarde en su carpeta personal, con el nombre logicas.m, comente cada lnea explicando el significado de la ejecucin y concluya en forma general por cada bloque:

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 36

    Es importante que usted revise y memorice las reglas de las operaciones lgicas bsicas:

    Negacin, Conjuncin, Disyuncin. As como tambin propiedades y leyes, por ejemplo Ley de

    "D'Morgan", la propiedad de la Identidad, etc.

    %inicio de bloque

    clc

    %El ASCII de ~ es 126, es decir debe pulsar las teclas [ALT]+[126]

    ~1

    ~0

    0&0

    1|0

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clc

    La=51

    Lc=3==(1+2)

    %Explique la diferencia entre el operador = y el ==

    %Revise lo que es un operador relacional, aritmtico y lgico

    Ld=not(Lc)

    Le=and(La,Lb)

    Lf=or(La,Lb)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clc

    Lg=false

    if(Lg)

    ver='verdadero'

    else

    ver='falso'

    end

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 37

    %inicio de bloque

    Lh=true

    if(Lh)

    anotar='verdadero'

    else

    anotar='falso'

    end

    %fin de bloque

    %inicio de bloque clc n=input('ingrese un nmero positivo: ') if(n

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 38

    %inicio de bloque format rat 1/2+3/4 0.1+3.4+3/5 format short %fin de bloque

    %======================LGEBRA===================== %inicio de bloque %MULTIPLICACION ALGEBRAICA syms x y1 y2 y1=expand((2*x-1)*(4-3*x)) y2=expand((2*x-1)*(x-3)) %fin de bloque %inicio de bloque %FACTORIZACION syms x factor(x^7-x) %fin de bloque %inicio de bloque %SIMPLIFICACIN ALGEBRAICA syms x f g f=1/(x+4)+2/(x-3)-4/(x-1) g=simplify(f) pretty(g) expand((x+4)*(x-3)*(x-1)) %fin de bloque % inicio de bloque [numerador denominador entero]=residue([-1 -2 43],[1 0 -13 12]) %fin de bloque % inicio de bloque clear all [numerador, denominador, entero]=residue([-1 -2 43],[1 0 -13 12]) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 39

    %inicio de bloque %DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES PARCIALES clear all num=[1 1 -6] den=[1 -1] [a b c]=residue(num,den) %fin de bloque %inicio de bloque %DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES PARCIALES clear all num=[3 -1] den=[1 1 -6] [a b c]=residue(num,den) %fin de bloque %inicio de bloque %DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES PARCIALES clear all num=[0 11/6 -7/6 1/5]; den=[1 -31/30 1/3 -1/30]; [R,P,K]=residue(num,den) %fin de bloque %inicio de bloque clear all s=solve('2*x+3*y-7','3*x+2*y-8','x','y') x1=s.x y1=s.y %fin de bloque %inicio de bloque clear all s=solve('1*x-1*y+1*z=0','1*x+1*y-1*z=1','1*x-1*y-1*z=1','x','y','z') x1=s.x y1=s.y z1=s.z %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 40

    %inicio de bloque %GRAFICACIN DE FUNCIONES % x=-10:0.1:10 y=x.^2 figure(1) plot(x,y),grid %fin de bloque %inicio de bloque % GRFICA Y = X + 24/X % GRAFICA DE UNA FUNCIN QUE NO EXISTE EN X=0 % NO HAY NINGN PROBLEMA clear all x=-2:0.1:2 y=x+24*x.^(-1) plot(x,y) grid %fin de bloque %inicio de bloque % GRFICA Y = X + 24/X % AUNQUE NO HACE FALTA, SE HA EXCLUDO DEL DOMINIO EL VALOR X=0 % Y SE HA DIVIDIDO EL DOMINIO DE X clear all x=0.1:0.1:20 y1=x+24*x.^(-1) plot(x,y1) hold on x2=-20:0.1:-0.1 y2=x2+24*x2.^(-1) plot(x2,y2) grid hold off %fin de bloque %inicio de bloque ezplot('x+24/x',[-20 20]) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 41

    %inicio de bloque %GRAFICOS DE 2 CURVAS clear all x=-10:0.1:10 y1=x.*(2-x) plot(x,y1) hold y2=(x-3).*(x+1) plot(x,y2) grid hold off %fin de bloque %inicio de bloque %GRAFICOS DE 2 CURVAS close all clear all syms x A = 9-x^2 B = 2*x^2 a = ezplot('(9-x^2)') hold on b = ezplot('(2*x^2)') hold off % d = int(A) e = int(B) f = d-e %fin de bloque %inicio de bloque %Una funcin implcita clear all ezplot('(x^2+y^2-4)') hold ezplot('(x^2-y^2-1)') grid hold off %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 42

    %inicio de bloque %Una funcin implcita clear all ezplot('(x^2+y^2-1)') grid %fin de bloque %inicio de bloque close all clear all ezplot('x^2+y^2-1',[-2,2,0,2]) %fin de bloque %inicio de bloque close all clear all ezplot('x^2-x+3', [-5 10]) %fin de bloque

    %inicio de bloque a=20:30 b=a(4:6) c=a(10),d=a(1) %fin de bloque %inicio de bloque a=clock a(4),a(5) a(4:5) %fin de bloque %inicio de bloque clc disp('ups guayaquil'); %el apstrofe esta en la tecla de ? al lado del "0" disp(['La hora es: ' a(4:5)]) % se muestra un signo $ por qu? disp(['La hora es: ' num2str(a(4:5))]) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 43

    %inicio de bloque clc a=clock; a(4); a(5); disp(['La hora es: ' num2str(a(4)) 'H' num2str(a(5))]) %no se olvide que para varias salidas del disp %debe usar [] %fin de bloque %VARIABLES SIMBLICA %inicio de bloque syms x %declaracin de variable simblica expand((x+3)*(x-5)) %realiza el producto de factores factor(ans) %fin de bloque %VARIABLES NUMRICAS %inicio de bloque %por otro lado usando funciones numricas poly([-3 5]) %otro ejemplo poly([1 1 1 1]) pascal(4) %otra funcin numrica %Dado el polinomio x^2 - 2*x - 15 roots([1 -2 -15]) %fin de bloque %% REGLA DE DESCARTES %inicio de bloque %p7(x):x^7-3x^4+x-1 %tenemos 3 1 CAMBIO, en CERO POSITIVO %p7(-x):-x^7-3x^4-x-1 %tenemos O CAMBIOS, en CERO NEGATIVO roots([1 0 0 -3 0 0 1 -1]) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 44

    %CONVERSIONES %inicio de bloque poly2sym([1 2]) %convierte el polinomio en forma de vector %a simblico sym2poly(ans) %convierte el polinomio en forma simblica %a vector %fin de bloque %inicio de bloque a=clock a(4:5) disp(['La hora es: ' num2str(a(4:5))]) %fin de bloque %inicio de bloque clc a=clock; a(4:5); disp(['La hora es: ' num2str(a(4)) 'H' num2str(a(5))]) %fin de bloque %inicio de bloque clc p=poly([2 3 4 0 0]); ps=poly2sym(p) factor(ps) %fin de bloque %CAJAS DE HERRAMIENTAS ESPECIALES %TOOLBOX Funtool taylortool pdetool sisotool pidtool sptool

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 45

    FUNTOOL

    TAYLORTOOL

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 46

    %% MANIPULACIN DE ARCHIVOS %variables guardadas en un archivo %inicio de bloque x=1:10 save x_file.mat x clear x load x_file.mat x %fin de bloque %se practica el uso de las funciones %save - load para guardar en un archivo *.mat %inicio de bloque type x_file.mat % permite abrir el contenido del archivo % pero si es *.mat , MATLAB NO LO PERMITE %fin de bloque %inicio de bloque clear clc z=[1; 2; 3] save z_excel.xls z -ascii % el interruptor -ascii permite que el formato % del archivo sea tipo texto - plano %fin de bloque %inicio de bloque clear type z_excel.xls %se puede grabar desde MS EXCEL %pero en formato de TEXTO load libro3.txt libro3 %fin de bloque

    % CREACIN DIRECTA DE UN ARCHIVO *.xls CON EL CONTENIDO DE UNA VARIABLE:

    %inicio de bloque

    x=1:10;y=x';xlswrite('vector.xls',y)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 47

    EJERCICIOS PARA LOS TALLERES:

    TALLER # 0

    1.1 Usando el programa MATLAB, calcule EN LA LNEA DE COMANDOS:

    1.1.1 81 10

    1.1.2 Las races del polinomio 2 3 4 1

    1.1.3 En forma racional - +3/5 1/10

    1.1.4 En forma monetaria 23,34 45,67 + 100,12

    1.1.5 Presente con precisin de al menos 8 dgitos

    1.1.6 log2(128)+log3(243)+ln(e5)+log(1000)-27

    +42

    1.2 En un SCRIPT de MATLAB, genere diferentes operaciones con nmeros reales y gurdelos en 4 variables, use el comando adecuado para limpiar 2 de las 4 variables cargadas, en la memoria.

    1.3 En un SCRIPT de MATLAB, realice varias operaciones con nmeros complejos en representacin rectangular y exponencial, gurdelos en variables.

    1.4 En un SCRIPT de MATLAB, genere 2 matrices cuadradas de 5X5, con valores aleatorios entre 0 y 1, mustrelas, luego presente la suma y el producto de las mismas.

    1.5 En un SCRIPT de MATLAB, genere una matriz cuadrada 10x10 con nmeros aleatorios. Utilice la funcin round para que los elementos de la matriz generada tenga nmeros enteros entre 5 y 15.

    1.6 En un SCRIPT de MATLAB, genere una matriz cuadrada 10x10 con nmeros aleatorios. Utilice la funcin fix para que los elementos de la matriz generada tenga nmeros enteros entre 1 y 10.

    1.7 En un SCRIPT de MATLAB, genere una matriz cuadrada 10x10 con nmeros aleatorios, tal que los elementos de la matriz generada tenga nmeros enteros entre 5 y 10.

    1.8 En un SCRIPT de MATLAB, utilice la constante matemtica infinitesimal eps en un lmite para calcular la base del logaritmo natural.

    1.9 En un SCRIPT de MATLAB, muestre una ventana que visualice una cuadrcula, con el ttulo "PULSE UNA TECLA PARA CERRAR ESTA VENTANA" usando la funcin pause() lograr hacer una pausa al programa, y luego automticamente cierre esta ventana generada.

    1.10 En un SCRIPT de MATLAB, cree un vector fila y otro vector columna cuyos elementos sean sus nombres o sus apellidos, si es necesario llene sus nombres o apellidos con espacios en blanco.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 48

    4. CONTENIDO DE LA ASIGNATURA:

    ALGEBRA LINEAL ASIGNATURA: LGEBRA LINEAL

    DESCRIPTOR

    Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices, Determinantes, Vectores R2 y en R3, Espacios Vectoriales.

    Denominacin de la Asignatura: LGEBRA LINEAL

    Cdigo Actual: 5736

    a. Descripcin de la asignatura

    Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices, Determinantes, Vectores R2 y en R3, Espacios

    Vectoriales.

    b. Objetivos

    General:

    1. Introducir a los estudiantes en el lgebra lineal.

    Especfico:

    1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

    2. Usar y manejar determinantes.

    3. Conocer los vectores en segunda y tercera dimensin.

    4. Reconocer y manejar los espacios vectoriales.

    c. Contenidos

    1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 1.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 49

    1.2 Eliminacin de Gauss

    1.3 Sistemas homogneos de ecuaciones lineales

    1.4 Matrices y operaciones con matrices

    1.5 Inversa de una matriz

    1.6 Matrices elementales y mtodo para encontrar A-1

    1.7 Otros resultados concernientes a los sistemas de ecuaciones y la inversibilidad

    2. DETERMINANTES 2.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales

    2.2 Calculo de determinantes mediante la reduccin a la forma escalonada

    2.3 Propiedades de la funcin determinante

    2.4 Desarrollo por cofactores; la regla de Cramer

    3. VECTORES R2 Y EN R3 3.1 Introduccin geomtrica al estudio de los vectores

    3.2 Norma de un vector; lgebra vectorial

    3.3 Producto punto, proyecciones,

    3.4 Producto cruz

    3.5 Rectas y planos en R3

    4. ESPACIOS VECTORIALES

    4.1 Espacio euclidiano de n dimensiones

    4.2 Espacios vectoriales en general

    4.3 Sub-espacios

    4.4 Independencia lineal

    4.5 Bases y dimensin

    4.6 Espacio de la reglones de una matriz; coordenadas ; aplicaciones a la obtencin de

    bases

    4.7 Espacios con producto interior

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 50

    4.8 Longitud y ngulo en espacios con producto interior

    4.9 Bases ortogonales; el proceso de Gram-Schmitt

    5. TRANSFORMACIONES LINEALES 5.1 Definicin

    5.2 Propiedades de la Transformacin

    5.3 Ncleo e imagen de una Transformacin

    5.4 Matriz de una Transformacin

    d. Metodologa

    Para el desarrollo de la ctedra se pueden utilizar las siguientes metodologas de enseanza aprendizaje: - Aprendizaje Cooperativo - Estudio de Casos - Aprendizaje por proyectos - Resolucin de problemas - El seminario - Prcticas de laboratorios - Prcticas de campo - Prcticas externas - Tutoras - Trabajos escritos - Clase magistral - Clases apoyadas con TICS e. Recursos

    Material Didctico (pizarrn, tiza liquida, borrador, etc.) Aulas Multimedia

    Aulas de Computo Otros.

    Laboratorios de Practicas Talleres Prcticas de Campo

    f. Evaluacin

    Lo que dispone el Reglamento General de Facultad de la UPS

    g. Bibliografa

    [1.] ANTON, HOWARD; Introduccin al lgebra lineal/ Edit. Limusa. Mxico. 10a reimpresin.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 51

    1996. 422 p. Fig.

    [2.] STRANG, GILBERT, Algebra lineal y sus aplicaciones, Editorial Feisa

    h. Datos del Docente/s

    Tipo de Documento de Identificacin

    Nmero de Identificacin

    Apellidos y Nombres

    Correo Electrnico

    Telfono

    Cdula Pasaporte

    5. FUNCIONES DE MATLAB QUE SE APLICAN EN LGEBRA LINEAL: 1. det

    2. inv

    3. diag

    4. trace

    5. linsolve

    6. linspace

    7. logspace

    8. minus

    9. mpower

    10. plus

    11. times

    12. transpose

    13. uminus

    14. uplus

    15. zeros

    16. ones

    17. eye

    18. tril

    19. triu

    20. lu

    21. rand

    22. magic

    23. pascal

    24. solve

    25. cross

    26. dot

    27. norm

    28. eig

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 52

    6. MATLAB:

    7. SYMBOLIC MATH TOOLBOX:

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 53

    8. EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL CON MATLAB:

    8. UNIDAD # 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

    Resolucin de un SEL: Sistema de Ecuaciones Lineales

    %RESOLUCIN DE SEL 2X2

    %inicio de bloque

    s=solve('2*x+3*y-8','-1*x-4*y-14','x','y')

    x1=s.x

    y1=s.y

    %fin de bloque

    %RESOLUCIN DE SEL con COEFICIENTES COMPLEJOS:

    %inicio de bloque

    s=solve('2*i*x+3*i*y-7+2*i','3*x+2*y-8*i','x','y')

    x1=s.x

    y1=s.y

    %fin de bloque

    %RESOLUCIN DE SEL 3X3

    %inicio de bloque

    s=solve('1*x+4*y+5*z-11','3*x-2*y+1*z-5','4*x+1*y-3*z+26','x','y','z')

    x1=s.x

    y1=s.y

    z1=s.z

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    s=solve('-4*x-3*y-1*z-19','2*x-3*y+2*z+26','-3*x-4*y-5*z-32','x','y','z')

    x1=s.x

    y1=s.y

    z1=s.z

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 54

    MATRICES ESPECIALES EN MATLAB.

    Ejecute en la "Lnea de comandos" las siguientes instrucciones:

    >>ones(2,3)

    >>zeros(4,5)

    >>eye(2,3)

    >>eye(3,2)

    >>rand(2,3)

    >>magic(5)

    >>diag([1 2 3])

    >>tril([1 2 3;4 5 6;7 8 9]) %lower triangular

    >>triu([1 2 3;4 5 6;7 8 9]) %upper triangular

    >>[1 2 3;4 5 6;7 8 9],rot90([1 2 3;4 5 6;7 8 9])

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    Memorice estas funciones de MATLAB, para aplicarlas en futuros ejercicios.

    %OPERACIONES CON MATRICES

    %inicio de bloque

    clc

    A=[1 2;3 4]

    B=inv(A)

    C=A*B

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clc

    clear all

    A=[1 2;3 4] B=A' %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    A=rand(3)

    B=rand(3)

    C=A*B

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 55

    %inicio de bloque

    clear all

    A=rand(1000)

    B=rand(1000)

    C=A*B

    %fin de bloque

    Analice y comente los resultados obtenidos.

    %POTENCIA DE MATRICES

    %inicio de bloque

    clear all

    A=[1 0 0;2 -1 0;0 0 -2]

    B=A^2

    C=A^3

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    A=[1 2;-1 0]

    B=3*A^2

    C=-2*A

    D=[1 0;0 1]

    E=B+C+D

    %fin de bloque

    Evaluacin polinmica de matrices: FUNCIN poly val m

    %Evaluacin de un polinomio, utilizando una matriz

    %inicio de bloque

    A=[1 2;-1 0]

    p=[3 -2 1]

    b=polyvalm(p,A)

    c=polyval(p,2)

    syms x

    d=polyval(p,'x')

    fp=inline('3*x^2-2*x+1')

    fp(2)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 56

    %inicio de bloque

    clear all

    A=rand(5)

    p=[3 0 0 -2 1]

    b=polyvalm(p,A)

    %fin de bloque

    9. UNIDAD # 2: DETERMINANTES

    Ejecute esta funcin en la "LNEA DE COMANDOS":

    >>det([-1 2 0 1;0 -1 0 1;-3 2 0 0;1 1 2 1])

    >>det([1 -2 3 4 5;0 -1 0 2 0;0 0 1 1 0;-1 0 0 0 2;3 0 -2 0 0])

    >>A=[1 0 1 2 -1;2 1 2 0 0;3 -1 1 1 1;4 0 0 0 -1;5 0 0 1 0], det(A)

    10. UNIDAD # 3: VECTORES R2: PARTE1

    %inicio de bloque

    %GRAFICOS DE VECTORES EN EL PLANO %USANDO LA FUNCIN feather % close feather([1 2 3],[1 1 1]) grid %v1=i+j, con el origen en el punto (1,0) %v2=2i+j, con el origen en el punto (2,0) %v3=3i+j, con el origen en el punto (3,0) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close feather([2 4 1],[2 1 5]) grid %v1=2i+2j, con el origen en el punto (1,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (2,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (3,0) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 57

    %inicio de bloque

    close feather(2,2) hold on feather(4,1) feather(1,5) hold off grid %v1=2i+2j, con el origen en el punto (1,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (1,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (1,0) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %esta es la mejor forma de graficar close compass([2 4 1],[2 1 5]) %v1=2i+2j, con el origen en el punto (0,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (0,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (0,0) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %esta forma no es apropiada close compass(2,2) hold on compass(4,1) compass(1,5) hold off %v1=2i+2j, con el origen en el punto (0,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (0,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (0,0) %fin de bloque

    En conclusin, ambos feather y compass son funciones para graficar nmeros complejos

    representados en la forma rectangular, sin embargo, feather usa el plano rectangualar y

    compass usa el plano polar.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 58

    11. UNIDAD # 3: VECTORES R2 Y EN R3: PARTE2

    %PRODUCTO PUNTO

    %inicio de bloque

    dot([2 -1 3],[0 2 1])

    %fin de bloque

    %PRODUCTO CRUZ

    %inicio de bloque

    cross([2 -1 3],[0 2 1])

    %fin de bloque

    12. UNIDAD # 4: ESPACIOS VECTORIALES

    Ejecute en la "Lnea de Comandos" las siguientes instrucciones:

    >>eig([0 2;3 5])

    >>A=fix(10*rand(2)),eig(A)

    Recordemos la ecuacin polinmica caracterstica ( ) det( ) 0,p A I = = en donde los valores se conocen como EIGENVALORES.

    %inicio de bloque syms x p=det([0 2;3 5]-x*[1 0;0 1]) solve(p) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 59

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 60

    TEMA #4 (4 Puntos)

    Dada la matriz

    A=

    216

    532

    453

    Obtenga:

    a) El determinante de A. b) La matriz de los cofactores o matriz adjunta. c) Obtenga la inversa de A (A-1). d) Realice la comprobacin (A)(A-1)= I.

    TEMA #5 (4 Puntos)

    Dados los vectores:

    V1(-11,20) V2(13,-17) V3(5,8)

    Obtenga:

    a) Los escalares h y k tales que hV1+kV2=V3 b) Los escalares h y k tales que V2=hV3-kV1

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 61

    %EXAMEN PARCIAL 09_02 LGEBRA LINEAL %inicio de bloque

    %Tema_2

    det([10 -4 2;2 5 -2;3 -12 9]) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %Tema_3

    ([5 -2;11 7]-[3 17;4 -8])^2 [5 -2;11 7]^2 [3 17;4 -8]^3 %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %Tema_4

    det([-3 -5 4;2 -3 -5;1 -1 2]) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 62

    13. CONTENIDO DE LA ASIGNATURA

    CLCULO DIFERENCIAL ASIGNATURA: CLCULO DIFERENCIAL

    DESCRIPTOR

    Geometra Analtica, Nmeros Reales, Funciones y Lmites, La Derivada, Aplicaciones de la Derivada.

    Denominacin de la Asignatura: CLCULO DIFERENCIAL

    Cdigo Actual: 5756 a. Descripcin de la asignatura

    Geometra Analtica, Nmeros Reales, Funciones y Lmites, La Derivada, Aplicaciones de la

    Derivada.

    b. Objetivos

    Generales: 1. Introducir al alumno en el clculo infinitesimal.

    Especficos: 1. Modelar matemticamente la geometra plana para introducirlos en el clculo

    infinitesimal. 2. Analizar las funciones, sus caractersticas y comportamiento como conceptos previos

    para la comprensin del clculo diferencial. 3. Modelar matemticamente los fenmenos fsicos, elctricos, magnticos, mecnicos y

    otros mediante la aplicacin del clculo diferencial. c. Contenidos

    1. GEOMETRA ANALITICA. 1.1. Sistema Coordenado en el plano, distancia entre dos puntos, razn, pendiente y ngulo entre dos rectas. 1.2. Ecuacin de la recta: Punto pendiente, dos puntos, forma general, paralelismo y perpendicularidad. 1.3. Traslacin de ejes. 1.4. Ecuacin de la circunferencia: Forma ordinaria y forma general. 1.5. Ecuacin de la parbola: forma ordinaria y forma general. 1.6. Ecuacin de la elipse: Forma ordinaria y forma general.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 63

    1.7. Ecuacin de la hiprbola: Forma ordinaria, asntotas y forma general.

    2. NUMEROS REALES, FUNCIONES Y LIMITES. 2.1. Nmeros reales: Propiedades e intervalos. 2.2. Desigualdades: Propiedades y resolucin de inecuaciones. 2.3. Valor absoluto: Propiedades. 2.4. Funciones en el plano: Definicin, variables, operaciones y funcin inversa. 2.5. Funciones: Polinmicas, logartmicas, exponenciales, trigonomtricas y trigonomtricas inversas. 2.6. Lmites de una funcin: Unilaterales, infinitos, al infinito, de funciones trascendentes y formas indeterminadas. 2.7. Asntotas de una funcin: Horizontales, verticales e inclinadas. 2.8. Continuidad de una funcin: Tipos de discontinuidad. 2.9. Grfica de una funcin: Dominio, rango, cortes, simetra, signo, asntotas y continuidad.

    3. LA DERIVADA. 3.1. Incrementos y diferenciales. 3.2. La derivada: Definicin e interpretacin geomtrica. 3.3. Reglas de derivacin. Regla de la cadena. 3.4. Derivadas de funciones: Polinmicas, logartmicas, exponenciales, trigonomtricas y trigonomtricas inversas. 3.5. Derivacin implcita. Derivacin logartmica. 3.6. Derivadas de orden superior.

    4. APLICACIONES DE LA DERIVADA. 4.1. Aplicaciones geomtricas: Direccin de una curva, recta tangente y normal, longitud de la subtangente y subnormal. 4.2. Taza de variacin o razn de cambio. 4.3. Rapidez de variacin relacionada. 4.4. El mtodo de Newton. 4.5. Mximos y mnimos de una funcin: Problemas de aplicacin. 4.6. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio. 4.7. La frmula de Cauchy y la regla de LHpital. 4.8. Funciones crecientes y decrecientes. Criterio de la primera derivada. 4.9. Concavidad y puntos de inflexin. Criterio de la segunda derivada. 4.10. Grfica de una funcin: Comportamiento, extremos relativos y puntos de inflexin.

    d. Metodologa

    Para el desarrollo de la ctedra se pueden utilizar las siguientes metodologas de enseanza

    aprendizaje:

    - Aprendizaje Cooperativo

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 64

    - Estudio de Casos

    - Aprendizaje por proyectos

    - Resolucin de problemas

    - El seminario

    - Prcticas de laboratorios

    - Prcticas de campo

    - Prcticas externas

    - Tutoras

    - Trabajos escritos

    - Clase magistral

    - Clases apoyadas con TICS

    e. Recursos

    Material Didctico (pizarrn, tiza liquida, borrador, etc.) Aulas Multimedia

    Aulas de Computo Otros.

    Laboratorios de Practicas Talleres Prcticas de Campo

    f. Evaluacin

    Lo que dispone el Reglamento General de Facultad de la UPS

    g. Bibliografa

    [1.] LEHMANN, CHARLES H., Geometra analtica/ Edit. Limusa. Mxico. 3 reimpresin. 1980.

    494 p. fig., tab.

    [2.] SWOKOWSKI, EARL W, Clculo con geometra analtica/ Grupo Editorial Iberoamrica.

    Mxico. 2a. edicin. 1989. 1098 p. Fig.

    [3.] GRANVILLE, WILLIAM ANTHONY, Clculo diferencial e integral/ Edit. Limusa. Mxico.

    1980. 686 p. fig.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 65

    [4.] LEITHOLD LOUIS, EL Clculo / Oxford University Press. Mxico. 7a. edicin. 1998. 1358 p.

    Fig.

    [5.] PURCELL, EDWIN J.; VARBERG, DALE; RIGDON, STEVEN E; Clculo / Person Educacin.

    Mxico. 2001. 796 p.

    h. Datos de Docente/s Tipo de Documento de Identificacin

    Nmero de Identificacin

    Apellidos y Nombres

    Correo Electrnico

    Telfono

    Cdula Pasaporte

    14. FUNCIONES DE MATLAB QUE SE APLICAN EN

    CLCULO DIFERENCIAL: 1. linspce

    2. logspace

    3. plot

    4. ezplot

    5. expand

    6. factor

    7. root

    8. poly

    9. pascal

    10. limit

    11. diff

    12. roots

    13. poly

    14. nthroot

    15. sym2poly

    16. poly2sym

    17. fzero

    18. fsolve

    19. conv

    20. deconv

    21. polyder

    22. fminbnd

    23. solve

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 66

    15. MATLAB

    16. SYMBOLIC MATH TOOLBOX

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 67

    9. EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE CLCULO DIFERENCIAL CON MATLAB:

    17. UNIDAD # 1: GEOMETRA ANALITICA.

    %CONICAS: CIRCULO %inicio de bloque ezplot('x^2+y^2=9') grid axis equal %fin de bloque

    %CONICAS: ELIPSE %inicio de bloque ezplot('x^2/4+y^2/9=1') grid axis equal %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 68

    %CONICAS: PARBOLAS

    %inicio de bloque

    ezplot('x=4*(y-2)^2')

    %PARBOLA HORIZONTAL

    axis equal

    hold on

    ezplot('y+4=4*(x)^2')

    %PARBOLA VERTICAL

    grid

    hold off

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 69

    18. UNIDAD # 2: NUMEROS REALES, FUNCIONES Y LIMITES.

    %GRAFICOS DE FUNCIONES

    %inicio de bloque

    clear all

    x=-5:.1:0

    y1=x+2

    plot(x,y1)

    hold on

    x=0:.1:3

    y2=x.^3-1

    plot(x,y2)

    hold on

    x=3:.1:5

    y3=1-heaviside(x+3)

    plot(x,y3)

    grid

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 70

    %inicio de bloque

    % GRFICA Y = X + 24/X

    % GRAFICO SIMPLIFICADO, EN INTERVALO DE DOMINIO PARA X

    % GRAFICA DE UNA FUNCIN QUE NO EXISTE EN X=0

    % NO HAY NINGN PROBLEMA

    ezplot('x+24/x',[-20,20])

    grid

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    x=-20:0.5:20

    y=x+24./x

    plot(x,y)

    grid

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %GRAFICA Y=sen(X)/X

    %LA FUNCIN NO SE DETERMINA PARA X=0

    %

    ezplot('sin(x)/x',[-15,15])

    grid

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    x=-15:0.5:15

    y=sin(x)./(x)

    plot(x,y)

    grid

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    x=-15:0.5:15

    y=sin(x+eps)./(x+eps)

    plot(x,y)

    grid

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 71

    Elaboracin de varios grficos dentro de una ventana, o llamados SUBPLOTS %% SUB-PLOTS %inicio de bloque

    close subplot(2,1,1) subplot(2,1,2) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close subplot(1,2,1) subplot(1,2,2) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close subplot(2,2,1) subplot(2,2,2) subplot(2,2,3) subplot(2,2,4) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close subplot(3,2,1) subplot(3,2,2) subplot(3,2,[3 6]) %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close subplot(3,2,2) subplot(3,2,4) subplot(3,2,6) subplot(3,2,[1 3 5]) %fin de bloque

    %En una misma figura hemos realizado %varios grficos independientes

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 72

    %inicio de bloque

    close subplot(2,1,1) ezplot('y=3*sin(x)') grid subplot(2,1,2) ezplot('y=4*cos(x)') grid %fin de bloque

    %En este grfico hemos realizado %2 grficos en la misma figura %inicio de bloque

    close all ezplot('y=3*sin(x)') grid on hold on ezplot('y=3*cos(x)') grid on %fin de bloque

    %% EJES EN 3 DIMENSIONES: %inicio de bloque

    clc close all axis([0 5 0 6 0 7]) grid axis equal %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close t=0:pi/20:8*pi plot3(cos(t),sin(t),t) grid axis equal %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 73

    %SIMPLIFICACIN TRIGONOMTRICA %inicio de bloque syms A B C B=(sin(A))^2+(cos(A))^2+(tan(A))^2 C=simplify(B) pretty(C) %fin de bloque %inicio de bloque N=(sin(120*pi/180))^2-3*(cos(210*pi/180))^2 D=5*(tan(315*pi/180))^2+cot(135*pi/180) R=N/D format rat R format short %fin de bloque %inicio de bloque syms x a b a=((cos(x))^2-(sin(x))^2)/(cos(3*x)-sin(x)) b=simplify(a) pretty(b) %fin de bloque %inicio de bloque syms x a b a=((cos(x))^2-(sin(x))^2)/(cos(3*x)+cos(x)) b=simplify(a) pretty(b) %fin de bloque %inicio de bloque syms x a b a=((cos(x))^2-(sin(x))^2)/(cos(3*x)+2*(cos(x))^3) b=simplify(a) pretty(b) %fin de bloque %inicio de bloque syms x a b a=(sin(x)+sin(3*x))/(cos(x)+cos(3*x)) b=simplify(a) pretty(b) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 74

    %inicio de bloque f=inline('((cos(x))^2-(sin(x))^2)/(cos(3*x)-sin(x))') fa=inline('2*csc(x)') fb=inline('2*sin(x)') fc=inline('2*cos(x)') fd=inline('2*cot(x)') fe=inline('2*sec(x)') x=pi/3 f(x) fa(x),fb(x),fc(x),fd(x),fe(x) %fin de bloque

    %GRFICO DE FUNCIN TRIGONOMETRICA

    %inicio de bloque

    clear all

    x=(-6*pi:6*pi)

    y=sin(x/3)

    figure(4)

    plot(x,y)

    grid

    title('La onda seno, y=sin(x/3)')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque subplot(2,3,1) ezplot('sin(x)') subplot(2,3,2) ezplot('cos(x)') subplot(2,3,3) ezplot('tan(x)') subplot(2,3,4) ezplot('cot(x)') subplot(2,3,5) ezplot('sec(x)') subplot(2,3,6) ezplot('csc(x)') %fin de bloque %inicio de bloque ezplot('atan(x)') %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 75

    %GRAFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS APLICACIN DE LA FUNCIN plot %inicio de bloque clear all x=-2*pi:0.01*pi:2*pi ysin=sin(x) ycos=cos(x) ytan=tan(x) ycot=cot(x) ysec=sec(x) ycsc=csc(x) subplot(2,3,1) plot(x,ysin) grid subplot(2,3,2) plot(x,ycos) grid subplot(2,3,3) plot(x,ytan) grid subplot(2,3,4) plot(x,ycot) grid subplot(2,3,5) plot(x,ysec) grid subplot(2,3,6) plot(x,ycsc) grid %fin de bloque

    %FUNCIONES ESPECIALES DE UNA VARIABLE

    Ejecute en la "Lnea de Comandos" las siguientes instrucciones:

    >>ezplot('heaviside(x)',[-1 1 -0.5 1.5])

    >>ezplot('abs(x)')

    >>ezplot('sign(x)',[-1 1 -1.5 1.5])

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 76

    %COMPOSICIN DE FUNCIONES

    %Ejemplos de composiciones

    %inicio de bloque

    syms x y z t u

    f = 1/(1 + x^2); g = sin(y); h = x^t; p = exp(-y/u);

    a = compose(f,g)

    b = compose(f,g,t)

    c = compose(h,g,x,z)

    d = compose(h,g,t,z)

    e = compose(h,p,x,y,z)

    f = compose(h,p,t,u,z)

    %fin de bloque

    Retorna despus de la ejecucin:

    a =

    1/(sin(y)^2 + 1)

    b =

    1/(sin(t)^2 + 1)

    c =

    sin(z)^t

    d =

    x^sin(z)

    e =

    exp(-z/u)^t

    f =

    x^exp(-y/z)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %INVERSA DE UNA FUNCIN BIYECTIVA

    %Ejemplos de la inversa de una funcin

    Determine la funcin inversa de la funcin trigonomtrica:

    %inicio de bloque

    syms x

    f(x) = 1/tan(x);

    g = finverse(f)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 77

    Retorna despus de la ejecucin:

    g(x) =

    atan(1/x)

    Determine la funcin inversa de la funcin trigonomtrica:

    %inicio de bloque

    syms u v

    finverse(exp(u - 2*v), u)

    %fin de bloque

    Retorna despus de la ejecucin:

    ans =

    2*v + log(u)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %LMITES DE UNA FUNCIN

    Ejecute en la "Lnea de Comandos" las siguientes instrucciones:

    >>syms x,limit('sin(x)',x,0)

    >>limit('(x-1)/(x^2-1)',x,1)

    >>limit('tan(3*x)/x',x,0)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    Ahora utilicemos el editor de MATLAB, para ejecutar las siguientes lneas: %% CLCULO DIFERENCIAL %LMITES syms x limit(sin(x)/x,x,pi) limit(sin(x)/x,x,pi/2) limit(sin(x)/x,x,0) f=inline(sin(x)/x) f(2), f(3), f(0) %NaN - not a number esto es 0/0 %es una indeterminacin f(eps)

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 78

    %Lmites unilaterales ezplot('y=heaviside(x)') syms x limit(heaviside(x),x,0,'left') limit(heaviside(x),x,0,'right') limit(log(x),x,exp(1)) %la respuesta presentada es racional %pero aproximada %podemos utilizar algunas funciones como: %ROUND %SIMPLIFY %SIMPLE round(limit(log(x),x,exp(1)))

    19. UNIDAD # 3: LA DERIVADA.

    %DERIVACIN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

    Ejecute en la "Lnea de Comandos" las siguientes instrucciones:

    >>diff(sin(x))

    >>syms a, diff(sin(a*x),x)

    >>syms x, diff(sin(a*x),a)

    >>diff(x^3,2)

    >>diff(log(x),3)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %inicio de bloque

    clear all

    syms a x

    y=a^3*exp(x)-a^2*sin(x);

    y_prima=diff(y) %Obtiene la derivada de una funcion y

    y3_prima=diff(y,3) %Deriva y TRES veces con respecto a x

    y_prima_a=diff(y,a)

    y2_prima_a=diff(y,a,2)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 79

    %La DERIVADA de un POLINOMIO

    %inicio de bloque

    %El polinomio es: x^4+x^2+1

    polyder([1 0 1 0 1])

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    p=polyder([1 0 1 0 1])

    polyval(p,1)

    %fin de bloque

    %La DERIVADA de una EXPONENCIAL

    %derivadas de una variable syms x diff(exp(x)*sin(x),x) diff(exp(x)*sin(x),x,2) diff(exp(x)*sin(x),x,6) syms x a diff(exp(-a*x)*x^2,x) pretty(ans) diff(exp(-a*x)*x^2,a) %grficos rpidos en coordenadas %rectangulares %FUNCIONES EXPLCITAS figure(1) %abre la figura o ventana 1 ezplot('y=4*exp(-x/3)',[-1 3 -1 6]) grid %FUNCIN IMPLCITA figure(2) %abre la figura o ventana 2 ezplot('x^2+y^2=4') axis equal %establece ejes igules clf %limpia el contenido de la ltima figura close all %cierra todas las figuras (ventanas) abiertas

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 80

    20. UNIDAD # 4: APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    VALORES EXTREMOS: MNIMO LOCAL

    %VALOR MNIMO syms x h=2*x^2+x-1 ezplot(h,[-2,2]) grid fminbnd('2*x^2+x-1',-2,2)

    VALORES EXTREMOS

    %VALORES EXTREMOS syms x ezplot('y=(1-x)*(x+2)') grid diff('y=(1-x)*(x+2)') solve(ans)

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 81

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 82

    %EXAMEN PARCIAL 09_01 CLCULO DIFERENCIAL

    %Analice tema por tema de este EXAMEN PARCIAL:

    %Si es posible desarrolle los grficos usando MATLAB,

    %Determine grficamente los puntos y las caractersticas que piden los temas.

    %Los temas de lmites

    %Utilice MATLAB para calculas los valores.

    %En los lmites unilaterales utilice:

    >> syms x, limit(heaviside(x),x,0,'right')

    >> syms x, limit(heaviside(x),x,0,'left')

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 83

    21. CONTENIDO DE LA ASIGNATURA

    CLCULO INTEGRAL ASIGNATURA: CLCULO INTEGRAL

    DESCRIPTOR

    Integral Indefinida, Mtodos de Integracin, Integral Definida, Aplicaciones de la Integral, Curvas Planas y Coordenadas Polares.

    Denominacin de la Asignatura: CLCULO INTEGRAL

    Cdigo Actual: 5758 a. Descripcin de la asignatura

    Integral Indefinida, Mtodos de Integracin, Integral Definida, Aplicaciones de la Integral,

    Curvas Planas y Coordenadas Polares.

    b. Objetivos

    Generales:

    1. Conocer el caculo integral como herramienta matemtica.

    Especficos:

    1. Analizar la anti-derivada e integral indefinida.

    2. Distinguir y manejar los diferentes mtodos de integracin.

    3. Conocer la integral definida y sus caractersticas.

    4. Estudiar algunas aplicaciones de la integral.

    5. Manejar las curvas planas y coordenadas polares

    c. Contenidos

    1.INTEGRAL INDEFINIDA

    1.1 Anti-derivada y constante de integracin

    1.2 Integracin de formas elementales, cambio de variable

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 84

    2. MTODOS DE INTEGRACIN

    2.1 Integracin de formas elementales: Cambio de variable

    2.2 Integracin por partes

    2.3 Integracin de diferenciales trigonomtricas

    2.4 Integracin por sustitucin trigonomtrica

    2.5 Integracin de funciones racionales

    2.6 Integracin de expresiones cuadrticas

    2.7 Integracin por sustituciones diversas

    2.8 Tabla de integracin

    3. INTEGRAL DEFINIDA

    3.1 La notacin sigma, rea bajo una curva

    3.2 La suma de Riemann, la integral definida

    3.3 Propiedades de la integral definida

    3.4 Teorema fundamental del clculo integral

    3.5 Cambio de limites correspondientes a un cambio de variable

    3.6 Integracin numrica: Frmula del Trapecio, frmula de Simpson

    3.7 Integrales impropias

    4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

    4.1 reas: Integracin respecto a X e integracin respecto a Y

    Volmenes

    4.2 Slidos de Revolucin

    4.2.1 Disco

    4.2.2 Arandela

    4.2.3 Envolvente

    4.2.4 Cortes transversales

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 85

    4.2 5 Longitud de arco

    4.2 6 Superficies de revolucin

    4.3 Trabajo

    4.4 Fuerza ejercida por un lquido

    4.5 Momentos y centros de masa de una lamina

    5. CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

    5.1 Curvas planas

    5.2 Recta tangente y longitud de arco

    5.3 Coordenadas polares

    5.4 Integrales en coordenadas polares

    5.5 Ecuaciones polares de las cnicas

    d. Metodologa

    Para el desarrollo de la ctedra se pueden utilizar las siguientes metodologas de enseanza aprendizaje: - Aprendizaje Cooperativo - Estudio de Casos - Aprendizaje por proyectos - Resolucin de problemas - El seminario - Prcticas de laboratorios - Prcticas de campo - Prcticas externas - Tutoras - Trabajos escritos - Clase magistral - Clases apoyadas con TICS e. Recursos

    Material Didctico (pizarrn, tiza liquida, borrador, etc.) Aulas Multimedia

    Aulas de Computo Otros.

    Laboratorios de Practicas Talleres Practicas de Campo

    f. Evaluacin

    Lo que dispone el Reglamento General de Facultad de la UPS

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 86

    g. Bibliografa

    [1.] THOMAS, GEORGE B. JR.; FINNEY, ROSS L; Clculo varias variables/ Edit. Pearson

    Educacin. Mxico. 9 ed. 1999. xv; 1139p.; A-8; R-31; I-7; T-5. Fig.

    [2.] SWOKOWSKI, EARL W. , Clculo con geometra analtica/ Grupo Editorial Iberoamrica.

    Mxico. 2a. edicin. 1989. 1098 p. Fig.

    [3.] GRANVILLE, WILLIAM ANTHONY., Clculo Diferencial e integral/ Edit. Limusa. Mxico.

    1980. 686 p. fig.

    [4.] LEITHOLD, LOUIS, El Clculo / Oxford University Press. Mxico. 7a. edicin. 1998. 1358 p.

    Fig.

    [5.] PURCELL, EDWIN J.; VARBERG, DALE; RIGDON, STEVEN E; Clculo / Person Educacin.

    h. Datos de Docente/s Tipo de Documento de Identificacin

    Nmero de Identificacin

    Apellidos y Nombres

    Correo Electrnico

    Telfono

    Cdula Pasaporte

    22. FUNCIONES DE MATLAB QUE SE APLICAN EN

    CLCULO INTEGRAL: 1. plot

    2. ezplot

    3. Inf

    4. int

    5. diff

    6. trapz

    7. quad

    8. quadl

    9. dblquad

    10. symsum

    11. sqrt

    12. cart2pol

    13. polar

    14. ezpolar

    15. sinint

    16. cosint

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 87

    23. MATH

    24. SYMBOLIC MATH TOOLBOX

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 88

    10. EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE CLCULO INTEGRAL CON MATLAB:

    25. UNIDAD # 1: INTEGRAL INDEFINIDA

    %DESCOMPOSICIN EN FRACIONES PARCIALES

    %inicio de bloque

    syms x y

    y=simplify(1/x^2+3/x-4/(x-1))

    pretty(y)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    syms x y

    y=simplify((x^4-x)/(x*(x^2-4)))

    pretty(y)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    num=[3 -1]

    den=[1 1 -6]

    [a b c]=residue(num,den)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    num=[1 0 0 -1 0]

    den=[1 0 -4 0]

    [a b c]=residue(num,den)

    [n d]=residue(a,b,c)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    syms x y

    y=simplify(x+1.75/(x-2)+2.25/(x+2))

    pretty(y)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 89

    %inicio de bloque

    syms x y

    y=simplify((-4/15)/(x+3)+(1/10)/(x-2)+(1/6)/x)

    pretty(y)

    %fin de bloque

    Ejecute en el PROMPT las siguientes instrucciones:

    >>[a b c]=residue([-1 1],[-1 -1 6 0])

    >>[a b c]=residue([1 1],[1 0 1 0])

    >>[a b c]=residue([4 -3 23 -11 32],[1 0 8 0 16 0])

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %inicio de bloque

    syms x y z

    y=(1/x)+simplify((-1/2-1/2i)/(x-i)+(-1/2+1/2i)/(x+i))

    pretty(y)

    z=simplify(y)

    pretty(z)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    [a b c]=residue([1 0 0 1],[1 0 4 0 4 0])

    syms x y

    y=simplify(2/x+(2*x-3)/(x^2+4)+(-x+1)/(x^2+4)^2)

    pretty(y)

    %fin de bloque

    %INTEGRACIN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

    Ejecute en el PROMPT las siguientes instrucciones:

    >>int('cos(x)')

    >>int('x^2+x-2')

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 90

    >>int('sec(x)')

    >>int('sqrt(sec(x))')

    >>int('cos(a*x)',x)

    >>syms x,int('cos(a*x)',x)

    >>syms a,int('cos(a*x)',a)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %INTEGRACIN INDEFINIDA

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x y1 y2

    y1=int(-1*(exp(x))*cos(2*x))

    y2=int(-1*(exp(x))*sin(2*x))

    pretty(y1)

    pretty(y2)

    %fin de bloque

    %La INTEGRAL de un POLINOMIO

    %inicio de bloque

    %El polinomio es: x^5+1

    polyint([1 0 0 0 0 1])

    %La integral es el polinomio: x^6/6+x

    %En formato vectorial: [1/6 0 0 0 0 1 0]

    %fin de bloque

    26. UNIDAD # 2: MTODOS DE INTEGRACIN

    %TCNICA: SUSTITUCIN

    %inicio de bloque

    syms x

    int((1+(sin(x))^2-3*(sin(x))^5)*cos(x))

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 91

    %TCNICA: IDENTIDAD TRIGONOMTRICA

    %inicio de bloque

    syms x

    int(sin(3*x)*cos(5*x))

    %fin de bloque

    %TCNICA: SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA

    %inicio de bloque

    syms x

    int(x*(4-3*x)^(-3/2))

    %fin de bloque

    %TCNICA: POR PARTES

    %inicio de bloque

    syms x

    int(exp(3*x)*(sin(2*x)+cos(5*x)))

    %fin de bloque

    %TCNICA: FRACCIONES PARCIALES

    %inicio de bloque

    syms x

    int((2*x+1)/((x^2-4*x-5)*(x-5)))

    %fin de bloque

    27. UNIDAD # 3: INTEGRAL DEFINIDA

    %INTEGRAL DEFINIDA

    Ejecute en el PROMPT las siguientes instrucciones:

    >>syms x

    >>int(cos(x),0,pi/4)

    >>int(x,1,2)

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 92

    >>int((1+x^2)^(-1),0,+inf)

    >>int(1/sqrt(1-x^2),0,1)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %inicio de bloque

    syms x

    f=x^2+x+2

    A=int(f,0,1)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x s m n

    f1=sin(x);

    f2=sin(s+2*x);

    integral_1=int(f1)

    integral_2=int(f2)

    integral_3=int(f2,s) %integra respecto a s

    int_definida1=int(f1,pi/2,pi)

    %fin de bloque

    %METODOS DE INTEGRACIN NUMRICA

    Hallar la integral

    /4

    0

    sec( ) ,x dxpi

    utilice el Mtodo de Simpson con una aproximacin de 1e(-6).

    Resuelva con el mtodo analtico, aplicando la frmula:

    [ ] ( )2

    0

    54 2 0

    0 1 2 1 0( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ),3 90 2x

    x

    x xh hf x dx f x f x f x f h x x h = + + = = +

    Compruebe estos resultados con los obtenidos utilizando MATLAB:

    %inicio de bloque

    %METODO DE SIMPSON CON ERROR DE 1e(-6)

    quad('sqrt(sec(x))',0,pi/4)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 93

    %inicio de bloque

    %METODO DE CUADRATURA DE LOBATO CON ERROR DE "tol"

    tol=1e-6

    quadl('sqrt(sec(x))',0,pi/4,tol)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %METODO DE CUADRATURA DE LOBATO CON ERROR DE "tol"

    tol=1e-16

    q=quadl('sqrt(sec(x))',0,pi/4,tol)

    vpa(q,16) %respuesta con 16 dgitos de precisin

    %fin de bloque

    28. UNIDAD # 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

    %LONGITUD DE UN ARCO

    %inicio de bloque

    syms x y t

    x=cos(t)

    y=sin(t)

    l=quadl((diff(x,t))^2+(diff(y,t))^2,t,0,pi/3)

    %fin de bloque

    29. UNIDAD # 5: CURVAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

    %GRFICO EN COORDENADAS POLARES

    %inicio de bloque

    theta=linspace(0,2*pi)

    rho=2*sin(4*theta);

    figure(5)

    polar(theta,rho)

    title('Rosa de 8 petalos 2*sin(4*theta)')

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 94

    %inicio de bloque

    clear all

    t=linspace(0,2*pi)

    r=4*cos(t)

    polar(t,r)

    title('CIRCUNFERENCIA, QUE PASA POR EL POLO,CON CENTRO EN EL EJE POLAR')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    t=linspace(0,2*pi)

    r=-4*cos(t)

    polar(t,r)

    title('CIRCUNFERENCIA, QUE PASA POR EL POLO,CON CENTRO EN EL EJE PI')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    t=linspace(0,2*pi)

    r=4*sin(t)

    polar(t,r)

    title('CIRCUNFERENCIA, QUE PASA POR EL POLO,CON CENTRO EN EL EJE PI')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    t=linspace(0,2*pi)

    r=-4*sin(t)

    polar(t,r)

    title('CIRCUNFERENCIA, QUE PASA POR EL POLO,CON CENTRO EN EL EJE PI')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    t=linspace(0,2*pi)

    r1=4*cos(t)

    polar(t,r1)

    hold on

    r2=-4*cos(t)

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 95

    polar(t,r2)

    hold on

    r3=4*sin(t)

    polar(t,r3)

    hold on

    r4=-4*sin(t)

    polar(t,r4)

    hold off

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    t=0:0.1:2*pi

    r1=2*sec(t)

    polar(t,r1)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    t=0:0.1:2*pi

    r1=1+cos(t)

    polar(t,r1)

    title('LIMAZON CARDIOIDE')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    ezpolar('4*cos(t)')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    t=linspace(0,2*pi)

    r=4*cos(t)

    figure(2)

    polar(t,r)

    title('CIRCUNFERENCIA POLAR')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    syms x, V=int((2*pi*(10-x)*(x+9-x^2+3)),-3,4)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 96

    %GRFICO DE UNA ESPIRAL

    EXPONENCIAL

    %inicio de bloque

    t=0:pi/200:8*pi;

    polar(t,exp(t/8))

    %fin de bloque

    %GRFICO DE UNA ESPIRAL DE

    ARQUMEDES

    %inicio de bloque

    t=0:pi/200:8*pi;

    polar(t,1+2*t)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 97

    %EXAMEN PARCIAL 09_02 CLCULO INTEGRAL

    %inicio de bloque

    ezpolar('3*sin(2*t)'), hold on

    ezpolar('(9*sin(2*t))^(1/2)'), hold off

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 98

    30. CONTENIDO DE LA ASIGNATURA

    CLCULO VECTORIAL ASIGNATURA: CLCULO VECTORIAL

    DESCRIPTOR

    Vectores y Superficies, Funciones Vectoriales, Derivadas Parciales, Integrales Mltiples, Clculo

    Vectorial.

    Denominacin de la Asignatura: CLCULO VECTORIAL

    Cdigo Actual: 5759

    a. Descripcin de la asignatura

    Vectores y Superficies, Funciones Vectoriales, Derivadas Parciales, Integrales Mltiples,

    Clculo Vectorial.

    b. Objetivos

    Generales:

    1. Conocer el Clculo Diferencial e Integral en varias variables como herramienta matemtica.

    Especficos:

    1. Realizar el estudio de curvas, planos y superficies en forma vectorial.

    2. Utilizar los conceptos del Clculo Diferencial e Integral de varias variables.

    3. Integrar los conceptos Vectoriales con los del Clculo Diferencial e Integral en procesos

    esecficos.

    c. Contenidos

    1. VECTORES Y SUPERFICIES

    1.1 Rectas y planos

    1.2 Superficies

    1.3 Coordenadas cilndricas y esfricas

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 99

    2. FUNCIONES VECTORIALES

    2.1 Definiciones y curvas en el espacio

    2.2 Lmites, derivadas e integrales

    2.3 Curvatura de lneas

    3. DERIVADAS PARCIALES

    3.1 Funciones de varias variables

    3.2 Lmites y continuidad

    3.3 Derivadas parciales

    3.4 Interpretacin geomtrica de la derivada

    3.5 Incrementos y diferenciales

    3.6 Regla de la Cadena

    3.7 Diferenciacin implcita

    3.8 Derivadas direccionales

    3.9 Planos tangentes y rectas normales a las superficies

    3.10 Mximos y mnimos de funciones de varias variables

    3.11 Multiplicadores de Lagrange

    4. INTEGRALES MULTIPLES

    4.1 Integrales dobles

    4.2 Evaluacin de integrales dobles

    4.3 rea y volumen

    4.4 Integrales dobles en coordenadas polares

    4.5 rea de una superficie

    4.6 Integrales triples

    4.7 Momentos y centros de masa

    4.8 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 100

    4.9 Cambio de variables en las integrales mltiples

    5. CALCULO VECTORIAL

    5.1 Campos Vectoriales

    5.2 Integral de lnea

    5.3 Independencia de la trayectoria

    5.4 Teorema de Green

    5.5 Integrales de superficie

    5.6 Teorema de la Divergencia

    5.7 Teorema de Stokes

    d. Metodologa

    Para el desarrollo de la ctedra se pueden utilizar las siguientes metodologas de enseanza

    aprendizaje:

    - Aprendizaje Cooperativo

    - Estudio de Casos

    - Aprendizaje por proyectos

    - Resolucin de problemas

    - El seminario

    - Prcticas de laboratorios

    - Prcticas de campo

    - Prcticas externas

    - Tutoras

    - Trabajos escritos

    - Clase magistral

    - Clases apoyadas con TICS

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 101

    e. Recursos

    Material Didctico (pizarrn, tiza liquida, borrador, etc.)

    Aulas Multimedia

    Aulas de Computo

    Otros.

    Laboratorios de Practicas

    Talleres

    Prcticas de Campo

    f. Evaluacin

    Lo que dispone el Reglamento General de Facultad de la UPS

    g. Bibliografa

    [1.] THOMAS, GEORGE B. JR.; FINNEY, ROSS L; Clculo varias variables/ Edit. Pearson

    Educacin. Mxico. 9 ed. 1999. xv; 1139p.; A-8; R-31; I-7; T-5. Fig.

    [2.] SWOKOWSKI, EARL W. , Clculo con geometra analtica/ Grupo Editorial Iberoamrica.

    Mxico. 2a. edicin. 1989. 1098 p. Fig.

    [3.] GRANVILLE, WILLIAM ANTHONY., Clculo diferencial e integral/ Edit. Limusa. Mxico.

    1980. 686 p. fig.

    [4.] LEITHOLD, LOUIS, Clculo, El/ Oxford University Press. Mxico. 7a. edicin. 1998. 1358 p.

    Fig.

    [5.] PURCELL, EDWIN J.; VARBERG, DALE; RIGDON, STEVEN El Clculo/ Person Educacin.

    h. Datos de Docente/s

    Tipo de

    Documento de

    Identificacin

    Nmero de

    Identificacin Apellidos y Nombres

    Correo

    Electrnico Telfono

    Cdula

    Pasaporte

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 102

    31. FUNCIONES DE MATLAB QUE SE APLICAN EN

    CLCULO VECTORIAL: 1. plot

    2. ezplot

    3. hold

    4. cart2pol

    5. cart2sph

    6. sphere

    7. cylinder

    8. ellipsoid

    9. dot

    10. cross

    11. norm

    12. plot3

    13. ezsurf

    14. surf

    15. meshgrid

    16. xlim

    17. ylim

    18. zlim

    19. sqrt

    20. polar

    21. ezpolar

    22. Inf

    23. int

    24. diff

    25. hessian

    26. vectorPotential

    27. quad

    28. quadl

    29. dblquad

    30. jacobian

    31. hessian

    32. gradient

    33. divergence

    34. laplacian

    35. del2

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 103

    32. MATH

    33. SYMBOLIC MATH TOOLBOX

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 104

    11. EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE CLCULO VECTORIAL CON MATLAB:

    34. UNIDAD # 1: VECTORES Y SUPERFICIES

    %GRAFICOS DE VECTORES EN EL PLANO %USANDO LA FUNCIN feather %inicio de bloque close feather([1 2 3],[1 1 1]) grid %v1=i+j, con el origen en el punto (1,0) %v2=2i+j, con el origen en el punto (2,0) %v3=3i+j, con el origen en el punto (3,0) %fin de bloque

    %inicio de bloque close feather([2 4 1],[2 1 5]) grid %v1=2i+2j, con el origen en el punto (1,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (2,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (3,0) %fin de bloque

    %inicio de bloque close feather(2,2) hold on feather(4,1) feather(1,5) hold off grid %v1=2i+2j, con el origen en el punto (1,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (1,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (1,0) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 105

    %inicio de bloque %esta es la mejor forma de graficar close compass([2 4 1],[2 1 5]) %v1=2i+2j, con el origen en el punto (0,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (0,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (0,0) %fin de bloque

    %inicio de bloque %esta forma no es apropiada close compass(2,2) hold on compass(4,1) compass(1,5) hold off %v1=2i+2j, con el origen en el punto (0,0) %v2=4i+1j, con el origen en el punto (0,0) %v3=1i+5j, con el origen en el punto (0,0) %fin de bloque %EJEMPLO DE UN CUBO (PARALELEPPEDOOCTAEDRO) Y DE 6 TETRAEDROS %inicio de bloque d = [-1 1]; [x,y,z] = meshgrid(d,d,d); % un cubo x = [x(:);0]; y = [y(:);0]; z = [z(:);0]; % % [x,y,z] son las esquinas del paraleleppedo mas el centro. % dt = DelaunayTri(x,y,z); Tes = dt(:,:); X = [x(:) y(:) z(:)]; tetramesh(Tes,X); camorbit(20,0) %inicio de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 106

    %SUPERFICIES CUDRICAS Y CILNDRICAS

    %inicio de bloque %esfera sphere axis equal % [x y z]=sphere surf(x,y,z) axis equal % [x y z]=sphere surf(3.*x,3.*y,3.*z) axis equal % [x y z]=sphere surf(3.*x+1,3.*y-1,3.*z+2) axis equal %La ecuacin de la esfera %(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9 %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 107

    %esta forma de graficar esferas %nos permiten definir tambin un elipsoide %inicio de bloque %elipsoide help ellipsoid close all ellipsoid(0,0,0,1,2,3,20) axis equal % %una esfera usando ellipsoid close all ellipsoid(0,0,0,3,3,3) axis equal % close all ellipsoid(0,0,0,3,3,3,50) axis equal %fin de bloque %inicio de bloque %cilndros circular clear close clc cylinder % close clear [x y z]=cylinder surf(x,y,3.*z) axis equal % close clear [x y z]=cylinder surf(3.*z,x,y) axis equal % close clear [x y z]=cylinder surf(3.*z,x+1,y+2) axis equal %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 108

    %inicio de bloque %funcin de variable simblica ezsurf('4.*sin(y)') % close ezsurf('x^2+y^2',[-4*pi 4*pi -4*pi 4*pi]) %fin de bloque %inicio de bloque %otra funcin que ofrece MATLAB %para grfica funciones peaks %fin de bloque

    Esta funcin es ideal para analizar valores extremos, como minmo local y global, o mximo local o global de la superficie z=z(x,y).

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 109

    %inicio de bloque %uso del meshgrid para definir el dominio % de la funcin explcita z=z(x,y) close clc [x y]=meshgrid(-2:0.1:3,-3:0.1:2) z=exp(-x.^2-y.^2) surf(x,y,z) %fin de bloque

    %SUPERFICIE EN SISTEMA RECTANGULAR

    Recordemos algunas superficies cudricas y cilndricas estudiadas:

    2 2

    2 2

    2 2 2

    : 1 (0,0); 1: (0,0,0)

    : 2 1 (0,0,0)

    Cilindro x y C rParaboloide z x y VElipsoide x y z C

    + = =

    = +

    + + =

    Utilicemos SUPERFICIES, para obtener el lugar geomtrico de las ecuaciones:

    Cilindro Paraboloide Elipsoide

    Ejecute en el PROMPT las siguientes instrucciones:

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 110

    >>syms x y

    >>cylinder

    >>cylinder(3)

    >>ezsurf('x^2+y^2')

    >>ezsurf('x^2+y^2',[-3 3 -3 3])

    >>ellipsoid(0,0,0,1,1/sqrt(2),1,20)

    >>ellipsoid(0,0,0,1,1/sqrt(2),1,30)

    >>ellipsoid(0,0,0,1,1/sqrt(2),1,10)

    >>sphere

    >>sphere(20)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %CONVERSION DE SISTEMAS COORDENADOS

    Ejecute en la "LNEA DE COMANDOS":

    >>[x y]=pol2cart(pi/3,1)

    >>[x y]=pol2cart(-2*pi/3,-2)

    >>[t r]=cart2pol(2,2)

    >>pi/4

    >>2*sqrt(2)

    >>[t r]=cart2pol(-1,sqrt(3))

    >>2*pi/3

    >>[x y z]=sph2cart(0,0,1)

    >>[x y z]=sph2cart(pi/2,0,1)

    >>[x y z]=sph2cart(pi/2,pi,1)

    >>[x y z]=sph2cart(pi/2,pi/2,1)

    >>[x y z]=sph2cart(3*pi/2,0,1)

    >>[t,f,r]=cart2sph(0,1,0)

    >>pi/2

    >>[t,f,r]=cart2sph(1,0,0)

    >>[t,f,r]=cart2sph(0,0,1)

    >>pi/2

    Analice y comente los resultados obtenidos.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 111

    35. UNIDAD # 2: FUNCIONES VECTORIALES

    GRAFICOS DE CURVAS PARAMETRIZADAS ES EL ESPACIO:

    Ejecute en el PROMPT las siguientes instrucciones:

    >>ezplot3('t-1','2-3*t','1')

    >>ezplot3('t','t^3-t^2+2','t+1')

    >>ezplot3('3*cos(t)','3*sin(t)','2*t')

    >>ezplot3('3*cos(t)','3*sin(t)','2*t',[0,5*pi])

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %% EJES EN 3 DIMENSIONES: %inicio de bloque clc close all axis([0 5 0 6 0 7]) grid, axis equal %fin de bloque %inicio de bloque close t=0:pi/20:8*pi plot3(cos(t),sin(t),t) grid, axis equal %fin de bloque Superficie CILNDRICA en Z, a partir de Curva PARAMETRIZADA:

    %inicio de bloque %Cilindro elptico t=(0:0.1:2*pi)' h=-2:0.1:2 x=2*cos(t)*ones(size(h)) y=3*sin(t)*ones(size(h)) z=ones(1,size(t))'*h surf(x,y,z) %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 112

    36. UNIDAD # 3: DERIVADAS PARCIALES

    Superficies de FUNCIN EXPLCITA:

    %inicio de bloque

    clc

    close all

    x=-7.5:0.5:7.5;

    y=x;

    [X,Y]=meshgrid(x,y) %El agregar eps elimina la divisin por cero cuando x=y=0.

    R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps %La matriz R contiene el radio de cada punto en [X,Y].

    Z=sin(R)./R;

    %note el uso de la cosntante eps

    %La matriz Z contiene el seno del radio dividido por el radio para cada

    %punto del plano. Con el comando mesh se genera la grfica.

    figure(16)

    surf(X,Y,Z)

    %Grafica de superficie

    hold

    title('Superfice de la ecuacin z=[sen(x^2+y^2)]/(x^2+y^2)')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close all

    x=-1:0.1:1;

    y=x;

    [X,Y]=meshgrid(x,y)

    Z=4-X.^2-Y.^2

    figure(17)

    surf(X,Y,Z)

    hold

    Z=X.^2+Y.^2-4

    surf(X,Y,Z)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 113

    %inicio de bloque

    h=@(x,y)x.*y - x;

    ezsurf(h)

    ezsurf(@peaks)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    f=@(x,y)(x^2+y^2)

    ezsurf(f)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    close all

    ezsurf('x^2+y^2')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    ezsurf('y^2+y+2')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    ezsurf('sqrt(x^2+y^2)')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    ezsurf('x*y-x')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    %Superficie Clindrica Inclinada

    ezsurf('x^2-y')

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 114

    %inicio de bloque

    %Superficie Cilndrica PARALELA AL EJE Y

    ezsurf('x^2')

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    ezsurf('x^2+y^2-z^2')

    %Por qu se produce un error?

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    ezsurf('6-3*x-2*y')

    %fin de bloque

    %Usando Funcin Potencia

    %inicio de bloque

    ezsurf('(x^2+y^2-1)^(1/2)',[-10,10],[-10,10])

    hold on

    ezsurf('-(x^2+y^2-1)^(1/2)',[-10,10,-10,10])

    hold off

    %fin de bloque

    %Usando Funcin Raz Cuadrada SQRT

    %inicio de bloque

    ezsurf('sqrt(x^2+y^2-1)',[-10,10],[-10,10])

    hold on

    ezsurf('-sqrt(x^2+y^2-1)',[-10,10,-10,10])

    hold off

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 115

    %inicio de bloque

    ezsurf('4-(x^2+y^2)')

    hold on

    ezsurf('x^2+y^2')

    hold off

    %fin de bloque

    CURVAS DE NIVEL

    %inicio de bloque [x y]=meshgrid(-1:0.1:1,-1:0.1:1) z=x.^2+y.^2 contour(z) %fin de bloque

    Recordemos los lmites de funciones de 2 3 variables:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2 , /4, /3

    2 2 2 2

    , 1,1 , 1,1 , , 1,2,3

    lim lim cos

    2lim lim lim

    x y x y

    x y x y x y z

    x y xy

    x y x yx y z

    x y x y

    pi pi

    +

    + +

    %LMITES DE FUNCIONES DE UNA O MAS VARIABLES

    Ejecute en el PROMPT las siguientes instrucciones:

    >>syms x y

    >>limit(limit(x+y,x,1),y,2)

    >>limit(limit(cos(x*y),pi/4),y,pi/3)

    >>limit(limit((x^2-y^2)/(x-y),1),1)

    >>limit(limit((x^2-2*y^2)/(x-y),1),1)

    >>limit(limit(limit(x+y+z,x,1),y,2),3)

    >>syms z,limit(limit(limit(x+y+z,x,1),y,2),3)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 116

    Recordemos las derivadas de funciones de 2 3 variables:

    ( ) ( )2 3 2 232 2 22 cos( ) 3 2xyxy xye xy y xx y x y x y x x z z

    +

    %DERIVACIN DE FUNCIONES DE UNA O MAS VARIABLES

    Ejecute en el PROMPT las siguientes instrucciones:

    >>syms x y z

    >>diff(diff(2*x*y/(x-y),x),y)

    >>diff(diff(exp(-x*y)+cos(x*y),y,2),x)

    >>diff(3*y-2*x^3,x,2)

    >>diff(diff(x*y/z^2,z),x)

    Comente y registre los resultados obtenidos en la ejecucin anterior.

    %inicio de bloque

    syms x y

    z=diff(diff(2*x*y/(x-y),x),y)

    pretty(simplify(z))

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    syms a x

    y=a^3*exp(x)-a^2*sin(x);

    y_prima=diff(y) %Obtiene la derivada de una funcion y

    y3_prima=diff(y,3) %Deriva y TRES veces con respecto a x

    ya_prima=diff(y,a) %Deriva y respecto a la variable a

    ya3_prima=diff(y,a,3) %Deriva TRES veces y con respecto a a

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 117

    ECUACIN DE LAPLACE:

    Dada la funcin ( )2 2

    22 2

    x yz

    x y

    =

    + comprobar que satisface la EDP

    2 2

    2 2 0z z

    x y

    + =

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x y z u

    z=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2

    zx2=diff(z,x,2)

    zy2=diff(z,y,2)

    u=zx2+zy2

    %

    simplify(u) %simplifica la expresin

    %

    pretty(zx2) %mejora la presentacin de la expresin algebraica

    pretty(zy2) %mejora la presentacin de la expresin algebraica

    %fin de bloque

    37. UNIDAD # 4: INTEGRALES MULTIPLES

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x y z

    f=z*x^2+y*x+2

    A=int(f,y,z)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x y z

    f=sin(x)

    A=int(f,y,z)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 118

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x y z

    f=sin((x^2)*y)

    A=int(f,y,x,z)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x y z

    f=x+y+z

    A=int(int(int(f,z,0,1),y,0,1),x,0,1)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    syms x y z

    f=1

    A=int(int(int(f,z,-sqrt(9-x^2-y^2),sqrt(9-x^2-y^2)),y,-sqrt(9-x^2),sqrt(9-x^2)),x,-3,3)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    syms r t a b

    a=(r^3)*int((sec(t))^3,t,pi/4,atan(3/r))

    b=simplify(a)

    pretty(b)

    %fin de bloque

    %inicio de bloque

    clear all

    syms r z b c

    c=2*pi*int(int(r*sqrt(r^2+z^2),z,r,3),r,0,3)

    b=simplify(c)

    pretty(b)

    %fin de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 119

    %inicio de bloque

    clear all

    syms r z b c

    c=2*pi*int(int(r*sqrt(r^2+z^2),r,0,z),z,0,3)

    b=simplify(c)

    pretty(b)

    %fin de bloque

    38. UNIDAD # 5: CALCULO VECTORIAL

    Pelcula grabada con juego de cuadros.

    %inicio de bloque

    figure('Renderer','zbuffer')

    Z = peaks;

    surf(Z);

    axis tight

    set(gca,'NextPlot','replaceChildren');

    % asigna previamente la struct array de la estructura devuelta por getframe

    F(20) = struct('cdata',[],'colormap',[]);

    % graba la pelcula

    for j = 1:20

    surf(.01+sin(2*pi*j/20)*Z,Z)

    F(j) = getframe;

    end

    movie(F,10)

    %fin de bloque

    %CAMPOS VECTORIALES

    %GRFICO DE UN CAMPO VECTORIAL USANDO coneplot

    %inicio de bloque

    load wind

    xmin = min(x(:));

    xmax = max(x(:));

    ymin = min(y(:));

    ymax = max(y(:));

    zmin = min(z(:));

    daspect([2,2,1])

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 120

    xrange = linspace(xmin,xmax,8);

    yrange = linspace(ymin,ymax,8);

    zrange = 3:4:15;

    [cx cy cz] = meshgrid(xrange,yrange,zrange);

    hcones = coneplot(x,y,z,u,v,w,cx,cy,cz,5);

    set(hcones,'FaceColor','red','EdgeColor','none')

    hold on

    wind_speed = sqrt(u.^2 + v.^2 + w.^2);

    hsurfaces = slice(x,y,z,wind_speed,[xmin,xmax],ymax,zmin);

    set(hsurfaces,'FaceColor','interp','EdgeColor','none')

    hold off

    axis tight;

    view(30,40);axis off

    camproj perspective;

    camzoom(1.5)

    set(hsurfaces,'AmbientStrength',.6)

    set(hcones,'DiffuseStrength',.8)

    %inicio de bloque

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 121

    %EXAMEN PARCIAL 2009_01 CLCULO VECTORIAL

    %Si es posible utilizando las funciones y comandos de MATLAB, elabore los grficos

    correspondientes:

    %Calcule los lmites y derivadas planteadas en este examen.

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 122

    39. CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA

    ECUACIONES DIFERENCIALES ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

    DESCRIPTOR

    Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden,

    Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior, Soluciones en Series de Potencias de las

    Ecuaciones Diferenciales, La Transformada de Laplace.

    Denominacin de la Asignatura: ECUACIONES DIFERENCIALES

    Cdigo Actual: 5799 a. Descripcin de la asignatura

    Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo

    Orden, Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior, Soluciones en Series de

    Potencias de las Ecuaciones Diferenciales, La Transformada de Laplace.

    b. Objetivos

    Generales:

    1. Resolver ecuaciones diferenciales de orden n-simo.

    Especficos:

    1. Resolver ecuaciones diferenciales de orden n-simo para casos especiales.

    2. Realizar el estudio de series, para aplicar en la resolucin de ecuaciones diferenciales.

    3. Utilizar el mtodo de Transformada de Laplace para resolucin de ecuaciones

    diferenciales de orden n-simo..

    c. Contenidos

    1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1 ORDEN

    1.1. Conceptos e ideas Bsicas

    1.2. Ecuaciones de variables separables

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 123

    1.3. Ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles,

    transformables

    1.4. Ecuaciones diferenciales exactas

    1.5. Factores de integracin

    1.6. Ecuaciones diferenciales lineales de 1 orden: y+p(x)y=q(x)

    1.7. Variacin de parmetros

    1.8. Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1 orden

    1.8.1 Ecuaciones lineales

    1.8.2 Ecuaciones no lineales

    2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2 ORDEN

    2.1. Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias

    2.2. Ecuaciones lineales homogneas de segundo orden. Teorema fundamental

    2.3. Reduccin de orden

    2.4. Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantes

    2.5. Solucin general. Sistema fundamental. Problemas con valor inicial

    2.6. Ecuaciones de Cauchy - Euler: races reales, races complejas, races iguales

    2.7. Existencia y unicidad de las soluciones: el Wroskiano

    2.8. Ecuaciones lineales no homogneas con coeficientes constantes

    2.9. Aplicaciones. Modelado de ecuaciones diferenciales de 2 orden

    3. ECUACIONES DIFERNCIALES DE ORDEN SUPERIOR

    3.1. Ecuaciones lineales de n-simo orden

    3.2. Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantes

    3.3. La ecuacin de Cauchy-Euler

    3.4. Ecuaciones lineales no homogneas con coeficientes constantes

    3.5. Aplicaciones

  • Ing. Teddy Negrete Pgina 124

    4. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE LAS ECUACIONES

    DIFERENCIALES

    4.1. Sucesiones infinitas

    4.2. Series infinitas convergentes y divergentes

    4.3. Series alternantes

    4.4. Series de potencia

    4.5. Serie de Taylor y Maclaurin

    4.6. El mtodo de series de potencia

    4.7. Bases tericas del mtodo de series de potencias

    4.8. Ecuaciones de Legrange. Polinomios de Legendre

    4.9. Mtodo extendido de las series de potencias. Ecuaciones de ndice

    4.10. Ecuaciones Bessel. Funciones de Bessel de p