Grafik_2D_&_3D_(Kelompok-3)

TUGAS

MATEMATIKA TERAPAN

KRISTINA W.,S.Si, MPd.

GRAFIK 2-D DAN 3D PADA MATLAB

Oleh :

Ari Prahastomo R. JTD-1D / 1441160052

Bambang Eka S.W.P JTD-1D / 1441160004

Debby Rachmawati D. JTD-1D/ 1441160043

JARINGAN TELEKOMUNIKASI DIGITAL

TEKNIK ELEKTRO

POLITEKNIK NEGERI MALANG

2015

KATA PENGANTAR

Assalamua’alaikum wr.wb.

‘Makalah GRAFIK 2-D dan 3D pada MATLAB’ menyediakan materi-materi tentang

bagaimana penggunaan MATLAB yang berkaitan dengan grafik 2-D maupun 3-D yang di

ringkas di dalam makalah ini.

MATLAB adalah salah satu bahasa pemograman untuk komputasi teknis, utamanya

pada bidang matematika, sains, dan teknik. Beberapa versi MATLAB telah dirilis diantaranya

versi 4 hingga versi 8. MATLAB dapat dioperasikan ddengan sistem windows 98, windows

xp, windows 7 hingga windows 8. MATLAB memerlukan ruang space minimal 16 MB,

disamping itu supaya bekerja dengan baik diperlukan minimal 50 MB ruang ksosng pada

hardisk. Prosesor dari generasi Intel Pentium sangat disarankan untuk mempercepat proses

komputasi.

Di dalam MATLAB juga membahas tentang grafik 2-D dan grafik 3-D. MATLAB

sendiri menyediakan fungsi-fungsi dalam pembuatan grafik 2-D dan grafik 3-D. Didalam

grafik 2-D kita akan dikenalkan dengan berbagai macam hal yang berkaitan dengan grafik 2-

D, seperti menggunakan fungsi plot, pola garis dan warna, grid label dan legenda, manipulasi

sumbu dan grafik, serta grafik 2-D khusus.

Disisi lain kita juga dikenalkan dengan grafik 3-D serta fungsi-fungsinya. Di grafik 3-

D kita akan mempelajari fungsi plot, fungsi mesh, fungsi surf, kontur, fungsi sphere dan

cykinder, pengaturan warna dan gambar animasi.

A. GRAFIK 2-D

7.1 Menggunakan fungsi plot

Fungsi yang di gunakan untuk menggambar grafik dua dimensi (grafik 2-D) dalam

koordinat cartesius adalah plot. Sebagai contoh jika akan di gambar grafik fungsi y = −x

x2+1

dengan nilai -3 ≤ x ≤ -3, dapat di ketikkan perintah-perintah sebagaimana di tunjukkan

pada contoh 7.1 di bawah ini.

Contoh 7.1 di bawah ini :

%Grafik fungsi y = -x/(x^2+1)

%dibuat oleh Budi Doremi

%untuk contoh buku MATLAB

x = -3 : 0.2 :3; %interval [-3,3] di bagi ke dalam 30 titik

y = -x./(x.^2 + 1);

plot (x,y)

Gambar 7.1. Grafik fungsi y = −x

x2+1

Pada Contoh 7.1 di atas, interval -3 ≤ x ≤ -3 di bagi kedalam 30 titik data, yang di

tunjukkan dengan perintah : x = -3 : 0.2 : 3 ; Ini berarti grafik akan di buat berdasarkan 30

pasang data titik (x,y). Kemudian perintah plot (x,y) akan menggambar grafik yang di minta.

Untuk mengetahui (melihat) grafik dari hasil perintah di atas dapat di lakukan sebagai

berikut, dari Jendela Perintah MATLAB :

1. Klik Window

2. Kemudian pilih Figure No,1

Selanjutnya MATLAB akan menampilkan Jendela Figure No.1 sebagaimana tampak pada

Gambar 7.1 di atas.

MATLAB juga memberikan fasilitas untuk menampilkan beberapa gambar sekaligus dalam

satu jendela figure untuk nilai array yang sama. Contoh 7.2 di bawah ini akan menggambar

grafik fungsi y = sin(x), y = cos(x), dan y = sin(x) + cos(x) untuk array x yang sama, maka

dalam hal ini 0 ≤ x ≤ 2π di bagi kedalam 45 titik.

Contoh 7.2:

%grafik fungsi y = sin(x), y = cos(x), dan y = sin(x) + cos(x)

%dibuat oleh Budi Doremi


x = linspace (0, 2*pl, 45);

y = sin(x);

z = cos(x);

w= sin(x) + cos(x);

plot(x,y,x,z,x,w)

Gambar 7.2 Grafik y = sin(x), y = cos(x), dan y = sin(x) + cos(x)

Dari contoh 7.2 di atas , perhatikan bahwa ketiga grafik tersebut pada saat yang sama

untuk array x yang sama, di tampilkan pada jendela yang sama sebagaimana ditunjukkan

pada gambar 7.2 di atas. Perhatikan juga bahwa secara otomatis MATLAB akan memberikan

warna yang berbeda untuk tiap grafik yang di tampilkanya. Pada Gambar 7.2 tersebut warna

kuning (yellow) untuk grafik dari sin(x)+cos(x), warna magenta untuk grafik cos(s), dan

warna cyan untuk grafik sin(x).

7.2 Pola Garis dan Warna

Grafik yang di tampilkan oleh MATLAB pada Contoh 7.1 maupun Contoh 7.2

mempunyai pola garis padat (solid linestyle), serta warna (color) yang secara otomatis

diberikan oleh MATLAB. User dapat mengatur atau memilih pola garis untuk grafik yang di

buatnya serta warna dari grafik yang di inginkanya, dengan menambahkan karakter tertentu

yang berfungsi mengatur pola garis dan warna dari grafik. Tabel 7.1 di bawah ini

menunjukkan warna dan pola garis yang dapat di pilih untuk membuat grafik.

Tabel 7,1 Kode Warna Pola dan Garis

Kode Warna Kode Pola Garis

y Kuning (yellow) . Titik (point)

m Magenta o Lingkaran (circle)

c Cyan x x-mark

r Merah (red) + Plus

g Hijau (green) * Bintang (star)

b Biru (blue) - Garis padat (solid line)

w Putih (white) : Dotted line

k Hitam (black) -. Dash-dot line

-- Dash line

Pola garis yang diberikan oleh MATLAB adalah garis padat (solid line) sampai user

menentukan pola garis tertentu untuk grafiknya. Sedangkan jika user tidak secara khusus

memilih warna untuk grafiknya, warna yang di berikan oleh MATLAB (untuk satu jendela

Figure yang memuat beberapa gambar sekaligus) akan selalu diawali dengan warna kuning,

magenta, cyan, dan seterusnya sampai enam warna dalam Tabel 7.1 di atas. Jadi jika satu

jendela Figure memuat 7 buah gambar sekaligus, maka gambar ke 7 akan diberi warna

kuning oleh MATLAB. Contoh 7.3 berikut ini menggunakan pola garis dan warna yang

berbeda dari Contoh 7.2 di atas.

Contoh 7.3

x = linspace(0.2*pi,45);

y = sin(x);

z = cos(x);

w = sin(x) + cos(x);

plot(x, y,’r*’, x, z, ’bo’, x, w, ‘g+’)

Gambar 7.3 : Grafik sin(x), cos(x), dan sin(x) + cos(x)

Pada Gambar 7.3 di atas, grafik sin(x) digambarkan dengan warna merah dan pola garis

bintang, hal ini dihasilkan oleh perintah plot(x,y, ‘ r * ‘). Grafik cos(x) digambarkan dengan

warna biru dan pola garis lingkaran yang di hasilkan oleh perintah plot(x, z, ‘bo’). Sedangkan

grafik sin(x) + cos(x) digambarkan dengan warna hijau dan pola garis plus, yang dihasilkan

oleh perintah plot(x, w, ‘g+’).

7.3. Grid Label dan Legenda

Sejauh ini grafik yang ditampilkan oleh MATLAB tampak masih kurang komunikatif

dengan user. Untuk membantu memperjelas dalam membaca atau memahami grafik, dapat

ditambahkan petak-petak (grid), label, atau legenda pada grafik yang di buat.

Perintah grid on akan menambahkan garis-garis grid pada grafik yang dibuat.

Sebaliknya, perintah grid off akan menghapus garis-garis grid dari grafik. Sedangkan

perintah grid tanpa diikuti argument tambahan akan mengembalikan ke posisi grid off jika

sebelumnya dalam posisi grid on; begitu pula sebaliknya. Jika user tidak memberikan

perintah khusus, MATLAB selalu menampilkan grafiknya dalam keadaan grid off.

Sumbu horizontal dapat diberi label (nama) dengan perintah xlabel, sedangkan sumbu

vertical dapat diberi label (nama) dengan perintah ylabel. Judul grafik (yang ditampilkan di

atas grafik) dapat diberikan dengan menggunakan perintah title.

Contoh 7.4:

%grafik y = x/(x^2+x+1) dan y = -x/(x^2 + x + 1)

x = -3 : 0.1 : 4; % x pada interval [-3,4]

y = x./(x^2+x+1);

z = -x./(x^2 + x + 1);

plot (x,y,x,z)

grid on

xlabel(‘variable Independen x’) %label sumbu horizontal

ylabel(‘variable dependen y dan z’) %label sumbu vertical

title(‘Grafik y = x/(x^2+x+1) dan y = -x/(x^2 + x + 1) ’) %Judul

Gambar 7.4: Grafik y = x

x2+x+1 dan y =

−x

x2+x+1

User dapat juga menambahkan label pada lokasi tertentu jendela Figure dengan

menggunakan perintah text(x,y, ‘string’). Dalam perintah tersebut (x,y) menunjukkan

koordinat awal (tepi kiri) dari ‘string’. Di samping itu, user dapat juga menambahkan legenda

dari grafik yang di gambarnya, yaitu dengan perintah legend. Contoh 7.5 berikut ini adalah

grafik dari Contoh 7.4 dengan menambahkan perintah text dan legend.

Contoh 7.5:

%grafik y = x/(x^2+x+1) dan y = -x/(x^2+x+1)

x = -3 : 0.1 : 4 ; % x pada interval [-3,4]

y = x./ (x^2 + x + 1);

z = -x./ (x^2 + x + 1);

plot(x, y, ‘r-’, x, z, ‘k-’)

grid on

xlabel(‘variable independen x’)

ylabel(‘variable dependen y dan z’)

title (‘Grafik y = x/(x^2 + x + 1) dan y = -x/(x^2 + x + 1) ’)

legend (‘y = x/(x^2 + x + 1)’,’y = -x/(x^2 + x + 1)’)

Gambar 7.5: Grafik y = x

x2+x+1 dan y =

−x

x2+x+1

User dapat juga menempatkan label di lokasi tertentu di jendela Figure dengan perintah

gtext. Sintak dari perintah gtext adalah : gtext(‘string’). Perintah gtext akan menukar jendela

yang sedang aktif ke jendela Figure. Selanjutnya dengan menggerakkan mouse, maka label

‘string’ yang akan di kembalikan ke grafik dapat di bawa ke lokasi yang dinginkan, kemudian

setelah sampai pada tempat yang dikehendaki user, dapat dilakukan klik untuk menempatkan

‘string’. Dengan tambahan perintah:

gtext(‘y = -x/(x^2+x+1)’)

dari Contoh 7.5 di atas, silahkan user mencoba menempatkan string tersebut di lokasi yang

sesuai pada grafik.

7.4 Manipulasi Sumbu dan Grafik

Sumbu grafik dapat diatur sesuai keperluan user. MATLAB menyediakan berbagai

perintah yang dapat di gunakan untuk mengatur tampilan sumbu (axes) pada suatu grafik.

Tabel 7.2 berikut ini menunjukkan beberapa perintah yang berhubungan dengan manipulasi

sumbu.

Contoh 7.6

%grafik fungsi y = 2e^x – x^3 – 2x^2


%oleh BUDI MURTIYASA

x = -4 : 0,1 : 4;

y = 2*exp(x) – x.^3 + 2*x.^2;

plot (x,y)

.grid

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

title (‘Grafik y =2e^x – x^3 -2x^2’)

title (0, 4, ‘y =2e^x – x^3 -2x^2’)

Perintah-perintah pada Contoh 7.6 tersebut akan menghasilkan gambar sebagaimana

ditunjukkan dalam Gambar 7.4 di bawah ini.

Tabel 7.2 Manipulasi Sumbu

No Perintah Keterangan

1 axis([xmin xmax ymin ymax])Membuat sumbu dengan nilai minimum dan

maximum sebagaimana ditunjukkan array

2 axis auto atau axis (‘auto’)Kembali ke skala sumbu secara otomatis

(default MATLAB)

3 axis off atau axis (‘off’)

Menghapus semua label pada sumbu. Hanya

meniysakan label yang dibuat dengan

perintah text atau gtext

4 axis on atau axis (‘on’)Menampilkan kembali semua label pada

sumbu

5 axis xy atau axis (‘xy’) Menggunakan bentuk koordinat kartesius,

dimana nilai sumbu vertical naik dari bawah

ke atas, dan nilai sumbu horizontal naik dari

kiri ke kanan. Ini merupakan sistem sumbu

default dalam MATLAB

6 Axis ij atau axis (‘ij’)

Menggunakan bentuk koordinat matriks;

artinya nilai sumbu vertical turun dari atas ke

bawah, dan sumbu horizontal nilainya naik

dari kiri ke kanan

7 Axis equal atau axis (‘equal’)Membuat factor skala pada kedua sumbu

menjadi sama

Gambar 7.6 : Grafik fungsi y= 2ex – x3 -2x2

Kemudian jika perintah-perintah pada Contoh 7.6 ditambah dengan perintah :

axis off

akan dihasilkan gambar sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7.7 di bawah ini.

Gambar 7.7: Grafik fungsi y = 2ex – x3 -2x2

Kemudian jika ditambahkan perintah-perintah :

grid on

axis ij

axis on

akan di peroleh gambar seperti pada Gambar 7.8 di bawah ini.

Gambar 7.8: Grafik fungsi y = 2ex – x3 -2x2

Salah satu perintah yang berguna untuk melakukan manipulasi grafik adalah perintah hold.

Dengan perintah hold on dimaksudkan bahwa MATLAB tidak memindahkan grafik yang

telah dibuat, ketika user memakai kembali perintah plot pada program yang dibuatnya.Ini

berarti pada jendela figure yang sama akan memunculkan dua buah grafik sekaligus. Secara

otomatis MATLAB akan mangalur kembali (bila perlu) skala dari sumbu yang dipakai untuk

menampilkan kedua grafik sekaligus. Sedangkan perintah hold off akan mengembalikan

kondisi dimana user dapat membuat grafik baru pada jendela Figure yang baru.

Contoh 7.7:

%grafik fungsi y = 3sin(x) – 2 cos(x)

x =-4 : 0.1 : 6;

y = 3*sin(x) – 2*cos(x);

plot (x,y’r’)

grid on

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

Perintah-perintah tersebut menghasilkan gambar sebagaimana ditunjukkan pada gambar 7.9

dibawah ini,

Gambar 7.9 : Grafik fungsi y = 3 sin(x) – 2 cos(x)

Selanjutnya jika user ingin menggambar grafik yang lain pada Jendela Figure yang sama,

misalnya untuk grafik y = x-3 sin(x), dapat ditambahkan perintah –perintah berikut ini :

hold on

z = x – 3*sin(x);

plot(x,z,’b’)

legend(‘y = 3sin(x) – 2 cos(x)’,’y = x – 3 sin(x)’)

text(-4,3,’ y = 3 sin(x) – 2 cos(x)’)

text(4,-3,’y = x – 3 sin(x)’)

Tambahan perintah-perintah tersebut akan menghasilkan gambar sebagaimana ditunjukkan

pada Gambar 7.10 berikut ini.

Gambar 7.10 : Grafik y = 3sin(x) – 2cos(x) dan y = x – 3 sin(x)

Perintah subplot dapat digunakan membagi satu jendela Figure menjadi beberapa

subjendela, yang masing-masing subjendela dapat mempunyai sumbu sendiri-sendiri.

Karenanya dengan perintah subplot, tiap-tiap subjendela dapat digunakan untuk menampilkan

gambar dari grafik yang berbeda pula. Secara umum perintah subplot mempunyai sintak :

subplot(m,n,p)

Pada perintah tersebut, dengan m dan n bilangan bulat positif, dimaksudkan bahwa satu

jendela Figure dibagi menjadi mxn buah subjendela, dengan p (di mana p bernilai 1 sampai

mxn) menunjukkan sub jendela dibaca (dinomori) dari kiri ke kanan dimulai dari baris paling

atas (baris pertama), kemudian baris kedua, dan seterusnya.

Andaikan akan digambar seperti grafik fungsi y = sin(x), y=cos(x), y = sin(x) + cos(x),

dan y= sin(x) + cos(x), dan y = sin(x)-cos(x) berturut-turut ditempatkan dalam subjendela 1,

subjendela , subjendela 3, dan subjendela 4 dalam satu jendela Figure yang sama. Dalam hal

ini karena jendela Figure akan dibagi ke dalam 4 buah subjendela, dapat digunakan perintah

subplot(2,2,p) dengan p=1,2,3,4. Perintah selengkapnya untuk menggambar keempat grafik

tersebut pada empat buah subjendela sebagaimana disajikan dalam Contoh 7.8 berikut ini.

Contoh 7.8:

%Perintah subplot untuk membuat beberapa subjendela

%dibuat untuk BUDI DOREMI

%untuk contoh Buku MATLAB

x = linspace(0,2*pi,45); % [0,2*pi] dibagi kedalam 45 detik

y = sin(x);

z = cos(x);

w= sin(x) + cos(x);

t = sin(x) – cos(x);

subplot(2,2,1) %mengaktifkan subjendela 1 untuk sin(x)

plot(x,y);

axis([0 2*pi -1 1])

title(‘Grafik sin(x)’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

subplot(2,2,2) %mengaktifkan subjendela 2 untuk cos(x)

plot(x,z)

axis([0 2*pi -1 1])

title(‘Grafik cos(x)’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

subplot (2,2,3) %subjendela 3 untuk sin(x) + cos(x)

plot(x,w)

axis([0 2*pi -2 2])

title(‘Grafik sin(x) + cos(x)’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

subplot (2,2,4) %subjendela 4 untuk sin(x) + cos(x)

plot(x,t)

axis([0 2*pi -2 2])

title(‘Grafik sin(x) - cos(x)’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

Perintah-perintah tersebut akan menampilkan sebagai berikut :

Gambar 7.11 Grafik sin(x), cos(x), sin(x) + cos(x) dan sin(x)-cos(x)

Jika user ingin kembali ke satu jendela figure untuk satu grafik, maka dapat digunakan

perintah subplot(1,1,1) Perintah subplot(1,1,1) berarti Jendela Figure di bagi kedalam 1x1= 1

jendela, yang berarti juga hanya ada 1 jendela.

Cara lain untuk membuat beberapa grafik dalam subjendela pada jendela Figure yang

sama adalah menggunakan perintah figure. Perintah Figure tersebut akan membuat jendela-

jendela figure. Sebagai contoh, program dalam Contoh 7.8 di atas dapat ditulis kembali

perintah figure sebagaimana ditunjukkan pada contoh 7.9 di bawah ini.

Contoh 7.9

%Perintah subplot untuk membuat beberapa subjendela

%dibuat untuk BUDI DOREMI

%untuk contoh Buku MATLAB

x = linspace(0,2*pi,45); % [0,2*pi] dibagi kedalam 45 detik

y = sin(x);

z = cos(x);

w= sin(x) + cos(x);

t = sin(x) – cos(x);

g1=figure; %subjendela baru dan tetap mengaktifkanya

plot(x,y);

axis([0 2*pi -1 1])

title(‘Grafik sin(x)’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

g2 = figure; % subjendela baru dan tetap mengaktifkanya

plot(x,z)

axis([0 2*pi -1 1])

title(‘Grafik cos(x)’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

g3 = figure; %subjendela baru dan tetap mengaktifkanya

plot(x,w)

axis([0 2*pi -1 1])

title(‘Grafik sin(x) + cos(x)’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

Program dalam contoh 7.9 tersebut jika dieksekusi juga akan menampilkan gambar seperti

pada Gambar 7.11 diatas.

Salah satu keuntungan dari penggunaa perintah figure adalah memudahkan penutupan /

penghapusan satu atau beberapa subjendelafigure jika sudah tidak diperlukan. Perintah untuk

menutup jendela (subjendela) dengan memakai perintah close. Perintah-perintah seperti

Close akan menutup jendela yang sedang aktif

Close (k) akan menutup subjendela k

Close all akan menutup semua sub jendela.

Sedangkan perintah untuk menghapus isi jendela (isi grafik) tanpa menutup jendela dapat

dilakukan perintah (clf).

Beberapa bidang datar seperti lingkaran atau elips misalnya, dapat lebih mudah digambar

grafiknya jika dibawa kedalam bentuk persamaan parameter. Andaikan akan di gambar

lingkaran x2+ y2 = 9 dan elips (x−2)2

16+¿ ¿¿ = 1. Peintah untuk menggambar lingkaran dan

elips tersebut dapat dilakukan dengan mengubah dulu persamaan lingkaran atau elips tersebut

ke dalam persamaan parameter, yaitu untuk lingkaran menjadi :

x = 3 cos(t);

y = 3 sin(t);

serta untuk ellips menjadi

x = 2 + 4 cos(t),

y = -3 + 6 sin(t),

Contoh 7.10:

%Gambar ellips dan lingkaran

t = 0 : 0.1 : 2*pi;

%data lingkaran

x1 = 3 * cos(t);

y1 = 3 * sin(t);

%data ellips

x2 = 2 + 4 * cos(t);

y2 = -3 + 6 * sin(t);

plot(x1,y1,’r’) % lingkaran dengan warna merah

hold on

plot (x2,y2,’b’) % ellips dengan warna biru

axis square % grafik di gambar pada bingkai persegi

grid on

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’)

title(‘Grafik x^2+y^2 = 9 dan (x-2)^2/16 + (y+3)^2/36 = 1’)

Perintah dalam program tersebut menghasilkan gambar seperti pada gambar 7.12 di bawah

ini.

Gambar 7.12 : Grafik x2 + y2 = 9 dan (x−2)2

16+¿ ¿¿

Dari Contoh 7.10, perintah axis square menjadi grafik digambar dalam bingkai persegi

(catatan : default dari bingkai grafik adalah persegi panjang). Perhatikan juga bahwa kedua

grafik digambar pada jendela yang sama dengan menggunakan perintah hold on.

7.5. Grafik 2-D Khusus

MATLAB menyediakan beberapa fungsi yang berguna untuk membuat grafik 2-D

khusus. Beberapa fungsi tersebut adalah fill, polar, bar, state, stairs, hist, pie, compass,

feather, dan errorbar.

Fungsi fill berguna untuk mengisi warna kedalam suatu kurva tertutup dalam sistem

koordinat kartesius. Hasil program dari Contoh 7.11 tersebut di tunjukkan pada Gambar 7.13

berikut ini.

Gambar 7.13 Penggunaan fill untuk member warna kurva

Contoh 7.11:

%Contoh penggunaan fungsi fill

t = -3:0.1:3;

%data lingkaran

x = 2*cos(t);

y = 2*sin(t);

plot(x,y)

fill(x,y,’r’) %memberi warna merah lingkaran

%data ellips

x1 = 4*cos(t);

y1 = -2 + sin(t);

hold on

plot (x1,y1)

fill(x1,y1,’y’) %memberi warna kuning ellips

grid on

axis ([-5 5 -5 4])

text (-2,-4,’Gambar apakah ini ?’)

Fungsi polar berguna untuk menggambar grafik dalam sistem koordinasi polar.

Contoh 7.12:

%Grafik dalam koordinat polar

%Grafik kardioda dan lemniscates

%dibuat oleh BUDI DOREMI

Untuk contoh buku MATLAB

t = 0 : 0.1 : 2*pi;

r = 2 + 2 * cos(t); %kardioda

s = sqrt(4*cos(2*t)); %lemniscate

subplot(1,2,1) %mengaktifkan subjendela 1

polar(t,r) %menggambar kardioda

title(‘kardioda r = 2 + 2 cos(t)’)

subplot(1,2,2) %mengaktifkan subjendela 2

polar (t,s) %menggambar lemniscates

title(‘lemniscate s^2 = 4*cos(2*t)’)

Hasil program tersebut ditunjukkan dalam Gambar 7.14 berikut di bawah.

Dari sistem koordinat polar, MATLAB mempunyai fungsi yang berguna untuk

mengkonversi (mentransformasi) sistem polar ke sistem cartesius, yaitu fungsi pol2cart .

Jika t menyatakan sudut, r menyatakan sudut, r menyatakan radius dan koordinat polar,

kemudian x dan y adalah absis dan ordinat dari sistem cartesius, maka perintah :

[x,y] = pol2cart(t,r)

Plot(x,y)

akan menggambar grafik dengan data-data dalam sistem koordinat polar ke dalam koordinat

cartesius.

Gambar 7.14 : Kardioda dan Lemniscate

Andaikan akan di gambar sebuah rose (mawar) dengan persamaan r = sin(3t) cos(3t) pada

interval [0,2π]. Grafik rose pada koordinat polar seperti di tunjukkan pada Gambar 7.15

dibawah yang dihasilkan oleh perintah-perintah:

% grafik rose

t = 0:0.01:2*pi;

r = sin(3*t).*cos(3*t);

polar(t,r)

title (‘rose r = sin(3t) cos(3t)’)

Kemudian dengan menambahkan perintah-perintah :

[x,y] = pol2cart(t,r);

plot(x,y)

title(‘rose r = sin(3t) cos(3t)’)

menghasilkan gambar rose dalam koordinat kartesius seperti Gambar 7.16.

Gambar 7.15. Rose r = sin(3t) cos(3t) (Polar)

Gambar 7.16. Rose r = sin(3t) cos(3t) (Polar)

Contoh 7.13:

%menggambar fungsi polar pada sistem cartesius

%menggunakan fungsi pol2cart

%menggambar kardioda

tetha = 0:0.01:2*pi;

rho = 3 + 3 *cos(tetha);

[x,y] = pol2cart(tetha,rho);

plot(x,y)

pill(x,y,’r’)

xlabel(‘x’)

ylabel(‘y’)

title(‘kardioda r = 3 + 3 cos(t)’)

Gambar 7.17 Kardioda r= 3 + 3 cos (t)

Fungsi bar berguna untuk membuat bar chart atau dengan kata lain fungsi bar berguna

untuk membuat “persegi panjang” di bawah kurva dengan sumbu horizontal. Untuk lebih

jelasnya perhatikan Contoh 7.14 berikut ini.

Contoh 7.14:

%Contoh fungsi bar

x = linspace(0,2*pi,30);

y = sin(x);

bar(x,y) %membuat diagram bar

title(‘diagram bar dari y = sin(x)’)

Hasil dari diagram akan di tunjukkan di Gambar 7.18 di bawah ini.

e

Gambar 7.18. Diagram bar dari y = sin(x)

Fungsi stairs berguna untuk membuat diagram tangga, dalam hal ini hamper sama

dengan diagram bar tetapi tidak dilukiskan garis-garis di dalamnya. Gambar 7.19 merupakan

diagram tangga dari fungsi y = sin(x)

Contoh 7.15

%contoh fungsi stairs

x = linspace (0,2*pi,30);

y = sin(x);

stairs(x,y) %menggambar diagram tangga

title(‘diagram tangga dari y = sin(x)’)

Gambar 7.19: Diagram tangga dari y = sin(x)

Fungsi hist berguna untuk menggambar histogram dari distribusi statistika. Dalam hal

banyaknya data cukup besar, suatu histogram akan mempunyai bentuk mendekati kurva

normal. Contoh 7.16 berikut ini menggunakan fungsi hist untuk menggambar histogram,

seperti ditunjukkan Gambar 7.20.

Contoh 7.16:

%Contoh fungsi hist

x = -5 : 0.5 :5 ;

y= randn(10000,1); %10000 data secara random

hist(y,x) %menggambar histogram

title(‘histogram distribusi Gauss’)

Gambar 7.20 : histogram distribusi Gauss

B. Grafik 3D

8.1 Pengantar

MATLAB menyediakan fungsi-fungsi yang berguna untuk membuat grafik atau

gambar tiga dimensi. Beberapa fungsi berguna untuk menggambar garis pada dimensi tiga,

dan beberapa berguna menggambar permukaan.

Grafik 3-D yang digambar pada system kordinat cartesius mempunyai default :

1. Searah dengan titik pandang mata sebagai arah sumbu x,

2. Arah ke samping arah sumbu y, dan

3. Arah ke atas (tinggi) sebagai sumbu z.

Gambar 8.1 Sistem Koordinat Grafik 3-D

Pada Gambar 8.1, sudut orientasi terhadap bidang z = 0 disebut dengan sudut elevasi.

Sedangkan sudut orientasi terhadap bidang x = 0 disebut sudut azimuth. Dalam MATLAB

default grafik 3-D adalah sudut elevasi =300 dan sudut azimuth = −37.50. Jika dikehendaki,

user dapat mengubah besarnya sudut tersebut untuk mengubah sudut pandang terhadap grafik

3-D. Untuk mengubah sudut digunakan perintah : View ([a, e]), di mana a adalah azimuth

dan e adalah elevasi.

Beberapa perintah untuk membuat grafik 2-D dapat juga dipakai di grafik 3-D. Dalam

hal ini fungsi-fungsi seperti title, legend, text, xlabel, ylabel, zlabel, grid dapat dipakai untuk

membuat grafik 3-D. Demikian fungsi subplot juga dapat digunakan untuk grafik 3-D. Perlu

dipahami argument-argumen dari beberapa fungsi harus menyesuaikan dengan karakteristik

grafik pada ruang dimensi tiga. Misal fungsi text, yang berguna menempatkan ‘string’ pada

grafik, memerlukan tiga buah argument, yaitu nilai x, y, dan z. Jadi untuk perintah text (x, y,

z, ‘string’) akan menempatkan ‘string’ pada koordinat (x, y, z).

8.2 Menggunakan Fungsi plot3

Fungsi plot3 berguna menggambar garis pada ruang dimensi tiga. Perintah plot3 (x, y,

z) menggambar garis yang melalui titik-titik yang koordinatnya (x, y, z); di mana x, y, dan z

harus merupakan vector-vektor dengan banyaknya anggota sama.

Gambar 8.2 Grafik z = x + y, x = sin(t), y =sin(2t)

Contoh 8.1:

» contoh penggunaan fungsi plot3

» t = 0:0.1:2*pi;

» x = sin (t);

» y = sin (2*t);

» z = x + y;

» plot3 (x, y, z)

» grid on

» xlabel (‘x’), ylabel (‘y’), zlabel (‘z’)

» title (‘z = x + y, x = sin (t), y = sin (2t)’)

Perintah-perintah tersebut akan menghasilkan grafik sebagaimana ditunjukkan pada gambar

8.1 di atas.

Contoh 8.2 dibawah merupakan grafik z = x + y, dengan x = sin (t), y = sin (2t) untuk

0 ≤ t ≤ 2π di atas dengan beberapa suddut pandang yang berbeda.

Contoh 8.2:

%contoh penggunaan fungsi plot3

t = 0:0.1:2*pi;

x = sin (t); y = sin (2*t);

z = x + y;

%subjendela1, azimuth dan elevasi default

subplot (2, 2, 1)

plot3 (x, y, z), grid on

xlabel (‘sb-x’), ylabel (‘sb-y’), zlabel (‘sb-z’)

title (‘sudut pandang default’)

view (-37.5,30)

%subjendela2, azimuth +90, elevasi default

subplot(2, 2, 2)



title (‘sudut (azimuth +90)’)

view (-37.5+90,30)

%subjendela3, azimuth default, elevasi +30

subplot (2, 2, 3)



title (‘sudut (elevasi +30)’)

view (-37.5,60)

%subjendela4, tampil 2-D

subplot (2, 2, 4)



title (‘azimuth = 0, elevasi = 90’)

view (0,90)

Gambar 8.3 sudut pandang grafik x = x+y, x = sin(t), y =sin(2t)

8.3 Fungsi mesh

Fungsi mesh berguna untuk membuat permukaan jarring (mesh) pada ruang dimensi

tiga. Sebelum fungsi mesh digunakan, diperlukan fungsi meshgrid yang berguna untuk

membangun array dua dimensi. Contoh 8.3 di bawah menunjukkan penggunaan fungsi

meshgrid untuk membangun array dua dimensi.

Contoh 8.3:

%contoh penggunaan fungsi meshgrid

x = [2 1 -1]; %array x

y = [1 3 5 7]; %array y

[A B] = meshgrid (x,y)

A =

2 1 -1

2 1 -1

2 1 -1

2 1 -1

B =

1 1 1

3 3 3

5 5 5

7 7 7

Dari contoh 8.3 tersebut amati bahwa array x mempunyai 3 anggota dan array y

mempunyai 4 anggota. Perintah [A B] = meshgrid (x, y) menghasilkan dua buah matriks A

dan B sedemikian hingga : matriks A baris-barisnya merupakan array x, dan mempunyai 4

baris; sedangkan matriks B kolom-kolomnya adalah array y, dan mempunyai 3 kolom.

Fungsi mesh dapat digunakan menggambar permukaan jarring berdasarkan data-data

yang dihasilkan oleh fungsi meshgrid. Andaikan akan digambar ellipsoida z= 2 x2+ y2,

dengan -2 ≤ x ≤ 2, -2 ≤ y ≤ 2. Untuk menggambar jarring ellipsoida ini dapat dikerjakan

sebagaimana ditunjukkan contoh berikut ini.

Contoh 8.4:

%contoh penggunaan fungsi mesh

A = [-2 : 0.1 : 2];

B = [-2 : 0.1 : 2];

[x y] = meshgrid (a, b);

z = 2*x.^2 + y.^2;

mesh (x, y, z)


title (‘ellipsoida z = 2x.^2 + y.^2’)

Gambar 8.4 Jaring Ellipsoida z=2x2 + y2

8.4 Fungsi surf

Fungsi surf juga berguna untuk menggambar permukaan (surface). Jika fungsi mesh

menggambar berbentuk jaring, fungsi surf menggambar permukaan yang berbayang-bayang/

diarsir (shading). Bandingkan Gambar 8.5 di bawah ini yang dihasilkan oleh fungsi surf

dengan Gambar 8.4 di atas yang dihasilkan oleh fungsi mesh.

Contoh 8.5:

%contoh penggunaan fungsi surf

x = [-2 : 0.1 : 2];

y = [-2 : 0.1 : 2];

[a b] = meshgrid (x, y);

z = 2*a.^2 + b.^2;

mesh (a, b, z)


title (‘ellipsoida z = 2x.^2 + y.^2’)

Gambar 8.5 Jaring Ellipsoida z=2x2 + y2 dengan fungsi surf

Baik fungsi mesh maupun fungsi surf, dapat juga dipakai menggambar suatu

permukaan berdasarkan data-data yang dibangun oleh fungsi peaks dan sphere. Perintah

peaks (n) berarti memproduksi matriks berdimensi nxn. Dengan demikian kegunaan fungsi

peaks ini sama dengan fungsi meshgrid, yaitu sama-sama menyediakan data untuk membuat

gambar permukaan dari fungsi mesh dan surf.

Contoh 8.6:

%contoh fungsi peaks

[x, y, z] = peaks(25);

subplot (1, 2, 1)

mesh (x, y, z)

xlabel (‘x’), ylabel (‘y’), zlabel (‘z’)

title (‘menggunakan fungsi mesh’)

subplot (1, 2, 2)

surf (x, y, z)

xlabel (‘x’), ylabel (‘y’), zlabel (‘z’)

title (‘menggunkan fungsi surf’)

8.5. Kontur

Kontur atau contour digunakan untuk membuat garis kontur dari data 3D. Garis-garis

kontur ini dibuat dengan teknik interpolasi dari titik-titik terdekat. Pada MATLAB sendiri

disediakan beberapa fungsi yang dapat digunakan untuk membuat kontur suatu permukaan.

Perintah contour (Z) akan menggambarkan kontur dari matriks Z.

Gambar 8.6 Kontur

Contoh 8.7

%contoh penggunaan fungsi contour

subplot (2,1,1)

A = eye(3,3);

contour(A)

title(‘contour dari I = eye(3,3)’)

subplot(2,1,2)

B = peaks(25);

contour(B)

title(‘contour dari peaks (25)’)

Kontur pada Gambar 8.6 (atas) adalah kontur yang di hasilkan oleh matriks Identitas

beridentitas 3. Sedangkan kontur pada Gambar 8.6 (bawah) adalah kontur yang di hasilkan

oleh matriks persegi berdimensi 25.

Grafik yang dihasilkan dengan fungsi mesh dan fungsi surf dapat juga di gambar

bersama-sama dengan konturnya. Untuk itu digunakan fungsi mesch dan fungsi surfc guna

membuat grafik permukaan bersama-sama dengan konturnya. Berikut ini digambar

permukaan hiperboloida dan paraboloida, masing-masing bersama konturnya.

Contoh 8.8 :

%permukaan jaring hiperboloida dan konturnya

%menggunakan fungsi mesch

a = [-2:0.1:2];

b = a;

[x y] = meshgrid (a,b);

z = x.^2 – y.^2;

meshc (x,y,z)

title (‘jaring hiperboloida dan konturnya’)

xlabel(‘sumbu- x’), ylabel(‘sumbu- y’), zlabel(‘sumbu- z’)

Gambar 8.7 Jaringan hiperbola dan konturnya

Contoh 8.9

%permukaan jaring paraboloida dan konturnya

%menggunakan fungsi surfc

a = [-3:0.25:3];

b = a;

[x y] = meshgrid(a,b);

z = x.^2 – y+1;

surfc(x,y,z)

title (‘jaring paraboloida dan konturnya’)


Gambar 8.8 permukaan jaring hiperboloida dan konturnya

Contoh 8.10

%Contoh penggunaan fungsi surfc

[x y z] = peaks(35);

surfc(x,y,z)

xlabel(‘sb- x’), ylabel(‘sb- y’), zlabel(‘sb- z’)

title(‘peaks(35) dan konturnya’)

Gambar 8.9 Peaks(35) dan Konturnya

8.6. Fungsi Sphere dan Cylinder

Fungsi sphere berguna untuk menyiapkan data untuk membuat permukaan berbentuk

bulat. Perintah [x y z] = sphere(n) akan membuat tiga buah matriks persegi berdimensi nxn

sebagai data untuk membuat gambar. Berdasarkan data tersebut, dapat dibuat permukaan

berbentuk bulat yang dapat dilakukan dengan fungsi surf, surfc, mesh, atau fungsi meshc.

Contoh 8.11 :

%contoh fungsi sphere

[x y z] = sphere(9);

surfc(x,y,z)


title(‘permukaan sphere(9)’)

Grafik contour, mencetak kontur dari fungsi "peaks".

Gambar 8.10 . sphere(9)

Fungsi cylinder berguna untuk menyiapkan data untuk menggambar sebuah silinder.

Perintah [x y z] = cylinder(R, N) berarti menyiapkan data untuk sebuah silinder dengan jari-

jari adalah vektor R dan banyaknya titik yang mengelilingi silinder adalah N. Vektor jari- jari

R = [r1 r2], dimana r1 adalah jari- jari bidang alas silinder dan r2 adalah jari- jari bidang atas

silinder. Nilai default dari R = [1 1] dan N = 20. Sedangkan perintah [x y z] = cylinder(R)

berarti menyiapkan data untuk menggambar silinder dengan jari- jari R. Selanjutnya utnuk

menggambar silindernya dapat digunakan fungsi surf atau fungsi mesh.

Contoh 8.12 :

%penggunaan fungsi cylinder

%menyiapkan data menggambar silinder

[x y z] = cylinder(13)

surf (x,y,z)

title(‘silinder r=’)


Gambar 8.11 Silinder dengan R = 13

Dengan melakukan manipulasi pada vektor jari- jari R, fungsi cylinder dapat

digunakan menyiapkan data untuk menggambar kerucut atau kerucut terpancung.

Contoh 10 :

%penggunaan fungsi cylinder

%menyiapkan data menggambar kerucut

%dengan modifikasi vektor jari- jari R

N = 17;

subplot(1,2,1)

R = [10 0];

[x y z] = cylinder (R, N);

surf (x,y,z)

title (‘kerucut’)


subplot(1,2,2)

R = [10 4]; %jari- jari kerucut terpancung

[x y z] = cylinder (R, N);

surf (x,y,z)

title (‘kerucut terpancung’)


Gambar 8.12 Kerucut dan Kerucut terpancung

8.7. Mengatur Warna

Pengaturan pemakaian warna antara grafik 2-D dengan grafik 3-D sangat berbeda.

Fungsi- fungsi yang berhubungan dengan pengaturan warna di antaranya adalah shadding

dan colormap. Fungsi shadding berguna untuk memberikan arsiran pada permukaan gambar

mempunyai tiga pilihan perintah, yaitu :

a. Shadding flat, berguna untuk memberikan arsiran datar (flat).

b. Shadding interp, berguna untuk memberikan arsiran terinterpolasi atau tambahan

arsiran.

c. Shadding faceted, berguna memberikan arsiran (biasa) pada permukaan gambar

(default MATLAB).

Fungsi colormap berguna untuk memberikan warna pada permukaan gambar. Sedangkan

warna- warna yang disediakan oleh MATLAB untuk grafik 3-D seperti ditunjukkan pada

tabel 8.1 berikut ini.

Tabel 8.1. Warna untuk Grafik 3-D

No Kode Keterangan

1 Hsv Hue- saturation- value (warna awal dan akhir merah); merah- merah

2 Hot Hitam- merah- kuning- putih

3 Cool Arsiran dari cyan dan magenta

4 Pink Pink terarsir pastel

5 Gray Abu- abu bergradasi

6 Bone Abu- abu bergradasi dengan sedikit biru

7 Jet Variasi hsv; biru- merah

8 Copper Warna tembaga

9 Prism Warna prisma, merah, orange, kuning, hijau, dan biru- violet

bergantian

10 Flag Merah, putih, biru, dan hitam bergantian

11 Autum Bayang- bayang merah dan kuning

12 Spring Bayang- bayang magenta dan kuning

13 Winter Bayang- bayang biru dan hijau

14 Summer Bayang- bayang hijau dan kuning

Berikut ini digambar hiperboloida pada interval -3≤ x≤ 3 dan -3≤ y≤ 3 dan juga

konturnya. Hiperboloida diberi warna jet dan tampil berarsir.

Contoh 8.14 :

%contoh penggunaan warna dan shadding

%pada hiperboloida

a = -3:0.2:3;

b = a;

[x y] = meshgrid (a, b);

z = x^2 – y^2;

surfc (x,y,z)

shading interp

colormap(jet)

xlabel(‘sumbu- x’), ylabel(‘sumbu- y’), zlabel(‘sumbu- z’) title (‘hiperboloida dengan warna jet’)

Gambar 8.13 hiperbola z = x2-y2

Contoh 8.13 :

%contoh penggunaan warna dan shading


surfc(x,y,z)

shading interp

colormap(hsv)


title (‘peaks(47) warna hsv’)

axis off

Gambar 8.14 peaks(47) warna hsv

Catatan : untuk fungsi plot 3 dan contour pengaturan warnanya sebagaimana pengaturan

warna untuk grafik 2-D.

8.8. Gambar Animasi

Salah satu fasilitas yang dimiliki MATLAB pada grafik 3- D adalah fungsi- fungsi

untuk membuat animasi, yaitu moviein, getframe, dan movie. Fungsi moviein untuk

membuat matrik frame yang berguna menyimpan movie frame. fungsi getframe untuk yang

ada. untuk mengambil gambar, sedangkan fungsi movie untuk memainkan (menggerakkan)

gambar- gambar yang ada. Untuk MATLAB Release 5.3, perintah moviein dapat diabaikan

(dapat tidak dipakai). Secara umum perintah- perintah untuk membuat gambar animasi adalah

sebagai berikut :

M = moviein(n);

for j = 1:n

blok_perintah_menggambar

M(:,j) = getframe;

end

movie(M)

Contoh berikut ini merupakan gambar animasi dari permukaan yang dilihat dari

berbagai sudut, dengan jalan mengbah sudut azimuth dan sudut elevasi.

Contoh 8.16 : (m- file)

%membuat gambar animasi

%gambar dibuat dengan mengubah sudut pandang

%mengubah nilai azimuth dan elevasi


surf (x,y,z)

shading interp

axis off

colormap(jet)

m = moviein(25);

for i = 1:25

view(-37.5+20*i, 30+10*i);

m(:,i) = getframe;

pause(1)

end

movie(m)

DAFTAR PUSTAKA

Murtiyasa, Budi , 2002, Menyelesaikan Persoalan Matematika Dengan MATLAB, Surakarta:

Universitas Muhammadiyah Surakarta.

Grafik_2D_&_3D_(Kelompok-3)

Documents

Transcript of Grafik_2D_&_3D_(Kelompok-3)