GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN...

GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK

PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU

DALAM PROSES PRODUKSI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Ratna Sari

103114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK

PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU

DALAM PROSES PRODUKSI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Ratna Sari

103114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2014


ii


iii


iv


v

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“No GAIN without PAIN”

Skripsi ini aku persembahkan untuk:

Bapak dan ibu tercinta

Kakakku Bagus Saputro, adikku Adi Saputro, dan keponakanku

Denisa

Seluruh anggota keluarga besarku

Febri Ariwibawa yang kusayang

Semua sahabat-sahabatku yang selalu menemani dan mendukung

setiap langkahku


vi


vii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, taufik dan

hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi ini dapat berjalan lancar. Sholawat dan

salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan

para sahabatnya, Amin.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

hambatan dan kesulitan, namun berkat bantuan dari berbagai pihak maka

penyusunan skripsi ini dapat berjalan dengan baik. Untuk itu penulis

mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., yang dengan penuh kesabaran dan

keikhlasan dalam membimbing, mengarahkan dan selalu memotivasi saya

dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata

Dharma.

3. Teman-teman Prodi Matematika angkatan 2010 yang bersama-sama

berjuang demi sebuah kelulusan.

4. Kedua orang tuaku yang selalu sabar menghadapi tingkah laku putrinya.

5. Adikku si gendut Adi Saputro yang selalu menyayangiku.

6. Febriku sayang yang telah sabar membantu dan memberikan semangat.

7. Semua sahabat-sahabatku yang sedang berjuang bersama-sama meraih

cita-cita.

8. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.


viii

Segala kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT, semoga penulisan

skripsi ini dapat memberikan tambahan pengetahuan bagi pembaca, mohon maaf

atas segala kekurangan, Terima kasih.

Yogyakarta, 12 Agustus 2014

Penulis

Ratna Sari


ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii

HALAMAN PERNYATAAN PUBLIKASI........................................................ iv

HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN ................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS .............................. vi

HALAMAN KATA PENGANTAR ................................................................... vii

HALAMAN DAFTAR ISI.................................................................................. ix

HALAMAN DAFTAR LAMPIRAN ................................................................. xii

ABSTRAK ...................................................................................................... xiii

ABSTRACT .................................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah .......................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................... 5

C. Batasan Masalah .................................................................... 5

D. Tujuan Penulisan .................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ................................................................... 6

F. Metode Penulisan .................................................................... 6

G. Sistematika Penulisan ............................................................. 6

BAB II LANDASAN TEORI .................................................................... 9

A. Grafik Pengendali ................................................................... 9

1. Grafik Pengendali Variabel ............................................ 13

2. Grafik Pengendali dan S ............................................ 14

B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 19

C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat .............. 22

1. Nilai Harapan Variabel Random .................................... 22

2. Variansi Variabel Random ............................................. 22


x

3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random ........................ 22

4. Independensi Variabel Random ..................................... 23

5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika

Univariat ....................................................................... 24

D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat .......... 27

1. Vektor Random dan Matriks Random ............................ 27

2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi ..................... 28

3. Menyekat Matriks Kovariansi ........................................ 31

4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk

Kombinasi Linear Variabel Random ............................. 33

5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks

Kovariansi Sampel ........................................................ 36

6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan

Matriks Kovariansi Sampel ........................................... 38

7. Variansi yang Diperumum ............................................. 43

8. Distribusi Normal Multivariat ....................................... 44

9. Fungsi Densitas Normal Bivariat .................................. 46

E. Metode Fungsi Pembangkit Momen ..................................... 48

F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi

Normal ................................................................................ 53

BAB III T2 HOTELLING ........................................................................ 58

A. Distribusi T2 Hotelling ........................................................ 58

B. Daerah Kepercayaan Elips ................................................... 59

C. Grafik Pengendali T2 Hotelling ............................................ 64

BAB IV APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING ............. 71

A. Gambaran Umum Perusahaan............................................... 71

B. Proses Produksi ................................................................... 72

C. Penerapan Pengendalian Mutu Perusahaan ........................... 73

D. Analisis Grafik Pengendali .................................................. 75

1. Grafik Pengendali pH dan Kekeruhan Air ..................... 75

2. Grafik Pengendali Kekeruhan Air dan TDS ................... 77

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN .................................................. 80


xi

A. Kesimpulan .......................................................................... 80

B. Saran ............................................................................. 81

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 82

LAMPIRAN ...................................................................................................... 83


xii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Faktor-Faktor untuk Menentukan Grafik Pengendali Variabel ....... 83

Lampiran 2. Distribusi, Fungsi Probabilitas, Rata-Rata, Variansi dan Fungsi

Pembangkit Momen ...................................................................... 84

Lampiran 3. Titik Presentase Distribusi F ......................................................... 86

Lampiran 4. Total pemakaian air dan total produksiAMDK pada bulan Januari

hingga April 2006 ......................................................................... 91

Lampiran 5. Proses Produksi AMDK PT. SBQUA ............................................ 92

Lampiran 6. Tabel Perhitungan pH dan Kekeruhan Air ..................................... 93

Lampiran 7. Tabel Perhitungan Kekeruhan Air dan TDS ................................... 94

Lampiran 8. Program MATLAB untuk Daerah Kepercayaan Elips .................... 95


xiii

ABSTRAK

GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN

PENGENDALIAN MUTU DALAM PROSES PRODUKSI

Ratna Sari

103114013

Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta

2014

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui landasan teori matematis

dari grafik pengendali T2 Hotelling dan mengaplikasikan metode T

2 Hotelling

pada produk yang terdiri dari dua karakteristik mutu. Untuk memahami grafik

pengendali T2 Hotelling diperlukan pemahaman tentang aljabar linear yaitu nilai

dan vektor eigen, nilai harapan dan variansi dalam statistika univariat dan

multivariat, distribusi sampling yang berhubungan dengan distribusi normal, dan

distribusi T2 Hotelling.

Grafik pengendali T2 Hotelling dapat digunakan untuk menganalisis apakah

suatu proses terkendali atau tidak berdasarkan variabel bivariat yang relevan.

Berdasarkan hasil analisis yang diperoleh pada PT. Sinar Bogor QUA (PT.

SBQUA), dapat disimpulkan bahwa aplikasi grafik pengendali T2 Hotelling

Bivariat untuk karakteristik mutu pH dan kekeruhan air dalam tank penampungan

bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 5, 14,

dan 16 berada diluar batas pengendali. Sedangkan pada grafik pengendali untuk

karakteristik mutu kekeruhan air dan TDS dalam tank penampungan bahan baku

menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 3, 4, dan 13 berada

diluar batas pengendali.


xiv

ABSTRACT

T2 HOTELLING CONTROL CHART FOR MONITORING AND

QUALITY CONTROL IN THE PRODUCTION PROCESS

Ratna Sari

103114013

Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta

2014

This research aims to understand and apply the foundations of

mathematical theory of T2 Hotelling Control Chart on the product consists of two

quality characteristics. To understand the T2 Hotelling Control Chart it need linear

algebra, eigenvectors and eigenvalues, expectations and variance in univariate and

multivariate statistics, sampling distributions related to the normal distribution,

and the distribution of T2 Hotelling. T

2 Hotelling control chart can be used to

analyze whether a process is under control or not based on the relevant variables

bivariat. Based on the data analysis at PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA), it can

be concluded that the application of T2 Hotelling Control Chart Bivariate quality

characteristics for pH and turbidity of the water in the tank raw material shelter

indicate uncontrolled process due to sample number 5, 14, and 16 which are

outside of the control limit. While the characteristics of the quality of water

turbidity and TDS in tanks raw material shelter indicate uncontrolled process

because the sample number 3, 4, and 13 are outside of the control limit.


1

BAB I

PENDAHULUAN

I. LATAR BELAKANG MASALAH

Dewasa ini orang mengenal barang-barang dan jasa yang beraneka ragam

macamnya untuk memenuhi kebutuhannya. Barang dan jasa tersebut dibuat atau di

produksi untuk kebutuhan manusia. Produksi barang dan jasa tersebut menggunakan

faktor-faktor produksi alam, tenaga kerja, modal dan teknologi. Pada hakekatnya

produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu dan tempat

atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi pemenuhan kebutuhan

manusia. Proses perubahan bentuk dan faktor-faktor produksi tersebut disebut proses

produksi.

Dalam era modern seperti saat ini, persaingan dalam dunia industri sangatlah

ketat. Perkembangan teknologi canggih dari tahun ketahun menuntut suatu hasil

produksi dari suatu perusahaan dalam hal ketelitian pekerjaan, ketepatan waktu

produksi, standar produksi, dan persaingan di pasar internasional. Oleh sebab itu

masalah mutu menjadi hal yang penting untuk diperhatikan oleh perusahaan.

Mutu merupakan suatu unsur yang sangat mutlak pada setiap produk atau jasa

yang dihasilkan oleh suatu perusahaan untuk menghasilkan suatu produksi yang

maksimal dengan mutu yang tinggi serta terjangkau oleh konsumen. Pada

kenyataannya masih banyak terdapat produk atau jasa yang tidak memenuhi standar


2

atau mengalami kegagalan dalam proses produksinya. Penting bagi setiap perusahaan

untuk memperhatikan produksi mulai dari pengadaan bahan sampai dengan proses

produksi selesai.

Pengendalian mutu berfungsi untuk menjaga agar suatu sistem tetap efektif

dalam memperbaiki mutu produk atau jasa yang dihasilkan oleh perusahaan, sehingga

produksi dan pemasaran dapat berada pada tingkat yang paling ekonomis, dengan

demikian pelanggan selalu mendapatkan kepuasan. Untuk mengidentifikasi mutu

yang ingin dicapai dan untuk melihat tingkat kepuasan konsumen terhadap barang

yang dihasilkan, maka statistika pengendalian mutu sangat penting dipelajari untuk

melihat perkembangan mutu barang yang diproduksi. Dengan demikian, perusahaan

dapat meningkatkan mutu suatu barang dengan lebih baik lagi.

PT. I merupakan salah satu perusahaan yang memproduksi kertas dengan

orientasi mutu ekspor. Oleh sebab itu, mutu produk menjadi perhatian utama

perusahaan untuk menjaga loyalitas konsumen terhadap perusahaan dan dengan

demikian meningkatkan dominasi pasar. Salah satu produk yang dihasilkan oleh PT. I

adalah kertas memo. Mutu kertas memo ditentukan oleh beberapa karakteristik,

diantaranya yaitu ketebalan kertas, penyebaran warna, dan kerapatan kertas.

Perusahaan telah menentukan batas spesifikasi untuk masing-masing karakteristik

tersebut. Produk dianggap cacat atau tidak memenuhi standar apabila terdapat

setidaknya satu dari karakteristik tersebut tidak berada dalam interval sepesifikasi

yang telah ditentukan perusahaan.


3

Setiap produk memiliki sejumlah unsur yang menggambarkan pikiran pengguna

tentang mutu. Unsur-unsur ini biasanya disebut karakteristik mutu. Terkadang disebut

juga critical-to-quality (CTQ) characteristics. Karakteristik mutu terdiri dari

beberapa jenis, yaitu:

1. Fisik: panjang, berat, tegangan, kekentalan

2. Indera: ras, penampilan, warna

3. Orientasi waktu: tahan uji, daya tahan, berguna

Mutu keteknikan adalah kumpulan cara kerja, managerial, dan aktivitas

keteknikan yang perusahaan gunakan untuk memastikan karakteristik mutu dari

produk berada pada interval yang ditentukan dan faktor-faktor lain yang ada disekitar

produk tersebut berada pada tingkat yang minimal.

Statistika adalah kumpulan teknik pengambilan keputusan tentang proses atau

populasi berdasarkan pada suatu analisis informasi yang terkandung dalam suatu

sampel dari populasi tersebut. Metode statistika juga memainkan peranan penting

dalam pengendalian dan peningkatan mutu. Metode statistika memberikan cara-cara

pokok dalam pengambilan sampel produk, pengujian serta evaluasinya, dan informasi

dalam data itu digunakan untuk mengendalikan dan meningkatkan proses pembuatan.

Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik pengendali

(control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang

digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menduga parameter suatu


4

proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk menentukan kemampuan

proses.

Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali

dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali

multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik

mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat digunakan untuk

mengukur dua atau lebih karakteristik mutu.

Secara umum grafik pengendali dibedakan menjadi 2 macam, yaitu grafik

pengendali untuk variabel dan grafik pengendali untuk atribut. Salah satu pendekatan

yang digunakan dalam memantau mutu produk pada kasus multivariat adalah dengan

menggunakan metode grafik pengendali T2

Hotelling. Sebagai contoh jika kita akan

menguji salah satu produk dari PT. I yaitu kertas memo, ada tiga karakteristik yang

harus dipenuhi, yaitu ketebalan kertas (1

x ), penyebaran warna (2

x ), dan kerapatan

kertas (3

x ) maka

3

2

1

x

x

x

X dapat dijadikan sebagai statistik uji. Statistik 2T disebut

2T Hotelling untuk menghormati Harold Hotelling, seorang pelopor analisis

multivariat yang pertama kali menghasilkan distribusi sampling.


5

Pada tugas akhir ini akan dibahas bagaimana menggunakan grafik pengendali 2T

Hotelling untuk pemantauan dan pengendalian mutu dalam proses produksi.

II. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka dapat dirumuskan permasalahan:

1. Bagaimana landasan matematis dari grafik pengendali 2T Hotelling ?

2. Bagaimana mengaplikasikan grafik pengendali T2 Hotelling untuk mengendalikan

mutu produk yang terdiri dari beberapa karakteristik mutu?

III. BATASAN MASALAH

Batasan permasalahnya yaitu:

1. Grafik pengendali yang digunakan adalah Grafik pengendali variabel X dan R

2. Grafik pengendali T2 Hotelling digunakan untuk mengendalikan produk yang

terdiri dari dua karakteristik mutu.

3. Dasar-dasar teori yang dibahas hanya materi-materi yang berkaitan langsung

dengan grafik pengendali T2 Hotelling.

IV. TUJUAN PENULISAN

1. Mengetahui landasan teori matematis dari grafik pengendali 2T Hotelling.

2. Mengaplikasikan metode T2 Hotelling pada produk yang terdiri dari dua

karakteristik mutu.


6

V. MANFAAT PENULISAN

Tugas akhir ini diharapkan dapat bermanfaat bagi:

1. Penulis

Penelitian ini merupakan kesempatan yang sangat bermanfaat untuk menambah

pengetahuan dan pengalaman yang berharga dalam menerapkan teori-teori yang

pernah didapatkan ketika kuliah ke dalam kondisi yang nyata.

2. Perusahaan

Penelitian ini diharapkan dapat digunakan oleh perusahaan-perusahaan sebagai

referensi tambahan pada evaluasi proses pemantauan dan pengendalian mutu yang

selanjutnya dapat dipergunakan untuk mengambil tindak lanjut.

3. Universitas Sanata Dharma

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan pengetahuan dan

informasi bagi peneliti lain.

VI. METODE PENULISAN

Pada penelitian ini akan digunakan metode studi pustaka.

VII. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah


7

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

H. Daftar Pustaka

BAB II : LANDASAN TEORI

A. Grafik Pengendali

1. Grafik Pengendali Variabel

2. Grafik Pengendali X dan S

B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat

1. Nilai Harapan Variabel Random

2. Variansi Variabel Random

3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random

4. Independensi Variabel Random

5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi dalam Statistika

Univariat

D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat

1. Vektor dan Matriks Random

2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi

3. Menyekat Matriks Kovariansi


8

4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi

Linear Variabel Random

5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi

Sampel

6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks

Kovariansi Sampel

7. Variansi yang Diperumum

8. Distribusi Normal Multivariat

9. Fungsi Densitas Normal Bivariat

E. Metode Fungsi Pembangkit Momen

F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal

BAB III : T2 HOTELLING

A. Distribusi T2 Hotelling

B. Grafik Pengendali T2 Hotelling

BAB IV : APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING

BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN


9

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Grafik Pengendali

Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik

pengendali (control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses

pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menduga

parameter suatu proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk

menentukan kemampuan proses.

Gambar 2.1. Grafik pengendali

Bentuk dasar grafik pengendali pada Gambar 2.1 berupa grafik karakteristik

mutu yang telah diukur terhadap nomor atau waktu sampling. Grafik tersebut

memuat garis tengah yang merupakan nilai rata-rata karakteristik mutu, Batas


10

Pengendali Atas (BPA), dan Batas Pengendali Bawah (BPB). Proses dianggap

terkendali apabila semua titik-titik sampel berada diantara batas pengendali dan

tidak diperlukan tindakan apapun, namun apabila ada satu titik terletak di luar

batas pengendali maka proses tersebut dikatakan tidak terkendali dan diperlukan

tindakan penyidikan dan perbaikan untuk mendapatkan kemudian menyingkirkan

sebab atau sebab dugaan yang menyebabkan proses tersebut tidak terkendali.

Proses juga dikatakan tidak terkendali apabila titik-titik sampel tersebut

berpola secara sistematik atau tak random meskipun semua titik terletak di dalam

batas pengendali. Misalnya apabila 13 dari 15 titik terakhir terletak diantara garis

tengah dan BPA dan hanya dua dari titik-titik ini terletak di antara garis tengah

dan BPB, maka diduga bahwa ada sesuatu yang tidak terkendali. Proses tersebut

terkendali apabila semua titik-titik pada grafik memiliki pola yang pada dasarnya

random. Namun metode melihat pola ini tidak dapat diterapkan sebagai penolong

dalam menyidik keadaan yang tidak terkendali. Biasanya ada alasan mengapa pola

tak random tertentu tampak dalam grafik pengendali.

Buku pedoman Western Electric (1956) mengusulkan sekumpulan aturan

pengambilan keputusan untuk penyidikan pola tak random pada grafik

pengendali. Buku tersebut mengusulkan bahwa proses tak terkendali apabila

memenuhi salah satu dari hal-hal berikut:

1. Satu titik jatuh di luar batas pengendali 3-sigma.

2. Dua dari tiga titik yang berurutan jatuh di luar batas peringatan 2-sigma.


11

3. Empat dari lima titik yang berurutan jatuh pada jarak 1-sigma atau lebih jauh

dari garis tengah.

4. Delapan titik yang berurutan jatuh pada satu sisi dari garis tengah.

Aturan-aturan tersebut berlaku pada satu sisi antara garis tengah dan batas

pengendali pada satu waktu. Aturan-aturan ini sangat efektif dalam praktek untuk

mempertinggi kepekaan grafik pengendali. Terdapat juga beberapa kriteria yang

digunakan secara luas dalam praktek, ketika kita memeriksa grafik pengendali dan

menyimpulkan bahwa proses tersebut tidak terkendali apabila dipenuhi salah satu

atau beberapa kriteria dibawah.

1. Satu atau beberapa titik berada di luar batas pengendali.

2. Suatu siklus dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam

siklus dapat berbentuk siklus naik atau turun, siklus di atas atau di bawah garis

tengah, atau siklus di atas atau dibawah median.

3. Dua atau tiga titik yang berurutan berada di luar batas peringatan 2-sigma,

tetapi masih di dalam batas pengendali.

4. Empat atau lima titik yang berurutan berada di luar batas 1-sigma.

5. Pola tak biasa atau tak random dalam data.

6. Satu atau beberapa titik berada di dekat satu batas peringatan atau pengendali.

Misalkan w adalah statistik sampel yang mengukur suatu karakteristik mutu,

dan adalah rata-rata w dan standar deviasi w, maka model umum untuk

grafik pengendali adalah


12

ww

w

ww

k

k

BPB

Tengah Garis

BPA

(2.1)

dengan k adalah “jarak” batas-batas pengendali dari garis tengah yang

dinyatakan dalam unit standar deviasi. Teori ini pertama kali ditemukan oleh Dr.

Walter A. Shewhart, dan grafik pengendali yang dikembangkan menurut asas-asas

ini seringkali dinamakan Grafik Pengendali Shewhart.

Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali

dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali

multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu

karakteristik mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat

digunakan untuk mengukur dua atau lebih karakteristik mutu.

Grafik pengendali dapat diklasifikasikan ke dalam dua tipe umum. Apabila

karakteristik mutu dapat diukur dan dinyatakan dalam suatu bilangan, grafik

pengendalinya dinamakan grafik pengendali variabel. Dalam hal seperti itu, tepat

sekali menggambarkan karakteristik mutu dengan ukuran tengah dan ukuran

variabilitas. Grafik pengendali untuk nilai tengah dan variabilitas bersama-sama

dinamakan grafik pengendali variabel. Grafik merupakan grafik yang paling

luas digunakan untuk pengendalian nilai tengah, sedangkan grafik yang

berdasarkan rentang sampel atau standar deviasi sampel digunakan untuk

mengendalikan variabilitas proses. Banyak karakteristik mutu tidak dapat tepat

digambarkan secara numerik. Dalam beberapa kasus, kita biasanya

menggolongkan setiap produk untuk memeriksanya apakah sesuai atau tidak


13

dengan spesifikasi karakeristik mutu. Istilah “cacat” atau “tidak cacat” sering

digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi produk tersebut. Kedua istilah

tersebut dapat diklasifikasikan ke dalam variabel khusus yang biner. Grafik untuk

karakteristik mutu seperti ini dinamakan grafik pengendali sifat (atribut).

2.1.1 Grafik Pengendali Variabel

Banyak karakteristik mutu yang dapat dinyatakan dalam suatu bilangan.

Misalnya, diameter ban dapat diukur dengan mikrometer dan dinyatakan dalam

centimeter. Suatu karakteristik mutu yang dapat diukur seperti dimensi, berat, atau

volume, dinamakan variabel.

Apabila yang diukur adalah karakteristik mutu (variabel), maka perlu

mengendalikan nilai rata-rata karakteristik mutu dan variabilitasnya. Pengendalian

rata-rata tingkat mutu biasanya dengan grafik pengendali rata-rata atau grafik .

Variabilitas atau pemencaran proses dapat dikendalikan dengan grafik pengendali

untuk standar deviasi, yaitu grafik S, atau grafik pengendali untuk rentang, yaitu

grafik R.

Sangat penting untuk memelihara pengendalian rata-rata dan variabilitas

proses, Gambar 2.2 menunjukkan hasil suatu proses produksi. Dalam Gambar

2.2(a) rata-rata dan standar deviasi terkendali pada nilai nominalnya ( dan

), karena itu kebanyakan proses jatuh dalam batas spesifikasi. Namun dalam

Gambar 2.2(b) telah bergeser ke nilai , mengakibatkan produk yang


14

tidak sesuai lebih tinggi. Dalam Gambar 2.2(c) standar deviasi proses telah

bergeser ke suatu nilai . Hal ini mengakibatkan proses yang tidak

terkendali lebih tinggi, meskipun masih pada nilai nominal.

(a)

(b) (c)

Gambar 2.2 Perlunya mengendalikan rata-rata proses dan variabilitas proses

2.1.2 Grafik Pengendali dan S

Andaikan karakteristik mutu berdistribusi Normal dengan rata-rata dan

standar deviasi yang diketahui. Jika merupakan sampel berukuran

n, maka rata-rata sampelnya adalah


15

n

xxxX

n

21

menurut Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III, dan Richard L. Scheaffer

(2008) bahwa X berdistribusi Normal dengan rata-rata dan standar deviasi

. Setiap rata-rata sampel akan berada di antara

nZZ

x

2/2/ (2.2a)

dan

nZZ

x

2/2/ (2.2b)

dengan probabilitas 1 .

Dengan demikian, jika dan diketahui, persamaan (2-2a) dan (2-2b) dapat

digunakan sebagai BPA dan BPB pada grafik pengendali rata-rata sampel. Nilai

2/Z diganti dengan 3, sehingga digunakan batas 3-sigma. Jika suatu rata-rata

sampel berada di luar batas ini, maka rata-rata proses tidak lagi sama dengan .

Dalam praktek, biasanya dan tidak diketahui. Oleh karena itu nilai-nilai

tersebut harus diduga dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses

tersebut diduga terkendali. Dugaan ini harus didasarkan pada paling sedikit 20

sampai 25 sampel. Misalkan tersedia m sampel, masing-masing memuat n

observasi pada karakteristik mutu tersebut dan misalkan adalah rata-


16

rata tiap sampel. Maka penduga terbaik untuk rata-rata proses adalah rata-rata

keseluruhan, yaitu

m

xxxX

m

21 (2.3)

Jadi X akan digunakan sebagai garis tengah grafik x itu.

Jika adalah variansi dari distribusi probabilitas yang tidak diketahui,

maka penduga tak bias untuk adalah variansi sampel

1

)(

1

2

2

n

xx

S

n

i

i

namun, standar deviasi sampel S bukan penduga tak bias untuk . Jika distribusi

yang melandasi adalah Normal, sebenarnya S menduga 4

c dengan 4

c adalah

suatu konstanta yang bergantung pada ukuran sampel n. Selanjutnya menurut

Douglas C. Montgomery, bahwa dalam Pengantar Pengendalian Mutu Statistik

(1990), standar deviasi S adalah 2

41 c dengan

34

)1(44

n

nc . Informasi ini

dapat digunakan untuk membuat grafik pengendali dan S.

Karena E(S)= 4

c , garis tengah grafik tersebut adalah 4

c . Batas

pengendali 3-sigma bagi S adalah

2

44

2

44

13

13

ccBPB

ccBPA

(2.4)


17

didefinisikan konstanta untuk

2

44513 ccB (2.5a)

dan

2

44613 ccB (2.5b)

dengan demikian batas pengendali untuk grafik S menjadi

5

4

6

tengahGaris

BBPB

c

BBPA

(2.6)

Nilai-nilai 654dan ,, BBc ditabelkan dalam Tabel Lampiran 1 untuk berbagai

himpunan bagian. Parameter grafik x adalah

ABPB

ABPA

tengahGaris (2.7)

dengan A = n/3 .

Jika nilai standar bagi tidak diberikan, maka diduga dengan data yang

lalu. Andaikan ada m sampel awal masing-masing berukuran n, dan misalkan iS

adalah standar deviasi sampel ke-i. Rata-rata m standar deviasi tersebut adalah

m

i

iS

mS

1

1


18

Statistik 4

/ cS adalah penduga tak bias untuk . Dengan demikian, parameter

grafik S menjadi

2

4

4

2

4

4

13

tengahGaris

13

cc

SSBPB

S

cc

SSBPA

(2.8)

Biasanya didefinisikan konstanta

2

4

4

31

31 c

cB (2.9a)

dan

2

4

4

41

31 c

cB (2.9b)

Dengan demikian parameter grafik S dapat ditulis sebagai

SBBPB

S

SBBPA

3

4

tengahGaris

(2.10)

Perhatikan bahwa 464/ cBB dan 453

/ cBB .

Apabila 4/ cS digunakan untuk menduga , batas pengendali grafik

dapat didefinisikan sebagai


19

nc

SxBPB

x

nc

SxBPA

4

4

3

tengahGaris

3

(2.11)

Andaikan konstanta )/(343

ncA . Maka parameter grafik menjadi

SAxBPB

x

SAxBPA

3

3

tengahGaris

(2.12)

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.2.1 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Andaikan A adalah suatu

matriks yang berukuran . Skalar disebut sebagai nilai eigen atau nilai

karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = x . Vektor

x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A yang bersesuaian dengan

.

Contoh 2.2.1

Andaikan

11

24A dan

1

2x

Karena

xx 31

23

3

6

1

2

11

24

A


20

dari persamaan terlihat bahwa 3 adalah nilai eigen dari A dan ]'1,2[x

adalah vektor eigen dari . Sebarang kelipatan taknol dari x akan menjadi vektor

eigen, karena

)()( xxxx AA

Jadi, sebagai contoh, [4,2]’ juga merupakan vektor eigen dari 3 .

2

43

6

12

2

4

11

24

Persamaan Ax = x dapat dituliskan dalam bentuk

0x IA (2.13)

Jadi adalah nilai eigen dari A jika hanya jika (2.13) memiliki penyelesaian tak

trivial. Persamaan (2.13) akan memiliki peyelesaian tak trivial jika hanya jika

IA singular atau

0det IA (2.14)

Jika determinan pada (2.14) diuraikan, akan didapatkan suatu polinom berderajat

ke-n dalam peubah .

IAp det )(

Polinom ini disebut polinom karakteristik dan (2.14) disebut persamaan

karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen

dari A.


21

Contoh 2.2.2

Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks

23

23A

Persamaan karakteristiknya adalah

023

23

atau 012

2

Nilai-nilai eigen dari A adalah 41 dan 3

2 . Untuk mencari vektor eigen

dari 41 , harus ditentukan kernel (ruang nol) dari IA 4 .

63

214 IA

Dengan menyelesaikan 0x IA 4 , didapatkan

22

2 ,xxx

Jadi semua kelipatan taknol dari [2,1]’ adalah vektor eigen dari 1

. Dengan cara

yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen dari 2

harus diselesaikan

0x IA 3 . Vektor eigen dari 2

adalah semua kelipatan taknol dari [-1,3]’.


22

2.3 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat

2.3.1 Nilai Harapan Variabel Random

Definisi 2.3.1 Nilai harapan suatu variabel random X didefinisikan oleh

)( asprobabilit fungsidengan

diskret random variabel jika )(

)( densitas fungsidengan

kontinu random variabel jika )(

)(

xp

Xxpx

xf

Xdxxfx

XE

x

(2.15)

2.3.2 Variansi Variabel Random

Definisi 2.3.2 Variansi dari suatu variabel random X dengan E(X) = μ adalah

nilai harapan dari 2

X . Yaitu

2)( XEXVar (2.16)

2.3.3 Kovariansi Dari Dua Variabel Random

Definisi 2.3.3 Jika X dan Y adalah variabel random dengan distribusi

probabilitas bersama f (x,y), Kovariansi dari X dan Y adalah

yx

YXEYXCov ),( (2.17)

dengan )( XEx dan )(YE

y .


23

2.3.4 Independensi Variabel Random

Definisi 2.3.4.1 Independen Secara Statistis Jika probabilitas bersama

]dan [kkii

xXxXP dapat ditulis sebagai perkalian probabilitas marginal,

sedemikian sehingga

][][]dan [kkiikkii

xXPxXPxXxXP (2.18)

Untuk semua nilai pasangan kixx , , maka ki

XX dan dikatakan independen secara

statistis.

Jika kiXX dan adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas

bersama ),(kiik

xxf dan densitas marginal )(ii

xf dan )(kk

xf , maka

)()(),(kkiikiik

xfxfxxf (2.19)

Untuk semua pasangan ),(ki

xx .

Definisi 2.3.4.2 Variabel Random Kontinu yang Independen Secara Statistis

Variabel random kontinu p

XXX ,,,21 dikatakan saling independen secara

statistis jika fungsi densitas bersamanya dapat difaktorkan sebagai

)()()(),,,(2211112 ppkpkp

xfxfxfxxxf

(2.20)


24

Untuk semua p -tuple ),,(21 p

xxx .

2.3.5 Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika Univariat

Teorema 2.3.5.1 Andaikan X dan Y adalah variabel random yang independen,

dan c adalah konstanta, maka

)()(.4

)()(.3

)()()(.2

)()()(.1

2XVarccXVar

XcEcXE

YEXEXYE

YEXEYXE

Bukti

Jika X dan Y adalah variabel random kontinu, maka

)()(

)( )(

),()()(.1

YEXE

dyyyfdxxxf

dydxyxfyxYXE

)()(

)( )(

),()()(.2

YEXE

dyyfydxxfx

dydxyxfxyXYE

)(

)(

)()(.3

XEc

dxxc

dxxcXcE


25

)(

)(

2)(

2

2)()(

)(.4

2

22

222

222

222

2

XVarc

xEc

xxEcE

xxcE

xcccxE

ccxEcXVar

Bukti untuk X dan Y adalah variabel random diskret dapat diselesaikan secara

analog.

Teorema 2.3.5.2 Jika YX dan merupakan variabel random independen, maka

0),( YXCov (2.21)

Bukti:

0

)()(

)()()(

)()()()()()()(

)()()()(

)()(),(

XYEXYE

XEYEXYE

YEXEYEXEXEYEXYE

YEXEYXEXYEXYE

YEYXEXEYXCov

Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, ada situasi dimana 0),( YXCov

namun YX dan tidak independen.


26

Teorema 2.3.5.3 Kovariansi dari dua variabel random independen X dan Y

dengan xXE )( dan

yYE )( , secara berturut-turut adalah

yxYXEYXCov )(),( . (2.22)

Bukti:

yx

yxyxyx

yxyx

yxyx

yx

XYE

XYE

XEYEXYE

XYXYE

YXEYXCov

),(

Teorema 2.3.5.4 (Kovariansi dari Kombinasi Linear Variabel Random) Jika

X dan Y adalah variabel random dan ba dan adalah konstanta, maka

12),( abYXCov

Dari kombinasi linear bYaX didapatkan

1222

2

11

2

21

2)(

)(

abbabYaXVar

babYaXE

(2.23)


27

Bukti

12

21

21

),(

))((

))((),(

ab

YXabCov

YXabE

bbYaaXEbYaXCov

1222

2

11

2

22

21

2

2

22

1

2

2

21

2

21

21

2

),(2)()(

))((2)()(

)()(

)()()(

)()()(

abba

YXabCovYVarbXVara

YXabYbXaE

YbXaE

babYaXEbYaXVar

baYbEXaEbYaXE

2.4 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat

2.4.1 Vektor Random dan Matriks Random

Definisi 2.4.1.1 (Vektor Random) Vektor random adalah vektor yang elemen-

elemennya merupakan variabel random, dan matriks random adalah matriks yang

elemen-elemennya adalah variabel random

Contoh 2.4.1.1 (Vektor dan Matriks Random)

Vektor random X yang elemen-elemennya merupakan p variabel random dapat

ditulis sebagai


28

pX

X

X

2

1

X

sedangkan matriks random X yang berukuran p q yang elemen-elemennya

merupakan variabel random dapat ditulis sebagai

pqpp

q

q

XXX

XXX

XXX

21

22221

11211

X

2.4.2 Vektor Rata-rata dan Matriks Kovariansi

Definisi 2.4.2.1 Rata-rata vektor random X yang berukuran 1p

didefinisikan sebagai

ppXE

XE

XE

E

2

1

2

1

)(

)(

)(

)(Xμ (2.24)

Definisi 2.4.2.2 Matriks kovariansi dari dua vektor random X dan Y adalah

)')((),(yx

ECov μYμXYX (2.25)


29

Definisi 2.4.2.3 Andaikan terdapat dua vektor random X dan Y, dengan X=Y

maka Cov(X,X) dapat ditulis sebagai )(XΣ Cov , yang disebut sebagai matriks

dispersi (variansi-kovariansi) dari X.

)')(( μXμXΣ E

2

2211

22

2

221122

112211

2

11

)())(())((

))(()())((

))(())(()(

pppppp

pp

pp

XEXXEXXE

XXEXEXXE

XXEXXEXE

Atau

pppp

p

p

Cov

21

22221

11211

)(XΣ (2.26)

Karena kikkiiikXXE ))(( , maka

pppp

p

p

E

21

22221

11211

)')(( μXμXΣ (2.27)


30

Teorema 2.4.2.1 X dan Y adalah matriks random yang independen dengan

dimensi yang sama, BA dan adalah matriks konstanta yang sesuai. Maka,

BXAAXB

YXYX

)()(.2

)()()(.1

EE

EEE

.

Bukti:

1. Jika X dan Y adalah matriks variabel random yang diskret, maka

)()(

)()(

)()(

),()(

)()(

YX

YX

EE

ypyxpx

ypyxpx

yxpyx

YXEE

ijijijijijij

ijijijijijij

ijijijijij

ijij

2. X)BAAXB ()( EE

BXA

AXB

)(

)(

)(

1 1

1 1

E

BXEA

BXAEE

n

k

n

jkik

n

k

n

jkik

Bukti untuk X dan Y adalah matriks variabel random kontinu dapat dikerjakan

secara analog.


31

2.4.3 Menyekat Matriks Kovariansi

Sebanyak p buah karakteristik yang termuat dalam vektor random X yang

berukuran 1p dapat disekat menjadi, misalnya, dua kelompok yang berukuran

q dan qp

)2(

)1(

1

1

)2(

)1(

1

1

)(dan

μ

μ

Xμ

X

X

X

p

q

q

p

q

q

E

qp

q

X

X

X

X

(2.28)

Dengan definisi perkalian dan transpose matriks didapatkan

))(())(())((

))(())(())((

))(())(())((

,

)')((

,2211

22,22221122

11,22111111

,22,11

22

11

)2()2()1()1(

ppqqqqqqqqqq

ppqqqq

ppqqqq

ppqqqq

qq

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXX

X

X

X

μXμX

Nilai harapan dari matriks )')(()2()2()1()1(

μXμX adalah

12

2,1,

22,21,2

12,11,1

)2()2()1()1())')((( ΣμXμX

qpqqqq

pqq

pqq

E

(2.29)


32

Semua kovariansi pqqjqiij

,,2,1,,,2,1, . Matriks 12

Σ tidak selalu

simetris walaupun persegi.

Menyekat matriks dapat dilakukan secara

)1)((

)2()2(

)1)((

)2()2(

)1(

)1()1(

)1)((

)2()2(

))(1(

)2()2(

)1(

)1()1(

)1(

)1()1(

)1(

)1()1(

)'()()'()(

)'()()'()(

)')((

qpqpqqp

qpqqq

μXμXμXμX

μXμXμXμX

μXμX

(2.30)

Akibatnya,

ppqp

pqqq

pqp

qqq

qpqq

pq

qqq

q

qpq

pp

qp

q

pp

E

1,

,11,1

1

,11,1

1,

11,1

1

111

)(

222

2

)(

)')((ΣΣ

ΣΣμXμXΣ

1

111

(2.31)

Didapatkan 2112

ΣΣ , kovariansi matriks )1(X adalah

11Σ dan )2(

X adalah 22

Σ ,

elemen-elemen )2()1(dan XX adalah

12Σ atau

21Σ , maka 12

)2()1(),( ΣXX Cov

adalah matriks dengan elemen semua kovariansi antara )2()1(dan XX .


33

2..4.4 Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi Linear

Variabel random

Diketahui 21

],,[ bXaXba c' dapat ditulis sebagai berikut

Xc'

2

1

X

Xba

Jika 2121

)( babXaXE , maka

μc'

2

1

ba

Apabila

2221

1211

Σ dijadikan matriks variansi-kovariansi dari X , maka

persamaannya menjadi

Σcc'Xc' )()(21

VarbXaXVar (2.32)

Karena

22

2

1211

2

2221

12112][

baba

b

aba

Σcc' .

Hasil diatas dapat diperluas ke dalam kombinasi linear dari p variabel random.


34

Teorema 2.4.4.1 Kombinasi linear pp

XcXc1111

Xc' mempunyai

Σcc'Xc'

μc'Xc'

)(Variansi

)(RataRata

Var

E (2.33)

Dengan )(dan)( XΣXμ CovE .

Bukti:

pp

pp

pp

cc

XEcXEc

XcXcEE

11

11

11

)()(

)()( Xc'

μc

p

pcc

1

1

ppp

ppp

pp

pp

pp

cccc

cccc

XVarcXVarc

XcVarXcVar

XcXcVarVar

111

111

2

1

2

1

11

11

)()(

)()(

)()( Xc'

Σcc'

pp

p

p

pp

c

c

cc

c

c

cc

11

1

1

11


35

Secara umum, q kombinasi linear dari p variabel random adalah:

pqpqqq

pp

pp

XcXcXc

XcXcXc

XcXcXc

2211

22221212

12121111

Z

Z

Z

Atau

CXZ

)1(

2

1

21

22221

11211

)1(

2

1

p

ppppp

p

p

q

qX

X

X

ccc

ccc

ccc

Z

Z

Z

(2.34)

Definisi 2.4.4.1 Kombinasi linear CXZ mempunyai persamaan

C'CΣCXZΣ

CμCXZμ

Xz

xz

)()(

)()(

CovCov

EE (2.35)

xμ merupakan vektor rata-rata dan

xΣ adalah matriks variansi –kovariansi X .

Contoh 2.4.4.1 (Rata-rata dan kovariansi kombinasi linear)

Diberikan vektor random 21

,' XXX dengan vektor rata-rata 21

,' x

μ dan

matriks variansi-kovariansi

2221

1211

x

Σ . Tentukan vektor rata-rata dan

matriks kovariansi untuk kombinasi linear


36

212

211

XX

XX

Z

Z

atau

CXZ

2

1

2

1

11

11

X

X

Z

Z

21

21

2

1

11

11)()(

xz

CμCXZμ EE

11

11

11

11)()(

2221

1211

C'CΣCXZΣ

XzCovCov

2212112211

2211221211

2

2

Perhatikan bahwa jika 2211

, yaitu, jika 1

X dan 2

X mempunyai variansi yang

sama, bentuk off-diagonal di z

Σ hilang. Hal ini menunjukkan bahwa hasilnya

diketahui dengan baik bahwa penjumlahan dari dua variabel random dengan

variansi yang sama tidak berkorelasi.

2.4.5 Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi Sampel

Andaikan p

xxx ,,,'21x merupakan vektor rata-rata sampel dari n

observasi dalam p variabel p

XXX ,,,21 dan


37

n

j

pjp

n

j

pjpj

n

j

pjpj

n

j

j

ppp

p

xxn

xxxxn

xxxxn

xxn

ss

ss

1

2

1

11

1

11

1

2

11

1

111

)(1

))((1

))((1

)(1

nS

.

Vektor rata-rata sampel dan matriks kovariansi dapat disekat untuk melihat

dengan jelas jumlah yang sesuai dengan grup variabel. Maka,

)2(

)1(

1

1

)1( x

xx

p

q

q

p

x

x

x

x

(2.36)

dan

ppqp

pqqq

pqp

qqq

qpqq

pq

qqq

q

pp

ss

ss

ss

ss

ss

ss

ss

ss

1,

,11,1

1

,11,1

1,

11,1

1

111

)(

nS

qpq

qp

p

222

2

SS

SS

1

111 (2.37)


38

)1(x dan )2(

x adalah vektor rata-rata sampel yang diperoleh dari pengamatan

pqq

xxxx ,,dan ,,1

)2(

1

)1( xx . Secara berturut-turut

11S adalah

matriks kovariansi sampel dari pengamatan )1(x ,

22S adalah matriks kovariansi

sampel dari pengamatan )2(x , dan

2112SS adalah matriks kovariansi sampel

untuk elemen )1(x dan )2(

x .

2.4.6 Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks

Kovariansi Sampel

Dalam rangka mempelajari statistik variabilitas sampling seperti X dan n

S

dengan tujuan utama membuat kesimpulan, perlu membuat asumsi tentang

variabel dengan nilai-nilai yang diamati merupakan kumpulan data X.

Andaikan data X belum diamati tetapi akan dikumpulkan sebanyak n

himpunan dari pendugaan p variabel. Sebelum dilakukan pendugaan, secara

umum nilai dugaannya tidak dapat diprediksi secara tepat, akibatnya dianggap

sebagai variabel random. Entri ke- ),( kj dalam matriks merupakan variabel

random jkX . Tiap himpunan pendugaan j

X dalam p variabel merupakan suatu

vektor random, dan matriks randomnya adalah

nnpnn

p

p

pn

XXX

XXX

XXX

X

X

X

X

2

1

21

22221

11211

)(

(2.38)


39

sekarang sampel random dapat didefinisikan.

Jika vektor baris nXXX ,,,

21 merupakan pengamatan independen dari

distribusi bersama yang sama dengan fungsi densitas ),,,()(21 p

xxxff x ,

maka nXXX ,,,

21 merupakan suatu bentuk sampel random dari )(xf . Secara

matematis, nXXX ,,,

21 merupakan bentuk suatu sampel random jika fungsi

densitas bersamanya diberikan oleh hasil perkalian )()()(21 n

fff xxx , dengan

),,,()(21 jpjjj

xxxff x adalah fungsi densitas untuk vektor baris ke- j .

Akibat 2.4.6.1 Sifat X Andaikan nXXX ,,,

21 sampel random dari distribusi

bersama dengan vektor rata-rata μ dan matriks kovariansi Σ , maka X adalah

suatu penduga tak bias dari μ dan matriks kovariansinya

Σn

1

sehingga,

sampel)ukuran dibagi populasi kovariansi- variansi(matriks

populasi) rata-rata(vektor

1)(

)(

ΣX

μX

nCov

E

(2.39)

Untuk matriks kovariansi nS ,

ΣΣΣSnn

nE

n

11)(


40

Maka,

ΣS

n

n

nE

1 (2.40)

Jadi

n

n

nS

1merupakan penduga tak bias dari .

Bukti:

nn

/),(21

XXXX , dengan sifat nilai harapan maka

μ

μμμ

XXX

XXX

XXXX

nnn

En

En

En

nE

nE

nE

nnnEE

n

n

n

111

)(1

)(1

)(1

111

111)(

21

21

21

Selanjutnya,

)()(1

)(1

)(1

)')((

1 1

2

11

μXμX

μXμXμXμX

n

j

n

j

nn

j

j

n

nn

)()(1

)'()()(

1 1

2μXμXμXμXX

n

j

n

jn

ECov


41

Dengan j dan tiap entri di )()( μXμXj

sama dengan nol karena

entrinya adalah kovariansi antara satu komponen di j

X dan satu komponen di X

, dan independen. Maka dari itu,

)()(1

)(

1 1

2μXμXX

n

j

n

jn

Cov

Karena )()( μXμXΣj

adalah populasi kovariansi yang sama untuk tiap

jX , maka

ΣΣ

ΣΣΣμXμXX

nn

n

nnCov

n

n

j

n

j

1)(

1

)(1

)()(1

)(

2

sebanyak

2

1 1

2

Untuk memperoleh nilai harapan nS , pertama ingat bahwa

)()(kjkiji

XXXX adalah elemen ke- ),( ki dari )( X(X)XXjj

.

Matriksnya menunjukkan penjumlahan kuadrat dan perkalian silang dan dapat

dituliskan sebagai

XXXX

X)XXX)XXX(X)XX

n

n

j

jj

n

j

j

n

j

jj

n

j

jj

1

111

)((()(

Karena

n

j

j

1

0( )XX dan

n

j

jn

1

XX , nilai harapannya adalah


42

)(

11

XXXXXXXX

EnEnE

n

j

jj

n

j

jj

Untuk sebarang vektor random V dengan VE μV )( dan V

Cov ΣV )( ,

didapatkan VVVE μμΣVV )( , akibatnya

μμΣXX jj

E dan μμΣXX n

E1

)(

Hasilnya,

ΣμμΣμμΣXXXX )1(1

)(

1

nn

nnnEnE

n

j

jj

Dan karena

)(1

1

XXXXS EnEn

n

j

jjn, menunjukkan bahwa

ΣSS

nnn

nEE

1)(

Definisi 2.4.6.1 Matriks Variansi Sampel-Kovariansi (Tak Bias) adalah

)XX)XXS

j

n

j

jn

((1

1

1

(2.41)

S memiliki entri ke- ),( kj )()()1(

1

1

kjk

n

j

ijiXXXXn

.


43

2.4.7 Variansi yang Diperumum

Variansi sampel sering digunakan untuk menggambarkan besarnya variansi

dalam pendugaan suatu variabel tunggal. Ketika p variabel diamati dalam tiap

unit, variansi digambarkan oleh matriks variansi-kovariansi

n

j

kjkijiik

pppp

p

p

xxxxn

s

sss

sss

sss

1

21

22221

11211

))((1

1dengan

S

Variansi yang diperumum dapat diintepretasikan dalam ruang sebaran data

berdimensi-p. Interpretasi yang paling intuitif memperhatikan penyebaran titik

rata-rata sampel. Bentuk penyebarannya didasari oleh titik rata-rata sampel

p

xxx ,,,21x . Andaikan jarak kuadrat dari titik

pxxx ,,

21x ke titik

asal diberikan oleh Axx dengan A adalah matriks definit positif dan simetris

yang berukuran )( pp . Maka jarak kuadrat dari x ke titik tetap

p

,,21

μ diberikan oleh bentuk umum )()( μxAμx . Pertimbangkan

ukuran jarak yang diberikan dalam pernyataan di atas. Andaikan x menggantikan

titik tetap μ dan 1S menggantikan A. Maka jarak untuk suatu konstanta c,

p

xxx ,,21

x dari x memenuhi

21)(( c

xxS)xx (2.42)

Bila 11

2

11

1/)()()(,1 sxxp

xxSxx adalah jarak kuadrat dari

1x ke x

dalam satuan standar deviasi.


44

2.4.8 Distribusi Normal Multivariat

Fungsi densitas Normal multivariat adalah generalisasi dari fungsi densitas

Normal univariat ke dimensi p > 2. Distribusi Normal univariat dengan rata-rata

dan variansi 2 memiliki fungsi densitas

xexf

x 2//)(

2

2

2

1)(

(2.43)

Gambar 2.3 Fungsi densitas Normal dengan rata-rata dan variansi 2 dan

daerah-daerah yang di pilih dibawah kurva

Gambar tersebut merupakan pendekatan luas daerah dibawah kurva dengan

standar deviasi ±1 dan ±2 dari rata-rata. Luas daerah tersebut menunjukkan

probabilitas untuk variabel random Normal X.

95,0)22(

68.0)(

XP

XP

Selanjutnya fungsi densitas Normal dengan rata-rata dan variansi 2 akan

ditulis ),( N .

Istilah


45

xxx 12

2

(2.44)

dalam eksponen fungsi densitas Normal univariat mengukur jarak kuadrat dari x

ke dalam satuan standar deviasi. Hal ini dapat diperumum untuk suatu vektor

pengamatan x berukuran p 1 dalam beberapa variabel sebagai

μxΣμx1

(2.45)

Vektor μ yang berukuran p 1 menunjukkan nilai harapan vektor random X,

dan matriks Σ yang berukuran p p merupakan matriks variansi-kovariansi.

Diasumsikan matriks simetris Σ adalah matriks definit positif, jadi (2.45) adalah

jarak kuadrat yang diperumum dari x ke μ .

Fungsi densitas Normal multivariat diperoleh dengan mensubtitusikan jarak

univariat dalam (2.44) dengan jarak multivariat yang diperumum dari (2.45)

dalam fungsi densitas (2.43). Jika sudah disubtitusi, konstanta Normal univariat

2/122/1)()2(

harus disubtitusi ke konstanta yang lebih umum yang dapat

membuat volume dibawah permukaan fungsi densitas multivariat bernilai satu

untuk setiap p. Konstanta pengganti tersebut adalah 2/12/

2 Σp

.

Definisi 2.4.8.1 Andaikan ),,,(21 p

xxx x merupakan vektor random

berdimensi p, x dikatakan berdistribusi Normal multivariat jika fungsi densitasnya


46

2/

2/12/

1

2

1)(

μxΣμx

Σ

x

efp

(2.46)

dengan pixi

,,2,1, dan Σ adalah matriks definit positif, ditulis

)( Σμ,p

N .

Secara khusus, skripsi ini berkaitan dengan distribusi Normal Bivariat

yaitu p = 2.

2.4.9 Fungsi Densitas Normal Bivariat

Himpunan semua x sedemikian sehingga 2c

μxΣμx

1 merupakan

permukaan elipsoid yang berpusat di μ .

Sumbu setiap elipsoid dari fungsi densitas bersesuaian dengan vektor eigen

1Σ

dan panjangnya proporsional dengan akar kuadrat dari kebalikan nilai eigen

1Σ

. Perhitungan 1Σ

dapat dihindari ketika menentukan sumbu elipsoid, karena

elipsoid dapat ditentukan oleh nilai eigen dan vektor eigen Σ .

Akibat 2.4.9.1 Jika Σ adalah matriks definit positif sehingga 1Σ

ada, maka

eΣe mengakibatkan eeΣ1

1


47

jadi ),( e adalah pasangan nilai dan vektor eigen untuk Σ yang bersesuaian

dengan pasangan ),/1( e untuk 1Σ

. Jadi 1Σ

adalah matriks definit positif.

Bukti

Untuk matriks definit positif Σ dan e ≠ 0 adalah vektor eigen, terdapat

')(')(''0 eeeeΣeeΣee . Selain itu, )()(11

eΣΣeΣe

atau

eΣe1

dan pembagian oleh 0 diberikan oleh eeΣ )/1(1

. Maka

e)/1( adalah pasangan nilai dan vektor eigen untuk 1Σ

. Untuk setiap x yang

berukuran ,

p

i

i

i

p

i

ii

i

1

2

1

1

0'1

1'

ex

xeexxxΣ

karena setiap bentuk 2

'1

i

i

ex

tidak negatif, dan 0'

iex untuk semua i jika

hanya jika x = 0. Jadi x ≠ 0 mengakibatkan

p

i

i

i1

20'

1ex

dan 1

Σ adalah

matriks definit positif.

Definisi 2.4.9.1 Peta fungsi densitas konstanta distribusi Normal berdimensi p

adalah elips yang di definisikan oleh x sehingga

2c

μxΣμx

1 (2.47)


48

Dengan pusat μ dan panjang sumbu utama ii

c e , dengan

piiii

,,2,1 eΣe

Sub bab 2.5 sampai dengan sub bab 2.6 dibahas untuk memberikan landasan

teori bagi pokok bahasan T2 Hotelling yang ada dalam BAB III.

2.5 Metode Fungsi Pembangkit Momen

Metode fungsi pembangkit momen digunakan untuk mencari distribusi

probabilitas dari suatu fungsi variabel random nYYY ,,,

21 yang didasari oleh

teorema berikut.

Teorema 2.5.1 (Teorema Ketunggalan)

Andaikan )(tmX

dan )(tmY

secara berturut-turut merupakan fungsi pembangkit

momen dari variabel random X dan Y. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada

dan )()( tmtmYX

untuk semua nilai t, maka X dan Y mempunyai distribusi

probabilitas yang sama.

Jika U merupakan fungsi dari n variabel random, nYYY ,,,

21 , langkah

pertama menggunakan Teorema 2.5.1 adalah adalah mencari fungsi pembangkit

momen dari U:


49

)()(tU

UeEtm . (2.48)

Jika fungsi pembangkit momen untuk U sudah ditemukan, bandingkan

dengan fungsi pembangkit momen untuk variabel random dengan distribusi yang

sudah diketahui dengan baik (well-known distributions). Jika )(tmU sama dengan

salah satunya, katakanlah fungsi pembangkit momen untuk variabel random V.

Dengan menggunakan Teorema 2.5.1, U dan V memiliki distribusi probabilitas

yang sama. Bukti untuk teorema ini dapat ditemukan di Hongki Julie (1999).

Fungsi densitas, rata-rata, variansi, dan fungsi pembangkit momen untuk beberapa

variabel random yang seringkali ditemui dan ditunjukkan pada Lampiran 2.

Contoh 2.5.1

Andaikan Z variabel random yang berdistribusi Normal dengan rata-rata = 0

dan variansi = 1. Gunakan metode fungsi pembangkit momen untuk mencari

distribusi probabilitas Z2.

Fungsi pembangkit momen untuk Z2 adalah

dze

dze

edzzfeeEtm

tz

z

ZtZtZt

z

)21()2/(

2/

2

2

222

2

2

1

2)()()(

Integral tersebut dapat dievaluasi baik dengan tabel integral atau dengan mencatat

bahwa, jika 1 – 2t > 0 (ekivalen dengan t < ½), integran


50

2

)21(2

exp

2

)21(2

exp1

22

t

zt

z

sebanding dengan fungsi densitas variabel random berdistribusi Normal dengan

rata-rata 0 dan variansi (1 – 2t)-1

. Untuk membuat integran suatu fungsi densitas

Normal (integral definit = 1), kalikan numerator dan denumerator dengan standar

deviasi, 2/1

)21(

t . Maka

dzt

z

tttm

z

1

2

2/12/1)21(

2exp

)21(2

1

)21(

1)(2

.

Karena integralnya sama dengan 1, jika t < ½,

2/1

2/1)21(

)21(

1)(2

t

ttm

z

Perbandingan )(2 tmz

dengan fungsi pembangkit momen dalam Lampiran 2

menunjukkan bahwa )(2 tmz

sama dengan fungsi pembangkit momen untuk

variabel random berdistribusi gamma dengan 2dan 2/1 . Dengan

demikian Z2 berdistribusi

2 dengan derajat bebas 1.

Teorema 2.5.2 Andaikan nYYY ,,,

21 merupakan variabel random yang

independen dengan fungsi pembangkit momen secara berturut-turut

)(,),(),(21

tmtmtmnYYY

. Jika nYYYU

21 , maka


51

)()()()(21

tmtmtmtmnYYYU

. (2.49)

Bukti

Karena Variabel random nYYY ,,,

21 independen, maka

)()( 211 )( nn tYtYtYYYt

UeeeeEtm

)()()( 21 ntYtYtYeEeEeE .

Dengan menggunakan definisi fungsi pembangkit momen,

)()()()(21

tmtmtmtmnYYYU


21 merupakan variabel random independen

yang berdistribusi Normal dengan niYVYEiii

,,2,1untuk ,)(dan )(2

,

dan andaikan naaa ,,,

21 adalah konstanta. Jika

nni

n

i

iYaYaYaYaU

2211

1

, (2.50)

maka U adalah variabel random berdistribusi Normal dengan

nni

n

i

iaaaaUE

2211

1

)(

dan


52

222

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2)(

nni

n

i

iaaaaUV

.

Bukti

Karena Yi berdistribusi Normal dengan rata-rata i dan variansi

2

i , Yi memiliki

fungsi pembangkit momen yang diberikan oleh

2exp)(

22t

ttmi

iYi

.

Jadi fungsi pembangkit momen iiYa diberikan oleh

2exp)()()(

22t

tatameEtmi

iiiYi

Yta

Ya

ii

ii

.

Karena variabel random Yi independen, variabel random iiYa juga independen,

untuk ni ,,2,1 , Teorema 2.5.2 mengakibatkan

n

i

ii

n

i

ii

nn

nn

YaYaYaU

at

at

tata

tata

tmtmtmtmnn

1

22

2

1

222

1

22

1

2

1

11

2exp

2exp

2exp

)()()()(2211

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal dengan

n

i

iiUa

1

dan

n

i

iiaUVar

1

22)(


53

Jadi, berdasarkan teorema ketunggalan U berdistribusi Normal dengan rata-rata

n

i

iia

1

dan variansi

n

i

iia

1

22 .

2.6 Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal


21 merupakan sampel random berukuran n

dari distribusi Normal dengan rata-rata dan variansi 2 . Maka

n

i

iY

nY

1

1 (2.50)

Berdistribusi Normal dengan rata-rata Y

dan variansi nY

/22

.

Bukti

Karena nYYY ,,,

21 merupakan sampel random dari suatu distribusi Normal

dengan rata-rata dan variansi 2 , niY

i,,2,1, , adalah independen,

berdistribusi Normal, dengan )(i

YE dan 2

)( i

YV . Selanjutnya,

)(1

)(1

)(11

21

1

n

n

i

iY

nY

nY

nY

nY

ninaYaYaYainn

,,2,1,/1dengan 2211

.


54

Y adalah kombinasi linear dari nYYY ,,,

21 , dan Teorema 2.13.3 dapat

diaplikasikan untuk menyimpulkan bahwa Y berdistribusi Normal dengan

)(

1)(

1)(

1)(

1)(

1nn

Yn

Yn

EYEn

dan

nn

nnnY

nY

nVYV

n

2

2

2

2

2

2

21)(

1)(

1)(

1)(

1)(

1)(

.

Oleh karena itu, distribusi sampling Y adalah Normal dengan dengan rata-rata

Y

dan variansi nY

/22

.

Distribusi 2

memainkan peranan penting dalam banyak langkah-langkah

penarikan kesimpulan. Sebagai contoh, andaikan akan dibuat suatu penarikan

kesimpulan tentang variansi populasi 2 yang didasari sampel random

nYYY ,,,

21 dari populasi yang berdistribusi Normal. Penduga baik dari 2

adalah variansi sampel

2

1

2

1

1

n

i

iYY

nS . (2.52)


21 merupakan sampel random berdistribusi

Normal dengan rata-rata dan variansi 2 . Maka


55

2

1

22

21)1(

n

i

iYY

Sn

(2.53)

berdistribusi 2

dengan derajat bebas (n – 1). Y dan S2 variabel random yang

independen.

Bukti

Bukti berikut digunakan untuk mengantarkan generalisasi dari distribusi t

(univariat) ke T2 Hotelling (multivariat). Diasumsikan n = 2 dan akan ditunjukkan

bahwa 2

2)1(

Sn berdistribusi

2 dengan derajat bebas 1. Dalam kasus n = 2,

)(2

121

YYY ,

Maka

2

)(

)(2

12

)(2

1)(

2

1

)(2

1)(

2

1

12

1

2

21

2

21

2

21

2

21

2

212

2

211

2

2

2

1

22

1

2

YY

YY

YYYY

YYYYYY

YYYY

YYS

i

i

sehingga,


56

2

2

21

2

2

21

2

2

22

)()1(

YYYYSn.

Akan ditunjukkan jumlah tersebut sama dengan kuadrat variabel random

Normal standar, yaitu Z2 yang berdistribusi

2 dengan derajat bebas 1.

Karena 21

YY adalah kombinasi linear dari variabel random yang

independen, maka variabel random berdistribusi Normal

)1dan 1dengan (21221121

aaYaYaYY , Teorema 6.3 mengatakan

bahwa 21

YY berdistribusi Normal dengan rata-rata 011 dan variansi

222222)1()1( . Oleh karena itu,

2

21

2

YYZ

berdistribusi Normal standar. Karena untuk n = 2

2

2

2

21

2

2

2

)1(Z

YYSn

,

Hal ini menunjukkan bahwa menurut Contoh 2.13.1 2

2)1(

Sn berdistribusi

2

dengan derajat bebas 1.

Karena

21

1

YYU

dan

21

2

YYU

adalah variabel random yang

independen. Karena n = 2,


57

22

)(121

UYYY

dan

2

)(

2

)(2

2

2

212 UYYS

.

Karena Y merupakan fungsi dari 1

U dan 2S merupakan fungsi dari

2U ,

independensi 1

U dan 2

U mengakibatkan independesi dari Y dan 2S . Terbukti

bahwa Y dan 2S variabel random yang independen.


58

BAB III

T2 HOTELLING

3.1 Distribusi T2 Hotelling

Definisi 3.1.1 (Menurut Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III, dan

Richard L. Scheaffer)

Andaikan Z merupakan variabel random yang berdistribusi Normal Standar dan

andaikan W merupakan variabel random yang berdistribusi 2 dengan derajat

bebas v. Kemudian jika Z dan W independen, maka

vW

ZT

/ (3.1)

dikatakan berdistribusi t dengan derajat bebas v.

Jika n

YYY ,,,21 merupakan sampel random dari populasi Normal dengan

rata-rata dan variansi 2 , Teorema 2.6.1 dapat diaplikasikan untuk

menunjukkan / YnZ berdistribusi Normal Standar. Teorema 2.6.2

mengatakan bahwa 22/)1( SnW berdistribusi 2

dengan derajat bebas v =

n – 1, Z dan W independen ( karena Y dan S2 independen ). Oleh karena itu

dengan Definisi 3.1.1,

S

Yn

nSn

Yn

vW

ZT

)1/(/)1(

/)(

/ 22

(3.2)


59

berdistrinbusi t dengan derajat bebas (n – 1).

Jarak kuadrat persamaan diatas adalah

YSYn

S

YnT

12

2

2)( (3.3)

Generalisasi dari statistik di atas dalam notasi matriks disebut statistik T2

Hotelling yang berbentuk

μY(S)μY1

nT2 . (3.4)

Statistik T2

berdistribusi pnp

Fpn

pn

,

)(

)1( dengan

pnpF

, menunjukkan variabel

random berdistribusi F dengan p karakteristik dan derajat bebas n – p.

3.2 Daerah Kepercayaan Elips

Andaikan adalah vektor dari parameter populasi yang tidak diketahui

dan adalah himpunan semua kemungkinan nilai-nilai . Daerah kepercayaan

adalah daerah kemungkinan nilai-nilai . Daerah ini ditentukan oleh data dan

didenotasikan dengan )(XR ,dengan n

XXXX ,,,21 adalah matriks data.

Daerah )(XR dikatakan memiliki daerah kepercayaan )%1(100 jika

sebelum sampel dipilih,

1 memenuhiakan )(XRP (3.5)


60

Probabilitas ini dihitung berdasarkan kebenaran, tetapi nilai tidak diketahui.

Daerah kepercayaan untuk rata-rata μ dari populasi Normal berdimensi p

adalah

)(

)(

)1(,

1

pnpF

pn

nnP μXSμX

Sebelum sampel dipilih,

1)(

)(

)1(,

1

pnpF

pn

nnP μXSμX

berapapun nilai nilai μ dan Σ yang tidak diketahui. Dengan kata lain, X tidak

akan lebih dari

2/1

,)(

)(

)1(

pnp

Fpn

pn

dari μ , dengan probabiitas 1 , jarak yang diberikan didefinisikan dalam bentuk

1

/

nS . Untuk suatu sampel khusus, x dan S dapat dihitung dan ketaksamaannya

)()(

)1(,

1

pnpF

pn

pnn

μXSμX

akan mendefinisikan suatu daerah )(XR dengan ruang dari semua kemungkinan

nilai parameter. Dalam kasus seperti ini, daerahnya adalah suatu elips dengan

pusat x . Elips ini merupakan daerah kepercayaan )%1(100 untuk μ .


61

Definisi 3.2.1 Suatu daerah kepercayaan )%1(100 untuk rata-rata distribusi

Normal berdimensi p didefinisikan untuk semua μ adalah

)()(

)1(,

1

pnpF

pn

npn

μXSμX (3.6)

dengan

n

j

jn 1

1xx ,

xxxxSj

n

j

jn 1)1(

1 dan

nxxx ,,,

21 adalah

sampel pengamatan.

Untuk menentukan apakah sebarang 0μ berada di dalam daerah

kepercayaan (nilai c yang masuk akal), perlu menghitung jarak kuadrat yang

diperumum 0

1

0μxSμx

n dan dibandingkan dengan )(

)(

)1(,

pnp

Fpn

np

.

Jika jarak kuadrat lebih besar daripada )()(

)1(,

pnp

Fpn

np

, maka 0

μ tidak

berada di dalam daerah kepercayaan.

Sumbu dan panjang daerah kepercayaan elips dapat ditentukan dari nilai

eigen i dan vektor eigen i

e dari S. Pada (2.47), arah dan panjang sumbu dari

)()(

)1(,

21

pnpF

pn

npcn

μxSμx

ditentukan oleh

)()(

)1(,

pnpi

iF

pnn

np

n

c


62

yang berada di sepanjang vektor eigen ie . Dimulai pada pusat x , sumbu daerah

kepercayaan elips adalah

piFpnn

npiiiipnpi

,,2,1, dimana)()(

)1(,

eSee (3.7)

Contoh 3.2.1

Suatu perusahaan yang memproduksi microwave akan memantau banyaknya

pemencaran radiasi ketika pintu microwave terbuka dan tertutup. Diambil sampel

dari masing-masing karakteristik mutu sebanyak n = 42, kemudian diuji apakah

589,0,562.0μ berada di dalam selang kepercayaan dengan 05.0 .

No Terbuka Tertutup No Terbuka Tertutup

1 0,15 0,30 22 0,05 0,10

2 0,09 0,09 23 0,03 0,05

3 0,18 0,30 24 0,05 0,05

4 0,10 0,10 25 0,15 0,15

5 0,05 0,10 26 0,10 0,30

6 0,12 0,12 27 0,15 0,15

7 0,08 0,09 28 0,09 0,09

8 0,05 0,10 29 0,08 0,09

9 0,08 0,09 30 0,18 0,28

10 0,10 0,10 31 0,10 0,10

11 0,07 0,07 32 0,20 0,10

12 0,02 0,05 33 0,11 0,10

13 0,01 0,01 34 0,30 0,30

14 0,10 0,45 35 0,02 0,12

15 0,10 0,12 36 0,20 0,25

16 0,10 0,20 37 0,20 0,20

17 0,02 0,04 38 0,30 0,40

18 0,10 0,10 39 0,30 0,33


63

19 0,01 0,01 40 0,40 0,32

20 0,40 0,60 41 0,30 0,12

21 0,10 0,12 42 0,05 0,12

Dengan menggunakan program MATLAB, didapatkan hasil sebagai berikut:

6030.0

5643.0x ,

0142.00114.0

0114.00144.0S ,

6680.2059121.167

9121.1674739.2081

S

6215.62867.1

)()(

)1(,

1

pnpF

pn

npn μxSμx

Karena 1.2867 ≤ 6.6215 maka proses terkendali.

Gambar 3.1 Daerah kepercayaan 95% elips untuk μ.


64

3.3 Grafik Pengendali T2 Hotelling

Banyak keadaan yang memerlukan pengendalian bersama dua atau lebih

karakteristik mutu yang berhubungan. Masalah pengendalian mutu dengan

beberapa karakteristik mutu yang berhubungan disebut masalah pengendalian

mutu multivariat. Grafik pengendali T2 Hotelling digunakan untuk mengendalikan

beberapa karakteristik mutu yang berhubungan. Andaikan dua karakteristik mutu

1X dan

2X berdistribusi bersama menurut distribusi Normal bivariat.

1x dan

2x

merupakan nilai rata-rata dari karakteristik mutu, dan 2

1S dan 2

2S variansi sampel

1X dan

2X . Kovarian antara

1X dan

2X adalah

12S . Asumsikan bahwa

1 ,

2 ,

dan 12

diketahui. Jika 1

X dan 2

X adalah rata-rata sampel dari dua karakteristik

mutu yang dihitung dari sampel berukuran n, maka statistik

221112

2

22

2

1

2

11

2

22

12

2

2

2

1

22 XXXXSXXSXXS

SSS

nT (3.8)

akan berdistribusi Hotelling dengan derajat bebas 2 dan (n – 1). Jika 2

1;2;

2

nTT

,

maka paling sedikit satu dari karakteristik mutu itu tidak tekendali dengan 2

1;2; nT

adalah titik presentase atas distribusi T2 Hotelling dengan derajat bebas 2 dan

(n – 1).

Nilai-nilai T2 yang dihitung dari persamaan (3.8) untuk tiap sampel pada

grafik pengendali dengan hanya batas pengendali atas 2

1;2; nT

(Gambar 3.2).

Grafik pengendali ini biasanya disebut grafik pengendali T2 Hotelling. Perhatikan

bahwa urutan waktu data tersebut tetap ada dengan grafik pengendali ini, sehingga


65

pengendalian atau pola tak random tersebut dapat diselidiki. Selain itu, grafik ini

memiliki keuntungan tambahan bahwa “keadaan” proses dikarakterisasi oleh satu

bilangan (nilai statistik T2). Hal ini sangat berguna ketika ada dua atau lebih

karakteristik mutu yang diminati.

Gambar 3.2 Grafik pengendali T2 Hotelling untuk p = 2 karakteristik mutu.

Hal ini memungkinkan untuk memperluas hasil ini untuk kasus dengan p

karakteristik mutu yang terkait dikendalikan bersama. Diasumsikan distribusi

bersama p karakteristik mutu adalah distribusi Normal p-variat. Prosedurnya

memerlukan perhitungan rata-rata sampel dari tiap p karakteristik mutu dari suatu

sampel berukuran n. Himpunan rata-rata karakeristik mutu ditunjukkan oleh

vektor X yang berukuran 1p

pX

X

X

2

1

X


66

Statistik uji yang di plot pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk tiap

sampel adalah

XXSXX1

nT2 (3.9)

dengan p

XXX ,,,21X adalah vektor rata-rata dari tiap karakteristik mutu

dan S adalah matriks kovarian. Batas pengendali atas pada grafik pengendali

adalah 2

1;; npT

. Titik presentase distribusi F dapat diperoleh melalui hubungan

pnpnpF

pn

npT

;;

2

1;;

)1( (3.10)

Dalam praktek, biasanya perlu menduga X dan S dari analisa sampel awal

dengan ukuran n, diambil ketika proses diasumsikan terkendali. Andaikan

diketahui m sampel berdistribusi Normal yang terdiri dari p karakteristik mutu dan

masing-masing sampel berukuran n. Rata-rata dan variansi sampel dapat dihitung

dari tiap sampel, maka

n

i

ijkjkmkpjX

nX

1

,,2,1,,2,11

(3.11)

n

i

jkijkjkmkpjXX

ns

1

22,,2,1,,2,1

1

1 (3.12)

dengan ijkX adalah pengamatan ke-i pada karakteristik mutu ke-j dalam sampel

ke-k. Kovarian antara karakteristik mutu j dan h dalam sampel ke-k adalah


67

n

i

hkihkjkijkjhkhjmkXXXX

ns

1

,,2,11

1 (3.13)

Statistik jkX ,

2

jks ,

jhks merupakan rata-rata dari semua m sampel untuk

mendapatkan

m

k

jkjpjX

mX

1

,,2,11

(3.14)

m

k

jkjpjs

ms

1

22,,2,1

1 (3.15)

dan

m

k

jhkjhhjs

ms

1

1 (3.16)

j

X merupakan elemen dari vektor X , dan matriks kovarian pp S adalah

2

2

2

2

112

2

1

p

p

p

s

ss

sss

S (3.17)

Contoh 3.3.1

Perusahaan Manufaktur ”OSIK Baja” melakukan pengendalian statistik

terhadap kuat tarik dan berat yang merupakan karakteristik mutu yang penting

dalam industri baja, 20 buah sampel masing-masing berukuran 4 buah dipilih

secara random. Dengan data sebagai berikut


68

No

Sampel,

k

Rata-rata Sampel No

Sampel,

k

Rata-rata Sampel

Kekuatan

(1

x )

Berat

(2

x )

Kekuatan

(1

x )

Berat

(2

x )

1 81,25 20,25 11 85,25 22,25

2 79,50 21,00 12 81,75 21,75

3 85,00 21,50 13 82,00 18,25

4 81,50 17,75 14 78,75 22,00

5 81,75 21,00 15 81,00 20,00

6 85,50 21,25 16 84,00 20,50

7 84,75 20,75 17 81,50 19,00

8 80,00 19,00 18 82,50 20,75

9 86,25 17,50 19 83,75 20,50

10 80,50 18,75 20 82,75 19,75

Rata-rata 82,46 20,17

Kemudian dihitung rata-rata dari tiap sampel, variansi dan kovariansi. Nilai

statistik T2 dihitung dengan memasukkan nilai-nilai 175,20dan 46,82

21 xx ke

dalam (3.8) dengan hasil sebagai berikut.

No

Sampel,

k

Rata-rata Sampel Variansi dan Kovariansi

T² Kekuatan

(1

x )

Berat

(2

x ) 2

1kS

2

2 kS k

S12

1 81,25 20,25 8,917 1,583 0,917 0,783

2 79,50 21,00 15,000 6,000 -9,000 5,247

3 85,00 21,50 3,333 4,333 3,000 5,977

4 81,50 17,75 5,667 2,917 1,167 7,947

5 81,75 21,00 10,917 4,667 5,333 1,035

6 85,50 21,25 1,667 1,583 0,167 6,725

7 84,75 20,75 6,250 4,250 4,583 3,356

8 80,00 19,00 13,333 4,667 -7,333 5,265

9 86,25 17,50 2,250 3,667 -2,500 15,245

10 80,50 18,75 4,333 0,917 -0,500 4,863

11 85,25 22,25 0,917 2,917 0,917 10,083

12 81,75 21,75 0,917 0,917 0,583 3,172

13 82,00 18,25 8,667 2,917 -0,333 4,743

14 78,75 22,00 8,917 0,667 1,333 10,664

15 81,00 20,00 16,667 3,333 -7,333 1,211

16 84,00 20,50 2,667 5,667 -2,667 1,452


69

17 81,50 19,00 12,333 4,667 3,000 2,312

18 82,50 20,75 8,333 2,917 -4,500 0,407

19 83,75 20,50 14,250 4,333 3,167 1,064

20 82,75 19,75 4,917 2,917 2,917 0,251

Rata-

rata 82,4625 20,175 7,512 3,292 -0,354

Gambar 3.3 Grafik Pengendali untuk Contoh 3.1

Dari persamaan (3.8) diperoleh statistik penguji yang harus digambarkan pada

grafik T2 sebagai

)17,20()46,82()35,0(2

)17,20()51,7()46,82()29,3(

)35,0()29,3)(51,7(

4

21

2

2

2

1

2

2

XX

XXT (3.18)

dan jika 05,0 , batas pengendali atas grafik tersebut adalah

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T2

Grafik T² Hotelling

T²

BPA


70

57

)19(2

6

24

)3)(2(2;2;05,0

2

3;2;01,0

FT

Dari grafik pada Gambar 3.3 dapat dilihat bahwa semua sampel berada di dalam

batas pengendali, maka dapat disimpulkan bahwa proses terkendali.


71

BAB IV

APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING

Pada bab ini akan dibahas aplikasi grafik pengendali T2

dengan data yang

bersumber dari skripsi Mutia Umar Ahmad Batarfie (2006) di PT. Sinar Bogor

QUA (PT. SBQUA).

4.1 Gambaran Umum Perusahaan

4.1.1 Sejarah dan Perkembangan Perusahaan

PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA) merupakan perusahaan khusus yang

memproduksi Air Minum Dalam Kemasan (AMDK) dengan jenis produksi

kemasan galon. PT SBQUA didirikan pada bulan September 2001 di Jl. Pajajaran

no 21 Warung Jambu Bogor dengan bentuk perusahaan perseorangan dan

memiliki total investasi (tidak termasuk tanah dan bangunan tempat usaha)

sebesar Rp. 23.500.000. Pada tahun 2002, PT. SBQUA mengadakan kerjasama

dengan Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Kota Bogor tentang pengadaan

air bersih untuk bahan baku produksi Air Minum Dalam Kemasan (AMDK)

dengan nomor perjanjian kerjasama No. 695.2/SPK.05-PDAM-SBQUA/2002.

Tahun 2003 bentuk perusahaan SBQUA berubah menjadi Perseroan Terbatas

(PT).

PT. SBQUA memiliki izin usaha industri dengan nomor tanda daftar industri

535/45.TDI-Diperindagkop, dan telah memiliki SNI 01-3553-1996 dengan


72

sertifikat produk penggunaan tanda SNI nomor : 0283/PUSTAN/SNI-

BW/X/2001, serta merek dalam negeri dari Badan Pengawasan Obat dan

Makanan (BPOM) MD. 249110001624. Bahan baku dalam produksi juga telah

memenuhi syarat kualitas air minum Menkes R.I No. 907/Menkes/VII/2002

tanggal 26 Juli 2002.

4.1.2 Kebijakan Mutu Perusahaan

PT. SBQUA percaya bahwa mutu merupakan kepentingan setiap orang, serta

menetapkan kebijakan mutu yang dituangkan dalam pernyataan berikut :

”Memproduksi Air Minum Dalam Kemasan Sesuai dengan Keinginan Pelanggan

dengan Penyerahan Barang Tepat Waktu”. Sasaran mutu yang ditetapkan adalah

memproduksi AMDK minimal sesuai dengan SNI 01-3553-1996. Untuk

mencapai sasaran tersebut, perusahaan menerapkan dan mengelola sistem mutu

dengan mengacu kepada pedoman BSN-10 dan kebijakan serta sasaran mutu

disebarluaskan kepada setiap personil yang ada dalam perusahaan untuk

diterapkan dalam pelaksanaan tugasnya masing – masing.

4.2 Proses Produksi

Produksi AMDK di PT. SBQUA dilakukan setiap hari, kecuali hari

minggu/libur, dengan jumlah produksi sesuai dengan pesanan saat itu. Total

pemakaian air dan produksi AMDK PT. SBQUA pada bulan Januari hingga April

2006 terdapat pada Lampiran 3. Produk yang telah jadi akan dikirimkan

langsung kepada pemesan.


73

Pada proses produksi, air baku akan diproses melalui beberapa tahap filtrasi

yang bertujuan untuk menghilangkan bau dan kekeruhan serta melalui proses

sterilisasi (ozonisasi dan ultra violet). Secara umum diagram alir proses produksi

dapat dilihat pada Lampiran 4. Pada diagram alir tersebut dapat dilihat air baku

dari PDAM ditampung di tank penampungan bahan baku, lalu dipompa untuk

dialirkan ke carbon active filter I. Carbon active filter I ini berfungsi untuk

menangkap ion-ion negatif serta menyaring kotoran dan bau dalam air. Tahapan

berikutnya adalah ressin filter yang berfungsi untuk menstabilkan pH pada air. Air

kemudian dialirkan kembali ke carbon active filter II untuk disaring kembali

kotoran dan bau yang masih tersisa. Tahap filtrasi berikutnya adalah penyaringan

melalui filter cartridge dengan kekuatan penyaring 5 sampai 1 mikron, dimana

kotoran – kotoran, endapan, serta mineral yang ada didalam air akan disaring. Air

yang telah melalui tahapan filtrasi tersebut, dialirkan ke ozon generator, dimana

air akan diberi ozon untuk melemahkan bakteri – bakteri yang terkandung dalam

air. Ozon dan air tersebut akan dicampur secara merata didalam ozon reactor.

Setelah melalui tahap ozonisasi, air ditampung di tank penampungan bahan jadi,

dan dialirkan melalui sinar ultra violet (UV) dengan kekuatan 10 gpm

(galon/menit) untuk mematikan bakteri –bakteri dalam air. Tahap terakhir adalah

pengisian air melalui mesin filler.

4.3 Penerapan Pengendalian Mutu Perusahaan

Pengendalian mutu pada PT SBQUA terbagi menjadi empat tahap yaitu

pengendalian mutu bahan baku, pengendalian mutu dalam proses, pengendalian


74

mutu produk jadi, dan pengendalian mutu kemasan. Agar kualitas air tetap

terjamin, perusahaan dilengkapi dengan laboratorium QC yang cukup memenuhi

syarat dimana setiap hari dilakukan pengujian fisika dan kimia mulai dari air baku

hingga AMDK serta secara mikrobiologi dilakukan uji bakteri e-coli. AMDK

yang diuji di laboratorium PT.SBQUA secara berkala akan dilakukan

perbandingan dengan pengujian kembali di laboratorium yang sudah terakreditasi

seperti BBIA (Balai Besar Industri Agro) Bogor.

Pada skripsi ini yang akan dibahas adalah tahap pengendalian mutu bahan baku

untuk karakteristik mutu nilai pH, kekeruhan air, dan TDS pada tank

penampungan bahan baku.

4.3.1 Pengendalian Mutu Bahan Baku

Bahan baku utama dalam produksi AMDK SBQUA adalah air yang berasal

dari PDAM. Mutu air dipengaruhi oleh parameter mutu air, penyimpanan bahan

baku air dan cuaca. Parameter mutu air terdiri dari pH, suhu, kekeruhan, TDS,

chlorida, dan mikrobiologi. Nilai pH dalam perairan mencirikan keseimbangan

antara asam dan basa dalam air. Penyimpangan dalam pH pada air minum akan

mempengaruhi pertumbuhan mikroba didalam air dan perubahan rasa pada air.

Menurut SNI- 01-3553-1996, persyaratan pH pada AMDK adalah 6,5 – 8,5.

Perusahaan menetapkan persyaratan pH AMDK sesuai dengan SNI. Suhu dalam

air tidak boleh tinggi karena akan mempermudah munculnya bakteri – bakteri

pada air. Suhu maksimum yang diperbolehkan adalah 30°C.


75

Paremeter mutu AMDK selanjutnya adalah kekeruhan. Kekeruhan didalam air

disebabkan oleh adanya zat – zat tersuspensi seperti lumpur, zat organik, dan zat –

zat halus lainnya. Kekeruhan akan mengakibatkan perubahan warna dari air.

Menurut SNI-01-3553-1996, persyaratan kekeruhan pada AMDK adalah maks. 5

NTU. Perusahaan menetapkan persyaratan kekeruhan AMDK sebesar maks. 2,5

NTU. TDS (Total Dissolved Solid) merupakan zat yang terlarut dalam air.

Menurut SNI-01-3553-1996, persyaratan TDS pada AMDK adalah maks. 500

mg/l. Perusahaan menetapkan persyaratan TDS AMDK sebesar 50-90 mg/l.

Mikrobiologi merupakan suatu pengujian untuk melihat kandungan unsur – unsur

mikrobiologi seperti bakteri E-coli, yang dilakukan setiap 2 minggu sekali.

4.3.2 Analisis Grafik Pengendali

1) Grafik Pengendali pH dan Kekeruhan Air

Analisis grafik pengendali untuk nilai pH dan kekeruhan air pada tank

penampungan bahan baku menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling. Data

yang diambil berasal dari 20 buah sampel masing-masing berukuran 3, kemudian

untuk tiap sampel diambil rata-rata dan nilai T2 dihitung. Hasil perhitungan

ditunjukkan pada Tabel dalam Lampiran 5. Nilai statistik T2 dihitung dengan

memasukkan nilai-nilai 21

dan xx ke dalam (3.8), dan jika dipilih 01,0 , batas

pengendali atas grafik tersebut adalah


76

998.19

)5,4999(4

23

)13)(2(1;2;01,0

2

3;2;01,0

FT

Berdasarkan hasil perhitungan tersebut dibuat grafik pengendali T2 Hotelling

untuk pH dan kekeruhan air yang ditunjukkan oleh Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Grafik Pengendali untuk pH dan Kekeruhan Air

Dari grafik pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa sampel 5, 14, dan 16 berada

diluar batas pengendali, maka dapat disimpulkan bahwa proses tersebut tidak

terkendali. Perlu ditelusuri penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas

pengendali sehingga mengakibatkan proses produksi tidak terkendali. Penyebab

sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali dapat disebabkan oleh

beberapa kemungkinan, yaitu:

1. Kondisi sumber air baku yang dipengaruhi oleh kondisi cuaca terutama pada

musim hujan, sehingga bagian QC harus melakukan pengecekan dengan baik


77

pada bahan baku air tersebut, jika pH dan Kekeruhan air tetap tidak sesuai

standar maka dilakukan laporan kepada pihak PDAM.

2. Tanki penampungan bahan baku yang belum dikuras, sehingga air dalam

tanki menjadi keruh, oleh karena itu operator harus rutin melakukan

pengurasan pada tanki.

3. Terjadi kesalahan pengujian yang disebabkan daya fungsi alat sudah tidak

maksimal atau kesalahan dari petugas QC, sehingga hasil pengukuran tingkat

kekeruhan air dan pH tidak sesuai dengan kenyataan.

4. Kebersihan ruang pengujian masih kurang, sehingga air yang diuji tercemar

oleh debu atau kotoran yang mengakibatkan tingkat kekeruhan sampel air

tidak sesuai dengan kenyatan.

2) Grafik Pengendali Kekeruhan Air dan TDS

Analisis grafik pengendali untuk nilai kekeruhan air dan TDS pada tank

penampungan bahan baku menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling. Data

yang diambil berasal dari 20 buah sampel masing-masing berukuran 3, kemudian

untuk setiap sampel diambil rata-rata dan nilai T2 dihitung. Hasil perhitungan

ditunjukkan pada tabel dalam Lampiran 6. Nilai statistik T2 dihitung dengan

memasukkan nilai-nilai 21

dan xx ke dalam (3.8), dan jika dipilih 01,0 , batas

pengendali atas grafik tersebut adalah

998.19

)5,4999(4

23

)13)(2(1;2;01,0

2

3;2;01,0

FT


78

Berdasarkan tabel tersebut dibuat grafik pengendali T2 Hotelling untuk

Kekeruhan Air dan TDS yang ditunjukkan oleh Gambar 4.2.

Gambar 4.3 Grafik Pengendali untuk Kekeruhan air dan TDS

Pada grafik tersebut terlihat bahwa nilai statistik uji T2 pada sampel ke 3, 4, 13,

dan 14 jatuh di luar batas pengendali, maka dapat disimpulkan bahwa proses

tersebut tidak terkendali. Perlu ditelusuri penyebab sampel-sampel tersebut berada

di luar batas pengendali sehingga mengakibatkan proses produksi tidak terkendali.

Penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali dapat

disebabkan oleh beberapa kemungkinan, yaitu:

1. Kondisi sumber air baku yang dipengaruhi oleh kondisi cuaca terutama pada

musim hujan dimana kekeruhan air dan TDS meningkat, sehingga bagian QC

harus melakukan pengecekan dengan baik pada bahan baku air tersebut, jika

kekeruhan dan TDS tetap tidak sesuai standar maka dilakukan laporan kepada

pihak PDAM.


79

2. Tanki penampungan bahan baku yang belum dikuras, sehingga air dalam

tanki menjadi keruh, oleh karena itu operator harus rutin melakukan

pengurasan pada tanki.

3. Terjadi kesalahan pengujian yang disebabkan daya fungsi alat sudah tidak

maksimal atau kesalahan dari petugas QC, sehingga hasil pengukuran tingkat

kekeruhan air dan TDS tidak sesuai dengan kenyataan.

4. Kebersihan ruang pengujian masih kurang, sehingga air yang diuji tercemar

oleh debu atau kotoran yang mengakibatkan tingkat kekeruhan sampel air

tidak sesuai dengan kenyatan.


80

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Untuk memahami grafik T2 Hotelling diperlukan pemahaman tentang

grafik pengendali univariat (grafik pengendali dan S), nilai dan vektor eigen,

konsep-konsep penting dalam statistika univariat (nilai harapan dan variansi

variabel random, kovariansi dan independensi dua variabel random, dan sifat-sifat

nilai harapan dan kovariansi), konsep-konsep penting dalam statistika multivariat

(vektor dan matriks random, vektor rata-rata dan matriks kovariansi, menyekat

matriks kovariansi, vektor rata-rata dan matriks kovariansi untuk kombinasi linear

variabel random, menyekat vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel, sampel

random dan nilai harapan dari rata-rata dan matriks kovariansi sampel, variansi

yang diperumum, distribusi Normal Multivariat, dan fungsi densitas Normal

Bivariat), metode fungsi pembangkit momen, distribusi sampling yang

berhubungan dengan distribusi normal, distribusi T2 Hotelling, dan daerah

kepercayaan elips.

Grafik pengendali T2 Hotelling dapat digunakan untuk menganalisis apakah

suatu proses terkendali atau tidak berdasarkan variabel bivariat yang relevan.

Berdasarkan hasil analisis yang diperoleh pada PT. Sinar Bogor QUA (PT.

SBQUA), dapat disimpulkan bahwa aplikasi grafik pengendali T2 Hotelling


81

Bivariat untuk karakteristik mutu pH dan kekeruhan air dalam tank penampungan

bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 5, 14,

dan 16 berada diluar batas pengendali. Sedangkan pada grafik pengendali untuk

karakteristik mutu kekeruhan air dan TDS dalam tank penampungan bahan baku

menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 3, 4, dan 13 berada

diluar batas pengendali.

Penyebab sampel-sampel tersebut berada di luar batas pengendali dapat

disebabkan oleh beberapa kemungkinan diantaranya adalah faktor cuaca,

kebersihan tanki dan ruangan, dan kesalahan pengujian.

B. SARAN

Berdasarkan hasil penelitian, pembahasan dan kesimpulan, maka penulis

mencoba memberikan saran untuk penulis berikutnya, bahwa sebaiknya dibahas lebih

jauh tentang grafik pengendali T2 Hotelling Multivariat dan aplikasinya.


82

DAFTAR PUSTAKA

Batarfie, Mutia Umar Ahmad. 2006. Analisis Pengendalian Mutu pada Proses

Produksi Air Minuum Dalam Kemasan (AMDK) SBQUA (Studi Kasus di

PT. Sinar Bogor Qua, Pajajaran-Bogor). Skripsi Sarjana pada Fakultas

Ekonomi dan Manajemen Institut Pertanian Bogor: tidak diterbitkan.

Gito Sudarmo, Indriyo. Reksohadiprodjo, Sukanto. 1984. Management Produksi,

ed. 3. Yogyakarta. BPFE Yogyakarta.

Johnson, Richard. Dean Wichern. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis,

3rd ed. New Jersey: Prentice Hall.

Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta:

Gadjah Mada University Press.

Prihantoro, Rudy. 2012. Konsep Pengendalian mutu. Bandung. Remaja

Rosdakaryo.

Seber, G.A.F. 1984. Multivariate Observations. USA: John Wiley & Sons, inc.

Wackerly, Dennis.D. William Mendenhall III. Richard L. Scheaffer. 2008.

Mathematical Statistics with Applications, 7th ed. USA: Thomson

Brooks/Cole.


83

Lampiran 1. Faktor-Faktor untuk Membuat Grafik Pengendali Variabel

Sumber: Montgomery, D. C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control


84

Lampiran 2. Distribusi, Fungsi Probabilitas, Rata-Rata, Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen

Sumber: Wackerly, Dennis D. William Mendenhall III. Richard L. S. 2008. Mathematical Statistics with Applications.


85


86

Lampiran 3. Titik Presentase Distribusi F

Sumber: Douglas C. Montgomery (200


87


88


89


90


91

Lampiran 4. Total pemakaian air dan total produksi AMDK pada bulan Januari

hingga April 2006


92

Lampiran 5. Proses Produksi Air Minum Dalam Kemasan (AMDK) SBQUA


93

Lampiran 6. Tabel Perhitungan pH dan Kekeruhan Air

No pH Kekeruhan phbar k bar S²1k S²2k S12k T²

1 6,50 6,50 7,30 0,18 0,10 0,25 6,77 0,18 0,213 0,006 0,029 68,698

2 6,50 6,40 6,40 0,08 0,33 0,28 6,43 0,23 0,003 0,018 -0,007 5531,579

3 7,20 7,30 6,60 0,37 0,22 0,32 7,03 0,30 0,143 0,006 -0,009 2,996

4 6,60 7,40 7,40 0,32 0,82 0,13 7,13 0,42 0,213 0,127 0,041 1,227

5 6,80 6,60 7,30 0,24 0,21 0,31 6,90 0,25 0,130 0,003 0,019 83128,103

6 7,00 7,30 7,30 0,30 0,41 0,39 7,20 0,37 0,030 0,003 0,010 533,603

7 7,10 7,10 6,70 0,46 0,24 0,31 6,97 0,34 0,053 0,013 0,005 1,649

8 6,60 6,80 6,80 0,52 0,66 0,48 6,73 0,55 0,013 0,009 0,003 17,556

9 6,40 6,50 6,40 0,52 0,57 0,99 6,43 0,69 0,003 0,067 -0,006 157,843

10 6,30 6,40 6,80 1,38 1,98 1,54 6,50 1,63 0,070 0,097 -0,006 51,906

11 6,50 6,70 6,50 0,94 1,21 0,70 6,57 0,95 0,013 0,065 0,026 269,568

12 7,00 6,90 6,60 0,31 0,17 0,06 6,83 0,18 0,043 0,016 0,025 61,732

13 7,10 7,10 7,00 0,21 0,55 0,33 7,07 0,36 0,003 0,030 0,002 48,641

14 7,30 7,20 7,20 0,24 0,09 0,08 7,23 0,14 0,003 0,008 0,005 87538,823

15 7,50 7,30 7,40 0,19 0,14 0,15 7,40 0,16 0,010 0,001 0,003 5228,363

16 6,40 6,40 6,40 0,10 0,30 0,15 6,40 0,18 1,2E-

30 0,0108

2,47E-

32 4,87123E+29

17 6,60 6,80 6,50 0,09 0,10 0,12 6,63 0,10 0,023 0,000 -0,001 1395,390

18 6,80 6,90 7,10 0,00 0,10 0,05 6,93 0,05 0,023 0,003 0,003 154,715

19 6,90 6,20 6,50 0,14 0,30 0,41 6,53 0,28 0,123 0,018 -0,031 10,628

20 7,00 6,80 7,40 0,19 0,10 0,24 7,07 0,18 0,093 0,005 0,020 314,594

Rata-Rata 6,84 0,38


94

Lampiran 7. Tabel Perhitungan Kekeruhan Air dan TDS

No Kekeruhan TDS k bar tds bar S²1k S²2k S12k T²

1 0,18 0,10 0,25 68,50 66,00 66,00 0,18 66,83 0,006 2,083 0,004 55,096

2 0,08 0,33 0,28 63,00 63,00 64,00 0,23 63,33 0,018 0,333 0,025 23,092

3 0,37 0,22 0,32 65,01 65,00 65,00 0,30 65,00 0,006 0,000 0,000 1703841,676

4 0,32 0,82 0,13 65,00 65,01 65,00 0,42 65,00 0,127 0,000 0,002 10242503,189

5 0,24 0,21 0,31 66,00 59,00 60,00 0,25 61,67 0,003 14,333 -0,018 18,049

6 0,30 0,41 0,39 65,00 63,01 63,00 0,37 63,67 0,003 1,327 -0,066 123,965

7 0,46 0,24 0,31 63,00 64,00 64,00 0,34 63,67 0,013 0,333 -0,062 158,848

8 0,52 0,66 0,48 59,50 59,50 58,00 0,55 59,00 0,009 0,750 0,055 141,425

9 0,52 0,57 0,99 58,00 60,00 59,00 0,69 59,00 0,067 1,000 0,025 37,013

10 1,38 1,98 1,54 60,00 59,00 56,00 1,63 58,33 0,097 4,333 0,013 60,064

11 0,94 1,21 0,70 68,00 73,00 62,00 0,95 67,67 0,065 30,333 1,400 628,905

12 0,31 0,17 0,06 62,50 63,00 63,00 0,18 62,83 0,016 0,083 -0,033 20,564

13 0,21 0,55 0,33 64,00 64,01 64,00 0,36 64,00 0,030 0,000 0,001 2529288,078

14 0,24 0,09 0,08 64,00 64,01 64,00 0,14 64,00 0,008 0,000 0,000 381309,730

15 0,19 0,14 0,15 64,00 64,00 63,00 0,16 63,67 0,001 0,333 0,005 297,961

16 0,10 0,30 0,15 52,00 56,00 56,00 0,18 54,67 0,011 5,333 0,167 32,415

17 0,09 0,10 0,12 52,00 60,00 59,00 0,10 57,00 0,000 19,000 0,045 1632,342

18 0,00 0,10 0,05 62,50 64,00 63,00 0,05 63,17 0,003 0,583 0,038 5184,180

19 0,14 0,30 0,41 59,00 53,00 55,00 0,28 55,67 0,018 9,333 -0,303 46,202

20 0,19 0,10 0,24 62,00 70,00 63,00 0,18 65,00 0,005 19,000 -0,275 74,249

Rata-Rata 0,38 62,16


95

Lampiran 8. Program MATLAB untuk Daerah Kepercayaan Elips

x=input('Masukkan data dalam bentuk matriks ='); pcy=input('Masukkan kepercayaan elips (dalam persen) ='); f=input('Masukkan nilai distribusi F2,n-p,alfa ='); m=input('Masukkan myu='); [p,n]=size(x); xbar=mean(x')%vektor x bar %Mencari MAtriks Variansi Kovariansi s11=sum((x(1,:)-xbar(1)).^2)/n; s22=sum((x(2,:)-xbar(2)).^2)/n; b1=x(1,:)-xbar(1); b2=x(2,:)-xbar(2); s12=sum(b1.*b2)/n; s21=s12; S=[s11 s12;s21 s22] invs=inv(S)%Invers dari S [v,d]=eig(S);%Nilai Eigen S (Lamda) lamda1=d(1,1); lamda2=d(2,2); e1=[v(1,1);v(1,2)];%Vektor eigen dari Lamda1 e2=[v(2,1);v(2,2)];%Vektor Eigen dari Lamda2 r1=sqrt(lamda1)*sqrt(((2*(n-1))/(n*(n-2)))*f);%Panjang jari-jari

mayor elips r2=sqrt(lamda2)*sqrt(((2*(n-1))/(n*(n-2)))*f);%Panjang jari-jari

minor elips %Menggambar Daerah Kepercayaan Elips t = linspace(0,2*pi,1000); theta0=atan(r1/r2); a=r2; b=r1; g = a*sin(t+theta0)+xbar(1,1); h = b*cos(t)+xbar(1,2); plot(g,h) grid on hold on e=m(1,1); f=m(1,2); plot(xbar(1,1),xbar(1,2),'r*') plot(e,f,'bo') hold off axis equal %PErhitungan dan kesimpulan apakah myu berada di dalam daerah

kepercayaan %elips atau tidak y=n*(xbar-m)*invs*(xbar-m)' z=(2*(n-1)/(n-2))*f if y<=z disp('DATA TERKENDALI'); else disp('DATA TIDAK TERKENDALI'); end


GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN...

Documents

Transcript of GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN...