Relasi dan Fungsi

04/15/23 2

SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR

SEMOGA BERHASIL SEMOGA BERHASIL DAN SUKSESDAN SUKSES

04/15/23 3

A. RELASI11. . Pengertian Relasi Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B

adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya .

Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1,

2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan

relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :

04/15/23 4

Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah

“ kurang dari “1 .2 .3 .4 .

.1 .2 .3

BA

Kurang dari

04/15/23 5

2. Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga .

04/15/23 6

. Voli

. Basket

. Bulutangkis

. Sepakbola

Anto .

Andi .

Budi .

Badri .

BA Suka akan

04/15/23 7

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari b. Faktor dari Jawab : a.

1. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

QPSetengah dari

04/15/23 8

b.b.

. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

QP Faktor dari

04/15/23 9

b. Diagram CartesiusContoh :Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } danB = { 1, 2, 3, …, 10 }.Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B denganhubungan : a. Satu lebihnya dari b. Akar kuadrat dari

04/15/23 10

Jawab Jawab : : a . Satu lebihnya dari a . Satu lebihnya dari

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Him

pu

nan

B

Himpunan A

04/15/23 11

Jawab :Jawab : b. Akar kuadrat dari b. Akar kuadrat dari

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Him

pu

nan

B

Himpunan A

04/15/23 12

C. Himpunan pasangan berurutan

Contoh :

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan

B = { 1, 2, 3, … , 10 } .

Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :

a. kuadrat dari

b. dua kali dari

c. Satu kurangnya dari

04/15/23 13

Jawab : Jawab :

a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }

b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) } (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }

c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) } (7,8), (8,9), (9,10) }

04/15/23 14

B. FUNGSI1. Pengertian Fungsi

Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .

Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :

04/15/23 15

Contoh : Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah Perhatikan diagram panah dibawah ini :ini :

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

04/15/23 16

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

04/15/23 17

2. Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x .

04/15/23 18

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .

Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .

04/15/23 19

Jawab :

a . Diagram panah

. 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

BA

04/15/23 20

b. Diagram cartesiusb. Diagram cartesius

1

a i u e o0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

04/15/23 21

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

c. Himpunan pasangan berurutan

04/15/23 22

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan

Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab

Contoh :Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

04/15/23 23

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}Jawab :

a. n(A) = 1 , n(B) = 1

Banyak pemetaan 11 = 1

b. n(C) = 1 , n(D) = 2

Banyak pemetaan 21 = 2

04/15/23 24

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625

04/15/23 25

f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < x << 6, x 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

4. Merumuskan suatu fungsi

04/15/23 26

a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai

x = 13

Jawab :

04/15/23 27

5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari :

a. A = {a, b, c} B = {1, 2} b. A = {1, 2} B = {a, b, c} c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}

04/15/23 28

C. Menghitung Nilai Fungsi Untuk menghitung nilai fungsi dapat Untuk menghitung nilai fungsi dapat

digunakan rumus : digunakan rumus : f (x) = ax + bf (x) = ax + b Contoh :Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x

5x -3 5x -3 Tentukan :Tentukan : a. Rumus funsi .a. Rumus funsi . b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .

04/15/23 29

Jawab :Jawab :

a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3

b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 =

1717 x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 =

-8-8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17

dandan x = -1 adalah -8x = -1 adalah -8

04/15/23 30

2. Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5

04/15/23 31

Jawab :Jawab :

a. g (x) = -4x + 3 g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3 = 8 + 3 = 11 b. g (a) = - 4a + 3 - 4a + 3 = - 5 - 4a = - 5 – 3 - 4a = - 8 a = 2

04/15/23 32

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI

Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika

data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b . Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -

8 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya c. Bayangan dari – 3

04/15/23 33

Jawab :Jawab :

a. f (x) = ax + ba. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10 f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10 f (-4) = -4a + b = -8 f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 -4a + b = -8

- - 6a = 186a = 18 a = 3a = 3 untuk a = 3 untuk a = 3 2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b = 4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4

04/15/23 34

b. f (x) = ax + b b. f (x) = ax + b

f (x) = 3x + 4f (x) = 3x + 4

Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4+ 4

c. Bayangan dari – 3c. Bayangan dari – 3

f (x) = 3x + 4f (x) = 3x + 4

f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4

= - 9 + 4= - 9 + 4

= - 5 = - 5

04/15/23 35

E. Menggambar Grafik Fungsi

Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya .

1. Grafik Fungsi Linier Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 dengan domain {x/0 x 5 , x

C}

04/15/23 36

Jawab :Jawab :

f (x) = x +1 daerah asal = f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }{ 0,1,2,3,4,5 }

{x,f(x)}

x+1

x

(2,3)

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

(0,1) (1,2) (3,4) (4,5) (5,6)

04/15/23 37

Grafiknya : Grafiknya : f (x) = x + 1 , x f (x) = x + 1 , x c (0,1,2,3,4,5)c (0,1,2,3,4,5){(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

1

1 2 3 4 50

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x +

1

x

04/15/23 38

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x 2. a. Buatlah tabel fungsi g : x -2x + 1 dengandengan

daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !

b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :

(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !

(ii) himpunan pasangan berurutan !(ii) himpunan pasangan berurutan !

(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut (iii) gambarlah grafik fungsi tersebut padapada

bidang cartesius , kemudian bidang cartesius , kemudian

hubungkan titik-titik tersebut hubungkan titik-titik tersebut sehinggasehingga

menjadi suatu garis lurus. menjadi suatu garis lurus.

04/15/23 39

Jawab :Jawab :

a. g (x) = - 2x + 1a. g (x) = - 2x + 1

1

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-2x

1

g (x)

8 6 4 2 0 -2 -4 -6

1

9 7 5 3 -1 -3 -5

1 1 1 1 1 1 1

04/15/23 40

b. (i) Bayangan dari :b. (i) Bayangan dari :

-2 adalah 5-2 adalah 5

0 adalah 10 adalah 1

2 adalah -32 adalah -3

(ii) Himpunan pasangan berurutan :(ii) Himpunan pasangan berurutan :

{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1),(1,-1),

(2,-3),(3,-5) } (2,-3),(3,-5) }

04/15/23 41

(iii) Grafiknya :(iii) Grafiknya :9

0-1-2-3-4

-1

-2

-3

-4-5

1 2 3

1

2

3

4

5

6

78

g (x) = -2x + 1

04/15/23 42