Golden rasio

1. Barisan Fibonacci2. Golden Rasio

3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata

FILSAFAT SAINSGolden Rasio

Rukmono Budi Utomo

February 25, 2016

Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

Barisan Fibonacci

1 1. Barisan Fibonacci

2 2. Golden Rasio

3 3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata

Barisan Fibonacci

Sejarah Penemuan Rasio Emas oleh Matematikawan asal Italia,yakni Fibonacci berawal dari pengamatan atas bilangan Fibonacciitu sendiri.

Rumusan Fibonacci

Fibonacci merumuskan bahwa suatu barisan bilanganf0, f1, f2, f3, ..., fn−2, fn−1, fn dengan karakteristik bahwa untukf0 = 1 dan f1 = 1 , maka f2 = 1 yang merupakan jumlahan atasdua suku sebelumnya, dengan kata lain f2 = f0 + f1. Begituseterusnya untuk f3 = f1 + f2 dst , dan fn = fn−2 + fn−1.

Barisan Fibonacci

Sejarah Penemuan Rasio Emas oleh Matematikawan asal Italia,yakni Fibonacci berawal dari pengamatan atas bilangan Fibonacciitu sendiri.

Rumusan Fibonacci

Fibonacci merumuskan bahwa suatu barisan bilanganf0, f1, f2, f3, ..., fn−2, fn−1, fn dengan karakteristik bahwa untukf0 = 1 dan f1 = 1 , maka f2 = 1 yang merupakan jumlahan atasdua suku sebelumnya, dengan kata lain f2 = f0 + f1. Begituseterusnya untuk f3 = f1 + f2 dst , dan fn = fn−2 + fn−1.

lanjutan

Dengan demikian barisan Fibonacci untuk n = 15 secara lengkapdapat dituliskan sebagai berikut:

f0, f1, f2, f2, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12, f13, f14, f150; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377

Terus Barisan Fibonacci itu untuk apa?Pentingnya dimana?Berbagai fenomena alam diketahui merupakan representasi daribarisan Fibonacci contohnya adalah bunga matahari.

lanjutan

Terus Barisan Fibonacci itu untuk apa?Pentingnya dimana?

Berbagai fenomena alam diketahui merupakan representasi daribarisan Fibonacci contohnya adalah bunga matahari.

lanjutan

Apabila dicermati Pola biji pada bunga matahari, biji dari titiktengah menuju ke lingkaran yang lebih luar mengikuti BarisanFibonacci.

kemudian bunga-bunga di sekeliling pekarangan kita seperti lili(itecalla lily) , bunga Euorbipha dan bunga Trillium memiliki kelopakbunga yang merupakan suku pada barisan Fibonacci

lanjutan

Apabila dicermati Pola biji pada bunga matahari, biji dari titiktengah menuju ke lingkaran yang lebih luar mengikuti BarisanFibonacci.

kemudian bunga-bunga di sekeliling pekarangan kita seperti lili(itecalla lily) , bunga Euorbipha dan bunga Trillium memiliki kelopakbunga yang merupakan suku pada barisan Fibonacci

lanjutan

Pada gambar diatas, bunga ite calla lily memiliki kelopak satuyang merupakan sukupertama f1 dan f2 pada barisan Fibonacci,begitu juga dengan bunga Euorbipha dan bunga Trillium masingmasing memiliki kelopak 2 dan 3 yang merupakan suku ke 3 (f3)dan suku ke 4 (f4) pada barisan Fibonacci.

Masih banyak bunga-bunga lain yang mengikuti barisan Fibonacci,seperti bunga buttercup yang memiliki kelopak 5,bungadelphiniums yang memiliki kelopak 8 dan bunga ragwort danbunga aster yang masing-masing memiliki kelopak 13 dan 21.

lanjutan

Pada gambar diatas, bunga ite calla lily memiliki kelopak satuyang merupakan sukupertama f1 dan f2 pada barisan Fibonacci,begitu juga dengan bunga Euorbipha dan bunga Trillium masingmasing memiliki kelopak 2 dan 3 yang merupakan suku ke 3 (f3)dan suku ke 4 (f4) pada barisan Fibonacci.

Masih banyak bunga-bunga lain yang mengikuti barisan Fibonacci,seperti bunga buttercup yang memiliki kelopak 5,bungadelphiniums yang memiliki kelopak 8 dan bunga ragwort danbunga aster yang masing-masing memiliki kelopak 13 dan 21.

Rasio Emas

Rasio Emas φ = 1.618205... atau dalam angka pembulatan karenapemotongan adalah π = 1.618 merupakan suatu nilai rasio (rationumber) konvergen yang diperoleh apabla suku-suku diatas duabelas pada barisan Fibonacci dibagi dengan satu suku sebelumnya

Dalam barisan Fibonacci, f12 bernilai 89,f13 bernilai 144, f14bernilai 233,dan f15 bernilai 377 . Apabila dilakukan perhitungandengan cara membagi suatu suku dalam deret Fibonacci dengansuku sebelumnya, maka akan diperoleh suatu bilangan yangmenuju ke arah (Golden Ratio) atau rasio emas π = 1.618.

Rasio Emas

Rasio Emas φ = 1.618205... atau dalam angka pembulatan karenapemotongan adalah π = 1.618 merupakan suatu nilai rasio (rationumber) konvergen yang diperoleh apabla suku-suku diatas duabelas pada barisan Fibonacci dibagi dengan satu suku sebelumnya

Dalam barisan Fibonacci, f12 bernilai 89,f13 bernilai 144, f14bernilai 233,dan f15 bernilai 377 . Apabila dilakukan perhitungandengan cara membagi suatu suku dalam deret Fibonacci dengansuku sebelumnya, maka akan diperoleh suatu bilangan yangmenuju ke arah (Golden Ratio) atau rasio emas π = 1.618.

lanjutan

Pehitungannya sebagai berikut.

f13f12

= 14489 ≈ 1.6179775

f14f13

= 233144 ≈ 1.6180556

f15f14

= 377233 ≈ 1.6180258

...dst

Apabila suku-suku dalam barisan Fibonacci dilakukan perhitunganpembagian seperti di atas, maka akan menghasilkan suatu niairasio π = 1.618.

lanjutan

Pehitungannya sebagai berikut.

f13f12

= 14489 ≈ 1.6179775

f14f13

= 233144 ≈ 1.6180556

f15f14

= 377233 ≈ 1.6180258

...dst

Apabila suku-suku dalam barisan Fibonacci dilakukan perhitunganpembagian seperti di atas, maka akan menghasilkan suatu niairasio π = 1.618.

lanjutan

Matematikawan Euclid memberikan defnisi tertulis pertamamengenai apa yang disebut sebagai rasio emas. Menurut Euclid:Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam rasio ekstrem danrata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjangadalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek. Euclidmenjelaskan cara memotong sebuah garis dalam apa yang ia sebutsebagai ”rasio ekstrem dan rata-rata” yang kemudian familiardengan yaitu rasio emas

lanjutan

Matematikawan Euclid memberikan defnisi tertulis pertamamengenai apa yang disebut sebagai rasio emas. Menurut Euclid:Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam rasio ekstrem danrata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjangadalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek. Euclidmenjelaskan cara memotong sebuah garis dalam apa yang ia sebutsebagai ”rasio ekstrem dan rata-rata” yang kemudian familiardengan yaitu rasio emas

Golden Rasio Dalam Dunia Nyata

Pada tangan manusia, diyakini bahawa perbandingan panjangantara ujung tangan kesiku dengan siku kepangkal tanganmenghasilkan rasio emas. Begitu juga dengan rasio pembagianatas panjang pangkal telapak tangan ke siku dengan ujung telapaktangan ke pangkal telapak tangan juga menghasilkan rasio emas.Gambar di ujung kanan juga menjelaskan bahwa perbandinganantara panjang tangan manusia dengan panjang dari siku kepangkal tangan turut menghasilkan rasio emas.

Golden Rasio Dalam Dunia Nyata

Pada tangan manusia, diyakini bahawa perbandingan panjangantara ujung tangan kesiku dengan siku kepangkal tanganmenghasilkan rasio emas. Begitu juga dengan rasio pembagianatas panjang pangkal telapak tangan ke siku dengan ujung telapaktangan ke pangkal telapak tangan juga menghasilkan rasio emas.Gambar di ujung kanan juga menjelaskan bahwa perbandinganantara panjang tangan manusia dengan panjang dari siku kepangkal tangan turut menghasilkan rasio emas.

lanjutan

Rasio emas merupakan bilangan irasional dengan nilaisesungguhnya yakni 1.61803398874989484820... yang digitnyaterus bertambah tanpa pola tertentu.

Masih banyak contoh dalam fenomena dunia nyata yangmenghasilkan rasio emas.

Rasio emas akan terus memberikan teka-teki pada manusiadan membutuhkan penelitian yang sangat panjang untukmengetahui makna dari rasio emas tersebut, atau malah tidakakan pernah terungkap.

referensimakalahrasioemasmatematika.blogspot.co.idhttp://majalah1000guru.net/2013/07/golden-ratio/

Golden rasio

Science

Transcript of Golden rasio