Eka Maulana, ST, MT, Meng.Brawijaya University

Gerbang Logika & Aljabar Boole

Aljabar Boole (Boolean Algebra)Aljabar Boolean

adalah sistem operasi matematis logika padahimpunan atau proposisi yang memenuhi aturan-aturan ekivalen logika.

PendekatanPendekatanMisalkan F dengan operasi + (OR) dan ●

(AND), atau suatu komplemen (‘), dan dua elemenyang beda 0 dan 1 yang didefinisikan padahimpunan atau proposisi, sehingga a,b dan cmerupakan elemen B yang mempunyai sifat-sifatidentitas, komutatif, distributif dan komplemen.

Fungsi Aljabar Boolean

No AND OR KETERANGAN

12345678

9

(A.B).C = A.(B.C)A .B = B .A

(A+B).(A+C)=A+(B.C)A.O = OA.A = AA.A’= OA = A

A.O= OA .1 = A

A.(A + B ) = A

(A+B)+C=A+(B+C)A+B=B+A

(A.B)+(A.C)=A(B+C)A+1= 1A+A=AA+ A’=1

A = AA + O = AA + 1 = 1

A + (A.B) = A

Hukum AsosiatifHk.KomutatifHk.DistributifHk.IdentitasHk.IdempotenHk.Inversi/NegasiHk.Negasi GandaHk.Hubungan DgnSuatu KonstantaHk.Absorbsi

Gerbang LogikaTujuan dan Ruanglingkup dasar pembentuk pemodelan dlm sistem digital. beroperasi dlm sistem bilangan biner (logika biner).

PendekatanPendekatanLogika biner yang digunakan dlm sistem digital, yaitu :

1. logika biner positif, logika tinggi ditandai dengan nilai ‘1’ dan logika rendah ditandai dengan nilai ‘0’.

2. logika biner negatif, logika tinggi ditandai nilai ‘0’dan logika rendah ditandai nilai ‘1’.

Pada pembahasan ini kita akan mengunakan logika biner positif.

Gerbang Logika Dasar

Pada sistem digital hanya terdapat tiga buah gerbang logika dasar, yaitu :

1. gerbang AND, 2. gerbang OR, dan 3. gerbang NOT (inverter/ komplemen).

Gerbang Logika ANDGerbang logika AND gerbang logika dasar yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyalkeluaran. ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika semuasinyal masukan tinggi. Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A AND B”)

A

BF

A B F

0 0 00 1 01 0 01 1 1

F A B F A B

6

7

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

S1 S2 Lampu

OFF OFF

OFF ON

ON OFF

ON ON

Analogi gerbang AND

S1 S2

”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan secara seri.”

Fungsi = …………

8

S1 S2 PATH?

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Fungsi = Logika ANDAND

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

S1 S2

Gerbang Logika ORGerbang logika OR gerbang logika dasar yang memiliki dua ataulebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. Ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika salah satu sinyalmasukan tinggi. Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A OR B”)

A

BF

A B F

0 0 00 1 11 0 11 1 1

F A B F A B

10

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S1 S2 Lampu

OFF OFF Mati

OFF ON Nyala

ON OFF Nyala

ON ON Nyala

Analogi

S1

S2

”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan secara paralel.”

11

Switches in Parallel

S1 S2 Lampu

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Fungsi =

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S1

S2

Gerbang Logika NOTGerbang logika NOT gerbang logika dasar yang memiliki sebuahsinyal masukan dan sebuah sinyal keluaran. Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika sinyalmasukan rendah. Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan komplemen A”) atau negasi A

A FA F

0 11 0

F AF A

13

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S Lampu

OFF Nyala

ON Mati

Analogi Gerbang NOT

S

R

”memiliki konsep seperti sebuah saklar yang dipasangkan secara paralel dengan lampu dan diserikan dengan sebuah resistor.”

14

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S Lampu

0 1

1 0

(lanjutan Analogi Gerbang NOT)

S

R

Gerbang Logika Bentukan

dihasilkan dari susunan gerbang logika dasar.diantaranya :1. gerbang NAND, 2. gerbang NOR, 3. gerbang XOR, dan 4. gerbang XNOR.

Gerbang Logika NAND

Gerbang logika NAND gerbang logika AND yang di NOT kan.

A B F

0 0 10 1 11 0 11 1 0

A

BFF

A

B

Gerbang Logika NAND (Lanjutan)

Gerbang logika NAND gerbang logika yang memiliki dua ataulebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan rendah jika semuasinyal masukan tinggi. Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A NAND B / bukan A AND B”)

A B F

0 0 10 1 11 0 11 1 0

A

BF

F A B F A B

Gerbang Logika NOR

Gerbang logika NOR gerbang logika OR yang di NOT kan.

A B F

0 0 10 1 01 0 01 1 0

A

BFF

A

B

Gerbang Logika NOR (Lanjutan)Gerbang logika NOR gerbang logika yang memiliki dua atau lebihsinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan rendah jika salah satuatau semua sinyal masukan tinggi.Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A NOR B / bukan(not) A OR B”)

A B F

0 0 10 1 01 0 01 1 0

A

BF

F A B F A B

Gerbang Logika XORberlaku ketentuan: sinyal keluaran tinggi jika masukan tinggi berjumlah ganjil. Ekspresi Booleannya : (dibaca “F sama dengan A XOR B”)

A B F

0 0 00 1 11 0 11 1 0

B

AF

F A B F A B

Gerbang Logika XNORberlaku ketentuan: sinyal keluaran rendah jika masukan tinggiberjumlah ganjil. Ekspresi Booleannya : (dibaca “F sama dengan A XNOR/ bukan XOR B”)

A B F

0 0 10 1 01 0 01 1 1

A

BF

F A B F A B

Bagaimana?

Jika gerbang logika NAND dan NOR terbentuk melaluipenambahan gerbang NOT pada output AND maupun NOR,

bagaimana gerbang logika XOR dan XNOR terbentuk dari gerbang logika dasar?

Bubble AND

Logika bubble AND dibentuk dengan memberikan Not pada tiap masukan AND.

A B F

0 0 10 1 01 0 01 1 0

A

BFA

B

F

Dilihat dari tabel kebenarannya :

A B F

0 0 10 1 01 0 01 1 0

A

BF

A

BF

Bubble OR

Logika bubble OR dibentuk dengan memberikan Not pada tiap masukan OR.

A B F

0 0 10 1 11 0 11 1 0

A

B

FA

BF

Dilihat dari tabel kebenarannya :

A B F

0 0 10 1 11 0 11 1 0

A

BF

A

BF

Ekivalen logika positif dan logika negatif

Logika positif Logika negatif Definisi

OR AND Keluaran tinggi jika salah satu masukan tinggi

AND OR Keluaran tinggi jika semua masukan tinggi

NOR NAND Keluaran rendah jika salah satu masukan tinggi

NAND NOR Keluaran rendah jika semua masukan tinggi

Gerbang Logika Name Circuitsymbol

Truthtable Equation

AND

OR

NOT

NAND

NOR

EXCLUSIVE-OR

X1

X2

Z

X Z

0011

0001

X2

X1 ZX1 X2 Z0011

0101

0111

X Z

X1 X2 Z0011

0101

0001

X1 X2 Z0011

0101

1110

X1

X2Z

X1 X2 Z0011

0101

1000

X1 X2 Z0011

0101

0110

Z = X1 . X2

Z = X1 + X2

Z = X

Z = X1 . X2

Z = X1 + X2

Z = X1 + X2

X1

X2

Z

X1

X2Z

Tugas

Aljabar Boole (Boolean Algebra)

#1. Buat Fungsi/ Ekspresi Logika dari Gerbang Berikut!

#2. Rancanglah Gerbang Logika dari Fungsi Berikuta. F = A.B + AB’C + (AB)’C

b. F = A’B’C+ABC’+A’B+AB’

c. F = (A(BC)’+A’BC)’+BC’

#3. Seleseikan Tabel Kebenaran dari Soal 1 dan 2

AA

B

B

CF1 F2