Oleh

Indah Febryanta (06081011007)Ragil Mery Yaniska (06081011018)Ana Inayati (06081011031)Desi Purnamasari (06081011033)Rizka Regina Ade (06081011021)

Kelompok 8

GETARAN SELARAS

Getaran (osilasi) adalah gerak yang periodik terhadap waktu, bolak-balik di sekitar titik setimbang.

Getaran selaras (getaran harmonik) adalah getaran yang posisi partikel sebagai fungsi waktu

gaya yang mempengaruhi antara lain :

• Getaran Selaras Sederhana(GSS)• Getaran Selaras Terdam (GST) •Getaran Selaras (Terpaksa)(GST)

Getaran Selaras Sederhana adalah gerak periodik dengan lintasan yang selalu sama panjang dan terjadi karena gaya balik yang arahnya selalu menuju arah titik seimbang

Gaya balik yang banyak terjadi F = -kx

Titik setimbang

x

Persamaan geraknya dengan Hukum Newton II

m

)1.........(..........0

0..

....

..

xm

kx

kxxmkxxm

xmmaF

(Pada Orde 2)”Penyelesaian dengan mengambil

qtex

00

)........2(....................0

0

20

2

0

20

2

02

2

2

qeq

m

ke

m

keq

em

ke

dt

d

qt

qtqt

qtqt

0122

022

20

2 1,

iqiq

iq

Penyelesaiannya :

Dengan menggunakan identitas euler :

Dengan mengambil : dan

titi eCeCtx

xCxCtx00

21

uiue iu sincos

titCtitCtx 0000 sincossincos

tiCCtCC 00 sincos

tBtAtx 00 sincos

cos0xA sin0xB

txtxtx 0000 sinsincoscos

sinsincoscoscos

txtx

ttxtx

00

000

cos

sinsincoscos

m

k

x

tx

0

0

txtx 000 sin

txtx 02

00 cos

Dengan Identitas trigonometri :

Posisi pada saat tSimpangan maksimum =

amplitudo

Frekuensi sudut

Dimana :

Fase awal

Kecepatan :

Percepatan :

Getaran Selaras Sederhana pada ayunan Bandul

Ayunan sederhana adalah sebuah benda yang digantungkan pada tali ringan yang mempunyai panjang tetap. Jika benda diberi simpangan sudut dan dilepaskan maka benda akan berayun pada bidang vertikal karena pengaruh gaya berat.

sinmgFg

2

2

2

2

sindt

dmmg

dt

dmF

Gaya Balik

l

ssin

0

00

0

0

..

....

..

..

ss

sl

gs

l

sgs

g

g

l

g0

)cos( 00 tss

Bentuk persamaan gerak

sehingga

TeNaGa GSS

GaYa balik pada GSS merupakan gaya konservatif, sehingga

x x

kxkxdxFdtW0 0

2

2

1

dmgFdsW sin

2

2s

l

lmgds

l

smg

dmg

Yang berupa energi potensial

Tenaga Total :

22.

2

1

2

1kxxmE

UTE

Simpul Pendulum :

mghmglW

mglmglW

)cos1(!4!2

1cos

22

1

42

22

Hubungan l dengan h

)cos1(cos lllh

Energi Total :

22.

2

1

2

1s

l

mgsmE

bila

Tenaga potensial

maka

GetaraN Selaras Teredam

Gaya yang diperhitungkan : * Gaya balik –kx

*gaya redaman -cx

Persamaan differensial :

0...

...

xckxxm

xckxxm

qtex Dengan mengambil

0

0

0

2

2

2

2

qtqtqt

qtqtqt

qtqtqt

qem

cqe

m

keq

cqekeemq

edt

dckee

dt

dm

LANJUTAN

21

221

2

2

21

2

2

12

22

2

44

422

4

00

m

mkcc

m

k

m

c

m

cmk

mc

mc

q

qm

c

m

kqeq

m

c

m

kq qt

Getaran Selaras Teredam :

• GST kuat (over damping)

• GST kritis (critical damping)

• GST lemas (under damping) 04.

04.

04.

2

2

2

mkcIII

mkcII

mkcI

Kondisi I

1

21

2

1 2

4

m

mkccq

2

21

2

2 2

4

m

mkccq

Penyelesaian persamaan :

Catatan :

• redamannya sangat besar

• memerlukan waktu yang lama untuk menuju kesetimbangan

tt eAeAxAxAtx 21212211

over damping

042 mkc

m

cqq

221

KonDiSi II

mkc 42

nkm

c 22

4

042 mkc

Dari kondisi

Bentuk persamaan gerak :

0

0

0

2

xxx

xm

kx

m

cx

kxxcxm

tAeu

Atu

dtudt

du

udt

dx

dt

d

dt

d

ln

00

xdt

dxu

t

t

ttt

xeAt

xeddtA

xedt

dex

dt

dxAAex

dt

dx

B

Dengan Mengambil

Bentuk penyelesaian geraknya :

teBAttx saat akan terjadinya peredaman

memerlukan waktu yang lebih lama untuk menuju kesetimbangan

Kondisi III

mkc

mkc

4

042

2

negatif

dim

k

m

ci

m

cq

21

2

2

1 442

dim

k

m

ci

m

cq

21

2

2

2 442

Nilai q adalah bilangan kompleks

GETARAN SELARAS TERPAKSAGAYA PEMAKSA →FEXT = F0 EIΩT

PERSAMAAN GERAKNYA:MẊ=-KX – CẊ + FMẊ+KX + CẊ = FMẊ +KX + CẊ = FE……………….(1)

2202

22

4

m

c

m

kd

Benda sempat melakukan beberapa kali osilasi sebelum mencapai kesetimbangan

PUPD:x(t) = C+x1 + C-x2

x(t) = C+e(-γ+iωd)t+C-e (-γ+iωd)t x(t)= e-η(C+e(-γ+iωd)t+C-e (-γ+iωd)t)

x(t) = e-η x0 cos( ωdt-Ф)

PD ini mempunyai 2 penyelesaian• Pd homogen => transient response • Pd tak homogen => steady state response

steady state response :

• x(t) = Aei(ωt-Ф)

x(t) = Aiωei(ωt-Ф) …...............(2)

x(t) = - A ω2ei(ωt-Ф)

Persamaan (2) substitusi ke (1)

-mAω2 ei(ωt-Ф)+ cAiωei(ωt-Ф) + kA ei(ωt-Ф) = F0 eiωt

(-mAω2 + cAiω + kA)ei(ωt-Ф) = F0 eiωt

-mAω + cAiω + kA=FOeiωt

real imajiner

-mAω2 + kA = F cos Ф ...(a) cAiω = F i sin Ф ..………..(b) b :a

220

220

220

22

22

2tan

22tan

tan

tan

p

p

p

p

mm

mk

mc

mk

c

kmc

kAmAcA

ωp = frekuensi sudut gaya pemaksa

ω0 = frekunsi sudut alami

= beda fase gaya pemaksa dan keadaan mantap

Keterangan :m

e2

21

22220

0

21

2

2222

0

21

2222

20

2222

202

4)(

:)(

)(

PP

MF

A

mc

mm

nk

mF

A

mcmk

FA

cmk

FA

Persamaan (a) dan (b) dikuadratkan dan dijumlah(-mω2 + k)A = F0 cos Ф →(k – mω2)2 A2 = F0

2 cos2 Фc2A2ω2 = Fo

2 sin2 Ф__________________________ +A2 (k – mω2)2 + c2 A2 ω2 = Fo

2

A2 [(k – mω2)2 + c2 ω2 ]= Fo2

Resonansi Amplitudo

Untuk keadaan steaty slate:

Frekuensi sudut pada saat amplitudo maksimum dikatakan terjadi

resonansi amplitudo (ωr)

Kaitan dengan ω0 dan γp

Ωr = [ω20-2γ2]2 → diperoleh dari

22

0

1

21

222220

0

2tan

4

p

p

p

mF

A

0d

dA

Thanks for your Attention

Wassalammua’laikum Wr. Wb