Pengenalan

Matematik adalah salah satu bidang ilmu yang sangat menyeluruh sifatnya. Ia

merangkumi semua aspek kehidupan, seperti membuat perhitungan, membuat

penilaian dan seterusnya membuat keputusan. Melalui proses penyelesaian

masalah seharian, manusia dikerah untuk mengeluarkan pendapat seterusnya

memberikan hujah terhadap keputusan atau langkah penyelesaian yang diambil.

Disinilah peranan berfikir secara matematik dapat membantu manusia membuat

pertimbangan yang wajar sebelum memilih sesuatu jalan penyelesaian.

Bagi memperkembangkan potensi pemikiran matematik di dalam akal

manusia, ia seharusnya bermula dari peringkat kanak-kanak. Konsep matematik

terhadap alam sekeliling sebenarnya telah wujud di dalam akal kanak-kanak sejak

dari peringkat bayi lagi. Ini merujuk kepada sifat ingin tahu kanak-kanak terhadap

objek, terutama melalui deria sentuhan. Pendedahan awal kepada banyak bentuk

konkrit di sekeliling kanak-kanak sebenarnya mencetuskan pelbagai persepsi

terhadap alam sekeliling. Pelbagai konsep terbentuk di dalam minda kanak-kanak,

yang boleh bersifat betul dari segi konsepnya, ataupun yang bersifat miskonsepsi.

Konsep Geometri dan hubungannya dengan kanak-kanak tidak dapat

dipisahkan. Seperti yang telah dijelaskan, penerokaan kanak-kanak terhadap

bentuk, terutama bentuk 3 dimensi telah berlaku sejak bayi. Mereka dideahkan

dengan pelbagai objek permainan yang mempunyai pelbagai bentuk, saiz, warna

dan tekstur. Pendedahan awal inilah yang membantu kanak-kanak membentuk

pemikiran terhadap geometri. Apabila kanak-kanak memasuki alam persekolahan,

rancangan pengajaran dan pembelajaran kemahiran geometri mestilah berdasarkan

prakonsep yang telah terbentuk di dalam pemikiran kanak-kanak ini. Peranan guru

adalah sangat kritikal supaya konsep-konsep yang terbentuk dapat dikembang atau

diperbetulkan bagi membolehkan kanak-kanak memahami serta dapat

menyelesaikan masalah yang berkait dengan geometri, seterusnya menghargai

keindahan yang terdapat di dalam unsur-unsur geometri.

Apakah Geometri

Ilmu geometri telah wujud dan berkembang sejak dari zaman mesir purba, walaupun ia lebih

lama daripada itu. Pandangan cendikiawan hanya merujuk bermulanya ilmu geometri pada

zaman Tamadun Mesir, kerana bermula pada zaman inilah, ilmu geometri direkodkan

secara bertulis. Unsur perkembangan geometri adalah disebabkan aktiviti menyukat semula

kawasan milik penduduk mesir yang sering di landa banjir akibat limpahan sungai Nil.

Geometri berasal daripada perkataan latin iaitu ‘Geo’ yang bermaksud tanah, dan ‘metri’

yang bermaksud ukur. Secara umumnya, ilmu geometri adalah cabang ilmu matematik

yang mengambil berat persoalanan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah

dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Permulaan geometri

terawal yang direkodkan boleh dijejak ke Mesopotamia purba, Mesir, dan Lembah Indus dari

sekitar 3000 SM. Geometri awal adalah koleksi dari empirikal yang dijumpai yang

mengambil berat jarak, sudut, luas, dan isipadu, yang telah berkembang untuk menemukan

sesetengah keperluan praktikal dalam tinjauan, pembinaan, astronomi, dan berbagai kraf.

Teks terawal yang dikenali pada geometri ialah Papirus Papirus Mesir, dan Papirus Moscow,

Batu bersurat tanah liat Babylonia, dan Shulba Sutras India, manakala orang Cina

mempunyai karya Mozi, Zhang Heng, dan Sembilan Bab pada Seni Matematik, ditulis oleh

Liu Hui.

Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh

seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements

merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi

salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan

kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi

andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya

membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun

banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli

matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan

bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem

logik yang komprehensif. Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih

lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh

pembuktian formal yang pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal

dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu

bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-

keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan

menerusi kaedah geometri.

Rasional Ilmu Geometri

Geometri menghubungkan manusia dengan dunia seharian. Semua aspek praktikal

dan estetik geomteri boleh ditemui dalam bidang seni dan pembinaan, penerokaan

ruang, perancangan perumahan, serta rekaan fesyen dan kenderaan. Topik-topik ini

sebenarnya memberikan persepsi yang berbeza kepada kanak-kanak dan akan

menarik minat mereka untuk melibatkan diri dengan ilmu geomteri. Hubungan yang

terbentuk dengan alam sekeliling dengan ilmu geomteri akan membentuk dan

mengembangkan pengetahuan dan kemhiran geometri, kemahiran memvisualisasi

ruang, atau boleh ditakrifkan sebagai celik ruang (spatial sense), serta keupayaan

menyelesai masalah.

Del Grande dan Morrow (1989), menyenaraikan 7 kemahiran yang menyumbang

kepada kemahiran celik ruang iaitu;

a. Koordinasi motor-mata

b. Persepsi latar-bentuk

c. Ketetapan persepsi

d. Position-in –space perception

e. Persepsi hubungan antara ruang

f. Diskriminasi visual

g. Memori visual

Semua kemahiran ini boleh dikuasai dan dikembangkan dengan aktiviti yang

dilakukan dengan meneroka bentuk 2 dimensi dan tiga dimensi oleh kanak-kanak.

Sistem dan konsep Geometri

Disebabkan geometri adalah sebahagian daripada kehidupan manusia, ahli-ahli

matematik telah membangunkan beberapa system geometri. Sistem-sistem tersebut

adalah Geometri Topologi, Geometri Euclidean, Geometri Koordinat dan Geometri

Transformasi.

Geometri Topologi adalah ilmu geometri yang berkait dengan kedudukan objek

seperti dekat, jauh, dalam, luar dan sebagainya. Konsep-konsep yang perlu kanak-

kanak didedahkan adalah seperti konsep ‘proximity’, kedudukan relatif, susunan

serta pengasingan dan juga konsep ‘enclosure’.. Geometri Koordinat adalah juga

geometri kedudukan tetapi dalam bentuk grid grid dan biasanya meliibatkan titik-titik

atau paksi. Geometri Transformasi pula merujuk kepada geometri berubah seperti

pusingan, terbalik, pantulan dan sebagainya. Teselasi adalah konsep penting yang

perlu dikembangkan di dalam Geometri Transformasi. Geometri Euclidean adalah

system geometri yang paling luas dipelajari, iaitu ilmu geometri asas yakni bentuk,

sama ada 2 dimensi atau 3 dimensi. Dalam geometri Euclidean inilah kanak-kanak

malahan seluruh manusia belajar mengenai bentuk serta elemen-elemen di

dalamnya.

Walaupun system ini wujud dalam bentuk yang terasing, tetapi dari aspek

praktikalnya masing-masing saling bertindan. Hanya istilah yang boleh membezakan

setiap jenis geometri ini. Gurulah yang berperanan mendedahkan kepada murid ilmu

geometri agar mereka dapat menguasai kemahiran geometri serta celik ruang.

Elemen-Elemen Geometri

Plane Figures

1. Points : ialah titik iaitu lokasi dalam ruang,pada permukaan atau dalam

system koordinat. Titik tidak mempunyai dimensi dan ditakrifkan hanya oleh

kedudukannya sahaja. Ianya mengandungi lebar dan ketebalan.

2. Lines : ialah sambungan diantara dua titik dalam ruang atau pada suatu

permukaan. Garisan merupakan satu siri set titik. Ianya mempunyai panjang

tetapi tidak ada lebar,iaitu mempunyai satu dimensi sahaja. Garis lurus ialah

jarak terpendek diantara dua titik pada permukaan yang rata.

3. Planes : ialah sebarang lokus titik – titik yang diperluaskan dalam dua

dimensi. Ia ditakrifkan sebagai satu luas. Permukaan boleh menjadi rata

(permukaan satah) atau melengkung, terhingga atau tak terhingga. Ianya

mempunyai panjang dan lebar tetapi tiada tinggi.

4. Angles : iaitu ruang diantara dua garisan atau permukaan yang bertemu. Jika

dua garis selari,maka sudut diantaranya ialah sifar. Sudut diukur dalam

`darjah’ atau dalam `radian’. Satu kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis

lurus membentuk sudut 180 darjah dan sudut tegak ialah 90 darjah.

5. Curves and convex sets :

curves : ialah set titik – titik yang membentuk atau boleh disambungkan oleh

satu garis selanjar pada graf atau permukaan yang lain. Terdapat beberapa

jenis lengkung(curves) antaranya ialah :

5.1) simple curve : iaitu titik mula dan titik akhir tidak bertindih antara satu

sama lain atau tidak bertemu di penghujungnya.

5.2) simple closed curve : iaitu lengkung mudah yang mana titik mula dan

titik akhirnya bertemu di satu titik yang sama.

5.3) closed curve : iaitu lengkung yang bertindih diatasnya sendiri tetapi titik

mula dan titik akhir bertemu disatu titik yang sama.

Convex sets : iaitu penyatuan diantara `simple closed curve’ didalamnya

dipanggil kawasan permukaan (plane region). Ianya boleh diklasifikasikan

kepada dua iaitu convex dan nonconvex :

Convex : iaitu garisan lurus dan lengkung yang bersatu diantara dua titik.

Nonconvex : iaitu garisan yang merentasi lengkung atau garis lurus yang

merentasi suatu permukaan sempadan yang berada diluar kawasannya.

6. Polygons : iaitu `simple closed curve’ yang mana penyatuan diantara garis –

garis lurus. Penyatuan garis lurus didalam polygon disebut sebagai kawasan

bersudut(polygonal region). Polygon boleh diklasifikasikan kepada beberapa

jenis berdasarkan kepada bilangan sisi garis lurus yang terdapat padanya.

Garisan lurus pada polygon disebut sisi(sides),titik akhir yang bertemu disebut

bucu(vertices). Dua sisi adalah sisi bersebelahan jika berkongsi bucu yang

sama dan dua bucu adalah bucu yang bersebelahan jika berkongsi garis lurus

sisi yang sama. Mana – mana garis lurus yang menyambungkan dari satu

bucu ke bucu yang tidak bersebelahan di panggil pepenjuru(diagonal).

Polygons and tessellations

1. Angles in polygons : sudut diukur dalah `darjah’ atau dalam `radian’. Satu

kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis lurus membentuk sudut 180 darjah

manakala suatu sudut tegak ialah 90 darjah. Sudut diantara satu garis lurus

dan satu satah/permukaan ialah sudut diantara garis itu dengan unjuran

ortogonnya pada satah itu. Sudut diantara dua satah atau permukaan ialah

sudut diantara garis – garis yang dilukis bercabang dengan menggunakan titik

yang sama. Terdapat beberapa jenis sudut dalam polygon diantaranya ialah :

a. Sudut tirus

b. sudut lurus

c. sudut tegak

d. sudut refleks

e. sudut cakah

2. Congruence : adalah suatu keadaan dimana menunjukkan dua atau lebih

banyak rajah yang sama dalam saiz dan bentuk. Suatu rajah apabila

diletakkan didalam satu rajah yang lain,bentuknya menjadi sama. Ianya juga

boleh digerakkan tanpa mengubah saiznya. dua garis lurus adalah kongruen

jika kedua – duanya adalah sama panjang dan dua sudut adalah kongruen

jika ukurannya adalah sama.

3. Regular polygons : polygon disebut sebagai `regular polygon’ jika ianya

memenuhi kedua – dua criteria berikut :

a. Semua sudut adalah kongruen

b. Semua sisinya adalah kongruen

Antara jenis – jenis `regular polygon’ ialah :

a. Equilateral triangle

b. Square

c. Regular pentagon

d. Regular hexagon

e. Regular heptagon

4. Tessellations with polygons : ialah suatu keadaan dimana penyusunan

bentuk – bentuk polygon tanpa ada pertindihan rajah diatasnya dan ada

jurang yang berlaku diantaranya untuk menutup sesuatu ruang. Contohnya

seperti floors and ceilings. Tiga jenis polygon iaitu ` regular hexagons’ ,

`square’ and ` equilateral triangles’ adalah `regular polygons’ yang

tessellated(menyerupai mozek).

Space figures

1. Planes : didalam bentuk 2-D seperti (lines,angles,polygons) hanya terdapat

pada satu permukaan (plane). Dalam 3-D pula ianya terbentuk daripada

sejumlah permukaan yang dicantumkan menjadi bongkah. Apabila dua

permukaan(plane)yang selari diletakkan secara bersilang maka terdapat

sudut tegak iaitu perpendicular.

2. Polyhedra : adalah bentuk – bentuk 3-D yang terdiri daripada beberapa

permukaan rata. Setiap garis lurus sisi terbentuk secara semulajadi. Setiap

permukaan yang ada pada bongkah itu dipanggil `polygonal region’,yang

apabila digabungkan menjadi polyhedral. Permukaan yang terdapat pada

polyhedra dipanggil permukaan(faces),permukaan bersilang pada sisi/tepi

dan bucu. Penyatuan polyhedron dan bahagian didalamnya dipanggil

solid(pepejal). Polyhedron dipanggil convex(cembung) apabila garis lurus

bersambung dengan titik yang berada didalam ataupun pada permukaannya.

3. Regular polyhedra : ialah `convex polyhedron’ yang mana permukaannya

sama dengan `regular polygons’. Bilangan yang sama apabila bertemu pada

setiap bucu. Terdapat 5 `regular polyhedra’ diantaranya :

a. Tetrahedron : 4 triangles for faces

b. Cube : 4 square faces

c. Octahedron : 8 triangular faces

d. Dodecahedron : 12 pentagons for faces

e. Icosahedrons : 20 triangular faces

Semiregular polyhedral : yang mana permukaannya mempunyai dua atau

lebih `regular polygons’ dengan susunan yang sama pada keseluruhan bucu

– bucunya bertemu.

4. Pyramids and prisms :

Pyramids : iaitu rajah yang mana tapaknya ialah sebarang polygon dan

permukaannya mestilah beberntuk segitiga dengan bucu yang sama. Pyramid

dinamakan berdasarkan bentuk tapaknya. Pyramid juga mempunyai

puncak(apex).

Prisms : iaitu rajah yang mempunyai dua permukaan yang selari diatas dan

dibawah yang disebut sebagai tapak,ianya juga merupakan polygon

kongruen. Sepertimana pyramid,prisma juga dinamakan berdasarkan bentuk

tapaknya.

5. Cones and cylinders :

Cones : ialah sebuah bentuk dimana ianya menyerupai pyramid dan prisma

tetapi mempunyai tapak yang berbentuk bulat,manakala sisi/tepinya

melengkung dan mencondong ke arah bucu(apex).

Cylinders : mempunyai dua tapak yang berbentuk bulat yang sama saiz.

Ianya mempunyai bahagian sisi yang melengkung yang menghubungkan dua

tapak itu tadi.

6. Spheres and maps :

Spheres : adalah satu siri set titik dalam ruang yang mempunyai jarak yang

sama dari titik pusat. Penyatuan semua sfera dalamannya membentuk `solid

sphere’.

Jejari : jarak dari pusat bulatan ke seberang titik pada lilitannya atau dari

pusat sfera ke permukaannya.

Diameter : jarak yang melintangi suatu rajah satah atau satu bulatan pada

titik yang paling lebar. Diameter bulatan atau sfera adalah dua kali jejarinya.

Maps : iaitu peta yang diambil atau di lukis daripada bumi yang berbentuk

sfera yang dapat menterjemahkan keseluruhan kedudukan dan jarak pada

bumi. Cara penyalinan semula ini dipanggil ` map projections’. Ada tiga cara

untuk tujuan ini antaranya ialah :

a. Cylindrical projection

b. Conic projection

c. Plane projection

Symmetric figures

1. Reflection symmetry for plane figures : transformasi geometri bagi suatu

titik atau set titik dari sebelah suatu titik ,garis atau satah ke suatu kedudukan

bersimetri disebelah yang lain. Satu garisan dilukis melalui sesuatu bentuk.

Setiap titik asal bentuk tersebut mempunyai jarak yang sama dari garis itu

tetapi disebelah yang lain pula. Manakala reflection yang menggunakan

cermin rajah yang terbentuk didalam cermin mempunyai bentuk yang dan

dikenali sebagai image.

2. Rotation symmetry for plane figures : transformasi geometri dimana suatu

rajah digerakkan secara kekal di sekitar suatu titik tetap. Jika titik

tersebut,pusat putaran dilabelkan sebagai O,maka untuk sebarang titik P

pada rajah tersebut yang bergerak ke titik P’ setelah diputarkan.

3. Reflection symmetry for space figures : transformasi geometri 3-D dimana

image akan terbentuk seperti pantulan didalam cermin dimana paksi simetri

yang akan memisahkan bentuk tersebut.

4. Rotation symmetry for spce figures : transformasi geometri 3-D dimana

objek yang diputarkan akan berada pada tempat asalnya ,walaupun putaran

dilakukan tetapi kedudukannya adalah sama berdasarkan darjah putaran

yang telah ditetapkan.

The van Hiele Theory (Theory in Development of Learning Geometry)

Teori perkembangan pembelajaran Geometri ini telah dicipta oleh Dina van Hiele-

Geldof dan Pierre Marie van Hiele, sepasang suami isteri dari Belanda yang telah

banyak tahun mengkaji bagaimana kanak-kanak membentuk pemahaman terhadap

Geometri Euclid. Mereka telah menamakan lima peringkat pemahaman geometri:

Level 0 (recognition)-peringkat mengenal dan menamakan bentuk

Level 1 (analysis)- peringkat menggambarkan cirri-ciri bentuk

Level 2 (Relationships)-peringkat mengelas dan membuat generalisasi terhadap ciri-

ciri bentuk

Level 3 (Deduction)-peringkat membentuk pembuktian dan definisi berdasarkan

pengkelasan

Level 4 ( Axiomatics)-peringkat meneroka pelbagai system geometri

Tiga peringkat pertama adalah peringkat yang perlu diterokai semasa

pendidikan rendah. Pada peringkat pertama, kanak-kanak belajar mengenal jenis

bentuk dan menamakan bentuk-bentuk yang ada di sekeliling mereka. Mereka

mengenalpasti bentuk-bentuk ringkas seperti bulat, kon, segiempat, kiub dan

sebagainya. Pengetahuan mengenai bentuk ini terbina sebelum alam persekolahan

bermula lagi. Peringkat kedua adalah keupayaan kanak-kanak untuk menggunakan

perkataan-perkataan yang lebih spesifik terhadap ciri yang ada pada bentuk tersebut

seperti segitiga ada tiga sisi, tiga bucu, segiempat ada enam permukaan dan

sebagainya.

Peringkat ketiga adalah peringkat di mana kanak-kanak berupaya membuat

pengkelasan terhadap ciri bentuk yang telah diketahui serta

memperkembangkannya ke dalam istilah-stilah yang lebih spesifik seperti sekata,

tak sekata, bersudut tegak, condong, capah dan sebagainya.