1. diketahui garis-garis dari t, serta titik P dan Q seperti tampak berikut lukislah !a. A = b. B = c. C = d. D = Penyelesaian :a.

b.

c.

d.

2. Andaikan sta. Lukislah p = dan Q = b. Bentuk apakah segiempat PPQQc. Berikan alasan tentang pendapat andaPenyelesaian :a. b. Jajar genjang PPQQc. Karena pencerminan (s dan t) sejajar maka menghasilkan bantuk yang sejajar pulaPQ//PQ, PP//QQ3. Jika B (1,-3), tentukanlaha. jika D(-3,4)b. E jika =(-2,5)c. jika P(x,y)d. Persamaan dua garis s dan t sehingga Penyelesaian :a. =(2a-x, 2b-y) = (2,1-(-3),2(-3)-4)= (5,-10)b. =(-2,5) (2.1)-x, 2(-3), 2(-3)-4)(2-x, -6-y) = (-2,5)2-x= -2-6-y=5 -x= -4-y=11 X=4y=-11Jadi, E(4,-11)c. =(2a-x, 2b-y)=(2.1-x, 2(-3-y)= (2-x, -6-y)d. t dan berpotongan di B (1,-3)Missal :B = 2x+y+1=0

= -1 = melalui B(1,-3)Subtitusi= m (x-y)Y+3= (x-1) Y+3= x - 2y+6= x-1x-2y-7=0 y garis t

GESERAN(TRANSLASI)

Definisi :Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada dua garis berarah, sehingga setiap P pada bidang menjadi P dengan G(P) = p dan Setiap suatu garis berarah menentukan sebuah translasi. Jika suatu garis berarah maka dengan lambang kita maksud sebuah geseran yang sesuai dengan . Nanti akan dibuktikan bahwa suatu geseran adalah suatu transformasi.Teorema 10.1Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka dengan A = dan B = Bukti : sistem koordinat dengan misal g sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g, sebagai sumbu x

Definisi : suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah sehingga setiap titik P pada bidang menjadi P pada bidang menjadi P dengan G(P) = P dan

Teorema 10.2Apabila makaBukti : jika X sembarang, maka harus dibuktikan Teorema 10.3Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan sebuah garis berarah tegak lurus pada g dan C dan D h. Apabila maka =Bukti : andaikan P sebuah titik sembarang . Jika P = (P) dan P = (P), maka harus dibuktikan bahwa P = P

Teorema 10.4Jika sebuah geseran maka Bukti : oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari grup transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan

HASIL KALI GESERANTeorema 10.5Jika sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga = 2 maka = Bukti : andaikan g =k g di C, m g di DTeorema 10.6Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.Bukti : andaikan suatu geseran dan C sebuah titik sembarang. Andaikan E titik (tunggal) sehingga Andaikan D titik tengah maka = 2 (teorema 10.5)= Akibat : dan masing-masing setengah putaran, maka dengan D sebuah titik sehingga Bukti : kita peroleh berturut-turut : jadi,

Teorema 10.7Hasilkali dua translasi adalah sebuah translasiApabila = maka =i

Teorema 10.8Jika sebuah translasi yang ditentukan oelh titik-titik 0(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P (x,y) sebagai T(P) = (x+a,y+b) maka T = Bukti : untuk P=(x,y), T(P)=(x+a, y+b). Andaikan P= (P), maka sehingga P=(x+a-0, y+b-0)=(x+a, y+b)Jadi T(P)= (P), . Artinya = T

PUTARAN (ROTASI)

Definisi : sebuah sudut berarah adalah suatu sudut, yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai akhir.Catatan : bandingkan dengan ruas garis berarah. Di sini ada titik awal dan titik akhir

ketentuan dan sifat sederhana putaran Bahwa hasilkali transformasi yang terdiri atas dua reflexsi adalah suatu setengah putaran dengan pusat titik potong sumbu-sumbu reflexi apabila sumbu-sumbu ini tegak lurus.Sumbu reflexi itu sejajar maka hasilkali dua reflexsi menghasilkan suatu geseran (translasi)Hasilkali dua reflexi yang sumbu-sumbunya tidak tegak lurus dan tidak pula sejajar didefinisikan sudut yang berarah.

Teorema 11.1 Andaikan s dan t dua garis yang tidak saling tegak lurus dan yang berpotongan di titik A. andaikan P dan Q dua titik yang berlainan dengan A. makam( PAP)= m (QAQ), dengan P=dan Q=(Q)

Teorema 11.2Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A dan jika sudut antara garis s ke garis t adalah , maka Akibat 1: hasilkali dua reflexi pada 2 garis adalah suatu rotasi atau suatu translasiAkibat 2: setiap rotasi adalah suatu isometri langsung

11.2 KOMPOSISI HASILKALI PUTARANDefinisi : sebuah putaran dengan pusat yang sama atau adalah transformasi identitas. Transformasi identitas sebagai sebuah putaran pula dengan sudut putar sebesar 0.

Teorema 11.3 Hasilkali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi

Andaikan ada rotasi dan rotasi tarik garis s = , jika m (XAY) = m (XAZ) = maka = dan jadi apabila ut, maka adalah suatu geseran. Kalau u dan t berpotongan di C maka adalah suatu rotasi yang berpusat di C. andaikan hubungan apakah yang terdapat antara dan ?

PENCERMINAN GESER (REFLEKSI GESER)

12.1 ketentuan dan beberapa sifat refleksi geser1. Hasilkali (produksi) dua translasi adalah sebuah translasi2. Hasilkali dua refleksi pada dua garis adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi 3. Hasilkali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi

Teorema 12.1 Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudut rotasinya sama dengan sudut rotasi yang diketahui.Teorema 12.2Setiap hasilkali sebuah refleksi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi mengelilingi suatu titik yang tidak terletak pada garis tersebut adalah suatu refleksi geser.Akibat 1 : apabila ada ruas garis berarah tidak tegak lurus pada garis s. maka hasilkali suatu geseran dengan sebuah refleksi adalah sebuah refleksi geserAkibat 2 : apabila garis r, s dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali refleksi-refleksi dan adalah suatu refleksi geser.

LANJUTAN ISOMETRIC

13.1 pendahuluan Terdapat 4 isometri dasar, yakni :1. Refleksi pada garis2. Translasi3. Rotasi4. Refleksi geser

Teorema 13.1Diketahui 3 titik yang tak kolinear A, B dan C jika ada 3 titik lain A, B, C maka ada paling banyak satu isometric yang memetakan A pada A, B pada B dan C pada C.Bukti : andaikan ada 2 isometri sehinggaKarena dan isometri-isometri maka AB =A B AC = AC dan BC = B C. oleh karena A, B, C tak segaris maka A B C juga tak segaris.

Teorema 13.2 Jika s sebuah garis melalui titik asal sebuah system koordinat orthogonal dan jika memetakan A = (1,0) pada B = (h, k) dan P = (x, y) maka Bukti :

Andaikan T memetakan P = (x,y) pada titik (hx + ky, kx hy), T(P) = (hx+ ky, kx hy)Akan kita buktikan bahwa T = . Buktikan T sebuah isometric. Andaikan dua titik sebarang, maka dan

Oleh karena B = dan , maka OB = OA. Berhubung OA = 1 dan OB = maka , jadi

Sehingga T sebuah isometric, kemudian kita peroleh :T(O) = (0,0)T(A) = (h,k)T(B) =

TRANSFORMASI KESEBANGUNAN

Definisi :Suatu transformasi T adalah suatu transformasi kesebangunan, apabila ada sebuah konstanta k 0 sehingga untuk setiap pasang titik P, Q jarak PQ = kPQ dengan T(P) = P dan T(Q) = QTeorema : Sebuah kesebangunan T 1. Memetakan garis pada garis2. Mengawetkan ukuran sudut3. Mengawetkan kesejajaran

AFINITAS

Suatu kesebangunan adalah suatu afinitas akan tetapi suatu afinitas tidak perlu memiliki suatu konstanta k 0 sehingga untuk setiap dua titik P dan Q berlaku PQ = kPQ.Sifat-sifat afinitas :1. Mengawetkan ke-antara-an titik-titik yang segaris. Artinya jika P antara A dan B maka P antara A dan B2. Mengawetkan rasio perbandingan antara ruas-ruas garisArtinya kalau P antara A dan B dengan maka 3. Memetakan ruas garis pada ruas garis4. Memetakan garis pada garis5. Mengawetkan kesejajaran