1

FUNGSI

TRANSEDENTAL

2

Aplikasi memudahkan manusia

membuat gambaran peristiwa alam

Fungsi eksponensial :

menerangkan perkembangan populasi

bakteri, peluruhan radioaktif

Fungsi hiperbolik :

memberi bentuk jaringan listrik

Fungsi invers trigonometri :

menentukan tempat duduk terbaik di

bioskop

3

A. FUNGSI EXPONENSIAL

A.1. Fungsi ex

Jika ln y = x maka y = ex

ln y = 1 maka nilai y dinamakan e

Jadi ln e = 1

Bila x = ln y, y>0 dan - < x <

atau bisa ditulis y = ln-1x (invers dari ln

x)

ex = exp (x)

exp (x)=ln-1x

Secara umum e 2.718281828459045

x merupakan bil.rasional

dan tak rasional

4

Grafik y=lnx

Bila a dan b bilangan rasional, maka

(i) ea . eb = ea+b

(ii) ea/eb = ea-b

(iii) e-a = 1/ea

2

xx

x

dx

dy

dx

dy

ee dx

d Jadi

eyatau 1 y

1

dxdyy

1

5

Turunan ex

Y = ex maka ln y = x ln e

ln y = x jika diturunkan

thd x

Bentuk umum

Y = eu

u = f(x) dapat diturunkan

dx

du e

dx

dy Maka u

6

1. Turunkan ex

2. Tentukan e- 4x dx

7

Fungsi ax

Bila a bilangan riil positif dan b = ln a,

maka a = eb

a = eln a

(eln a)x = ex ln a

ax = ex ln a atau ln ax = x lna

Sifat-sifat ax apabila a>0, b>0, x dan y

bil.riil (i) axay = ax+y

(ii) ax/ay = ax-y

(iii) (ax)y = axy

(iv) (ab)x = axbx

(v) (a/b)x = ax/bx

dx

dulnaaa

dx

d Jadi

dx

dulnaaa.e lnlna u

dx

de

edx

da

dx

d

uu

udxdulna ulna u

lna uu

8

Turunan ax

Diketahui ax = eu lna dari rumus turunan

fungsi exponensial

diperoleh

3

2x5ey dari dx

dyTentukan 1.

9

24x54 5 2x ydari dx

dy Tentukan2.

10

kyt

y

11

Penerapan Fungsi Eksponensial

Misalnya pd kasus peramalan populasi

Penduduk diketahui : penambahan populasi y

jangka waktu t

y dan t jumlah penduduk awal dan

panjangnya jangka waktu

bila k > 0, populasi meningkat

k < 0, populasi berkurang

Cktlny

dtk y

dy

tk y

dyk y

Δt

Δy

kt

0

kt

0

0

0

e y yatau ey

y

kty

yln

kt yln yln

12

Saat t=0 y = y0 akan menghasilkan C=ln y0,

sehingga :

4

13

Banyaknya bakteri dlm pembiakan pada

tengah hari ialah 10.000.

Setelah 2 jam, bertambah menjadi 40.000.

Berapa jumlah bakteri pada pukul 17.00?

0 xdt, t

1 xln

x

1

udx

d

u

1u ln

dx

d

ialkan,dideferens dapat f biladan0,f(x)u jika

0 x,x

1 xln

dx

d

14

B.1 FUNGSI LOGARITMA

Fungsi logaritma asli ln

atau ln x = elog x

(logaritma dg bil. pokok e)

Turunan logaritma asli

15

Sifat logaritma asli

Bila a dan b bilangan positif dan r bilangan

rasional

(i) ln 1 = 0

(ii) ln ab = ln a + ln b

(iii) ln a/b = ln a – ln b

(iv) ln ar = r ln a

(v) ln e = 1

(vi) a = eln a

untuk 0< x< 1, misal x =1/a, a>1, maka

ln 1/a = ln 1 – ln a = – ln a (negatif)

untuk x >1, misal x = b/a, b>a, maka

ln b/a = ln b – ln a (positif)

16

Grafik logaritma asli

5

17

1) Tentukan nilai x pada persamaan

e5-3x = 10 dengan mempergunakan

kaidah logaritma asli

18

B.2 FUNGSI loga

Jika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka

y = loga x

x = ay Semula bilangan 10 dipakai sebagai bil.pokok

logaritma menjadi bias

Utk kalkulus (matematika lanjutan)

bilangan e sbg bil.pokok logaritma

fungsi loge sbg f(x) = ex, adl lambang lain ln

logex = ln x

Apabila y = logax x = ay, shg ln x = y ln a

logax = ln x/ ln a

lnax

1xlog

dx

da

albil.rasion a dimana xax dx

d

aln aa dx

d

1aa

xx

19

Turunan fungsi loga

Fungsi ax dan xa

Andaikan a konstanta dan x variabel maka

fungsi f(x) = ax berbeda dengan g(x)= xa, karena

20

Turunan Perkalian Dua Fungsi

y = A . B

dx

dB

dx

dA

dx

dyAB

6

21

Contoh soal :

1) Tentukan turunan dari y = x2102x

22

2) Tentukan turunan dari y = (3x+2).e3x+2

23

Turunan Pembagian Dua Fungsi

2

dx

dB

dx

dA

dx

dy

B

AB

B

Ay

24

Contoh soal :

1) Tentukan turunan dari :

1)sin(2x

)12(3x2

xy

7

25

2) Tentukan turunan dari :

1 xdimana ,1x

1xy 3

5

243

2)(3x

1xxy

26

3) Tentukan turunan dari