FUNGSI PELUANG GABUNGAN

M A 4 0 8 5 P E N G A N T A R S T A T I S T I K A 1 4 F E B R U A R I 2 0 1 3

U T R I W E N I M U K H A I Y A R

ILUSTRASI

Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan

dengan kategori-kategori yang berbeda.

Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan.

Kekuatan bangunan

Tinggi bangunan

Luas bangunan

Luas taman/daerah hijau

bangunan

...

Banyak lantai

Banyak lift

Banyak pintu/tangga darurat

Banyak ruangan

....

KONTINU DISKRIT

Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y

menyatakan tinggi bangunan.

Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh

f(x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y.

f(x

ILUSTRASI

Misalkan peubah acak X1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X2

menyatakan banyak lift, peubah acak X3 menyatakan banyak ruangan.

f(x1, x2, x3) = P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian

bersama /serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan

dari X1, X2, dan X3.

f(10, 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan

50 ruangan.

FUNGSI PELUANG GABUNGAN

1. P(X=x, Y=y) 0 untuk semua (x, y)

2.

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

( , ) 1x y

P X x Y y

[( , ) ] ( , )A

P X Y A f x y

1. f(x, y) 0 untuk semua (x, y)

2.

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

( , ) 1f x y dxdy

[( , ) ] ( , )A

P X Y A f x y dxdy

D

I

S

K

R

I

T

K

O

N

T

I

N

U

CONTOH 1

Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3

pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya

buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil,

hitung:

a. Fungsi peluang gabungan f(x,y)

b. P[(X,Y)A] dimana A adalah daerah {(x,y)|x + y 2} Jawab:

a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin dari kasus di atas adalah;

(0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1).

f(3,0) artinya peluang terambil 3 jeruk dan 1 pisang.

Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah :

8C4 = 70.

Banyak cara yang mungkin, terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah :

3C3.3C1=1.3=3. Sehingga f(3,0)=3/70.

SOLUSI 1

Distribusi fungsi peluangnya:

b.

[( , ) ] ( 2)

( 0, 1) ( 0, 2)

( 1, 0) ( 1, 1) ( 2, 0)

(0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (2,0)

2 3 3 18 9 35 1

70 70 70 70 70 70 2

P X Y A P X Y

P X Y P X Y

P X Y P X Y P X Y

f f f f f

3 2 3 4

8 4

3 2 3

4( , ) , 0,1,2,3, 0,1,2

8

4

x y x yC C C x y x yf x y x y

C

x

f(x,y) 0 1 2 3 h(y)

y

0 0 3/70 9/70 3/70 15/70

1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70

2

g(x)

3/70

5/70

9/70

30/70

3/70

30/70

0

5/70

15/70

1

CONTOH 2 Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk

dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang

dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk

menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masing-

masing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan

sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang

gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah:

2( 2 ), 0 1,0 1

( , ) 3

0, , lainnya

x y x yf x y

x y

a. Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang.

b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas

drive in dan walk in masing-masing kurang dari setengah.

SOLUSI 2

a.

f(x,y) adalah fungsi peluang.

b.

1 1 1 112

00 0 0 0

12

0

2 1 1( , ) ( 2 ) ( 4 ) (1 4 )

3 3 3

1 1( 2 ) (1 2) 0

3 3

1

f x y dxdy x y dxdy x yx dy y dy

y y

1/2 1/2 1/2 1/22

00 0 0

1/2 1/22

00

2 1( 0.5, 0.5) ( 2 ) ( 4 )

3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 12

3 4 3 4 3 4 2 4 8

P X Y x y dxdy x yx dy

y dy y y

FUNGSI MARJINAL

Untuk X dan Y diskrit.

( ) ( , ) ( , )y y

g x f x y P X x Y y

( ) ( , ) ( , )x x

h y f x y P X x Y y

Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x,y).

Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi

peluang marjinal untuk Y adalah h(y).

Untuk X dan Y kontinu.

( ) ( , )g x f x y dy

( ) ( , )h y f x y dx

dan

CONTOH 3

Perhatikan Contoh 1.

Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari distribusi

peluang f(x,y) masing-masing adalah distribusi peluang

marjinal dari X dan Y.

Jawab :

2 3 5 1

(0) (0,0) (0,1) (0,2) 070 70 70 14

g f f f

3 18 9 30 3(1) (1,0) (1,1) (1,2)

70 70 70 70 7g f f f

3 2 5 1(3) (3,0) (3,1) (3,2) 0

70 70 70 14g f f f

9 18 3 30 3(2) (2,0) (2,1) (2,2)

70 70 70 70 7g f f f

SOLUSI 3

Distribusi peluang peubah acak X adalah :

x 0 1 2 3

g(x) = P(X=x) 1/14 6/14 6/14 1/14

Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang peubah acak Y adalah :

y 0 1 2

h(y) = P(Y=y) 3/14 8/14 3/14

CONTOH 4

Perhatikan Contoh 2. Tentukan,

a. fungsi peluang marjinal untuk X

b. fungsi peluang marjinal untuk Y

c. peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang

dari satu setengah satuan waktu pelayanan.

Jawab :

a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g(x) 1 1

2

00

2 2 2( ) ( , ) ( 2 ) ( ) ( 1) 0

3 3 3

2( 1), 0 1

3

g x f x y dy x y dy xy y x

x x

SOLUSI 4

c. Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah

satuan waktu pelayanan adalah P(X

PELUANG BERSYARAT

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, diskrit atau

kontinu.

Peluang bersyarat dari peubah acak Y jika diberikan X=x

adalah:

Peluang bersyarat dari peubah acak X jika diberikan Y=y

adalah:

( , )( | ) , ( ) 0

( )

f x yf x y h y

h y

( , )( | ) , ( ) 0

( )

f x yf y x g x

g x

BEBAS STATISTIK

Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fungsi

kepadatan peluang gabungan f(x,y) dengan fungsi

peluang marjinal masing-masingnya adalah g(x) dan

h(y). Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika

dan hanya jika,

untuk semua (x, y) di dalam daerah definisinya.

( , ) ( ) ( )f x y g x h y

CONTOH 5

Perhatikan Contoh 1.

Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = 1.

Hitung P(X=0|Y=1)

Jawab :

( , ) ( ,1)( | ) , ( ) 0 yaitu ( |1)

( ) 8 14

(0,1) 2 70 1 (1,1) 18 70 9(0 |1) , (1|1)

8 14 8 14 20 8 14 8 14 20

(2,1) 18 70 9 (3,1) 2 70 1(2 |1) , (3 |1)

8 14 8 14 20 8 14 8 14 20

f x y f xf x y h y f x

h y

f ff f

f ff f

x 0 1 2 3

f(x|1) 1/20 9/20 9/20 1/20

Distribusi peluang bersyarat :

P(X=0|Y=1)

CONTOH 6

Perhatikan Contoh 2.

Apakah peubah acak X dan Y saling bebas?

Karena,

Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.

2 1 2( ) ( ) ( 1) (1 4 ) (4 4 1)

3 3 9

2( 2 ) ( , )

3

g x h y x y xy y x

x y f x y

REFERENSI

Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

E D I T E D 2 0 1 1 B Y U M 18