FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

• Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dan

• cukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan turun di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil,

• f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), • Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di

x=xo;• Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di

x=xo;• Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner

di x=xo;

SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN

1x 1x2x

y=f(x)

y=f(x)

2x

)f(x1 )f(x1 )f(x2)f(x2

Fungsi Naik

(a)

Fungsi Turun

(b)

CONTOH 1

(Positif) 06612)2(33(2) (2)' f

(Negatif) 043-

46

43)

21(3)

213( )

21(' f

(Positif) 06)1(33(-1)(-1)' f

2dan x,21 x-1, titik xdi (x)' f nilai selidikidan bilangan garisGambar

1atau x 0 x 1)-3x(x

33x(x)' f x23xf(x)

:JAWAB

.atau turunnaik x23xf(x) fungsiagar intervalTentukan

2

2

2

223

23

x

0 1+ + + + + +- - -

1x0 interval pada Turun

dan 1x dan 0x interval padanaik x23-xf(x) Jadi 23

SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN

SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN PERTAMA

Stasioner.Titik 5.turun ataunaik fungsi Interval 4.

fungsi definisi Interval 3.koordinat sumbu-sumbu dengan potongTitik 2.

kuadrat) atau(Linear Dasar Bentuk 1.: Syaratnya

CONTOH 2

grafiknya. sketsaBuatlah c.a daridiperoleh yangstasioner ik titik titdari JenisTentukan b.

215x6xxy fungsiuntuk stasioner tik Carilah ti a. 23

dan(1,-10) (-5,98)adalah yastasionerntitik - titikJadi

-10y 2-15.(1)-6.(1)(1)y maka 1 xJika

98y 2-15.(-5)-6.(-5)(-5) y maka -5 xJika

1atau x 5 x01)-5)(x(x 01)-5)(x3(x 0.15123x

0y'stasioner ik Syarat tit .15123xy'

215x6xxy a.

: JAWAB

23

23

2

2

23

x

x

b.

turunan. tabeldalam hasilnyamasukkan 0 21y' maka 2x

dan -15y' maka 0x0 21y' maka -6x

turunan.fungsi kedalammasukan sampel sebagai 2dan x 0, x-6,pilih x kita Misalnya

stasioner.k kanan titidan kiridisebelah uji titik pakaikita makastasioner, titik jenis menentukanUntuk

TABEL TURUNANX -6 -5 0 1 2

Y’Kemiringan

+/

0-

-\

0-

+/

minimum.balik titik adalah (1,-10) dan maksimumbalik titik adalah (-5,98) demikian Dengan

c.

(-7,873,0) dan ,(-0,127,0)(2,0), adalah x, sumbu dengan potongtitik i Jad

7,873- x atau -0,127,x atau 2,x ABC) rumus (Pakai 15-4x atau 2x

018xx atau 2x

01)8x2)(x-(x

02-15x-6xx

0 ymaka x sumbu dengan potongTitik 1.lagititik beberapa dibutuhkan

2-15x-6xx yfungsigrafik mengsketsaUntuk

2

2

23

23

c. LANJUTAN

Titik potong dengan sumbu y maka x=0Y=-2Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,-2)Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turunPada interval selang (-5,1)

LANJUTAN SKETSA GRAFIK(-5,98)

(1,-10)

(0,-2)

(-0,127,0)(-7,873,0) (2,0)

Y

X

2-15x-6xxy 23

Catatan :

tgxxyy

xy

dxdym

12

12

dimana m = gradienY=f(x)

x1 x2 X

y2

y1y

x

y = mx + c

mdxdy(x)' f .1

12

12

xxyy

m suatu gradien2. Jika terdapat persamaan kurva y = f(x) maka garis singgung kurva pada titik singgung (x1, y1) adalah y = mx + (y1 – mx1) dimana m = f’(x)

Maka dapat disimpulkan :

3. Beberapa keadaan garis : a. Jika m > 0, maka garis naik.

b. Jika m < 0, maka garis turun.

c. Jika m = 0, maka garis mendatar.

4. Beberapa keadaan di sekitar titik stasioner pada kurva : 1.

f’(x1) + 0 -Keada

an/ - \

Berarti titik stasionernya maksimum di (x1, f(x1)), makaNilai maksimum fungsi adalah ymaks= f(x1)

Bentuk gambarnya

2. f‘(x2) 0 +Keada

an\ /

Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)).Maka nilai minimum fungsi adalah : ymin = f(x2)

Bentuk gambarnya

3. f‘(x3) + 0 +Keada

an/ /

berarti titik stasioner merupakan titik belok di (x3, f(x3))

Bentuk gambarnya

4. f‘(x2) 0Keada

an\ \

Bentuk gambarnya

berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4))

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TanxY 3.dan CosxY 2.

Sinx Y .1

1. TURUNAN Y=SIN X

) Terbukti ( Cosxh)Cos(xLimit

h).1Cos(xLimith

hSinLimith).Cos(xLimit

hhh)SinCos(xLimit

h

h21h)Sin(2x

212Cos

Limit

Sinβ-Sinα Rms) (Gunakan h

Sinxh)Sin(xLimith

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

: BUKTIx Cos (x)Y' maka x, Sin Y Jika

X SINF(X)

21

0 h

21

0 h21

21

0 h21

0 h

21

21

21

0 h2121

0 h

0 h0 h

x

2. TURUNAN Y=COS X

) Terbukti ( Sinxh)Sin(x-Limit

h).1Sin(x-Limith

hSinLimith).Sin(x-Limit

hhh)SinSin(x-Limitx

h

h21h)Sin(2x

212Sin-

Limit

Cosβ-Cosα Rms) (Gunakan h

Cosxh)Cos(xLimith

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

: BUKTIx Sin- (x)Y' maka x, Cos Y Jika

X COSF(X)

21

0 h

21

0 h21

21

0 h21

0 h

21

21

21

0 h2121

0 h

0 h0 h

3. TURUNAN Y=TAN X

) Terbukti ( xSecxCos

1

xCosxSinxCos

xCos)Sinx(-sinx-Cosx.Cosx(x)Y'

maka -Sinx(x)V' CosxV(x) dan

Cosx(x)U' SinxU(x) dimana V(x)

(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)Y'

dapat di fungsi) dua bagi Hasil Rms. (Gunakan V(x)U(x)

x Cosx Sinx Tan Y

: BUKTIXSEC(X)Y' X TANY Jika

22

2

22

2

2

2

CONTOH 3

Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:1. f(x) = 4sinx – 2cosx2. f(x) = 2sinxcosx

JAWAB

1. f(x) = 4sinx – 2cosx f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx =4cosx+2sinx2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x f ‘(x) = d2x.dsin2x =2cos2x

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUATU TITIK PADA KURVA

P(X,f(X))

f(x+h)-f(x)h Q(x+h,f(x+h))

x x+hl

g

hf(x)h)f(xLimit(x)' f adalah

Ptitik di kurva singgung Garis Gradien

0 h

RINGKASAN MATERI

21

21

11

11

0 h

mm makasejajar garisnya Jika.41m.m maka lurustegak saling garis Jika3.

)xm(xy- y: adalah m gradiennya dengan )y,P(xtitik di singgung Garis Persamaan 2.

m h

f(x)-h)f(xLimit(x)' f

adalah y)P(x,titik di Singgung Garis Gradien 1.

CONTOH 4

9-6xy 918-6x y

3)-6(x 9-y)x- xm(y-y

:adalah (3,9) di singgung garispersamaan m62.3(3)y maka(3,9), titik pada2x y' xy

:JAWAB

xy kurva pada (3,9) titik di singgung garispersamaan Tentukan

11

'2

2

CONTOH 5

)1(2212

21y )(2

212

21-y

)xm(xy-y

adalah )221,

4π( di singgung garisPersamaan

221 cos)(y' cosx y' sinx y

:JAWAB

sinxy kurva pada )221,

4π( titik di singgung garispersamaan Tentukan

44

11

44

xx

m

TERIMA KASIH