FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA … · antara lain interpolasi polinomial Newton, Lagrange...
42
FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA ANNISAA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
-
Upload
truongngoc -
Category
Documents
-
view
264 -
download
6
Transcript of FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA … · antara lain interpolasi polinomial Newton, Lagrange...
FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA
ANNISAA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ABSTRAK
ANNISAA. Fungsi Interpolasi untuk Tabel Mortalita Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan I
GUSTI PUTU PURNABA.
Setiap manusia mempunyai risiko kematian. Asuransi adalah salah satu cara untuk
meminimalisir risiko tersebut. Orang yang mengikuti asuransi mempunyai kewajiban untuk
membayar premi, salah satu parameter untuk menghitung harga premi adalah tabel mortalita.
Tujuan karya ilmiah ini adalah memodelkan tabel mortalita dengan metode interpolasi serta
menganalisis perbedaan harga premi antara asuransi endowmen dengan asuransi berjangka.
Metode interpolasi yang digunakan adalah metode interpolasi spline linear, kuadratik dan
berderajat lebih dari dua. Metode interpolasi yang paling baik untuk tabel mortalita adalah
interpolasi spline linear karena kesalahannya relatif kecil.
Kata kunci: metode interpolasi, tabel mortalita, asuransi endowmen, asuransi berjangka.
ABSTRACT
ANNISAA. Interpolation Function for Mortality Table. Supervised by SRI NURDIATI and I
GUSTI PUTU PURNABA.
Every human has a risk of death. Insurance is a way to minimize the risk. People who join
the insurance have an obligation to pay a premium. One of the parameters to calculate the
premium price is the table of mortality. The purpose of this paper is to model the table of mortality
with the interpolation method and analyze the difference of premium price between endowment
insurance with term insurance. We use the method of linear, quadratic, and more than two degree
spline interpolation. The best interpolation method for the mortality table is a linear spline
interpolation because the error of calculate is relative small.
Key words: Interpolation method, table of mortality, endowment insurance, term insurance.
FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA
ANNISAA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Fungsi Interpolasi untuk Tabel Mortalita
Nama : Annisaa
NIM : G54080036
Menyetujui,
Tanggal Lulus :
Pembimbing I
Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc
NIP. 19601126 198601 2 001
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
NIP. 19651218 199002 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta
shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan.
Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu
penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak dan Ibu tersayang,
terimakasih atas kasih sayang, didikan, nasihat, semangat serta doa yang tiada henti-hentinya
untuk penulis. Kepada Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
selaku dosen pembimbing, terimakasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabaran dalam
membimbing penulis serta Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji terimakasih atas
waktu, ilmu dan saran yang bermanfaat bagi penulis. Di samping itu, penghargaan penulis
sampaikan kepada Bapak dan Ibu dosen Departemen Matematika yang telah mengajar dan
memberikan bekal ilmu pengetahuan kepada penulis. Tidak lupa ungkapan terimakasih kepada
seluruh keluarga atas doa dan kasih sayangnya. Terimakasih kepada keluarga besar VISION atas
semangat, kesabaran, doa dukungan dan bantuannya selama ini,serta terimakasih sahabat terdekat:
Nurhayati, Suwaibatul Aslamyah, Raidinal Alifahrana, Previta Widiastana, Yoppy RM Yunus,
Faris Itsnartasia, Raka Abimanyu, Fahrul Irianto, Lya, Agustina, Andromeda atas semangat, doa
dan dukungannya. Terimakasih kepadaTeman-teman Math 45, adik kelas angkatan 46, dan teman-
teman Kos putri Nikita atas dukungan, bantuan, doa dan kebersamaannya.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis
mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi penyempurnaan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika
dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2013
Annisaa
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 20Agustus 1990 sebagai anak pertama dari dua bersaudara.
Anak dari pasangan Sujiah dan Darmadji.
Pada tahun 1996 penulis menyelesaikan pendidikan di TK Islam Qur’an. Tahun 2002 penulis
menyelesaikan pendidikan di SDN Lagoa 07 Jakarta. Tahun 2005 penulis menyelesaikan pendidikan di
SLTPN 30 Jakarta Utara. Tahun 2008 penulis menyelesaikan pendidikan di SMAN 72 Jakarta pada
tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Pertanian Bogor (IPB) malalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di kegiatan mahasiswa yaitu sebagai anggota Koperasi
Mahasiswa IPB pada tahun 2009-2010.
viii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ......................................................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ ix
PENDAHULUAN.......................................................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ................................................................................................................. 1
1.2 Tujuan .............................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORI ..................................................................................................................... 2
2.1 Interpolasi ...................................................................................................................... 2
2.2 Interpolasi Polinomial .................................................................................................... 2
2.3 Interpolasi Linear ........................................................................................................... 2
2.4 Fungsi Spline .................................................................................................................. 2
2.5 Spline Linear .................................................................................................................. 2
2.6 Syarat-syarat Spline Linear ............................................................................................ 2
2.7 Spline Kuadratik ............................................................................................................. 2
2.8 Syarat-syarat Spline Kuadratik ....................................................................................... 2
2.9 Spline Kubik................................................................................................................... 3
2.10 Uji Kesesuaian Data ....................................................................................................... 3
2.11 Tabel Hayat .................................................................................................................... 3
2.12 Istilah Perhitungan Premi Asuransi ................................................................................ 3
HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................................................................... 4
3.1 Pemodelan Tabel Mortalita dengan Interpolasi ............................................................... 4
3.1.1 Pemotongan Selang pada Tabel Mortalita ............................................................... 4
3.1.2 Tabel Mortalita dengan Interpolasi Berderajat Banyak ........................................... 4
3.1.3 Tabel Mortalita dengan Interpolasi Kuadratik ......................................................... 5
3.1.4 Tabel Mortalita dengan Interpolasi Spline Linear ................................................... 5
3.2 Penerapan Model pada Asuransi ...................................................................................... 6
3.2.1 Asuransi Endowmen ................................................................................................ 6
3.2.2 Asuransi Berjangka ................................................................................................. 9
3.2.3 Kesalahan dari Nilai Premi Asuransi Endowmen dan Asuransi Berjangka ............. 9
KESIMPULAN ............................................................................................................................ 12
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 12
LAMPIRAN .................................................................................................................................. 13
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Mortalita dengan selang satu ....................................................................................................... 4
2 Mortalita dengan selang lima ...................................................................................................... 4
3 Hasil interpolasi spline linear ...................................................................................................... 5
4 Hasil interpolasi berderajat banyak ........................................................................................... 33
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Nilai premi asuransi endowmen seorang laki-laki dengan tingkat bunga 10% ........................... 7
2 Nilai premi asuransi endowmen seorang perempuan dengan tingkat bunga 10% ....................... 8
3 Perbedaan kesalahan premi antara asuransi endowmen dan asuransi berjangka ......................... 9
4 Nilai premi asuransi berjangka seorang laki-laki dengan tingkat bunga 10% ........................... 10
5 Nilai premi asuransi berjangka seorang perempuan dengan tingkat bunga 10% ...................... 11
6 Fungsi interpolasi linear spline laki-laki ................................................................................... 13
7 Fungsi interpolasi linear spline perempuan ............................................................................... 14
8 Tabel mortalita Indonesia 2011 ................................................................................................. 16
9 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama (laki-laki) ........................................ 19
10 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval berbeda (laki-laki) .................................... 19
11 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama (perempuan) .................................... 24
12 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval berbeda (perempuan) ............................... 24
13 Nilai fungsi kuadratik ................................................................................................................ 29
14 Fungsi kuadratik ........................................................................................................................ 32
15 Keterangan garis ........................................................................................................................ 33
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Fungsi Interpolasi Spline Linear ................................................................................................ 13
2 Program untuk Mencari Interpolasi Linear pada MATLAB ..................................................... 15
3 Program untuk Mencari Fungsi Interpolasi Kuadratik pada MATLAB ................................... 15
4 Program untuk Membuat Grafik Fungsi Kuadratik pada MATLAB ........................................ 15
5 Tabel Mortalita Indonesia 2011 ................................................................................................ 16
6 Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline
Linear pada Laki-laki ................................................................................................................ 19
7 Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline
Linear pada Perempuan ............................................................................................................. 24
8 Nilai Fungsi Kuadratik .............................................................................................................. 29
9 Fungsi Kuadratik ....................................................................................................................... 32
10 Hasil Interpolasi Berderajat Banyak .......................................................................................... 33
ix
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada masa kini kehidupan manusia telah
mengalami banyak perubahan. Perubahan
tersebut disebabkan oleh berbagai faktor
seperti alam dan pola hidup manusia. Dari
perubahan tersebut, manusia menghadapi
berbagai bentuk risiko, antara lain risiko
kematian. Risiko kematian yang terjadi pada
manusia dapat dihindari dengan cara
mengubah pola hidup atau risiko tersebut
dapat diminimalisir dengan adanya asuransi.
Asuransi dalam hukum dan ekonomi
adalah bentuk menagemen risiko yang dipakai
untuk proteksi terhadap kerugian. Asuransi
adalah transfer sepadan dari risiko potensi
kerugian dengan suatu premi. Perjanjian yang
dibuat oleh seseorang yang mengikuti program
asuransi dengan perusahaan asuransi disebut
polis asuransi, sedangkan orang yang
mengikuti program asuransi disebut pemegang
polis. Para pemegang polis berkewajiban
membayar sejumlah uang kepada perusahaan
asuransi pada tiap periode tertentu atau
dibayar lunas yang disebut premi asuransi.
Perusahaan asuransi memberi jaminan
terhadap risiko yang terjadi sesuai kesepakatan
berupa sejumlah uang yang disebut klaim
asuransi (Gunawan 2000).
Dalam menentukan nilai premi asuransi
dibutuhkan peluang seseorang meninggal.
Peluang seseorang meninggal terdapat pada
tabel mortalita. Tabel mortalita merupakan
data statistik dari suatu penduduk yang
menyatakan peluang seseorang meninggal.
Fungsi atau hasil penelitian dapat
disajikan dalam bentuk tabel yang memuat
pasangan bilangan yang berurutan. Namun,
seringkali data yang diperlukan belum bisa
diperoleh, padahal kelengkapan data tersebut
sangat diperlukan untuk menghasilkan suatu
analisis yang akurat. Untuk memperoleh data
yang tidak ada atau hilang di antara nilai-nilai
data yang diberikan diperoleh suatu metode
penaksiran.
Interpolasi adalah suatu metode untuk
menaksir nilai data yang tidak ada atau hilang
di antara nilai-nilai data yang diberikan. Nilai
data tersebut bisa berasal dari suatu parameter
(dimensi satu) atau beberapa parameter
(dimensi banyak). Untuk menaksir data yang
hilang dalam nilai data yang berdimensi
banyak, diperlukan metode interpolasi yang
bekerja pada dimensi banyak pula. Interpolasi
pada dimensi banyak diselesaikan dengan
urutan interpolasi dimensi satu.
Salah satu interpolasi dalam dimensi satu
adalah interpolasi polinomial. Interpolasi
polinomial adalah metode interpolasi yang
dapat menghasilkan nilai data yang
mempunyai tingkat ketelitian tinggi. Dalam
metode interpolasi polinomial, telah dikenal
antara lain interpolasi polinomial Newton,
Lagrange dan spline, dengan kelebihan atau
kelemahan masing-masing.
Karya ilmiah ini, akan membahas
penggunaan model dari tabel mortalita dengan
metode interpolasi linear dalam menentukan
besarnya premi asuransi yang akan dibayar
oleh pemegang polis.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:
(i) Memodelkan tabel mortalita dengan
metode interpolasi.
(ii) Membandingkan model interpolasi
dengan tabel mortalita padanilai premi
asuransi endowmen dan asuransi
berjangka.
LANDASAN TEORI
2.1 Interpolasi
Interpolasi adalah proses pencarian dan
perhitungan suatu fungsi yang grafiknya
melewati sekumpulan titik yang diberikan
(Sahid 2005).
2.2 Interpolasi Polinomial
Suatu fungsi polinomial P(x) dengan p Pn
adalah interpolasi polinomial jika P(x) melalui
setiap titik penginterpolasi berbentuk (xi,yi)
untuk dengan Pn adalah
himpunan fungsi polinomial berderajat n
(Philips 2003).
2.3 Interpolasi Linear
Metode interpolasi linear merupakan
metode interpolasi untuk mencari nilai data di
antara dua titik data, dengan membuat
persamaan garis lurus dari dua titik data
tersebut. Interpolasi linear hanya
menggunakan dua titik data. Dengan
demikian, untuk mencari nilai data yang
hilang hanya diperlukan dua titik data dimana
data itu ada diantaranya (Mutaqin1998).
2.4 Fungsi Spline
Fungsi spline adalah suatu fungsi yang
terdiri atas beberapa potong fungsi polinomial
yang dirangkaikan bersama dengan beberapa
syarat kemulusan (Sahid 2005).
2.5 Spline Linear
Spline linear S(x) pada selang [x1,xn]
dengan ( ) didefinisikan oleh
( ) {
( )
( )
( )
(Sahid 2005)
2.6 Syarat-syarat Spline Linear
Misalkan x1=a dan xn=b maka domain S(x)
adalah [a,b]. Tahap selanjutnya adalah
mensyaratkan bahwa S(x) kontinu pada [a,b].
Jadi, S(x) harus memiliki sifat-sifat sebagai
berikut:
1. S(x) sepotong-sepotong linear dan
2. S(x) kontinu pada [a,b].
Untuk tujuan ekstrapolasi diasumsikan bahwa:
1. S(x) didefinisikan sama dengan S1(x)
untuk x<a, dan
2. S(x) didefinisikan sama dengan Sn-1
(x) untuk x>a.
Konstanta-konstanta ak dan bk dipilih
sedemikian sehingga S(x) kontinu pada [a,b].
Syarat kontinuitas ini bersamaan dengan
persamaan-persaman di bawah ini:
1. ( )
( )
2. ( ) ( ) atau
untuk
( )
3. ( )
.
(Sahid 2005)
2.7 Spline Kuadratik
Didefinisikan ( )
dengan fungsi S(x) didefinisikan sebagai
( ) {
( )
( )
( )
(Sahid 2005)
2.8 Syarat-syarat Spline Kuadratik
Suatu fungsi S(x) merupakan sebuah spline
berderajat dua pada [a,b], jika S(x) memiliki
sifat-sifat sebagai berikut:
1. S(x) sepotong-sepotong kuadratik
pada [a,b],
2. S(x) kontinu pada [a,b], dan
3. ( ) kontinu pada [a,b].
Untuk tujuan ekstrapolasi diasumsikan bahwa:
1. S(x) didefinisikan sama dengan S1(x)
untuk x<a, dan
2. S(x) didefinisikan sama dengan Sn-1(x)
untuk x>a.
(Sahid 2005)
untuk x1 ≤ x≤x2
untuk x2 ≤ x≤ x3
untuk xn ≤ x ≤xn+1.
untuk x1 ≤ x≤ x2
untuk x2 ≤ x≤x3
untuk xn ≤ x ≤ xn+1.
3
2.9 Spline Kubik
Sebuah fungsi spline S(x) dikatakan spline
kubik (berderajat tiga), jika S(x) memiliki
sifat-sifat sebagai berikut:
1. S(x) sepotong-sepotong merupakan
polinomial kubik pada selang [a,b],
2. S(x) kontinu pada selang [a,b],
3. S’(x) kontinu pada selang [a,b], dan
4. S’’(x) kontinu pada selang [a,b].
Untuk tujuan ekstrapolasi menggunakan
1. S(x) didefinisikan sama dengan S1(x)
untuk x<a, dan
2. S(x) didefinisikan sama dengan Sn-1(x)
untuk x>a.
( ) {
( )
( )
( )
Dengan ( )
(1 ≤ k ≤ n-1).
(Sahid 2005)
2.10 Uji Kesesuaian Data
Untuk mengetahui kesesuaian data yang
diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu
terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji
kesesuaian data. Ada beberapa kriteria yang
dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya
adalah galat mutlak (Absolute Error, AE).
Misalkan yi adalah data ke-i yang sebenarnya y
adalah data yang diperoleh dengan
menggunakan metode tertentu sebagai nilai
pendekatan untuk yi. Galat mutlak
didefinisikan sebagai berikut:
AE= |yi-y|.
(Mathews 1992)
2.11 Tabel Hayat
Tabel hayat menggambarkan sejarah
hidup kelompok yang dimulai dengan
kelahiran pada waktu yang dimulai dan
kemudian perlahan-lahan berkurang karena
kematian hingga kelompok penduduk tersebut
tidak ada satu pun yang tertinggal (Siegel &
Swanson 2004).
Keterangan Tabel Hayat
1. x :usia x, kolom ini berisi x=0,1,2,..., ,
dengan adalah usia tertua.
2. jumlah orang yang hidup pada usia
x. Kolom ini dimulai dengan yang
biasanya bernilai 100.000.
3. :tingkat kematian penduduk usia x,
dengan rumus
4. nqx :peluang seorang akan meninggal
sebelum mencapai usia x+n untuk
penduduk berusia x.
5. npx :peluang seorang hidup mencapai
usiax + n untuk penduduk berusia x.
6. :tingkat harapan hidup pada usia x.
(Bowers et al.1997)
2.12 Istilah Perhitungan Premi Asuransi
1. :nilai sekarang aktuaria orang
berumur x dari asuransi berjangka
dengan pembayaran premi selama n
tahun sebesar satu satuan. Pembayaran
santunan dibayarkan pada saat
tertanggung meninggal pada jangka n
tahun.
∑
kpx.
2. :nilai sekarang aktuaria dari asuransi
endowmen orang berumur x dengan
pembayaran premi selama n tahun
sebesar satu satuan. Pembayaran
santunan oleh penanggung akan di
bayarkan saat tertanggung hidup sampai
umur yang ditentukan atau meninggal
sebelum usia itu.
(Promislow 2006)
untuk x1 ≤ x≤ x2
untuk x2 ≤ x≤x3
untuk xn ≤ x ≤ xn+1
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Pemodelan Tabel Mortalita dengan
Interpolasi
Pemodelan tabel mortalita pada
penelitian ini menggunakan interpolasi.
Penelitian ini melakukan beberapa bentuk
interpolasi untuk menentukan model yang
tepat dalam tabel mortalita. Ketepatan
interpolasi terhadap tabel mortalita dapat
dilihat dari berbagai kategori, seperti jenis
fungsi dan kesalahan relatif.
Beberapa jenis metode interpolasi yang
akan digunakan yaitu :
1. Interpolasi berderajat banyak,
2. Interpolasi kuadratik,
3. Interpolasi linear, dan
4. Interpolasi spline.
Sebelum dilakukan analisis berdasarkan
metode interpolasi, selang pada tabel mortalita
dilakukan perubahan terlebih dahulu sebagai
pembanding dalam menentukan metode
interpolasi yang tepat digunakan untuk tabel
mortalita.
3.1.1 Pemotongan Selang pada Tabel
Mortalita
Sebelum mengidentifikasi metode
interpolasi tersebut, dilakukan perubahan
selang usia pada tabel mortalita yang
bertujuan untuk melihat seberapa cocok
metode interpolasi dapat digunakan pada tabel
mortalita. Perubahan selang pada tabel
mortalita dijadikan pembanding dari hasil
interpolasi. Selang yang digunakan pada tabel
mortalita selang satu, artinya setiap selang
hanya punya jarak satu. Namun, dalam
penelitian ini akandigunakan selang lima
untuk melihat apakah fungsi dari selang lima
mempunyai perbedaan dengan selang satu.
Dalam tabel mortalita sebelum
dilakukan perubahan selang yang digunakan
berawal dari angka nol. Namun, pada
penelitian iniselang lima berawal dari angka
lima. Berikut merupakan plot data dari tabel
mortalita dengan selang satu dan selang lima.
Gambar 1 Tabel mortalita dengan selang satu.
Gambar 2 Tabel mortalita selang lima.
Pada Gambar 1 dan Gambar 2 terdapat
dua jenis warna yaitu birudan hijau. Warna
biru menyatakan peluang seorang laki-laki
meninggal dan warna hijau menyatakan
peluang seorang perempuan meninggal.
3.1.2 Tabel Mortalita dengan Interpolasi
Berderajat Banyak
Penelitian ini menggunakan beberapa
metode interpolasi untuk tabel mortalita.
Metode interpolasi yang pertama adalah
metode interpolasi berderajat banyak.
Metode interpolasi berderajat banyak
menggunakan selang satu. Hasil dari metode
menyatakan bahwa semakin tinggi pangkat
dari persamaan maka akan mengikuti data
tabel mortalita.
Langkah-langkah dari metode
interpolasi berderajat banyak sebagai berikut:
1. Membuat variabel dari unsur fungsi, x
untuk usia dan y untuk peluang seseorang
meninggal. Selain itu, membuat p1 untuk
tempat fungsi dari interpolasi.
0 20 40 60 80 100 1200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 20 40 60 80 100 1200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
P
e
l
u
a
n
g
P
e
l
u
a
n
g
Umur (tahun)
Umur (tahun)
5
2. Menggunakan perintah polyfit untuk
membuat fungsi. Fungsi yang diperoleh
di simpan pada p1. Penggunaan perintah
polyfit menghasilkan polinom berderajat
banyak. Fungsi yang digunakan adalah
p1=polyfit(x,y,2), dengan 2 menjelaskan
derajat polinom.
3. Membuat variabel y2 untuk menyimpan
hasil evaluasi polinom dari p1, sehingga
menghasilkan nilai baru.
Interpolasi berderajat banyak di atas
kemudian dihitung kesalahan atau galat dari
fungsi yang baru. Berdasarkan hasil tersebut,
galat yang didapat bernilai sangat besar.
Fungsi berderajat banyak diawali dengan
derajat tiga dan diakhiri dengan derajat 4.
Semakin besar derajat maka nilai kesalahan
atau galat semakin kecil. Namun, untuk
menjadi suatu fungsi akan menjadi tidak valid
jika nilai kesalahan terlalu besar. Gambar dari
interpolasi berderajat banyak dapat dilihat
pada Lampiran 10.
3.1.3 Tabel Mortalita dengan Interpolasi
Kuadratik
Percobaan pertama membuat fungsi
berderajat banyak menghasilkan galat yang
besar. Olehkarena itu, dilakukan percobaan
kedua dengan metode interpolasi kuadratik
untuk memperkecil galat dengan memotong
fungsi atau menjadikan fungsi menjadi fungsi
yang sepotong-sepotong.
Langkah-langkah interpolasi kuadratik
sebagai berikut :
1. Membuat fungsi baru.
Mencari nilai a, b, dan c yang mengikuti
pola kuadratik yaitu ax2+bx+c. Fungsi
untuk menentukan nilai a, b, dan c dapat
dilihat pada Lampiran 3.
2. Setelah membuat fungsi, selanjutnya
memindahkan data ke dalam MATLAB
R2008B agar data dapat diproses.
3. Menampilkan hasil dari interpolasi
kuadratik dalam bentuk grafik. Program
untuk membuat grafik dapat dilihat pada
Lampiran 4.
Hasil dari interpolasi kuadratik
menimbulkan adanya keanehan yang
menyebabkan beberapa peluang seseorang
meninggal di usia tertentu memberikan nilai
yang negatif padahal tidak mungkin negatif.
Nilai negatif pada peluang. Nilai negatif dapat
terjadi pada interpolasi kuadratik ketika titik-
titik yang difitkan menyebabkan nilai
minimum fungsi berada di bawah sumbu x.
3.1.4 Tabel Mortalita dengan Interpolasi
Spline Linear
Metode berikutnya adalah interpolasi
spline linear, langkah untuk membuat
interpolasi spline linear sebagai berikut:
1. Langkah pertama adalah membuat fungsi
baru.
Pertama, menentukan formula untuk nilai
hasil interpolasi dengan fungsi dari nilaia
dan b yang mengikuti pola linear ax+b.
Kedua, mendefinisikan a dan b sebagai
berikut:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,
( ) ( ( ) ( )) ( )
Dengan k adalah bilangan real dari 1
sampai n-1. Rincian program dapat dilihat
pada Lampiran 2.
2. Setelah membuat fungsi baru maka
selanjutnya data dipindahkan ke dalam
MATLAB R2008B agar data diproses.
3. Setelah data dipindahkan kemudian
menghitung interpolasi spline linear
dengan perintah [a,b]=spliner(x,y).
Setelah itu, menemukan hasil dari nilai a
dan nilai b yang membentuk suatu fungsi
linear. Hasilnya dapat dilihat pada
Lampiran 1.
Dari langkah-langkah di atas hasil interpolasi
seperti gambar di bawah ini:
Gambar 3 Hasil interpolasi spline linear.
0 20 40 60 80 100 1200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P
e
l
u
a
n
g
Usia (tahun)
6
Pada Gambar 3 terlihat dua buah garis
yaitu garis biru dan garis hijau. Garis biru
menyatakan nilai peluang meninggal dari tabel
mortalita sedangkan garis hijau adalah nilai
dari interpolasi spline linear. Terlihat bahwa
garis biru dan hijau saling berhimpit. Hal
tersebut menggambarkan kesalahan dari
interpolasi linear bernilai kecil.
Berdasarkan pembahasan pada 3.1.2
dan 3.1.3, metode interpolasi yang paling bisa
diterima untuk model ini adalah interpolasi
spline linear karena pada interpolasi spline
linear hasil dari peluang bukan negatif. Selain
itu, model yang didapat dari interpolasi spline
linear memiliki nilai kesalahan yang relatif
kecil.
3.2 Penerapan Model pada Asuransi
Model tabel mortalita ini digunakan
untuk mencari harga premi asuransi,
menghitung nilai premi pada asuransi
berjangka dan asuransi endowmen. Dengan
adanya pemodelan tabel mortalita untuk
mengetahui peluang seseorang meninggal
dapat digunakan fungsi dari hasil pemodelan.
Perlu diketahui bahwa usia yang digunakan
bukan usia bulat seperti 20 tahun melainkan
20 tahun 6 bulan yang akan dikonversi
menjadi 20,5 tahun.
3.2.1 Asuransi Endowmen
Asuransi endowmen adalah gabungan
antara asuransi dengan tabungan. Pada
umumnya asuransi endowmen ada dua jenis
yaitu asuransi endowmen dan asuransi
endowmen murni.
Perbedaan dari kedua jenis asuransi
endowmen ini adalah cara pembayaran
santunan perusahaan asuransi kepada
tertanggung. Santunan dari asuransi
endowmenn tahun dibayarkan baik setelah
kematian tertanggung atau kelangsungan
hidup tertanggung pada akhir masa n tahun.
Namun, untuk asuransi endowmen murni n
tahun santunan akan dibayarkan jika dan
hanya jika tertanggung bertahan hidup
setidaknya n tahun dari saat penerbitan
kebijakan.
Nilai premi asuransi yang akan
dihitung pada penelitian ini adalah asuransi
endowmen. Misalkan orang dengan usia 20
tahun 6 bulan mengikuti asuransi endowmen,
dengan jangka pembayaran 10 tahun, maka
uang santunan akan diserahkan pada
tertanggung saat orang tersebut masih hidup
atau mati pada saat pembayaran, misalkan
uang santunannya Rp 100.000.000.
Sebelumnya akan dihitung .
Dalam kasus di atas dihitung
∑ kp20,5q20,5+k+v
20,5np20,5.
Disini terlihat nilai premi dengan usia 20
tahun 6 bulan pada Tabel 1 dan Tabel 2. Nilai
peluang meninggal dari tabel mortalita
menggunakan pembulatan. Misal, usia 20
tahun 6 bulan maka nilai tabel mortalitanya
lihat pada usia 20 tahun begitu juga untuk
seterusnya.
7
Tabel 1 Nilai premi asuransi endowmen seorang laki-laki dengan tingkat bunga 10%
Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal
Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda ((7)-(8))
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
20,5 0,866784172 0,99946 0,999438 0,00054 0,000562 0,00046781 0,00048686 1,9048E-05
21,5 0,787985611 0,99936 0,999366 0,00064 0,000634 0,00050399 0,00049927 4,7219E-06
22,5 0,716350555 0,99927 0,999294 0,00073 0,000706 0,00052255 0,00050539 1,7168E-05
23,5 0,651227778 0,9992 0,999222 0,0008 0,000778 0,00052057 0,00050626 1,4304E-05
24,5 0,592025252 0,99916 0,99915 0,00084 0,00085 0,00049688 0,00050279 5,9102E-06
25,5 0,538204775 0,99916 0,999168 0,00084 0,000832 0,00045171 0,00044741 4,2984E-06
26,5 0,489277068 0,99919 0,999186 0,00081 0,000814 0,00039599 0,00039795 1,9539E-06
27,5 0,444797335 0,99923 0,999204 0,00077 0,000796 0,00034223 0,00035378 1,1547E-05
28,5 0,404361213 0,999255 0,999222 0,000745 0,000778 0,00030102 0,00031435 1,3324E-05
29,5 0,367601103 0,99925 0,99924 0,00075 0,00076 0,00027549 0,00027916 3,6705E-06
Jumlah 0,37160366 0,37161494 1,1285E-05
Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) 37160365,9 37161494,3 1128,46239
Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,00303674
7
8
Tabel 2 Nilai premi asuransi endowmen seorang perempuan dengan tingkat bunga 10%
Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal
Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda((7)-(8))
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
20,5 0,866784172 0,999725 0,999708 0,000275 0,000292 0,0002383 0,00025303 1,4727E-05
21,5 0,787985611 0,99969 0,999676 0,00031 0,000324 0,0002442 0,00025522 1,1025E-05
22,5 0,716350555 0,99965 0,999644 0,00035 0,000356 0,00025063 0,00025493 4,2951E-06
23,5 0,651227778 0,99962 0,999612 0,00038 0,000388 0,00024737 0,00025258 5,2058E-06
24,5 0,592025252 0,999595 0,99958 0,000405 0,00042 0,00023967 0,00024855 8,8731E-06
25,5 0,538204775 0,99957 0,999556 0,00043 0,000444 0,00023133 0,00023886 7,5283E-06
26,5 0,489277068 0,99955 0,999532 0,00045 0,000468 0,00022008 0,00022887 8,7989E-06
27,5 0,444797335 0,99953 0,999508 0,00047 0,000492 0,00020896 0,00021873 9,7761E-06
28,5 0,404361213 0,999505 0,999484 0,000495 0,000516 0,00020006 0,00020854 8,483E-06
29,5 0,367601103 0,999475 0,99946 0,000525 0,00054 0,00019289 0,0001984 5,5081E-06
Jumlah 0,3696816 0,36976031 7,8706E-05
Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) 36968160,3 36976030,9 7870,61623
Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,02129026
8
9
Dapat dilihat bahwa nilai premi pada
Tabel 1 dan Tabel 2 adalah nilai premi
seorang laki-laki dan perempuan yang harus
dibayarkan selama 10 tahun. Namun pada
kenyataannnya nilai premi yang dibayarkan
oleh nasabah kepada perusahan asuransi tidak
dalam jangka tahun, melainkan dalam jangka
bulan. Selain itu, nilai premi yang sampai
pada nasabah adalah nilai premi yang sudah
dikenakan biaya administrasi, sehingga nilai
premi perbulan akan lebih besar lagi.
3.2.2 Asuransi Berjangka
Asuransi berjangka adalah asuransi
yang pembayarannya memiliki jangka waktu.
Misalkan seseorang dengan usia 20 tahun 6
bulan mengikuti asuransi berjangka 10 tahun
dengan santunan Rp 100.000.000.
Pembayaran premi akan dibayarkan
tertanggung selama 10 tahun dan uang
santunan akan diterima tertanggung pada saat
orang tersebut meninggal pada pada jangka
waktu yang ditentukan dan dibayarkan di
akhir tahun. Untuk menghitung harga premi
harus dihitung nilai ∑
kp20,5. Hasilnya menunjukkan nilai
premi dari seorang perempuan dengan usia 20
tahun 6 bulan pada Tabel 3 dan Tabel 5. Nilai
peluang meninggal dari tabel mortalita
menggunakan pembulatan. Misalkan, usia 20
tahun 6 bulan maka nilai tabel mortalitanya
dilihat pada usia 20 dan seterusnya.
Lebih jauh, terlihat bahwa nilai premi
pada Tabel 4 dan Tabel 5 adalah nilai premi
seorang laki-laki dan perempuan yang harus
dibayarkan selama 10 tahun. Namun pada
kenyataannya nilai premi yang dibayarkan
oleh tertanggung kepada perusahan asuransi
tidak dalam jangka tahun, melainkan dalam
jangka bulan. Selain itu, nilai premi yang
sampai pada nasabah adalah nilai premi yang
sudah dikenakan biaya administrasi, sehingga
nilai premi per bulan akan lebih besar lagi.
3.2.3 Kesalahan dari Nilai Premi Asuransi
Endowmen dan Asuransi Berjangka
Tabel di bawah ini menjelaskan
perbedaan antara nilai kesalahan relatif dari
tabel mortalita dengan kesalahan relatif dari
hasil interpolasi.
Tabel 3 Perbedaan kesalahan relatif harga
premi antara asuransi endowmen
dengan asuransi berjangka
Asuransi Laki-laki Perempuan
Endowmen 0,003% 0,020%
Berjangka 0,340% 0,020%
Tabel 3 menjelaskan bahwa nilai kesalahan
dari asuransi berjangka untuk orang berjenis
kelamin laki-laki memiliki kesalahan paling
besar yaitu sebesar 0,340%. Hal tersebut
terjadi karena nilai kesalahan dari interpolasi
linear dari peluang meninggal seorang laki-
laki besar, dibandingkan dengan perempuan.
Bila dilihat lagi akan ada perbedaan
nilai premi asurasi antara asuransi endowmen
dengan asuransi berjangka. Hal tersebut
dikarenakan aturan dan proses perhitungan
yang berbeda, sehingga akan menghasilkan
transfer risiko yang berbeda bagi perusahaan
asuransi.
Nilai premi pada asuransi endowmen
akan lebih besar daripada nilai premi pada
asuransi berjangka. Hal tersebut dikarenakan
pada asuransi endowmen selain sistem
asuransi juga memakai sistem tabungan.
Artinya seorang pemegang polis dapat
mengambil uangnya dari perusahaan asuransi
sebelum tanggal waktu pembayaran habis.
Hal ini yang membuat transfer risiko pada
perusahaan asuransi lebih besar, sehingga
harga premi lebih mahal.
Sedangkan, pada asuransi berjangka,
seorang pemegang polis akan mendapatkan
santunan pada saat pemegang polis meninggal
pada jangka waktu yang telah ditentukan.
10
Tabel 4 Nilai premi asuransi berjangka seorang laki-lakidengan tingkat bunga 10%
Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal
Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda((7)-(8))
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
20,5 0,866784172 0,99946 0,999438 0,00054 0,000562 0,00046781 0,00048686 1,9048E-05
21,5 0,787985611 0,99936 0,999366 0,00064 0,000634 0,00050399 0,00049927 4,7219E-06
22,5 0,716350555 0,99927 0,999294 0,00073 0,000706 0,00052255 0,00050539 1,7168E-05
23,5 0,651227778 0,9992 0,999222 0,0008 0,000778 0,00052057 0,00050626 1,4304E-05
24,5 0,592025252 0,99916 0,99915 0,00084 0,00085 0,00049688 0,00050279 5,9102E-06
25,5 0,538204775 0,99916 0,999168 0,00084 0,000832 0,00045171 0,00044741 4,2984E-06
26,5 0,489277068 0,99919 0,999186 0,00081 0,000814 0,00039599 0,00039795 1,9539E-06
27,5 0,444797335 0,99923 0,999204 0,00077 0,000796 0,00034223 0,00035378 1,1547E-05
28,5 0,404361213 0,999255 0,999222 0,000745 0,000778 0,00030102 0,00031435 1,3324E-05
29,5 0,367601103 0,99925 0,99924 0,00075 0,00076 0,00027549 0,00027916 3,6705E-06
Jumlah 0,00427826 0,00429322 1,4961E-05
Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) 427825,642 429321,706 1496,06349
Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,34969
1
0
11
Tabel 5 Nilai premi asuransi berjangka seorang perempuan dengan tingkat bunga 10%
Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal
Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda((7)-(8))
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
20,5 0,866784172 0,99971 0,999708 0,00029 0,000292 0,00025129 0,00025303 1,7326E-06
21,5 0,787985611 0,99967 0,999676 0,00033 0,000324 0,00025995 0,00025522 4,7248E-06
22,5 0,716350555 0,99963 0,999644 0,00037 0,000356 0,00026495 0,00025493 1,0022E-05
23,5 0,651227778 0,99961 0,999612 0,00039 0,000388 0,00025388 0,00025258 1,3014E-06
24,5 0,592025252 0,99958 0,99958 0,00042 0,00042 0,00024855 0,00024855 5,421E-20
25,5 0,538204775 0,99956 0,999556 0,00044 0,000444 0,00023671 0,00023886 2,1509E-06
26,5 0,489277068 0,99954 0,999532 0,00046 0,000468 0,00022496 0,00022887 3,9106E-06
27,5 0,444797335 0,99952 0,999508 0,00048 0,000492 0,0002134 0,00021873 5,3324E-06
28,5 0,404361213 0,99949 0,999484 0,00051 0,000516 0,00020612 0,00020854 2,4237E-06
29,5 0,367601103 0,99946 0,99946 0,00054 0,00054 0,0001984 0,0001984 0
Jumlah 0,00235821 0,00235771 4,9777E-07
Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) 235820,806 235771,028 49,7773145
Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,02110811
1
1
12
KESIMPULAN
Dalam penulisan karya ilmiah ini dapat
disimpulkan bahwa:
(i) Metode interpolasi dapat digunakan
untuk memodelkan tabel mortalita.
Interpolasi yang digunakaan adalah
interpolasi berderajat banyak,
interpolasi kuadratik, dan interpolasi
spline linear. Dari beberapa model
interpolasi di atas, interpolasi spline
linear yang paling baik untuk model
tabel mortalita karena hasil dari
interpolasi spline linear baik untuk
tabel mortalita karena hasil dari
interpolasi spline linear adalah positif
dan memiliki nilai kesalahan relatif
kecil jika dibandingkan dengan
interpolasi berderajat banyak dan
interpolasi kuadratik.
(ii) Perbedaan nilai premi asuransi
endowmen dan asuransi berjangka
antara tabel mortalita dengan model
dari interpolasi terletak pada usia
seseorang. Pada tabel mortalita hanya
berselang satu, sedangkan dengan
adanya model interpolasi usia dapat
dihitung secara lebih spesifik. Selain itu
nilai kesalahan dari asuransi berjangka
untuk orang berjenis kelamin laki-laki
memiliki kesalahan lebih besar dari
orang berjenis kelamin perempuan.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones
DA, Nesbitt CJ. 1997. Actuarial
Mathematics Hesca. Ed ke-2. Schamburg:
The Society of Actuaries.
Gunawan B. 2000. Penentuan Peluang
Kebangkrutan Perusahaan Asuransi dari
Peluang Survival. Skripsi, Jurusan
Matematika FMIPA IPB, Bogor.
Mathews JH. 1992. Numerical Methods for
Mathematics, Science, and Engineering.
London: Prentice-Hall.
Mutaqin A. 1998. Interpolasi Multi Dimensi.
Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA IPB,
Bogor.
Philips GM. 2003. Interpolation and
Approximation by Polynomials. New York:
Springer.
Promislow SD. 2006. Fundamentals of
Actuarial Mathematics. England: Wiley.
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik
dengan Matlab. Ed ke-1. Yogyakarta:
ANDI.
Siegel JS , Swanson DA. 2004. The Methods
and Materials of Demography. Ed ke-2.
San Diego, California: Elsevier Inc.
13
Lampiran 1 Fungsi Interpolasi Spline Linear
Keterangan:
X : usia
Y : nilai interpolasi tabel
Y1 : nilai interpolasi dari fungsi baru
F(x) : fungsi dari interpolasi linear
Tabel 6 Fungsi Interpolasi linear laki-laki
X Y Y1 F(x)
(1) (2) (3) (4)
5 0,00038 0,00015 -0,00016x + 0,00095
10 0,00027 0,00027 -0,000022x + 0,00049
15 0,00029 0,00029 -0,000004x +0,00023
20 0,00049 0,00049 0,00004x – 0,00031
25 0,00085 0,00085 0,000072x – 0,00095
30 0,00076 0,00076 -0,000018x + 0,0013
35 0,00091 0,00091 0,00003x – 0,00014
40 0,00153 0,00153 0,000124x – 0,00343
45 0,00279 0,00279 0,000252x – 0,00855
50 0,00538 0,00538 0,000518x – 0,02052
55 0,00961 0,00961 0,000846x – 0,03692
60 0,01417 0,01417 0,000912x – 0,04055
65 0,021 0,021 0,001366x – 0,06779
70 0,03182 0,03182 0,002164x – 0,11966
75 0,05155 0,0511 0,00423x -0,26615
80 0,08597 0,08597 0,006884x – 0,46475
85 0,14241 0,14241 0,011288x – 0,81707
90 0,22853 0,22853 0,017224x – 1,32163
95 0,32682 0,32682 0,019658x – 1,54069
100 0,43974 0,43974 0,022584x – 1,81866
105 0,5545 0,5545 0,022952x – 1,85546
110 0,71016 0,71016 0,031132x – 2,71436
14
Tabel 7 Fungsi Interpolasi Spline Linier Perempuan
X Y Y1 F(x)
(1) (2) (3) (4)
5 0,00027 0,00015 -0,00009x + 0,0006
10 0,00025 0,00025 -0,000004x + 0,00029
15 0,00028 0,00028 0,000006x + 0,00019
20 0,00026 0,00026 -0,00004x + 0,00034
25 0,00042 0,00042 0,000032x – 0,00038
30 0,00054 0,00054 0,000024x – 0,00018
35 0,00067 0,00067 0,000026x – 0,00024
40 0,00114 0,00114 0,000094x – 0,00262
45 0,00193 0,00193 0,000158x – 0,00518
50 0,00334 0,00334 0,000282x – 0,01076
55 0,00607 0,00607 0,000546x – 0,02396
60 0,00877 0,00877 0,00054x – 0,02363
65 0,01334 0,02089 0,00159x – 0,09041
70 0,02121 0,02121 0,001574x – 0,08897
75 0,0333 0,0333 0,002418x – 0,14805
80 0,05247 0,05247 0,003834x – 0,25425
85 0,08925 0,08925 0,007356x – 0,53601
90 0,14645 0,14645 0,01144x – 0,88315
95 0,23305 0,23305 0,01732x – 1,41235
100 0,33241 0,33241 0,019872x – 1,65479
105 0,4958 0,4958 0,032678x – 2,93539
110 0,70366 0,70366 0,041572x – 3,86926
15
Lampiran 2 Program untuk Mencari Interpolasi Linear pada MATLAB
function [a,b]=spliner(x,f) n=length(x); for k=1:(n-1), a(k)=(f(k+1)-f(k))/(x(k+1)-x(k)); b(k)=f(k)-a(k)*x(k); end
Lampiran 3 Program untuk Mencari Fungsi Interpolasi Kuadratik pada MATLAB
function [a,b,c]=kuad(x,f) n=length(x); a=zeros(floor(n/2),1); b=zeros(floor(n/2),1); c=zeros(floor(n/2),1); for k=1:2:(n-2), p = polyfit([x(k) x(k+1) x(k+2)],[f(k) f(k+1) f(k+2)],2); a((k+1)/2)=p(1); b((k+1)/2)=p(2); c((k+1)/2)=p(3); end
Lampiran 4 Program untuk Membuat Grafik Fungsi Kuadratik pada MATLAB
xx=0:1:110; yy=zeros(1,length(xx)); yy(1)=a(1)*xx(1)^2+b(1)*xx(1)+c(1); for n=2:length(xx), kn = ceil(xx(n)/10); yy(n)=a(kn)*xx(n)^2+b(kn)*xx(n)+c(kn); end plot(xx,yy,x,y); %plot(xx,abs(yy'-y(1:111))); xx=0:1:110;
16
Lampiran 5 Tabel Mortalita Indonesia 2011
P_laki-laki :peluang meninggal laki-laki
P_perempuan :peluang meninggal perempuan
Tabel 8 Tabel Mortalita Indonesia 2011
Umur P_laki-laki P_perempuan
(1) (2) (3)
0 0,00802 0,0037
1 0,00079 0,00056
2 0,00063 0,00042
3 0,00033 0,00033
4 0,00043 0,00028
5 0,00038 0,00027
6 0,00034 0,0003
7 0,00031 0,00031
8 0,00029 0,0003
9 0,00028 0,00028
10 0,00027 0,00025
11 0,00027 0,00024
12 0,00026 0,00026
13 0,00026 0,00028
14 0,00027 0,00029
15 0,00029 0,00028
16 0,0003 0,00025
17 0,00032 0,00024
18 0,00036 0,00023
19 0,00041 0,00024
20 0,00049 0,00026
21 0,00059 0,00029
22 0,00069 0,00033
23 0,00077 0,00037
24 0,00083 0,00039
25 0,00085 0,00042
26 0,00083 0,00044
27 0,00079 0,00046
28 0,00075 0,00048
29 0,00074 0,00051
30 0,00076 0,00054
31 0,0008 0,00057
32 0,00083 0,0006
33 0,00084 0,00062
34 0,00086 0,00064
35 0,00091 0,00067
17
Umur P_laki-laki P_perempuan
36 0,00099 0,00074
37 0,00109 0,00084
38 0,0012 0,00093
39 0,00135 0,00104
40 0,00153 0,00114
41 0,00175 0,00126
42 0,00196 0,00141
43 0,00219 0,00158
44 0,00246 0,00175
45 0,00279 0,00193
46 0,00318 0,00214
47 0,00363 0,00239
48 0,00414 0,00268
49 0,00471 0,00299
50 0,00538 0,00334
51 0,00615 0,00374
52 0,00699 0,00422
53 0,00784 0,00479
54 0,00872 0,00542
55 0,00961 0,00607
56 0,01051 0,00669
57 0,01142 0,00725
58 0,01232 0,00776
59 0,01322 0,00826
60 0,01417 0,00877
61 0,01521 0,00936
62 0,01639 0,01004
63 0,01773 0,01104
64 0,01926 0,01214
65 0,021 0,01334
66 0,02288 0,01466
67 0,02486 0,01612
68 0,02702 0,01771
69 0,02921 0,01947
70 0,03182 0,02121
71 0,03473 0,02319
72 0,03861 0,02539
73 0,04264 0,02778
74 0,04687 0,03042
75 0,05155 0,0333
76 0,05664 0,03646
77 0,06254 0,03991
18
Umur P_laki-laki P_perempuan
78 0,06942 0,04372
79 0,07734 0,04789
80 0,08697 0,05247
81 0,09577 0,05877
82 0,10593 0,06579
83 0,11683 0,07284
84 0,12888 0,08061
85 0,14241 0,08925
86 0,15738 0,09713
87 0,17368 0,10831
88 0,1911 0,12131
89 0,20945 0,1345
90 0,22853 0,14645
91 0,24638 0,15423
92 0,26496 0,16454
93 0,2845 0,18235
94 0,30511 0,20488
95 0,32682 0,23305
96 0,34662 0,25962
97 0,3677 0,2872
98 0,39016 0,29173
99 0,41413 0,30759
100 0,43974 0,33241
101 0,45994 0,35918
102 0,48143 0,38871
103 0,50431 0,42124
104 0,52863 0,45705
105 0,5545 0,4958
106 0,58198 0,53553
107 0,61119 0,57626
108 0,64222 0,61725
109 0,67518 0,65996
110 0,71016 0,70366
111 1 1
19
Lampiran 6 Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline Linier pada Laki-laki
Keterangan :
X : usia seseorang dengan selang 1
X1 : usia seseorang dengan selang 5
Y : peluang seseorang mati berdasarkan tabel mortalitas
Y1 : peluang seseorang mati berdasarkan model interpolasi linier
E : nilai kesalahan (Y-Y1)
% : nilai kesalahan relatif
Tabel 9 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama
Tabel 10 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval bebeda
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
1 0,00079 0,00079
0 0,00
1 0,00079 0,00079
9,75782E-19 0,00
2 0,00063 0,00063
0 0,00
2 0,00063 0,00063
1,0842E-19 0,00
3 0,00033 0,00047
0,00014 42,42
3 0,00033 0,00033
0 0,00
4 0,00043 0,00031
0,00012 27,91
4 0,00043 0,00043
5,42101E-20 0,00
5 0,00038 0,00015 5 0,00023 60,53
5 0,00038 0,00038 5 0 0,00
6 0,00034 0,000358
1,8E-05 5,29
6 0,00034 0,000358
1,8E-05 5,29
7 0,00031 0,000336
0,000026 8,39
7 0,00031 0,000336
0,000026 8,39
8 0,00029 0,000314
0,000024 8,28
8 0,00029 0,000314
0,000024 8,28
9 0,00028 0,000292
0,000012 4,29
9 0,00028 0,000292
0,000012 4,29
10 0,00027 0,00027 10 0 0,00
10 0,00027 0,00027 10 0 0,00
11 0,00027 0,000274
4E-06 1,48
11 0,00027 0,000274
4E-06 1,48
12 0,00026 0,000278
1,8E-05 6,92
12 0,00026 0,000278
1,8E-05 6,92
13 0,00026 0,000282
0,000022 8,46
13 0,00026 0,000282
0,000022 8,46
14 0,00027 0,000286
0,000016 5,93
14 0,00027 0,000286
0,000016 5,93
15 0,00029 0,00029 15 0 0,00
15 0,00029 0,00029 15 0 0,00
16 0,0003 0,00033
3E-05 10,00
16 0,0003 0,00033
3E-05 10,00
17 0,00032 0,00037
0,00005 15,63
17 0,00032 0,00037
0,00005 15,63
18 0,00036 0,00041
0,00005 13,89
18 0,00036 0,00041
0,00005 13,89
19
20
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
19 0,00041 0,00045
4E-05 9,76
19 0,00041 0,00045
4E-05 9,76
20 0,00049 0,00049 20 0 0,00
20 0,00049 0,00049 20 0 0,00
21 0,00059 0,000562
2,8E-05 4,75
21 0,00059 0,000562
2,8E-05 4,75
22 0,00069 0,000634
5,6E-05 8,12
22 0,00069 0,000634
5,6E-05 8,12
23 0,00077 0,000706
6,4E-05 8,31
23 0,00077 0,000706
6,4E-05 8,31
24 0,00083 0,000778
5,2E-05 6,27
24 0,00083 0,000778
5,2E-05 6,27
25 0,00085 0,00085 25 0 0,00
25 0,00085 0,00085 25 0 0,00
26 0,00083 0,000832
2E-06 0,24
26 0,00083 0,000832
2E-06 0,24
27 0,00079 0,000814
2,4E-05 3,04
27 0,00079 0,000814
2,4E-05 3,04
28 0,00075 0,000796
4,6E-05 6,13
28 0,00075 0,000796
4,6E-05 6,13
29 0,00074 0,000778
3,8E-05 5,14
29 0,00074 0,000778
3,8E-05 5,14
30 0,00076 0,00076 30 0 0,00
30 0,00076 0,00076 30 0 0,00
31 0,0008 0,00079
1E-05 1,25
31 0,0008 0,00079
1E-05 1,25
32 0,00083 0,00082
0,00001 1,20
32 0,00083 0,00082
0,00001 1,20
33 0,00084 0,00085
0,00001 1,19
33 0,00084 0,00085
0,00001 1,19
34 0,00086 0,00088
2E-05 2,33
34 0,00086 0,00088
2E-05 2,33
35 0,00091 0,00091 35 0 0,00
35 0,00091 0,00091 35 0 0,00
36 0,00099 0,001034
4,4E-05 4,44
36 0,00099 0,001034
4,4E-05 4,44
37 0,00109 0,001158
6,8E-05 6,24
37 0,00109 0,001158
6,8E-05 6,24
38 0,0012 0,001282
8,2E-05 6,83
38 0,0012 0,001282
8,2E-05 6,83
39 0,00135 0,001406
5,6E-05 4,15
39 0,00135 0,001406
5,6E-05 4,15
40 0,00153 0,00153 40 0 0,00
40 0,00153 0,00153 40 0 0,00
41 0,00175 0,001782
3,2E-05 1,83
41 0,00175 0,001782
3,2E-05 1,83
42 0,00196 0,002034
7,4E-05 3,78
42 0,00196 0,002034
7,4E-05 3,78
43 0,00219 0,002286
9,6E-05 4,38
43 0,00219 0,002286
9,6E-05 4,38
44 0,00246 0,002538
7,8E-05 3,17
44 0,00246 0,002538
7,8E-05 3,17
45 0,00279 0,00279 45 0 0,00
45 0,00279 0,00279 45 0 0,00
46 0,00318 0,003308
0,000128 4,03
46 0,00318 0,003308
0,000128 4,03
47 0,00363 0,003826
0,000196 5,40
47 0,00363 0,003826
0,000196 5,40
20
21
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
48 0,00414 0,004344
0,000204 4,93
48 0,00414 0,004344
0,000204 4,93
49 0,00471 0,004862
0,000152 3,23
49 0,00471 0,004862
0,000152 3,23
50 0,00538 0,00538 50 0 0,00
50 0,00538 0,00538 50 0 0,00
51 0,00615 0,006226
7,6E-05 1,24
51 0,00615 0,006226
7,6E-05 1,24
52 0,00699 0,007072
8,2E-05 1,17
52 0,00699 0,007072
8,2E-05 1,17
53 0,00784 0,007918
7,8E-05 0,99
53 0,00784 0,007918
7,8E-05 0,99
54 0,00872 0,008764
4,4E-05 0,50
54 0,00872 0,008764
4,4E-05 0,50
55 0,00961 0,00961 55 0 0,00
55 0,00961 0,00961 55 0 0,00
56 0,01051 0,010522
1,2E-05 0,11
56 0,01051 0,010522
1,2E-05 0,11
57 0,01142 0,011434
1,4E-05 0,12
57 0,01142 0,011434
1,4E-05 0,12
58 0,01232 0,012346
2,6E-05 0,21
58 0,01232 0,012346
2,6E-05 0,21
59 0,01322 0,013258
3,8E-05 0,29
59 0,01322 0,013258
3,8E-05 0,29
60 0,01417 0,01417 60 0 0,00
60 0,01417 0,01417 60 0 0,00
61 0,01521 0,015536
0,000326 2,14
61 0,01521 0,015536
0,000326 2,14
62 0,01639 0,016902
0,000512 3,12
62 0,01639 0,016902
0,000512 3,12
63 0,01773 0,018268
0,000538 3,03
63 0,01773 0,018268
0,000538 3,03
64 0,01926 0,019634
0,000374 1,94
64 0,01926 0,019634
0,000374 1,94
65 0,021 0,021 65 0 0,00
65 0,021 0,021 65 0 0,00
66 0,02288 0,023164
0,000284 1,24
66 0,02288 0,023164
0,000284 1,24
67 0,02486 0,025328
0,000468 1,88
67 0,02486 0,025328
0,000468 1,88
68 0,02702 0,027492
0,000472 1,75
68 0,02702 0,027492
0,000472 1,75
69 0,02921 0,029656
0,000446 1,53
69 0,02921 0,029656
0,000446 1,53
70 0,03182 0,03182 70 0 0,00
70 0,03182 0,03182 70 0 0,00
71 0,03473 0,03418
0,00055 1,58
71 0,03473 0,03418
0,00055 1,58
72 0,03861 0,03841
0,0002 0,52
72 0,03861 0,03841
0,0002 0,52
73 0,04264 0,04264
0 0,00
73 0,04264 0,04264
0 0,00
74 0,04687 0,04687
0 0,00
74 0,04687 0,04687
0 0,00
75 0,05155 0,0511 75 0,00045 0,87
75 0,05155 0,0511 75 0,00045 0,87
76 0,05664 0,058434
0,001794 3,17
76 0,05664 0,058434
0,001794 3,17
21
22
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
77 0,06254 0,065318
0,002778 4,44
77 0,06254 0,065318
0,002778 4,44
78 0,06942 0,072202
0,002782 4,01
78 0,06942 0,072202
0,002782 4,01
79 0,07734 0,079086
0,001746 2,26
79 0,07734 0,079086
0,001746 2,26
80 0,08697 0,08597 80 0,001 1,15
80 0,08697 0,08597 80 0,001 1,15
81 0,09577 0,097258
0,001488 1,55
81 0,09577 0,097258
0,001488 1,55
82 0,10593 0,108546
0,002616 2,47
82 0,10593 0,108546
0,002616 2,47
83 0,11683 0,119834
0,003004 2,57
83 0,11683 0,119834
0,003004 2,57
84 0,12888 0,131122
0,002242 1,74
84 0,12888 0,131122
0,002242 1,74
85 0,14241 0,14241 85 0 0,00
85 0,14241 0,14241 85 0 0,00
86 0,15738 0,159634
0,002254 1,43
86 0,15738 0,159634
0,002254 1,43
87 0,17368 0,176858
0,003178 1,83
87 0,17368 0,176858
0,003178 1,83
88 0,1911 0,194082
0,002982 1,56
88 0,1911 0,194082
0,002982 1,56
89 0,20945 0,211306
0,001856 0,89
89 0,20945 0,211306
0,001856 0,89
90 0,22853 0,22853 90 0 0,00
90 0,22853 0,22853 90 0 0,00
91 0,24638 0,248188
0,001808 0,73
91 0,24638 0,248188
0,001808 0,73
92 0,26496 0,267846
0,002886 1,09
92 0,26496 0,267846
0,002886 1,09
93 0,2845 0,287504
0,003004 1,06
93 0,2845 0,287504
0,003004 1,06
94 0,30511 0,307162
0,002052 0,67
94 0,30511 0,307162
0,002052 0,67
95 0,32682 0,32682 95 0 0,00
95 0,32682 0,32682 95 0 0,00
96 0,34662 0,349404
0,002784 0,80
96 0,34662 0,349404
0,002784 0,80
97 0,3677 0,371988
0,004288 1,17
97 0,3677 0,371988
0,004288 1,17
98 0,39016 0,394572
0,004412 1,13
98 0,39016 0,394572
0,004412 1,13
99 0,41413 0,417156
0,003026 0,73
99 0,41413 0,417156
0,003026 0,73
100 0,43974 0,43974 100 0 0,00
100 0,43974 0,43974 100 0 0,00
101 0,45994 0,462692
0,002752 0,60
101 0,45994 0,462692
0,002752 0,60
102 0,48143 0,485644
0,004214 0,88
102 0,48143 0,485644
0,004214 0,88
103 0,50431 0,508596
0,004286 0,85
103 0,50431 0,508596
0,004286 0,85
104 0,52863 0,531548
0,002918 0,55
104 0,52863 0,531548
0,002918 0,55
105 0,5545 0,5545 105 0 0,00
105 0,5545 0,5545 105 0 0,00
22
23
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
106 0,58198 0,585632
0,003652 0,63
106 0,58198 0,585632
0,003652 0,63
107 0,61119 0,616764
0,005574 0,91
107 0,61119 0,616764
0,005574 0,91
108 0,64222 0,647896
0,005676 0,88
108 0,64222 0,647896
0,005676 0,88
109 0,67518 0,679028
0,003848 0,57
109 0,67518 0,679028
0,003848 0,57
110 0,71016 0,71016 110 0 0,00
110 0,71016 0,71016 110 0 0,00
111 1 1
0 0,00
111 1 1
0 0,00
23
24
Lampiran 7 Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline Linier pada Perempuan
Keterangan :
X : usia dengan selang 1
X1 : usia dengan selang 5
Y : peluang seseorang mati berdasarkan tabel mortalitas
Y1 : peluang seseorang mati berdasarkan model interpolasi linier
E : nilai kesalahan (Y-Y1)
% : nilai kesalahan relatif
Tabel 11 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama
Tabel 12 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval bebeda
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
1 0,00056 0,00051
0,00005 8,93 1 0,00056 0,00056
2,1684E-19 0,00
2 0,00042 0,00042
0 0,00 2 0,00042 0,00042
0 0,00
3 0,00033 0,00033
0 0,00 3 0,00033 0,00033
5,42101E-20 0,00
4 0,00028 0,00024
4E-05 14,29 4 0,00028 0,00028
0 0,00
5 0,00027 0,00015 5 0,00012 44,44 5 0,00027 0,00027 5 1,6263E-19 0,00
6 0,0003 2,66E-04
0,000034 11,33
6 0,0003 2,66E-04
0,000034 11,33
7 0,00031 2,62E-04
0,000048 15,48
7 0,00031 2,62E-04
0,000048 15,48
8 0,0003 2,58E-04
0,000042 14,00
8 0,0003 2,58E-04
0,000042 14,00
9 0,00028 2,54E-04
0,000026 9,29
9 0,00028 2,54E-04
0,000026 9,29
10 0,00025 2,50E-04 10 0 0,00
10 0,00025 2,50E-04 10 0 0,00
11 0,00024 2,56E-04
1,6E-05 6,67
11 0,00024 2,56E-04
1,6E-05 6,67
12 0,00026 2,62E-04
2E-06 0,77
12 0,00026 2,62E-04
2E-06 0,77
13 0,00028 2,68E-04
1,2E-05 4,29
13 0,00028 2,68E-04
1,2E-05 4,29
14 0,00029 2,74E-04
1,6E-05 5,52
14 0,00029 2,74E-04
1,6E-05 5,52
15 0,00028 2,80E-04 15 0 0,00
15 0,00028 2,80E-04 15 0 0,00
16 0,00025 2,76E-04
0,000026 10,40
16 0,00025 2,76E-04
0,000026 10,40
17 0,00024 2,72E-04
0,000032 13,33
17 0,00024 2,72E-04
0,000032 13,33
18 0,00023 2,68E-04
0,000038 16,52
18 0,00023 2,68E-04
0,000038 16,52
24
25
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
19 0,00024 2,64E-04
0,000024 10,00
19 0,00024 2,64E-04
0,000024 10,00
20 0,00026 2,60E-04 20 0 0,00
20 0,00026 2,60E-04 20 0 0,00
21 0,00029 2,92E-04
2E-06 0,69
21 0,00029 2,92E-04
2E-06 0,69
22 0,00033 3,24E-04
6E-06 1,82
22 0,00033 3,24E-04
6E-06 1,82
23 0,00037 3,56E-04
0,000014 3,78
23 0,00037 3,56E-04
0,000014 3,78
24 0,00039 3,88E-04
2E-06 0,51
24 0,00039 3,88E-04
2E-06 0,51
25 0,00042 4,20E-04 25 0 0,00
25 0,00042 4,20E-04 25 0 0,00
26 0,00044 4,44E-04
4E-06 0,91
26 0,00044 4,44E-04
4E-06 0,91
27 0,00046 4,68E-04
8E-06 1,74
27 0,00046 4,68E-04
8E-06 1,74
28 0,00048 4,92E-04
0,000012 2,50
28 0,00048 4,92E-04
0,000012 2,50
29 0,00051 5,16E-04
6E-06 1,18
29 0,00051 5,16E-04
6E-06 1,18
30 0,00054 5,40E-04 30 0 0,00
30 0,00054 5,40E-04 30 0 0,00
31 0,00057 5,66E-04
4E-06 0,70
31 0,00057 5,66E-04
4E-06 0,70
32 0,0006 5,92E-04
8E-06 1,33
32 0,0006 5,92E-04
8E-06 1,33
33 0,00062 6,18E-04
2E-06 0,32
33 0,00062 6,18E-04
2E-06 0,32
34 0,00064 6,44E-04
4E-06 0,62
34 0,00064 6,44E-04
4E-06 0,62
35 0,00067 6,70E-04 35 0 0,00
35 0,00067 6,70E-04 35 0 0,00
36 0,00074 7,64E-04
2,4E-05 3,24
36 0,00074 7,64E-04
2,4E-05 3,24
37 0,00084 8,58E-04
1,8E-05 2,14
37 0,00084 8,58E-04
1,8E-05 2,14
38 0,00093 9,52E-04
2,2E-05 2,37
38 0,00093 9,52E-04
2,2E-05 2,37
39 0,00104 1,05E-03
6E-06 0,58
39 0,00104 1,05E-03
6E-06 0,58
40 0,00114 1,14E-03 40 0 0,00
40 0,00114 1,14E-03 40 0 0,00
41 0,00126 0,001298
3,8E-05 3,02
41 0,00126 0,001298
3,8E-05 3,02
42 0,00141 0,001456
4,6E-05 3,26
42 0,00141 0,001456
4,6E-05 3,26
43 0,00158 0,001614
0,000034 2,15
43 0,00158 0,001614
0,000034 2,15
44 0,00175 0,001772
2,2E-05 1,26
44 0,00175 0,001772
2,2E-05 1,26
45 0,00193 0,00193 45 0 0,00
45 0,00193 0,00193 45 0 0,00
46 0,00214 0,002212
7,2E-05 3,36
46 0,00214 0,002212
7,2E-05 3,36
47 0,00239 0,002494
0,000104 4,35
47 0,00239 0,002494
0,000104 4,35
25
26
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
48 0,00268 0,002776
9,6E-05 3,58
48 0,00268 0,002776
9,6E-05 3,58
49 0,00299 0,003058
6,8E-05 2,27
49 0,00299 0,003058
6,8E-05 2,27
50 0,00334 0,00334 50 0 0,00
50 0,00334 0,00334 50 0 0,00
51 0,00374 0,003886
0,000146 3,90
51 0,00374 0,003886
0,000146 3,90
52 0,00422 0,004432
0,000212 5,02
52 0,00422 0,004432
0,000212 5,02
53 0,00479 0,004978
0,000188 3,92
53 0,00479 0,004978
0,000188 3,92
54 0,00542 0,005524
0,000104 1,92
54 0,00542 0,005524
0,000104 1,92
55 0,00607 0,00607 55 0 0,00
55 0,00607 0,00607 55 0 0,00
56 0,00669 0,00661
8E-05 1,20
56 0,00669 0,00661
8E-05 1,20
57 0,00725 0,00715
0,0001 1,38
57 0,00725 0,00715
0,0001 1,38
58 0,00776 0,00769
7E-05 0,90
58 0,00776 0,00769
7E-05 0,90
59 0,00826 0,00823
3E-05 0,36
59 0,00826 0,00823
3E-05 0,36
60 0,00877 0,00877 60 0 0,00
60 0,00877 0,00877 60 0 0,00
61 0,00936 0,009684
0,000324 3,46
61 0,00936 0,009684
0,000324 3,46
62 0,01004 0,010598
0,000558 5,56
62 0,01004 0,010598
0,000558 5,56
63 0,01104 0,011512
0,000472 4,28
63 0,01104 0,011512
0,000472 4,28
64 0,01214 0,012426
0,000286 2,36
64 0,01214 0,012426
0,000286 2,36
65 0,01334 0,01334 65 0 0,00
65 0,01334 0,01334 65 0 0,00
66 0,01466 0,01453
0,00013 0,89
66 0,01466 0,01453
0,00013 0,89
67 0,01612 0,01612
0 0,00
67 0,01612 0,01612
0 0,00
68 0,01771 0,01771
0 0,00
68 0,01771 0,01771
0 0,00
69 0,01947 0,0193
0,00017 0,87
69 0,01947 0,0193
0,00017 0,87
70 0,02121 0,02089 70 0,00032 1,51
70 0,02121 0,02089 70 0,00032 1,51
71 0,02319 0,023628
0,000438 1,89
71 0,02319 0,023628
0,000438 1,89
72 0,02539 0,026046
0,000656 2,58
72 0,02539 0,026046
0,000656 2,58
73 0,02778 0,028464
0,000684 2,46
73 0,02778 0,028464
0,000684 2,46
74 0,03042 0,030882
0,000462 1,52
74 0,03042 0,030882
0,000462 1,52
75 0,0333 0,0333 75 0 0,00
75 0,0333 0,0333 75 0 0,00
76 0,03646 0,037134
0,000674 1,85
76 0,03646 0,037134
0,000674 1,85
26
27
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
77 0,03991 0,040968
0,001058 2,65
77 0,03991 0,040968
0,001058 2,65
78 0,04372 0,044802
0,001082 2,47
78 0,04372 0,044802
0,001082 2,47
79 0,04789 0,048636
0,000746 1,56
79 0,04789 0,048636
0,000746 1,56
80 0,05247 0,05247 80 0 0,00
80 0,05247 0,05247 80 0 0,00
81 0,05877 0,059826
0,001056 1,80
81 0,05877 0,059826
0,001056 1,80
82 0,06579 0,067182
0,001392 2,12
82 0,06579 0,067182
0,001392 2,12
83 0,07284 0,074538
0,001698 2,33
83 0,07284 0,074538
0,001698 2,33
84 0,08061 0,081894
0,001284 1,59
84 0,08061 0,081894
0,001284 1,59
85 0,08925 0,08925 85 0 0,00
85 0,08925 0,08925 85 0 0,00
86 0,09713 0,10069
0,00356 3,67
86 0,09713 0,10069
0,00356 3,67
87 0,10831 0,11213
0,00382 3,53
87 0,10831 0,11213
0,00382 3,53
88 0,12131 0,12357
0,00226 1,86
88 0,12131 0,12357
0,00226 1,86
89 0,1345 0,13501
0,00051 0,38
89 0,1345 0,13501
0,00051 0,38
90 0,14645 0,14645 90 0 0,00
90 0,14645 0,14645 90 0 0,00
91 0,15423 0,16377
0,00954 6,19
91 0,15423 0,16377
0,00954 6,19
92 0,16454 0,18109
0,01655 10,06
92 0,16454 0,18109
0,01655 10,06
93 0,18235 0,19841
0,01606 8,81
93 0,18235 0,19841
0,01606 8,81
94 0,20488 0,21573
0,01085 5,30
94 0,20488 0,21573
0,01085 5,30
95 0,23305 0,23305 95 0 0,00
95 0,23305 0,23305 95 0 0,00
96 0,25962 0,252922
0,006698 2,58
96 0,25962 0,252922
0,006698 2,58
97 0,2872 0,272794
0,014406 5,02
97 0,2872 0,272794
0,014406 5,02
98 0,29173 0,292666
0,000936 0,32
98 0,29173 0,292666
0,000936 0,32
99 0,30759 0,312538
0,004948 1,61
99 0,30759 0,312538
0,004948 1,61
100 0,33241 0,33241 100 0 0,00
100 0,33241 0,33241 100 0 0,00
101 0,35918 0,365088
0,005908 1,64
101 0,35918 0,365088
0,005908 1,64
102 0,38871 0,397766
0,009056 2,33
102 0,38871 0,397766
0,009056 2,33
103 0,42124 0,430444
0,009204 2,18
103 0,42124 0,430444
0,009204 2,18
104 0,45705 0,463122
0,006072 1,33
104 0,45705 0,463122
0,006072 1,33
105 0,4958 0,4958 105 0 0,00
105 0,4958 0,4958 105 0 0,00
27
28
X Y Y1 X1 E %
X Y Y1 X1 E %
106 0,53553 0,537372
0,001842 0,34
106 0,53553 0,537372
0,001842 0,34
107 0,57626 0,578944
0,002684 0,47
107 0,57626 0,578944
0,002684 0,47
108 0,61725 0,620516
0,003266 0,53
108 0,61725 0,620516
0,003266 0,53
109 0,65996 0,662088
0,002128 0,32
109 0,65996 0,662088
0,002128 0,32
110 0,70366 0,70366 110 0 0,00
110 0,70366 0,70366 110 0 0,00
111 1 1
0 0,00
111 1 1
0 0,00
28
29
Lampiran 8 Nilai dari Fungsi Kuadratik
P_laki-laki :peluang meninggal laki-laki
P_perempuan :peluang meninggal perempuan
Y1 : peluang meninggal laki-laki dari fungsi kuadratik
Y2 : peluang meninggal perempuan dari fungsi kuadratik
E1 : nilai kesalahan dari fungsi kuadratik laki-laki (P_laki-laki – Y1)
E2 : nilai kesalahan dari fungsi kuadratik perempuan (P_perempuan – Y2)
K1 : kesalahan relatif dari fungsi kuadaratik laki-laki ( |E1| / P_laki-laki * 100)
K2 : kesalahan relatif dari fungsi kuadaratik perempuan( |E2| / P_perempuan * 100)
Tabel 13 Nilai dari Fungsi Kuadratik
Usia P_laki-laki P_perempuan Y1 E1 K1 Y2 E2 K2
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
0 0,00802 0,0037 0,00802 0 0 0,0037 0 0
1 0,00079 0,00056 0,00589 0,0051 645,519 0,002741 0,002181 389,5
2 0,00063 0,00042 0,00406 0,00343 544,5079 0,001919 0,001499 356,8571
3 0,00033 0,00033 0,002532 0,002202 667,3939 0,001233 0,000903 273,5758
4 0,00043 0,00028 0,001306 0,000876 203,6279 0,000683 0,000403 144
5 0,00038 0,00027 0,00038 0 0 0,00027 0 0
6 0,00034 0,0003 -0,00024 0,000584 171,8824 -6,80E-06 0,000307 102,2667
7 0,00031 0,00031 -0,00057 0,000878 283,0968 -0,00015 0,000457 147,4839
8 0,00029 0,0003 -0,00059 0,00088 303,3103 -0,00015 0,000451 150,4
9 0,00028 0,00028 -0,00031 0,00059 210,8571 -1,88E-05 0,000299 106,7143
10 0,00027 0,00025 0,00027 1,03E-18 3,81E-13 0,00025 1,03E-18 4,12E-13
11 0,00027 0,00024 0,00026 1,04E-05 3,851852 0,00026 0,00002 8,333333
12 0,00026 0,00026 0,000256 3,6E-06 1,384615 0,000268 8E-06 3,076923
13 0,00026 0,00028 0,00026 4E-07 0,153846 0,000274 6E-06 2,142857
14 0,00027 0,00029 0,000272 1,6E-06 0,592593 0,000278 0,000012 4,137931
15 0,00029 0,00028 0,00029 0 0 0,00028 0 0
16 0,0003 0,00025 0,000316 1,56E-05 5,2 0,00028 0,00003 12
17 0,00032 0,00024 0,000348 2,84E-05 8,875 0,000278 0,000038 15,83333
18 0,00036 0,00023 0,000388 2,84E-05 7,888889 0,000274 0,000044 19,13043
19 0,00041 0,00024 0,000436 2,56E-05 6,243902 0,000268 0,000028 11,66667
20 0,00049 0,00026 0,00049 9,76E-19 1,99E-13 0,00026 0 0
21 0,00059 0,00029 0,000598 8E-06 1,355932 0,000295 5,2E-06 1,793103
22 0,00069 0,00033 0,000688 2E-06 0,289855 0,000329 1,2E-06 0,363636
23 0,00077 0,00037 0,00076 1E-05 1,298701 0,000361 9,2E-06 2,486486
24 0,00083 0,00039 0,000814 0,000016 1,927711 0,000391 1,2E-06 0,307692
25 0,00085 0,00042 0,00085 1,08E-18 1,28E-13 0,00042 0 0
26 0,00083 0,00044 0,000868 3,8E-05 4,578313 0,000447 7,2E-06 1,636364
27 0,00079 0,00046 0,000868 7,8E-05 9,873418 0,000473 1,28E-05 2,782609
28 0,00075 0,00048 0,00085 0,0001 13,33333 0,000497 1,68E-05 3,5
29 0,00074 0,00051 0,000814 7,4E-05 10 0,000519 9,2E-06 1,803922
30 0,00076 0,00054 0,00076 0 0 0,00054 0 0
30
Usia P_laki-laki P_perempuan Y1 E1 K1 Y2 E2 K2
31 0,0008 0,00057 0,000752 4,76E-05 5,95 0,000539 3,12E-05 5,473684
32 0,00083 0,0006 0,000764 6,64E-05 8 0,000551 4,88E-05 8,133333
33 0,00084 0,00062 0,000794 4,64E-05 5,52381 0,000577 4,28E-05 6,903226
34 0,00086 0,00064 0,000842 1,76E-05 2,046512 0,000617 2,32E-05 3,625
35 0,00091 0,00067 0,00091 9,76E-19 1,07E-13 0,00067 0 0
36 0,00099 0,00074 0,000996 6,4E-06 0,646465 0,000737 3,2E-06 0,432432
37 0,00109 0,00084 0,001102 1,16E-05 1,06422 0,000817 2,28E-05 2,714286
38 0,0012 0,00093 0,001226 2,56E-05 2,133333 0,000911 1,88E-05 2,021505
39 0,00135 0,00104 0,001368 1,84E-05 1,362963 0,001019 2,12E-05 2,038462
40 0,00153 0,00114 0,00153 0 0 0,00114 0 0
41 0,00175 0,00126 0,001676 7,44E-05 4,251429 0,001248 1,16E-05 0,920635
42 0,00196 0,00141 0,001874 8,56E-05 4,367347 0,001382 2,84E-05 2,014184
43 0,00219 0,00158 0,002126 6,36E-05 2,90411 0,00154 4,04E-05 2,556962
44 0,00246 0,00175 0,002432 2,84E-05 1,154472 0,001722 2,76E-05 1,577143
45 0,00279 0,00193 0,00279 9,97E-18 3,58E-13 0,00193 9,97E-18 5,17E-13
46 0,00318 0,00214 0,003202 2,16E-05 0,679245 0,002162 2,24E-05 1,046729
47 0,00363 0,00239 0,003666 3,64E-05 1,002755 0,00242 2,96E-05 1,238494
48 0,00414 0,00268 0,004184 4,44E-05 1,072464 0,002702 2,16E-05 0,80597
49 0,00471 0,00299 0,004756 4,56E-05 0,968153 0,003008 1,84E-05 0,615385
50 0,00538 0,00334 0,00538 1,99E-17 3,71E-13 0,00334 9,97E-18 2,99E-13
51 0,00615 0,00374 0,0062 4,96E-05 0,806504 0,003888 0,000148 3,967914
52 0,00699 0,00422 0,007032 4,24E-05 0,606581 0,004436 0,000216 5,109005
53 0,00784 0,00479 0,007878 3,84E-05 0,489796 0,004982 0,000192 4
54 0,00872 0,00542 0,008738 1,76E-05 0,201835 0,005526 0,000106 1,9631
55 0,00961 0,00607 0,00961 0 0 0,00607 0 0
56 0,01051 0,00669 0,010496 1,44E-05 0,137012 0,006612 7,76E-05 1,15994
57 0,01142 0,00725 0,011394 2,56E-05 0,224168 0,007154 9,64E-05 1,329655
58 0,01232 0,00776 0,012306 1,36E-05 0,11039 0,007694 6,64E-05 0,85567
59 0,01322 0,00826 0,013232 1,16E-05 0,087746 0,008232 2,76E-05 0,33414
60 0,01417 0,00877 0,01417 0 0 0,00877 0 0
61 0,01521 0,00936 0,015217 6,8E-06 0,044707 0,00942 6E-05 0,641026
62 0,01639 0,01004 0,016423 3,32E-05 0,202563 0,010202 0,000162 1,613546
63 0,01773 0,01104 0,017789 5,92E-05 0,333897 0,011116 7,6E-05 0,688406
64 0,01926 0,01214 0,019315 5,48E-05 0,284528 0,012162 2,2E-05 0,181219
65 0,021 0,01334 0,021 9,71E-17 4,63E-13 0,01334 1,01E-16 7,54E-13
66 0,02288 0,01466 0,022845 3,52E-05 0,153846 0,01465 1E-05 0,068213
67 0,02486 0,01612 0,024849 1,08E-05 0,043443 0,016092 2,8E-05 0,173697
68 0,02702 0,01771 0,027013 6,8E-06 0,025167 0,017666 4,4E-05 0,248447
69 0,02921 0,01947 0,029337 0,000127 0,434098 0,019372 9,8E-05 0,503338
70 0,03182 0,02121 0,03182 0 0 0,02121 0 0
31
Usia P_laki-laki P_perempuan Y1 E1 K1 Y2 E2 K2
71 0,03473 0,02319 0,034511 0,000219 0,631155 0,023062 0,000128 0,553687
72 0,03861 0,02539 0,037829 0,000781 2,022274 0,025196 0,000194 0,762505
73 0,04264 0,02778 0,041775 0,000865 2,028143 0,027614 0,000166 0,596112
74 0,04687 0,03042 0,046349 0,000521 1,112012 0,030316 0,000104 0,343195
75 0,05155 0,0333 0,05155 7,01E-16 1,36E-12 0,0333 1,94E-16 5,83E-13
76 0,05664 0,03646 0,057379 0,000739 1,304379 0,036568 0,000108 0,295118
77 0,06254 0,03991 0,063835 0,001295 2,070995 0,040118 0,000208 0,522175
78 0,06942 0,04372 0,070919 0,001499 2,159608 0,043952 0,000232 0,531565
79 0,07734 0,04789 0,078631 0,001291 1,668994 0,04807 0,00018 0,375026
80 0,08697 0,05247 0,08697 6,94E-16 7,98E-13 0,05247 9,71E-17 1,85E-13
81 0,09577 0,05877 0,095604 0,000166 0,17375 0,058192 0,000578 0,982814
82 0,10593 0,06579 0,105464 0,000466 0,439536 0,064732 0,001058 1,608755
83 0,11683 0,07284 0,116552 0,000278 0,23761 0,072088 0,000752 1,032949
84 0,12888 0,08061 0,128868 1,24E-05 0,009621 0,08026 0,00035 0,433693
85 0,14241 0,08925 0,14241 2E-15 1,4E-12 0,08925 1,61E-15 1,8E-12
86 0,15738 0,09713 0,15718 0,0002 0,127335 0,099056 0,001926 1,983321
87 0,17368 0,10831 0,173176 0,000504 0,289959 0,10968 0,00137 1,264519
88 0,1911 0,12131 0,1904 0,0007 0,366091 0,12112 0,00019 0,156953
89 0,20945 0,1345 0,208852 0,000598 0,285701 0,133376 0,001124 0,83539
90 0,22853 0,14645 0,22853 2E-15 8,74E-13 0,14645 2E-15 1,36E-12
91 0,24638 0,15423 0,247018 0,000638 0,258787 0,162749 0,008519 5,523698
92 0,26496 0,16454 0,26609 0,00113 0,42663 0,179559 0,015019 9,12775
93 0,2845 0,18235 0,285748 0,001248 0,438805 0,196879 0,014529 7,967535
94 0,30511 0,20488 0,305992 0,000882 0,288945 0,214709 0,009829 4,79754
95 0,32682 0,23305 0,32682 0 0 0,23305 0 0
96 0,34662 0,25962 0,348234 0,001614 0,465524 0,251901 0,007719 2,973115
97 0,3677 0,2872 0,370232 0,002532 0,688714 0,271263 0,015937 5,549164
98 0,39016 0,29173 0,392816 0,002656 0,680849 0,291135 0,000595 0,204024
99 0,41413 0,30759 0,415986 0,001856 0,448072 0,311517 0,003927 1,276765
100 0,43974 0,33241 0,43974 9,99E-16 2,27E-13 0,33241 0 0
101 0,45994 0,35918 0,45942 0,00052 0,113058 0,36153 0,00235 0,654379
102 0,48143 0,38871 0,480736 0,000694 0,144154 0,39243 0,00372 0,956909
103 0,50431 0,42124 0,503688 0,000622 0,123337 0,425108 0,003868 0,918146
104 0,52863 0,45705 0,528276 0,000354 0,066966 0,459564 0,002514 0,550137
105 0,5545 0,4958 0,5545 2E-15 3,6E-13 0,4958 9,99E-16 2,02E-13
106 0,58198 0,53553 0,58236 0,00038 0,065294 0,533814 0,001716 0,320356
107 0,61119 0,57626 0,611856 0,000666 0,108968 0,573608 0,002652 0,460278
108 0,64222 0,61725 0,642988 0,000768 0,119585 0,61518 0,00207 0,335423
109 0,67518 0,65996 0,675756 0,000576 0,085311 0,65853 0,00143 0,216619
110 0,71016 0,70366 0,71016 9,99E-16 1,41E-13 0,70366 3E-15 4,26E-13
32
Lampiran 9 Fungsi Kuadratik
A1 : koefisien dari fungsi untuk laki-laki
B1 : koefisien dari fungsi untuk laki-laki
C1 : koefisien dari fungsi untuk laki-laki
A2 : koefisien dari fungsi untuk perempuan
B2 : koefisien dari fungsi untuk perempuan
C2 : koefisien dari fungsi untuk perempuan
Tabel 14 Fungsi Kuadratik
Usia A1 B1 C1 A2 B2 C2
0-10 0,000154 -0,00234 0,0082 6,82E-05 -0,00103 0,0037
10-20 3,60E-06 -8,60E-05 0,00077 -1,00E-06 3,10E-05 4,00E-05
20-30 -9,00E-06 4,77E-04 -0,00545 -8,00E-07 6,80E-05 -0,00078
30-40 9,40E-06 -5,81E-04 0,00973 6,80E-06 -0,00042 0,0069
40-50 2,66E-05 -2,01E-03 0,03933 1,24E-05 -0,0009 0,01714
50-60 6,60E-06 1,53E-04 -0,01877 -6,00E-07 0,000609 -0,02561
60-70 7,98E-05 -8,61E-03 0,24343 6,60E-05 -0,00734 0,21133
70-80 0,000294 -0,03866 1,29805 0,000142 -0,01811 0,59535
80-90 0,000594 -0,08666 3,21941 0,000408 -0,06003 2,24111
90-100 0,000293 -0,03447 0,96104 0,000255 -0,02989 0,76961
100-110 0,000818 -0,14474 6,73354 0,000889 -0,14965 6,40331
33
Lampiran 10 Hasil Interpolasi Berderajat Banyak
Gambar 4 Hasil Interpolasi Berderajat Banyak
Tabel 15 Keterangan garis pada gambar
Warna Keterangan
Biru (*) Data pada tabel mortalita
Hijau (+) Interpolasi berderajat tiga
Merah (o) Interpolasi berderajat empat
0 20 40 60 80 100 120-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
P
e
l
u
a
n
g
Usia (tahun)
