y = sin1 x = arcsin x x = sin y y [/2, /2]

Demikian pula untuk invers fungsi trigonometri yang lain.

y = cos1x = arccos x x = cos y y [0, ]

y = tan –1x = arctan x x = tan y y (/2, /2)

y = cot 1x = arccot x x = cot y y (0, )

y = sec 1x = arcsec x x = sec y y (/2, /2)

y = csc1 x = arccsc x x = csc y y (0, )

Selanjutnya, grafik fungsi siklometri dapat dilihat pada Gambar 2.2.12 di bawah ini.

43

Gambar 2.2.12 (a) Gambar 2.2.12 (b)

Gambar 2.2.12 (a)

(c) Fungsi Eksponensial

Untuk , fungsi f dengan rumus:

f(x) = ax

disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar berikut:

(d). Fungsi Logaritma

Untuk , . Sebagai contoh:

Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:

disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini . Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada

gambar dibawah.

1, aay x

10, aay x

1

Gambar 2.2.13

44

2.2.2 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub

Seperti telah diterangkan di muka, dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat

diekspresikan dengan tak hingga banyak cara. Oleh karena itu, untuk menggambarkan grafik fungsi dalam

sistem koordinat kutub, diperlukan kehati-hatian yang lebih dibanding ketika menggambar dalam sistem

koordinat Kartesius.

Contoh 2.2.1 Gambarlah grafik r = 2.

Penyelesaian: Titik-titik yang memenuhi persamaan r=2 adalah titik-titik yang berjarak 2 satuan

dari kutub (O). Jadi, kumpulan titik-titik ini akan membentuk lingkaran berjari-jari 2. Dengan cara lain,

karena maka . Grafik diberikan pada Gambar 2.2.15.

1,log axy a

10,log axy a

1

Gambar 2.2.14

Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub adalah himpunan semua titik P sehingga

paling sedikit satu representasi titik P, yaitu , memenuhi persamaan tersebut.

45

(2, /2)

Contoh 2.2.2 Gambarl grafik r = 2 sin dan r = 2 + 2 sin .

Penyelesaian: Tabel di bawah memberikan beberapa titik yang memenuhi kedua persamaan fungsi di atas

untuk

Tabel 2.2.1

r = 2 sin r = 2 + 2 sin 0 0 2

1 32 + 2 +

2 42 + 2 +

1 30 21 1 2 2 2 0 2 2

Berdasarkan hasil pada Tabel 2.2.1, grafik dapat dilihat pada Gambar 2.2.16.

46

(2, /4)

(2, 0)(2, ) (2, 2)

Gambar 2.2.15

Contoh 2.2.3 Gambarlkan daerah yang berada di dalam kurva r = tetapi di luar lingkaran r

= .

Penyelesaian: Untuk beberapa nilai , maka titik-titik yang dilalui oleh kurva di atas dapat dilihat pada

tabel berikut:

Tabel 2.2.2

r = r = 0 4 0

2+2 12+

32 20 02 2

2 4 0

Selanjutnya, gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut:

47

Gambar 2.2.16 (a) Gambar 2.2.16 (a)

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, diberikan persamaan dalam x dan y. Tentukan persamaan yang mana y merupakan

fungsi x.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

Untuk soal 13 – 21, tentukan domain dan range fungsi f.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

48

Gambar 2.2.17

22. Tentukan jika .

23. Tentukan jika

24. Diberikan . Jika , tunjukkan:

25. Untuk sebarang bilangan real , tentukan jika .

Untuk soal 26 – 31, diberikan fungsi f dan g. Tentukan dan beserta dengan masing-

masing domainnya.

26. 27.

28. 29.

30. 31.

Untuk soal 32 – 41, tentukan dan serta masing-masing domainnya.

32. 33.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40.

41.

49

Untuk 42 – 46, tentukan inversnya beserta domainnya.

42. 43. 44.

45. 46.

2.3 Barisan dan Deret

Perhatikan himpunan tak hingga berikut ini.

Apabila fungsi f didefinisikan sebagai:

maka himpunan A dapat pula dinyatakan sebagai:

Dalam hal ini, fungsi f disebut barisan. Secara umum, dapat didefinisikan pengertian barisan sebagai

berikut.

Pada bagian ini akan dibicarakan fungsi dengan domain sistem bilangan asli. yang

Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi . Untuk seterusnya, barisan bilangan real cukup disebut

sebagai barisan. Suku ke-n suatu barisan, yaitu , biasa dinyatakan dengan an, n N. Selanjutnya,

barisan dengan suku-suku an, n N, ditulis dengan notasi .

Contoh 2.3.2 Berikut adalah contoh-contoh barisan:

50

Definisi 2.3.1 Barisan bilangan real adalah fungsi bernilai real dengan domain sistem

bilangan asli. Nilai fungsi di n disebut suku ke-n.

a. b. c.

d. e. f.

Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan:

S1 = a1 S2 = a1 + a2 … Sn = a1 + a2 + … + an

Sn, nN, disebut jumlahan parsial.

Contoh 2.3.4 Bilangan dapat ditulis sebagai:

Ruas terakhir pada persamaan di atas adalah suatu deret.

2.4 Irisan Kerucut

Diketahui luasan berbentuk kerucut tegak dengan setengah sudut puncak dan titik puncak P.

Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tidak melalui P dan membentuk sudut terhadap sumbu

kerucut maka irisannya akan berbentuk suatu kurva, yang selanjutnya disebut irisan kerucut. Bentuk irisan

kerucut ini tergantung pada besar sudut . Apabila:

(a). maka irisan kerucut berupa eilips. Perhatikan gambar di bawah.

51

WP

Definisi 2.3.3 Diberikan barisan . Jumlahan tak hingga:

disebut deret tak hingga atau deret untuk singkatnya.

(b.). maka irisan kerucut yang terjadi berbentuk parabola (lihat Gambar 2.4.2).

(c.). maka terjadi kelas hiperbola

Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya

ke suatu titik tertentu dan kesuatu garis tertentu tetap. Selanjutnya, titik tertentu tersebut dinamakan titik

52

WP

WP

Gambar 2.4.1

Gambar 2.4.2

Gambar 2.4.3

fokus yang dinyatakan dengan F, garis tertentu tersebut dinamakan garis arah yang dinyatakan dengan d,

dan perbandingan yang tetap tersebut dinamakan eksentrisitas yang ditulis . Berdasarkan eksentrisitasnya

irisan kerucut dapat dibedakan menjadi:

a. Kelas ellips jika

b. Kelas parabola jika

c. Kelas hiperbola jika

Diambil fokus F berimpit dengan titik asal O dan garis arah d mempunyai persamaan x + p = 0

dengan p > 0.

Jika P(x,y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d sama

dengan , yaitu:

atau

(i). Untuk diperoleh parabola dengan persamaan:

O F

x+ p=0

Gambar 2.4.4

53

y2 = 2px + p2 = 2p (x +

Jika diambil substitusi maka persamaan parabola menjadi y2 = 2px*. Selanjutnya, y2 = 2px

merupakan persamaan parabola dengan fokus F( , garis arah d: x + , titik puncak O (0,0), dan

sumbu simetris garis y = 0 atau sumbu X.

(ii).Untuk diperoleh elips atau hiperbola dengan persamaan:

=

Selanjutnya, dengan menggambil x** = x diperoleh:

O F

x+ p=0

Gambar 2.4.5

P(x,y)●

54

(x**)2 +

(a). Untuk diambil: dan , maka diperoleh:

Karena , dan , maka: b2 + c2 = a2 . Secara umum, persamaan ellips

dengan pusat O(0,0), sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, fokus F( , dan garis arah d dengan

persamaan x = diberikan oleh:

Jika a = b maka ellips mempunyai persamaan:

x2 + y2 = a2

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, lingkaran adalah ellips

dengan titik fokus dan titik pusat O.

55

(b). Untuk , diambil dan = b2 maka diperoleh c2 = a2 + b2 dan

dan:

Jadi, persamaan hyperbola dengan pusat O(0,0) , sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, titik fokus

F( , dan garis arah d : x = diberikan oleh:

aa

b

b

● ●

●P(x,y)

Gambar 2.4.6

56

●(0,b)

●(0,b)

●

(a,0)●

(c,0) ●

(a,0) ●

(c,0)

xa

by x

a

by

Gambar 2.4.7

57