FUNGSI ANALITIK :

“TOPOLOGI DI BIDANG KOMPLEKS”

“LIMIT DAN KEKONTINUAN”

Disusun Oleh :

ST RISKA AUNITA RAHMA

NUR ENI

RIDWANA TURFA

NILA LESTARI

MUH. HASRUL

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas

izin-Nyalah sehingga makalah dengan judul Fungsi Analitik yang terbagi menjadi

dua materi Topologi di Bidang Kompleks dan Limit dan Kekontinuan dapat

terselesaikan sebagaimana mestinya. Penulisan Makalah ini bertujuan untuk

memenuhi salah satu mata kuliah yaitu analisis kompleks

Dalam menyelesaikan makalah ini, kami menemui hambatan-hambatan

dan kesulitan yang akhirnya dapat teratasi akibat dari kesabaran dan

kesungguhan penulis dalam menyelesaikan makalah ini. Ucapan terima kasih

penulis sampaikan pula pada dosen pembimbing, serta semua pihak yang telah

membantu kami mencari resensi-resensi yang sesuai. Karena tanpa bantuan dan

doronganya, kami mungkin tidak akan menyelesaikan makalah ini.

Kami menyadari, tak ada gading yang tak retak, tak ada manusia yang

tak luput dari kesalahan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik

dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga Makalah ini bisa bermanfaat

bagi kita semua.

Samata, November 2015

Kelompok V

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Tujuan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

A. Topologi Di Bidang Kompleks

B. Limit dan Kekontinuan

1. Limit Fungsi Kompleks

2. Kekontinuan Fungsi Kompleks

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan

real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan

semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang

disebut bilangan kompleks. Perlu diketahui bahwa Himpunan bilangan yang

terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Secara umum

bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian imajener.

Bagian imajiner bercirikan hadirnya bilangan imajiner i yang didefinisikan

sebagai i=√−1.

Pada sistem bilangan kompleks terdapat pula fungsi kompleks yang biasa

disimbolkan dengan f(z). Sudah diketahui bahwa pada sistem bilangan real, suatu

fungsi memiliki limit dan dikatakan kontinu jika memenuhi syarat yang telah

ditentukan. Bagaimana dengan system bilangan kompleks ?. Apakah syarat pada

sistem bilangan real sama dengan sistem bilangan kompleks untuk dikatakan

bahwa fungsi kompleks memiliki limit dan dikatakan kontinu ?. Tapi sebelum itu

kita harus memahami mengenai topologi dibidang kompleks

Pada makalah ini akan dibahas mengenai topologi dibidang kompleks

serta limit dan kekontinuan fungsi kompleks.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah pada makalah ini yaitu

1. Bagaimanakah konsep-konsep topologi pada bidang kompleks ?

2. Bagaimanakah suatu fungsi kompleks dikatakan mempunyai limit dan

dikatakan kontinu ?

C. Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini yaitu :

1. Memahami konsep-konsep topologi pada bidang kompleks

2. Memahami kapan suatu fungsi kompleks dikatakan mempunyai limit dan

dikatakan kontinu

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Topologi Di Bidang Kompleks

Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik

pada bidang Z atau bidang kompleks. Adapun konsep-konsep topologi pada

bidang kompleks yaitu :

1. Lingkungan/Persekitaran

a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam

lingkaran yang berpusat di zo, berjari-jari r, r >0. Ditulis :

N(zo,r) atau |z – zo| < r.

b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik z¹zo yang terletak di

dalam lingkaran yang berpusat di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis :

N*(zo,r) atau 0< |z – zo| < r

Contoh :

a. N(i,1) atau |z – i | < 1, lihat pada gambar 1

b. N*(O,a) atau 0< |z – O| < a, lihat pada gambar 2

im

Re

Gambar 1

i

¿

¿

im

Re

Gambar 2

Pada gambar 1 terlihat bahwa lingkaran berpusat di i memilki nilai jari-jari 1.Sedangkan pada gambar 2 lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari a.

2. Komplemen

Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan

himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S.

Contoh :

A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z³ 1}.

B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z£2 atau z³4}.

3. Titik Limit

Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) maka

N*(zo,d) Ç S ¹ f. Jika zo S dan z∈ o bukan titik limit, maka zo disebut titik

terasing.

4. Titik Batas

Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) memuat

suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.

5. Batas dari himpunan S

a

0

Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) memuat

suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.

6. Titik Interior dan Eksterior

Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,d) sehingga N(zo,d) Ì

S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.

7. Himpunan Terbuka

Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik

interior S.

8. Himpunan Tertutup

Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.

9. Himpunan Terhubung

Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat

dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.

10. Daerah Domain

Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.

11. Daerah Tertutup

Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup Dari Himpunan

adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.

Contoh :

1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:

A adalah himpunan terbuka dan terhubung.

Batas dari A adalah { z ⃒ |z|=1}.

Penutup dari A adalah { z ⃒ |z|£1}.

2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:

B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.

Titik-titik limit dari B adalah { z ⃒ |z|£1}.

3. Diberikan C = { z / |z|£ 2}, maka:

Titik-titik interior C adalah { z ⃒ |z|<2}.

B. LIMIT DAN KEKONTINUAN

Pada analisis kompleks, yang perlu diperhatikan adalah fungsi kompleks

yang dapat diturunkan pada domain tertentu. Pertama-tama akan didefinisikan

dahulu bahwa : S adalah himpunan bilangan kompleks, dan fungsi f pada S

adalah yang menetapkan setiap z di dalam S suatu bilangan kompleks w , disebut

sebagia fungsi f di z, dituliskan sebagai :

w = f(z)…………….............................................(Pers 1)

Pada persamaan 1, z merupakan peubah kompleks(complex variable).

Jadi,S merupakan domain dari definisi fungsi f . Oleh karena itu, himpunan yang

merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai jangkauan dari f. Sedangkan w

adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga dapat dituliskan sebagai : w=u+iv,

atau dapat pula ditulis dalam bentuk

u + iv = f(x + iy). ………………………………….…..(Pers 2)

dengan u merupakan bagian real dan v merupakan bagian imajiner. Jadi w

bergantung pada z=x+iy.

w=f(z)=u(x,y)+iy(x,y)………………………………(Pers 3)

Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka

u + iv = f(reiθ) ………………………………..........(Pers 4)

dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi

f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ). ………………………………(Pers 5)

Pada persamaan 3 menunjukkan bahwa fungsi kompleks f(z) ekuivalen

dengan pasangan fungsi u(x,y) dan v(x,y) yang keduanya bergantung pada

variable x dan y. Berikut adalah gambar pemetaan fungsi kompleks.

f(z)

z=x+iy w=u(x,y)+iv(x,y)

Contoh :

Misalkan w=f(z)=z2-3z. Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z=2+4i.

Nyatakan juga u dan v dalam bentuk polar !

Penyelesaian :

Misal z = x + iy, sehingga

f(z) =f(x+iy)

=(x+iy)2-3(x+iy)

=x2+2xiy+i2y2-3x-3iy

= x2+2xiy-y2-3x-3iy

= x2-y2-3x+2xiy-3iy

= x2-y2-3x+i(2xy-3y)

Jadi u= x2-y2-3x dan v=2xy-3y

Untuk z = 2+4i maka

f(z) = f(2+4i)

= (2+4i)2-3(2+4i)

= 4+16i+16i2-6-12i

= -2+4i+-16

=--18+4i

Jadi untuk u(2,4)=-18 dan v(2,4)=-4

Jika dalam bentuk polar maka,

f(z) = f(reiϴ)

= (reiϴ)2-3(reiϴ)

= r2ei2ϴ-3reiϴ

= r2 (cos 2ϴ + isin 2ϴ)- 3r(cos ϴ + sin ϴ)

= r2 cos 2ϴ + ir2 sin 2ϴ - 3r cos ϴ -3ir sin ϴ

= r2 cos 2ϴ - 3r cos ϴ + ir2 sin 2ϴ -3ir sin ϴ

= r2 cos 2ϴ - 3r cos ϴ + i(r2 sin 2ϴ -3r sin ϴ)

Jadi untuk u= r2 cos 2ϴ - 3r cos ϴ dan v= r2 sin 2ϴ -3r sin ϴ

1. Limit Fungsi Kompleks

Definisi :

Suatu fungsi f(z) dikatakan mempunyai limit L untuk z mendekati titik

z0 dapat ditulis sebagai berikut :

limz → z 0

f ( z )=L

Persamaan diatas juga berarti bahwa untuk setiap ε > 0 yang diberikan (berapa

pun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikan rupa sehingga untuk

|f(z)-L|< ε asalkan bahwa 0 < |z-z0| < δ atau dalam bentuk

0 < |z-z0| < δ → |f(z)-L|< ε

Dalam hal ini :

Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal

a. z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan

b. Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0 berbeda

maka limz→ z0

f ( z ) tidak ada

c. f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z0

Contoh :

Diberikan fungsi f(z)=iz2 . Buktikan

limz→1

f ( z )= i2 !

Akan dibuktikan bahwa :

0 < |z-1| < δ → |iz2 -

12 |< ε

Ambil Sebarang ε > 0. Pilih δ = 2ε Sedemikian sehingga |f(z)-L|< ε

Teorema Limit

Andaikan limz→ z0

f ( z )=A , limz→ z0

g ( z )=B maka

a.limz→ z0

( f ( z )+g( z ))=A+B.

b.limz→ z0

( f ( z )−g (z ))=A−B

c.limz→ z0

f ( z )g ( z )=AB.

d.limz→ z0

f ( z )g ( z )

= AB .

Contoh :

Diberikan f(z)=1+3z dan g(z)= z+1

DIberikan pula bahwa limz→1

f ( z )=4 dan limz→1

g( z )=2

Buktikan bahwa limz→1

( f ( z )+g( z ))=4+2

Penyelesaian :

|f ( z )−L|=|iz2−i

2|

=|iz−i2

|

=|i( z−1)2

|

=|i||z−1|2

=1|z−1|2

=|z−1|2

<δ2=2 ε

2=ε

Akan dibuktikan bahwa :

0< |z-1| < δ → |f(z)+g(z)-(4+2)| < ε

Terlebih dahulu :

Untuk limz→1

f (z )=4

Ambil ε > 0 sebarang. Pilih

δ1=ε/6. Maka 0< |z-1| < δ

mengimplikasikan

Untuk limz→1

g( z )=2

Ambil ε > 0 sebarang. Pilih δ2= ε/2. Maka 0< |z-1| < δ mengimplikasikan

Selanjutnya akan dibuktikan:

0< |z-1| < δ → |f(z)+g(z)-(4+2)| < ε

Pilih δ = min { δ1, δ2 } yaitu pilih δ sebagai yang terekecil diantara keduanya.

Maka 0< |z-1| < δ mengimplikasikan bahwa :

|f ( z )−L|=|1+3 z−4|=|3 z−3|=|3( z−1)|=3|z−1|<3 δ=ε /2

|g( z )−M|=|z+1−2|=|z−1|<δ=ε /2

|f ( z )+g( z )−(4+2)|=|(1+3 z )+( z+1)−(4+2)|=|(1+3 z )+( z+1)−4−2|¿|(1+3 z )−4|+|( z+1 )−2|

¿ε2+ε

2=ε

Limit Tak Hingga

Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak

hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks

yang diperluas.

Teorema :

Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka

a.limz→ z0

f ( z )=∞ jhj limz→z0

1f ( z )

=0

b.limz→∞

f (z )=w0 jhj limz→0

f ( 1z )=w 0

c.limz→∞

f (z )=∞ jhj limz→ 0

1f (1/ z )

=0

Bukti :

a. Misalkan limz→ z0

f ( z )=∞, artinya

∀ ε>0∃δ∋|f ( z )|> 1ε bila

0 < |z – z0| < δ ............…………………………………(*).

Akan dibuktikan limz→ z0

1f ( z )

=0.

Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z0| < δ dari z0.

Sehingga persamaan (*) dapat ditulis menjadi

| 1f (z )

−0|<ε bila 0 < |z – z0| < δ.

Jadi limz→ z0

1f ( z )

=0.

b. Misalkan limz→∞

f (z )=w0,

Artinya ∀ ε>0∃δ∋|f ( z )−w0|<ε bila |z| >1/δ.............(**).

Akan dibuktikan limz→0

f (1z )=w0.

Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh

|f ( 1z )−w0|<ε

bila 0 < |z – 0| < δ.

Jadi limz→0

f (1z )=w0

.

c. Misalkan limz→∞

f (z )=∞,

Artinya ∀ ε>0∃δ∋|f ( z )|> 1

ε bila |z| > 1/δ ……………....(***).

Akan dibuktikan limz→0

1f (1/ z )

=0.

Pada persamaan (***) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh

| 1f (1 /z )

−0|<ε bila 0 < |z – 0| < δ.

Jadi limz→0

1f (1/ z )

=0.

Contoh :

Diberikan f(z)=z2-2z+1

Tentukan limz→∞

f (z )

Penyelesaian:

limz→∞

f (z )=limz→∞

z2−2 z+1= limz→∞

z2

z2 −2 zz2 +1

z2 =limz→∞

1−2z+1

z2 =1−2∞ +1

∞

=1−0+0=1

2. Kekontinuan Fungsi Kompleks

Definisi :

Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika f(z0) terdefinisikan dan

limz→ z0

f ( z )= f ( z0)

Dengan definisi diatas dilihat ada 3 syarat yang dimaksudkan untuk dikatakan

kontinu, yaitu:

a.limz→ z0

f ( z ) ada

b. f(z0) ada

c.limz→ z0

f ( z )=f ( z0)

Contoh :

Diberikan :

f(z)=

Dikatakan kontinu bila memenuhi tiga syarat :

a.limz→ z0

f ( z ) ada

{ z2+9z−3i

, z0≠3 i

3 i+z , z0=3 i

limz→ z0

f ( z )=limz→3 i

z2+9z−3 i

= limz→3i

z2−i2 9z−3 i

¿ limz→3 i

( z−3 i)( z+3i )z−3i

¿ limz→ z0

z+3 i

¿6 i

b. f(z0) adaf(z0) =3i+z0

f(3i) =3i+3i

=6i

c.limz→ z0

f ( z )=f ( z0)

Karena limz→ z0

f ( z ) memliki nilai yang sama dengan f ( z0) yaitu 6i

maka fungsi tersebut kontinu dititik 3 i

Teorema Kekontinuan :

Jika f dan g kontinu pada daerah D maka :

a. f+g kontinu

b. f-g kontinu

c. f.g kontinu

d. f/g kontinu kecuali di z0∈D sehingga g(z0) = 0.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Adapun kesimpulan dari materi daiatas, yaitu :

1. Topologi adalah system dalam bilangan matematika yang memberikan

pengertian tentang himpunan buka dan mempunyai beberapa kumpulan titik-

titik pada bidang Z atau bidang kompleks.

2. Suatu fungsi kompleks f(z) :

a. Memiliki Limit bila limit L untuk z mendekati titik z0 dapat ditulis sebagai

berikut :

limz → z 0

f ( z )=L

Persamaan diatas memberikan arti bahwa untuk setiap ε > 0 yang

diberikan (berapa pun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan

sedemikan rupa sehingga untuk |f(z)-L|< ε asalkan bahwa 0 < |z-z0| < δ

atau dalam bentuk

0 < |z-z0| < δ → |f(z)-L|< ε

b. Dikatakan kontinu di z = z0 jika f(z0) terdefinisikan dan

limz→ z0

f ( z )=f ( z0)

Dengan definisi diatas dilihat ada 3 syarat yang dimaksudkan untuk

dikatakan kontinu, yaitu:

1.limz→ z0

f ( z ) ada

2. f(z0) ada

3.limz→ z0

f ( z )=f ( z0)

B. Saran

Adapun saran kami sebagai penyusun makalah ini adalah bagi

pembaca yang ingin menyusun makalah serupa, bisa menjadikan makalah kami

sebagai salah satu rajukan dengan harapan lebih mengembangkan lagi isi

makalah tersebut

DAFTAR PUSTAKA

Bara Setaiwan, Toto’.2012. https://sryandyasmoko.files.wordpress.com /2012/03/

bilangan-kompleks-lengkap.ppt. (diakses pada 24 November 2015)

Saripudin,Aip.2009.http://file.upi.edu/Direktori/FPTK/JUR._PEND._TEKNIK_ELE

KTRO/197004182005011AIP_SARIPUDIN/Matematika_Teknik_I

BAB_2_Bilangan_Kompleks.pdf. (diakses pada 24 November 2015)

Sovia,Anny. 2012. https: ://annymath.files.wordpress.com/2012/09/bahan-ajar

ankom-3.pdf (diakses pada 24 November 2015)

Hasugian, Jimmy &Agus Prijono. 2006. Menguasai Analisis Kompleks dalam

Matematika Teknik. Bandung: Rekayasa Sains Bandung