Formula de matematicas

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  • 1 Formulario Basico L.F. Resendis O.

    1.1 Formulas para exponentes y radicales L.F. Resendis O.

    aman = am+n ambn = ambn na = a

    1

    n

    am

    an= amn

    am

    bn= ambn

    nab = n

    a

    nb

    1

    an= an

    (ab

    )n=

    an

    bn

    na

    nb= n

    a

    b=(ab

    ) 1n

    (am)n = amn man = (an)

    1

    m = an

    m ( ma)n = (a

    1

    m )n = an

    m

    1.2 Areas y volumenes L.F. Resendis O.

    Area de diversas figuras planas

    Figura Datos Permetro Area

    Cuadrado lado = l P = 4l A = l2

    Rectangulo base= b, altura = h P = 2(a + b) A = ab

    Triangulo base= b, altura = h, lados = a, b, c P = a+ b+ c A =bh

    2

    Trapecio base mayor= B, base menor = b, altura = h A =(B + b)h

    2

    Crculo radio=r 2pir A = pir2

    Areas y volumenes de algunos solidos

    Solido Datos Area Volumen

    Cubo lado = l A = 6l2 V = l3

    Bola radio = r A = 4pir V =4

    3pir3

    Cilindro radio de la base = r, altura = h A = 2pir2 + 2pirh V = pir2h

    Cono radio = r, altura = h A = pirh2 + r2 + pir2 V =

    1

    3pir2h

    Crculo radio=r 2pir A = pir2

    1

  • 1.3 Productos notables L.F. Resendis O.

    (i) (a b)2 = a2 2ab+ b2

    (ii) (a+ b)(a b) = a2 b2

    (iii) (a b)(a2 + ab+ b2) = a3 b3

    (iv) (a+ b)(a2 ab+ b2) = a3 + b3

    (v) (a+ b)n =

    ni=0

    n!

    k!(n k)!akbnk

    1.4 Ecuacion general de orden dos L.F. Resendis O.

    Las soluciones de la ecuacion cuadratica

    ax2 + bx+ c = 0

    estan dadas por

    x1 =bb2 4ac

    2a, x2 =

    bb2 4ac2a

    .

    Si b2 4ac > 0 la ecuacion tiene dos races reales; si b2 4ac = 0 la ecuacion tiene una solaraz real repetida dos veces y si b2 4ac < 0 la ecuacion no tiene races reales, son complejas.

    Para a > 0 la completacion del trinomio ax2 + bx+ c es de la forma:

    ax2 + bx+ c =

    (ax+

    b

    2a

    )2+ c b

    2

    4a.

    En el caso que a < 0 se tiene

    ax2 + bx+ c = c b2

    4a(ax b

    2a

    )2.

    1.5 Teorema de Pitagoras y funciones trigonometricas L.F. Resendis O.

    Se considera el triangulo rectangulo con catetos A y B e hipotenusa C , ver la figura figura 1.Entonces

    A2 +B2 = C2 .

    Las funciones trigonometricas asociadas al triangulo rectangulo de la figura 1 son

    2

  • AC B

    x

    Figure 1: El triangulo rectangulo ABC .

    senx =B

    Ccos x =

    A

    Ctan x =

    senx

    cosx=

    B

    A

    csc x =1

    sen x=

    C

    Bsec x =

    1

    cos x=

    C

    Acotx =

    1

    tanx=

    cos x

    senx=

    A

    B

    donde el angulo x se mide en radianes.

    Valores en angulos escuadra para funciones trigonometricas.

    x grados xrad senx cos x tan x0 0 0 1 0

    30pi

    6

    1

    2

    3

    2

    13

    45pi

    4

    2

    2

    2

    21

    60pi

    3

    3

    2

    1

    2

    3

    90pi

    21 0

    3

  • Las graficas de las funciones trigonometricas son

    seno x

    2

    3

    22

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    csc x

    2

    3

    22

    -6

    -4

    -2

    2

    4

    6

    8

    Figure 2: Las funciones senx y csc x =1

    sen x

    cos x

    2

    3

    22

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    sec x

    2

    3

    22

    -5

    5

    Figure 3: Las funciones cosx y sec x =1

    cos x

    tan x

    -

    2

    2

    3

    2

    -6

    -4

    -2

    2

    4

    6

    cot x

    2

    3

    22

    -6

    -4

    -2

    2

    4

    6

    Figure 4: Las funciones tan x =senx

    cos xy cotx =

    1

    tanx=

    cos x

    senx

    Valores principales de la funcion senx y cos x, con k = 0, 1, 2, 3, . . .funcion Dominio Ceros Maximos Mnimos

    senx R kpi(4k + 1)pi

    2

    (4k + 3)pi

    2

    cos x R(2k + 1)pi

    22kpi (2k + 1)pi

    4

  • 1.6 Lmites L.F. Resendis O.

    Sean f y g dos funciones con

    limxa

    f(x) = L , limxa

    g(x) = M

    entonces

    el lmite de la suma eslimxa

    (f(x) + g(x)) = limxa

    f(x) + limxa

    g(x) = L+M ,

    el lmite del producto eslimxa

    (f(x) g(x)) = limxa

    f(x) limxa

    g(x) = L M ,

    si M 6= 0 el lmite del cociente es

    limxa

    f(x)

    g(x)=

    limxa f(x)

    limxa g(x)=

    L

    M,

    si la funcion g es continua en L el lmite de la composicion eslimxa

    (g f)(x) = limxa

    (g(f(x)) = g(limxa

    f(x)) = g(L) .

    La condicion de exitencia del lmite por lmites laterales eslimxa

    f(x) = L si y solo si limxa

    f(x) = L = limxa+

    f(x) .

    Lmites notables. Sea > 0

    limx0

    1

    x= lim

    x0+

    1

    x=

    limx

    1

    x= 0 lim

    x

    1

    x= 0+

    limx0

    senx

    x= 1 lim

    x0

    tan x

    x= 1

    limx0

    1 cosxx

    = 0 limx0

    1 cosxx2

    =1

    2

    1.7 Continuidad L.F. Resendis O.

    La funcion f es continua en el punto a silimxa

    f(x) = f(limxa

    x) = f(a) .

    La suma, producto, cociente y composicion son continuas en su dominio de definicion.

    5

  • 1.8 Reglas de Derivacion L.F. Resendis O.

    (A)d

    dx(f(x) + g(x)) =

    d

    dxf(x) +

    d

    dxg(x)

    (B)d

    dx(f(x) g(x)) = g(x) d

    dxf(x) + f(x)

    d

    dxg(x)

    (B )d

    dx(c f(x)) = c d

    dxf(x)

    (C)d

    dx

    (f(x)

    g(x)

    )=

    g(x)d

    dxf(x) f(x) d

    dxg(x)

    g2(x)

    (C )d

    dx

    (1

    g(x)

    )=

    d

    dxg(x)

    g2(x)

    (D)d

    dx(g f)(x) = d

    dxg(f(x))

    d

    dxf(x)

    1.9 Definicion de derivada L.F. Resendis O.

    La derivada de la funcion f en el punto x se define por

    limh0

    f(x+ h) f(x)h

    = f (x) =d

    dxf(x) .

    La ecuacion de las rectas tangente y normal a la grafica de f en el punto (a, f(a)) son respec-tivamente

    y = f(a) + f (a)(x a) , y = f(a) 1f (a)

    (x a) .

    La aproximacion lineal de f en el punto a esta dada por su la aproximacion de su recta tangente

    f(x) f(a) + f (a)(x a) .

    1.10 Graficado de funciones L.F. Resendis O.

    Los puntos crticos de f son los ceros de su derivada, es decir las soluciones de f (x) = 0.Monotona de funciones.

    La funcion f es creciente en el intervalo I si f (x) > 0 para cada x I . La funcion f es decreciente en el intervalo I si f (x) < 0 para cada x I .

    6

  • Clasificacion de puntos extremos.

    Si f (a) = 0 y f (a) < 0 la funcion f tiene un punto maximo en a. Si f (a) = 0 y f (a) > 0 la funcion f tiene un punto mnimo en a.

    Concavidad de funciones.

    La funcion f es concava hacia arriba (convexa) en el intervalo I si f (x) > 0 para cada x I . La funcion f es concava hacia abajo (concava) en el intervalo I si f (x) < 0 para cada x I .

    1.11 Funcion inversa L.F. Resendis O.

    Sea f : I J una funcion derivable que admite inversa f1 : J I con y = f(x), entonces laformula de la derivada de la funcion inversa es

    (f1)(y) =1

    f (x)=

    1

    f (f1(y))si f (x) 6= 0 .

    1.12 Formulas de Derivacion L.F. Resendis O.

    (1)d

    dxun = nun1

    du

    dx

    (2)d

    dxlnu =

    1

    u

    du

    dx

    (3)d

    dxeu = eu

    du

    dx

    (4)d

    dxloga u =

    1

    u ln a

    du

    dx

    (5)d

    dxau = au ln a

    du

    dx

    (6)d

    dxsenu = cosu

    du

    dx

    (7)d

    dxcosu = senu du

    dx

    (8)d

    dxtanu = sec2 u

    du

    dx

    (9)d

    dxcotu = csc2 u du

    dx

    7

  • (10)d

    dxsec u = secu tan u

    du

    dx

    (11)d

    dxcsc u = csc u cotu du

    dx

    (12)d

    dxarcsenu =

    11 u2

    du

    dx

    (13)d

    dxarctan u =

    1

    1 + u2du

    dx

    (14)d

    dxarcsec u =

    1

    uu2 1

    du

    dx

    (15)d

    dxarccos u = 1

    1 u2du

    dx

    (16)d

    dxarccotu = 1

    1 + u2du

    dx

    (17)d

    dxarccsc u = 1

    uu2 1

    du

    dx

    8

  • 1.13 Formulas de Integracion L.F. Resendis O.

    (I)

    un du =

    un+1

    n+ 1+ C, n 6= 1.

    (II)

    du

    u= ln |u|+ C

    (III)

    eu du = eu + C

    (IV)

    au du =

    au

    ln a+ C

    (V)

    sen u du = cosu+ C

    (VI)

    cos u du = senu+ C

    (VII)

    tan u du = ln | sec u|+ C

    (VIII)

    cotu du = ln | senu|+ C

    (IX)

    sec u du = ln | sec u+ tanu|+ C

    (X)

    csc u du = ln | csc u cot u|+ C

    (XI)

    sec2 u du = tan u+ C

    (XII)

    csc2 u du = cotu+ C

    (XIII)

    sec u tan u du = sec u+ C

    (XIV)

    csc u cotu du = csc u+ C

    9

  • (XV)

    du

    a2 u2 =1

    2aln

    u+ au a + C

    (XVI)

    du

    u2 a2 =1

    2aln

    u au+ a + C .

    (XVII)

    du

    a2 u2 = arcsenu

    a+ C

    (XVIII)

    du

    a2 + u2=

    1

    aarctan

    u

    a+ C

    (XIX)

    du

    uu2 a2 =

    1

    aarcsec

    u

    a+ C

    (XX)

    a2 + u2 du =

    u

    2

    a2 + u2 +

    a2

    2ln(u+

    a2 + u2) + C

    (XXI)

    a2 u2 du = u

    2

    a2 u2 + a

    2

    2arcsen

    u

    a+ C

    (XXII)

    u2 a2 du = u

    2

    u2 a2 a

    2

    2ln |u+

    u2 a2|+ C

    (XXIII)

    du

    u2 a2 = lnu+u2 a2 + C.

    (XXIV)

    du

    a2 + u2= ln(u+

    a2 + u2) + C

    (XXV)

    du

    ua2 + u2

    = 1aln

    a2 + u2 + a

    u

    + C.

    10

  • 1.14 Sumas de Riemann L.F. Resendis O.

    Particion regular de tamano n del intervalo [a, b]

    x0 = a,

    x1 = a +b an

    x2 = a +2(b a)

    n...

    xi = a +i(b a)

    n...

    xn = a +n(b a)

    n= b

    La suma de Riemman para una funcion f : [a, b] R

    S =ni=1

    f(i)(xi xi1) =ni=1

    f()i

    donde {a = x0 < x1 < < xn = b} es una particion del intervalo [a, b] yxi1 i xi.

    Formulas para sumasn

    k=1

    k =n(n+ 1)

    2

    nk=1

    k2 =n(n+ 1)(2n + 1)

    6

    nk=1

    k3 =n2(n+ 1)2

    4

    Formula para calcular el error en las sumas de Riemann de una funcionf : [a, b] R:

    (b a)n

    (f(b) f(a)) < Error si f es creciente.(b a)

    n(f(a) f(b)) < Error si f es decreciente.

    11

  • 1.15 Teorema fundamental del calculo y primitivas L.F. Resendis O.

    Primer teorema fundamental del calculo( xa

    f(t) dt

    )

    = f(x) .

    Formula para derivar integrales( h(x)g(x)

    f(t) dt

    )

    = f(h(x))h(x) f(g(x))g(x) .

    Segundo teorema fundamental del calculo.Si F es una primitiva de f en el intervalo [a, b]

    ba

    f(x) dx = bF (x)cba = F (b) F (a)

    Intercambio en el orden de los lmites de integracion. ba

    f(x) dx = ab

    f(x) dx .

    Regla de cambio de variable en integrales definidas ba

    F (u(x))u(x) dx =

    u(b)u(a)

    F (u) du = F (u(b)) F (u(a)) .

    Regla de cambio de variable con primitivasF (u(x))u(x) dx =

    F (u) du = F (u(x)) + c .

    Regla de integracion por partes u dv = uv

    v du

    u = f(x), , du = f (x) dx, dv = g(x) dx, v =

    g(x) dx = g(x)

    f(x)g(x) dx = f(x)g(x)

    g(x)f (x) dx .

    12

  • x=a x=b

    dx

    y1=fHxL

    y2=gHxL

    Figure 5: El area limitada por y1, y2

    1.16 Aplicaciones de la integral L.F. Resendis O.

    Formula para calcular la longitud de arco de la grafica de f : [a, b] R

    L =

    ba

    1 + f 2(x) dx .

    Area limitada por las curvas y1 = f(x), y2 = g(x), ver figua 5 con la grafica de la curva y1 porarriba de la grafica de la curva y2 (rectangulos verticales de altura h = y1 y2, y base dx)

    dA = (y1 y2) dx por tanto A = ba

    (f(x) g(x)) dx .

    donde a y b son las abcisas de los puntos donde se intersectan las curvas y1, y2.

    Area limitada por las curvas x1 = h(y), x2 = l(y), con la grafica de la curva x1 a la derecha dela grafica de la curva x2 (rectangulos horizontales de altura dy y base x1 x2), ver figura 6

    y=c

    y=d

    dy

    x1=hHyL

    x2=lHyL

    Figure 6: El area limitada por x1, x2

    13

  • dA = (x1 x2) dy por tanto A = dc

    (h(y) l(y)) dy

    donde c y d son las ordenadas de los puntos donde se intersectan las curvas x1, x2. Para obtenerlas expresiones x1, x2 es necesario despejar la variable x.

    Volumen de revolucion obtenido al rotar, alrededor del eje horizontal y = c, la region limitadapor las graficas de y1 = f(x), y2 = g(x). Se supone que la distancia de la grafica de y1 al eje derotacion es siempre mayor que la distancia de la grafica de y2 al eje de rotacion. Ademas losrectangulos infinitesimales rotados son perpendiculares al eje de rotacion, ver figura 7

    x=a x=b

    dx

    y1=fHxL

    y2=gHxL

    y=c

    dx

    r1HxL= y1-c

    r2HxL= y2-c

    Figure 7: La region limitada por y1, y2 y rotada alrededor del eje y = c.

    dV = pi(r21(x) r22(x)) dx = pi(|f(x) c|2 |g(x) c|2) dxpor tanto

    V = pi

    ba

    (|f(x) c|2 |g(x) c|2) dx .donde a y b son las abcisas de los puntos donde se intersectan las curvas y1, y2.

    Volumen de revolucion obtenido al rotar, alrededor del eje horizontal x = a, la region entrelas gra ficas de x1 = h(y), x2 = l(y). Se supone que la distancia de la grafica de x1 al eje derotacion es siempre mayor que la distancia de la grafica de x2 al eje de rotacion. Ademas losrectangulos infinitesimales rotados son perpendiculares al eje de rotacion, ver figura 8

    dV = pi(r1(y)2 r2(y)2) dy = pi(|h(y) a|2 |l(y) a|2) dy

    por tanto

    V = pi

    dc

    (|h(y) a|2 |l(y) a|2) dydonde c y d son las abcisas de los puntos donde se intersectan las curvas x1, x2.

    14

  • y=c

    y=d

    dy

    x1=hHyL

    x2=lHyL

    x=a

    r1HyL=x1-a

    r2HyL=x2-a

    dy

    Figure 8: La region limitada por x1, x2 y rotada alrededor del eje x = a.

    Volumen de revolucion obtenido al rotar, alrededor del eje vertical x = a, la region entre lasgraficas y1 = f(x), y2 = g(x), cuyo borde esta a distancia r(x) = |x c| del eje de rotacion,los rectangulos infinitesimales son paralelos al eje de rotacion, con altura h(x) = y1 y2 paraa x b y base dx, ver figura 9

    dV = 2pir(x)h(x)d dx = 2pi|x c||f(x) g(x)| dxy por tanto

    V = 2pi

    ba

    r(x)h(x) dx = 2pi

    ba

    |x c||f(x) g(x)| dx .

    Volumen con area de la seccion tranversal conocida, perpendicular a un eje coordenado. Si laseccion es transversal al eje x, con area de la seccion dada por A(x), ver figura 10. Entonces

    dV = A(x)dx con =

    ba

    A(x) dx .

    Si la seccion es transversal al eje y, con area de la seccion dada por A(y). Entonces

    dV = A(y)d y con =

    ba

    A(y) dy .

    1.17 Integrales impropias L.F. Resendis O.

    Sea f : (a, b] R ( f no esta definida en a) ba

    f(x) dx = lima+

    b

    f(x) dx .

    15

  • x=a x=b

    dx

    y1=fHxL

    y2=gHxL

    x=c

    hHxL= y1-y2

    x

    rHxL= x-c

    Figure 9: La region limitada por y1, y2 y rotada alrededor del eje x = c.

    Sea f : [a,) R ( la integracion se hace sobre un intervalo de longitud infinita)

    a

    f(x) dx = limr+

    ra

    f(x) dx .

    Formulas para estimaciones de integrales impropias: 10

    dx

    x=

    { 11 si < 1, si 1

    1

    dx

    x=

    si 1,

    1

    1 si 1 <

    1.18 Integrales trigonometricasL.F. Resendis O.

    Integrales de potencias del senmx cosn x.Si aparece al menos una potencia impar se usa:

    sen 2x+ cos2 x = 1.

    Si ambas potencias son pares

    sen 2x =1

    2 1

    2cos 2x, cos2 x =

    1

    2+

    1

    2cos 2x.

    Las identidades sen 2x = 2 sen x cos x, cos 2x = cos2 x sen 2x se aplican para reescribir elresultado.

    16

  • Eje x

    Area=AHxL

    x=a

    x=b

    Figure 10: El volumen de una region con seccion transversal conocida.

    Integrales de potencias de secm x tann n.Si las potencias son pares o la potencia de la tangente es impar se usa:

    tan2 x+ 1 = sec2 x.

    Integrales de potencias de cscm x cotn x.Si las potencias son pares o la potencia de la cotangente es impar se usa:

    cot2 x+ 1 = csc2 x.

    1.19 Sustitucion trigonometrica L.F. Resendis O.

    Para expresiones donde aparece

    a2 u2 o a2 u2 se usa u = a sen .

    Se tiene as

    a2 u2 = a2 cos2 y a2 u2 = a cos con du = a cos d.

    El triangulo asociado es la figura 11

    17

  • a u

    a2- u

    2

    Figure 11: El triangulo del cambio u = a sen

    Para expresiones donde aparece

    a2 + u2 oa2 + u2 se usa u = a tan .

    Se tiene as

    a2 + u2 = a2 sec2 ya2 + u2 = a sec con du = a sec2 d.

    El triangulo asociado es la figura 12

    18

  • a2+ u

    2

    u

    a

    Figure 12: El triangulo del cambio u = a tan

    Para expresiones donde apareceu2 a2 o u2 a2 se usa u = a sec .

    Se tiene as

    u2 a2 = a2 tan2 y u2 a2 = a tan con du = a sec tan d.El triangulo asociado es la figura 13

    u u2 - a2

    a

    Figure 13: El triangulo del cambio u = a sec

    19

  • 1.20 Fracciones Parciales L.F. Resendis O.

    Sea la funcion racionalp(x)

    q(x)

    donde p(x) y q(x) son polinomios con grado p < grado q.

    Supongase que el denominador tiene en su factorizacion el producto(x a1) (x an) con a1, . . . , an R distintos entre si.

    Entonces le corresponde una fraccion parcial de la forma

    A1

    x a1 + +An

    x an .

    Supongase que el denominador tiene en su factorizacion el productoq(x) = (x a1)m1 (x an)mn con a1, . . . , an R.

    Entonces le corresponde al factor (x ai)mi una fraccion parcial de la formaA1

    x ai +A2

    (x ai)2 + +Ami

    (x ai)mi .

    Un trinomio ax2 + bx+ c se dice irreducible si b2 4ac < 0, es decir no tiene ceros reales. Supongase que el denominador q(x) tiene en su factorizacion un trinomio irreducible ax2+bx+c,entonces le corresponde una fraccion parcial de la forma

    Ax+B

    ax2 + bx+ c.

    Si en la factorizacion del denominador el trinomio irreducible ax2 + bx+ c aparece n veces lecorresponde la suma de las n fracciones parciales

    A1x+B1ax2 + bx+ c

    +A2x+B2

    (ax2 + bx+ c)2+ + Anx+Bn

    (ax2 + bx+ c)n.

    1.21 Formula de Taylor L.F. Resendis O.

    Sea f : [a, b] R una funcion n veces derivable en [a, b]. Entonces para x [a, b] se tiene

    f(x) = f(a) +f (a)

    1!(x a) + f

    (a)

    2!(x a)2 + f

    (a)

    3!(x a)3 +

    +fn1(a)

    (n 1)!(x a)n1 +Rn

    donde el residuo de orden n esta dado por

    Rn =fn(c)

    n!(x a)n con c (a, b) .

    20

  • El polinomio de Taylor, de orden n 1 en a, que aproxima a la funcion es

    f(x) f(a) + f(a)

    1!(x a) + f

    (a)

    2!(x a)2 + f

    (a)

    3!(x a)3 +

    +fn1(a)

    (n 1)!(x a)n1 .

    El error cometido en la aproximacion esta dado por el residuo Rn.

    La formula de Maclaurin se obtiene al tomar a = 0

    f(x) = f(0) +f (0)

    1!x+

    f (0)

    2!x2 +

    f (0)

    3!x3 + + f

    n1(0)

    (n 1)!xn1 +Rn

    donde

    Rn =fn(c)

    n!xn con c (0, b)

    21