Fizika mehanika (3)

7/30/2019 Fizika mehanika (3)

1/535

KLASICNA MEHANIKA

UVOD

Zvonko Glumac

Osijek, 2006.


2/535

v

All science is either physics or stamp collecting.

lord Ernest Rutherford, 1871 - 1937


3/535

vi


4/535

Sadrzaj

1 Uvod 1

I Mehanika jedne cestice 5

2 Matematicki uvod - elementi vektorskog racuna 72.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Derivacija vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Vektorski diferencijalni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Gradijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.2 Divergencija: Gaussov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.3 Gaussov zakon - dovrsiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.4 Rotacija: Stokesov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.5 Laplaceov operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 Cilindricni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Sferni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7 Kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8 Ortogonalna transformacija (preobrazba) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.9 Svojstva transformacijske matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10 Tenzori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3 Kinematika 733.1 Brzina i ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 Trobrid pratilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3 Frenet-Serretove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4 Kruzno gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Newtonovi aksiomi gibanja, konzervativnost, rad, energija, momenti 834.1 Newtonovi aksiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2 Rad, snaga i kineticka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3 Konzervativne sile i potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4 Impuls sile i momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5 Statika ili ravnoteza cestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Gibanje cestice u polju konstantne sile i sila ovisnih o brzini 1055.1 Gibanje u polju konstantne sile: slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2 Gibanje u polju konstantne sile: kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

vii


5/535

viii SADRZAJ

5.3 Uvjeti na gibanje: sila trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4 Sile ovisne o brzini: (1) sila prigusenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.4.1 Slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4.2 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.5 Sile ovisne o brzini: (2) Lorentzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 Harmonijski oscilator i matematicko njihalo 1316.1 Slobodni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2 Gustoca vjero jatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.3 Nelinearni oscilator - racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4 Priguseni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Prisilni titraji harmonijskog oscilatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6 Apsorpcija snage vanjske sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.6.1 Neperiodicna vanjska sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.6.2 Rjesenje pomocu Greenove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.7 Dvodimenzijski harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.8 Teodimenzijski izotropni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.9 Matematicko njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7 Gravitacija i centralne sile 1757.1 Newtonov zakon gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.2 Gravitacijsko privlacenje okruglih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.3 Divergencija i rotacija gravitacijskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.4 Multipolni razvoj potencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.5 Problem dva tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.6 Centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.7 Jednadzba gibanja cestice u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.8 Potencijalna energija cestice u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.9 Sacuvanje energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.10 Opis gibanja nebeskih tijela pomocu grafa energije . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.11 Ekvivalentnost Keplerovih zakona i zakona gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . 2247.12 Virijalni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7.12.1 Virijalni teorem za homogenu potencijalnu energiju . . . . . . . . . . . . 2 327.12.2 Pocetni uvjeti i putanja satelita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.13 Sto bi bilo ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.14 Racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.15 Rasprsenje cestica u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8 Inercijski i neinercijski sustavi 2418.1 Vremenska promjena vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.2 Brzina i ubrzanje u sustavu koji se vrti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.3 Opcenito gibanje koordinatnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.3.1 Jednadzba gibanja u neinercijskom sustavu vezanom za povrsinu Zemlje . 2478.3.2 Slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518.3.3 Okomiti hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.3.4 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.3.5 Rijeke i cikloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8.4 Foucaultovo njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558.5 Opcenita jednadzba gibanja cestice u neinercijskom sustavu . . . . . . . . . . . 262


6/535

SADRZAJ ix

9 Specijalna teorija relativnosti 2659.1 Lorentzove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659.2 Relativisticka kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659.3 Relativisticka dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9.4 Hamiltonova formulacija relativisticke mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

II Mehanika sustava cestica 267

10 Sustavi cestica 26910.1 Diskretni i kontinuirani sustavi cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.2 Srediste mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.3 Kolicina gibanja, moment kolicine gibanja i energija - definicija i sacuvanje . . . 280

10.3.1 Kolicina gibanja sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28110.3.2 Moment kolicine gibanja sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

10.3.3 Energija sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.4 Neinercijski koordinatni sustav vezan za srediste mase . . . . . . . . . . . . . . . 29010.5 Lagrangeovo i DAlembertovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29510.6 Sustavi s promjenjivom masom: gibanje rakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.7 Sudari cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

10.7.1 Centralni sudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30910.7.2 Necentralni sudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

11 Mali titraji sustava cestica 31511.1 Mali longitudinalni titraji jednodimenzijskog diskretnog sustava cestica . . . . 316

11.1.1 Granica kontinuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

11.2 Mali transverzalni titraji kontinuiranog jednodimenzijskog sustava cestica . . . 32711.2.1 Titranje napete niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32711.2.2 Nit s oba nepomicna ruba: stojni val (D. Bernoulli) . . . . . . . . . . . 33111.2.3 Nit s oba nepomicna ruba: putujuci val (J. DAlembert) . . . . . . . . 3 3611.2.4 Nit s nepomicnim lijevim i slobodnim desnim rubom . . . . . . . . . . . 34011.2.5 Nit sa slobodnim desnim i nepomicnim lijevim rubom . . . . . . . . . . 3 4311.2.6 Nit slobodna na oba ruba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34511.2.7 Brzina sirenja grupe valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34711.2.8 Energija titranja napete niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

11.3 Titranje pravokutne membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35111.4 Titranje kruzne membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

12 Ravninsko gibanje krutog tijela 36112.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36112.2 Moment tromosti krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36312.3 Teoremi o momentima tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36612.4 Parovi sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36812.5 Kineticka energija, rad i snaga vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36912.6 Fizicko njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37312.7 Opcenito ravninsko gibanje krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37812.8 Trenutno srediste vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38012.9 Statika krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383


7/535

x SADRZAJ

13 Prostorno gibanje krutog tijela 38513.1 Tenzor tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38613.2 Eulerove jednadzbe gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39513.3 Gibanje Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

13.4 Eulerovi kutovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40213.5 Cayley - Klein parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40813.6 Gibanje zvrka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

III Analiticka mehanika 419

14 Lagrangeove jednadzbe 42114.1 Poopcene koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42114.2 Stupnjevi slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42214.3 Neholonomni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

14.4 Lagrangeove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42814.5 Lagrangeove jednadzbe za impulsnu silu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43814.6 Lagrangeova funkcija naelektrizirane cestice u elektromagnetskom polju . . . . 43814.7 Hamiltonovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44114.8 Primjene Euler - Lagrangeove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44414.9 Funkcija djelovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44714.10Bazdarna preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44814.11Klasicna teorija polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

15 Hamiltonove jednadzbe 45115.1 Hamiltonove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45215.2 Poissonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45715.3 Kanonska preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

15.3.1 Funkcija izvodnica kanonske preobrazbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46015.3.2 Infinitezimalna kanonska preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46415.3.3 Poissonove zagrade i kanonska preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

15.4 Hamilton-Jacobijeva jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47015.4.1 Fazni integrali - djelovanje i kutne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . 476

15.5 Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47715.6 Kanonska preobrazba i Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48215.7 Prijelaz na kvantnu mehaniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

IV Mehanika Fluida 491

16 Mehanika Fluida 49316.1 Lorentzove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

A Delta funkcija 495

B Presjeci stosca 501

C Fourierovi redovi 507


8/535

SADRZAJ xi

D Vucedolski kalendar 511


9/535

xii SADRZAJ


10/535

Ovo su biljeske s autorovih predavanja iz kolegija Osnovi Teorijske Mehanike 1 i 2, na drugojgodini studija fizike sveucilista u Osijeku. Biljeske nisu strucno recenzirane i daju se na uvidstudentima kao orjentacija za pripremanje ispita.Sva prava pridrzana.

xiii


11/535

xiv SADRZAJ


12/535

Predgovor

Iz podrucja teorijske mehanike je vec napisano mnostvo vrlo dobrih knjiga i stoga bi bio vrlotezak zadatak reci nesto novo ili originalno u ovom podrucju. Umjesto toga, autor si je postaviopuno skromniji cilj, a to je: olaksati pracenje predavanja iz kolegija Klasicna mehanika 1 i 2na studiju fizike osjeckog sveucilista.Za pracenje izlaganja u ovoj knjizi, dovoljno je elementarno poznavanje vektorskog i integro-diferencijanog racuna, kao i osnovnih pojmova opce fizike.Iz svojeg visegodisnjeg rada sa studentima, autor je dosao do nedvojbenog zakljucka da opsirnostknjige nikako ne moze biti njezin nedostatak. Stoga su i mnoga objasnjenja, racuni i izvodidani dosta detaljno, uz izostanak samo najelementarnijih algebarskih operacija.Pojedine teme su u ovoj knjizi obradene nesto detaljnije i opsirnije nego na predavanjima, atakoder postoje i teme koje su (zbog nedostatka vremena) potpuno izostavljene na predavan-

jima. Isto tako postoje cijela podrucja (poput specijalne teorije relativnosti, mehanike fluida,teorije elasticnosti i sl.) koja se ne nalaze u ovoj knjizi, a koja zainteresirani citatelj moze naciu nekima od knjiga navedenih u popisu literature.

Napomena:Pojavljivanje u tekstu imenica kao sto su citatelj, student i slicnih, podrazumjeva i osobezenskog i osobe muskog spola, dakle: citateljica, studentica i slicno.

Osijek, lipnja 2006. Autor

xv


13/535

xvi SADRZAJ


14/535

Kazalo kratica i simbola

A vektorski potencijala velika poluos elipsea ubrzanje, a = dv/dtB indukcija magnetskog polja

b mala poluos elipsec brzina svjetlosti u vakuumu, 2.9979250(10) 108 m s1

D dimenzija prostoraE ukupna energijaEk ukupna kineticka energijaEk,t translacijska kineticka energijaEk,vrt kineticka energija vrtnjeEp potencijalna energijaE elektricno poljeej jedinicni vektori u smjerovima glavnih osi krutog tijelaF sila

G univerzalna konstanta gravitacije, 6.6732(31) 1011 N m2 kg2g standardno ubrzanje u Zemljinom gravitacijskom polju, 9.80665 m s2

gij komponente kovarijantnog metrickog tenzoraH Hamiltonova funkcijah Planckova konstanta, 6.626 . . . 1034 Js Planckova konstanta podijeljena s 2 : = h/(2 )I, I moment tromosti oko zadane osiI devijacijski (centrifugalni) momenti tromostiJ Jacobijeva determinantaL Lagrangeova funkcijaL moment kolicine gibanja, L = r

p

l duljinaM moment sile, M = r F

m masa tijela ili cesticeP snaga, P = dW/dtp kolicina gibanja, p = mvR polumjer zakrivljenostir radij vektorr, er koordinata i jedinicni vektor sfernog koordinatnog sustavaS povrsina; djelovanjeT period, f(t) f(t + T)t vrijeme

xvii


15/535

xviii SADRZAJ

V volumen; skalarni potencijalv brzina, v = d r/d t

W rad, W =

F drx, ex koordinata i jedinicni vektor pravokutnog koordinatnog sustava

y, ey koordinata i jedinicni vektor pravokutnog koordinatnog sustavaz, ez koordinata i jedinicni vektor pravokutnog i cilindricnog koordinatnog sustava kutno ubrzanje, = d /dt koeficijent prigusenja kod harmonijskog titranja(a, b) Kroneckerov simbol: jednak jedinici ako je a = b, a nuli ako je a = b(x x0) Diracova funkcija ekscentricitet elipse =

a2 b2/a

jedan od Eulerovih kutova, e koordinata i jedinicni vektor sfernog koordinatnog sustava zakrivljenost ili fleksija = 1/R kut kolatitude; valna duljina f(x) = f(x + )

m linijska masena gustoca, m = dm/dl reducirana masa, 1/ = 1/m1 + 1/m2 + frekvencija, inverzna vrijednost perioda = 1/T, e koordinata i jedinicni vektor cilindricnog (polarnog) koordinatnog sustavam volumna masena gustoca, m = dm/dVm povrsinska masena gustoca, m = dm/dS jedan od Eulerovih kutova, e koordinata i jedinicni vektor cilindricnog (polarnog) koordinatnog sustava jedan od Eulerovih kutova otklon cestice sredstva kod titrajnog ili valnog gibanja (valna funkcija) kutna brzina,

|

|= d/dt

Grcko slovo ispred odredenog simbola oznacava promjenu oznacene velicine za konacaniznos. Npr.

A = Akon Apoc.

Slovo d ispred odredenog simbola oznacava infinitezimalnu promjenu oznacene velicine.Npr.

d V (q) = V (q+ d q) V (q).

Diferencijali volumena ce se oznacavati s d V ili s d3r, a diferencijali povrsine s d S ili s d2r.


16/535

Poglavlje 1

Uvod

Na pocetku svake knjige, autor je duzan upoznati citatelje s glavnim likovima koji se u njojpojavljuju. Glavni likovi ove knjige o mehanici1 su pomalo nesvakidasnji: to su vrijeme,

prostor i tvar (ili materija). Reci neku vise ili manje preciznu definiciju ovih pojmova jenajvjerojatnije nemoguce. Umjesto toga postoje neke druge mogucnosti kao sto su npr.

- nabrajati svojstva pojmova koje ne znamo definirati, nadajuci se da cemo nabrojati tolikosvojstava koliko nema ni jedan drugi pojam i time ih jednoznacno odrediti, ili

- puno jednostavnije, naprosto se pozvati na nasu intuiciju: svi mi intuitivno shvacamo pojmoveprostora, vremena i tvari i stoga ih nije potrebno posebno objasnjavati.

Na toj ili slicnoj liniji razmisljanja je vjerojatno bio i blazeni Augustin kada je (u DrzaviBozijoj), govoreci o vremenu, rekao otprilike ovako:

Sve dok me ne pitate sto je vrijeme, ja znam sto je ono, ali ako me pitateda vam objasnim, ja ne znam.

Ovom je recenicom sazeto dano nase znanje o vremenu: intuitivno nam je jasno o cemu seradi, ali kako to objasniti (npr. nekome dosljaku iz svemira tko ne posjeduje nasu intuiciju),to nismo u stanju. Naravno, mi mozemo govoriti o vremenskom slijedu, o tome da se jedandogadaj dogodio prije nekog drugog dogadaja ili slicno, ali time samo govorimo o vremenskimrelacijama, ali ne i o samom vremenu. Vezano za vremenski slijed, treba spomenuti i (naizgledtrivijalnu) usporedbu s prostorom: dok je u prostoru moguce gibanje u proizvoljnim smjerovima,u vremenu posto ji istaknuti smjer koji se naziva buducnost. Vrlo omiljena (unatoc svojim ocitimlogickim kontradikcijama) knjizevna i filmska tema putovanja u proslost, jos nije nasla uporisteu fizici.

Teorije relativnosti

Nista manje nije jednostavan ni problem prostora. Dugo je vremena (napose od Newtona, panadalje), prostor smatran za neku vrstu kazalisne pozornice na kojoj glumci (tj. cestice tvari)izvode svoju predstavu (gibaju se tijekom vremena) koju nazivamo fysis - priroda. Prostor

je naravno bio zamisljan kao ravni trodimenzijski Euklidski prostor. Pri svemu tome, sva su tripojma: prostor, vrijeme i tvar smatrani medusobno neovisnim.

1Sama rij ec mehanika potjece od grcke rijeci , koja oznacava orude ili stro j, a oznacava dio fizike koji proucava gibanjei mirovanje cestica.

1


17/535

2 POGLAVLJE 1. UVOD

Pocetkom dvadesetog stoljeca dolazi do postupnog povezivanja ovih pojmova. Najprije je Ein-stein2 1905. godine u svojoj Specijalnoj teoriji relativnost povezao pojmove prostora i vremenau jednu jedinstvenu tvorevinu nazvanu prostor-vrijeme, da bi nesto kasnije, oko 1920. godine,

u Opcoj teoriji relativnost pokazao da svojstva prostor-vremena (napose njegova zakrivljenost)ovise o jednom svojstvu tvari koje se zove masa. Prostor bez tvari je ravan (euklidski), doknazocnost tvari (uslijed njezine mase) mijenja geometrijska svojstva prostora i cini ga zakrivl-

jenim. Geometriju ovakvih zakrivljenih prostora, vec su ranije razvili Riemann 3 i Lobacevskij4.Ucinci opisani teorijama relativnosti postaju zamjetni tek ako se tijela gibaju brzinama bliskim

brzini svjetlosti (specijalna teorija relativnosti) ili ako je masa reda velicine mase planeta ilizvijezda (opca teorija relativnosti). U ovoj cemo se knjizi ograniciti na pojave kod kojih ucinciopisani teorijama relativnosti imaju vrlo mali utjecaj i zato cemo ih u cjelosti zanemariti (cak iu poglavlju o gravitaciji). Prostor cemo shvacati kao ravan euklidski, homogen i izotropankontinuum. Svojstvo homogenosti oznacava da prostor ima ista svojstva u svakoj svojoj tocki,tj. sve su tocke ravnopravne, ne postoji istaknuta tocka. Izotropnost znaci da prostor ima

ista svojstva u svim smjerovima, tj. svi su smjerovi ravnopravni, ne postoji istaknuti smjer uprostoru. Za dani konkretni problem, ova svojstva omogucavaju najpogodniji odabir polozajaishodista koordinatnog sustava i smjerova koordinatnih osi.

Kvantna teorija

Govoreci o prostoru i vremenu, spomenuli smo i tvar navodeci jedno njezino svojstvo: masu.Osim mase, tvar moze imati i neka druga svojstava kao sto su: elektricni nabo j, spin, cesticetvari se mogu gibati odredenom brzinom, itd. Neka od tih svojstava su nam bliska iz svakod-

nevnog zivota (npr. masa ili brzina), dok postoje svojstva tvari (kao sto je npr. spin), koja sujako daleko od nase svakodnevice, sto ih, naravno, ne cini i manje vaznima.

Paralelno s Einsteinovim radovima iz teorija relativnosti, u to se doba (pocetkom dvadese-tog stoljeca) razvijala i jedna nova grana fizike, koja ce kasnije biti nazvana kvantnommehanikom. Ona je u bitnome promjenila dotadasnje poimanje tvari. Stoljecima se zamisljaloda se tvar sastoji od malih cestica, koje su jos stari Heleni nazvali nedjeljivima (Demokritoviatomi, ili danasnjim jezikom receno: elementarne cestice). Gibanje tih malih cestica i nji-hovo medusobno povezivanje, tvorilo je sav vidljivi prirodni svijet. Pokusi nad elektronima(npr. Comptonovo rasprsenje) su pokazali da elementarne cestice nemaju samo cesticna (kor-puskularna) svojstva, nego imaju i valna svojstva (kao sto je npr. ogib). Ukratko, doslo je doshvacanja da nije sasvim tocno elementarne cestice zamisljati kao jako smanjene biljarske kuglice

koje jure kroz prostor. Slika je ipak nesto slozenija: pod odredenim uvjetima tvar pokazujecesticna svojstva, a pod nekim drugim uvjetima pokazuje valna svojstva. Stoga bi, umjestoizraza cestica ili val, korektnije bilo koristiti izraz cestica-val ili sto slicno. Razlog zasto se takavnekakav izraz vec nije udomacio u literaturi, jeste taj sto se dvojni valno-cesticni karakter tvariprikazuje tek na vrlo maloj prostornoj skali, tako da makroskopski - tj. u nasem svakidasnjemiskustvu - tvar mahom pokazuje ili samo svoja cesticna ili samo svoja valna svojstva. Prema DeBroglieu5, veza valnih (valna duljina ) i cesticnih (kolicina gibanja p ) svojstava cestice-vala,

2Albert Einstein, njemacki fizicar, Ulm 1879. - Princeton 1956.3Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826. - 1866., njemacki matematicar.4Nikola j Ivanovic Lobacevskij, 1792. - 1856., ruski matematicar.5Louis-Victor Pierre Raymond, prince De Broglie, 1892. - 1958., francuski fizicar


18/535

3

je dana izrazom

p = h,

gdje je h = 6.626 . . .

1034 Js jedna univerzalna prirodna konstanta, nazvana Planckova6

konstanta. Evo jednog jednostavnog primjera. Srednja brzina helijeva plina na sobnoj tem-peraturi je oko 1 350 m s1, a masa atoma helija je priblizno cetiri puta veca od mase pro-tona. Uvrstavanje ovih vrijednosti u De Broglievu relaciju, daje za valnu duljinu vrijednost od0.74 1010 m, sto je oko sto puta manje od srednje udaljenosti medu atomima u plinu. Dakle,helijevi su atomi dovoljno dobro lokalizirani u prostoru, da bi se mogli smatrati cesticama.Naprotiv, snizavanjem temperature od sobne na 0.01 K, njihova se brzina smanjuje, a valnaduljina se povecava i postaje stotinjak puta veca od srednjeg razmaka medu atomima. Uovoj situaciji, kada se valovi (tocnije receno: valne funkcije) razlicitih atoma jako preklapaju,nije moguce primjeniti klasicnu sliku malih cestica, nego je potrebno prijeci sa klasicnog nakvantnomehanicki opis plina.Svakodnevni zivot se mahom odvija na sobnoj temperaturi i na makroskopskoj prostornoj

skali i to je razlog zasto se dvojni karakter tvari moze opaziti tek vrlo pazljivo pripremljenimpokusima.U ovoj cemo se knjizi baviti pojavama na prostornoj skali puno vecoj od valne duljine ele-mentarnih cestica, tako da cemo dvojni karakter tvari zanemarivati, praveci time zanemarivugresku u nasim racunima.

Jednadzba gibanja

Na kraju cemo pokusati sazeto iznijeti i glavni nas cilj u ovome izlaganju klasicne mehanike:ako su nam u trenutku t0, poznati polozaj

r0 = r(t = t0)

i brzina cestice

v0 = v(t = t0),

tada je nas zadatak odrediti polozaj te iste cestice u proizvoljnom trenutku t = t0. Polozajcestice u proizvoljnom vremenskom trenutku je funkcija vremena, pocetnog polozaja i pocetnebrzine (i prirodnih i numerickih konstanata)

r = r(t, r0, v0).

Stranice koje slijede, posvecene su trazenju odgovora na ovo pitanje (i njegove brojne varijacije).

6Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858. - 1947., njemacki fizicar


19/535

4 POGLAVLJE 1. UVOD


20/535

Dio I

Mehanika jedne cestice

5


21/535


22/535

Poglavlje 2

Matematicki uvod - elementivektorskog racuna

Mathematics is part of physics.Vladimir Igorevich Arnold

2.1 Vektori

U ovom se poglavlju krece od pretpostavke da su citatelji vec upoznati s pojmom vektora injihovim osnovnim svojstvima. Stoga ce se ovdje dati samo pregled nekih vektorskih definicija,svojstava i relacija, vise sa ciljem da se uvede notacija, nego da se izlozi nekakav sustavan uvodu vektorski racun.Po svojem algebarskom znacenju, sve su fizicke velicine tenzori odredenog reda.

Ako je za odredenje dane fizicke velicine u D-dimenzijskom prostoru potrebno

D n

realnih brojeva, tada se takva velicina zove tenzor n-tog reda.

n = 0Najjednostavniji medu njima su tenzori nultog reda ili skalari. Za potpuno odredenje skalarapotreban je D0 = 1 realan broj (iznos skalara). Skalari su npr.: masa m, temperatura T, radW, vrijeme t, energija E, snaga P itd.

n = 1Nesto su slozeniji tenzori prvog reda ili vektori1. Za potpuno odredenje vektora potrebno jeD1 = D realnih brojeva. Za razliku od skalara, vektor je karakteriziran, osim svojim izno-som, jos i smjerom i pravilom zbrajanja. Citatelji su se zacijelo vec susretali s vektorskimvelicinama kao sto su sila F, brzina v, radij vektor r, elektricno polje E, indukcija magnetskogpolja B itd.

n 2Postoje fizicke velicine (npr. tenzor tromosti, magnetska susceptibilnost, tenzor energije-kolicinegibanja, tenzor napona i sl.) za cije je potpuno odredenje potrebno vise od D brojeva. Za

1Vektori se prvi puta spominju u djelima nizozemskog fizicara Simona Stevina (godine 1585.) u vezi zbrajanja sila predstavljenihusmjerenim duzinama.

7


23/535

8 POGLAVLJE 2. MATEMATICKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RACUNA

potpuno odredenje navedenih velicina, potrebno je D2 realnih brojeva i zato se one zovu tenzoridrugog reda. U odgovarajucoj bazi, tenzori drugog reda se mogu reprezentirati matricama.Skalarni, vektorski ili opcenito tenzorski karakter odredene fizicke velicine se vidi iz njezinogponasanja u odnosu na vrtnju (zakret) koordinatnog sustava (vidjeti (2.96) i (2.110)). Skalar

je odreden samo jednim brojem, pa ne ovisi o promjeni smjerova koordinatnog sustava, kazese da je invarijantan na zakret koordinatnog sustava (npr. zapis mase cestice od 5 kg ostajenepromjenjen nakon zakreta sustava za proizvoljni kut).Za razliku od skalara, vektor je osim svojim iznosom, karakteriziran i smjerom u odnosu nareferentne smjerove koordinatnog sustava. Stoga ce promjena referentnih smjerova (pri zakretusustava) uzrokovati i promjenu u zapisu vektora (npr. zapisi polozaja i brzine spomenute cesticemase 5 kg, ce se promijeniti uslijed zakreta koordinatnog sustava).

Uvedimo sada pojam fizickog polja. Ako svakoj tocki prostora (ciji polozaj oznacavamo sr), u svakom vremenskom trenutku (koji opet oznacavamo s t) mozemo pridruziti odredenu

vrijednost skalara s, vektora V ili tenzora Ts(r, t), V (r, t), T (r, t),

tada cemo takve skalare, vektore ili tenzore, nazivati skalarnim, vektorskim ili tenzorskim pol-jem. Npr. skalarno polje temperature T(r, t) daje vrijednost temperature u odredenoj tockiprostora r u odredenom vremenskom trenutku t. Za fluid koji se giba, moze se definirati vek-torsko polje brzine v(r, t), koje oznacava brzinu fluida u tocki r u trenutku t. Slicno je i s

gravitacijskom privlacnom silom Zemlje FG(r): svakoj tocki prostora pridruzujemo vektor us-mjeren prema sredistu Zemlje, iznosa jednakog gravitacijskoj sili u toj tocki - skup svih takvihvektora se zove polje gravitacijske sile Zemlje.

Vektore je uobicajeno prikazivati u koordinatnim sustavima. Na jcesce cemo koristiti pra-vokutni (PKS), 2 cilindricni (CKS, odjeljak 2.5) i sferni (SKS, odjeljak 2.6) koordinatni sustav.Zadrzimo se, za sada, na dobro nam poznatom, pravokutnom sustavu.

Bazni vektoripravokutnog koordinatnog sustava ce se oznacavati s

ex , ey , ez .

Svaki od gornjih vektora ima smjer porasta koordinate cije ime nosi. Komponentama vektora

V cemo nazivati projekcije danog vektora na bazne vektore odabranog koordinatnog sustava:V = Vx ex + Vy ey + Vz ez .

Vektori se mogu prikazati i u obliku D 1 matrice (gdje je D dimenzija prostora; u nasimprimjerima je D = 3), tako sto ce bazni vektori biti stupci oblika

ex =

1

0

0

, ey =

0

1

0

, ez =

0

0

1

,2Pravokutni koordinatni sustav je prvi uveo Rene Descartes (latinizirano: Cartesius), 1637. godine.


24/535

2.1. VEKTORI 9

a sam vektor V je tada

V = Vx

1

0

0

+ Vy

0

1

0

+ Vz

0

0

1

=

Vx

Vy

Vz

.

Iznosili norma vektora V je skalar iznosa jednakog duljini vektora V izrazenoj u odgovarajucimmjernim jedinicama. Oznacava se s V ili |V |. Iznos (kao ni smjer) vektora ne ovise o izborukoordinatnog sustava. Primjenom Pitagorinog teorema, dolazi se do iznosa vektora

|V | =

V2x + V2

y + V2

z .

Za dva vektora se kaze da su jednaki, ako imaju isti iznos i smjer (ne nuzno i hvatiste).

Jedinicni vektorod vektora V cemo oznacavati s V. To je vektor istog smjera kao i V , a jedinicnog iznosa.Ocito je

V =V

|V |. (2.1)

Radij vektorom, r,neke tocke naziva se vektor koji spaja ishodiste koordinatnog sustava s promatranom tockom.U pravokutnom koordinatnom sustavu, radij vektor je

r = x ex + y ey + z ez ,

|r| = r =

x2 + y2 + z2.

Racunske operacije

koje se mogu izvodi s vektorima jesu: zbrajanje vektora, mnozenje vektora skalarom, mnozenjevektora vektorom (na vise nacina), deriviranje i integriranje vektora. Dijeljenje vektorom nijedefinirana racunska operacija.

Zbrajanje vektoraV i U se izvodi po pravilu paralelograma (slika 2.1): pocetak vektora U translatiramo na kraj

vektora V , a zatim spojimo pocetak od V sa krajem od U. Iz opisanog postupka je ocito daje zbrajanje komutativno

V + U = U + V .


25/535


Slika 2.1: Definicija zbrajanja vektora. Slika 2.2: Nekomutativnost vrtnji za konacni kut.

Primjetimo da vrtnje (zakreti, rotacije) za konacni kut oko zadane osi nisu vektori iako imajuiznos (to je kut zakreta) i smjer (to je smjer osi oko koje se vrsi zakret). Nisu vektori upravozato jer ne zadovoljavaju pravilo komutativnosti3. Promotrimo, za primjer, dva zakreta zakonacni kut: Zz = (/2, ez ) je zakret za /2 oko osi ez , a Zx = (/2, ex ) je zakret za /2 oko

osi ex . Iznos ovih velicina je /2, a njihov smjer je smjer osi oko koje se vrsi zakret. Sa slike2.2 se vidi da

Zz + Zx = Zx + Zz.

Dekompozicija ili rastavvektora je postupak suprotan zbrajanju vektora, gdje se jedan vektor rastavlja na dva (ili vise)vektora koji, zbrojeni, daju opet pocetni vektor. Ovaj je postupak koristan npr. kod analize silakoje djeluju na promatrano tijelo, pri cemu se sile rastavljaju na svoje komponente u prikladno

odabranim smjerovima (za ilustraciju pogledati npr. sliku 5.3) Iz definicije zbrajanja vektoraslijedi da je zbrajanje vektora asocijativno: V + (U+ W) = (V + U) + W. Primjenom svojstvaasocijativnosti, zbrajanje proizvoljnog broja vektora se svodi na zbrajanje dva vektora.

Mnozenje vektora V skalarom smijenja duljinu (normu, iznos) vektora tako da ona postaje jednaka s |V |, a smjer vektoraostaje nepromjenjen: sV = s |V | V. Mnozenje skalarom je distributivno (tj. moze seshvatiti i kao linearni operator): s (V + U) = s V + s U. Ovo mozemo primjeniti i na rastavvektora po komponentama

sV = s Vx ex + s Vy ey + s Vz ez .

Kod mnozenja vektora vektorom, razlikuju se dva slucaja: skalarno mnozenje, gdje je rezultatmnozenja dva vektora, skalar i vektorsko mnozenje, gdje je rezultat mnozenja dva vektoraneki treci vektor.

Skalarni umnozakdva vektora V i U je skalar, definiran kao

V U = |V | |U| cos(V , U), (2.2)3Zakreti za infinitezimalni kut zadovoljavaju pravilo komutativnosti i zato kutna brzina, definirana relacijom (3.15), jeste vektor.


26/535

2.1. VEKTORI 11

gdje je s cos(V , U) oznacen kosinus kuta izmedu vektora V i U. Ocito je skalarni umnozakdva medusobno okomita vektora, jednak nuli

V U V U = 0.Prema samoj definiciji, skalarni je umnozak komutativan

V U = U V .Skalarni umnosci baznih vektora pravokutnog koordinatnog sustava su, redom:

ex ex = 1, ex ey = 0, ex ez = 0,ey ex = 0, ey ey = 1, ey ez = 0, (2.3)ez ex = 0, ez ey = 0, ez ez = 1,

Po svojem geometrijskom znacenju, skalarni je umnozak projekcija jednog vektora na smjer

drugoga, pomnozena s iznosom tog drugog vektora (slika 2.3). Jedna od fizickih realizacija

Slika 2.3: Skalarni umnozak dva vektora. Slika 2.4: Vektorski umnozak dva vektora.

skalarnog umnoska je pojam rada: kod izracunavanja rada sile pri pomaku cestice, vazna jesamo ona komponeta sile koja lezi u smjeru pomaka, a ona je upravo dana skalarnim umnoskomsile i radij vektora pomaka cestice, F dr.

Primjenom definicije (2.2) na rastav vektora V i U po komponentama, a uzevsi u obzirortonormiranost baze, (2.3), dolazi se do

V U = (Vx ex + Vy ey + Vz ez ) (Ux ex + Uy ey + Uz ez ) = Vx Ux + Vy Uy + Vz Uz,

Iznos (norma) vektora se moze napisati preko skalarnog umnoska kao

V =

V V =

V2x + V2

y + V2

z .

Pomocu skalarnog umnoska se i kut medu vektorima moze napisati kao: V U = 1 1 cos(V , U),sto mozemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutovakoje zatvara s koordinatnim osima. Npr. za pravokutni koordinatni sustav:

V = Vx ex + Vy ey + Vz ez

ex

V

ex = Vx.


27/535


No, prema definiciji skalarnog umnoska (2.2), je

V ex = V cos(V , ex ),pa se, usporedbom s gornjim izrazom, dobiva

Vx = V cos(V , ex ).

Slicnim se postupkom dobiva i

Vy = V cos(V , ey ), Vz = V cos(V , ez ),

sto, sve zajedno, vodi na

V = V

cos(V , ex ) ex + cos(V , ey ) ey + cos(V , ez ) ez

. (2.4)

Vektorski umnozakdva vektora, V i U, je vektor W = V U, okomit na vektore V i U ciji je smjer odredensmjerovima V i U i pravilom desne ruke: ako prstima desne ruke idemo u smjeru od prvogvektora iz umnoska prema drugom, tada palac pokazuje smjer rezultantnog vektora (kao na

slici 2.4). Iznos vektorskog umnoska je dan povrsinom paralelograma cije su stranice vektori V

i U, pa se moze napisati da je

W = |V| |U| sin(V , U) W . (2.5)Prema samoj definiciji, slijedi da je vektorski umnozak antikomutativan

V

U =

U

V .

Iz definicije takoder slijedi i da su dva vektora paralelna ako im je vektorski umnozak jednaknuli:

V U = 0 V U.Svoju fizicku realizaciju vektorski umnozak nalazi u izracunavanju momenta sile M

M = r F ,momenta kolicine gibanja L

L = r

p ,

indukcije magnetskog polja B (preko Biot-Savartovog zakona)

B =04

j err2

d r3,

i drugih velicina.Vektorski umnosci baznih vektora pravokutnog koordinatnog sustava su:

ex ex = 0, ex ey = ez , ex ez = ey ,ey ex = ez , ey ey = 0, ey ez = ex , (2.6)ez

ex = ey , ez

ey =

ex , ez

ez = 0,


28/535

2.1. VEKTORI 13

Pomocu gornjih umnozaka, lako se dobiva i izraz za komponente vektorskog umnoska dva opcavektora

V U = (Vx ex + Vy ey + Vz ez ) (Ux ex + Uy ey + Uz ez )

= Vx Ux ex ex + Vx Uy ex ey + Vx Uz ex ez+ Vy Ux ey ex + Vy Uy ey ey + Vy Uz ey ez+ Vz Ux ez ex + Vz Uy ez ey + Vz Uz ez ez= ex (Vy Uz Vz Uy) + ey (Vz Ux Vx Uz) + ez (Vx Uy Vy Ux)

Primjetimo ciklicnost u definiciji komponenata vektorskog umnoska: x y z x y . Vektorski umnozak se moze pregledno napisati i preko determinante (u pomalonekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)

V U =

ex ey ez

Vx Vy Vz

Ux Uy Uz

Za vektorski umnozak vrijedi i distributivnost prema zbrajanju

V (U + W) = V U + V W .

Visestruki umnosciPomocu definicije skalarnog i vektorskog umnoska, mogu se konstruirati i visestruki umnoscivektora. Tako se npr. vektorski umnozak moze skalarno pomnoziti s nekim trecim vektorom idobiti skalarno vektorski umnozak. Za ovaj se umnozak lako pokazuje ciklicnost

V (U W) =

Vx Vy VzUx Uy UzWx Wy Wz

= U ( W V ) = W (V U). (2.7)Ovo je svojstvo posljedica geometrijskog znacenja gornjeg umnoska: buduci da je |U W|povrsina paralelograma sa stranicama U i W, to je gornji umnozak jednak V cos |U W|,gdje je kut izmedu vektora V i U W, a to nije nista drugo do volumen paralelopipeda sastranicama V , U i W (slika 2.5).

Slika 2.5: Skalarno vektorski umnozak tri vektora. Slika 2.6: Vektorsko vektorski umnozak tri vektora.


29/535


Rezultat dvostrukog vektorskog umnoska tri nekomplanarna vektora V , U i W je opet vektor

D = V (U W)

Ovakav se umnozak naziva vektorsko vektorski umnozak. Buduci da je U

W vektorokomit na ravninu odredenu vektorima U i W, to ce vektor V (U W) lezati u toj istojravnini, pa postoji zapis oblika

D = V (U W) = U + W .

Nas je zadatak odrediti skalare i . Promotrimo sliku 2.6. S n je oznacen jedinicni vektorokomit na W, koji lezi u (U , W) ravnini, a usmjeren je tako da su n , U i W zakrenuti u

pozitivnom smjeru gledano s vrha vektora U W. Pomnozimon D = n ( U + W) = n U ,

(zato jer je n okomit na

W, pa je n

W = 0). S druge strane, taj isti umnozak mozemo napisati(zbog ciklicnosti skalarno vektorskog umnoska) i kao

n D = n [V (U W)] = (U W) (n V ) = V [(U W) n ].No, prema definiciji vektorskog umnoska je

(U W) n = W |U W| |n | sin(U W , n )= W U W sin(U, W) 1 sin(/2)

= W U W sin(U, W) = W U sin(U, W).

Sa slike 2.6 se vidi da vrijedi

(U, W) = 2

(n , U)

sin(U, W) = sin

2 (n , U)

= cos(n , U).

Pomocu gornje relacije postaje

U sin(U , W) = U cos(n , U) = U n .

Uvrstimo li ovo u izraz za n D , dobivamon

D = V [ W(n

U)] = (V

W)(n

U).

Ako sada gornji izraz usporedimo s (2.8), zakljucujemo da je

= V W .Po konstrukciji je

D V , pa je zato

D V = 0 = ( U + W) V

= (U V ) + ( W V )= (U V ) +

=

U

V .


30/535

2.1. VEKTORI 15

Time su odredeni nepoznati skalari i , pa mozemo napisati

V (U W) = (V W) U (V U) W . (2.8)

Zrcaljenjemili refleksijom ili prostornom inverzijom nazivamo operaciju kojom mijenjamo smjerove koor-dinatnih osi. U pravokutnom koordinatnom sustavu, to znaci da treba zamijeniti

ex ex , ey ey , ez ez .Ovom se transformacijom vektor V = Vx ex + Vy ey + Vz ez prevodi u

V Vx (ex ) + Vy (ey ) + Vz (ez ) = V .Dakle, operacijom zrcaljenja vektor mijenja svoj predznak (prema svojoj definiciji, skalar neovisi o smjerovima u prostoru, pa se on ne mijenja operacijom zrcaljenja). Promotrimo kako

se neke velicine konstruirane od vektora, transformiraju uslijed operacije zrcaljenja:

skalarni umnozakV U (V ) (U) = V U .

vektorski umnozakV U (V ) (U) = V U .

skalarno vektorski umnozakV (U W) (V ) [(U) ( W)] = V (U W).

vektorsko vektorski umnozakV (U W) (V ) [(U) ( W)] = V (U W).

Vidimo da se skalarni umnozak transformira kao pravi skalar (ne mijenja predznak), a dase vektorsko vektorski umnozak transformira kao pravi vektor (mijenja predznak). Rezultatskalarno vektorskog umnoska je skalar koji mijenja predznak uslijed zrcaljenja, pa se takavskalar obicno naziva pseudo skalar. Slicno tome, vektorski umnozak je vektor, ali ne mijenjapredznak uslijed zrcaljenja, pa se obicno naziva pseudo vektor. Moze se reci da se u odnosuna operaciju zrcaljenja vektori dijele na prave ili polarne vektore i pseudo (lazne) ili aksijalnevektore. Pravi se vektori nazivaju i polarni zato jer su vezani za neku tocku (pol), kao npr.radij vektor, brzina ili sila. Pseudo vektori se nazivaju aksijalnima zato jer su povezani s nekom

odredenom osi zakreta (kao kod momenta sile ili momenta kolicine gibanja) ili sa smjeromobilaska neke krivulje (kao kod magnetskog polja, Biot-Savartov zakon). U odnosu na operacijuzrcaljenja, pravi vektori mijenjaju svoj predznak, dok pseudo vektori ne mijenjaju predznak.Npr. radij vektor r = xex + yey + zez je pravi vektor jer zrcaljenjem mijenja svoj predznak,

r = xex + yey + zez xex yey zez = r.Primjer pseudo vektora je moment kolicine gibanja L = r p , gdje je kolicina gibanja, p =m(dr/dt), pravi vektor. Operacijom zrcaljenja ce i r i dr promjeniti predznak, tako da ce

L (r) (p ) = Lostati nepromjenjen.


31/535


2.2 Derivacija vektorskog polja

Osim zbrajanja i mnozenja, vektori se mogu derivirati i integrirati. Komponete vektora Vmogu biti funkcije neke nezavisne varijable: prostornih koordinata, vremena, kuteva i slicno.

Kada svakoj vrijednosti nezavisne varijable mozemo jednoznacno pridruziti vektor, tada o tomvektoru govorimo kao o vektorskom polju ili vekorskoj funkciji (slika 2.7)

V (r), V (t), V (r, t), V (x,y,z), V (, ), .Vektorska polja je zgodno prikazati u prostoru pomocu linija koje se zovu silnice. Silnice su

Slika 2.7: Vektorsko polje V (r, t) : (A) u jednoj tocki i razlicitim vremenskim trenucima ili (B) u jednomvremenskom trenutku, ali u razlicitim prostornim tockama (crtkana linija prikazuje silnicu).

prostorne krivulje sa svojstvom tangenta na krivulju u svakoj tocki ima smjer vektora u tojtocki, a iznos vektora je jednak gustoci silnica u toj tocki (desna strana slike 2.7).

Za derivacije vektorskih polja vrijede pravila koja se lako izvode iz pravila za derivaciju obicnihskalarnih polja (tj. funkcija, kako se nazivaju u matematici). Sjetimo se definicije derivacijefunkcije f(x) po varijabli x: promatraju se dvije velicine koje svaka za sebe iscezavaju, ali

njihov omjer ne mora biti jednak nuli, nego je opcenito razlicit od nule i zove se derivacijafunkcije u tocki x

lim x 0

f(x + x) f(x)

= 0

lim x 0 x = 0

lim x 0 f(x + x) f(x) x = d fd x .Pokusajmo, pomocu gornjeg izraza, naci derivaciju vektorskog polja V koje ovisi samo o jednojvarijabli koju cemo oznaciti s q (ovaj q moze biti vrijeme, prostorna koordinata ili sto slicno)

V (q) = ex Vx(q) + ey Vy(q) + ez Vz(q).


32/535

2.2. DERIVACIJA VEKTORSKOG POLJA 17

Napravimo razliku V u bliskim tockama q i q+ q

V (q+ q) V (q) = ex Vx(q+ q) + ey Vy(q+ q) + ez Vz(q+ q) ex Vx(q) ey Vy(q) ez

= ex Vx(q+ q) Vx(q)+ ey Vy(q+ q) Vy(q)+ ez Vz(q+ q) Vz(qIzvedemo li sada granicni prijelaz

lim q 0

V (q+ q) V (q) q

= ex lim q 0

Vx(q+ q) Vx(q) q

+ ey lim q 0

Vy(q+ q) Vy(q) q

+ ez lim q 0

Vz(q+ q) Vz(q) q

.

No, gornje granicne vrijednosti na desnoj strani, prepoznajemo kao derivacije skalarnih funkcija- komponenata vektorskog polja

lim q 0

V (q+ q) V (q) q

= exd Vxd q

+ eyd Vyd q

+ ezd Vzd q

.

Buduci da su jedinicni vektori ex , ey i ez , konstantni, njihove su derivacije jednake nuli

d exd q

=d eyd q

=d ezd q

= 0,

pa se za gornji limes dobiva

lim q 0

V (q+ q)

V (q)

q =d

d q ex Vx(q) + ey Vy(q) + ez Vz(q) = d Vd q .Tako smo dosli do izraza za derivaciju vektorskog polja

d V

d q= lim

q 0

V (q+ q) V (t) q

= exd Vxd q

+ eyd Vyd q

+ ezd Vzd q

. (2.9)

Za skalarno polje s(q) i vektorska polja V (q), U(q) se lako dokazuje (npr. raspisom po kompo-nentama u pravokutnom koordinatnom sustavu) da vrijede slijedeca pravila:

d (s V )

d q=

d s

d qV + s

d V

d q,

d (V U)d q

=d V

d qU + V

d U

d q,

d (V U)d q

=d V

d q U + V d

U

d q.

Zadatak: 2.1 Dokazite gornje tri relacije.


33/535


Primjenimo li prvo od gornja tri pravila na zapis vektora u obliku

V (q) = V(q)V(q),

dobivamo

d V

d q=

d (V V)

d q=

d V

d qV + V

d V

d q,

pri cemu smo uzeli u obzir mogucnost da smjer vektora V (odreden jedinicnim vektorom V)ovisi o varijabli q.

Pokazimo da je derivacija jedinicnog vektora okomita na sam jedinicni vektorV = V(q). Derivirajmo po q skalarni umnozak

V

V = 1 dd q ,

pa cemo dobiti

dV

d q V + V dV

d q= 0 2 V dV

d q= 0 V dV

d q. (2.10)

Zaista, kada bi derivacija jedinicnog vektora imala komponentu u smjeru samog vektora, ondabi ta komponenta vodila na promjenu duljine vektora i on vise ne bi bio jedinicne duljine. Zatoderivacija jedinicnog vektora ne moze imati komponentu u smjeru samog vektora.

2.3 Integral vektorskog poljaU skladu s pravilom da je integral zbroja funkcija jednak zbroju integrala pojedinih funkcija(ili, drukcije receno, integral je linearni operator), neodredeni integral polja V (q) se racuna kao

V (q) dq =

ex Vx(q) + ey Vy(q) + ez Vz(q)

dq

= ex

Vx(q) dq+ ey

Vy(q) dq+ ez

Vz(q) dq,

i slicno za odredeni integral

q2q1

V (q) dq= exq2

q1

Vx(q) dq+ eyq2

q1

Vy(q) dq+ ezq2

q1

Vz(q) dq. (2.11)

Ukoliko postoji vektorsko polje U, takvo da je V (q) = d U(q)/d q, tada jeV (q) dq=

d U(q)

d qdq= U(q) + c0. (2.12)

U tom je slucaju i odredeni integral jednak

q2

q1

V (q) dq= q2

q1

d U(q)

d qdq= U(q2)

U(q1). (2.13)


34/535

2.3. INTEGRAL VEKTORSKOG POLJA 19

Linijski integral:Neka je

r(t) = ex x(t) + ey y(t) + ez z(t)

radij vektor cestice koja se giba po krivulji C (slika 2.8). U trenutku t1, cestica se nalazi u tockiT1 s radij vektorom r1 = r(t1) =

O T1, a u kasnijem trenutku t2, ona je u tocki r2 = r(t2) =

O T2.

Vektor r = r2 r1 ima smjer sekante krivulje C. Ako se vremenski razmak t2 t1, neizmjernosmanjuje, tj. ako su tocke T1 i T2 neizmjerno blizu jedna drugoj, vektor r ce prijeci u dr, asekanta ce prijeci u tangentu. Kaze se da diferencijal dr ima smjer tangente na krivulju C uokolici tocke r r1 = r2 (slika 2.8). Prema samom znacenju skalarnog umnoska,

Slika 2.8: Razlika r = r2 r1 ima smjer sekante, a diferencijal dr ima smjer tangente na krivulju C.

V drje projekcija vektora V na smjer dr, tj. to je tangencijalna komponeneta vektora V (nar-

avno, pomnozena s dr) u svakoj tocki krivulje C. Integral tangencijalne komponente V duz Cod T1 do T2 se zove linijski integral

T2T1

V d r = C

V d r = C

(ex Vx + ey Vy + ez Vz) (ex dx + ey dy + ez dz)

=

C

(Vx dx + Vy dy + Vz dz)

=

C

Vx dx +

C

Vy dy +

C

Vz dz.

Ako je C zatvorena krivulja, linijski integral se oznacava kao

V d r = Vx dx + Vy dy + Vz dz. (2.14)


35/535


Povrsinski integral:Na slican se nacin definira i povrsinski integral vektorskog polja (slika 2.9)

Slika 2.9: Uz povrsinski integral.

S

V d S , (2.15)

gdje je dS vektor kojemu je iznos jednak diferencijalu plohe dS, a smjer je dan okomicom4 nataj isti diferencijal plohe

d S = d S n ,

gdje je n jedinicni vektor okomit na element d S. Dakle, skalarnim umnoskom V d S se usvakoj tocki plohe racuna komponeta polja okomita na malu okolicu promatrane tocke

V d S = V d S,

vrijednosti svih tih okomitih komponenata se zbrajaju po svim tockama plohe i rezultat jegornji povrsinski integral.Ako se radi o zatvorenoj plohi, integral se oznacava kao

S

V d S ,

a smjer dS je iz unutrasnjosti plohe prema van.

Gornji se izrazi mogu raspisati i u pravokutnim koordinataman = (n ex ) ex + (n ey ) ey + (n ez ) ez ,

= cos(n , ex ) ex + cos(n , ey ) ey + cos(n , ez ) ez ,

d S n = d S

cos(n , ex ) ex + cos(n , ey ) ey + cos(n , ez ) ez

,

= d Sx ex + d Sy ey + d Sz ez ,4Sama ploha S po kojoj se integrira, nip osto ne mora biti ravnina, ali diferencijal d S se uvijek smatra toliko malenim da se jako

dobro aproksimira ravninom i zato je na tu ravninu moguce definirati okomicu.


36/535

2.3. INTEGRAL VEKTORSKOG POLJA 21

gdje su

d Sx = d S cos(n , ex ),

d Sy = d S cos(n , ey ),

d Sz = d S cos(n , ez ).S

V d S =

S

Vx dSx +

S

Vy dSy +

S

Vz dSz,

Primjetimo da je obicni integral vektorskog polja, opet neki vektor kao npr. (2.11), (2.12)

ili (2.13), dok su linijski (2.14) i povrsinski integrali (2.15), po svom algebarskom karakteruskalari.

Zadatak: 2.2 Zadano je vektorsko polje F = ex (2xy + z3) + ey (x

2 + 2y) + ez (3xz2 2).

Izracunajte linijski integral polja

cF d r po putu od (0, 0, 0) do (1, 1, 1), ako je put

zadan sa: (a) x = t, y = t2, z = t3 , (b) nizom pravaca (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 1, 1), (c) pravcem od (0, 0, 0) do (1, 1, 1) . Zasto su rezultati u (b), (c)i (d) medusobno jednaki? Moze li ovo polje predstavljati elektrostatsko polje i zasto?

Izracunajte funkciju f koja zadovoljava relaciju F = f.

R: (a) Integral se racuna po komponentama: c

F d r = c (Fx d x + Fy d y +Fz d z). Iz x = t slijedi d x = d t, y = t2 daje d y = 2t d t i z = t3 daje d z = 3t2 d t.Uvrstavanje u gornji integral daje

c

F d r =

10

(6t2 + 8t3 + 10t9) d t = 1.

(b) Integral po cijelom putu je zbroj integrala po dijelovima puta:c

=

(0,0,1)(0,0,0)

+

(0,1,1)(0,0,1)

+

(1,1,1)(0,1,1)

.

Na prvom dijelu puta je x = y = d x = d y = 0, pa preostaje samo10

(0 2) d z = 2.

Na drugom dijelu puta je x = d x = 0, z = 1, d z = 0, pa tu preostaje10

(0 + 2y) d y = 1.

Na trecem dijelu puta je y = z = 1, d y = d z = 0, pa tu preostaje

1

0

(2x + 1) d x = 2.


37/535


Ukupno rijesenje je zbroj integrala po dijelovima puta.c

F d r = 2 + 1 + 2 = 1.

(c) Jednadzba zadanog pravca je x = y = z, pa je time i d x = d y = d z. Uvrstavanjeovoga u integral vodi do

c

F d r =

10

(2 + 2x + 3x2 + 4x3) d x = 1.

Polje je konzervativno (rotacija mu je jednaka nuli), pa zato linijski integrali neovise o putu (ukoliko su konacne tocke iste). Konzervativnost je i razlog zasto ovo

polje moze predstavljati elektrostatsko polje. Funkcija f sa svojstvom F = f tj.

Fx = f / x, F y = f / y, Fz = f / z, se moze dobiti iz donjih jednadzba:

f

x= 2xy + z3 f = x2y + xz3 + c1(y, z)

f y

= x2 + 2y f = x2y + y2 + c2(x, z) f

z= 3xz2 2 f = xz3 2z+ c3(x, y),

Gdje su cj funkcije oznacenih varijabla. Usporedbom ovih jednadzba, slijedi

f = x2y + xz3 + y2 2z+ const.

2.4 Vektorski diferencijalni operatori

Za opis prostornih promjena, bilo skalarnih, s(x, y, z ), bilo vektorskih, V (x, y, z ), polja, korisnoje uvesti operatore

gradijenta,

divergencije,

rotacije.

Sva su ova tri operatora izgradena od vektorskog diferencijalnog operatora nabla

5

, s oznakom, koji se u pravokutnom koordinatnom sustavu definira kao

= ex x

+ ey

y+ ez

z. (2.16)

Nabla je diferencijalni operator zato jer se njegovo djelovanje na neku funkciju sastoji u parci-jalnom deriviranju te funkcije po oznacenoj koordinati, a vektorski je operator zato jer rezultatuderiviranja pridruzuje odredeni smjer u prostoru (usmjerena derivacija).

5Operator je prvi uveo irski fizicar, astronom i matematicar, William Rowan Hamilton (o ko jemu ce vise rijeci biti u poglavlj u

15). Hamilton je takoder uveo pojam vektorskog polja i definirao osnovne diferencijalne operacije nad poljima.


38/535

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 23

2.4.1 Gradijent

Neka je zadano skalarno polje s(x, y, z ) (npr. vrijednosti temperature u raznim tockama nekeprostorije). U razlicitim tockama prostora, ono ima opcenito razlicite vrijednosti. Ako sepostavimo u jednu prostornu tocku i promatramo vrijednosti polja u susjednim tockama, uocitcemo da promjena vrijednosti polja nije ista u svim smjerovima: postoje smjerovi u kojima sepolje mijenja za veci iznos i postoje smjerovi u prostoru u kojima se polje mijenja za manjiiznos. Nas je zadatak odrediti

smjer u kojemu se polje mijenja za najveci iznos,

ili drugim rijecima, treba odrediti smjer najvece strminepolja.Nazovimo ekvipotencijalnom plohom onu plohu u prostoru na kojoj skalarno polje s(x, y, z )ima konstantnu vrijednost6. Promatrajmo sada dvije bliske ekvipotencijalne plohe, odredenesa

s(x, y, z ) = s0

i

s(x,y,z) = s0 + ds

(slika 2.10.A). Bliske male djelove ekvipotencijalnih ploha, mozemo smatrati ravninama. Pri-

Slika 2.10: Uz ilustraciju gradijenta kao smjera na jbrze promjene skalarnog polja. Primjetite da osi x, y i z neleze u ravnini papira.

jelazom iz bilo koje pocetne tocke P na plohi s = s0, u bilo koju krajnju tocku Kj na plohis = s0 + ds, vrijednost polja s se promjenila za isti iznos ds. Neka je udaljenost izmedupocetne i krajnje tocke oznacena s d lj. Ako je krajnja tocka okomito iznad pocetne (upolozaju K1, slika 2.10.B), tada je dl1 = P K1 najkraca udaljenost izmedu P i bilo koje tocke

6Npr. ako je s = x2 + y2 + z2, tada je ekvipotencijalna ploha s = s0 sfera polumjera

s0 sa sredistem u ishodistu


39/535


iz infinitezimalne okoline tocke K1, pa je tada

ds

dl1= max.

U svakoj drugoj kra jnjoj tocki K2 je dl2 > dl1, pa je i

ds

dl2 =1

40Q

r

r3r R,

gdje je0 = Q/(4R3/3) (primjetimo da je polje izvan kugle jednako polju tockastog

naboja iznosa Q). Provjerite prvu Maxwellovu jednadzbu na ovom primjeru.

R: Prema prvoj Maxwellovoj jednadzbi je E = el/0. Unutar kugle jeel = 0, a izvan kugle je el = 0, pa se treba uvjeriti da Maxwellova jednadzbaglasi

E = 0/0, r R, E = 0, r R.Za r R je E = E< = [0/(3 0)](ex x + ey y + ez z), pa je

Ex =0

3 0x, Ey =

03 0

y, Ez =0

3 0z,

E = Ex x

+ Ey y

+ Ez z

=0

3 0+

03 0

+0

3 0=

00

,

a to je upravo prva Maxwellova jednadzba u prostoru unutar kugle.Izvan kugle je E = E> ili po komponetama

Ex =1

40Q

x

(x2 + y2 + z2)3/2,

Ex x

=1

40Q

1

r3 3x

2

r5

Ey =

1

40Q

y

(x2

+ y2

+ z2

)3/2

, Ey

y

=1

40Q

1

r3

3y2

r5 ,

Ez =1

40Q

z

(x2 + y2 + z2)3/2,

Ez z

=1

40Q

1

r3 3z

2

r5

.

Sveukupno se za divergencioju polja izvan kugle dobije

E = Ex x

+ Ey y

+ Ez z

=1

40Q

1

r3 3x

2

r5

+

1

r3 3y

2

r5

+

1

r3 3z

2

r5

= 0

sto je u skladu s prvom Maxwellovom jednadzbom.


47/535


2.4.3 Gaussov zakon - dovrsiti

Uvedimo pojam toka ili fluksa vektorskog polja E, kao integrala polja po zatvorenoj plohiS

= S E d S . (2.22)Diferencijal povrsine dS = dSn je usmjeren prema van u odnosu na povrsinu.

dovrsiti

Izvedimo najprije jednostavni racun toka polja tockastog naboja kroz sfernu plohu polumjerar sa sredistem u tocki gdje se nalazi nabo j.

S E d S = 140 qr2 er r2 d er = 140 q4 = q0 (2.23)Primjetimo da zbog toga sto polje opada s kvadratom udaljenosti, a diferencijal povrsine rastes kvadratom te iste udaljenosti, tok ne ovisi o polumjeru sfere, tj. isti je kroz svaku sferu.Neka se sada tockasti nabo j q nalazi unutar zatvorene plohe S proizvoljnog oblika (ne nuznosfernog) kao na slici. Izracunajmo tok polja tockastog naboja kroz tu plohu

=

S

1

40

q

r2er dSn = (2.24)

=1

40

S

q

r2dS cos .

Ako se uoceni diferencijal plohe dS = dSn nalazi na udaljenosti r od naboja i vidljiv jepod prostornim kutom d, tada je njegova projekcija na smjer er s jedne strane jednakadS er = dS cos , a s druge strane to je upravo jednako diferencijalu povrsine kugline plohena toj istoj udaljenosti i pod istim prostornim kutom r2 d

r2 d = dS cos . (2.25)

Time tok polja tockastog naboja kroz proizvoljnu plohu koja ga okruzuje, postaje

=1

40q

S

d =1

40q4 =

q

0. (2.26)

Tok ne ovisi niti o obliku plohe Sniti o polozaju naboja unutar te plohe. Ukoliko zatvorena

ploha ne sadrzi naboj (ili je suma naboja unutar plohe jednaka nuli), tok elektricnog polja krozplohu je jednak nuli. Neka je tok kroz zatvorenu plohu S jednak q/0. Deformiramo li plohukao na donjoj slici, dolazimo do

dovrsiti

S = S1 + S2 (2.27)

= 1 + 2.


48/535


Kako je sav naboj sadrzan u plohi S1, to mora biti i 1 = q/0 iz cega zakljucujemo da je tokkroz zatvorenu plohu koja ne sadrzi naboj, jednak nuli 2 = 0. Primjetimo da iako je tok krozzatvorenu plohu S2 jednak nuli, to niposto ne znaci da je i polje u unutrasnjosti plohe jednakonuli.

Prema nacelu pridodavanja sila tj. polja, tok od N tockastih nabo ja unutar plohe S ce bitijednak sumi tokova pojedinih naboja

E(q1 + q2 + ) = E1(q1) + E2(q2) + (2.28)S

E dS =

S

E1 dS +

S

E2 dS + (2.29)

=q10

+q20

+

ili, krace,

S E dS = 10N

n=1 qn = QS0 , (2.30)gdje je QS ukupan nabo j sadrzan unutar zatvorene plohe S. U slucaju kontinuirane raspodjelenaboja

1

0

Nn=1

qn 10

V(S)

dq=1

0

V(S)

(r) d3r, (2.31)

pa je time

S E dS =1

0 V(S) (r) d3r, (2.32)

gdje je V(S) volumen definiran zatvorenom plohom S. Gornja se relacija zove Gaussov zakon.Iz izvoda se vidi da Gaussov zakon vrijedi ne samo za kulonsku silu, nego i za svaku drugusilu cije polje opada s kvadratom udaljenosti i za koju vrijedi nacelo pridodavanja (kao npr. zagravitacijsku silu, pri cemu oznacava masenu gustocu, a umjesto konstante 1/0 dolazi 4 G).Gaussov zakon je posebno pogodan za izracunavanje elektricnog polja raspodjele naboja svisokim stupnjem simetrije.

Zadatak: 2.6 Gaussov zakon

Koristeci Gaussov zakon, izracunajte elektricno polje beskonacno duge i beskonacnotanke zice naelektrizirane konstantnom linijskom gustocom naboja 0.

R: Zbog simetrije problema, prirodno je odabrati cilindricni koordinatni sustav(,,z). Buduci da je zica beskonacno duga, polje ne moze ovisiti o pomacima u sm-

jeru osi z. Takoder, zbog invarijantnosti na rotaciju u ravnini (x, y), polje ne mozeovisiti niti o koordinati . Ono, dakle, moze ovisiti samo o radijalnoj udaljenostiod zice i moze imati samo smjer e

E(r) = E() e . (2.33)

Ako sada za plohu integracije S u izrazu (2.32) odaberemo valjak duljine h i polum-


49/535


jera baze , koncentricno postavljen oko zice, dobit cemoBg

E() e dS ez +

pl

E() e dS e +

Bd

E() e dS(ez ) = 00

h+zz

dz.

(2.34)Prvi i treci integral lijeve strane su jednaki nuli jer je e ez = 0. U bilo kojoj tockiplasta valjka je polje istog iznosa, pa se kao konstantno moze izvuci ispred integrala,tako da se drugi integral lijeve strane svodi na | E()| puta povrsina plasta valjka

| E()| 2 h = 00

h, (2.35)

tj. dobivamo isti izraz kao i ranije izravnom integracijom

E() =0

2 0

1

e . (2.36)

Zadatak: 2.7 Gaussov zakonKoristeci Gaussov zakon izracunajte elektricno polje beskonacno velike i beskonacnotanke ravnine naelektrizirane konstantnom povrsinskom gustocom naboja 0.

R: Buduci da je ploha beskonacna, polje moze imati samo smjer okomit na plohu(neka to bude smjer ex ). Odaberemo li za plohu integracije valjak visine h i polum-

jera R, tada je integracija polja po plastu valjka jednaka nuli (ex e = 0), aintegracija po povrsini baza daje E ex R

2 ex + E(ex ) R2 (ex ) = 2 R2 E. Sdruge strane, to je jednako ukupnom naboju obuhvacenom plohom i podijeljenom

s 0

2 R2 E =1

00 R

2

E = 02 0

ex , (2.37)

za x > 0 i x < 0 poluprostor. Primjetimo da u ovom slucaju polje ne ovisi oudaljenosti od plohe.

Ako bismo umjesto beskonacno tanke plohe promatrali beskonacno debelu plohu vodica kojazauzima poluprostor x < 0, na cijoj se granici nalazi naboj rasporeden konstantnomgustocom 0, postupkom kao gore, dobilo bi se

1 R2 E = 10

0 R2

E =00

ex . (2.38)

(Kasnije cemo pokazati da je u unutrasnjosti vodica polje jednako nuli.)

Ako su zadane dvije beskonacno velike i beskonacno tanke paralelno postavljnene ravninenaelektrizirane konstantnim gustocama naboja 1 i 2, tada su iznosi polja od pojedinihploca jednaki

E1 =1

2 0, E2 =

2

2 0, (2.39)


50/535


a smjerovi su prikazani na slici. Izvan ploca su silnice antiparalelne, pa je

Eout =1 2

2 0. (2.40)

Unutar ploca su silnice paralelne, pa je

Ein =1 + 2

2 0. (2.41)

Specijalno, ako je 1 = 2 = 0, polje izvan ploca je jednako nuli, a polje unutar ploca je

Ein =00

. (2.42)

To je upravo polje ravnog plocastog kondenzatora (o kojemu cemo govoriti kasnije).

Zadatak: 2.8 Gaussov zakonKoristeci Gaussov zakon izracunajte elektricno polje kugle polumjera R, naelek-trizirane konstantnom volumnom gustocom naboja 0.

R: Zbog sferne simetrije odabiremo sferni koordinatni sustav (r,,) s ishodistemu sredistu kugle. Isto tako zbog sferne simetrije je jasno da polje ne moze ovisitio kutovima i , nego samo o odaljenosti r i da mora biti usmjereno samo u ersmjeru

E(r) = E(r) er . (2.43)

Izracunajmo najprije polje u u unutrasnjosti kugle: r < R. Za plohu integracijeodabiremo koncentricnu sferu polumjera r < R

Ein(r) er r2 d er =

1

0

0 d

3r

Ein(r) r2 4 =

1

0

4

3r3 0

Ein =0

3 0r er . (2.44)

Polje unutar kugle linearno raste s udaljenoscu od sredista.

Da bismo izracunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremo koncentricnu sferu,

ali je ona sada polumjera r > R.Eout(r) er r

2 d er =1

0

0 d

3r

Eout(r) r2 4 =

1

0

4

3R3 0 =

Q

0

Eout =1

4 0

Q

r2er . (2.45)

Polje izvan kugle opada s udaljenoscu od sredista. i isto je kao polje tockastognaboja iznosa jednakog ukupnom naboju kugle Q = 0(4/3)R

3.


51/535


2.4.4 Rotacija: Stokesov teorem

Promatrajmo linijski integral proizvoljnog vektorskog polja V (r) po zatvorenoj usmjerenojkrivulji C. Krivulja ne mora lezati u ravnini, a pozitivnim smjerom obilaska krivulje se nazivasmjer suprotan gibanju kazaljke na satu. Takav se integral naziva cirkulacija polja V (r) ioznacava se s

=

C

V (r) dr.

Diferencijal dr ima smjer obilaska krivulje. Podijeli li se zatvorena krivulja C na dvije zatvorene

Slika 2.14: Uz definiciju cirkulacije vektorskog polja..

krivulje, kao na slici 2.14, lako se vidi da se integrali po zajednickom dijelu krivulje ponistavajuzbog suprotnog smjera obilaska tog dijela krivulje, pa je zato

=

C

V (r) dr =

C1

V (r1) dr1 +

C2

V (r2) dr2.

Ocito ce se nastavljanjem dijeljenja gornje dvije zatvorene krivulje na sve manje i manje dijelove,

opet medusobno ponistavati integrali po zajednickim dijelovima, i za podjelu pocetne zatvorenekrivulje na N manjih ce vrijediti

=

C

V (r) dr =

Nj=1

Cj

V (rj ) drj.

Za N >> 1, tj. kada je pocetna krivulja podjeljena na puno vrlo malih zatvorenih krivulja,svakoj toj maloj krivulji Cj se moze pridruziti ravna ploha Sj = n Sj ciji je iznos odredenpovrsinom plohe definirane krivuljom, a smjer okomicom na plohu i pravilom desne ruke. Ugranici N , male krivulje Cj iscezavaju, pa iscezava i integral polja po toj krivulji. Istotako iscezava i povrsina Sj . Ako dvije velicine svaka za sebe iscezavaju, nije nuzno da iscezava


52/535


i njihov omjer. Izracunajmo slijedecu granicnu vrijednost

limNCj

V (rj) drj = 0,

limN Sj = 0 .

limCj , Sj 0

Cj

V (rj) drj

Sj= ?

Ogranicimo se na j-tu krivulju, tako da mozemo izostaviti indeks j. Radi jednostavnosti, nekaje mala zatvorena krivulja pravokutnog oblika i neka lezi u ravnini z = const. kao na slici 2.15.Opcenito je, u pravokutnom koordinatnom sustavu,

Slika 2.15: Uz izvod Stokesova teorema.

V (r) = ex Vx(x,y,z) + ey Vy(x, y, z )ey + ez Vz(x,y,z),

r = ex x + ey y + ez z,

pa je, uz konstantni z,

dr = ex dx + ey dy, z = const.

Izracunajmo sada cirkulaciju po malom pravokutniku imajuci u vidu da dr ima smjer obilaskakrivulje:

CV dr =

C

Vx(x, y, z ) dx + Vy(x,y,z) dy

=

x+dxx

Vx(x,y,z) dx +

y+dyy

Vy(x + d x , y , z ) dy

+

xx+dx

Vx(x, y + d y , z ) dx +

yy+dy

Vy(x,y,z) dy .

Buduci da su pravokutnici infinitezimalni, vrijednost polja je priblizno konstantna u svimtockama stranica pravokutnika i priblizno je jednaka vrijednosti na polovici promatrane stran-


53/535


ice. Zato je promatrani integral priblizno jednak

Vx(x + dx/2, y , z ) dx + Vy(x + dx,y + dy/2, z) dy

Vx(x + dx/2, y + dy,z) dx Vy(x, y + dy/2, z) dy.Za male dx, dy i dz, komponente polja Vx,y,z se mogu razviti u Taylorov red

=

Vx(x,y,z) +

dx

2

Vx x

+

dx +

Vy(x, y, z ) + dx

Vy x

+dy

2

Vy y

+

dy

Vx(x,y,z) +dx

2

Vx x

+ dy Vx y

+

dx

Vy(x,y,z) +dy

2

Vy y

+

dy

=

Vy x

Vx y

dxdy + O(d3)

rotacije vektorskog poljaUvedimo pojam rotacije vektorskog polja V , slijedecom definicijom (u pravokutnom koordi-natnom sustavu)

rot V = ex

Vz y

Vy z

+ ey

Vx z

Vz x

+ ez

Vy x

Vx y

.

Uocimo ciklicnost (x y z x y ) u definiranju komponenata vektora rotacije,slicno kao i kod definicije vektorskog umnoska dva vektora.

Primjetimo da rotaciju vektorske funkcije mozemo zapisati i pomocu operatora nabla, (2.16),

rot V = V =

ex

x+ ey

y+ ez

z

(Vxex + Vyey + Vzez ) (2.46

=

ex ey ez

x

y

z

Vx Vy Vz

= ex

Vz y

Vy z

+ ey

Vx z

Vz x

+ ez

Vy x

Vx y

tj.

rot V V = ex

Vz y

Vy z

+ ey

Vx z

Vz x

+ ez

Vy x

Vx y

.

(2.47)

Rezultat rotacije vektorskog polja V je novo vektorsko polje V .


54/535


Sada mozemo u gornjem rezultatu za cirkulaciju, prepoznati z-komponentu vektora rotacijepolja V

CV dr =

Vy x

Vx y

dxdy + O(d3) = ( V )z dxdy + O(d3) (2.48)

Takoder, mozemo izracunati i pocetni limes

limCj , Sj 0

Cj

V (rj) drj

Sj= lim

dx,dy 0

( V )z dxdy

dxdy+

O(d3)dxdy

= (

V )z,

gdje je

( V )z = ez

VSlicni bi se izrazi dobili i za preostale komponente rotacije, pri cemu gornju zatvorenu krivuljushvacamo kao projekciju neke male prostorne krivulje na ravninu (x, y)

( V )x = Vz

y Vy

z,

( V )y = Vx

z Vz

x.

Sada se mozemo vratiti pocetnom izrazu za cirkulaciju vektorskog polja, koji u granici N postaje

CV (r) dr =

N

j=1 Sj

1

Sj CjV (rj ) drj

=

N

j=1 Sj nj (

V )

=

N N

j=1 Sj nj

S(C) dS

=

S(C)

( V ) dS .

S nj je oznacen jedinicni vektor okomit na malu plohu d S. Time su povezani linijski integralvektorskog polja po zatvorenoj krivulji C i povrsinski integral rotacije tog istog polja po povrsiniS(C) definiranoj krivuljom C, a dobivena se veza zove Stokesov teorem

CV (r) dr =

S(C)( V ) dS . (2.49)

Primjetimo da jedna jedina krivulja C definira beskonacno mnogo ploha S(C) ciji je ona rub.Fizicko znacenje rotacije jeste opis jednog svojstva vektorskog polja koje se naziva vrtloznost.Ono se moze iscitati iz relacije (2.48): zamislimo da V opisuje brzinu fluida, tada je integralna lijevoj strani razlicit od nule samo u onom dijelu prostora gdje fluid ima vrtloge (virove) i

tada je i odgovarajuca komponenta rotacije V razlicita od nule. Naprotiv, ako je V = 0,

kaze se da je polje bezvrtlozno.


55/535


Zadatak: 2.9 Izravnim racunom izracunajte cirkulaciju vektorskog polja V = x2y3ex +ey +zezpo kruznici x2 + y2 = R2, z = 0. Isti racun provedite koristeci Stokesov teorem, akose za plohu integracije odabere polukugla z = +

R2 x2 y2.

R: Izracunajmo cirkulaciju =

C

V (r) dr.

Uvrstimo veze pravokutnog i cilindricnog koordinatnog sustava, odjeljak 2.5,

r = R e ,

dr = R de = R d e ,

e = ex sin + ey cos ,x = R cos , y = R sin ,

tako da jeC

V (r) dr = R

R5

20

sin4 cos2 d +

20

cos d

= R

6

8.

Naravno, do istog se rezultata moze doci i racunom pomocu Stokesova teorema.Uvrstavanjem veze pravokutnog i sfernog koordinatnog sustava, odjeljak 2.6:

dS = er R2 sin dd, er = ex sin cos + ey sin sin + ez cos ,

x = R sin cos , y = R sin sin ,

i integracijom po gornjoj polusferiS(C)

( V ) dS =

/20

sin d

20

dR2er (3x2y2ez ) = 3R6 16

4

= R6

8.

dobijemo iti rezultat za cirkulaciju.

Zadatak: 2.10 Zadano je vektorsko polje iz zadatka 2.2 F = ex (2xy + z3) + ey (x

2 + 2y) +

ez (3xz2 2). Izracunajte F. Razumijet li sada zasto su rezultati u (a), (b) i

(c) iz zadatka 2.2 medusobno jednaki? Moze li ovo polje predstavljati elektrostatskopolje i zasto?

R: Izravnim uvrstavanjem F u (2.46) i deriviranjem, odmah se dobiva F = ex (0 0) + ey (3z2 3z2) + ez (2x 2x) = 0.

Polje je konzervativno (rotacija mu je jednaka nuli), pa zato linijski integrali ne oviseo putu (ukoliko su konacne tocke iste). Konzervativnost je i razlog zasto ovo poljemoze predstavljati elektrostatsko polje.


56/535


Zadatak: 2.11 Pokazimo da polje tockastog naboja zadovoljava drugu Maxwellovu jednadzbu

E = 0.

R: Polje tockastog nabo ja iznosa q smjestenog u ishodistu jeE(r) =

1

40

q

r3r, (2.50)

ili, po komponentama pravokutnog sustava

Ex =1

40q

x

(x2 + y2 + z2)3/2, (2.51)

Ey =1

40q

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

Ez =1

40q z

(x2 + y2 + z2)3/2.

E = ex

Ez y

Ey z

+ey

Ex z

Ez x

+ez

Ey x

Ex y

. (2.52)

Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli,pa je i njihov zbroj jednak nuli.

2.4.5 Laplaceov operator

Od osobite je vaznosti (napose u izucavanju valnih pojava u mehanici ili elektrostatskih pojavau elektromagnetizmu) operator nastao djelovanjem divergencije na gradijent skalarnog poljas(x, y, z ). Taj se operator naziva Laplaceov9 operator ili laplasijan. U pravokutnom koordi-natnom sustavu je on oblika

div (grads) =

ex

x+ ey

y+ ez

z

ex

s

x+ ey

s

y+ ez

s

z

=

2 s

x2+

2 s

y2+

2 s

z2 2 s

gdje je s 2 oznacen Laplaceov operator

2 =

2

x2+

2

y2+

2

z2. (2.53)

Operacije gradijenta, divergencije i rotacije se mogu i kombinirati. Tako je npr. lako pokazati(izravnim uvrstavanjem prema definicijama) da je za svako vektorsko polje V

div rot V ( V ) = 0. (2.54)Slicno je i za svako skalarno polje s

rot grad s ( s) = 0. (2.55)9Pierre Simon marquis de Laplace, 1749 - 1827, francuski fizicar, astronom, matematicar i filozof,


57/535


Zadatak: 2.12 Pokazite da vrijedi

(

V ) =

(

V )

2 V . (2.56)

R:

Zadatak: 2.13 Iz elektrostatike je poznata veza izmedu elektricnog polja E i elektricnog po-tencijala V

E = V.

Pokazite da iz nje izravno slijedi druga Maxwellova jednadzba E = 0.R:

V = ex Vx

+ eyV

y+ ez

V

z

( V) = ex

y

V

z

z

V

y

+ ey

z

V

x

x

sV

z

+ ez

x

V

y

y

V

x

Zadatak: 2.14 Pokazite da vrijede slijedece relacije: ( a ) = a + ( ) a (2.57)(a b ) = b ( a ) a ( b ). (2.58) (a b ) = a( b ) + ( a) b . (2.59)

R:

Zadatak: 2.15 Poznat je elektricni potencijal izmedu dvije beskonacne paralelne vodljive plocekoje su okomite na os x

V(x) = A x4/3 + B x + C, A, B, C = const.

Odredite raspodjelu naboja koja stvara takav potencijal.

R: Iz elektrostatike je poznata veza izmedu potencijala i gustoce elektricnognaboja u obliku Possonove jednadzbe

2 V(r) =

el(r)

0.


58/535

2.5. CILINDRICNI KOORDINATNI SUSTAV 43

Raspisana u pravokutnom koordinatnom sustavu, gornja jednadzba vodi na

el0

=2 V

x2+

2 V

y2+

2 V

z2

= A

4

3

1

3 x2/3

el(x) = A 0 49

1

x2/3.

2.5 Cilindricni koordinatni sustav

Kao sto smo spomenuli na pocetku ovog odjeljka, pored pravokutnog koordinatnog sustavapostoje i drugi koordinatni sustavi. Odabir odredenog sustava ovisi o simetriji problema kojise rjesava. U situacijama kada je razmatrani problem simetrican na zakret oko nepomicneosi, koristi se cilindricni koordinatni sustav. Polozaj tocke u prostoru se, unutar cilindricnog

koordinatnog sustava, opisuje koordinatama: , i z, gdje je zjedna od koordinata pravokutnogkoordinatnog sustava. Koordinata ima vrijednost okomite udaljenosti promatrane tocke od

Slika 2.16: Uz definiciju koordinata cilindricnog koordinatnog sustava.

osi z. Koordinata je kut koji duzina zatvara s pozitivnim smjerom osi x. Svakoj tockiprostora je jednoznacno pridruzena trojka brojeva (,,z), pri cemu , i z mogu poprimativrijednosti iz slijedecih intervala

(0, ), (0, 2), z (, +).Cilindricni koordinatni sustav ogranicen na ravninu (x, y), se zove polarni koordinatnisustav , slika 2.17. Veze pravokutnih i cilindricnih koordinata se dobivaju elementarnomtrigonometrijom

x = cos , =

x2 + y2,

y = sin , = arctany

x, (2.60)

z = z.


59/535


Slika 2.17: Uz definiciju koordinata polarnog koordinatnog sustava.

Svakoj od koordinata , i z, se pridruzuju jedinicni vektori smjera e , e i ez , koji su

usmjereni u pravcu porasta odgovarajuce koordinate

(slika 2.16) uz konstantne vrijednosti preostale dvije koordinate. Ako radij vektoru r povecavamokoordinatu za infinitezimalni iznos d, a i z drzimo konstantnim, rezultatntni vektor,

e r( + d,,z) r(,,z)ima smjer e . Isti smjer ima i gornji vektor pomnozen skalarom 1/d. Smjer se nece promijenitini kada izvedemo granicni prijelaz d 0, koji zatim prepoznajemo kao parcijalnu derivacijur po

e limd0

r( + d,,z) r(,,z)d

=

r

,z

.

No, gornji vektor jos ne mora biti i jedinicnog iznosa. Da bismo ga napravili jedinicnim, trebaga podijeliti njegovim iznosom, kao u (2.1),

e =

r

,z

r

,z

Na slican nacin se odreduje jos i jedinicni vektor e

e =

r

,z

r

,z

,Vektor ez je jedinicni vektor iz pravokutnog koordinatnog sustava i njega ne treba racunati.


60/535


Izracunajmo ove jedinicne vektore, koristeci izraz za radij vektor u pravokutnom koordinatnomsustavu r = x ex + y ey +z ez i vezu cilindrickog s pravokutnim koordinatnim sustavom (2.60).Zapocnimo s jedinicnim vektorom e

r ,z = xex + yey + zez ,z=

ex ( cos ) + ey ( sin ) + ez z

,z

= ex cos + ey sin ,

r

,z

=

cos2 + sin2 = 1,

pa je

e = e () = ex cos + ey sin . (2.61)

Na slican nacin se odreduju i preostala dva jedinicna vektora e i ez : r

,z

=

xex + yey + zez

,z

=

ex ( cos ) + ey ( sin ) + ez z

,z

= ex sin + ey cos ,

r ,z = 2(sin2 + cos2 ) = ,pa je

e = e () = ex sin + ey cos . (2.62)

Vektor ez je naprosto ez koji smo upoznali jos kod pravokutnog koordinatnog sustava i tu sene treba nista racunati.Ove jedinicne vektore mozemo prikazati i u obliku jednostupcanih matrica

e =

1

0

0

, e =

0

1

0

, ez =

0

0

1

,

Pravokutnu i cilindricnu bazu mozemo povezati matricom M CP

eeez

= M CP

exeyez

, M CP =

cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

. (2.63)


61/535


Lako je vidjeti da je inverzna matrica (koja izvodi prijelaz iz pravokutnog u cilindricni) jednakatransponiranoj

M1CP = MTCP,

M TCP M CP = M CP M TCP = 1,iz cega odmah slijedi exey

ez

= M TCP ee

ez

, M T = cos sin 0sin cos 0

0 0 1

. (2.64)Raspisana po komponentama, gornja jednadzba glasi

ex = cos e sin e ,

ey = sin e + cos e ,

ez = ez .

S obzirom da matrica M TCP izvodi prijelaz iz cilindricnog u pravokutni koordinatni sustav,prirodno je nazvati ju

M PC M TCP.

U skladu s gornjom analizom, zakljucujemo da se proizvoljni vektor V moze prikazati kaojednostupcana matrica

V =

V

V

Vz

.Posebno, radij vektor je oblika

r = (ex cos + ey sin ) + z ez = e + z ez =

0

z

.Iznos vektora je dan Pitagorinim pouckom

|V | =

V2 + V2

+ V2

z .

Mnozenje vektora sklarom s

s V = s V e + s V e + s V z ez .


62/535


U skladu s definicijom skalarnog umnoska, a pomocu relacija (2.61) i (2.62), za bazne vektorevrijedi

e e = 1, e e = 0, e ez = 0,e

e = 0, e

e = 1, e

ez = 0, (2.65)

ez e = 0, ez e = 0, ez ez = 1.Iz gornje tablice slijedi izraz za skalarni umnozak dva proizvoljna vektora

V U = (V e + V e + Vz ez ) (U e + U e + Uz ez ) = V U + V U + Vz Uz.Pomoc

Fizika mehanika (3)

Documents

Transcript of Fizika mehanika (3)