kisi-kisi uas aktuaria

BEBERAPA ISTILAH PENTING :1. 2. pdf3. variable acak waktu hingga mati4. fungsi kelangsungan hidup dari / probabilitas bayi baru lahir mencapai umur 5. seseorang berusia tahun6. probabilitas akan meninggal dalam waktu tahun7. probabilitas akan bertahan hidup hingga tahun8. probabilitas akan meninggal dalam waktu tahun, setelah bertahan hidup selama tahun9. fungsi distribusi dari 10. peluang bersyarat dari seseorang yang baru lahir akan meninggal di antara usia dan , jika diketahui akan tetap hidup sampai usia 11. probabilitas akan tetap hidup sedikitnya dalam waktu tahun12. tingkat kemungkinan kematian dari 13. tingkat kemungkinan kematian dari pada usia 14. fungsi distribusi dari 15. fungsi kepadatan peluang dari

KISI 1Probabilitas kondisional bayi yang baru lahir akan mati antara usia dan , kelangsungan hidup diberikan kepada usia adalah . Karena adalah peluang bersyarat, maka untuk mengitungnya dengan rumus peluang bersyarat, yaitu . Untuk kasus diskrit, peluang bersyarat dari jika diberikan adalah

Untuk

karena berada di , maka karena karena pers 3.1.2 :

KISI 2Diketahui pada Persamaan (3.2.4) : Persamaan (3.2.5) : Sehingga

KISI 3 probabilitas akan bertahan hidup hingga tahun probabilitas /bayi yang baru lahir akan bertahan hidup hingga tahun probabilitas /bayi yang baru lahir akan bertahan hidup hingga tahun fungsi kelangsungan hidup dari fungsi kelangsungan hidup dari Maka untuk

dari pers 3.2.6 : dan pers 3.2.5

KISI 4Diketahui : pers 3.2.8 pers 3.2.9

. . . . .

KISI 5Fungsi Waktu Hidup Mendatang Suatu kumpulan variabel acak diskrit yang berhubungan dengan masa hidup yang akan adalah suatu bilangan dari tahun-tahun akan datang yang diselesaikan oleh sebelum kematian . Hal ini disebut fungsi waktu hidup mendatang dari dan dinotasikan oleh . Karena adalah bilangan bulat terbesar di , maka d.f adalah

, ini q nya diganti p

, yang kurung kedua, s(x+k+1) yang pertama, yang betul s(x+k)

, (*)

Variabel acak diartikan sebagai jumlah dari tahun hidup mendatang secara penuh.

Asumsi lain apabila adalah variabel acak kontinu adalah

Ekspresikan (*) adalah spesial kasus dari dimana dan adalah bilangan bulat nonnegatif.

Dari (*)dapat diketahui bahwa .d.f dari adalah fungsi

dan adalah bilangan bulat terbesar di y

KISI 6-8TINGKAT KEMATIAN

Sebuah analogi dari fungsi dari sebuah kematian dapat diperoleh dengan menggunakan kepadatan probabilitas kematian pada saat mencapai umur , yaitu menggunakan (2.23) dengan

Karena

Pada persamaan ini, adalah fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kelangsungan umur kematian.

Fungsi

mempunyai interpretasi kepadatan peluang kondisional. Untuk setiap umur , fungsi tersebut memberikan nilai dari fungsi kepadatan peluang kondisional pada saat umur , diberikan survival pada umur tersebut, dan dinotasikan sebagai .Terdapat

.. ..

nilai dari dan mengimplikasikan bahwa .

Dalam ilmu aktuaria dan demografi disebut tingkat kematian. Dalam teori realibilitas, pembelajaran probabilitas survival dari manufactured bagian-bagian dan sistem-sistem, disebut tingkat kegagalan atau tingkat hazard, atau lebih lengkapnya fungsi tingkat hazard.Tingkat kematian dapat digunakan untuk menspesifikasikan distribusi dari . Untuk memperoleh hasil ini, dimulai dengan (3.2.13), ubah menjadi , dan susun kembali untuk memperoleh. Pada persamaan sebelumnya,

karena

Karena ubah menjadi , maka

karena

Mengintegralkan persamaan ini dari sampai , diperoleh

dan mengambil eksponensial didapatexp

Kadang-kadang persamaan tersebut ditulis kembali dengan , maka

perubahannya adalah

Untuk batas yang bawah,

Untuk batas yang atas,

Secara khusus pada

notasi diganti untuk memudahkan penggunaannya dengan mengganti umur selama hidup dengan dan waktu survival dengan . Sehingga didapat

Sebagai tambahan,

dan

Diberikan dan , yaitu fungsi distribusi dan fungsi kepadatan peluang dari , waktu hidup masa depan dari . Dari (3.2.4), ; maka, =

.. terhadap turunannya

(i)Jadi, adalah kemungkinan bahwa mati antara dan , dan

Dimana batas atas pada integral tertulis ketakterbatasan positif.Dari (i)

Bentuk ekuivalen ini berguna dalam beberapa perkembangan matematika aktuaria.Karena

didapat

sehingga

Perkembangan rumus ini diringkas dalam tabel berikut.Pada bagian tengah paling bawah pada tabel berikut meringkas beberapa hubungamn diantara fungsi teori probabilitas umum dan spesifikasinya menuju aplikasi umur kematian. Terdapat banyak contoh lain dimana pertanyaan umur kematian dapat dibentuk dalam aturan probabilitas yang lebih umum. Berikut ilustrasi masalahnya.

Fungsi Teori Probabilitas untuk Umur Kematian,

d.f.

Fungsi Survival p.d.f

Tingkat Kematian

UntukPersyaratan UntukPersyaratan

takterdefinisiTakterdefinisi

takmenurunTakmeningkat

Fungsi dalam Istilah dariHubungan

KISI 9Jika sebagai komplemen dari kejadian dengan ruang sampel dan berdasarkan ekspresi sebuah idenditas pada teori probabilitas

Tulis kembali identitas ini pada notasi aktuaria untuk kejadian dan.Solusi : menjadi karena : , Untuk dan ., maka .

Karena menjadi maka

The Balducci Assumption

KISI 10TABEL KEHIDUPANTabel kehidupan (life table) merupakan table yang memberikan gambaran tentang kematian dan survival di dalam suatu populasi, berdasarkan data sejarah hidupnya. Table ini tersusun atas seri kolom yang menjabarkan tentang kematian dan hasil reproduksi dari anggota suatu populasi berdasarkan umurnya. Dari tabel ini diperoleh kemungkinan untuk menaksir pertumbuhan atau pengurangan populasi. Seperti halnya kurva kelangsungan hidup, tabel kehidupan dibakukan agar dapat mengikuti kemajuan suatu kohor (Desmukh, 1992).Kegunaan dari table kehidupan adalah:1. Menganalisa kemungkinan bertahan hidup suatu individu dalam suatu poulasi2. Menentukan umur yang paling rentan mati3. Menduga pertumbuhan populasiAda dua tipe table kehidupan, yaitu:1. Table static (time specific life table): lebih sesuai untuk organism yang bergerak dan berumur panjang. Data yang diapakai adlah data pada waktu tertentu untuk semua kelompok umur yang ditemukan dalam populasi saat itu.2. Tabel Dinamik (age-specific/cohort life table): lebih sesuai untuk tumbuhan dan organism sejenis lainnya, serta yang berumur pendek. Data diperoleh dengan mengikuti dinamika suatu kelompok individu yang lahir pada waktu tertentu, dari lahir sampai mati.Contoh tabel kehidupan :

Dalam Tabel kehidupan untuk total populasi di Amerika pada tahun 1979-81, fungsi x to x+t dan r qx telah diberikan beserta .Pada 1979-81 U.S. tabel kehidupan tidak dibuat dengan mengamati 100.000 kelahiran hingga yang terakhir tidak bertahan hidup atau mati. Teatapi tabel ini hanya berdasarkan pada pendugaan kemungkinan mati, cenderung bertahan untuk variasi usia yang berasal dari seluruh populasi di Amerika dalam sensus sekitar tahun 1980. Dengan menggunakan konsep random survivorship group dengan tabel ini, kita harus membuat asumsi bahwa kemungkinan berasal dari tabel yang akan disediakan untuk waktu hidupnya yang termasuk kelompok ketahanan hidup.

Keterangan :Kolom 1 : (x) umurKolom 2 : (rqx) rata-rata kematian berdasarkan kategori umurKolom 3 : (Ix) angka kehidupan dari awal tahunKolom 4 : (tdx) angka kematian di tiap tahunnyaKolom 5 : (tLx) angka tahun kehidupan berdasarkan populasi di tahun x Kolom 6 : (Tx) angka tahun kehidupan berdasarkan populasi di tahun x sampai di tahun berikutnya.Kolom 7 : () harapan kehidupan dari awal tahun xLangkah mengisi kolom :1. Diberikan kolom pertama, kolom kedua, kolom ketiga (baris pertama).2. Kolom keempat di dapat dari mengalikan kolom kedua dengan kolom ketiga.3. Kolom keempat merupakan pengurangan dari kolom ke tiga untuk mendapatkan entri dari kolom tiga selanjutnya. 4. Baris ke x kolom kelima di dapat dari baris ke (x+1) kolom ketiga di tambah dengan baris ke x/2 kolom keempat.5. Baris pertama kolom keenam di dapat dari menjumlahkan semua entri pada kolom kelima6. Kemudian baris kedua kolom keenam di dapat dari mengurangi baris pertama kolom keenam dengan baris pertama kolom kelima. Dan begitu juga selanjutnya.7. Kolom ketujuh di dapat dari kolom keenam dibagi kolom ketiga.

Pengamatan :1. Kira-kira 1% dari kelompok orang-orang yang bertahan hidup dari kelahiran akan diharapkan meninggal dalam tahun pertama hidup.2. Ini akan diharapkan bahwa sekitar 77% dari kelompok kelahiran akan bertahan sampai usia 65.3. Jumlah maksimum kematian dalam kelompok akan diharapkan terjadi antara usia 83 dan 84.4. Untuk kehidupan manusia, telah ada sedikit pengamatan usia pada waktu mati melebihi 110. Akibatnya, ini sering diasumsikan bahwa ada usia sedemikian hingga s(x)>0 untuk x0, x0.

Bagaimanapun ,banyak pelajaran dari kematian manusia untuk tujuan asuransi menggunakan representasi sebagai ilustrasi dalam tabel 3.3.1. karena 100.000 s(x) ditunjukkan hanya untuk nilai bilangan bulat dari x, ada kebutuhan untuk menyisipkan dalam hasil evaluasi s(x) untuk nilai bukan bilangan bulat. Penggunaan tabel kematian :Berdasarkan tabel 3.3.1, Hitunglah kemungkinan seseorang berumur 20 tahun akana) Hidup sampai 100 tahunb) Mati sebelum 70 tahunc) Mati pada 10 dekade hidupPenyelesaian :a) b) c)