FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

BAB IIV E K T O R

52

Advance Organizer

Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat berkonsentrasi mengemudikan pesawat. Pernahkah Kamu bayangkan pesawat terbang di malam hari? Bagaimana pilot mengemudikan pesawat terbang di malam hari. Dengan sistem vektor yang dikalibrasikan dengan komputer navigasi pesawat pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi tidak pernah sebuah pesawat nyasar ke lain tempat. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Kecepatan, percepatan, gaya, tekanan, momentum dan sebagainya adalah contoh-contoh besaran vektor. Penulisan vektor dengan vektor satuan mempermudah pengertian tentang arah vektor itu. Beberapa vektor dapat dijumlahkan maupun dikalikan. Pada bab ini Kamu akan memperdalam tentang vektor sebagai besaran yang memiliki nilai dan arah.Meliputi vektor dua dimensi dan vektor tiga dimensi.

Tentunya Kamu pernah mempelajari jurusan tiga angka di SMP. Gambar di atas menggambarkan arah tiga kota yang menjadi rute penerbangan pesawat terbang. Kota 2 berarah 215° dari kota 1, kota 3 berarah 300° dari kota 2, dan kota 1 berarah 079° dari kota 3. Jurusan tiga angka merupakan pelajaran vektor yang menyatakan arah dan besar perpindahan.Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.

53

Peta Konsep Bab 2

Tujuan Pembelajaran• Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan cara grafis maupun analitis• Menghitung jumlah dan selisih vektor-vektor dua dimensi• Menjumlahkan vektor-vektor tiga dimensi menggunakan vektor

satuan

54

Konversi Satuan Besaran Pokok dan Turunan

Penjumlahan

VektorAnalitis

Perkalian

Poligon

Cara Grafis

Segitiga

Jajaran GenjangPerkalian CrossPerkalian Dot

2 dimensi

3 dimensi

Standar KompetensiMenerapkan konsep besaran fisika dan pengukurannya

Kompetensi DasarMelakukan penjumlahan vektor

Kata Kunci (Key-words)

• Cara Analitis

• Cara Grafis

• Cara Jajaran Genjang

• Cara Poligon

• Cara Segitiga

• Perkalian Silang (cross product)

• Perkalian Titik (dot product)

• Resultan vektor

• Skalar

• Titik Tangkap

• Vektor

• Vektor Satuan

Daftar Konstanta

Cepat rambat cahaya c 3,00 x 108 m/s

Konstanta Coulomb k 8,99 x 109 N.m2/C2

Konstanta gas umum R 8,314 J/K.mol

Konstanta gravitasi umum G 6,67 x 10-11 N.m/kg2

55

Muatan elektron e 1,60 x 10-19 C

BAB II

VEKTOR

A. Pengertian Vektor

Penggolongan besaran-besaran dalam kehidupan sehari-hari telah diketahui

menjadi dua, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Namun ada juga pengelompokan

lain berdasarkan nilai dan arah besaran. Penggolongan semacam ini membedakan

besaran-besaran menjadi dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran

skalar diartikan sebagai besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran

vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan memiliki arah. Jarak termasuk besaran

skalar, sedangkan perpindahan dikatakan sebagai besaran vektor. Orang mengukur jarak

adalah menghitung seluruh lintasan gerak yang ditempuh, sedangkan mengukur

perpindahan berarti mengukur panjang dari titik awal ke arah titik akhir lintasan. Jadi

kalau seorang siswa berlari dari suatu sudut mengelilingi lapangan sepak bola satu kali

putaran, berarti Ia menempuh jarak keliling lapangan sepak bola itu, tetapi dikatakan

perpindahannya nol. Contoh besaran skalar lainnya adalah panjang, massa, waktu, suhu,

kelajuan. perlajuan, usaha, daya sedangkan contoh besaran vektor diantaranya

perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum dan sebagainya.

Gambar berikut ini merupakan besaran vektor diantaranya kecepatan angin,

kecepatan arus air laut yang menggerakkan kapal laut, kecepatan pesawat tempur.

56

Tentu saja kecepatan–kecepatan tersebut memiliki besar dan arah.

Gambar 1. Kecepatan angin Gambar 2. Kecepatan pesawat

Menurut Alonso dan Finn, sebuah vektor dapat digambarkan berupa anak panah

atau ruas garis berarah. Panjang anak panah atau ruas garis menyatakan nilai atau besar

vektor, sedangkan arah anak, panah menyatakan arah vektor.

Notasi besaran vektor dapat dinyatakan dengan huruf besar atau huruf kecil yang diberi

tanda panah di atasnya. Misalnya: vektor ab atau |AB|

B

A

B. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Dua buah vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangi. Ada beberapa cara

penjumlahan dan pengurangan vektor.

1. Cara Grafis

Cara ini menekankan pada cara menggambarnya. Yang termasuk dalam cara grafis

adalah cara poligon, cara segitiga dan cara jajaran genjang.

a. Cara Poligon

Berikut ini adalah langkah-langkah penjumlah vektor cbar ++= dengan cara

poligon.

57b

c

b

rc

b

rc

gambarkan salah satu vektor yang kita pilih, misalnya vektor a

Berikut menggambarkan vektor b dengan cara pangkal vektor b

berada diujung vektor a

Kemudian gambarkan vektor c dengan cara yang sama

Gambarkan resultan vektor r yang merupakan jumlah dari vektor a, b dan c

dengan cara menggambarkan vektor dari pangkal vektor a ke ujung vektor

c, vektor resultan dinyatakan dengan besarnya atau penjang vektor resultan

dan arahnya sesuai dengan hasil dari gambar yang didapat, seperti vektor

berikut ini

b. Cara Segitiga

Untuk cara segitiga, berlaku untuk tiap-tiap dua vektor. Semua pangkal vektor-vektor

yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan

vektor resultan dengan menghubungkan kedua ujung vektor tersebut.

b

a

c. Cara Jajaran Genjang

Untuk cara jajaran genjang, semua pangkal vektor-vektor yang akan

dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan

vektor bayangan masing-masing vektor. Selanjutnya gambarlah vektor

58

a

b

a

a

ba

c

b

rc

a

a

a

r

r = a + b

b

resultan dari titik tangkap ke perpotongan vektor bayangan. Perhatikan contoh

penjumlahan vektor secara jajaran genjang berikut ini.

b

a

Untuk vektor yang lebih dari dua; pertama kali tentukan a + b terlebih dahulu,

kemudian ( a + b ) + c, perhatikan contoh berikut ini.

2. Cara analitis.

Masing-masing vektor diuraikan menjadi komponen-komponen vektor searah sumbu x

dan sumbu y dari sistem koordinat Cartesius.

59

a

ba

c

ab

c

a

b

c a + b

bc

( a + b )+ c

a

r

r = a + b

b

→ → →

→ → →

Menurut

Bresnick

besar

Resultan

vektor dan arah ditentukan dengan :

VR = 22 )()( YX vv ∑+∑ Arah resultan : tg θ = ∑∑

v

vY

X

C. Vektor dalam Bidang Datar

Dengan mendefinisikan vektor satuan i dan j yang masing-masing searah sumbu X dan Y,

untuk vektor dua dimensi akan berlaku r = x i + y j . Misalnya posisi titik A pada

gambar 3 berikut ini.

Hal yang sama ditunjukkan pada gambar 4 dengan mendefinisikan tiga vektor i, j, k,

yang masing-masing sejajar dengan sumbu X. Y dan Z diperoleh r = x i + y j + z k.

Koordinat titik P(x, y, z) sebagai vektor tiga dimensi.

j

Gambar 3. Vektor Dua dimensi Gambar 4. Vektor Tiga Dimensi

1. Resultan Vektor-vektor dalam Bidang Datar 2 Dimensi (x,y)

a. Segaris

Vektor α v x = v cos α v y = v sin αv1

v2

v3

α1

α2

α3

v1 x = v cos α1

v2 x = v cos α2

v3 x = v cos α3

v1 y = v sin α1

v2 y = v sin α2

v3 y = v sin α3

∑v x = ................ ∑v y = ................

60

−

0 x

y

i

A (x, y)

→→

x

y

xx y

→i

ii

0

→ki

z

P (x, y, z)

z→i

1F

2F

21 FFr +=

1F

2F

)( 21 FFr −+=

1F

- 2F

- 2F

1F

b.Vektor yang membentuk sudut

Besar resultan vektor a dan b dirumuskan:

r

=

α = sudut apit antara vektor a dan b

Batas besar resultan yang mungkin antara vektor a dan b adalah:

| a - b | < r < a + b

Arah vektor terhadap vektor maupun vektor dapat ditentukan dengan rumus sinus

sebagai berikut: αsin

r =

1sin αa

= 2sin α

b

c. Pengurangan Vektor

Selisih antara vektor a dan b, besarnya dirumuskan:

r =

α = sudut apit antara vektor a dan b

2. Menguraikan vektor menjadi komponen-komponen menurut sb. X dan sb. Y

dalam satu bidang

61

a2 + b2 + 2ab.cos α

a2 + b2 – 2ab.cos α

α

Vx

Vy

Y

V

X

Suatu vektor v

dapat diuraikan menjadi vektor xv

dan yv

dimana masing-masing

menyatakan vektor komponen dalam arah sb. X dan sb. Y. Besarnya vektor komponen xv

dan yv

adalah : xv = v cos α dan yv = v sin α

v = yx vv 22 +

α = sudut apit antara v dan sumbu X positif

Apabila yang membentuk sudut terhadap sumbu X lebih dari satu vektor maka:

v = yx vv 22 Σ+Σ

Contoh soal:

1. Dua buah vektor F1 = 5 N, F2 = 12 N membentuk sudut θ = 600, maka tentukan

resultan dari F1 + F2

Jawab :

R =

R = 60cos.12.5.2135 22 ++

R = 5,0.12.5.216925 ++ = 254 = 15,94

2. Tentukan besar komponen gaya sumbu X dan Y

Jawab

Fx = F cos θ = 60 cos 60° = 60 x 0,5 = 30 N

Fy = F sin θ = 60 sin 60° = 60 x 0,5 3 = 30 3 N

3. Tentukan besar dan arah vektor yang memiliki komponen-komponen sebagai berikut :

a. Ax = 3 cm, Ay = 4 cmb. Fx = -3 N, Fy = 3 N

Jawab:

62

600

Fx

Fy

F=60N

Y

F12 + F2

2 + 2F1F2.cos θ

a. A = = 243 + = 5

tg θ = x

y

A

A =

3

4 (kuadran I) → θ = 530

b. F = = ( ) ( ) 22 33 +− = 12

tg θ = x

y

F

F =

3

3

− (kuadrat II) → θ = 1500

4. Hitunglah resultan gaya pada gambar di samping secara analitis!

Mengetahui: F1 = 40 N F2 = 60 N F3 = 30 N

Jawab:

Rx = F1 cos θ° + F2 cos (120°) + F3 cos (240°)

= 40 . 1 + 60 . - 0,5 + 30 . – 0,5

= 40 - 30 – 15 = - 5

Ry = F1 sin θ° + F2 sin (120°) + F3 sin (240°)

= 40 . 0 + 60 . 0,5 + 30 . – 0,5

= 0 + 30 – 15 = 15

R = = 22 155 +− = 250 = 15,81

TugasKerjakan jawabannya di buku tugasmu!

1. Dua buah gaya searah dan satu garis kerja bekerja pada sebuah benda. Masing-

masing gaya besarnya 50 N dan 20 N. Tentukan besar resultan gaya yang bekerja

pada benda itu !

2. Bagaimanakah menggambarkan gaya 8 N ke arah barat diteruskan gaya 6 N ke

arah selatan secara vektor? Berapakah resultannya ?

3. Tentukan resultan gaya-gaya yang saling tegak lurus seperti ditunjukkan gambar

di bawah ini. Masing-masing gaya besarnya 20 N dan 50 N.

63

F3

300

600

F2

F1

Ax2 + Ay

2

…

Fx2 + Fy

2

Rx2 – Ry

2

4. Dua buah vektor F1 dan F2 saling membentuk sudut 120o. F1 = 50 N dan

membentuk sudut 30o dengan Resultan kedua vektor, Hitunglah besar F2 dan R.

3.Vektor Pada Sistem Koordinat Ruang ( x, y, z )

Telah kamu lihat bagaimana suatu vektor diuraikan atas komponen-komponen pada

sumbu x dan sumbu y. Untuk vektor yang terletak dalam ruang (3 dimensi), maka vektor

dapat diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x, y dan z.

α, β, γ = masing-masing sudut antara vektor A

dengan sumbu-sumbu x, y dan z

A = A x + A y + A z

atau

A = Ax i + Ayj + Az k

Ax = A cos αAy = A cos β

Az = A cos γ

Besaran vektor A

222 ////// ZYX AAAA ++=

dan i , j , k masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z

4. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu.

a. Penjumlahan Vektor Satuan

1=== kji

64

kz

ij

y

x

Untuk bidang dimensi 2 v = vx jvi y

+ →

Untuk bidang dimensi 3 v = vx kvjvi zy

++ →

Contoh:a = 4 i

+2 j

- k

a + b = ( 4i +2 j - k ) + ( i - j +2 k )

b = i

- j

+ 2 k

= (4 + 1)i + (2 -1)j + (-1 + 2)k

= 5 i

+ j

+ k

b. Perkalian Vektor Satuan

Perkalian titik (dot product)

Arah sumbu x = i

Arah sumbu y = j

Arah sumbu z = k

besar 1=== kji

satuan

Perkalian titik 2 vektor satuan sejenis Perkalian titik 2 vektor satuan lain jenis i

. i

= i . i cos θ i

. j

= i . j cos θ = 1 . 1 cos 0 = 1 . 1 cos 90

= 1 . 1 . 1 = 1 satuan = 1 . 1 . 0 = 0 satuan j

. j

= 1 j

. k

= 0

k

. k

= 1 i

. k

= 0

Jika vektor a diuraikan menjadi vektor proyeksinya

Vektor satuan → a

= a

xi + a

yj + a

zk

Besar → a

=

Arah → tg α =

Perkalian dot vektor a

dengan vektorb

a

. b

= a

xi + b

yj → [ a

] =

[b

] =

a

. b

= [ a

][b

]cos α

65

kz

ij

y

x

αa

yj

0

a

Xa

xi

Y

ax 2 + ay 2 + az 2

bx 2 + by 2 + bz 2

ax 2 + ay 2 + az 2

a y

a x

cos α =

Contoh 1: a

= i

+ 2 j

- 3 k

a

. b

= ( i

+ 2 j

- 3k ) . ( -2 i

+ 5 j

- k

)

b

= -3 i

+ 2 j

– k

= ( 1 )( -2) + ( 2)(5) + ( -3 )( -1)

= ( -2 ) + ( 10 ) + (3 ) = 11Contoh 2: Dua vektor p = 3 i

- 4 j

dan q = 4 i

-3 j

Hitung: a. p . q b. sudut apit antara p dan q

Jawab:a. p . q = (3 i

- 4 j

) . ( 4 i

-3 j

)

= ( 3 )( 4 ) + ( -4 )( -3 ) = ( 12 ) + ( 12 ) = 24

b. p = 22 43 −+ = 5

q = 22 34 −+ = 5

bila sudut apit antara p dan q adalah θ, maka

p . q = p q cos θ

cos θ = qp

qp

.

.

= 55

24

x =

25

24 = 0,96

θ = 16,26°

Perkalian silang (cross product)

- Perkalian silang 2 vektor satuan sejenis - Perkalian silang 2 vektor satuan lain jenis

i

x i

= 1 x 1 sin θ j

x j

= 0 j

x j

= - k

i

x j

= k

66

α

a

b-c

c

j i

k

(+ (-)

a . b

[ a ][ b ]

= 1 x 1 sin 0 k

x k

= 0 i

x k

= - j

j

x k

= i

= 1 x 1 x 0 = 0 satuan k

x j

= - i

k

x i

= j

Memakai Determinan

Contoh:

a

= 2 i

+ 3 j

+ -4 k

dan b

= 3 i

-4 j

+ 2 k

a

x b

= i

(3)(2) + j

(-4)(3) + k

(2)(4)

- k

(3)(3) - i

(-4)(-4) - j

(2)(2)

= 6 i

+ (-12) j

+ 8 k

- 9 k

+ 8 i

- 4 j

= 14 i

- 16 j

- k

Besar a

x b

= | a x b | = 222 11614 −− = 59

Memakai Cara Praktis

a

= x i

+ y j

+ z k

b

= p i

+ q j

+ r k

= (y.r – q.z) i

+ (z.p –x.r) j

+ (x.q – y.p) k

Contoh:

a

= i

+ 2 j

-3 k

dan b

= -3 i

+ 2 j

+ k

Jawab:

= (2.1 – 2. -3) i

+(-3.-3 - 1.1) j

+ (1.2 – 2. -3) k

= 8 i

+ 8 j

+ 8 k

Tugas

Kerjakan penyelesaian soal-soal berikut di buku tugasmu!

1. Dua vektor A = 3 i + 4 j

B = - i + j

a. Tentukan besar dan arah resultannya!

b. Tentukan besar dan arah A - B

c. Sudut antara A dan B

67

a x b = i23

j3-4

k-42

i23

j3-4

- 9k 16i 4j 6i -12j 8k

a x b = ixp

jyq

kzr

ixp

jyq

a x b = i1-3

j22

k-31

i1-3

j22

2. Diketahui vektor- vektor:

A = 3 i + 4 j -5 k dan

B = - i + j + 2 k

Tentukan :

a. Besar resultannya.

b. Hal yang sama bagi selisih A - B, dan

c. Sudut antara A dan B

3. Diketahui: A = 2 i + 3 j

B = - i + j

Hitunglah : a. A – B

b. A x B

c. Sudut antara A dan B

Kegiatan Percobaan

A. Judul Percobaan : Penjumlahan Vektor

B. Petunjuk Belajar : 1. Baca literatur yang berkaitan dengan vektor

2. Baca teori sebelum melakukan percobaan

3. Baca petunjuk percobaan sesuai dengan urutan langkah

yang disajikan

4. Buatlah laporan hasil pekerjaan (tugas individual) dan

kumpulkan kepada guru.

C. Alat-alat dan Bahan : 1. pegas Newton 4. bensin2. mikrometer sekrup 5. kertas HVS3. neraca 8. katrol dan beban

D. Informasi

1. Vektor adalah besaran fisika yang memiliki nilai dan arah

68

Tanggal/Jam :Kelas/ Smt : X/IKelompok : 1. ......................... 5 ............................2. ......................... 6. ............................

2. Contoh-contoh besaran vektor adalah gaya, kecepatan, arus listrik, percepatan,

dan lain-lain.

3. Nilai vektor ditentukan oleh panjang garis dan arah vektor ditentukan oleh arah

panah.

4. Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan

5. Hasil penjumlahan dapat bernilai lebih besar atau lebih kecil dari komponen

vektornya.

E. Langkah- langkah Kerja :

1. Sudut antara F1 dan F2 = 0 = 90° dan 60°

a. Susun alat bahan seperti gambar

b. Catat besarnya F1, F2 dan F3 yang

ditunjukkan ketiga neraca ke dalam tabel

c. Lakukan beberapa kali dengan F1 dan F2

yang berbeda-beda

0 = 90 0 0 = 60 0

No. F1 F2 F3 F3 No. F1 F2 F3 F3

F. Kesimpulan : ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Analisa

Lakukan analisa setiap persoalan berikut, dan buatlah penyelesaiannya, bila

dipandang perlu lakukan dengan perhitungan. Buatlah di buku tugasmu!

1. Siswa kelas XA kebingungan mendapatkan lima macam contoh besaran skalar dan lima

contoh besaran vektor. Coba, bantulah siswa tersebut mengatasi kebingungannya

2. Pada alat speedometer seorang sopir dapat membaca besaran yang diinginkan. Besaran

apakah yang dimaksud ?

3. Tentukan resultan vektor berikut secara grafis dengan A

69

a. Metode Poligon : A + B + C + D dan A - B

b. Metode Jajaran Genjang : A + B + C

c. Metode analitis A + B + C + D

B C D

4. Sebuah Perahu motor akan menyeberang sungai yang lebarnya 35 3 dengan

kecepatan arus air sungai 3 m/s . Jika kecepatan perahu untuk menyeberang 5

m/s.dengan arah 60° terhadap arah arus sungai. Maka tentukan :

a. Kecepataran resultan perahu motor ketika menyeberang sungai.

b. Lamanya perahu menyeberang.

5. Pada gambar disamping, Tentukan komponen y

vektor gaya F = 10 N menurut sumbu x dan y F

30°

x6. Jika masing-masing kotak berukuran ( 1x1) cm

Tentukan besar resultan vektor A + B

A

B

7. Usaha W didefinisikan sebagai perkalian titik dari vektor gaya F

dengan vektor

perpindahan r

. W = F

. r

Tentukan besarnya usaha W, jika

F

= i

+ 2 j

+ 3 k

N,

r

= 3 i

+ 2 j

+ k

m.

8. Suatu vektor gaya F

= i

+ 2 j

+ 3 k

N bekerja pada suatu poros dengan

lengan momen r

= 3 i

+ 2 j

+ k

m, sehingga menghasilkan momen gaya τ .

70

B

Momen gaya didefinisikan sebagai perkalian silang vektor gaya dengan vektor

lengan momen.

atau momen gaya τ = F x r

. Tentukan besarnya momen gaya τ tersebut.

9. Dua buah vektor F1 dan F2 saling membentuk sudut 120o. F1 = 50 N dan

membentuk sudut 30o dengan resultan kedua vektor, hitunglah besar F2 dan R.

10. Sebuah benda ditarik oleh dua buah gaya masing-masing besarnya 10 newton.

Kedua gaya itu membentuk sudut 600. Berapakah besar resultan kedua gaya

tersebut ?

Rangkuman

1. Besaran Skalar adalah besaran yang hanya ditentukan oleh besarnya atau nilainya

saja.

Contoh : panjang, massa, waktu, kelajuan, dan sebagainya.

2. Besaran Vektor adalah besaran yang selain ditentukan oleh besarnya atau nilainya,

juga ditentukan oleh arahnya.

Contoh : kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya.

3. Sifat-sifat vektor.

a. A−

+ B−

= B−

+ A−

Sifat komutatif.

b. A−

+ ( B−

+C−

) = ( A−

+ B−

) + C−

Sifat assosiatif.

c. a ( A−

+ B−

) = a A−

+ a B−

d. / A−

/ + / B−

/ ≥ / A−

+ B−

/

4. Resultan Dua Vektor

71

e. Cara Jajaran genjang

α = sudut antara A dan B

/ R−

/ = / / / / / / / / cosA B A B− − − −

+ +2 2 2 αarahnya :

/ /

sin

/ /

sin

/ /

sin

R A B− − −

= =α α α1 2

f. Cara Poligon

v R adalah resultan dari A , B dan C

g. Cara Analitis

Vektor sudut vx = v cos α vy = v sin α

V1 1α vx = v cos 1α vy = v sin 1α

V2 2α vx = v cos 2α vy = v sin 2α

V3 3α vx = v cos 3α vy = v sin 3α

.......=∑ vx .......=∑ vy

72

Resultan /v R / = ( ) ( )∑ + ∑v vX Y2 2

Arah resultan : tg =

∑∑

v

vY

X

5. Vektor Pada Sistem Koordinat Ruang ( x, y, z )

α , β ,γ = masing-masing sudut antara

vektor A dengan sumbu-sumbu x, y dan z

A = A x + A y + A z atau

A = / A x / i + / A y /j + / A z / k / A x / = A cos α / A y / = A cos β / A z / = A cos γ

Besar vektor A

A A A AX Y Z= + +/ / / / / /2 2 2

dan i , j , k masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z

6. Perkalian Vektor

a. Perkalian vektor dengan skalar.

Suatu vektor jika dikalikan dengan suatu besaran skalar maka hasilnya adalah

suatu vektor.

b. Perkalian vektor dengan vektor.

Dalam perkalian vektor dengan vektor, kita mengenal dua bentuk perkalian , yaitu :

1) Perkalian titik (Dot Product)

2) Perkalian silang (Cross Product)

73

7. Dalam Perkalian Titik antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh besaran

skalar.

Contoh : A • B = C

C besaran skalar yang besarnya C = / A / • / B / cos θ

dengan θ adalah sudut antara A dengan B

8. Dalam Perkalian Silang antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh

besaranvektor.

Contoh : A x B = C

C besaran skalar yang besarnya C = / A / x / B / sin θ

dengan θ adalah sudut antara A dengan B

Tugas Akhir Bab 2

Kerjakan penyelesaian permasalahan berikut di buku tugasmu!

1. Sebuah bola tenis dikenai tiga buah gaya seperti ditunjukkan pada gambar di

bawah ini. Buatlah pemisalan sendiri besar ketiga gaya yang bekerja pada bola

tenis. Menurut datamu, kemana arah resultan gayanya ? Kemana arah gerak bola

tenis tersebut ?

2. Carilah resultan gaya gambar di bawah ini dengan cara analitis !

74

3. Hitunglah resultan gaya dari gambar di samping ini !

4. Berapakah kecepatan resultan perahu boat dan berapa sudut simpangnya dari arah

sumbu +y ?

75

Info Tambahan

Sebuah program komputer yaitu Aplikasi Vektor telah diciptakan untuk

mempermudah pekerjaan manusia. Dengan program ini orang dapat bekerja

menggunakan berbagai kaidah vektor. Bahkan dapat pula digunakan untuk membuat

ilustrasi gedung misalnya. Hasilnya seperti pada gambar di bawah ini

Soal Latihan Akhir Bab 2

Soal Pilihan Ganda

Pilihlah salah satu jawaban yang benar

1. Jika vektor F1 = 8 N, vektor F2 = 6 N mempunyai titik tangkap sama membentuk sudut

60o, besarnya resulatan kedua vektor tesebut adalah …N

a 3 37 b. 2 37 c. 2 74 d. 4 37 e. 3 74

2. Berapa sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor gaya masing-masing 12 N dan 10 N

yang tertitik tangkap sama. Jika besar resultannya 2 31 adalah …

a 30o b. 450 c. 600 d. 1200 e. 1500

3. Dua buah vektor F1 = 9 N dan F2 = 24 N yang bertitik tangkap sama dan membentuk

sudut 600 . Berapakah besar selisih kedua vektor tersebut.

a 15 N b. 20 N c. 21 N d. 31 N e. 41 N

76

4. Perhatikan gambar percobaan vektor gaya resultan R = F1 + F2 dengan menggunakan 3

neraca pegas berikut ini.

1. 2. 3.. 5 N α 5 N 4 N α 3 N 8 N α 8 N

α α

5 N

5 N tg α = 3/4 8 N tgα = 3/4

yang sesuai dengan rumus vektor gaya resultan secara analitis adalah gambar…

a. 1, 2 dan 3 b. 1 c.1 dan 2 d. 1 dan 3 e. 2

5. Perhatikan diagram-diagram vektor berikut ini

C A A

A B C B B C (1) (2) (3)

C B A A (5)(4) B C

Diagram vektor di atas yang menunjukkan C = A – B adalah …

a. (1 ) b. (2) c. (3) d. (4) e. (5)

6. Dari tiga buah vektor gaya berikut ini, besarnya resultan gaya adalah ….N

a. 20 3 F2=20 N

b. 25 3 30o F1 = 30 N

c. 30 3 60o

d. 45e. 60 60o

F3 = 10 N

7. Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah

menurut r = (4 i + a j) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang

77

searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat Cartesian. Bila usaha itu bernilai 26

J maka nilai a sama dengan …

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 12

8. Dua buah vektor F1 dan F2 bertitik tangkap sama saling mengapit sudut A. Ternyata

dipenuhi [ F1 + F2] = [F1 – F2], maka besarnya sudut A adalah …..

a. 1800 b. 1200 c.900 d. 600 e. 00

9. Besar resultan gaya pada gambar di bawah ini adalah …

y F1 = 10 N

x F2 = 3 N F3 = 5 3 N

a. 8 N b. 6 N c. 5 N d. 3 N e. 2 N

10. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya

4 m/s. bila perahu di arahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s,

maka setelah sampai diseberang perahu telah menempuh lintasan sejauh …. meter

a. 100

b. 240

c. 300

d. 320

e. 360

11. Vektor F1 = 20 N berimpit sumbu x positif, Vektor F2 = 20 N bersudut 120O terhadap F1

dan F3 = 24 N bersudut 240 derajat terhadap F1.

Resultan ketiga gaya pada pernyataan di atas adalah :

a. 4 N searah F3

b. 4 N berlawan arah dengan F3

c. 10 N searah F3

d. 16 N searah F3

e. 16 N berlawanan arah dengan F3

12. Dua buah gaya bernilai 4 N dan 6 N. Resultan gaya tersebut tidak mungkin bernilai ….N

78

a. 1

b. 2

c. 4

d. 6

e. 10

13. Jika sebuah vektor dari 12 diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan

yang sebuah dari padanya membentuk sudut 30o dengan vektor itu, maka besar masing-

masing adalah :

a. 3 N dan 3 3 N

b. 3 N dan 3 2 N

c. 6 N dan 3 2 N

d. 6 N dan 6 2 N

e. 6 N dan 6 3 N

14. Dari hasil pengukuran di bawah ini yang termasuk vektor adalah …

a. Gaya, daya dan usaha

b. Gaya, berat dan massa

c. Perpindahan, laju dan kcepatan

d. Kecepatan, momentum dan berat

e. Percepatan, kecepatan dan daya

15. Dua buah vektor gaya masing-masing F1 = 10 N dan F2 = 10 N, Resultannya 10 N,

maka sudut apit kedua vektor tersebut adalah ….

a. 1200 b. 900 c. 600 d. 450 e. 300

Soal Uraian

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Dua vektor gaya A dan B saling mengapit sudut 1200. Resultan yang terbentuk

membentuk sudut 600 terhadap vektor A. Tentukan besarnya vektor A dan B, bila resultan

kedua vektor tersebut 20 N !

79

2. Dua vektor setitik tangkap F1 mendatar yang besarnya 10 N. Sudut antara resultan R

dengan F2 = 30°. Jika besar resultan vektor tersebut 310 newton, maka tentukan:

a. sudut antara F1 dan F2

b. sudut antara F1 dan R

c. besarnya F2

3. Lima gaya pada bidang datar setitik tangkap masing-masing besarnya sama dengan 10 N.

Vektor – vektor tesebut terhadap sumbu X positif membentuk sudut 30°, 60°, 210°, 240°,

dan 330°. Tentukan besar resultan dan arahnya terhadap sumbu X positif!

4. Lima buah gaya tersusun seperti pada

gambar.

Tentukan:

a. Harga resultan dari gaya-gaya itu

b. Arah resultan terhadap sumbu X

positif

c. Memakai cara apakah menurutmu yang paling kamu sukai ?

5. Isilah titik-titik berikut ini untuk :

A B R

a. 8 satuan 4 3 satuan 300 ...............

b. 6 satuan 2 2 satuan 450 ...............

c. 5 satuan 10 satuan 600 ...............

d. 3 satuan 4 satuan 900 ...............

6. Dua vektor dari 4 satuan dan 3 satuan yang bertitik tangkap di suatu titik, menghasilkan

vektor resultan sebesar 37 satuan. Hitunglah sudut yang di bentuk oleh kedua vektor

tersebut.

7. Sebuah perahu bergerak arah utara dengan kecepatan 12 km/jam mendapat dorongan dari

angin arahnya ke barat dengan kecepatan 5 km/jam. Tentukan kecepatan perahu dan

arahnya

8. Dari titik A, Badu berjalan menuju arah Timur sejauh 5 km sampai di titik B dan

melanjutkan perjalanannya dengan arah Utara sejauh 10 km sampai di titik C. Berapakah

jarak AC ?

80

9. Dua buah vektor v1 = 2 12 satuan dan v2 = a satuan bertitik tangkap pada suatu titik. Jika

jumlah kedua vektor itu 6 12 satuan, dan membentuk sudut 600. Berapa nilai a?

10. Tiga buah vektor bertitik tangkap sama dan sebidang. v1 = 16 satuan; v2 = 8 satuan. Sudut

antara v1 dan v2 adalah 1200. Jika resultan ketiga vektor tersebut adalah nol. Berapakah

besarnya v3 dan berapa besar sudut yang dibentuk oleh v1 dan v3 ?

11. Gambarkan :

a. A + B - 3 C

b. 2C - 12 ( 2 B - A )

12. Empat buah vektor bertitik tangkap di titik 0 pada susunan salib sumbu Cartesius. v1

berimpit dengan sumbu x+ besarnya 3 satuan v2 membentuk sudut 450 dengan sumbu x+

besarnya 4 satuan, v3 besarnya 5 satuan dan membentuk sudut 1500 dengan sumbu x+ dan

v4 besarnya 6 satuan, membentuk sudut 2400 dengan sumbu x+. Gambarkan resultan

keempat gaya tersebut dan hitung besarnya. (v6 = 2,45 ; v3 = 1,73 ; v2 = 1,41)

13. Lima buah vektor bertitik tangkap di 0 pada koordonat kartesius. Sudut yang dibentuk

oleh masing-masing vektor dengan sumbu x+ serta besar vektor tersebut adalah sebagai

berikut :

v1 450 14 satuan

v2 600 20 satuan

v3 1800 18 satuan

v4 2100 30 satuan

v5 3000 16 satuan

Tentukan resultan dari kelima vektor tersebut.

14. Dua buah gaya F1 dan F2 saling membentuk sudut 600. Resultan kedua gaya tersebut 28

N. Jika F1 : F2 = 5 : 3 maka berapa besar masing-masing F1 dan F2 tersebut?

15. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 bertitik tangkap sama masing-masing sebesar 8 N dan 3

N saling mengapit sudut 600, tentukan selisih kedua vektor gaya tersebut !

81

16. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 saling membentuk sudut 1200 akan memberikan

resultan = 25 N. Jika sudut antara F1 dengan resultan gaya adalah 600. Tentukan besar

vektor gaya F1 dan F2 !

17. Sebuah titik A ( 0,4 ) dan sebuah titik B ( 3,4 ) pada sisitem koordinat cartesius. Jika a

= OA dan b = OB, maka carilah :

a. Besar vektor a

b. Besar vektor b

c. Besar penjumlahan vektor a dan b

d. Besar pengurangan vektor a dan b

18. Tiga gaya K1, K2 dan K3 bekerja pada sebuah titik dan besar K1 = 10 N, K2 = 5N dan

K3 = 5V3. Jika sudut K1 = 00 terhadap sumbu x ; K2 = 1200 terhadap K1 ; K3 = 900

terhadap K2. Berapa besar resultan ketiga gaya tersebut.

19. Dua buah vektor A = 2 i + 3 j + 4 k dan B = i - 2 j + 3 k

a. Tentukan besar tiap vektor.

b. Tulis pernyataan untuk jumlah vektor A+B dengan menggunakan vektor satuan.

c. Tentukan besar dan arah jumlah vektor A+B

d. Tulis pernyataan untuk selisih vektor A-B dengan menggunakan vektor-vektor

satuan.

e. Tentukan besar dan arah selisih vektor A-B

f. Tentukan A • B

g. Tentukan A x B

20. Tentukan sudut apit antara vektor a = 2 i + 3 j + 4 k dan B = - i - 2 j + 2 k !

82

Glosarium

• Cara Analitis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menyatukan semua

vektor dalam satu titik tangkap di pangkal koordinat dan menguraikannya

menjadi komponen mendatar dan vertikal. Kemudian menghitung resultannya

dengan teorema pithagoras.

• Cara Grafis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menggambarkan

kemudian mengukur atau menghitung resultannya.

• Cara Jajaran Genjang = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektor-

vektor pada satu titik tangkap dan membuat vektor-bayangannya. Kemudian

menghubungkan titik tangkap dengan perpotongan bayangan itu.

• Cara Poligon = salah satu cara grafis denganmempertemukan ujung dan

pangkal tiap-tiap vektor. Kemudian menghubungkan pangkal mula-mula

dengan ujung vektor akhir .

• Cara Segitiga = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektor-vektor

pada satu titik tangkap, dan menghubungkan ujung-ujung kedua vektor.

• Perkalian Silang (cross product) = cara perkalian vektor-vektor yang

menghasilkan bentuk vektor.

• Perkalian Titik (dot product) = cara perkalian vektor-vektor yang

menghasilkan bentuk skalar.

• Resultan vektor = penjumlahan vektor-vektor.

• Skalar = besaran yang hanya memiliki arah.

• Titik Tangkap = titik pertemuan pangkal vektor-vektor.

• Vektor = besaran yang memiliki besar dan arah.

• Vektor Satuan = vektor yang besarnya satu meliputi i, j, k.

Indeks Subjeks Halaman

83

• Analitis 59

• Determinan 66

• Grafis 57

• Jajaran Genjang 58

• Perkalian Cross 66

• Perkalian Titik 64

• Poligon 57

• Resultan 58

• Segitiga 58

• Vektor 56

• Vektor Satuan 64

Indeks Author Halaman

• Alonso & Finn 57

• Bresnick 59

Daftar Pustaka

Alonso, Marcelo & Edward J. Finn (1992), Dasar-dasar Fisika Universitas, Edisi Kedua, Jakarta, Penerbit Erlangga.

Bresnick, Stephen D. (2002), Intisari Fisika, Jakarta, Hipokrates.

84