FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I

ROSYID ADRIANTO

Departemen FisikaUniversitas Airlangga, SurabayaE-mail address, P. Carlson: i an cakep@yahoo.co.idURL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com

Puji syukur atas kehadirat Allah swt yang telah melimpahkan rahmat danhidayah-Nya sehingga dapat diterbitkannya buku ”FISIKA UNTUK

UNIVERSITAS JILID I” ini.

Ringkasan. Buku Fisika untuk Universitas Jilid I ini diterbitkan untuk me-

nunjang materi kuliah Rosyid Adrianto, S.Si., di kelas.

Daftar Isi

Bab 1. Pengukuran dan Vektor 11. Besaran dan Dimensi 1

Bab 2. Kinematika 31. Gerak Satu Dimensi 3

Bab 3. Hukum I Newton 51. Hukum Pertama Newton : Hukum Kelembaman 52. Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton 5

Bab 4. Hukum II Newton 71. Gesekan 7

Bab 5. Kerja dan Energi 91. Kerja oleh Gaya yang Konstan 92. Kerja karena gaya yang berubah 10

Bab 6. Sistem Partikel dan Kekekalan Momentum 131. Daya 132. Pusat Massa 143. Gerakan Pusat Massa Suatu Sistem 164. Kekekalan Momentum 165. Impuls 186. Soal Latihan 19

Bibliografi 23

iii

BAB 1

Pengukuran dan Vektor

Fisika adalah ilmu yang mempelajari keadaan dan sifat-sifat benda serta pe-rubahannya, mempelajari gejala-gejala alam serta hubungan antara satu gejaladengan gejala lainnya. Fisika berhubungan dengan materi dan energi, denganhukum-hukum yang mengatur gerakan partikel dan gelombang, dengan interaksiantar partikel, dan dengan sifat-sifat molekul, atom dan inti atom, dan dengansistem-sistem berskala lebih besar seperti gas, zat cair, dan zat padat. Beberapaorang menganggap fisika sebagai sains atau ilmu pengetahuan paling fundamentalkarena merupakan dasar dari semua bidang sains yang lain [5].

Dalam bidang sains dan teknologi sering kali dilakukan riset-riset yang tidaklepas dari berbagai macam pengukuran yang memerlukan beberapa macam alatukur. Dalam pengukuran ini sering melibatkan besaran-besaran penting yangmemiliki satuan dan dimensi. Besaran-besaran dalam fisika tidak hanya memi-liki satuan melainkan ada beberapa di antaranya yang memiliki arah. Besaran fisisyang memiliki satuan dan arah disebut besaran vektor.

Oleh sebab itu, dalam bab ini dibahas beberapa macam besaran beserta sat-uan dan dimensinya. Selain itu, dibahas pula beberapa macam alat ukur besertapenggunaannya dan analisis matematika suatu vektor.

1. Besaran dan Dimensi

Besaran adalah keadaan dan sifat-sifat benda yang dapat diukur. Besaran fisikadibedakan menjadi dua yaitu besaran pokok dan besaran turunan.

1.1. Besaran pokok. Besaran pokok adalah besaran yang paling sederhanayang tidak dapat dinyatakan dengan besaran lain yang lebih sederhana. Dalam fisi-ka dikenal tujuh macam besaran pokok yaitu panjang, massa, waktu, arus listrik,suhu, jumlah zat dan intensitas cahaya. Untuk memudahkan pernyataan suatu be-saran dengan besaran pokok, dinyatakan suatu simbol yang disebut dimensi. Untukbesaran pokok mekanika (panjang, massa, dan waktu) berturut-turut mempunyaidimensi [L], [M], dan [T]. Besaran pokok ini hanya memiliki besar dan tidak memi-liki arah. Tabel 1 menunjukkan satuan, simbol dan dimensi dari besaran pokok.

1.2. Besaran turunan. Besaran turunan adalah besaran yang dapat ataubisa diturunkan dari besaran pokok. Besaran turunan ini memiliki besar dan arah.

1

2 1. PENGUKURAN DAN VEKTOR

Tabel 1. Besaran turunan

Besaran Fisika Satuan Simbol DimensiPanjang meter m LMassa kilogram kg MWaktu sekon s TArus listrik ampere A ISuhu termodinamika kelvin K θJumlah zat mol mol NIntensitas cahaya kandela cd J

BAB 2

Kinematika

Gambaran mengenai gerakan benda merupakan bagian yang penting dalampenggambaran alam semesta secara fisis. Masalah ini merupakan inti pengemban-gan sains dari Aristoteles hingga Galileo. Hukum tentang pergerakan benda-bendayang jatuh telah dikembangkan jauh sebelum Newton mengemukakan gagasannyatentang benda-benda jatuh. Salah satu fenomena ilmiah pada masa awal adalahmempersoalkan gerakan matahari melintasi langit dan gerak revolusi planet sertabintang. Keberhasilan mekanika newton adalah penemuan bahwa gerakan bumidan planet-planet lain mengelilingi matahari dapat dijelaskan lewat gaya tarik an-tara matahari dan planet-planet itu.

1. Gerak Satu Dimensi

Kita akan mulai dengan benda-benda yang posisinya dapat digambarkan den-gan menentukan posisi satu titik agar pembahasan tentang gerak dapat dipaha-mi secara mudah. Benda semacam itu dinamakan partikel. Sebagai contoh, ki-ta anggap bumi sebagai partikel yang bergerak mengelilingi matahari dalam lin-tasan yang menyerupai lingkaran. Dalam kasus itu, kita hanya fokus terhadapgerakan pusat bumi, sehingga ukuran bumi dan rotasinya dapat diabaikan. Dalambidang astronomi, keseluruhan tata surya atau bahkan seluruh galaksi kadang-kadang diperlakukan sebagai partikel. Jika kita menganalisis rotasi atau strukturinternal sebuah benda maka kita tidak dapat lagi memperlakukannya sebagai se-buah partikel tunggal. Akan tetapi, materi kita tentang gerakan partikel tetapberguna, bahkan untuk kasus yang kompleks sekali pun, karena setiap benda dapatdianggap sebagai kumpulan atau ”sistem partikel”.

1.1. Kelajuan, Perpindahan, dan Kecepatan. Kelajuan rata-rata par-tikel disefinisikan sebagai perbandingan jarak total yang ditempuh terhadap waktutotal yang dibutuhkan:

Kelajuan rata-rata =jarak totalwaktu total

.

Satuan SI kelajuan rata-rata adalah meter per sekon (M/s), dan satuan yang bi-asanya dipakai di Amerika adalah feet per sekon (ft/s). Secara internasional, satuanyang lebih umum adalah kilometer per jam km/jam.

Konsep kecepatan serupa dengan konsep kelajuan akan tetapi berbeda karenakecepatan mencakup arah gerakan. Agar dapat memahami konsep ini, terlebihdahulu kita bahas konsep perpindahan. Pertama, kita buat sistem koordinat den-gan memilih titik acuan pada sebuah garis untuk titik asal O. Untuk tiap titik lainpada garis itu kita tetapkan sebuah bilangan x yang menunjukkan seberapa jauh-nya titik itu dari titik asal. Tanda x bergantung pada posisi relatifnya terhadap

3

4 2. KINEMATIKA

titik asal O. Kesepakatan yang biasa digunakan adalah titik-titik di kanan titikasal diberi nilai positif dan titik-titik di kiri diberi nilai negatif.

Sebagai contoh, ada sebuah mobil yang berada pada posisi x1 saat t1 dan padaposisi x2 saat t2. Perubahan posisi mobil (x2−X1) dinamakan perpindahan. Dalamfisika biasanya ditulis : ∆x = x2 − x1.

Sementara kecepatan adalah laju perubahan posisi. Kecepatan rata-rata par-tikel didefinisikan sebagai perbandingan antara perpindahan ∆x dan selang waktu∆t:

vrata-rata =∆x∆t

=x2 − x1

t2 − t1.

BAB 3

Hukum I Newton

Mekanika klasik atau mekanika Newton adalah teori tentang gerak yang di-dasarkan pada konsep massa dan gaya serta hukum - hukum yang menghubungkankonsep - konsep fisis ini dengan besaran kinematika (perpindahan, kecepatan, danpercepatan) yang telah dibahas sebelumnya. Semua gejala mekanika klasik dapatdigambarkan dengan menggunakan tiga hukum sederhana yang dinamakan hukumNewton tentang gerak. Hukum Newton menghubungkan percepatan sebuah bendadengan massanya dan gaya - gaya yang bekerja padanya [1].

Hukum - hukum Newton• Hukum I. ”Benda berada pada kondisi tetap seperti keadaan awal-

nya yang diam atau bergerak dengan kecepatan sama (kecuali jika bendadipengaruhi oleh gaya yang tidak seimbang atau gaya eksternal neto) pa-da kerangka acuan yang tetap seperti keadaan awalnya pula (diam ataubergerak dengan kecepatan sama)”.

Gaya neto yang bekerja pada sebuah benda disebut juga gaya resultanyaitu jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada benda:

Fneto =∑F .

Sementara pada hukum pertama ini besar gaya resultan adalah nol(∑F = 0).

• Hukum II. ”Percepatan sebuah benda berbanding terbalik dengan mas-sanya dan sebanding dengan gaya eksternal neto yang bekerja”:

a =Fneto

m, atau

∑F = ma

• Hukum III. ”Gaya - gaya selalu terjadi berpasangan. Jika benda Amemberikan gaya pada benda , gaya yang besarnya sama tetapi arahnyaberlawanan diberikan oleh benda B kepada benda A (Faksi = −Freaksi)”.

1. Hukum Pertama Newton : Hukum Kelembaman

Hukum pertama Newton menyatakan bahwa sebuah benda dalam keadaan di-am atau bergerak dengan kecepatan konstan akan tetap diam atau terus bergerakdengan kecepatan konstan kecuali ada gaya eksternal yang bekerja pada bendaitu. Kecenderungan ini digambarkan dengan mengatakan bahwa benda mempun-yai kelembaman. Sehubungan dengan itu, hukum pertama Newton sering disebutdengan hukum kelembaman.

2. Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton

Hukum pertama dan kedua Newton dapat dianggap sebagai definisi gaya. Gayaadalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda mengubahkecepatannya (dipercepat atau diperlambat). Arah gaya adalah arah percepatan

5

6 3. HUKUM I NEWTON

yang disebabkannya jika gaya itu merupakan satu - satunya gaya yang bekerjapada benda tersebut. Besarnya gaya adalah hasil kali massa benda dan besarnyapercepatan yang dihasilkan gaya.

Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda yang mengukur resistansinya ter-hadap percepatan. Jika gaya F dikerjakan pada benda bermassa m1, dan meng-hasilkan percepatan a1, maka F = m1 a1. Jika gaya yang sama dikerjakan padabenda kedua yang massanya m2, dan menghasilkan suatu percepatan a2, makaF = m2 a2. Dengan menggabungkan persamaan - persamaan ini didapatkan

F = m1 a1 = m2 a2

atau

(2.1)m2

m1=a1

a2

Benda standar internasional adalah sebuah silinder campuran platinum yangdisimpan di Bureau of Weights and Measures di Severes, Perancis. Satuan SIuntuk massa benda adalah 1 kilogram. Gaya yang diperlukan untuk menghasilkanpercepatan 1 m/s2 pada benda standar adalah 1 newton (N).

BAB 4

Hukum II Newton

Bab keempat ini membahas penggunaan hukum Newton pada contoh kasuskehidupan sehari - hari yang lebih nyata. Bab ini juga membahas secara singkatgerakan benda yang dipengaruhi gaya hambat, yang tidak konstan tetapi bergan-tung pada kecepatan benda. Oleh sebab itu, diperlukan suatu kemampuan untukmendekati persoalan yang diawali dengan membuat gambar dan kemudian menun-jukkan gaya - gaya penting yang bekerja pada tiap benda dalam diagram bendabebas.

1. Gesekan

Jika Anda ingin memindahkan lemari pakaian besar yang diam di atas lantaidengan gaya horizontal yang kecil, maka mungkin saja lemari itu tidak bergeraksama sekali. Mengap ini terjadi? Alasannya sederhana yaitu karena lantai ju-ga melakukan gaya horizontal terhadap lemari yang dinamakan gaya gesek statisfs. Gaya gesek ini disebabkan oleh ikatan molekul - molekul lemari dan lantaidi daerah terjadinya kontak yang sangat erat antara kedua permukaan. Gaya iniberlawanan arah dengan gaya luar yang dikerjakan. Gaya gesek statis agak miripdengan gaya pendukung yang dapat menyesuaikan dari nol sampai suatu gaya mak-simum fs,maks, bergantung seberapa kuat Anda mendorong. Jika kotak meluncur,ikatan molekuler secara terus - menerus dibentuk dan dipecah, sementara poton-gan - potongan kecil permukaan berpecahan. Hasilnya adalah sebuah gaya gesekkinetik fk (gesekan luncuran) yang melawan gerakan. Untuk mempertahankan ko-tak agar meluncur dengan kecepatan konstan, Anda harus mengerjakan gaya yangsama besar dan berlawanan arah dengan gaya gesek kinetik ini.

Mari kita lanjutkan contoh kasus di atas. Misalkan lemari yang Anda pin-dahkan tadi bermassa 10 kg dengan luas sisi 1 m2 dan luas ujun 20 cm2. Jikalemari berada dengan sisinya di atas lantai, hanya sebagian kecil dari total 1 m2

yang benar - benar dalam kontak mikroskopik dengan lantai. Jika lemari ditem-patkan dengan ujungnya di atas lantai, bagian luas total yang benar - benar dalamkontak mikroskopik bertambah dengan faktor 50 karena gaya normal per satuanluas 50 kali lebih besar. Namun, karena luas ujung adalah seperlima puluh luassisi, maka luas kontak mikroskopik yang sesungguhnya tidak berubah. Jadi gayagesekan statis maksimum fs,maks sebanding dengan gaya normal antara permukaan- permukaan :

fs,maks = µs Fn ,

dengan µs dinamakan koefisien gesek statis. Koefisien gesek statis ini bergantungpada sifat permukaan lemari dan lantai. Jika Anda mengerjakan gaya horizontalyang lebih kecil dari fs,maks pada lemari maka gaya gesek akan tepat mengimbangigaya yang Anda kerjakan pada lemari tersebut. Sera matematis, dapat kita tulis

7

8 4. HUKUM II NEWTON

sebagai berikut:

(1.1) fs,maks ≤ µs Fn .

Selain itu, gaya gesek kinetik juga berlawanan arah dengan arah gerakan.Seperti gaya gesek statis, gaya gesek kinetik merupakan gejala yang kompleks dansulit untuk dimengerti secara utuh. Koefisien gesek kinetik µk didefinisikansebagai rasio antara besar gaya gesek kinetik fk dan gaya normal Fn atau kita tulissebagai berikut:

(1.2) fk = µkFn .

Secara eksperimen dibuktikan bahwa:(1) µk lebih kecil dari µs

(2) µk bergantung pada kelajuan relatif permukaan, akan tetapi untuk kela-juan sekitar 1 cm/s hingga beberapa meter per sekon µk hampir konstan

(3) µk (seperti µs) bergantung pada sifat permukaan - permukaan yang ber-sentuhan akan tetapi tidak bergantung pada luas kontak (makroskopik)

BAB 5

Kerja dan Energi

Pada bab ini dibahas dua konsep penting dalam mekanika yaitu kerja danenergi. Istilah kerja hanya digunakan dalam arti yang khusus. Pada setiap kerjaselalu terdapat dua hal sekaligus, yaitu gaya dan perpindahan.

Bab ini juga membahas beberapa macam bentuk energi pada bidang mekanika.Selain itu, juga diberikan beberapa latihan soal yang melibatkan konsep hukumkekekalan energi.

Ada beberapa macam bentuk energi dalam kehidupan sehari - hari. Beberapamacam bentuk energi seperti energi gerak, energi listrik, energi magnet, energicahaya, energi kimia, energi nuklir, energi radiasi, energi termal, energi kosmikdan masih banyak lagi. Akan tetapi kita tidak bisa menciptakan beberapa energitersebut melainkan kita hanya bisa mengubah suatu bentuk energi ke bentuk energiyang lain.

1. Kerja oleh Gaya yang Konstan

Pada Sebuah benda bekerja sebuah gaya F yang konstan dan benda tersebutbergerak lurus dalam arah gaya. Sehingga kerja yang dilakukan oleh gaya terhadapbenda dapat didefinisikan perkalian skalar besar gaya F dengan jarak perpindahanyang ditempuh benda s. Secara matematis ditulis sebagai

(1.1) W = F · s

Jika gaya konstan yang bekerja pada benda tidak searah dengan arah gerak benda(lihat Gambar 1), maka gaya yang dilakukan terhadap benda merupakan perkaliankomponen gaya ke arah gerak benda dengan jarak perpindahan yang ditempuhbenda s. Secara matematis ditulis sebagai

(1.2) W = F cos(θ) · s

Gambar 1. Benda yang ditarik dengan gaya F .

9

10 5. KERJA DAN ENERGI

Gambar 2. Gaya yang berarah vertikal pada benda yang bergerak melingkar.

Jika sudut θ = 90o maka gaya tidak memiliki komponen ke arah horizontalsehingga benda mengalami gerakan ke atas. Contoh dari gaya ini ditunjukkanpada Gambar 2 yaitu tegangan tali pada arah vertikal yang bekerja pada bendayang melakukan gerak melingkar. Satuan dari kerja secara internasional adalahJoule

Contoh Soal E.1Sebuah balok dengan massa 10 kg dinaikkan sepanjang bidang miring dari

dasar sampai ke puncak sejauh 5 meter. Jika puncak memiliki tinggi 3 meter danaumsikan permukaan licin maka hitung kerja yang harus dilakukan oleh gaya yangsejajar dengan bidang miring untuk mendorong balok ke atas dengan kelajuankonstan (θ = 37o).

JAWAB :Karena gerak benda merupakan gerak lurus yang beraturan dengan kelajuan

konstan maka resultan gaya yang bekerja adalah∑F = 0

F −mg sin(θ) = 0F = mg sin(θ)

= (10 kg)(9, 81 m/s2)(

35

)= 58, 86 N

Kerja yang dilakukan oleh gaya adalah

W = F · s= (58, 86 N)( m) = 294, 3 J

Nilai ini akan sama dengan nilai kerja jika benda tidak melewati bidang miring

2. Kerja karena gaya yang berubah

Agar memudahkan dalam menganalisis kerja yang dilakukan oleh gaya yangtidak konstan, akan ditinjau gaya yang berubah hanya besarnya saja. Misal gayabervariasi terhadap posisi F (x) dan arah gaya searah dengan arah gerak x makakerja yang dilakukan oleh gaya berubah dari x1 sampai dengan x2 dapat dihitungcara sebagai berikut.

BAB 6

Sistem Partikel dan Kekekalan Momentum

Dalam bab ini, kita akan meninjau benda yang besar sebagai sistem partikel -partikel titik dan menganggap bahwa hukum Newton berlaku untuk tiap partikel.Akan ditunjukkan bahwa ada satu titik dalam sistem yang disebut pusat massa,yang bergerak seakan - akan massa sistem terpusat di titik itu. Gerakan setiapbenda atau sistem partikel dapat dianggap sebagai gerakan pusat massa ditambahgerakan masing - masing partikel dalam sistem relatif terhadap pusat massa. Untukmateri pertama akan dibahas tentang daya.

1. Daya

Daya adalah laju energi dari sistem ke sistem lain. Misal sebuah partikel den-gan kecepatan sesaat v. Dalam selang waktu yang singkat dt partikel mengalamiperpindahan ds = v dt. Usaha yang dilakukan oleh gaya F yang bekerja padapartikel selama selang waqktu ini adalah

dW = F · ds = F · v dt

Laju usaha yang dilakukan gaya adalah daya masukan P gaya tersebut

(1.1) P =dWdt

= F · v

Satuan SI untuk daya adalah satu joule per sekon dinamakan satu watt (1 J/s = 1W) .

Daya tidak dapat disamaartikan dengan usaha atau energi. Sebuah mobildikatakan berdaya tinggi jika dapat mengubah energi kimia bahan bakarnya men-jadi energi kinetik (atau energi potensial jika mobil menaiki bukit) dalam periodewaktu yang singkat. Contoh yang lain adalah rekening listrik. Jika Anda membayarbiasanya ditagih sejumlah kilowatt-jam (kwh). Satu kilowatt jam energi adalah

1 kW . h = (103 W)(3600 s)= 3, 6 · 106 W . s = 3, 6 MJ

Contoh Soal F.1Sebuah motor kecil digunakan untuk memberi daya pada sebuah lift yang

menaikkan beban bata yang beratnya 800 N sampai ketinggian 10 m dalam 20s. Berapakah daya minimal yang harus disediakan motor tersebut?

JAWAB :Kelajuan bata adalah

10 m20 s

= 0, 5 m/ s

11

12 6. SISTEM PARTIKEL DAN KEKEKALAN MOMENTUM

Karena gaya luar searah dengan gerakan maka daya masukan gaya ini adalah

P = F v = (800 N)(0, 5 m/ s)= 400 N.m/s = 400 J/s = 400 W

2. Pusat Massa

Ambil contoh sistem sederhana dua partikel dalam satu dimensi. Misal x1 danx2 sebagai koordinat partikel relatif terhadap suatu pilihan titik asal sembarang.Koordinat pusat massa xcm selanjutnya didefinisikan

(2.1) M Xcm = m1 x1 +m2 x2 ,

dengan M = m1 + m2 adalah massa total sistem. Untuk kasus hanya dua par-tikel ini, pusat massa terletak di suatu titik pada garis yang menghubungkan keduapartikel itu. Hal ini dapat dilihat dengan mudah jika titik asal kita pilih berimpitdengan salah satu partikel, misal m1 maka d adalah jarak antara partikel - par-tikel. Koordinat pusat massa untuk pilihan titik asal ini selanjutnya diperoleh dariPersamaan (2.1)

M Xcm = m1 x1 +m2 x2

= m1(0) +m2 d

Xcm =m2

Md =

m2

m1 +m2d .(2.2)

Untuk partikel - partikel dengan massa yang sama, pusat massa ada di tengahantara kedua partikel itu. Jika massa tidak sama maka pusat massa lebih dekat kepartikel dengan massa yang lebih besar.

Dari kasus istimewa dua partikel dalam satu dimensi ini kita dapat membuatungkapan umum untuk banyak partikel dalam tiga dimensi. Jika kita mempunyaiN partikel, koordinat x pusat massa Xcm didefinisikan oleh

(2.3) M Xcm = m1 x1 +m2 x2 +m3 x3 + · · ·+mN xN =∑

i

mi xi ,

sekali lagi M =∑mi adalah massa total sistem. Persamaan - persamaan serupa

mendefinisikan koordinat y dan z pusat massa:

M Ycm =∑

i

mi yi(2.4)

M Zcm =∑

i

mi zi .(2.5)

Dalam notasi vektor, jika ~ri = xi i + yij + zik adalah vektor posisi partikel ke-imaka vektor pusat ~Rcm diberikan oleh

(2.6) M ~Rcm =∑

i

mi ~ri ,

dengan ~Rcm = Xcmi+ Ycmj + Zcmk.Untuk benda kontinu, jumlahan di Persamaan (2.6) diganti oleh integral

(2.7) M ~Rcm =∫r dm ,

dengan dm adalah elemen massa yang berada di posisi ~r.

2. PUSAT MASSA 13

Jika dua titik massa dihubungkan oleh batang ringan yang massanya dapatdiabaikan maka sistem akan seimbang pada poros di pusat massa. Ini merupakanakibat dari kenyataan bahwa energi potensial gravitasi suatu sistem partikel ni-lainya sama dengan massa total dipusatkan di pusat massa. Ambil yi sebagaiketinggian partikel ke-i dalam suatu sistem umum di atas bumi. Energi potensialsistem adalah

U =∑

i

mi g yi = g∑

i

mi yi ,

karena ∑i

mi yi = M Ycm ,

maka

(2.8) U = M g Ycm

Contoh Soal F.2Cari pusat massa sistem yang terdiri dari tiga partikel m1 = 2 kg di titik asal,

m2 = 4 kg pada y = 3 m dan m3 = 6 kg pada x = 4 m.JAWAB :Gunakan Persamaan (2.3)

M Xcm =∑

i

mi xi = m1 x1 +m2 x2 +m3 x3 ,

dengan M = m1 +m2 +m3 = 12 kg. Dengan demikian

Xcm =∑

imi xi

M

=(2 kg)(0) + (4 kg)(0) + (6 kg)(4 m)

12 kg

=24 kg . m

12 kg= 2 m

Dengan cara yang sama kita dapatkan

Ycm =∑

imi yi

M

=(2 kg)(0) + (4 kg)(3 m) + (6 kg)(0)

12 kg

=12 kg . m

12 kg= 1 m

Ada teknik yang bermanfaat untuk memecahkan Contoh Soal F.1 ini dan soal- soal lain yang lebih rumit. Sebagai contoh, Persamaan (2.6) untuk soal ini adalah

M ~Rcm = m1 ~r1 +m2 ~r2 +m3 ~r3 .

Kedua suku pertama di ruas kanan berhubungan dengan pusat massa dua partikelpertama

m1 ~r1 +m2 ~r2 = (m1 +m2)~r′cm ,

dengan ~r′cm adalah pusat massa dua partikel pertama. Pusat massa sistem tiga

partikel dapat ditulis

M ~Rcm = (m1 +m2)~r′cm +m3 ~r3 .

14 6. SISTEM PARTIKEL DAN KEKEKALAN MOMENTUM

Jadi kita dapat memecahkan soal ini dengan trlebih dahulu menemukan pusat mas-sa dua partikel dan kemudian menggantikan keduanya dengan partikel tunggal den-gan massa total m1 +m2 di pusat massa.

3. Gerakan Pusat Massa Suatu Sistem

Gerakan suatu benda besar seperti tongkat komando cukuplah rumit. Untukmengambarkannya mula - mula gambar gerakan pusat massanya. Cari kecepatanpusat massa dengan diferensiasi Persamaan (2.6) terhadap waktu didapat

Md~Rcm

dt= m1

d~r1dt

+m2d~r2dt

+m3d~r3dt

=∑

i

mid~ridt

atau

(3.1) M ~Vcm = m1 ~v1 +m2 ~v2 +m3 ~v3 + · · · =∑

i

mi ~vi .

Kita diferensiasi lagi untuk mendapatkan percepatan pusat massa

(3.2) M ~Acm = m1 ~a1 +m2 ~a2 +m3 ~a3 + · · · =∑

i

mi ~ai .

Menurut hukum kedua Newton, massa tiap partikel dikalikan dengan percepatan-nya sama dengan gaya neto yang bekerja pada partikel. Oleh karena itu, kita dapatmengganti besaran mi ~ai dengan ~Fi yaitu gaya neto yang bekerja pada partikel ke-i.

Gaya - gaya yang bekerja pada sebuah partikel dapat dipisahkan menjadi duakategori yaitu gaya - gaya internal yang berhubungan dengan interaksi denganpartikel - partikel lain dalam sistem dan gaya - gaya eksternal karena suatu unsurdi luar sistem

(3.3) M ~Acm =∑

i

Fi,int +∑

i

Fi,eks .

Menurut hukum ketiga Newton untuk tiap gaya internal yang bekerja pada suatupartikel merupakan gaya yang sama melinkan berlawanan arah. Jika kita jum-lahkan gaya - gaya yang bekerja pada semua partikel maka gaya - gaya internalsaling menghilangkan dan hanya tinggal gaya eksternal saja. Dengan demikian,Persamaan (3.3) menjadi

(3.4) Fneto,eks =∑

i

Fi,eks = M ~Acm

4. Kekekalan Momentum

Momentum sebuah partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa dan kecepat-annya

(4.1) ~p = m~v

4. KEKEKALAN MOMENTUM 15

Momentum adalah besaran vektor. Momentum sebuah partikel dapat dipandangsebagai ukuran kesulitan untuk mendiamkan sebuah partikel. Hukum kedua New-ton dapat ditulis dalam kaitannya dengan momentum partikel. Dengan mendifer-ensialkan Persamaan (4.1) didapatkan

d~pdt

=d(m~v)

dt

= md~vmdt

= m~a .

Dengan mensubstitusikan gaya Fneto untuk m~a didaptkan

(4.2) Fneto =d~pdt

.

Jadi gaya neto yang bekerja pada partikel sama dengan laju perubahan momentumlinear terhadap waktu. Pernyataan Newton yang asli tentang hukumnya yang keduasebenarnya adalah dalam bentuk ini.

Menurut Persamaan (3.1) momentum total sistem sama dengan massa total Mdikali kecepatan pusat massa

(4.3) ~P =∑

i

mi ~vi = M Vcm

Dengan mendiferensialkan persamaan ini didapat

d~Pdt

= Md~Vcm

dt= M Acm

Sementara itu, menurut Persamaan (3.4) massa dikali percepatan pusat massa samadengan gaya eksternal neto yang bekerja pada sistem. Jadi,

(4.4)∑

Fi,eks = Fneto,eks =d~Pdt

Ketika gaya eksternal neto yang bekerja pada sistem partikel adalah nol maka lajuperubahan momentum total adalah nol dan momentum total sistem tetap konstan

(4.5) ~P = M ~Vcm =∑

i

mi ~vi = konstan

Hasil ini dikenal sebagai hukum kekekalan momentumContoh Soal F.3Seorang pria massanya 70 kg dan seorang anak laki - laki yang massanya 35

kg bersama - sama di atas permukaan es yang licin (gesekannya dapat diabaikan).Jika mereka saling mendorong dan si pria bergerak menjauh dengan kelajuan 0,3m/s relatif terhadap es maka hitung jarak pisah mereka setelah 5 s.

JAWAB :Jika pria itu bergerak ke kanan maka momentumnya adalah

pm = mm vm

= (70 kg)(0, 3 m/s) = 21 kg . m/s

Momentum anak laki - laki itu adalah

pb = mb vb = (35 kg) vb

16 6. SISTEM PARTIKEL DAN KEKEKALAN MOMENTUM

Ambil momentum total sama dengan nol maka didapat

pm + pb = 21 kg . m/s + (35 kg) vb = 0

vb = −21 kg . m/s35 kg

= −0, 6 kg/s

Setelah 5 s, pria itu telah bergerak 1,5 m dan anak laki - laki itu bergerak 3 m,sehingga mereka berjarak pisah 4,5 m.

5. Impuls

Impuls dari gaya adalah vektor yang didefinisikan oleh

(5.1) ~I =∫ tf

ti

~F dt

Dengan asumsi bahwa ~F adalah gaya neto dan dengan hukum kedua Newton ~F =d~p/dt dapat terlihat bahwa impuls sama dengan perubahan momentum total selamaselang waktu itu

~I =∫ tf

ti

~F dt =∫ tf

ti

d~pdt

= ~pf − ~pi = ∆~p(5.2)

Rata - rata waktu sebuah gaya untuk selang ∆t = tf − ti didefinisikan sebagai

(5.3) Frata - rata =1

∆t

∫ tf

ti

~F dt =~I

∆t.

Gaya rata - rata adalah gaya konstan yang memberikan impuls yang sam sepertigaya sesungguhnya dalam selang waktu ∆t.

Contoh Soal F.4Sebutir telur bermassa 50 g menggelinding dari sebuah meja yang tingginya 1

m dan pecah di lantai.(a) Cari impuls yang dikerjakan lantai pada telur.(b) Dengan asumsi bahwa telur menempuh 2 cm setelah pertama kali menyenuh

lantai, perkirakan waktu tumbukan dan gaya rata - rata yang dikerjakan lantai padatelur.

JAWAB :(a) Kelajuan telur tepat sebelum menyentuh lantai adalah

v =√

2 g y =√

2(9, 81 m/s2)(1 m)

=√

19, 6 m2/s2 = 4, 4 m/s

Momentum telur tepat sebelum menyentuh lantai berarah ke bawah dan besarnyaadalah

p = mv = (0, 05 kg)(4, 4 m/s)= 0, 22 kg . m/s

Karena momentum akhir sama dengan nol maka perubahan momentum adalah0,22 kg . m/s dan arahnya ke atas. Jadi, impuls yang dikerjakan lantai pada teluradalah 0,22 N.s dan arahnya ke atas.

6. SOAL LATIHAN 17

(b) Dengan 12 (4,4) m/s = 2,2 m/s untuk kelajuan rata - rata telur selama

tumbukan, waktu tumbukan ditaksir sebesar

∆t =∆y

vrata - rata=

0, 02 m2, 2 m/s

= 0, 009 s = 9 ms

Gaya rata - rata adalah

Frata - rata =∆(mv)

dt

=(0, 05 kg)(4, 4 m/s)

0, 009 s≈ 24 N

Nilai ini kira - kira 50 kali berat telur

6. Soal Latihan

Soal 6.1Mobil bermassa 1000 kg bergerak dengan kelajuan konstan 100 km/jam = 28

m/s = 62 mil/jam menaiki suatu tanjakan dengan tan(θ) = 0, 1. Gaya gesek totalyang bekerja pada mobil adalah 700 N. Dengan mengabaikan kehilangan energidalam, berapakah daya minimum yang harus diberikan oleh mesin mobil?

Soal 6.2Carilah pusat massa cincin stengah lingkaran.Soal 6.3Sebuah peluru bermassa 0,01 kg bergerak secara horizontal dengan kelajuan

400 m/s dan tertanam dalam sebuah balok bermassa 0,39 kg yang mula - muladiam pada sebuah meja yang licin. Cari

(a) kecepatan akhir peluru dan balok(b) energi mekanik awal dan akhir sistem peluru-balokSoal 6.4Sebuah kotak 2,5 kg bergerak dengan kecepatan v1 = 10i m/s dan sebuah kotak

3,5 kg bergerak dengan kecepatan v2 = −2i m/s. Cari(a) momentum total(b) kecepatan pusat massa(c) kecepatan masing - masing kotak dalam kerangka acuan pusat massa.Soal 6.5Analisis tumbukan pada soal 6.3 dalam kerangka pusat massa.Soal 6.6Balok pertama bermassa 4 kg bergerak ke kanan dengan kelajuan 6 m/s dan

mengalami tumbukan elastis dengan balok kedua yang bermassa 2 kg yang berg-errak ke kanan dengan kealjuan 3 m/s. Cari kecepatan akhir balok pertama dankedua.

Soal 6.7Cari kecepatan akhir tumbukan elastis pada soal 6.6 dengan mengubah kerang-

ka acuan pusat massa.Soal 6.8Benda bermassa m1 bergerak dengan kelajuan awal v1i mengalami tumbukan

elastis dengan benda kedua bermassa m2 yang mula - mula diam. Berapa kecepatanbenda kedua setelah tumbukan?

18 6. SISTEM PARTIKEL DAN KEKEKALAN MOMENTUM

Soal 6.9Koefisien restitusi untuk baja pada baja diukur dengan menjatuhkan sebuah

bola baja pada pelat baja yang ditempelkan sevara erat dengan bumi. Jika boladijatuhkan dari ketinggian 3 m dan memantul sampai ketinggian 2,5 m maka hitungkoefisien restitusinya.

Soal 6.10Sebuah kotak 2 kg yang bergerak ke kanan dengan kelajuan 5 m/s bertumbukan

dengan kotak 3 kg yang bergerak dalam arah sama dengan kelajuan 2 m/s. Setelahtumbukan kotak 3 kg bergerak dengan kelajuan 4,2 m/s. Cari

(a) kecepatan kotak 2 kg setelah tumbukan(b) koefisien restitusi untuk tumbukan ini.Soal 6.11Sebuah mobil bermassan 1,2 ton bergerak ke timur dengan kelajuan 60 km/jam

bertumbukkan di persimpangan dengan sebuah truk bermassa 3 ton yang bergerakke utara dengan kelajuan 40 km/jam. Mobil dan truk melekat menjadi satu. Carikecepatan rongsokan tepat setelah tumbukan.

Soal 6.12Perkirakan gaya yang dikerjakan oleh sabuk pengaman pada pengemudi mobil

yang bermassa 80 kg saat mobil yang semula bergerak dengan kelajuan 25 m/smenabrak benda diam.

Soal 6.13Sebuah bola golf biasanya bermassa 45 gram dan jari - jari 2 cm. Untuk ayunan

pada umumnya jangkauan yang masuk akal adalah 160 m. Berapa nilai yang masukakal untuk impuls I, gaya rata - rata dan waktu tumbukan untuk pemukul golf yangmemukul bola golf?

Soal 6.14Ayunan balistik digunakan untuk mengukur kecepatan dari peluru. Ayunan

tersebut terdiri dari balok kayu bermassa M digantung dengan dua utas tali. Se-buah peluru dengan massa m bergerak secarahorizontal dengan kelajuan v menum-buk ayunan dan tetap tinggal di dalamnya. Jika kenaikan ayunan setinggi y makahitung kelajuan awal peluru.

Soal 6.15Mobil mempunyai daya 100 hp dan bergerak dengan kelajuan konstan 88 feet/s.

Berapa gaya dorong ke depan yang dilakukan oleh mesin pada mobil tersebut?Soal 6.16Cari pusat massa dari tiga partikel dengan massa m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, dan

m3 = 3 kg yang terletak pada sudut - sudut segi tiga sama sisi dengan panjang sisi1 meter.

Soal 6.17Tiga mssa titik yang masing - masing bermassa 2 kg ditempatkan pada sumbu-x

yaitu di titik asal, x = 0, 2 m dan x = 0, 5 m. Cari pusat massa sistem ini.Soal 6.18Seorang anak 24 kg berada 20 m dari orang 86 kg. Di manakah pusat massa

sistem ini?Soal 6.19Segumpal tanah liat 150 g dilempar secara horizontal dengan kelajuan 5 m/s

pada balok 1 kg yang semula diam di atas permukaan licin. Jika tanah liat melekatpada balok maka hitung kelajuan sistem gabungan ini.

6. SOAL LATIHAN 19

Soal 6.20Sebuah mobil 2 ton bergerak ke kanan dengan kelajuan 30 m/s mengejar mobil

kedua dengan massa sama dan bergerak ke kanan dengan kelajuan 10 m/s.(a) Jika kedua mobil bertabrakan dan melekat menjadi satu maka hitung kela-

juan sistem tepat setelah tumbukan.(b) Berapa bagian dari energi kinetik awal mobil yang hilang selama tumbukan?

Ke mana perginya?

Bibliografi

[1] P. A. Tipler, 1991, Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1, Penerbit Erlangga,

Jakarta.[2] F. W. Sears, M. W. Zemansky, 1982, Fisika untuk Universitas 1: Mekanika, Panas, Bunyi,

Penerbit Binacipta, Bandung.

[3] G. Woan, 2000, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press,Cambridge.

[4] R. Feynman, 1964, The Feynman Lectures on Physics Volume 1, Addison-Wesley Publishing

Company, London.[5] Tim Dosen ITS, 2006, Fisika I: Kinematika, Dinamika, Getaran, Panas, FMIPA, ITS

21