FISIKA STATISTIK

PERHITUNGAN FUNGSI PARTISI

Agar supaya energi-dalam dapat di hitung, perlu menghitung lebih dahulu fungsi partisi

z f=∑i=1

e−w i

kT

Dengan w i = (i−12 )hf, maka

z f=e−12

h fkT+e

−1 12

h fkT+…….e

−(i−12 )hf

kT +… ..e

−(n−12 )hf

kT.... (2.61)

Persamaan ini disederhanakan dengan mengeluarkan e−h f2kT dari tanda kurung, didapat

z f=e−h fkT (1+e

−h fkT +e

−2hfkT +…)

Suku-suku dalam kurung disederhanakan, misalnya x=e−h fkT , maka suku-suku dalam kurung

¿1+x+x2+x3+…. xn

Untuk x kecil, persamaan tersebut dapat disedrhanakan menjadi = 1

1−x

Maka z f=e

−h f2kT

1−e−h f2kT

ln z f=−h f2kT

−ln (1−e−h fkT )...... (2.62)

Dideferensialkan terhadap T :

ddT

ln z f=−h f2kT 2 −

d (1−e−h fkT )

1−e−h fkT

d (−h f2kT )

¿−h f2k

(d T−1 )

¿−h f2k

−1T−2

¿ h f

2kT 2

ln (1−e−h fkT )

Misal :

(1−e−h fkT )=u

e−h fkT =v

−h fkT

=w

f ( x , y )=dfdu

.dfdv

.dfdw

¿ 1u. v ' .w'

¿( 1

1−e−h fkT ) . e

−h fkT .

h fk T 2

¿e−h fkT

1−e−h fkT

.h f

k T 2

Maka

ddT

ln z f=+h f2kT 2 −

d (1−e−h fkT )

1−e−h fkT

¿h f

2kT2 +h f

kT2

e−h fkT

1−e−h fkT

Energi dalam U f=Nk T2 d ln Z f

dT

¿N f kT2 { h f

2kT 2 +h fkT 2

e−h fkT

1−e−h fkT }

kT 2 dimasukkan diantara suku-suku dalam kurung didapat

U f=N f ( h f2

+ h f

e+h fkT −1 )… .. (2.63 )

Persamaan (2.63) menyatakan :

Energi-dalam N f osilator yang frekuensinya masing-masing f, sama untuk seluruh osilator.

Kristal telah dimodelkan sebagai osilator sederhana bebas terbedakan. Masalahnya berapakah benyaknya osilator yang dapat memerikan kristal tersebut ?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita tinjau kristal yang titik kisinya berjumlah N, dalam ruang titik kisi mempunyai 3 koordinat (x,y,z). Jika setiap titik kisi mengalami pergeseran sangat kecil, maka koordinat yang terlibat pada pergeseran sel sejumlah 3 N. Energi potensial sebanding dengan koordinat kuadrat, energi kinetik sebanding dengan momentum kuadrat, sedang momentum merupakan perkalian massa dengan kecepatan, untuk setiap koordinat bertaut dangan 1 kecepatan. Jadi untuk memodelkan kristal yang terbangun oleh N titik kisi diperlukan 3N osilator harmonis sederhana bebas terbedakan.

Selanjutnya, kita tinjau osilator-osilator yang frekuensinya tak sama, yang distribusinya dapat diperkirakan oleh persamaan.

d N f=n f d f .............(2.64)

Dengan n f fungsi frekuensi, ditulis n f = n f (v), menyatakan jumlah osilator ...... persatuan rentang

frekuensi.

Jika diintegralkan untuk seluruh frekuensi, maka didapatkan harga sejumlah osilator yang memerikan watak kristal tersebut.

∫ d N f=∫n f d f=3 N ................(2.65)

Energi isolator yang freuensinya antara f dan d =df adalah

w f=U f

N f

=(12hf + h f

eh fkT−1

)

Jika diintegralkan untuk seluruh osilator didapatkan

U=∫w f d N f=∫( 12h f + h f

eh fkT −1 )n f df ...................... (2.66)

Jika 3N osilator memberikan kristal dengan N titik kisi, sedang kristal yang mempunyai N titik kisi tersebut sebanyak 1 “mole”, maka seluruh energi yang diberikan oleh persamaan 2.66 adalah energi per “mole”, sedang N adalah jumlah titik kisi untuk 1 “mole”, kristal =

N A (N A=bilangan Avogadro).

Pendekatan yang dilakukan Einstein adalah 3N osilatoryang memberikan watak getaran kristal masing-masing mempunyai frekuensi = fE = frekuensi osilator Einstein

U=∫w f dN f

¿∫{12h f E+

h f E

eh f E

kT −1 }dN f

U={12h f E+

h f E

eh f E

kT −1 }3N

Kapasitas panas pada colume tetap Cv

C v=( ∂U∂T )v

=ddT {1

2h f E.3 N+

h f E .3 N

eh f E

kT −1 }¿−h f E .3N .

{eh f E

kT (−h f E

kT2 )}e

h f E

kT −1

C v=−1

k ( h f E

kT )2

.3 N eh f E

kT

eh f E

kT −1

=k( h f E

kT )2

.3 N eh f E

kT

eh f E

kT −1

..................(2.68)

di definisikanh f E

k=θE.................(2.69)

θE = temperatur karakteristik Einstein

Maka C v=k ( θE

T )2

eθE

T .3 N

eθE

T −1

Untuk “mole” N menjadi N A ,C vmenjadi C v dan N Ak = R = tetapan gas alam

C v¿=

3k N A (θE

T )2

eθE

T

eθE

T −1

C v¿=

3 R( θE

T )2

eθ E

T

eθ E

T −1

.........................(2.70)

Atau C v

¿

3R=

(θE )2eθE

T

eθ E

T −1

Jika digambarkan C v

¿

3R sebagai sangsi T, maka untuk T harga

C v¿

3R=1, sesuai kaedah Dulong

Petit, sedang untuk T 0 harga C v

¿

3R 0 mendekati hasil percobaan,tetapi mendekati nol, terlalu

cepat jika dibandingkan hasil percobaan.