Fisika Komputasi-03

27
Fisika Komputasi DR. ENG. I MADE JONI, M.SC . DEPARTMEN FISIKA UNIVERSITAS PADJADJARAN FEBRUARI 2015 Pertemuan #2 Fisika Komputasi/ Prodi Fisika Unpad PDE

description

slides

Transcript of Fisika Komputasi-03

  • Fisika Komputasi

    DR. ENG. I MADE JONI, M.SC.

    D E PA RT MEN F I S I KA

    U N I V E R S I TA S PA D J A D JA R A N

    F E B R UA R I 2 0 1 5

    Pertemuan #2 Fisika Komputasi/ Prodi Fisika Unpad

    PDE

  • Outline

    Review Perkuliahan Sebelumnya

    Error dan Stabilitas dalam Fisika Komputasi

    Runge-Kutta dan Metode Integrasi adaptifuntuk Persamaan Diferensial

    Pertemuan #2 Fisika Komputasi/ Prodi Fisika Unpad

  • Substitusikan persamaan beda hingga ke PDB-orde 1

    Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial

    Solusi ini hanya pendekatan semata

    Deret Taylortruncation error

    Error akibat pemotongan suku-suku derajatyang lebih tinggi

    Sehingga errornya adalah

    Oleh karena itu, Error setiap langkahnya samadengan (x)2

    . Dalam satu satuan interval akan dilakukan jumlah langkah N= 1/x langkah. Jadierrorsitematiknya berbanding lurus dengan

    Review Perkuliahan Sebelumnya

  • Contoh I: Peluruhan 235U rata-rata lifetime-nya 105 tahun

    =

    adalah konstanta peluruhan

    Solusi analitiknya: = (0)

    Per. Diferensial

    Per. Diferensial dipecahkan secara numerik

    = 0 +

    +

    1

    2

    2

    2 + .

    Jika t sangat kecil tetapi () Sehingga solusinya:

    0 +

    t

    = 0 +

    +

    + = +

    + =

    Jika perubahan t=t maka t1= t, t2= 2 t, t3=3 t dstAtau t= n t dengan n adalah integer

    Metode Euler

    Pertemuan #2 Fisika Komputasi/ Prodi Fisika Unpad

  • Pembuktian dengan deret Taylor

    Dengan menggunakan limit t0, kita dapatkan

    Kita mengambil t sangat kecil, tetapi tidak nol. Sehingga kita mendapatkanpenedkatan solusi :

    Yang sama dengan menyatakan

    =

    Substistusikan

    Metode Euler

  • Contoh II: Hambatan UdaraPerhatian seorang pembalap sepeda yang sedang bergerak, tujuannya adalah menentukankecepatan . HK. Newton II memberikan rumusan

    Gaya yang diberikan oleh pembalap adalah F, dengan mengalikan pers di atasdengan v, maka dipeoleh dayanya adalah

    E adl. Energi kinetic dan P adl. Daya

    Daya yang dikeluarkan atlit yang diperoleh secara ekperimen adalah 400 watt dalamwaktu satu jam.

    Bentuk lain dr Pers. Di atas

    Untuk P konstan solusinya adal.:

    CTT PENTING: pers ini keliru dari arti fisisnya bahwa v jika t . Hal ini disebabkan ketidak hadiran efek gesekan udara pada pers tsb.

  • Gaya akibat gesekan udara adalah (disebut drag force)

    Arti fisis: Pada kecepatan renda suku pertama dominan, sedangkan pada kec. Tinggi suku kedua dominan

    = 1

    HK Stokes

    Menghitung koeffisien B2 ketika kec tinggi

    dt: waktu: Kerapatan udaraA :Cross section

    Energi kinetiknya menjadi

  • Kerja oleh gaya gesek:

    Jadi

    Koefisiesn drag C=1/2, sehingga gaya gesek udara menjadi

    Dengan mepertimbangkan gaya akibat gesekan udara, hukum newton menjadi

    Dapat ditulsikan dengan makna yang sama

    Pers. Dipecahkandg Euler

  • Diskritisasi secara lengkap dapat dituliskan

    Jika program tidak dapat memulia dari nol, maka dimanipulasi menjadi:

    Dengan

    Nilai awal kecepatan v(1) pada waktu t(1) = 0 diketahui.

    Langkah selanjutnya: CODING Plot Grafik analisis hasil dan error

  • Contoh III: Gerak ayunan pendulum Pers. Gerak Glb

    Pers. Beda Hingga

    Pendekatan t sangat kecil mendekati nol, tetapi tidak nol

    Diskritisasi waktu

    Makna kontunu dan diskrit

  • Jika N adalah jumlahlangkah dalam komputasi, makan total waktunya adl T=Nt. Sehingga solusi numeric dpt dituliskan :

    Dengan menggeser i, dengan rentang [1,N+ 1],kita juga dapat menuliskan

    Kita mengenalkan dan

    Akhirnya diperoleh Dengan i = 1,...,N + 1

    Dengan menggunakan nilai-nilai dan pada waktu ke I, kita dapat menhitung nilai-nilai yang pada yang bersesuaian pada i+ 1. Nilai awal sudut angulernya dan kec. Angguler adl. (1) = (0) dan (1) = (0) diketahui.

    Proses ini diulang hinggi keseluruhan fungsi dan ditentukan pada seluruh waktu

  • Tugas

    1. Latihan membuat coding program dari contoh I-III dan analisa dari hasil

    plot yang diperoleh dan bandingkan dengan solusi analitis

    2. apa perbedaanya dengan metode/algoritma Euler dengan algoritma

    Euler-Cromer dan Verlet ?

    3. Buat program contoh I-III dengan menggunakan algoritma dari sola no 2

    dan bandingkan hasilnya

    Waktu: Satu Minggu

  • Error dan Stabilitas dalam Fisika Komputasi

    Error NumerikTerdapat dua sumber error Numerik untuk kasus persmaan diferesial biasa:1. Kesahalan pemotongan suku (truncation error) *sudah dijelaskan

    seblumnya Et2. Keslahan pembualatan Er (round-off error)

    Komputer tidak bekerja dengan akurasi yang tak berhingga, hanya mampumenyimpan bilangan floating-point dengan jumlah tempat decimal terbatasdan tidak berubah (fixed) yang disebut bilangan karakteristik .Setiap operasi pembulatan mengadung kesalahan yang disebut Er

    Sebagai contoh untuk kasus metode Euler error Numeriknya adalah :

    Dengan h adalah selisih langkah

    Pada panjang langkah yang besar error ddidominasi oleh truncation error , danjikalangkahnya kecil, round-off error mendominasi

  • Error dan Stabilitas dalam Fisika KomputasiStabilitas Numerik

    Condtoh PDB

    Dengan > 0, dan syarat batasnya adalah

    Solusi analitiknya adalah

    Solusi Numerik dengan grid:

    Metode Euler

    Jika h > 2/ maka |yn+1| >|yn|

    Pembahasan: Jika langkahnya (h) sangat besar maka solusi numeriknya menjadi tidakstabil karena akan terus menaik nilainya yang menyimpang dari nilai sebenarnya. Inidisebut kegagalamn integrasi atau kegagalan stabilitas numeric. Hal in bias diatasidengan memperkecil langkah dengan resiko waktu komputis lebih lama dankemungkinan terjadi kesalahan pembulatan

  • Teknik numeric lain dalam menyelesaikan PDEs

    Finite difference method (FDM) this module Advantages:

    Simple and easy to design the scheme

    Flexible to deal with the nonlinear problem

    Widely used for elliptic, parabolic and hyperbolic equations

    Most popular method for simple geometry, .

    Disadvantages: Not easy to deal with complex geometry

    Not easy for complicated boundary conditions

    ..

  • Finite element method (FEM) MA5240 Advantages:

    Flexible to deal with problems with complex geometry and complicated boundary conditions

    Keep physical laws in the discretized level

    Rigorous mathematical theory for error analysis

    Widely used in mechanical structure analysis, computational fluid dynamics (CFD), heat transfer, electromagnetics,

    Disadvantages: Need more mathematical knowledge to formulate a good and

    equivalent variational form

    Teknik numeric lain dalam menyelesaikan PDEs

  • Spectral method High (spectral) order of accuracy

    Usually restricted for problems with regular geometry

    Widely used for linear elliptic and parabolic equations on regular geometry

    Widely used in quantum physics, quantum chemistry, material sciences,

    Not easy to deal with nonlinear problem

    Not easy to deal with hyperbolic problem

    ..

    Teknik numerik lain dalam menyelesaikan PDEs

  • Finite volume method (FVM) MA5250 Flexible to deal with problems with complex geometry and

    complicated boundary conditions

    Keep physical laws in the discretized level

    Widely used in CFD

    Boundary element method (BEM) Reduce a problem in one less dimension

    Restricted to linear elliptic and parabolic equations

    Need more mathematical knowledge to find a good and equivalent integral form

    Very efficient fast Poisson solver when combined with the fast multipole method (FMM), ..

    Teknik numeric lain dalam menyelesaikan PDEs

  • Metode Runge Kutta dan Integrasi Adaptif

    Alasan kenapa Metode euler tidak digunakan dalam Fisika Komputasi1. truncation error setiap langkah sangat besar2. Sangat mudah mengalami ganguna stabilitas

    Metode RK sangat tidak simetrik terhadap awal dan akhir interval. Menggunakan teknik sperti euler tetapi hanya digunakan sepagai langkah uji cobadengan nilai tengah, dengan menggunakan nilai ini keduanyan baik x dan y pada nilaitengah untuk mendapatkan langkah real pada seluruh interval:

    Solusi ini disebut RK orde 2 atau dengan kata lain Euler dapat disebut sebagai ordesau dari RK. Dengin meningkatkan ordenya RK yanglainnya adalah RK orde 3 dan RK orde 4

    N adalah orde dari RKError metode RK

  • Metode Runge Kutta dan Integrasi Adaptif

    RK orde 4

  • Contoh Analisis Perbandingan Metode Numerik

    Persamaan diff. Kondisi awal x(0) = 0 dan v(0) = k pada t =0

    Solusi Analitiknya

    Perbandingan KualitasNumerikEuler dan RK orde 4 padabilangan karakteristik berbeda

  • Perbandingan Kualitas Numerik Euler dan RK orde 4 pada bilangan karakteristik berbeda

  • Metode Integrasi adaptif

    Perhatikan PDB berikut

    BC: x=k 2 dan dv=2k padax=, dengan 0 < 1.

    Solusi Analitik:

    Perhatikan akumulasi error berkaitan dengan RK orde 4 dengan k=10, dari t =103 sd t =t,

    Pembahasan:Walapun error pada awalperhitungan kecil, namun dg berjalalnya waktu t error naiksangat cepat, sehingga dengancepat mencapai error yang tidak dapat diterima Integrasi Adaptif

  • Konversi langkah yang mulanya tetap h pada RK 4disebut metode adaptive method.

    Estimasi truncation error pada setiap langkah, misalnya langkah saat ini adalah h, estimasi truncation error, , pada langkah saat ini dengan menghitung perbedaansolusi yang diperoleh dengan langkah h/2 dua kali dan dengan langkah h sekaliMisla o adalah truncation error setiap langkah

    Metode Integrasi adaptif

    Langkah-langkah Integrasi Adaptif

    adalah absolute error ataurelative error

    Perbandingan RK Orde 4 dan Metode adaptif(o=10

    8)

    Metode adaptif lebih bagus dari pada RK4

  • Metode adaptif dapat lebih unggul dari pada RK4

    Dapat dilihat bahwa Metode adaptif dapat menjaga truncation error relative konstan karena pada setiap langkahnya atau bejalannya t, h dikecilkan/diturunkan

  • Tugas Baca: tidak dibahas ulang

    Numerical Integration:

    Rectangular, Trapezoidal,Parabolic Approximation or Simpsons Rule

    Newton-Raphson Algorithms and Interpolation

    Bisection Algorithm

    Newton-Raphson Algorithm

    Hybrid Method

    Lagrange Interpolation

    Cubic Spline Interpolation

    LIHAT KEMBALI CATATAN MATA KULIAH METODE NUMERIK

  • Kuliah Berikutnya

    Metode IntegralAplikasi Metode RK untuk

    SistemTata SuryaPendahuluan Chaos Pendulum