fisika-dasar-mekanika-energi-gerak 6,7,8

Ringkasan Materi Fisika Dasar ---- alifis@corner alifis.wordpress.com

14

BAB II

MEKANIKA & ENERGI GERAK

alifis@corner --- alifis.wordpress.com

2.1 PENGANTAR

Pada bab ini disajikan materi tentang ilmu yang mengupas tentang kinematika,

dinamika dan statika; konsep usaha dan energi, serta momentum dan impuls.

Kinematika adalah mempelajari mengenai gerak benda tanpa memperhitungkan

penyebab terjadi gerakan itu. Benda diasumsikan sebagai benda titik yaitu ukuran, bentuk,

rotasi dan getarannya diabaikan tetapi massanya tidak.

Cabang dari ilmu mekanika yang mempelajari gerak partikel dengan meninjau

penyebab geraknya dikenal sebagai dinamika. Dalam bab ini kita akan membahas konsep-

konsep yang menghubungkan kondisi gerak benda dengan keadaan-keadaan luar yang

menyebabkan perubahan keadaan gerak benda.

Konsep fisika dalam dinamika selain Hukum Newton yang juga dapat digunakan

untuk mengetahui keadaan gerak suatu benda yang menghubungkan pengaruh luar (gaya)

dengan keadaan gerak benda, adalah konsep usaha (kerja) dan energi (tenaga). Bedanya

dengan konsep hukum newton, usaha dan energi adalah besaran skalar.

Kompetensi yang diharapkan adalah mahasiswa mampu menerapkan konsep-konsep

dan formulasi dalam mekanika, dan energi gerak serta mampu menganalisa dan memecahkan

persoalan fisika terkait dengan materi di bab ini.

2.2 URAIAN MATERI

A. KINEMATIKA

Kinematika adalah mempelajari mengenai gerak benda tanpa memperhitungkan

penyebab terjadi gerakan itu. Benda diasumsikan sebagai benda titik yaitu ukuran, bentuk,

rotasi dan getarannya diabaikan tetapi massanya tidak. Dalam kinematika meliputi gerak :

• Gerak satu dimensi: gerak lurus beraturan(glb), gerak lurus berubah beraturan(glbb), dan

gerak lurus berubah tidak beraturan

• Gerak dua dimensi: gerak melingkar dan gerak peluru

• Gerak tiga dimensi: gerak benda yang mempunyai tiga komponen(x,y,z) misal gerak

muatan dalam medan magnet dan medan listrik

• Gerak relatif: gerak benda yang diamati oleh pengamat pada saat bergerak atau diam.


15

Dalam kinematika besaran-besaran yang mempengaruhi gerak benda adalah:

Perpindahan(displacement), Kecepatan(velocity) dan Percepatan(accelaration)

A.1 GERAK BENDA TITIK

A.1.1 Perpindahan

Letak sebuah partikel dalam ruang dinyatakan oleh vektor posisi r. Vektor posisi ini

dapat dituliskan dalam komponen-komponennnya,

…………………………(2-1)

Bila partikel bergerak, posisinya berubah terus terhadap waktu. Jadi partikel yang bergerak

memiliki vektor posisi yang merupakan fungsi waktu, demikian juga komponen-

komponennya:

…………………………(2-2)

Contoh : r = 4 i + 3 j + 2 k

Gambar 2.1 vektor posisi r = 4 i + 3 j + 2 k

Panjang vektor r ditulis / r /

/ r / = 2 2 2

4 3 2

= 16 9 4

= 29 satuan

Misalkan pada saat t1 partikel berada di titik 1 dengan vektor posisi r1 = r(t1), dan pada saat

t1 benda di titik 2 dengan vektor posisi r2 = r(t2). Perpindahan partikel dalam selang waktu

ini dinyatakan dengan vektor r dari titik 1 ke titik 2. Vektor r ini disebut vektor

perpindahan:

kzjyixkrjrirr zyx

ktzjtyitxtr

)()()()(


16

r = rf – ri

PERHATIKAN.

Titik materi yang bergerak dari A yang posisinya r 1 pada saat t1, ke titik B yang posisinya r 2

pada saat t2.

Gambar 2.2 vektor perpindahan r

Vektor perpindahannya r r r 2 1

dan selang waktu yang dipergunakan titik materi untuk

bergerak dari A ke B adalah t t t 2 1

A.1.2 Kecepatan

Kecepatan rata-rata adalah rasio vektor perpindahan r terhadap selang waktu Δt :

vr

t

r rt t

2 1

2 1

…………………………(2-3)

Pada persamaan di atas tampak bahwa kecepatan rata-rata tidak tergantung pada lintasan titik

materi, tetapi tergantung dari posisi awal ( 1r ) dan posisi akhir (

2r ). Disebut kecepatan

rata-rata karena tidak menggambarkan kecepatan benda yang sesungguhnya, melainkan

hanya kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut.

Jika ingin diketahui kecepatan titik materi pada suatu saat misal saat titik materi

berada di antara A dan B, digunakan kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat didefinisikan :

Secara matematis ditulis sebagai :

vdr

dt …………………………(2-4)

Laju

Besarnya kecepatan disebut dengan laju. Laju didefinisikan sebagai :

/ / / /vdr

dt

Laju dapat pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang bersangkutan.


17

Nilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan

grafik yang dibentuk oleh komponen posisi ( r ) terhadap waktu ( t ).

Gambar 2.3 Kemiringan grafik kecepatan sesaat

Persamaan kecepatan sesaat dari grafik di samping di dapat :

v1 = tg 1 v2 = tg 2

Makin besar derajat kemiringannya makin besar pula harga kecepatannya.

Posisi dari suatu titik materi yang bergerak merupakan fungsi waktu, oleh karena itu,

vektor posisi r dapat ditulis sebagai r = r ( t ) artinya r merupakan fungsi waktu ( t ).

Kecepatan titik materi pada sebuah bidang datar/ruang dapat ditulis :

XvdX

dt

YvdY

dt

ZvdZ

dt …………………………(2-5)

X, Y, Z merupakan fungsi dari waktu.

Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi kecepatannya

maka dapat diselesaikan dengan INTEGRAL ( kebalikan dari deferensial ).

v tdX t

dt

dX t v t dt .

dX t v t dt .

X t v t dt .

Contoh :

v(t) = 2 t + 5 m/det

maka persamaan posisi titik materi tersebut adalah ......

r = v dt

2 5t dt

r = t 2 + 5 t + C meter

Dengan C adalah suatu konstanta.

Harga C dicari dengan suatu syarat batas tertentu, misalnya :

t = 0 r (t) = 0 maka harga C dapat dihitung C = 0


18

A.1.3 Percepatan

Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun

kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami oleh titik materi

tersebut. Jika pada saat t1 kecepatan v1 dan pada saat t2 kecepatannya v2, percepatan rata-

ratanya dalam selang waktu t = t 2 -t 1 didefinisikan sebagai :

av

t

v vt t

2 1

2 1

…………………………(2-6)

Percepatan sesaatnya :

dt

vd

t

v

ta

0

lim

adv

dt

d dr

dt t

d r

dt

2

2 …………………………(2-7)

Percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan kedua

dari posisi terhadap waktu (t). Percepatan dalam arah masing-masing sumbu dalam

bidang/ruang dapat dituliskan sebagai :

adv

dt

d x

dtX

X

2

2

adv

dt

d y

dtY

Y

2

2

adv

dt

d z

dtZ

Z

2

2

Sebaliknya untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap waktu

dengan cara mengintegralkan :

v v a dtt t

t

00

Percepatan rata-rata adalah rasio perubahan kecepatan Δv terhadap selang waktu Δt :

…………………………(2-8)

Percepatan sesaat adalah limit rasio ini jika selang waktu mendekati nol. Percepatan

sesaat adalah turunan v terhadap t, yang merupakan turunan kedua x terhadap t :

…………………………(2-9)

Percepatan sesaat ditampilkan secara grafik sebagai kemiringan kurva v terhadap t.

t

va ratarata

2

2

dt

xd

dt

dva


19

Dalam kasus istimewa percepatan konstan, berlaku rumus sebagai berikut :

………………(2-10)

Perpindahan dapat ditampilkan secara grafik sebagai luas di bawah kurva v versus t. luas ini

adalah integral v terhadap waktu dari saat awal t1 sampai saat akhir t2 dan ditulis

…………………………(2-11)

Dengan cara sama, perubahan kecepatan selama beberapa waktu ditampilkan secara grafik

sebagai luas di bawah kurva a versus t.

Jadi, Posisi titik materi, kecepatan dan percepatan merupakan besaran vektor,

sehingga dapat dinyatakan dengan VEKTOR SATUAN.

POSISI

kzjyixr

KECEPATAN

kvjvivv ZYX

kdt

dZj

dt

dYi

dt

dXv

PERCEPATAN

kajaiaa ZYX

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dva ZYX

kdt

Zdj

dt

Ydi

dt

Xda

2

2

2

2

2

2

A.2 GERAK LURUS

Suatu benda melakukan gerak, bila benda tersebut kedudukannya (jaraknya) berubah

setiap saat terhadap titik asalnya ( titik acuan ).

Sebuah benda dikatakan bergerak lurus, jika lintasannya berbentuk garis lurus.

Contoh : - gerak jatuh bebas

- gerak mobil di jalan.

i

t

tii

xvdttvx

i

2

10lim


20

Gerak lurus yang kita bahas ada dua macam yaitu :

1. Gerak lurus beraturan (disingkat GLB)

2. Gerak lurus berubah beraturan (disingkat GLBB)

A.2.1 Jarak dan Perpindahan pada Gerak Lurus

- JARAK merupakan panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu materi (zat)

- PERPINDAHAN ialah perubahan posisi suatu benda yang dihitung dari posisi awal

(acuan)benda tersebut dan tergantung pada arah geraknya.

a. Perpindahan POSITIF jika arah gerak ke KANAN

b. Perpindahan NEGATIF jika arah gerak ke KIRI

contoh:

* Perpindahan dari x1 ke x2 = x2 - x1 = 7 - 2 = 5 ( positif )

* Perpindahan dari x1 ke X3 = x3 - x1 = -2 - ( +2 ) = -4 ( negatif )

A.2.2 GERAK LURUS BERATURAN ( GLB )

Gerak lurus beraturan ialah gerak dengan lintasan serta kecepatannya selalu tetap.

Pada Gerak Lurus Beraturan ( GLB ) berlaku rumus : x = v . t

dimana : x = jarak yang ditempuh ( perubahan lintasan )

v = kecepatan

t = waktu

Grafik Gerak Lurus Beraturan ( GLB )

a. Grafik v terhadap t

Kita lihat grafik di samping : dari rumus x = v . t,

maka :

t = 1 det, x = 20 m

t = 2 det, x = 40 m

Gambar 2.5 Grafik v terhadap t t = 3 det, x = 60 m

t = 4 det, x = 80 m

Kesimpulan : Pada grafik v terhadap t, maka besarnya perubahan lingkaran benda

( jarak ) merupakan luas bidang yang diarsir.


21

b. Grafik x terhadap t.

Kelajuan rata-rata dirumuskan :

vx

t

Kesimpulan : Pada Gerak Lurus beraturan

kelajuan rata-rata selalu tetap dalam

Gambar 2.6 grafik x terhadap t selang waktu sembarang.

A.2.3 GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN ( GLBB )

Hal-hal yang perlu dipahami dalam GLBB :

1. Perubahan kecepatannya selalu tetap

2. Perubahan kecepatannya tiap satuan waktu disebut : PERCEPATAN. ( notasi = a )

3. Ada dua macam perubahan kecepatan :

a. Percepatan : positif bila a > 0

b. Percepatan : negatif bila a < 0

4. Percepatan maupun perlambatan selalu tetap, a = t

v

5. Bila kelajuan awal = vo dan kelajuan setelah selang waktu t = vt, maka :

a = vt vo

t

; at = vt –vo, maka vt = vo + at

Oleh karena perubahan kecepatan ada 2 macam, maka GLBB juga dibedakan menjadi

dua macam yaitu : GLBB dengan a > 0 dan GLBB < 0 , bila percepatan searah dengan

kecepatan benda maka pada benda mengalami percepatan, jika percepatan berlawanan arah

dengan kecepatan maka pada benda mengalami perlambatan.

[i] Grafik v terhadap t dalam GLBB.

a > 0

vo=0

vt = vo + at

vt = at

a > 0

vo 0

vt = vo + at

a < 0

vo 0

vt = vo + at

Gambar 2.7 Grafik garis lurus dari GLBB


22

JARAK YANG DITEMPUH = LUAS GRAFIK V TERHADAP T.

x = Luas trapesium

= ( vo + vt ) . 12

t

= ( vo + vo + at ) . 12

t

= ( 2vo + at ) . 12

t

x = vot + 12

at2

Gambar 2.8 Jarak sebagai luas kurva

[ii] Grafik x terhadap t dalam GLBB

a > 0; x = vot + 12

at2

a < 0; x = vot + 12

at2

Gambar 2.9 Grafik GLBB berupa parabola

A.2.4 GERAK VERTIKAL PENGARUH GRAVITASI BUMI.

a. Gerak jatuh bebas.

Gerak jatuh bebas ini merupakan gerak lurus berubah beraturan tanpa kecepatan awal

( vo ), dimana percepatannya disebabkan karena gaya tarik bumi dan disebut percepatan

gravitasi bumi ( g ).

Misal : Suatu benda dijatuhkan dari suatu ketinggian tertentu, maka :

Rumus GLBB : vt = g . t

y = 12

g t2

b. Gerak benda dilempar ke bawah.

Merupakan GLBB dipercepat dengan kecepatan awal vo.

Rumus GLBB : vt = vo + gt

y = vot + 12

gt2


23

c. Gerak benda dilempar ke atas.

Merupakan GLBB diperlambat dengan kecepatan awal vo.

Rumus GLBB : vt = vo - gt

y = vot - 12

gt2

y = jarak yang ditempuh setelah t detik.

Syarat - syarat gerak vertikal ke atas yaitu :

a. Benda mencapai ketinggian maksimum jika vt = 0

b. Benda sampai di tanah jika y = 0

LATIHAN SOAL

1. Terangkanlah arti grafik-grafik di bawah ini. dan tulis persamaan geraknya.

2. Dalam waktu 4 12

jam, sebuah kendaraan dapat menempuh jarak sejauh 270 km.

a. Berapa kecepatan rata-rata kendaraan ?

b. Dengan kecepatan rata-rata tersebut, berapa jarak ditempuh selama 7 jam.

c. Dengan kecepatan rata-rata tersebut, berapa waktu diperlukan untuk menempuh

jarak sejauh 300 km.

3. Sebuah perahu berlayar dari A ke B dengan kecepatan 10 km/jam dan kembali dari B ke

A dengan kecepatan 16 km/jam.

Hitung : a. Kecepatan rata-rata perahu

b. Kecepatan arus sungai.

4. Posisi suatu partikel sebagai fungsi waktu ditabelkan di bawah ini.

t(det) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s(m) 0 2,2 6,9 13,9 23,1 34,3 47,2 61,6 77,1 93,4 110


24

Hitunglah :

a. Kecepatan rata-rata 5 detik pertama dan seluruh perjalanan.

b. Kecepatan rata-rata pada interval t = 3 detik dan t = 7 detik.

c. Kecepatan rata-rata pada interval t = 4 detik dan t = 6 detik.

5.

Sebuah mobil bergerak menurut grafik di

samping ini.

a. Jelaskan arti grafik.

b. Hitunglah jarak yang ditempuh selama

30 detik dengan :

(1) rumus jarak

(2) luas grafik.

A.2.5 Memadu GLB dengan GLBB

Gerak resultannya vR adalah sebuah gerak lurus

beraturan juga.

v v v v vR 1

2

2

2

1 22 cos

v v vR1

2

2

1sin sin sin ………………………(2-12)

Gambar 2.10 resultan gerak

Kalau arah resulatannya v1 dan v2 berimpit, maka gerak resultannya adalah tetap

sebuah gerak lurus beraturan juga.

A.2.5.1 Memadu Gerak GLB dengan GLBB, yang saling tegak lurus

Gerak resultannya adalah sebuah gerak parabola.

Misalkan arah kecepatan v kita sebut sumbu x dan arah

percepatan a kita sebut sumbu y, maka persamaan-persamaan

lintasannya ialah :

Gambar 2.11 Grafik paduan gerak y thd x

x = v . t t = x

v

y = 58

a t2 y = 1

2a (

v

x)2 …………………………(2-13)

y =a

v2 2. x

2 ini adalah suatu persamaan parabola.

v v vX Y 2 2


25

Kalau arah percepatan v dan arah percepatan a berimpit, maka gerak resultannya adalah

sebuah gerak lurus di percepat beraturan dengan kecepatan awal.

Menyusun dua buah gerak lurus dipercepatan beraturan tanpa kecepatan awal.

Gambar 2.12 Grafik

paduan gerak a dan v

Gerak resultannya a adalah sebuah gerak lurus beraturan

dipercepat beraturan tanpa kecepatan awal.

a a a a a 1

2

2

2

1 22 cos

Hal - hal istimewa dari dua buah percepatan.

1. a1dan a2 searah ( = 0o )

a = a1 + a2

a searah dengan a1dan a2

2. a1 dan a2 berlawanan arah ( = 180o )

a = a1 - a2

a searah dengan a1bila a1> a2

3. a1 dan a2 tegak lurus( = 90o )

a a a 1

2

2

2

arah a : tg = a

a

2

1

Menyusun dua buah gerak lurus dipercepat beraturan dengan kecepatan awal.

Gerak resultannya adalah sebuah gerak parabola atau sebuah

gerak lurus.

* Resultan geraknnya akan berbentuk parabola bila a dan v

tidak berimpit.

* Resultan geraknya akan berbentuk garis lurus bila a dan v

berimpit.

Gambar 2.13 Grafik paduan gerak v

Dengan kecepatan awal

Syarat agar a dan v berimpit ialah a1 : a2= v1 : v2

Menyusun gerak lurus beraturan dengan gerak lurus dipercepat beraturan dengan kecepatan

awal.


26

Gambar 2.14 Grafik

paduan gerak parabola1


Menyusun gerak lurus dipercepat beraturan tanpa kecepatan awal dengan gerak lurus

dipercepat dengan kecepatan awal.

Gambar 2.15 Grafik

paduan gerak parabola1


A.2.5.2 Gerak Parabola

Gerak ini adalah gerak dalam dua dimensi dari peluru/bola yang dilempar miring ke

atas. Kita anggap bahwa gerak ini terjadi dalam ruang hampa, sehingga pengaruh udara pada

gerakan peluru dapat diabaikan. Gerak sebuah peluru dipengaruhi oleh suatu percepatan

grafitasi g dengan arah vertikal ke bawah. Pada arah horisontal percepatannya sama dengan

nol.

Kita pilih titik asal sistem koordinat pada titik dimana

peluru mulai terbang. Kita mulai menghitung waktu

pada saat peluru mulai terbang, jadi kita ambil, pada

saat t = 0 peluru di ( 0,0 )

Gambar 2.16 Grafik gerak parabola

Persamaan pada sumbu x : vx = vo cos

x = vo cos . t

Persamaan pada sumbu y : vy = vo sin - g . t

y = vo sin . t - 12

g . t2

…………………………(2-14)

Untuk sembarang titik P pada lintasan :

v v vP X Y 2 2

tg = v

v

Y

X


27

· Titik tertinggi ( titik Q ) yang dapat ditempuh oleh peluru adalah :

Dapat dicari sebagai berikut :

Syarat benda mencapai titik tertinggi adalah vy = 0

vy = vo sin - gt 0 = vo sin - gt

tmax = g

vo sin substitusikan ke : y = vo sin . t - 1

2g . t

2

di dapat :

ymax = v

g

0

2 2

2

sin …………………………(2-15)

Dengan demikian titik tertinggi dicapai peluru jika = 900

· Jarak terjauh ( titik R ) yang dapat ditempuh oleh peluru adalah :

Syarat mencapai titik adalah : y = 0 atau waktu yang di tempuh benda adalah :

t = 2 g

vo sin substitusikan ke : x = vo cos . t dan sin 2 = 2 sin cos

di dapat :

xmax = v

g

0

22sin

…………………………(2-16)

Dengan demikian jarak tembak terjauh oleh peluru dicapai jika sudut = 450

LATIHAN SOAL

1. Seorang bergerak dengan kecepatan tetap sebesar 100 cm/det menurut garis lurus di atas

sebuah perahu. Perahu ini bergerak lurus beraturan pula dengan kecepatan 300

cm/det. Hitunglah kecepatan orang terhadap bumi, jikalau.

a. Arahnya dengan arah perahu membentuk sudut 600.

b. Arahnya dengan arah perahu membentuk sudut 1200.

c. Arahnya dengan arah perahu berimpitan.

d. Arahnya dengan arah perahu berlawanan.

2. Sebuah titik melakukan dua gerak lurus beraturan yang arahnya mengapit sudut 450.

Karena gerak pertama titik itu berpindah tempat sejauh 8 2 dalam 1 menit, dan karena

gerak kedua sejauh 6m dalam waktu 1 12

menit.

Hitunglah kecepatan gerak resultannya dan jarak yang ditempuh dalam 3 menit.


28

3. Sebuah benda melakukan dua gerak lurus beraturan. Kecepatan gerak yang pertama ialah

5 m/sec, kecepatan gerak kedua 12 m/sec.

Tentukanlah besar sudut yang diapit oleh kedua kecepatan itu, jikalau :

a. Benda dalam 10 sec menempuh 130 m.

b. Benda dalam 8 sec menempuh 136 m.

c. Benda dalam 12 sec menempuh 84 m.

4. Seseorang benda menyeberangi sungai, yang lebarnya 420 m kecepatan arusnya

2 12

m/sec. Jikalau ia mengarahkan perahunya siku-siku pada tepi sungai dengan kecepatan

tetap sebesar 2 58

m/sec, tentukanlah :

a. Waktu yang diperlukan untuk menyeberang.

b. Tempat ia sampai di tepi lain.

c. Jarak yang dilaluinya.

5. Seorang penumpang kapal berjalan digeladak dengan gerak lurus beraturan dengan

kecepatan 50 cm/det ; arahnya mengapit sudut 60 derajat dengan arah kapal kemuka.

Kecepatan orang itu terhadap bumi = 50 7 cm/det. Berapa kecepatan kapal itu ?

A.3 GERAK MELINGKAR (ROTASI)

Jika sebuah benda bergerak dengan kelajuan konstan pada suatu lingkaran

(disekeliling lingkaran ), maka dikatakan bahwa benda tersebut melakukan gerak melingkar

beraturan.

Gambar 2.17 Gerak rotasi

Kecepatan pada gerak melingkar beraturan besarnya selalu tetap namun arahnya

selalu berubah, arah kecepatan selalu menyinggung lingkaran, maka v selalu tegak lurus garis

yang ditarik melalui pusat lingkaran ke sekeliling lingkaran tersebut.

A.3.1 Posisi Sebuah Titik dalam Gerak Melingkar

Posisi atau kedudukan sebuah titik dalam gerak melingkar dapat dinyatakan dalam

Koordinat Polar. Sebagai :

= (t) untuk r yang tetap


29

Dengan demikian posisi titik di atas hanya tergantung dari waktu (t) saja, sedangkan :

= (r,t) untuk r dan t yang berubah

Dengan demikian posisi titik di atas tidak hanya tergantung dari waktu (t), tetapi juga besar r.

Satuan dalam rad, r dalam meter dan t dalam detik.

A.3.2 Kecepatan Sudut (Anguler) Suatu titik Materi dalam Gerak

Melingkar

Perhatikan !

Suatu titik materi yang bergerak dari A yang posisinya 1 pada saat t1, ke titik B yang

posisinya 2 pada saat t2

Gambar 2.18 vektor perpindahan gerak rotasi

Vektor perpindahannya = 2 - 1 dan selang waktu yang dipergunakan titik materi untuk

bergerak dari A ke B adalah t = t2 - t1

Kecepatan sudut rata-rata didefinisikan :

12

12

ttt

…………………………(2-17)

Jika ingin diketahui kecepatan sudut sesaat dari titik materi pada suatu saat, misal saat titik

materi berada di antara A dan B dipergunakan kecepatan sudut sesaat.

Kecepatan sudut sesaat didefinisikan :

Secara matematis ditulis sebagai :

d

dt …………………………(2-18)

Nilai dari komponen kecepatan sudut sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari

kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi terhadap t.


30

Gambar 2.19 Komponen posisi terhadap t

1 = tg 1

2 = tg 2

Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika dketahui fungsi kecepatan sudut

diselesaikan dengan INTEGRAL .

td t

dt

d t t dt

d t t dt

t t dt …………………………(2-19)

A.3.3 Percepatan Sudut ( )

Kecepatan sudut titik materi dapat berubah-ubah setiap saat, baik besar, atau arah, ataupun

kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan sudut yang dialami titik

materi tersebut.

Jika pada saat t1 kecepatan sudutnya 1 dan pada saat t2 kecepatan sudutnya 2

percepatan sudut rata-ratanya dalam selang waktu t = t2 - t1 didefinisikan sebagai :

t t t

2 1

2 1

…………………………(2-20)

percepatan sudut sesaatnya :

d

dt

d d

dt t

d

dt

2

2 …………………………(2-21)

A.3.4 Pengertian Radian.

1 (satu) radian adalah besarnya sudut tengah lingkaran yang panjang busurnya sama

dengan jari-jarinya.


31

Besarnya sudut :

= S

R radian

S = panjang busur

R = jari-jari

Gambar 2.19 komponen posisi s terhadap t

Jika panjang busur sama dengan jari-jari, maka = 1 radian.

Satu radian dipergunakan untuk menyatakan posisi suatu titik yang bergerak

melingkar ( beraturan maupun tak beraturan ) atau dalam gerak rotasi.

Keliling lingkaran = 2 x radius, gerakan melingkar dalam 1 putaran = 2 radian.

1 putaran = 3600 = 2 rad.

1 rad =2

360 = 57,3

0

A.3.5 Frekwensi dan perioda dalam gerak melingkar beraturan.

Waktu yang diperlukan P untuk satu kali berputar mengelilingi lingkaran di sebut

waktu edar atau perioda dan diberi notasi T. Banyaknya putaran per detik disebut Frekwensi

dan diberi notasi f. Satuan frekwensi ialah Herz atau cps ( cycle per second ).

Jadi antara f dan T kita dapatkan hubungan : f . T = 1 f = 1

T

A.3.6 Kecepatan linier dan kecepatan sudut.

Jika dalam waktu t detik ditempuh jalan sepanjang keliling lingkaran ialah 2R, maka

kelajuan partikel P untuk mengelilingi lingkaran dapat dirumuskan : v = s

t. Kecepatan ini

disebut kecepatan linier dan diberi notasi v.

Kecepatan anguler biasanya dinyatakan dalam radian/detik, derajat perdetik, putaran

perdetik (rps) atau putaran permenit (rpm).

Bila benda melingkar beraturan dengan sudut rata-rata ()dalam radian perdetik :

= sudut gerakan radian

waktu ik yang diperlukan untuk membentuk sudut tersebut

( )

(det ) .

=

t

jika 1 putaran maka : = 2

T rad/detik atau = 2 f

Dengan demikian besarnya sudut yang ditempuh dalam t detik :

= t atau = 2 f t

Dengan demikian antara v dan kita dapatkan hubungan :


32

v = R

A.3.7 Sistem Gerak Melingkar pada Beberapa Susunan Roda

Sistem langsung.

Pemindahan gerak pada sistem langsung yaitu melalui persinggungan roda yang satu

dengan roda yang lain.

Gambar 2.20 sistem langsung

Pada sistem ini kelajuan liniernya sama, sedangkan kelajuan anguler tidak sama.

v1 = v2, tetapi 1 2

Sistem tak langsung.

Pemindahan gerak pada sistem tak langsung yaitu pemindahan gerak dengan

menggunakan ban penghubung atau rantai.

Gambar 2.21 sistem tak langsung

Pada sistem ini kelajuan liniernya sama, sedangkan kelajuaan angulernya tidak sama.

v1 = v2, tetapi 1 2

Sistem roda pada satu sumbu ( CO-Axle )

Jika roda-roda tersebut disusun dalam satu poros putar, maka pada sistem tersebut titik-titik

yang terletak pada satu jari mempunyai kecepatan anguler yang sama, tetapi kecepatan

liniernya tidak sama.

Gambar 2.22 sistem roda satu sumbu

A = R = C , tetapi v A v B v C


33

A.3.8 Percepatan Sentripetal.

Jika suatu benda melakukan gerak dengan kelajuan tetap mengelilingi suatu

lingkaran, maka arah dari gerak benda tersebut mempunyai perubahan yang tetap. Dalam hal

ini maka benda harus mempunyai percepatan yang merubah arah dari kecepatan tersebut.

Arah dari percepatan ini akan selalu tegak lurus dengan arah kecepatan, yakni arah

percepatan selalu menuju kearah pusat lingkaran. Percepatan yang mempunyai sifat-sifat

tersebut di atas dinamakn PERCEPATAN CENTRIPETALNYA.

Harga percepatan centripetal (ar) adalah :

ar = ( tan )kecepa linier pada benda

jari jari lingkaran

2

ar = v

R

2

atau ar = 2 R …………………………(2-22)

v = kecepatan linier

R = jari-jari lingkaran.

A.3.9 BEBERAPA CONTOH BENDA BERGERAK MELINGKAR

1. Gerak benda di luar dinding melingkar.

N = m . g - m . v

R

2

N = m . g cos - m . v

R

2

2. Gerak benda di dalam dinding melingkar.

N = m . g + m . v

R

2

N = m . g cos + m . v

R

2


34

N = m . v

R

2

- m . g cos

N = m . v

R

2

- m . g

3. Benda dihubungkan dengan tali diputar vertikal.

T = m . g + m v

R

2

T = m m . g cos + mv

R

2

T = m . v

R

2

- m . g cos

T = m . v

R

2

- m . g

4. Benda dihubungkan dengan tali diputar mendatar (ayunan centrifugal/konis)

T cos = m . g

T sin = m . v

R

2

Periodenya T = 2 L

g

cos

Keterangan : R adalah jari-jari lingkaran

5. Gerak benda pada sebuah tikungan berbentuk lingkaran mendatar.

N . k = m . v

R

2

N = gaya normal

N = m . g


35

LATIHAN SOAL

1. Sebuah batang MA panjang 1 meter dan titik B berada di tengah-tengah MA. Batang

diputar beraturan dengan laju tetap dan M sebagai pusat. Bila A dalam 1 sekon berputar

10 kali. Hitunglah :

a. Kecepatan linier titik A dan B.

b. Kecepatan sudut titik A dan B.

2. Benda bermassa 10 kg diikat dengan tali pada pasak (tiang). Berapa tegangan tali T jika

bergerak melingkar horisontal pada jari-jari 2 m dan kecepatan sudutnya 100

putaran tiap sekonnya ?

3. Berapa kecepatan maksimum dari mobil yang bermassa m dan bergerak mengelilingi tepi

putaran dengan jari-jari 40 m, dan koefesien geraknya 0,7 ?

4. Suatu titik materi bergerak melingkar beraturan. Dua detik yang pertama menempuh

busur sepanjang 40 cm, Bila jari-jari lingkaran 5 cm, maka :

a. Tentukan kelajuan liniernya.

b. Tentukan kelajuan angulernya.

c. Dispacement angulernya ( sudut pusat yang ditempuh )

5. Sebuah partikel bergerak melingkar beraturan dengan diameter 1 m, dalam 1 detik

menempuh lintasan sudut 1/3 lingkaran. Hitunglah :

b. kecepatan sudutnya.

c. Kecepatan liniernya.

B. DINAMIKA

Cabang dari ilmu mekanika yang meninjau gerak partikel dengan meninjau penyebab

geraknya dikenal sebagai dinamika. Dalam bab ini kita akan membahas konsep-konsep yang

menghubungkan kondisi gerak benda dengan keadaan-keadaan luar yang menyebabkan

perubahan keadaan gerak benda.

Gaya

Gaya didefinisikan dengan

percepatan yang dihasilkannya pada

sebuah benda tertentu. Gaya 1 newton

(N) adalah gaya yang menghasilkan

percepatan 1 m/s2 pada benda standar

dengan massa 1 kilogram (kg). Gambar 2.23 Gaya 1 Newton


36

Gaya dapat mengubah arah gerak suatu benda, gaya dapat mengubah bentuk suatu

benda serta gaya juga dapat mengubah ukuran suatu benda dengan syarat gaya yang kita

berikan cukup besar.

Gaya menyebabkan percepatan. Arah gaya searah dengan arah percepatan. Dari sini

dapat disimpulkan bahwa gaya adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Ini berarti,

gaya dapat digolongkan sebagai sebuah vektor.

Disamping Newton, satuan gaya sering ditulis dalam bentuk kg m/s2 .1 Newton = 1 kg

m/s2. Dalam sistern cgs, satuan gaya dinyatakan dalam 1 dyne.1 dyne = 1 gr cm/ s

2

Inersia (Kelembaman)

Inersia adalah kecenderungan suatu benda untuk tetap diam atau tetap bergerak lurus

dengan kecepatan tetap. (bergerak lurus beraturan) Hukum Inersia menyatakan bahwa suatu

benda cenderung tetap diam atau tetap bergerak dengan kecepatan tetap, asalkan tidak ada

gaya yang rnengganggunya.

Sebuah kerangka acuan dimana hukum-hukum Newton berlaku dinamakan kerangka

acuan inersia. Setiap kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan relatif

terhadap kerangka acuan inersia merupakan kerangka acuan inersia juga. Sebuah kerangka

acuan yang dipercepat relatif terhadap kerangka inersia bukan kerangka acuan inersia.

Sebuah kerangka acuan yang diikatkan ke bumi hampir berperilaku sebagai kerangka acuan

inersia.

Anggap bumi adalah kerangka inersia. Dan anggap anda sedang berada disebuah

kerata api yang bergerak dengan kecepatan tetap v diukur oleh pengamat yang sedang di atas

tanah. Sebuah benda di dalam kereta diberi gaya F.

Waktu anda amati benda ini bergerak dipercepat

dengan percepatan a. Berapakah percepatan benda

oleh pengamat yang berdiri di atas tanah?

Karena bumi adalah kerangka inersia, rnaka

kereta api juga adalah kerangka inersia (kereta api ini

tidak bergerak dipercepat terhadap bumi). Karena

semua hukum Fisika berlaku dalam semua kerangka

inersia, maka gaya (ataupun percepatan) yang dialami oleh suatu benda yang diamati oleh

pengamat disuatu kerangka inersia sama besar jika diamati oleh pengamat pada kerangka

Gambar 2.24. Penumpang di atas

KA


37

inersia yang lain. Jadi percepatan benda diukur oleh pengamat yang berdiri diatas tanah

adalah a.

Misalkan kita mempunyai 2

benda berukuran sama

dalam keadaan diam. Yang

satu terbuat besi dan yang

lain dari kayu.

Jika kita ingin menggerakkan benda ini, kita membutuhkan gaya yang lebih besar

untuk besi dibandingkan kayu. Hal ini disebabkan besi mempunyai inersia (kecenderungan

untuk tetap diam) yang besar dibandingkan kayu. Dengan kata lain besi lebih sulit digerakkan

dibandingkan kayu. Semakin besar inersia suatu benda semakin cenderung benda ini ingin

mempertahankan posisi diamnya, akibatnya untuk menggerakkan benda yang lebih besar

inersianya dibutuhkan gaya yang lebih besar. (Catatan: pengertian inersia sebenarnya bukan

untuk benda yang diam saja, tapi juga untuk benda yang bergerak dengan kecepatan tetap).

Massa inersia (atau lebih dikenal dengan massa) didefinisikan sebagai ukuran inersia.

B.1 Hukum-Hukum Newton

Hubungan fundamental pada mekanika klasik tercakup dalam hukum tentang gerak

yang dikemukakan oleh Isaac Newton, seorang ilmuwan Inggris. Newton sangat berjasa

dalam mempelajari hubungan antara gaya dan gerak.

B.1.1 Hukum I Newton

Jika resultan dari gaya-gaya yang bekerja pada sebuah benda sama dengan nol ( F = 0),

maka benda tersebut :

- Jika dalam keadaan diam akan tetap diam, atau

- Jika dalam keadaan bergerak lurus beraturan akan tetap bergerak lurus beraturan.

Keadaan tersebut di atas disebut juga Hukum KELEMBAMAN.

Kesimpulan : F = 0 dan a = 0

Karena benda bergerak translasi, maka pada sistem koordinat Cartesius dapat dituliskan Fx

= 0 dan Fy = 0.

Sebenarnya pernyataan hukum Newton I atau juga disebut Hukum Inersia sudah pernah

dinyatakan oleh Galileo Galilei beberapa tahun sebelum Newton lahir. Galileo mengatakan:

Gambar 2.25. Inersia pada dua benda yang berbeda jenis


38

Kecepatan yang diberikan pada suatu benda akan tetap dipertahankan jika semua gaya

penghambatnya dihilangkan.

Jadi dapat disimpulkan bahwa bila pengaruh luar pada sebuah benda benar-benar

dihilangkan, maka sebuah benda akan tetap diam bila pada mulanya diam, dan akan tetap

bergerak dengan kecepatan konstan, bila pada mulanya bergerak dengan kecepatan konstan.

B.1.2 Hukum II Newton

Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya yang bekerja pada suatu benda berbanding lurus dan

searah dengan gaya itu dan berbanding terbalik dengan massa benda.

a F

m atau F m .a

F = k . m . a

dalam S I konstanta k = 1 maka : F = m .a

Gambar 2.26 Gaya terhadap balok

Satuan :

BESARAN NOTASI MKS CGS

Gaya F newton (N) dyne

Massa m kg gram

Percepatan a m/det2 cm/det

2

Bayangkan anda mendorong sebuah benda yang gaya F dilantai yang licin sekali

sehingga benda itu bergerak dengan percepatan a. Menurut hasil percobaan, jika gayanya

diperbesar 2 kali ternyata percepatannya menjadi. 2 kali lebih besar. Demikian juga jika gaya

diperbesar 3 kali percepatannya lebih besar 3 .kali lipat. Dan sini kita simpulkan bahwa

percepatan sebanding dengan resultan gaya yang bekerja.

Atau

…………………………(2-23)

Sekarang kita lakukan percobaan lain. Kali ini massa bendanya divariasi tetapi

gayanya dipertahankan tetap sama. Jika massa benda diperbesar 2 kali, ternyata

percepatannya menjadi ½ kali. Demikian juga jika massa benda diperbesar 4 kali,

percepatannya menjadi ¼ kali percepatan semula. Dan sini kita bisa simpulkan bahwa

percepatan suatu benda berbanding terbalik dengan massa benda itu.

Massa dan Berat

Massa adalah sifat intrinsik dari sebuah benda yang menyatakan resistensinya

terhadap percepatan. Massa sebuah benda dapat dibandingkan dengan massa benda lain

amFneto

amFneto


39

dengan menggunakan gaya yang sama pada masing-masing benda dan dengan mengukur

percepatannya. Dengan demikian rasio massa benda-benda itu sama dengan kebalikan rasio

percepatan benda-benda itu yang dihasilkan oleh gaya yang sama :

Massa sebuah benda tidak tergantung pada lokasi benda.

Hukum Newton kedua lebih awal dimaknai sebagai pengaruh luar (gaya) yang

bekerja pada sebuah benda sebanding dengan laju perubahan kuantitas gerak terhadap waktu.

Kuantitas gerak disini adalah besaran vektor suatu benda yang tergantung pada massa inersia

dan kecepatan benda, yaitu ’momentum’ ( mvp

)’ Sehingga,

…………………………(2-24)

Sedangkan hukum Newton pertama adalah kasus khusus ketika tidak ada pengaruh luar pada

sebuah benda, atau ketika gayanya sama dengan nol.

Berat suatu benda (w) adalah besarnya gaya tarik bumi terhadap benda tersebut dan

arahnya menuju pusat bumi. ( vertikal ke bawah ).

Hubungan massa dan berat :

w = m . g

w = gaya berat.

m = massa benda.

g = percepatan grafitasi.

Satuan :

BESARAN NOTASI MKS CGS

Gaya berat W newton (N) dyne

Massa M kg gram

Grafitasi G m/det2 cm/det

2

Perbedaan massa dan berat :

* Massa (m) merupakan besaran skalar di mana besarnya di sembarang tempat untuk suatu

benda yang sama selalu TETAP.

* Berat (w) merupakan besaran vektor di mana besarnya tergantung pada tempatnya (

percepatan grafitasi pada tempat benda berada ).

Hubungan antara satuan yang dipakai :

1 newton = 1 kg.m/det2

1

2

2

1

a

a

m

m

dt

pdFneto


40

1 dyne = 1 gr.cm/det2

1 newton = 105 dyne

1 kgf = g newton ( g = 9,8 m/det2 atau 10 m/det

2 )

1 gf = g dyne ( g = 980 cm/det2 atau 1000 cm/det

2 )

1 smsb = 10 smsk

smsb = satuan massa statis besar.

smsk = satuan massa statis kecil.

Pengembangan :

1. Jika pada benda bekerja banyak gaya yang horisontal maka berlaku : F = m . a

F1 + F2 - F3 = m . a

Arah gerak benda sama dengan F1 dan F2 jika F1 + F2 > F3

Arah gerak benda sama dengan F3 jika F1 + F2 < F3 ( tanda a = - )

2. Jika pada beberapa benda bekerja banyak gaya yang horisontal maka berlaku :

F = m . a

F1 + F2 - F3 = ( m1 + m2 ) . a

3. Jika pada benda bekerja gaya yang membentuk sudut dengan arah mendatar maka

berlaku : F cos = m . a

B.1.3 Hukum III Newton

Bila sebuah benda A melakukan gaya pada benda B, maka benda juga akan

melakukan gaya pada benda A yang besarnya sama tetapi berlawanan arah.

Gaya yang dilakukan A pada B disebut : gaya aksi.

Gaya yang dilakukan B pada A disebut : gaya reaksi.

maka ditulis : Faksi = - Freaksi …………………………(2-25)

Hukum Newton III disebut juga Hukum Aksi - Reaksi.

1. Pasangan aksi reaksi.

Pada sebuah benda yang diam di atas lantai berlaku :


41

w = - N

w = gaya berat benda memberikan gaya aksi pada lantai.

N = gaya normal ( gaya yang tegak lurus permukaan tempat

di mana benda berada ).

Hal ini bukan pasangan Aksi - Reaksi.

( tanda - hanya menjelaskan arah berlawanan )

Gambar 2.27 pasangan gaya aksi reaksi

2. Pasangan aksi - reaksi pada benda yang digantung.

Gambar 2.28 pasangan gaya aksi reaksi pada benda digantung

Balok digantung dalam keadaan diam pada tali vertikal. Gaya w1 dan T1 BUKANLAH

PASANGAN AKSI - REAKSI, meskipun besarnya sama, berlawanan arah dan segaris kerja.

Sedangkan yang merupakan PASANGAN AKSI - REAKSI adalah gaya :

Demikian juga gaya T2 dan T’2 merupakan pasangan aksi - reaksi.

Hubungan Tegangan Tali Terhadap Percepatan.

a. Bila benda dalam keadaan diam, atau dalam keadan bergerak lurus

beraturan maka :

T = m . g

T = gaya tegangan tali.

b. Benda bergerak ke atas dengan percepatan a maka :

T = m . g + m . a


c. Benda bergerak ke bawah dengan percepatan a maka :

T = m . g - m . a


GERAK BENDA YANG DIHUBUNGKAN DENGAN KATROL .

Dua buah benda m1 dan m2 dihubungkan dengan karol melalui


42

sebuah tali yang diikatkan pada ujung-ujungnya. Apabila massa tali

diabaikan, dan tali dengan katrol tidak ada gaya gesekan, maka akan

berlaku persamaan-persamaan :

Sistem akan bergerak ke arah m1 dengan percepatan a.

Tinjauan benda m1 Tinjauan benda m2

T = m1.g - m1.a ( persamaan 1) T = m2.g + m2.a ( persamaan 2)

Karena gaya tegangan tali di mana-mana sama, maka persamaan 1 dan persamaan 2 dapat

digabungkan :

m1 . g - m1 . a = m2 . g + m2 . a

m1 . a + m2 . a = m1 . g - m2 . g

( m1 + m2 ) . a = ( m1 - m2 ) . g

a =( )

( )

m m

m mg1 2

1 2

…………………………(2-26)

Persamaan ini digunakan untuk mencari percepatan benda yang dihubungkan dengan katrol.

Cara lain untuk mendapatkan percepatan benda pada sisitem katrol dapat ditinjau keseluruhan

sistem :

Sistem akan bergerak ke arah m1 dengan percepatan a.

Oleh karena itu semua gaya yang terjadi yang searah dengan arah

gerak sistem diberi tanda POSITIF, yang berlawanan diberi tanda

NEGATIF.

F = m . a

w1 - T + T - T + T - w2 = ( m1 + m2 ) . a

karena T di mana-mana besarnya sama maka T dapat dihilangkan.

w1 - w2 = (m1 + m2 ) . a

( m1 - m2 ) . g = ( m1 + m2 ) . a

a = ( )

( )

m m

m mg1 2

1 2

B.2 Jenis-jenis Gaya

[i] Gaya Berat

Berat sebuah benda adalah gaya tarikan gravitasi antara benda dan bumi. Gaya ini

sebanding dengan massa m benda itu dan medan gravitasi , yang juga sama dengan

percepatan gravitasi jatuh bebas :

Berat benda sifat intrinsik benda.

w

g

gmw


43

Berat bergantung pada lokasi benda, karena

g bergantung pada lokasi. Gaya berat selalu

tegak lurus kebawah dimana pun posisi

benda diletakkan, apakah dibidang

horisontal, vertikal ataupun bidang miring

[ii] Gaya Normal

Gaya normal adalah gaya yang bekerja

pada bidang sentuh antara dua prmukaan

yang bersentuhan, dan arahnya selalu tegak

lurus bidang sentuh.

Macam - macam keadan ( besar ) gaya normal.

N = w cos

N = w - F sin

N = w + F sin

[iii] Gaya Gesek

Gaya gesekan antara permukaan benda yang

bergerak dengan bidang tumpu benda akan

menimbulkan gaya gesek yang arahnya senantiasa

berlawanan dengan arah gerak benda.

Ada dua jenis gaya gesek yaitu :

gaya gesek statis (fs) : bekerja pada saat benda diam

(berhenti) dengan persamaan :

fs = N.s

gaya gesek kinetik (fk) : bekerja pada saat benda bergerak dengan persamaan :

fk = N. k

Nilai fk < fs

Jika permukaan-permukaan itu relatif diam yang satu terhadap yang lain, gaya

gesekannya adalah gesekan statik, yang dapat berubah nilainya dari 0 sampai nilai

maksimumnya μkFn , dengan Fn adalah gaya kontak normal dan μk adalah koefisien gesekan

kinetik. Koefisien gesekan kinetik sedikit lebih kecil dibandingkan koefisien gesekan statik.

Gambar 2.29. Arah vektor gaya berat

Gambar 2.30. Arah vektor gaya normal

Gambar 2.31. Arah vektor gaya gesek


44

Arah gaya gesekan ini selalu sepanjang bidang sentuh dan berusaha melawan gerak relatif

bidang sentuhnya.

Jika sebuah benda bergerak dalam fluida seperti udara atau air, benda mengalami

gaya hambat yang melawan gerakannya. Gaya hambat bertambah dengan bertambahnya

kelajuan. Jika benda dijatuhkan dari keadaan diam, kelajuannya bertambah sampai gaya

hambat sama dengan gaya gravitasi, setelah itu benda bergerak dengan kelajuan konstan yang

dinamakan kelajuan terminal.

[iv] Gaya Tegang Tali

Gaya tegangan tali disebut juga tegangan tali adalah

gaya yang bekerja pada ujung-ujung tali karena tali itu

tegang. Jika tali dianggap ringan maka gaya tegangan

tali pada kedua ujung tali yang sama dianggap sama

besarnya.

[v] Gaya Pegas

Sebuah pegas ideal bila diregangkan atau ditekan akan memberikan gaya yang sebanding

dengan besar perubahan panjang pegas. Jadi gaya yang diberikan oleh pegas adalah

…………………………(2-27)

adalah vektor besar perubahan panjang pegas dan tanda negatif pada persamaan di atas

menunjukkan arah gayanya yang berlawanan dengan arah perubahan panjang pegas.

Konstanta kesebandingan k disebut juga sebagai konstanta pegas. Kebanyakan pegas real

akan mengikuti persamaan diatas untuk nilai yang cukup kecil.

C. USAHA DAN ENERGI

Konsep fisika dalam dinamika selain Hukum Newton yang juga dapat digunakan

untuk mengetahui keadaan gerak suatu benda yang menghubungkan pengaruh luar (gaya)

dengan keadaan gerak benda, adalah konsep usaha (kerja) dan energi (tenaga). Bedanya

dengan konsep hukum newton, usaha dan energi adalah besaran skalar. Karena itu, untuk

beberapa kasus, konsep usaha-energi dapat lebih mudah digunakan untuk mengetahui

keadaan gerak suatu benda akibat pengaruh luar (gaya).

Gambar 2.32. Gaya tegangan tali

xkF

x

x


45

C.1 Usaha

Usaha yang dilakukan oleh gaya konstan adalah hasil kali skalar vektor gaya dan

vektor perpindahan benda, hasil kali komponen gaya dalam arah gerakan dan besar

perpindahan titik tangkap gaya tersebut :

F

F cos

x

Gambar 2.33 komponen gaya F cos

W=F cos θ Δx = Fx Δx …………………………(2-28)

dengan adalah sudut antara vektor gaya dan vektor perpindahan benda.

Usaha yang dilakukan gaya yang berubah-ubah, sama dengan luas daerah di bawah

kurva gaya terhadap jarak :

…………………………(2-29)

= luas daerah di bawah kurva Fx terhadap x

SATUAN

BESARAN SATUAN MKS SATUAN CGS

Usaha (W) joule erg

Gaya (F) newton dyne

Perpindahan (

x ) meter cm

1 joule = 107

erg

Catatan : Usaha (work) disimbolkan dengan huruf besar W

Berat (weight) disimbolkan dengan huruf kecil w

C.2 Teorema Usaha-Energi

Usaha yang dilakukan pada sebuah partikel oleh gaya untuk perpindahan yang

kecil dituliskan sebagai

dan usaha yang dilakukan pada partikel yang bergerak dari titik 1 ke titik 2 adalah

dxFWb

ax

sd

sdFdW

.

2

1

.S

SsdFW


46

atau menurut komponen produk skalarnya,

…………………………(2-30)

Untuk memudahkan analisa, kita tinjau komponen x saja, karena analisa untuk komponen

lainnya serupa. Diketahui bahwa:

…………………………(2-31)

Pada akhirnya,

b

azzyyxxtot dvvdvvdvvmW )(

)()(22

21222

21

ab

b

azyx vvmvvvm …………………………(2-32)

Jadi nilai total usaha bergantung pada suatu kuantitas akhir dan awal, yaitu selisih

besar kuadrat kecepatan akhir dan awal dikali setengah massa. Kuantitas ini kemudian diberi

nama energi, dan karena kuantitas ini bernilai tidak nol ketika kecepatannya tidak nol, maka

diberi nama energi kinetik ( ). Jadi total usaha yang bekerja pada suatu benda sama

dengan perubahan energi kinetiknya.

…………………………(2-33)

Satuan SI kerja dan energi adalah joule (J) :

1 J = 1 N.m

C.3 Gaya Konservatif

Sebuah gaya disebut konservatif jika usaha total yang dilakukannya pada sebuah

partikel nol ketika partikel bergerak sepanjang lintasan tertutup, yang mengembalikan

partikel ke posisi awalnya. Usaha yang dilakukan oleh gaya konservatif pada sebuah partikel

tak bergantung pada bagaimana partikel itu bergerak dari satu titik ke titik lain.

Energi potensial sebuah sistem adalah energi yang berhubungan konfigurasi sistem.

Perubahan ennergi potensial sistem didefinisikan sebagai negative usaha yang dulakukan oleh

gaya knservatif yang bekerja pada sistem :

2

21 mvK

2

212

21

iftotal mvmvKW

sdFdU

.

2

1

.12

S

SsdFWUUU

b

azyx dzFdyFdxFW )(

dx

dvmv

dt

dx

dx

dvm

dt

dvmF x

xxx

x


47

Usaha yang dilakukan pada sebuah sistem oleh gaya konservatif sama dengan

berkurangnya energi potensial sistem. Nilai absolut energi potensial tidak penting. Hanya

perubahan energi potensial yang penting.

Energi potensial gravitasi sebuah benda bermassa m pada ketinggian y di atas suatu titik

acuan adalah :

…………………………(2-34)

Energi potensial pegas dengan konstanta gaya k ketika pegas diregangkan atau

dikompresi sejauh x dari titik keseimbangan diberikan oleh :

…………………………(2-35)

Dalam satu dimensi, sebuah gaya konservatif sama dengan negatif turunan fungsi energi

potensial yang terkait :

Pada nilai minimum kurva energi potensial sebagai fungsi perpindahan, gaya sama

dengan nol dan sistem ada dalam keseimbangan stabil. Pada maksimum, gaya sama dengan

nol dan sistem ada dalam kesetimbangan tak stabil. Sebuah gaya konservatif selalu cenderung

mempercepat partikel ke arah posisi dengan energi potensial lebih rendah.

Jika hanya gaya konservatif yang melakukan usaha pada sebuah benda, jumlah

energi kinetik dan energi potensial benda tetap konstan :

…………………………(2-36)

Ini adalah hukum kekekalan energi mekanik.

Usaha yang dilakukan oleh gaya tak konservatif yang bekerja pada sebuah partikel

sama dengan perubahan energi mekanik total sistem :

Ini adalah teorema usaha-energi umum.

Kekekalan energi mekanik dan teorema usaha-energi umum dapat digunakan

sebagai pilihan selain hukum Newton untuk memecahkan soal-soal mekanika yang

membutuhkan penentuan kelajuan partikel sebagai fungsi posisinya.

Energi total suatu sistem dapat mencakup energi jenis lain seperti energi panas atau

energi kimia internal, selain energi mekanik. Energi suatu sistem dapat diubah lewat berbagai

cara seperti emisi atau absorpsi radiasi, usaha yang dikerjakan pada sistem, atau panas yang

dipindahkan. Kenaikan atau penurunan energi sistem dapat selalu dijelaskan lewat

munculnya atau hilangnya suatu jenis energi di suatu tempat, suatu hasil eksperimen yang

mgyU

2

21 kxU

dx

dUFx

konstan2

21 UmvUKE

EKUWnc


48

dikenal sebagai hukum kekekalan energi :

Daya adalah laju alih energi dari satu sistem ke sistem lain. Jika sebuah gaya

bekerja pada suatu partikel yang bergerak dengan kecepatan , daya masukan gaya itu

adalah :

…………………………(2-37)

Satuan SI untuk daya adalah watt (W), yang sama dengan satu joule per sekon. Suatu satuan

energi yang biasa diguakan adalah kilowatt – jam, yang sama dengan 3,6 megaJoule.

D. GRAVITASI

Sir Isaac Newton yang terkenal dengan hukum-hukum Newton I, II dan III, juga

terkenal dengan hukum Gravitasi Umum. Didasarkan pada partikel-partikel bermassa

senantiasa mengadakan gaya tarik menarik sepanjang garis yang menghubungkannya,

Newton merumuskan hukumnya tentang gravitasi umum yang menyatakan :

Gaya antara dua partikel bermassa m1 dan m2 yang terpisah oleh jarak r adalah gaya tarik

menarik sepanjang garis yang menghubungkan kedua partikel tersebut, dan besarnya dapat

dinyatakan dengan persamaan :

F = G m m

r

1 2

2 …………………………(2-38)

F = Gaya gravitasi, satuan : NEWTON.

G = Konstanta gravitasi, besarnya :

G = 6,67 x 10-11

N m

kg

2

2

m = massa benda, satuan : KILOGRAM

r = jarak antara kedua partikel, satuan : METER

Gaya gravitasi adalah besaran vektor yang arahnya senantiasa menuju pusat massa partikel.

Gambar 2.34 gaya gravitasi

Untuk gaya gravitasi yang disebabkan oleh beberapa massa tertentu, maka resultan gayanya

ditentukan secara geometris. Misalnya dua buah gaya F1 dan F2 yang membentuk sudut

resultante gayanya dapat ditentukan berdasarkan persamaan :

F F F F F 1

2

2

2

1 22 cos

sisoutin EEE

F

v

vFdt

dWP

.


49

Gambar :

Gambar 2.34 resultan gaya gravitasi

LATIHAN SOAL

1. Dua buah benda masing-masing massanya 10 kg dan 20 kg terpisahkan pada jarak 2

meter satu dengan yang lain. Tentukan gaya gravitasi antara kedua benda itu.

( jawab : 3,34 x 10-19

N )

2. Gaya tarik gravitasi antara du buah benda bermassa adalah 2,001 x 10-10

N.

Bila massa benda adalah 3 kg dan 9kg. Tentukanlah jarak antara kedua benda itu.

( jawab 3 meter ).

3. Massa sebesar 5 kg terpisah pada jarak 2 meter dari massa yang lain. Gaya gravitasi

antara kedua benda adalah sebesar 2,5 x 10-10. Tentukan massa benda yang lain.

( jawab 3kg )

4. Tiga buah bola bermassa masing-masing 1kg, 2kg dan 3kg diletakkan pada titik sudut

segitiga sama sisi dengan sisi 1 meter. Tentukanlah gaya yang dialami oleh bola bermassa

1 kg dalam susunan ini.

( jawab : 4,36 GN )

5. Dua buah bola bermassa masing-masing 4 kg terpisah pada jarak 2 3 meter.

Tentukanlah gaya tarik gravitasi yang dialami oleh bola bermassa 5 kg yang terletak pada

jarak 2 meter dari kedua massa tersebut.

D.1 Medan Gravitasi

Kuat medan gravitasi ( intensitas gravitasi ) oleh gaya gravitasi didefinisikan sebagai :

Perbandingan antara gaya gravitasi yang dikerjakan oleh medan dengan massa yang

dipengaruhi oleh gaya gravitasi tersebut.

Dalam bentuk persamaan, dapat dinyatakan dengan :

g = F

m

g = kuat medan gravitasi ; satuan : N.kg-1

F = Gaya gravitasi satuan : N

m = Massa benda satuan : kg

D.2 Kuat Medan Gravitasi oleh Benda Bermassa


50

Kuat medan gravitasi dapat ditimbulkan oleh suatu benda bermassa. Misalkan dua

buah benda bermassa masing-masing m dan m’ terpisah pada jarak r. Maka gaya gravitasi

oleh kedua benda itu adalah :

F = Gm m

r

'2

Bila kita hitung kuat medan gravitasi yang dilami oleh massa m’ sebagai akibat

dari gaya gravitasi di atas, maka di peroleh :

gF

m

Gm m

r

mG

m

r

'

'

'

2

2

g Gm

r

2 …………………………(2-39)

Persamaan di atas menunjukkan kuat medan gravitasi oleh benda bermassa m pada suatu

titik berjarak r dari benda itu.

Kuat medan gravitasi adalah suatu besaran vektor yang arahnya senantiasa menuju ke

pusat benda yang menimbulkannya. Karena : kuat medan gravitasi di suatu titik oleh

beberapa benda bermassa diperoleh dengan menjumlahkan vektor-vektor medan gravitasi

oleh tiap-tiap benda.

Sebagai contoh : Kuat medan gravitasi yang disebabkan oleh kedua dua buah benda yang

kuat medannya saling membentuk sudut , dapat dinyatakan dengan persamaan :

g g g g g 1

2

2

2

1 22 cos

LATIHAN SOAL

1. Suatu massa yang besarnya 2 kg berada pada suatu tempat dibawah pengaruh gaya

gravitasi sebesar 5 x 10-10

N. Tentukanlah kuat medan gravitasi yang dialami oleh itu.

( jawab : 2,5 x 10-10 )

2. Tentukanlah kuat medan gravitasi pada suatu titik berjarak 2 meter dari suatu massa

sebesar 25 kg.

(Jawab : 6,25 GN/kg )

3. Dua buah bola bermassa masing-masing 0,16 kg dan 0,32 kg terpisah pada jarak 2cm.

Tentukanlah kuat medan gravitasi pada suatu titik yang berjarak 2 cm dari kedua massa

tersebut.

( jawab : 1,06 x 103 GN/kg )

4. Tiga buah bola bermassa masing-masing 16 kg, 36 kg dan 25 kg berturut-turut di titik-

titik ( 4,0 ), ( 4,5 ) dan ( 0,5 ) . Satuan koordinat dalam meter. Tentukanlah kuat medan

gravitasi di titik pusat koordinat.

( jawab : 2,5 G N/kg )


51

5. Dua buah bola bermassa masing-masing besarnya 4 kg terpisah pada jarak 2 3 .

Tentukanlah kuat medan gravitasi pada suatu titik yang berjarak 2 cm dari kedua massa

itu.

( jawab : G N/kg )

D.3 Energi Potensial Gravitasi

Benda bermassa m yang terletak diluar bumi, energi potensial gravitasinya pada jarak

r dari pusat bumi, dinyatakan dengan persamaan :

Ep = - G M m

r

. …………………………(2-40)

Ep = Energi potensial gravitasi

G = Konstanta gravitasi

M = massa bumi

m = massa benda

r = Jarak pusat benda ke pusat bumi.

Tanda negatif (-) berarti jika benda bergerak di bawah pengaruh gaya gravitasi dari

jarak tak terhingga () ke jarak r maka energi potensialnya akan berkurang, karena

dipergunakan untuk menambah energi kinetik dengan makin besarnya laju benda waktu

bergerak mendekati bumi.

Jika mula-mula benda berada di tempat yang jauh tak hingga ( r = ) dengan energi

kinetik sama dengan nol, maka dalam perjalanan mendekati bumi, medan gravitasi merubah

energi potensial menjadi energi kinetik. Pada waktu sampai di bumi energi kinetik benda

sama dengan energi potensial gravitasi. Jadi :

12

2mv GM m

R

.

m = massa benda.

M = massa bumi.

R = jari - jari bumi.

v = kecepatan benda di permukaan bumi.

D.4 Hukum Kekekalan Energi

Hukum kekekalan energi mekanik total berlaku untuk medan gravitasi dan harganya

adalah :

Emek = Ek + Ep

Emek = 12

2mv GM m

R

. …………………………(2-41)


52

Kita dapat mendefinisikan energi potensial sebagai berikut : Jika Ep(A)= energi potensial di

titik A dan Ep(B) : energi potensial di titik B, maka beda energi potensialnya :

Ep(B) - Ep(A) = - G M m (1 1

r rB A

)

rA = jarak titik A ke pusat bumi.

rB = jarak titik B pusat bumi.

oleh karena usaha merupakan perubahan energi potensial maka usaha yang dilakukan

sepanjang garis dari A ke B dapat dinyatakan dengan :

WA----> B = - G M m (1 1

r rB A

)…………………………(2-42)

WA----> B = Usaha dari A ke B.

E. POTENSIAL GRAVITASI

Potensial gravitasi didefinisikan sebagai :

Tenaga potensial gravitasi per satuan massa. Dapat dinyatakan dengan persamaan :

vEp

m

v = potensial gravitasi, satuan : Joule/kg.

Ep = Energi potensial gravitasi, satuan : Joule

m = massa benda, satuan : kg.

E.1 Potensial Gravitasi oleh Benda Bermassa

Energi potensial gravitasi benda bermassa m’ yang terletak pada jarak r dari pusat

massa benda bermassa m dapat kita nyatakan dengan persamaan :

Ep = - G m m

r

'

Bila massa m’ terletak dititik p maka potensial gravitasi di titik p yang dialami oleh massa m’

dapat ditentukan sebagai berikut :

VEp

r

Gm m

r

m

'

'

V Gm

r …………………………(2-43)

V = potensial gravitasi pada jarak r dari massa m

m = massa benda

r = jarak tempat yang mengalami potensial gravitasi ke benda.


53

Potensial gravitasi merupakan besaran skalar, karena itu potensial yang disebabkan

oleh berapa benda bermassa merupakan jumlah aljabar dari potensial gravitasi masing-

masing benda bermassa itu, Jadi :

Vt = V1 + V2 + V3 + ...... + Vn

Beda potensial antara dua titik dalam medan gravitasi didefinisikan sebagai :

Potensial di titik yang satu dikurangi dengan potensial dititik yang lain. Usaha yang

dilakukan untuk mengangkut, massa m dari satu titik ke titik lain lewat sembarang lintasan

sama dengan massa benda itu kali beda potensial antara kedua titik itu.

WA----> B = m (VB - VA)

WA----> B = Usaha dari A ke B.

LATIHAN SOAL .

1. Tentukanlah energi potensial gravitasi yang dialami oleh massa sebesar 2kg yang terletak

dipermukaan bumi. Massa bumi kira-kira 6 x 1024

kilogram. Jari-jari bumi kira-kira 6,38

x 106 meter dan konstanta gravitasi 6,67 x 1011 Nm

2/kg

2.

( jawab : 6,3 x 107 joule )

2. Tentukan energi potansial gravitasi yang dialami oleh massa sebesar 2 kg yang terletak

pada jarak 5 meter dari suatu benda yang bermassa 30 kg.

( jawab : 8 x 10-10

)

3. Suatu benda yang massanya 10 kg berada pada suatu tempat yang memiliki energi

potensial gravitasi yang besarnya sama dengan 5 x 108 joule. Tentukanlah potensial

gravitasi yang dialami oleh benda itu.

( jawab : -5 x 107 joule/kg )

4. Tentukanlah potensial gravitasi pada suatu titik yang terletak 2 meter dari suatu benda

bermassa 25 kg.

( jawab : -8,3 x 10-10

J/kg )

5. Pada gambar di bawah ini, massa m1 = 0,3 kg dan massa m2 = 0,1 kg.

a. Tentukanlah potensial gravitasi yang disebabkan oleh massa m1 dan m2 dititik O

dan dititik A.

b. Berapakah usaha yang dilakukan untuk mengangkut massa m = 0,01 kg dari titik A

ke titik O -5 G J/kg.

( jawab : a . -7 G J/kg ; b. 0,02 G joule )


54

E.2 Hukum Kekekalan Energi

Untuk gerakan benda dalam medan gravitasi yang tidak sama kekuatan di semua titik,

hendaknya dipecahkan dengan perhitungan potensial gravitasi atau tenaga potensial gravitasi.

Jika gaya-gaya gesekan diabaikan, dasar persangkutannya hanyalah kekekalan energi, yaitu :

Ek + Ep = konstan.

Ek(1) + Ep(1) = Ek(2) + Ep(2)

Disini pembicaraan akan kita batasi hanya mengenai gerakan massa m dalam medan gravitasi

yang ditimbulkan oleh titik tunggal yang tetap atau bola homogen bermassa m. Sehingga :

Ek = 12

mv2

dan Ep = m V = - G M m

r

Akhirnya kita dapatkan bahwa :

12

m(v1)2 - G

M m

r1

= 12

m(v2)2 - G

M m

r2

(v2)2 = (v1)

2 + 2G M (

1 1

2 1r r ) ………………………(2-44)

F. MOMENTUM DAN IMPULS

F.1 Pengertian Momentum dan Impuls

Setiap benda yang bergerak mempunyai momentum. Momentum juga dinamakan

jumlah gerak yang besarnya berbanding lurus dengan massa dan kecepatan benda.

Suatu benda yang bermassa m bekerja gaya F yang konstan, maka setelah waktu t benda

tersebut bergerak dengan kecepatan :

vt = vo + a . t

vt = vo + m

F. t

F . t = m . vt – m.vo ………………………(2-45)

Besaran F. t disebut : IMPULS sedangkan besarnya m.v yaitu hasil kali massa

dengan kecepatan disebut : MOMENTUM

m.vt = momentum benda pada saat kecepatan vt

m.vo = momentum benda pada saat kecepatan vo

Kesimpulan

Momentum ialah : Hasil kali sebuah benda dengan kecepatan benda itu pada suatu saat.


55

Momentum merupakan besaran vector yang arahnya searah dengan

Kecepatannya.

Satuan dari mementum adalah kg m/det atau gram cm/det

Impuls adalah : Hasil kali gaya dengan waktu yang ditempuhnya. Impuls merupakan

Besaran vector yang arahnya se arah dengan arah gayanya.

Perubahan momentum adalah akibat adanya impuls dan nilainya sama dengan impuls.

IMPULS = PERUBAHAN MOMENTUM

F.2 Hukum Kekekalan Momentum

vA vA’

vB FBA vB’

FAB

Gambar 2.35 tumbukan dua benda

Misalkan benda A dan B masing-masing mempunyai massa mA dan mB dan masing-

masing bergerak segaris dengn kecepatan vA dan vB sedangkan vA > vB. Setelah tumbukan

kecepatan benda berubah menjadi vA’ dan vB’. Bila FBA adalah gaya dari A yang dipakai

untuk menumbuk B dan FAB gaya dari B yang dipakai untuk menumbuk A, maka menurut

hukum III Newton :

FAB = - FBA

FAB . t = - FBA . t

(impuls)A = (impuls)B

mA vA’ – mA vA = - (mB vB’ – mB vB)

mA vA + mB vB = mA vA’ + mB vB’ ………………………(2-46)

Jumlah momentum dari A dan B sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama/tetap. Hukum

ini disebut sebagai HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM LINIER.

F.3 Tumbukan

Pada setiap jenis tumbukan berlaku hukum kekekalan momentum tetapi tidak selalu

berlaku hukum kekekalan energi mekanik. Sebab disini sebagian energi mungkin diubah

menjadi panas akibat tumbukan atau terjadi perubahan bentuk :

Macam tumbukan yaitu :

a. Tumbukan elastis sempurna, yaitu tumbukan yang tak mengalami perubahan energi.

Koefisien restitusi e = 1


56

b. Tumbukan elastis sebagian, yaitu tumbukan yang tidak berlaku hukum kekekalan

energi mekanik sebab ada sebagian energi yang diubah dalam bentuk lain, misalnya

panas. Koefisien restitusi 0 < e < 1

c. Tumbukan tidak elastis , yaitu tumbukan yang tidak berlaku hukum kekekalan energi

mekanik dan kedua benda setelah tumbukan melekat dan bergerak bersama-sama.

Koefisien restitusi e = 0

Besarnya koefisien restitusi (e) untuk semua jenis tumbukan berlaku :

BA

BA

vv

vve

||

………………………(2-47)

||

; BA vv = kecepatan benda A dan B setelah tumbukan

vA ; vB = kecepatan benda A dan B sebelum tumbukan

Energi yang hilang setelah tumbukan dirumuskan :

Ehilang = Eksebelum tumbukan - Eksesudah tumbukan

Ehilang = { ½ mA vA2 + ½ mB vB

2} – { ½ mA (vA’)

2 + ½ mB (vB’)

2}…………(2.48)

Tumbukan yang terjadi jika bola dijatuhkan dari ketinggian h meter dari atas lantai.

Kecepatan bola waktu menumbuk lantai dapat dicari dengan persamaan :

vA = gh2

Kecepatan lantai sebelum dan sesudah tumbukan adalah 0.

vB = vB’ = 0

Dengan memsukkan persamaan tumbukan elstis sebagian :

BA

BA

vv

vve

||

diperoleh : 0

0|

A

A

v

ve atau

A

A

v

ve

|

dengan demikian diperoleh : h

he

'

h’ = tinggi pantulan h = tinggi bola jatuh.

Untuk mencari tinggi pntulan ke-n dapat dicari dengan : hn = h0 e2n

LATIHAN SOAL

1. Seorang pemain bisbol akan memukul bola yang datang padanya dengan massa 2 kg

dengan kecepatan 10 m/s, kemudian dipukulnya dan bola bersentuhan dengan pemukul

dalam waktu 0,01 detik sehingga bola berbalik arah dengan kecepatan 15 m/s.


57

a. Carilah besar momentum awal

b. Carilah besar momentum akhir

c. Carilah besar perubahan momentumnya.

d. Carilah besar impulsnya.

e. Carilah besar gaya yang diderita bola.

( a. 20 kg m/s, b. 30 kg m/s, c. 50 kg m/s, d. 50 kg m/s dan e. 5.000 newton )

2. Dua buah benda massanya 5 kg dan 12 kg bergerak dengan kecepatan masing-masing 12

m/s dan 5 m/s dan berlawanan arah. Jika bertumbukan sentral, hitunglah :

a. Kecepatan masing-masing benda dan hilangnya energi jika tumbukannya elastis

sempurna.

b. Kecepatan masing-masing benda dan energi yang hilang jika tumbukannya tidak

elastis sama sekali.

( a. -5 m/s dan 12 m/s , nol, b. nol , 510 joule)

3. Massa perahu sekoci 200 kg bergerak dengan kecepatan 2 m/s. dalam perahu tersebut

terdapat orang dengan massa 50 kg. Tiba-tiba orang tersebut meloncat dengan kecepatan 6

m/s. Hitunglah kecepatan sekoci sesaat (setelah orang meloncat)

Jika : a. arah loncatan berlawanan dengan arah sekoci.

b. arah loncatan searah dengan arah perahu.

( 03. a. 4 m/s, b. 1 m/s )

4. Benda jatuh di atas tanah dari ketinggian 9 m. Ternyata benda terpantul setinggi 1 meter.

Hitunglah :

a. Koefisien kelentingan.

b. Kecepatan pantulan benda.

c. Tinggi pantulan ketiga.

( a. 3

1, b. 2 5 m/s, c. m

81

1 )

5. Sebuah peluru dari 0,03 kg ditembakkan dengan kelajuan 600 m/s diarahkan ppada

sepotong kayu yang massanya 3,57 kg yang digantung pada seutas tali. Peluru mengeram

dalam kayu, hitunglah kecepatan kayu sesaat setelah tumbukan ? (5 m/s )

Daftar Pustaka

Crowell Benjamin, 2005, Newtonian Physics, Creative Commons Attribution-ShareAlike.

Dede, 2007, PPT file: Besaran Dalam Ilmu Fisika, free-ebook, [email protected]

Jonifan,dkk, 2008, Fisika Mekanika, Open Course at OCW Gunadarma.

Miller, F.J.R., 1989, College Physics, McGraw-Hill.

Jati, Bambang Murdaka Eka. 2008. Fisika Dasar untuk Mahasiswa Ilmu-Ilmu Eksakta dan

Teknik. Yogyakarta. ANDI

Tippler, P.A., 1991, Physics fir Scientists and Engineers, Worth Publisher.

fisika-dasar-mekanika-energi-gerak 6,7,8

Documents

Transcript of fisika-dasar-mekanika-energi-gerak 6,7,8