fisika

7/21/2019 fisika

http://slidepdf.com/reader/full/fisika-56d9f05741a30 1/7

Adalah untuk menyatakan arah di dalam ruang. Vekteor satuan sangat berguna

dalam beberapa pernyataan termasuk juga untuk komponen-kompone vektor.

Dalam sistem koordinatnya-xy, kita ambil sebagai vektor satuan dalam arah

sumbu-x positif dan j sebagai vektor satuan dalam arah sumbu-y positif. Dengandemikian hubungan antara vektor-vektor komponen dengan komponen-

komponennya, yang telah disebutkan dalam awal dari Pasal -!, dapat

dinyatakan sebagai berikut"

#.$%

&egitu pula, vektor A dapat dituliskan dalam komponen-kompennya sebagai"

#.'%

(angatlah penting untuk diketahui bahwa persamaan ini dan persamaan

sebelumnya, adalah persamaan-persamaan vektor.

)umlah dua buah vektor A dan &, masing-masing dinyatakan dalam komponen-

komponennya, dapat dinyatakan dalam vektor satuan sebagai berikut"

#.!%

Pada baris yang terakhir kita *atat bahwa koe+sien i adalah komponen-x dan

bahwa koe+sien j adalah komponen-y dari . Persamaan #-!% merupakan

ulangan dari persamaan #.% dalam bentuk sebuah persamaan vektor. ebih

lanjut, persamaan tersebut merupakan *ara lain dan kadang-kadang lebih baik

untuk menyatakan hubungan antara vektor-vektor.

&ila tidak semua vektor terletak pada bidang-xy, maka dibutuhkan komponen

ketiga. Vektor satuan yang ketiga terletak pada sumbu- dan kita sebut k .

&entuk umum Persamaan #-'% dan #-!% adalah

7/21/2019 fisika


#./%

#.0%

Dalam bab-bab berikutnya, vektor satuan kadang-kadang akan dipakai untuk

menyatakan arah tertentu didalam ruang, meskipun tanpa a*uan terhadap suatu

sistem koordinat. 1isalnya, arah sebuah garisyang tegak lurus pada suatu

bidang dapat dinyatakan dengan mende+nisikan suatu vektor satuan n #untuk

norma% yang tegak lurus pada bidang tersebut. 2al ini sering kita jumpai dalam

mempelajari medan-medan listrik dan magnet dalam bagian kedua buku ini.

1.8 Perkalian Vektor

&anyak hubungan +sis menjadi sederhana bila dinyatakan sebagai perkalian

vektor. 3arena vektor bukan bilangan biasa, konsep perkalian biasa tidak

langsung berlaku bagi vektor. (eperti halnya dengan perkalian vektor. Ada dua

ma*am perkalian vektor yang biasa dipakai. Pertama, disebut perkalian vektor ,

karena menghasilkan suatu skalar, sedang yang kedua disebut perkalian vektor ,

karena menghasilkan suatu vektor.

Perkalian skalar dua buah vektor A dan & dide+nisikan sebagai berikut. 3edua

bua vektor tersebut dilukiskan dari titik awal yang sama, seperti pada gambar.a. sudut anatara kedua vektor adalah 4. Perkalian skalar, yang ditulis

sebagai A B, dide+nisikan sebagai

#.5%

3arena notasi ini, maka perkalian skalar disebut juga perkalian titik. 2asilnya

adalah sebuah bilangan, bukan vektor, dan dapat positif atau negatif . &ila 4

antara nol dan 56o

perkalian skalar adalah positif, bila 4 antara 56o

dan 06o

,

perkalian skalar adalah negatif, dan bila 4 7 56o, A & 7 6. Perkalain skalar dua

bua vektor yang tegak lurus sesamanya selalu nol.

7/21/2019 fisika


#a% #b%

8ambar - #a% 9ntuk mende+nisikan perkalian skalar dua buah vektor

dilukiskan dari titik awal yang sama. #b% B cos 4 adalah komponen B dalam arah

A, dan A B adalah perkalian dari komponen tersebut dengan besar A.

Vektor B dapat juga dinyarakan dalam komponen yang sejajar dengan A dan

komponen yang tegak lurua pada A, seperti tampak pada 8ambar #-b%,

komponen yang sejajar A adalah #B cos 4%, Dengan demikian, dari persamaan #-

5%. A B adalah sama dengan komponen & yang sejajar dengan A, dikalikan

dengan besar A. ara lain, komponen A yang sejajar dengan B, dikalikan dengan

besar B.

&ila komponen-komponen A dan B diketahui, perkalian skalarnya dapat dihitung.

ara menghitung yang paling mudah adalah dengan menggunakan vektor

satuan yang telah dibahas dalam &agian -/. Pertama-tama

#-:6%

Perkalian antara suku-suku yang terdapat di anatara tanda kurung akan

menghasilkan sembilan buah buah suku, sebagai berikut"

7/21/2019 fisika


#-:%

(etiap suku di atas mengandung perkalian skalar antara dua buah vektor baik

yang sejajar maupun yang tegak lurus satu dengan yang lain. 1isalnya, dalam

, kedua vektor adalah sejajar, sudut anatar keduanya adalah nol,

konsinusnya adalah satu, dan perkalian skalar besarnya sama dengan .

;etapi dalam , kedua vektor tegak lurus sesamanya, sudutnya 56,

konsinusnya nol dan perkalian skalarnya nol. Dengan demikina enam dari

kesembilan suku adalah nol, dan ketiga suku yang tidak nol adalah

#-::%

ontoh . 2itunglah sudut anatar dua vektor

Penyelesaian 3ita mempunyai

Perkalaian skalar diberikan oleh Persamaan #-5% atau #-::%. Dengan

menyamakan kedua persamaan tersebut, dan menyusunnya kembali, kita

dapatkan

#-:<%

Dalam *ontoh di atas

7/21/2019 fisika


Dan 7 !!,!o.

&ila suatu gaya tetap = diberikan pada suatu benda dan menyebabkan benda

bergeser sejauh d, maka kerja > #suatu skalar% yang dilakukan gaya tersebut

adalah

W = F . d

#-:$%

Perkalian vektor anatar kedua vektor A dan B dinyatakan oleh A x B. 9ntuk

mende+nisikan perkalain vektor #karena notasi seperti yang telah disebutkan

maka disebutkan maka disebutkan maka disebut juga perkalian silang%kita lukis

A dan B dengan pangkalnya berimpit, dengan demikian maka kedua vektor

terletak pada sebuah bidang datar. Perkalian vektor dide+nisikan sebagai suatu

besaran vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang tersebut #yaitu tegak lurus

pada A dan B% dan besarnya adalah AB sin 4. ?aitu, bila C = A X B, maka

#.:'%

;egak lurus pada suatu bidang selalu terdapat dua buah arah. 9ntuk

membedakannya, kita bayangkan bahaw vektor A diputar terhadap garis tegak

lurus sehingga berimpit dengan & #dari dua kemungkinan mengelilingi garistegak lurus tadi sedemikian sehingga ujung-ujung jari bergerak ke arah dengan

putaran vektor A, maka ibu jari menunjukkan arah dari perkalian vektor. 3aidah

ini ditunjukkan pada 8ambar -:. ara lain, arah dari perkalian vektor adalah

gerak dari sekrup kanan yang diputar dari A ke &, seperti tampak pada gambar.

8ambar -:. Vektor A dan & terletak pada sebuah bidang, perkalian vektor Ax&

adalah tegak lurus pada bidang ini, dan arahnya ditentukan oleh @kaidah tangan

kanan

Dengan *ara yang sama, perkalia n vektor A x B ditentukan dengan

memutar B sehingga berimpit dengan A pada 8ambar -:. 2asilnya

7/21/2019 fisika


berlawanan dengan A x B. Perkalian vektor tidak komutatifB =aktanya, untuk dua

buah vektor A dan B yang sembarang,

A x B = - B X A

#-:!%

&ila komponen-komponen A dan B diketahui, perkalian vektor dapat

dihitung dengan menggunakan *ara yang sama dengan perkalian skalar. 3ita

uraikan pernyataan

A x & 7 #Axi + Ay j + Ak % x #&xi + By j + Bk %#-:/%

7 Axi x &xi + Axi x By j + Axi x Bk + Ay j x &xi + Ax j x

By j + Ax j x Bk + Ak x &xi + Axk x By j + Axk x Bk.

(emua suku di ama vektor satuan yang sama mun*ul dua kali, seperti A x i x & x i,

adalah nol karena suku-suku tersebut adalah hasil perkalian dua buah vektor

yang sejajar, sudut di antaranya adalah nol, dan sinusnya adalah nol. 9ntuk

menghitung yang lainnya, kita pergunakan sistem sumbu pada 8ambar -<a.

3ita dapatkan, misalnya, i x j = k dan j x i = -k . Dengan demikian A x i x & x j 7

A x & y k, dan seterusnya. Akhirnya kita dapatkan

A C & 7 #A ? &z - Az & ?) i + (Az &C - AC &z) + (AC & ? - A ? &C) k.

(1-28)

&ila C 7 A C B, komponen-komponen C adalah

C 7 A ? &z - Az & ?

? 7 Az &C - AC &z

z 7 AC & ? - A ? &C (1-

29)

#a% #b%

8ambar -<. #a% (istem koordinat kanan, pada mana i x j = k, j x k = i , dan k x i = j, #b%

(istem koordinat kiri, pada mana i x j = -k , dan seterusnya. &iasanya hanya sistem koordinat

kanan yang dipakai.

7/21/2019 fisika


Pemakaian perkalian vektor akan kita jumpai dalam &ab 0 dengan de+nisi

momen kakas atau momen suatu gaya. Perkalian vektor juga akan dipakai

se*ara luas dalam bab-bab mengenai magnet. Dari persamaan #-:'%, kita *atat

bahwa perkalian vektor antara vektor-vektor yang sejajar selalu nol.

Dalam kaitan dengan perkalian vektor timbullah suatu soal yang menarik.

Pada 8ambar -<b, misalkan arah dari sumbu- dibalik, sehingga didapatsistem sumbu seperti 8ambar -<b. 1aka, seperti para pemba*a dapat

dibuktikannya, de+nisi dari perkalian vektor tidak lagi i x j = k , melainkan i x j =

-k . ila yang dibalik adalah arah dua sumbu koordinat, kita dapatkan lagi i x j =

k , dan bila ketiganya dibalik, i x j = -k . Dengan demikian ada dua ma*am

sistem koordinat, yang berbeda tanda dalam perkalian vektor-vektor satuan.

Dalam perkalian vektor, haruslah dijelaskan sistem koordinat mana yang dipakai,

untuk men*egah timbulnya kebingungan.

(istem sumbu di mana i x j 7 k disebut siste kanan, dalam praktek

hanya dipakai sistem kanan untuk men*egah kebingungan. 2al ini juga akan

kita pakai dalam buku ini.

Contoh 2. &esar suatu vektor A adalah ! satuan dan arahnya sama dengan

arah sumbu-x positif, besar vektor B adalah $ satuan dan terletak pada bidang-

xy, membentuk sudut <6o dengan sumbu-x positif dan sudut !6o dengan sumbu-

y positif. 2itung perkalian vektor A C B.

Penyelesaian. Dari persamaan #-:'%, besar perkalian vektor adalah

A& sin 4 7 #!%#$%#sin <6o%7 :

Dari kaidah tangan kanan, arah A C B adalah searah dengan sumbu- positif.

ara lain, kita dapat menuliskan komponen-komponen A dan B dan

menggunakan Persamaan #-:5%"

AC 7 6 AC 70 A 7 0

AC 7 4 cos 30o = # %, &C 7 4 cos 60o = 2, B 7 0,

&ila C7 A C B, maka

C 7 #6%#6% E #6%#:% 7 6

? 7 #6%#: % E #!%#6% 7 6

z 7 #!%#:% E #6%# % 7 :

Dengan demikian hanya ada komponen-, dan vektor terletak sepanjang sumbu-

. &esar vektor sesuai dengan hasil perhitungan di atas.

fisika

Documents

Transcript of fisika