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8/17/2019 fisica .. trbj

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Capitulo 5

«Fuerzas distribuidas:

centroides y centros de

gravedad»Mónica Sarahí Raírez !ernal

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INTRODUCCIÓN:


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*a acción de la +ierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por

un gran n,ero de pe-ue.as /uerzas distribuidas sobre todo el

cuerpo0 por lo tanto la totalidad de dichas /uerzas pe-ue.as puede

ser reeplazada por una sola /uerza e-uivalente 12 así podeos

deterinar el centro de gravedad0 esto es0 el punto de aplicación de

la resultante 10 para cuerpos de varias /oras3


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"-uí podeos introducir dos conceptos relacionados con centro de

gravedad de una placa o de un alabre: el concepto de centroide de

un 4rea o de una línea y el concepto de prier oento de un 4rea

o de una línea con respecto a un ee dado


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ÁREAS Y LÍNEAS:


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Centro de gravedad de un cuerpo

bidiensional

Centro de gravedad de un cuerpo bidiensional

6ara obtener las coordenadas y de un punto0 donde debe aplicarse laresultante 10 los oentos de 1 con respecto a los y y x son iguales

a la sua de los oentos correspondientes de los pesos

eleentales0 esto es


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Si se increenta el n,ero de eleentos en los cuales se ha

dividido la placa y siult4neaente se disinuye el taa.o de cada

eleento se obtiene

7stas ecuaciones de/inen el peso 1 y las coordenadas del centro de

gravedad 8 de una placa plana3


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Centroides de 4reas y líneas3 7n el caso de una placa plana hoog9nea de espesor

uni/ore0 la agnitud del peso de un eleento de la placapuede epresarse

;onde < peso especí/ico =peso por unidad de voluen> del

aterial

t< espesor de la placa

< 4rea del eleento


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Si se increenta el n,ero de eleentos en los cuales se divide el

4rea " y siult4neaente se disinuye el taa.o de cada

eleento0 es decir

7stas ecuaciones de/inen las coordenadas del centro de gravedad

de una placa hoog9nea conocido tabi9n coo el centroide C del

área A

7n cabio si la placa no es hoog9nea0 estas ecuaciones no sepueden utilizar0 pero estas aun de/inen al centroide del 4rea3


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7n el caso de un alabre hoog9neo de sección transversal uni/ore0

la agnitud del peso de un eleento de alabre puede epresarse

coo:

;onde < peso especí/ico del aterial

a < 4rea de la sección transversal del alabre

< longitud del eleento


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7l centro de gravedad de un alabre coincide con el centroide C de

la línea L -ue de/ine la /ora del alabre0 es decir


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6rieros oentos de 4reas y líneas

*a integral se le conoce coo el primer momento del área A

con respecto al eje y y se representa con Qy 2 de igualanera de/ine el primer momento de A con respecto al eje x

y se representa con Qx, es decir0

? bien pueden ser epresadas coo los productos del 4rea

con las coordenadas de su centroide:


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Se dice -ue un 4rea " es simétrica con respecto a un eje !!@ si para

todo punto 6 del 4rea eiste un punto 6@ de esa isa 4rea tal -ue

la línea 66@ sea perpendicular a !!@ y dicha línea est4 dividida endos partes iguales por el ee en cuestión3

7sta propiedad perite deterinar de inediato el centroide de

4reas coo círculos0 elipses0 cuadrados0 rect4ngulos0 tri4ngulos

e-uil4teros u otras /iguras si9tricas0 así coo el centroide de líneas

-ue tienen la /ora de la circun/erencia de un círculo etc3


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Se dice -ue un 4rea A es simétrica con respecto a un centro O si

cada eleento de 4rea d" de coordenadas x y y eiste un eleento

de 4rea d"@ de igual super/icie con coordenadas A y Ay0 por lo tanto

B


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6lacas y alabres copuestos

na placa plana puede dividirse en rect4ngulos0 tri4ngulos u

otras de las /oras counes3 *a abscisa de su centro degravedad 8 puede deterinarse a partir de las abscisas 0 0

D0 de los centros de gravedad de las di/erentes partes -ue

constituyen la placa0 epresando -ue el oento del peso

de toda la placa con respecto al ee y es igual a la sua de

los oentos de los pesos de las di/erentes partes conrespecto a ese iso ee0 es decir0


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Si la placa es hoog9nea y de espesor uni/ore0 el centro de

gravedad coincide con el centroide C de su 4rea3 *a abscisa del

centroide del 4rea puede deterinarse observando -ue el prier

oento del 4rea copuesta con respeto al ee y puedeepresarse coo el producto de con el 4rea total y coo la sua de

los prieros oentos de las 4reas eleentales con respecto al ee

y

*os prieros oentos de 4reas0 al igual -ue

los oentos de las /uerzas0 pueden ser

positivos o negativos


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;eterinación de centroides por integración

7l centroide de una 4rea liitada por curvas analíticas

=ecuaciones algebraicas> y se deterina evaluando lasintegrales

Si el eleento de 4rea d" es un pe-ue.o rect4ngulo de lados

d y dy0 la evaluación de cada una de estas integrales re-uiere

de una integración doble con respecto a x y y. tabi9n esnecesaria una integración por coordenadas polares para las

cuales d" es un eleento de lados dr y rdE3


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7n la ayoría de los casos es posible deterinar las coordenadas

del centroide de un 4rea con una sola integración3 7sto se logra

seleccionando a d"0 es decir0

Si el 4rea " no se conoce a,n0 esta tabi9n puede calcularse a

partir de estos eleentos3 7l 4rea del eleento d" debe epresarse

en t9rinos de las coordenadas de dicho punto y de los di/erencialesapropiados3


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Cuando una línea est4 de/inida por una ecuación algebraica0 puede

deterinarse su centroide al evaluar las integrales:

7l di/erencial de longitud debe reeplazarse por una de las

siguientes epresiones dependiendo de cu4l coordenada 0y o E se

seleccione coo la variable independiente0 por lo tanto teneos0


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6or lo tanto se tiene

;onde es la distancia recorrida por el centroide de * +7?R7M" )): 7l voluen de un cuerpo de revolución es igual al 4rea

generatriz ultiplicada por la distancia recorrida por el centroide del

4rea al oento de generar el cuerpo


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6or lo tanto se tiene

;onde es la distancia recorrida por el centroide de "3

*os teoreas de 6appus 8uldinus proporcionan una /ora sencilla

de calcular las 4reas y las super/icies de revolución o vol,enes de

cuerpos en revolución3


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Cargas distribuidas en vigas

na viga -ue soporta una carga distribuida2 puede estar

constituida por el peso de los ateriales soportados directae indirectaente por la vida o puede ser ocasionada por el

viento o por una presión hidrost4tica3 *a carga distribuida

puede representarse la carga 1 soportada por unidad de

longitud3 *a agnitud de la /uerza eercida sobre un

eleento de viga de longitud d es la carga total soporta es0


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*a carga 1 es igual en agnitud al 4rea total " bao la curva de

carga:

7l punto de aplicación 6 de la carga concentrada e-uivalente 1 se

obtiene epresando -ue el oento de 1 con respecto a un punto

? es igual a la sua de los oentos de las cargas eleentales d1

con respecto a ?:

?0 coo


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7n este sentido0 una carga distribuida -ue act,a sobre una viga

puede reeplazarse por una carga concentrada0 la agnitud de

dicha carga es igual al 4rea bao la curva concentrada0 la agnitud

de dicha carga es igual al 4rea bao la curva de carga y su línea deacción pasa a trav9s del centroide de dicha 4rea3

Se debe se.alar -ue la carga concentrada es e-uivalente a la carga

distribuida dada solo es lo -ue respecta a las /uerzas eternas3


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Fuerzas sobre super/icies

suergidas 7l procediiento usado anteriorente puede eplearse

para deterinar as resultante de las /uerzas de presiónhidrost4tica eercida sobre un super/icie rectangular

suergida en lí-uido0 la carga tabi9n puede epresar

coo 0 donde p es la presión ano9trica en el lí-uido y #

es el ancho de la placa2 por tanto y podeos concluir -ue0


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7l punto 6 de la placa donde se aplica R =resultante> se conoce

coo el centro de presión.

*a resultante AR es igual y opuesta y tiene la isa línea de acción

-ue la resultante R de las /uerzas eercidas por el lí-uido sobre la

super/icie curva3

*a resultante R de las /uerzas hidrost4ticas eercidas sobre la

super/icie curva se obtiene invirtiendo el sentido de R


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VOLÚMENES


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Centro de gravedad de un cuerpo tridiensional3

Centroide de un voluen

7l centro de gravedad 8 de un cuerpo tridiensional se obtiene

dividiendo el cuerpo en pe-ue.os eleentos y epresando -ue elpeso 1 del cuerpo actuando en 80 es e-uivalente al sistea de

/uerzas distribuidas -ue representa a los pesos de los eleentos

pe-ue.os0 por lo tanto lo podeos epresar0


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Si se increenta el n,ero de eleentos y al iso tiepo se

disinuye el taa.o de cada uno de ellos3

Si se descoponen los vectores y en sus coponentes

rectangulares0 es e-uivalente a las tres ecuaciones escalares


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Si el cuerpo est4 hecho de un aterial hoog9neo de peso

especi/ico 0 la agnitud d1 del peso de un eleento in/initesial se

pueda epresar en t9rinos del voluen dG de dicho eleento y laagnitud de 1 del peso total puede epresarse en t9rinos del

voluen total G0 es decir0

7n /ora escalar0

7l punto donde las coordenadas son 0 y tabi9n se conoce coo

el centroide C del volumen G del cuerpo3


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*a integral se conoce coo el prier oento del voluen con

respecto al plano yz3

Se dice -ue el voluen es si9trico con respecto a un plano dado sipara cada punto 6 del voluen eiste un punto 6@ del iso

voluen tal -ue la línea 66@ es perpendicular al plano dado y est4

dividido en dos partes por dicho plano =plano de sietría>


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Cuando G posee un plano de sietría el prier oento de G con

respecto a ese plano es igual a cero y el centroide del voluen es

localizado en el plano de sietría3 Cuando un voluen posee dos

planos de sietría0 el centroide del voluen est4 localizado en la

línea de intersección de dos planos y por ultio cuando un voluen

tiene tres ees de sietría0 se intersecan en un punto bien de/inido0

el punto de intersección de los tres planos coincide con el centroidedel voluen


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;eterinación de centroides de vol,enes por integración

;eterinación de centroides de vol,enes por integración

Si el voluen posee dos planos de sietría0 su centroide

debe estar localizado sobre la línea de intersección de los

dos planos3 Seleccionando al ee de anera -ue coincida

con esta línea se tiene

? bien integrando se obtiene

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