FSICA I

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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

Vicerrectorado de Investigacin

FSICA I

TINS Bsicos

INGENIERA INDUSTRIAL, INGENIERA DE SISTEMAS, INGENIERA ELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA,

INGENIERA TEXTIL, INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERA AUTOMOTRIZ, INGENIERA AERONUTICA,

INGENIERA DE SOFTWARE, INGENIERA MARTIMA, INGENIERA NAVAL

TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

Lima - Per

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FSICA I Desarrollo y Edicin : Vicerrectorado de Investigacin Elaboracin del TINS : Mg. Elas Cataln Snchez Ing. Agustn Gutirrez Pucar

Ing. Miguel Orellana Ambrosio

Diseo y Diagramacin : Julia Saldaa Balandra

Soporte acadmico : Instituto de Investigacin

Produccin : Imprenta Grupo IDAT

Tiraje 3 B / 0900 / 2008-II

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y transformacin de esta obra.

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El presente material contiene una compilacin de contenidos de Fsica publicadas lcitamente, resmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor.

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PRESENTACIN

Continuando con la elaboracin de Textos de Instruccin (TINS), el presente texto es el volumen secuencial, correspondiente a la Asignatura de Fsica I, en el segundo ciclo de estudios, para el desarrollo de las carreras de Ingeniera de: Sistemas, Industrial, Electrnica, Mecatrnica y Telecomunicaciones.

Anlogamente al primer volumen (Fsica General) condensa la preocupacin institucional de innovacin de la enseanza-aprendizaje, de la ciencia, que en acelerada continuidad presenta nuevos abordajes tericos y una variedad sustantiva de temas prcticos.

Este volumen contiene temas, apropiadamente recopilados, de diversas fuentes bibliogrficas, de uso ms frecuente en la enseanza de la Fsica. Est ordenado en funcin del syllabus de la Asignatura arriba mencionada; ha sido posible gracias a la experiencia profesional y dedicacin acadmica de los profesores: Mg. Elas Cataln S., Ing. Agustn Gutirrez P. e Ing. Miguel Orellana A.

El acopio aludido, de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de Ingeniera, comprende un ordenamiento orientado a la continuidad de abordaje de la Fsica, y presenta los siguientes temas:

En el captulo I se presenta una ligera revisin de las magnitudes fsicas y el sistema internacional, ecuaciones dimensionales, el anlisis vectorial, cifras significativas y el orden de magnitud. En el captulo II se describe el movimiento de una partcula en una dimensin; MRU MRUV, el movimiento de cada libre y de ascenso de una partcula. En el captulo III, se trata el movimiento de una partcula en dos dimensiones, as como tambin el movimiento circular. En el capitulo IV se analiza las leyes de la mecnica de Newton, en particular la 2da Ley de Newton.

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En el captulo V se hace las aplicaciones de las Leyes de Newton para una partcula y tambin se trata la fuerza de rozamiento por deslizamiento y al final se analiza algunos casos del movimiento circular. En el captulo VI se define el trabajo y la energa en sus diferentes aspectos de la mecnica. En el captulo VII se define las fuerzas conservativas: energa potencial gravitacional y la energa potencial elstica y el teorema de la conservacin de la energa mecnica. En el captulo VIII se define la cantidad de movimiento de una partcula y la conservacin de la cantidad de movimiento, el impulso y las colisiones elsticas y no elsticas de partculas. En el captulo IX se analiza el movimiento de un campo rgido, se define las ecuaciones que gobiernan el movimiento del cuerpo rgido. Se continua con las caractersticas de un cuerpo rgido: momento de inercia y se realiza el clculo pertinente. En el captulo X se trata de la hidrosttica y la hidrodinmica de un fluido y los diferentes principios que gobiernan los fluidos. En el captulo XI se define la temperatura y las escalas de temperatura ms conocidas para su determinacin y se trata muy ligeramente sobre la dilatacin de los slidos cuando la variacin de la temperatura es muy pequea. Al cierre de las lneas precedentes, el agradecimiento Institucional a los Ingenieros Miguel Orellana, Agustn Gutirrez y al Mg. Elas Cataln y en extensin el agradecimiento a los profesores que han contribuido con su comentarios. Finalmente, en el ascenso del hombre la gratitud de la sociedad humana del siglo XX est presente en el recuerdo de los libros que representan los hitos ms trascendentes del desarrollo de la humanidad:

De revolutionibus orbium colestium Discorsi e Dimostrazione Mathematiche intorno a due nuove scienze Harmonices Mundi Philosophicae naturalis principia mathematica Das Relativittsprinzip

Vicerrectorado de Investigacin

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INDICE

CAPTULO 1 UNIDADES, MAGNITUDES FSICAS Y VECTORES

1.1 La naturaleza de la Fsica 15 1.2 Ramas de la Fsica 15 1.3 Magnitudes y Unidades 16

1.3.1 Por su Origen 16 1.3.2 Por su Naturaleza: 17

1.4 Estndares y Unidades 17 1.4.1 Unidades bsicas del SI 17 1.4.2 Magnitudes 18

1.5 Ecuaciones Dimensionales 19 1.6 Cifras Significativas y rdenes de Magnitud 22

1.6.1 Reglas de operaciones con cifras significativas 24 1.7 Vectores 25

1.7.1 Definicin de vectores 25 1.7.2 Leyes del lgebra vectorial 26 1.7.3 Vector Unitario 26 1.7.4 Sistema de Referencia 27 1.7.5 Componentes de un vector 27 1.7.6 Suma de Vectores 28 1.7.7 Producto Escalar 29 1.7.8 Producto Vectorial 30

1.8 Problemas resueltos 31 1.9 Problemas propuestos 32

CAPTULO 2 2 CINEMTICA: MOVIMIENTO EN LNEA RECTA

2.1 Cinemtica 35 2.1.1 Magnitudes bsicas de cinemtica 35 2.1.2 Otros conceptos utilizados en cinemtica 35 2.1.3 Tipos de Movimientos: 38

2.2 Cinemtica en una Dimensin 39 2.2.1 Movimiento rectilneo: velocidad constante (MRU) 39 2.2.2 Velocidad media, mv 39 2.2.3 Velocidad Instantnea: 43 2.2.4 Aceleracin Media e Instantnea 43 2.2.5 Movimiento con Aceleracin Constante (MRUV) 47 2.2.6 Cada Libre 50

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CAPTULO 3 3 CINEMTICA: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

3.1 Movimiento Parablico 53 3.1.1 Tipos de movimiento parablico 53 3.1.2 Ecuaciones del movimiento parablico 54 3.1.3 Ecuacin de la aceleracin. 55 3.1.4 Ecuacin de la velocidad 55 3.1.5 Ecuacin de la posicin 56

3.2 Movimiento Circular 57 3.2.1 Conceptos 58 3.2.2 Velocidad angular, 59 3.2.3 Aceleracin angular, 59 3.2.4 Velocidad tangencial: TV 60 3.2.5 Periodo y frecuencia 60 3.2.6 Aceleracin centrpeta 61 3.2.7 Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento

angular 61 3.2.8 Dada la aceleracin angular, hallar el cambio de velocidad angular 62

3.3 Movimiento circular uniforme 63 3.4 Movimiento circular uniformemente acelerado 63 3.5 Clases de aceleracin: 65 3.6 Problemas resueltos 66 3.7 Problemas propuestos 74

CAPTULO 4 4 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

4.1 Fuerza e Interacciones 85 4.2 Primera Ley de Newton ( Ley de la inercia) 85 4.3 Segunda ley de Newton 86 4.4 Tercera ley de Newton (Ley de accin y reaccin) 88 4.5 Masa y Peso 88 4.6 Diagramas de Cuerpo libre 89

CAPTULO 5 5 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON

5.1 Aplicacin de la 1ra. Ley de Newton: Partculas en equilibrio 93 5.2 Aplicacin de la 2da. Ley de Newton: Dinmica de partculas 93 5.3 Fuerzas de Rozamiento 94

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5.3.1 La fuerza normal 94 5.3.2 Fuerza de rozamiento por deslizamiento 95 5.3.3 Fuerza de rozamiento esttico 96 5.3.4 Tablas de valores de los coeficientes de rozamiento 97

5.4 Dinmica del Movimiento Circular 98 5.4.1 Ecuacin de la dinmica del movimiento circular 98 5.4.2 Sistema de Referencia Inercial 98 5.4.3 Sistema de Referencia No Inercial 98 5.4.4 Fundamentos fsicos 99 5.4.5 Dinmica del movimiento circular uniforme: 100 5.4.6 Dinmica del movimiento circular uniformemente

acelerado 100 5.5 Problemas resueltos 101 5.6 Problemas propuestos 104

CAPTULO 6 6 TRABAJO Y ENERGA CINTICA

6.1 Trabajo 111 6.2 Concepto de trabajo 112 6.3 Energa cintica 114

6.3.1 Energa cintica de partculas materiales 115 6.3.2 Relacin entre trabajo y energa 115

6.4 Trabajo y Energa en Mecnica 115 6.5 Trabajo y Energa Cintica 117 6.6 Situaciones que implican friccin Cintica 118 6.7 Concepto de Energa Cintica 120

CAPTULO 7 7 ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA

7.1 Conservacin de la Energa 124 7.2 Fuerza conservativa. Energa potencial 126 7.3 El peso es una fuerza conservativa 128 7.4 La fuerza que ejerce un Resorte es conservativa 129 7.5 Principio de conservacin de la energa 130 7.6 Comprobacin del principio de conservacin de la energa 131 7.7 El peso es una fuerza conservativa. 132 7.8 La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa 133 7.9 Balance de energa 133 7.10 Problemas Resueltos 134 7.11 Problemas propuestos sobre Trabajo, Potencia y Energa 137

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CAPTULO 8 8 CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSO Y CHOQUES

8.1 Cantidad de movimiento e Impulso 141 8.2 Cantidad de movimiento 143 8.3 Ley de la conservacin de la cantidad de movimiento 144

8.3.1 Conservacin de la cantidad de movimiento 144 8.4 Choque 146

8.4.1 Choques elsticos e inelsticos 147 8.4.2 Choques en una Dimensin 150 8.4.3 Choques elsticos 152 8.4.4 Las Colisiones en una Dimensin 153 8.4.5 Casos Particulares 155 8.4.6 Coeficiente de restitucin. 158

8.5 Choque elstico de dos partculas 159 8.6 Choque elstico con una tercera partcula 160 8.7 Problemas propuestos sobre Impulso y Cantidad de

Movimiento 161

CAPTULO 9 9 ESTUDIO DE LA DINMICA DEL CUERPO RGIDO

9.1 Momento Resultante y de Inercia 167 9.1.1 Momento Resultante 168 9.1.2 Momento de Inercia 169

9.2 Energa cintica de rotacin 172 9.3 Clculo del momento de inercia 176 9.4 Teorema de los ejes paralelos teorema de Steiner 179 9.5 Teorema de los ejes perpendiculares 181 9.6 Momento angular 185 9.7 Conservacin del momento angular 189 9.8 Trabajo, potencia y energa en el movimiento rotacional 191 9.9 Problemas resueltos 193 9.10 Problemas propuestos 198

CAPTULO 10 HIDROSTTICA 10.1 Definiciones 201 10.1.1 Fluido 201 10.1.2 Presin 201 10.1.3 Sistema Internacional de Unidades (SI) 202 10.1.4 Densidad () 202 10.1.5 Peso especfico () 202 10.2 Presin Hidrosttica 203 10.3 Vasos comunicantes 204

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10.4 Lquidos inmiscibles 205 10.5 Capilaridad 205 10.6 Principio de Pascal 206 10.7 Principio de Arqumedes 207 10.8 Dinmica de fluidos o hidrodinmica 211 10.9 Flujos incompresibles y sin rozamiento 211 10.10 Viscosidad 213 10.11 Tensin superficial 213 10.12 Ejercicios 214 CAPTULO 11 LEY CERO DE LA TERMODINMICA 11.1 La temperatura 221 11.1.1 Termmetro 221 11.1.2 La escala Celsius 222 11.1.3 La escala Fahrenheit 223 11.2 Expansin trmica de slidos y lquidos 224 BIBLIOGRAFA 225

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DISTRIBUCIN TEMTICA

Clase N Tema Semana

1

Revisin de las Reglas Bsicas de Clculo Diferencial. Cinemtica Unidimensional. Velocidad media e instantnea. Aceleracin media e instantnea Aplicaciones

1

2 Revisin de las Reglas Bsicas de Clculo Integral. Ecuaciones del movimiento rectilneo Aplicaciones

2

3

Vector de posicin, Velocidad y aceleracin media e instantnea en dos y tres dimensiones. Ecuaciones del movimiento en dos y tres dimensiones, Ecuacin de la Trayectoria.

Aplicaciones

3

4

Movimiento circular, velocidad angular, aceleracin angular, relaciones vectoriales en el movimiento circular, Movimiento de rotacin relativo, movimiento en relacin a la Tierra

4

5

Dinmica de la partcula. Introduccin: Definiciones y conceptos generales. Estudio de la II ley de Newton. El momentum lineal. Cambio de Momentum y II Ley de Newton. Aplicaciones

5

6 I y III Ley de Newton. Aplicaciones de las leyes de Newton 6

7

Trabajo y Energa. Definiciones y conceptos generales Trabajo realizado por una fuerza constante y trabajo por una fuerza variable. Aplicaciones

7

8

Energa y sus tipos. Teorema Trabajo energa Trabajo de fuerzas conservativas y no conservativas. Conservacin de la Energa mecnica Potencia. Aplicaciones

8

9 E X A M E N P A R C I A L 9

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Clase N Tema Semana

10

Impulso y Cantidad de movimiento. Definiciones y conceptos generales, Conservacin del Momentum lineal Aplicaciones

10

11 Colisiones: Frontal y Oblicua. Colisiones elsticas e Inelsticas. Coeficiente de Restitucin. Aplicaciones

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12

Estudio de la Dinmica del cuerpo Rgido. Definiciones y conceptos generales. Cinemtica de Rotacin del cuerpo rgido. Clculo de algunos Momentos de Inercia Aplicaciones. Momentum angular. Conservacin del Momentum angular Aplicaciones.

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Momentum angular. Conservacin del Momentum angular Aplicaciones. Trabajo y Energa Rotacional. Aplicaciones.

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14

Hidrosttica: Densidad, presin, Fuerza de flotacin y el principio de Arqumedes. Hidrodinmica: ecuacin de continuidad y ecuacin de Bernoulli, tensin superficial, capilaridad y viscosidad

14

15 Temperatura y la ley cero de la termodinmica. Termmetro y escalas de temperaturas. Expansin trmica de slidos y lquidos.

15

16

Relacin entre la energa calorfica, la energa cintica, calor y energa interna de un sistema. Calor especifico y capacidad calorficas de los slidos. Cambios de fase. Calor y trabajo. Equivalente mecnico de calor. Primera y segunda ley de la termodinmica

16

17 Nivelacin y Repaso 17

18 EXAMEN FINAL 18

19 EXAMEN SUSTITUTORIO 19

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CAPTULO 1

UNIDADES, CANTIDADES FSICAS Y VECTORES

1.1 LA NATURALEZA DE LA FSICA La fsica (griego naturaleza) actualmente se entiende como la ciencia de la naturaleza o fenmenos materiales. Estudia las propiedades de la materia, la energa, el tiempo, el espacio y sus interacciones (fuerza). Los sistemas fsicos se caracterizan por:

1. Tener una ubicacin en el espacio-tiempo.

2. Tener un estado fsico definido sujeto a evolucin temporal.

3. Poderle asociar una magnitud fsica llamada energa.

La fsica estudia por lo tanto un amplio rango de campos y fenmenos naturales, desde las partculas subatmicas hasta la formacin y evolucin del Universo as como multitud de fenmenos naturales cotidianos, caracterizados por cierta geometra o topologa y cierta evolucin temporal y cuantificados mediante magnitudes fsicas como la energa.

1.2 RAMAS DE LA FSICA Para su estudio la fsica se puede dividir en tres grandes etapas: la Fsica clsica, la Fsica moderna y la Fsica contempornea. La primera se encarga del estudio de aquellos fenmenos que ocurren a una velocidad relativamente pequea comparada con la velocidad de la luz en el vaco y cuyas escalas espaciales son muy superiores al tamao de tomos y molculas. La segunda se encarga de los fenmenos que se producen a la velocidad de la luz o valores cercanos a ella o cuyas escalas espaciales son del orden del tamao del tomo o inferiores y fue desarrollada en los inicios del siglo XX. La tercera se encarga del estudio de los fenmenos no-lineales, de la complejidad de la naturaleza, de los procesos fuera del equilibrio termodinmico y de los fenmenos que ocurren a escalas

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mesoscpicas y nanoscpicas. Esta rea de la fsica se comenz a desarrollar hacia finales del siglo XX y principios del siglo XXI.

Dentro del campo de estudio de la Fsica clsica se encuentran la:

Mecnica: mecnica clsica | mecnica de medios continuos | mecnica de fluidos | Termodinmica y mecnica estadstica

Mecnica ondulatoria: acstica | ptica Electromagnetismo: Electricidad | Magnetismo

Dentro del campo de estudio de la Fsica moderna se encuentran:

Relatividad: teora especial de la relatividad | teora general de la relatividad | Gravitacin

Mecnica cuntica: tomo | Ncleo | Fsica qumica | Fsica del estado slido

Fsica de partculas

1.3 MAGNITUDES Y UNIDADES Uno de los aspectos esenciales en la vida cotidiana del hombre es medir y calcular; dichas actividades adquieren una importancia extraordinaria cuando se trata de la tcnica y la investigacin cientfica.

Clasificacin de las magnitudes

1.3.1 Por su Origen (a) Magnitudes Fundamentales.- Son aquellas que sirven de base

para escribir las dems magnitudes.

(b) Magnitudes Derivadas.- Son aquellas magnitudes que estn expresadas en funcin de las magnitudes fundamentales. La velocidad, aceleracin, presin, la fuerza, etc.

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1.3.2 Por su Naturaleza: (a) Magnitudes Escalares.- son aquellas que quedan

perfectamente determinadas con slo conocer su valor numrico y su respectiva unidad. Ejemplo La longitud, el tiempo, calor especfico, potencia, energa, etc.

(b) Magnitudes Vectoriales.- Son aquellas magnitudes que adems de conocer su valor numrico y su unidad se necesita la direccin y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplo: velocidad (v), aceleracin (a), fuerza (F), momentum lineal, momentun angular, torque, etc.

1.4 ESTNDARES Y UNIDADES 1.4.1 Unidades bsicas del SI

El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades bsicas o unidades fsicas fundamentales, las cuales son descritas por una definicin operacional.

Todas las dems unidades utilizadas para expresar magnitudes fsicas se pueden derivar de estas unidades bsicas y se conocen como unidades derivadas del SI. La derivacin se lleva a cabo por medio del anlisis dimensional.

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Magnitud fsica que se toma como fundamental

Unidad bsica o fundamental Smbolo

Longitud (L) metro m

Masa ( M ) kilogramo kg

Tiempo ( T ) segundo s

Intensidad de corriente elctrica ( I ) amperio A

Temperatura ( ) kelvin K

Cantidad de sustancia ( N ) mol mol

Intensidad luminosa ( J ) candela cd

1.4.2 Magnitudes

Longitud: metro (m) Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vaco en 1/299792,458 segundos. Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vaco fue definida exactamente como 299792,458 m/s.

Masa: kilogramo (kg) Un kilogramo se define como la masa del Kilogramo Patrn, cilindro compuesto de una aleacin de platino-iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de Pars. Actualmente es la nica que se define por un objeto patrn.

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Tiempo: segundo (s) Un segundo es el tiempo requerido por 9,192631,770 ciclos de la radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de cesio 133. Esta definicin fue adoptada en 1967.

Intensidad de corriente elctrica: Amperio (A) El amperio es la intensidad de una corriente elctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos de longitud infinita, de seccin circular despreciable y ubicados a una distancia de 1 metro en el vaco, produce una fuerza entre ellos igual a 210-7 newtons por cada metro.

Temperatura: kelvin (K) El kelvin se define como la fraccin 1/273,16 de la temperatura termodinmica del punto triple del agua.

Cantidad de sustancia: mol (mol) Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como tomos hay en 0.012 kg de carbono 12.

Intensidad luminosa: candela (cd) Una candela es la intensidad luminosa, en una direccin dada, de una fuente que emite radiacin monocromtica con frecuencia de 540 1012 Hz de forma que la intensidad de radiacin emitida, en la direccin indicada, es de 1/683 W por estereoradin.

1.5 ECUACIONES DIMENSIONALES

Son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y se usan para probar frmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. Tambin, es una igualdad de tipo algebraico que

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expresan las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y las derivadas.

Notacin: [ AG ] se lee: ecuacin dimensional de AG Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del lgebra a excepciones de la suma y la resta, en la determinacin de las dimensiones de una ecuacin dimensional se utiliza el principio de Homogeneidad que dice Todos los trminos de una ecuacin deben tener las mismas unidades.

Ejemplo: Determinar la ecuacin dimensional de la aceleracin.

Aceleracin: v = a. t

a = v / t => a = LT-1 / T => a = LT 2

Ejercicio 1: En la figura se tiene un cuerpo sumergido en un lquido. La expresin dimensional de su densidad est definida por la siguiente ecuacin:

D = X.m + Y.A + Z.h

Donde D = densidad, m = masa del cuerpo, A=rea, h=altura del cuerpo con respecto a la base del recipiente. Determinar las dimensiones de X, Y, Z.

Ejercicio 2: Se tiene un ventilador (ver figura), la potencia de su hlice esta determinada por la siguiente ecuacin dimensional. Donde P = potencia, w = velocidad angular. Determinar las dimensiones de K y las unidades en el SI.

P = K.2.Tg Ejercicio 3:

En la figura se fisiona el ncleo de un tomo y se liberan las partculas subatmicas. La energa que llevan est determinada por la siguiente expresin dimensional. Donde: E = energa, F = fuerza, V = velocidad,

a= aceleracin. Determine las dimensiones de A, B, C.

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E = A.F + B.v2 + C.a Ejercicio 4:

La velocidad del cuerpo de la figura sobre el eje X est dada por la ecuacin dimensional. Donde t = tiempo. Determinar las dimensiones de K2

Ejercicio 5:

En la figura, la fuerza necesaria para subir el cuerpo est definida por la siguiente ecuacin dimensional. Determinar las dimensiones de B y sus unidades en el SI. F = fuerza, V=velocidad.

Ejercicio 6:

En un tubo de rayos catdicos se liberan electrones. (Ver figura) La distancia recorrida por dichos electrones en un tiempo (t) est dada por la siguiente ecuacin dimensional. Identifica las

dimensiones de X, Y, Z.

2.21. tZtYXd ++=

Ejercicio 7: En la figura la presin que ejerce el cuerpo sobre el lquido est definida por la ecuacin dimensional. Donde P = presin, W = peso, g = aceleracin, h = altura del objeto con respecto a la base. Determine las dimensiones de A y B.

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Ejercicio 8: En la figura se deja caer un cuerpo del globo. Un investigador asocia al evento la siguiente ecuacin dimensional. Donde P= peso del objeto que cae, t = tiempo y m = masa. A travs del anlisis dimensional identifica que magnitud fsica representa K.

1.6 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y RDENES DE MAGNITUD

Muchos de los nmeros que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida y por lo tanto slo se conocen con cierta incertidumbre experimental. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es de 2,50m, queremos decir que probablemente su longitud se encuentra entre 2,495 m y 2,505 m; es decir, conocemos su longitud con una exactitud aproximada de 0,005 m = 0,5 cm de longitud establecida. Si el metro tiene divisiones de milmetros, podemos estimar que hemos medido esta misma longitud de la mesa con una precisin de 0,5 mm, en vez de 0,5 cm. Indicaramos esta precisin utilizando cuatro dgitos, como por ejemplo, 2,503m, para expresar la longitud. Este caso se dice que la medicin tiene 4 cifras significativas. El nmero 2,50 tiene tres cifras significativas; 2,503 tiene cuatro. El nmero 0,00103 tiene tres cifras significativas.

Cuando se multiplican varias cantidades, el nmero de cifras significativas en la respuesta final es el mismo nmero de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades que se estn multiplicando, donde menos precisa significa la que tiene el nmero menor de cifras significativas. La misma regla se aplica a la divisin.

Para la suma y la resta, se deben, se deben considerar el nmero de lugares decimales.

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Cuando los nmeros se suman (o se restan), el nmero de lugares decimales en el resultado deber ser igual al nmero menor de lugares decimales de cualquiera de los trminos de la suma, Por ejemplo, si se desea calcular 123 + 5,35, la respuesta debe ser 128 y no 128,35

Se considera que las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen significado real o aportan alguna informacin. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los clculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un nmero vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posicin igual o superior al orden o posicin del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de dcimas de metro. Es evidente que todas las cifras del nmero que ocupan una posicin menor que las dcimas no aportan ninguna informacin. En efecto, qu sentido tiene dar el nmero con precisin de diezmilsimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el nmero sern por tanto las que ocupan la posicin de las dcimas, unidades, decenas, etc., pero no las centsimas, milsimas y diezmilsimas.

Cuando se expresa un nmero debe evitarse siempre la utilizacin de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusin. Los nmeros deben redondearse de forma que contengan slo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminacin de cifras no significativas de un nmero.

Las reglas que emplearemos en el redondeo de nmeros son las siguientes:

Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin ms. Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la

ltima cifra retenida.

Si la cifra eliminada es 5, se toma como ltima cifra el nmero par ms prximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

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Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es 3,68, que est ms cerca del original que 3,67. En cambio si el nmero a redondear, tambin a tres cifras, fuera 3,673, quedara 3,67 que es ms prximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, segn la tercera regla, debemos dejar 3,68.

Las dos primeras reglas son de sentido comn. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.

Cuando los nmeros a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el nmero 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notacin exponencial, puesto que si escribimos ``4000'' puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no. En efecto, al escribir 4103 queda claro que slo la cifra ``4'' es significativa, puesto que si los ceros tambin lo fueran escribiramos 4,000103.

1.6.1 Reglas de operaciones con cifras significativas Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con slo una cifra

dudosa, e indicando con la incertidumbre en la medida.

Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dgito diferente de cero y hasta el dgito dudoso.

Regla 3: Al sumar o restar dos nmeros decimales, el nmero de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor nmero de ellas.

Atencin: Un caso de especial inters es el de la resta. Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 30,3472 = 0,0003

Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se

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resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor nmero de cifras significativas posible.

Regla 4: Al multiplicar o dividir dos nmeros, el nmero de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

1.7 VECTORES

1.7.1 Definicin de vectores Es una magnitud que para ser determinada se requiere conocer su mdulo, su direccin y su sentido. Por ejemplo la velocidad, aceleracin, fuerza, etc.

Cada vector posee unas caractersticas que son:

Origen

O tambin denominado Punto de aplicacin. Es el punto exacto sobre el que acta el vector.

Mdulo

Es la longitud o tamao del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cul es el mdulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Direccin

Viene dada por la orientacin en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Origen

Mdulo

AG

| AG

|= Mdulo del Vector A

G.

= ngulo respecto al eje X, determina la direccin de A

G.

FSICA I

26

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qu lado de la lnea de accin se dirige el vector.

1.7.2 Leyes del lgebra vectorial

(1) ABBAGGGG +=+

(2) CBACBAGGGGGG ++=++ )()(

(3) mAAmGG =

(4) AmnAnmGG

)()( = (5) AnAmAnm

GGG +=+ )( (6) BnAmBAm

GGGG +=+ )( 1.7.3 Vector Unitario

Es todo vector de mdulo unidad. Si AG

es un vector de mdulo distinto de cero,

| AG

| 0, El vector AA

A

G= es un vector unitario de la misma direccin y

sentido que AG

.

, y son los ngulos directores del vector A respecto a cada uno de los ejes coordenados.

Y

Z

X

A

FSICA I

27

Como ejemplo de vectores unitarios, tenemos:

( )kCosjCosiCoskAAj

AA

iAA

AA zyx

A ++=

++==

G

1.7.4 Sistema de Referencia El sistema de referencia espacial de los vectores, estar formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posicin de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

1.7.5 Componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como la suma vectorial de sus componentes en direccin de cada uno de los ejes coordenados. Por ejemplo el vector rG . zyx rrrr

GGGG ++= krjrirr zyx ++=G

i : vector unitario paralelo al eje x j : vector unitario paralelo al eje y k : vector unitario paralelo al eje z

FSICA I

28

1.7.6 Suma de Vectores (A) Mtodos grficos:

A.1) Mtodo del Paralelogramo.- Este mtodo es vlido para dos vectores concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une a los vectores por el origen y se forma el paralelogramo.

A.2) Mtodo del Tringulo.- Es vlido para dos vectores. Se une el extremo de uno de los vectores con el extremo del otro y se forma el tringulo.

A.3) Mtodo del Polgono Se usa para ms de dos vectores. Se dibujan los vectores uno a continuacin de otro y la resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del ltimo vector.

(B) Mtodo Analtico.

Para hallar la resultante por este mtodos, se siguen los siguientes pasos:

a) Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares.

b) Se halla la resultante de las componentes en las direcciones x, y e z

Ejemplo: Sumar y Restar los vectores P y Q

(C) Mtodo Algebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores kAjAiAA zyx ++=G kBjBiBB zyx ++=G kCjCiCC zyx ++=G

P

Q

R = P + Q

Q

P

R = P Q

FSICA I

29

La expresin correspondiente al vector suma es: CBASGGGG ++=

O tambin: kSjSiSS zyx ++=G Siendo por tanto: xxxx CBAS ++=

1.7.7 Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores A y B , llamado tambin producto punto,

representado por el smbolo A . B (se lee A multiplicado escalarmente por B ), se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de la

magnitudes de A y B con el coseno del ngulo entre los vectores:

A . B = AB cos = A B cos 00 1800

Propiedades:

1. A . B = B . A (Ley conmutativa para el producto escalar)

2. A . ( B + C ) = A . B + A . C (ley distributiva)

3. P ( A . B ) = (p A ). B = A . ( p B = ( A . B )p

4. i . i = i . j = k . k = 1; i . j = j . k = k . i = 0

5. Si A . B = 0. Si A y B no son nulos, entonces A y B son perpendiculares.

Ejercicio:- Encontrar el ngulo entre los vectores: A 2 i 2 j k = + y

B 6 i 3 j 2 k = +

A

B

FSICA I

30

Solucin.- Aplicando el producto escalar a los vectores ByA tendremos:

222222

..ZYXzyx

zzyyxx

BBBAAA

BABABAAB

BACosABCosBA ++++++===

Reemplazando datos tendremos:

==++++

++= 1905,0)7)(3(

4

2)3(6)1(22

)2)(1()3)(2()6)(2(222222

Cos o79

1.7.8 Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores A y B , representado por el smbolo

A x B (se lee A multiplicado vectorialmente por B), se define como el vector

perpendicular al plano determinado por A y B en la direccin de avance de un

tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B .

La magnitud del producto vectorial A x B est dada por : A x B = AB sen Otra regla sencilla til para establecer la direccin de A x B es la siguiente: Colocar el pulgar, ndice y el dedo mayor de la mano derecha en la posicin mostrada en la figura.

Propiedades:

1. A x B = - B x A (ley conmutativa para el producto vectorial no se

cumple)

FSICA I

31

2. A x ( B +C ) = A x B + A x C Ley distributiva

3. p ( A x B ) = (p A )x B = A x ( p B ) =( A x B )p , donde p es un escalar

4. i x i = j x j = k x k = 0G

, i x j = k , j x k = i , k x i = j

5. Si A = Ax i + Ay j +Az k y B = Bx i + B y j + Bz k , entonces

=

zyx

zyx

BBBAAAkji

BxA

6. A x B = rea del paralelogramo con lados A y B. 7. Si 0

GGG =BxA , siendo AG y BG vectores no nulos, entonces AG y BG son paralelos.

1.8 PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 01.- La resultante de dos vectores vara entre su valor de 2 y 8 unidades. Cul ser la resultante cuando los vectores formen un ngulo de 60?

Solucin.- Sean A y

B los vectores

+= BAR Cuando: 8

mx

=+=

= BARRR .. (1)

Cuando: 2mn

==

= BARRR .. (2) Resolviendo (1) y (2) para A y B obtenemos: A = 5; B=3 Si ahora = 60, aplicando la ley de cosenos tendremos:

760352352 2222 =++=++= oo CosxxRABCosBAR 7=R Rpta.

FSICA I

32

PROBLEMA 02.-Hallar el mdulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados.

Solucin.- En el esquema se traslada

AF hacia el lado

CD , de manera que se puedan establecer las siguientes relaciones:

Polgono ABCD: =++ ADCDBCAB (1)

Tringulo ACD: =+ ADAFAC (2)

Tringulo AED: =+ ADEDAE (3)

La resultante total, podemos expresarla de la siguiente forma: ++

++

++

++= FEADEDAEAFACCDBCABR (4)

Reemplazando (1), (2) y (3) en (4) tendremos:

+=+= 10)20)(4(4 RFEADR cmR 90= Rpta.

1.9 PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Sean los vectores a = 3i - 2j b = -4i + j Calcular:

a) El vector suma y su mdulo.

b) El vector diferencia y el ngulo que forma con el eje OX.

B C

A

F E

D

Exgono regular

10 cm

FSICA I

33

c) El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la direccin y sentido de c.

2) Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos mdulos son: F1 = 5 N. y F2 = 7 N., que forman respectivamente los siguientes ngulos con el eje OX: 60 y 30.

Calcular: a) La fuerza resultante.

b) Su mdulo.

c) El ngulo que forma con el eje OX.

3) Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos mdulos son: F1 = 6 N.; F2 = 3 N. y F3 = 4 N., que forman, respectivamente, los siguientes ngulos con el eje OX: 45, 30 y 60. Las tres fuerzas estn en el mismo plano. Calcular el mdulo de la resultante y el coseno del ngulo que forman con el eje OX.

4) Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular:

a) Componentes del vector OP

b) Mdulos y cosenos directores.

c) Un vector unitario en la direccin de l, pero de sentido contrario.

5) Dados los vectores a = (2, 4, 6) y b = (1, -2, 3). Calcular:

a) El vector suma ( a + b ), su mdulo y cosenos directores.

b) El vector diferencia (a b) y el vector unitario que define su direccin y sentido.

6) Dados los vectores: a = (1,-1,2) y b = (-1, 3, 4). Calcular:

a) El producto escalar de ambos vectores.

b) El ngulo que forman.

c) La proyeccin de b sobre a.

d) Dados dos vectores a (2, -1, 0), b (3, -2, 1) y c(0, -2, 1). Calcular:

e) (a + b) c

FSICA I

34

f) (a -b) x c

g) (a x b) c producto mixto

h) (a b) c

i) (a x b) x c doble producto vectorial.

7) Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i -6j + 2k y sus mdulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.

8) Dados los vectores a = (1, 3, -2) y b = (1, -1, 0). Calcular: a) Su producto vectorial. b) El rea del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados. c) Un vector c, de mdulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b.

9) Dados los vectores kjia 325 ++=G ; kbjibb zx 2 ++=G

; kjcic y 3 ++=G , determinar sus componentes bx, bz y cy para que dichos vectores sean mutuamente ortogonales.

10) Se tienen dos vectores kjia 22 +=G y jib 2 =G . Calcula las componentes del vector unitario s perteneciente al plano determinado por

los vectores a y b y perpendicular al vector bavGGG 2= .

11) Halla el vector de mdulo 3 que sea paralelo al producto vectorial bxaGG ,

siendo kjia 32 +=G y kib 32 =G . 12) Dado el vector jtSenAitCosAr ).().( +=G , siendo A y constantes, y t

la variable tiempo, halle: (a) su mdulo y la derivada del mdulo. (b) dtrdG y

dtrdG . (c) Demuestre que los vectores rG y

dtrdG son perpendiculares.

13) Dado el vector kjtittr 32)( 32 +=G , calcula: (a) dtr .G . (b) 21

.dtrG

FSICA I

35

2 CINEMTICA: MOVIMIENTO EN LNEA RECTA

2.1 CINEMTICA La cinemtica es la parte de la mecnica clsica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitndose esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo.

2.1.1 Magnitudes bsicas de cinemtica El tiempo es la magnitud fsica que mide la duracin de las cosas

sujetas a cambio, esto es, el periodo que transcurre entre dos eventos consecutivos que se miden de un pasado hacia un futuro, pasando por el presente.

Se llama posicin a un punto del espacio fsico o un espacio abstracto a partir del cual es posible conocer donde se encuentra geomtricamente un objeto en un instante dado. En fsica se suele representa mediante la ubicacin, dada el vector posicin mediante r

En fsica, velocidad es la magnitud que expresa la variacin de posicin de un objeto en funcin de la distancia recorrida en la unidad de tiempo. Se suele representar por la letra .

La aceleracin ( aG ) es la magnitud fsica que mide la tasa de variacin de la velocidad respecto del tiempo.

2.1.2 Otros conceptos utilizados en cinemtica Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten

definir inequvocamente la posicin de cualquier punto de un espacio. En fsica se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas.

En mecnica, un sistema de referencia es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder medir la posicin de un objeto fsico en el tiempo y el espacio.

FSICA I

36

Sistema inercial: A grandes rasgos, es un sistema de referencia en el que las leyes fsicas adoptan una forma simplificada, equivalente a las leyes de Newton para pequeas velocidades. Dado un sistema inercial, cualquier otro sistema de referencia que est parado o bien que se desplace en lnea recta a velocidad constante, respecto al primero es tambin un sistema inercial.

En mecnica el movimiento es un fenmeno fsico que se define como todo cambio de posicin que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria.

En cinemtica, la trayectoria es el conjunto de todas las posiciones por las que pasa un cuerpo en movimiento.

Mvil o partcula: Es un punto material. Cuando un cuerpo es considerado como una partcula, es porque se le desprecian sus dimensiones geomtricas y no hay inters en su estructura interna.

Trayectoria: Es la lnea imaginaria que describe la partcula en su movimiento. En la figura abajo se ilustran ejemplos de varias trayectorias:

Posicin: Dado un sistema de coordenadas, a cada posicin de la

partcula le corresponde una coordenada y solamente una. As cuando la partcula est en la posicin A le corresponde la coordenada (x1,y1) y

FSICA I

37

cuando est en la posicin B le corresponde la coordenada (x2,y2). Ver figura adjunta.

La posicin de una partcula se puede representar como un vector cuyo punto inicial ("cola") est en el origen del sistema de coordenadas y cuyo punto final ("cabeza") est en el punto correspondiente a su posicin. Este vector lo denotaremos con el smbolo . En la figura ilustramos esta definicin.

En la figura tambin se observa que a la posicin A le corresponde el vector posicin y a la posicin B le corresponde el vector posicin

.

Desplazamiento: Al cambio de la posicin de la partcula se le denomina desplazamiento, . Es decir, el desplazamiento es la resta vectorial entre el vector posicin final y el vector posicin inicial:

Note que como el desplazamiento es la resta de dos vectores, por tanto debe ser tambin un vector.

De la misma figura se puede observar que el desplazamiento es un vector trazado desde la posicin inicial hasta la posicin final.

FSICA I

38

De la definicin de desplazamiento se puede concluir que ste no depende de la trayectoria seguida por la partcula, sino que slo depende del punto de partida y del punto de llegada. La figura abajo nos ilustra esta importante afirmacin. En esta figura, tres partculas tienen el mismo desplazamiento siguiendo trayectorias diferentes.

Tanto el vector posicin como el vector desplazamiento tienen como ecuacin dimensional L. Es decir, esas dos magnitudes se miden en unidades de longitud. Especficamente en el MKS se miden en metros (m).

Longitud recorrida, S: La longitud recorrida es denominada en algunos textos con el trmino "espacio". Aqu evitaremos esta denominacin ya que ese trmino se usa en la fsica para representar un concepto ms global y abstracto.

La longitud recorrida es la medida de la longitud de la trayectoria seguida por la partcula. Es una magnitud escalar y su ecuacin dimensional tambin es L. En la figura, a la derecha, se ilustra cmo la partcula al desplazarse desde la posicin A hasta la posicin B, recorre una longitud equivalente a S.

2.1.3 Tipos de Movimientos (A) Movimientos rectilneos

Movimiento rectilneo uniforme Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

FSICA I

39

(B) Movimiento en el plano

Movimiento circular Movimiento circular uniforme Movimiento circular acelerado Movimiento parablico

2.2 CINEMTICA EN UNA DIMENSIN 2.2.1 Movimiento rectilneo: velocidad constante (MRU)

El movimiento de un cuerpo es rectilneo cuando su trayectoria es una recta.

Si consideramos que la trayectoria coincide con el eje x. La posicin del objeto est definida por su desplazamiento medido por desde un punto arbitrario O, u origen. En principio, el desplazamiento puede relacionarse con el tiempo mediante una relacin funcional x = f (t).

2.2.2 Velocidad media, vm:

Si en el tiempo t el objeto se encuentra en A , siendo OA = x. Ms tarde se encuentra en la posicin B siendo OB = x

La velocidad media entre A y B est definida por:

tx

ttxxvm

==''

B A

x t v

O

X

x' t' v'

2.1

x

FSICA I

40

Donde:

x = x x es el desplazamiento de la partcula, y t = t - t es el intervalo de tiempo transcurrido, su ecuacin dimensional es LT-1 , es decir en el sistema M.K.S se mide en m/s.

Observe que el desplazamiento y la velocidad media pueden ser positivos

o negativos dependiendo de si x es mayor o menor que x. Un valor

positivo indica un movimiento hacia la derecha; un valor negativo, hacia la

izquierda.

En la figura se muestra un grfico de x en funcin de t para un movimiento

arbitrario a lo largo del eje x. Cada punto de la curva tiene un valor de x

que localiza la partcula en un tiempo determinado. En la figura se muestra

el desplazamiento y el intervalo de tiempo El cociente tx

se denomina

pendiente de la recta que es la interpretacin geomtrica de la velocidad

media vm.

Ejercicio 01: Una partcula se mueve a lo largo del eje x de manera que su posicin en cualquier instante t est dado por x = 5t 2 + 1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular la velocidad media en el intervalo de tiempo entre:

a) 2s y 3s,

b) 2 s y 2 ,1 s ,

c) 2 s y 2, 001 s,

d) 2 s y 2,00001 s y

e) calcular la velocidad instantnea a los 2 s

FSICA I

41

Solucin

si x o = 2 s y usando x = 3 t 2 + 1. Tenemos x o = 5 (2) 2 +1 = 21 m

a) Tenemos que calcular x = x x o , para x = 3 s , entonces x = 5 (3)2 +1 = 46 m, y x = 46 21 = 25 m, el intervalo de tiempo es : t = 1s vm = x / t = 25 m/s

b) Para t =2,1 s , tenemos x = 5 ( 2.1) 2 + 1 = 23,05 m y x = 2,05 y t = 0,1 s

vm = tx

= 2,05m /1 s = 20,5 m/s

c) Para t = 2,001 s, tenemos x = 5 ( 2,001)2 + 1= 21,020005 m y x = 0,020005 m y t = 0,001 s

Vm = 0,020005 m/0,001 s = 20,005 m/s

d) Para t = 2,00001 s , tenemos x = 5 ( 2,00001) 2 + 1 = 21,0200005 y x = 0,0200005 m y t = 0,00001 s vm = 0,0002 m/0,00001 s = 20,00005 m/s

e) La velocidad instantnea es: v = dtdx = 10 t , para t = 2 s tenemos V = 20

m/s

Ejercicio 02: Supongamos que un estudiante para ir desde su casa hasta la universidad recorre 2.0 Km en direccin Este en 0.40 h (de A a B) y luego 1.0 Km en direccin Norte en 0.10 h (de B a C). Este recorrido se ilustra en la figura abajo.

FSICA I

42

El desplazamiento del estudiante sera el vector que va desde A hasta C. La magnitud de este es:

y su direccin es:

Por tanto, su velocidad media sera un vector cuya magnitud es:

con una direccin igual a la del desplazamiento, es decir formando un ngulo de 26 con la horizontal (eje X).

El valor de la rapidez ser igual a la divisin entre la longitud recorrida y el tiempo empleado. Es decir,

Como la rapidez es un escalar no se le puede calcular una direccin.

Ejercicio 03: Supongamos que el estudiante del ejemplo anterior cuando llega a la universidad regresa a su casa por el mismo camino invirtiendo los mismos tiempos. El desplazamiento neto sera nulo (regresa al punto de partida) , pero la longitud recorrida es igual a 6 Km (suma de todo el recorrido). Por tanto, su velocidad media es nula y su rapidez media contina siendo igual a 6.0 Km/h (longitud recorrida dividida por el tiempo total).

FSICA I

43

2.2.3 Velocidad Instantnea:

En el leguaje matemtico queda definido como:

trvv

otmot == GG limlim

Pero esta es la definicin de la derivada de r

G con respecto al tiempo; esto es

dtrdvGG =

De esta manera obtenemos la velocidad instantnea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.

2.2.4 Aceleracin Media e Instantnea (1) Aceleracin media, ma

G : Se define la aceleracin media como el cambio en la velocidad instantnea, vG , dividido por el intervalo de tiempo, t:

Cuando se hace tender el intervalo de tiempo, t, a cero, se observa que el vector desplazamiento se acerca a la tangente de la trayectoria (ver figura a la derecha).

De lo anterior se deduce que la velocidad instantnea es siempre tangente a la trayectoria (ver figura izquierda).

2.2

2.3

FSICA I

44

tv

ttvvam

==

GGGG '

Su ecuacin dimensional es LT-2 , es decir , en el sistema M.K.S se mide en m.s-2

La aceleracin media es un vector dirigido hacia donde se dirige el cambio de velocidad, vG . Veamos algunos ejemplos que nos ilustren esta idea fundamental:

Ejemplo : Una partcula que se mueve rectilneamente, ocupa la posicin A en el instante

con velocidad, , y en el instante t +t ocupa la posicin B con velocidad fvJJG

, tal como se ilustra en la figura abajo. El cambio de la velocidad, vG , se dirigir segn el resultado de la siguiente resta vectorial:

f 0 f 0V V V V ( V ) = = + JK JJK JJK JJK JJK

Esta operacin est ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como, vG , apunta hacia la derecha, la aceleracin media,

maG , tambin se dirige as.

Ejemplo : Una partcula que se mueve rectilneamente, ocupa la posicin A en el instante

con velocidad, , y en el instante t +t, ocupa la posicin B con velocidad fvJJG

, tal como se ilustra en la figura a la derecha. El cambio de la velocidad, ,

se dirigir segn el resultado de la siguiente resta vectorial:

f 0 f 0V V V V ( V ) = = + JK JJK JJK JJK JJK

2.4

FSICA I

45

Esta operacin est ilustrada en la misma

figura. En ella se observa que como, , apunta hacia la izquierda, la aceleracin

media, , tambin se dirige as.

Ejemplo :

Una partcula sigue la trayectoria ilustrada en la figura abajo. En el instante

ocupa la posicin A con velocidad, 0VJJK

, y en el instante t+t, ocupa la posicin B con velocidad fV

JJK. Por tanto, el cambio de la velocidad, , se dirigir segn

el resultado de la siguiente resta vectorial:

f 0 f 0V V V V ( V ) = = + JK JJK JJK JJK JJK

Esta operacin est ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como,

, apunta hacia la derecha, la aceleracin media, , tambin se dirige as.

Ejemplo Una partcula se mueve con movimiento circular uniforme (M.C.U). En el

instante se encuentra en la posicin A con velocidad, 0VJJK

y en el instante t+t, ocupa la posicin B con velocidad fV

JJK, tal como se ilustra en la figura abajo. Por

lo tanto, el cambio de la velocidad, , se dirigir segn el resultado de la siguiente resta vectorial:

FSICA I

46

f 0 f 0V V V V ( V ) = = + JK JJK JJK JJK JJK

El resultado de esta operacin est ilustrada en la figura a la abajo. La

aceleracin apunta hacia donde apunta el vector , .

(2) Aceleracin Instantnea: aG Es el valor lmite de la aceleracin media en el intervalo de tiempo t es muy pequeo:

tVlmalma

otmot ==

GGG

dtdva =

De modo que obtenemos la aceleracin instantnea calculando la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. En general, la aceleracin vara durante el movimiento. Si el movimiento rectilneo tiene una aceleracin constante, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado. Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se dice que el movimiento es acelerado; pero si la velocidad disminuye en valor absoluto, el movimiento se denomina desacelerado.

Si conocemos la aceleracin, podemos calcular la velocidad integrando la ecuacin de la aceleracin; esto es:

= tt

v

v o

adtdv0

2.5

2.6

2.7

V Vf

- V0

B

A V0

V

Vf

am

FSICA I

47

Donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. Luego, como 00

vvdvv

t

= += tt

adtvv0

0

=vv

x

x

adxvdv0 0

La aceleracin se relaciona tambin con la posicin combinado las ecuaciones. Esto es

==dtdx

dtd

dtdva

2

2

dtxda =

Otra relacin importante entre la posicin y la velocidad puede obtenerse,

escribiendo dv = a dt y a esta ecuacin es multiplicada por la ecuacin dtdxv =

obtenemos.

adxdtdxadtvdv == )(

Integrando, obtenemos

=vv

x

x

adxvdv0 0

= xx

adxvv0

20

2

21

21

2.2.5 Movimiento con Aceleracin Constante (MRUV) Si la aceleracin de una partcula vara con el tiempo, el movimiento puede ser muy difcil de analizar, pero existe un tipo muy comn y simple de movimiento unidimensional que ocurre cuando la aceleracin es constante y uniforme. Cuando la aceleracin promedio es igual a la aceleracin instantnea, en

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

FSICA I

48

consecuencia, la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el movimiento.

A partir de la ecuacin de la aceleracin promedio, se obtendr la ecuacin para esta aceleracin. Lo primero es cambiar la aG por la a:

a = (vf - vi ) / (tf - ti) Por conveniencia se tomo a ti = 0 y tf sea cualquier tiempo t. Tambin se considera que vi = vo ( la velocidad inicial en t = 0) y vf = v (la velocidad en cualquier tiempo t). Con esto se puede expresar la aceleracin:

a = (v - vo)/ t

v = vo + at (para a constante)

Con est ecuacin se puede obtener la velocidad en cualquier tiempo t, por supuesto que se debe conocer la velocidad inicial, la aceleracin (constante) y el tiempo transcurrido.

Mediante una serie de grficas se observar el comportamiento de una partcula cuando se mueve a lo largo del eje x con aceleracin constante: (a) grfica posicin-tiempo, (b) grfica velocidad-tiempo, (c) grfica aceleracin-tiempo.

En esta grfica se puede ver como la pendiente cambia de la posicin inicial (xo), en donde la pendiente era igual a vo, a la posicin final (x), en la cual la pendiente tiene un valor de v, esto durante un tiempo t determinado.

FSICA I

49

La grfica es una lnea recta cuya pendiente es la aceleracin, a, lo que es consistente con el hecho de que a = dv/dt es una constante. Si la aceleracin fuera negativa, la pendiente fuese negativa tambin. Si la aceleracin es en la direccin opuesta a la velocidad, entonces la partcula se est desacelerando.

De acuerdo con la grfica y la ecuacin (v = vo + at), vemos que la velocidad en cualquier tiempo t es la suma de la velocidad inicial, vo, y el cambio en la velocidad, at.

En esta grfica se observa que es una lnea recta con una pendiente de cero, ya que la aceleracin es constante.

Cuando la aceleracin es constante, tanto en magnitud como en direccin, tenemos

FSICA I

50

( ) ===vv

t

t

t

t

ttadtadtavd0 00

0

Donde v o es la velocidad para t = t0

)( 00 ttavv +=

La ecuacin hallada nos da la velocidad en funcin del tiempo. Sustituyendo este resultado en la del desplazamiento en funcin del tiempo e integrando, obtenemos:

= dtvdx . [ ]dtttavdxx

x

.).( 000

+=

+=)(

0000

0

0

).(..ttt

t

dtttadtvxx

20000 ).(21).( ttattvxx +=

Donde x0 da la posicin en el tiempo t0.

Esta ecuacin nos da la posicin de la partcula en cualquier instante.

2.2.6 Cada Libre En cinemtica, la cada libre es un movimiento de un cuerpo dnde solamente influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vaco. El movimiento de la cada libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleracin instantnea es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer una pesada roca y una pulga, ambos cuerpos tendrn la misma aceleracin, que coincide con la aceleracin de la gravedad (g).

2.32

2.31

FSICA I

51

Trayectoria en cada libre

El movimiento del cuerpo en cada libre es vertical con velocidad uniformemente acelerado con aceleracin g constante, como ya hemos visto, veamos las ecuaciones de la velocidad y del espacio recorrido.

Al ser un movimiento en una sola dimensin, todas las variables son exclusivamente verticales, emplearemos notacin vectorial, el vector unitario: j .

Aceleracin

En cada libre la aceleracin es la de la gravedad, que es vertical, hacia abajo y constante, como ya se ha dicho:

aG = g j

La velocidad Calculremos la velocidad en funcin del tiempo, partiendo de la ecuacin de la aceleracin y de la definicin de aceleracin:

1. aG = g j

2. aG = dtvdG

tenemos:

dtvdG = g j

ordenando trminos:

vdG = g j dt

integrando:

=vv

t

jgdtdv0 0

FSICA I

52

realizando la integral: al ser un movimiento vertical ( j )

v-vo = g t

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, con una velocidad positiva V0, podemos calcular el instante en el que su velocidad sea cero, cuando la aceleracin de la gravedad haya compensado la velocidad inicial, en ese instante el cuerpo estar en el punto ms alto de su trayectoria.

g t = vo gvt 0=

En este instante t, el cuerpo esta en el punto ms alto de su trayectoria vertical, y su velocidad es cero.

El espacio Partiendo de la ecuacin de la velocidad y de la definicin de velocidad, por un mtodo similar podemos calcular la ecuacin de posicin del cuerpo, veamos:

200 .2

1. tgtvxx = (xo es la de posicin del cuerpo para t0 = 0)

FSICA I

53

3 CINEMTICA: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 3.1 MOVIMIENTO PARABLICO

Se denomina movimiento parablico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parbola. Se asemeja a la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que est sujeto a un campo gravitatorio uniforme. Tambin es posible demostrar que puede ser analizado como la composicin de dos movimientos rectilneos: (a) un movimiento rectilneo uniforme horizontal, y (b) un movimiento rectilneo

uniformemente acelerado vertical.

3.1.1 Tipos de movimiento parablico El movimiento de media parbola (lanzamiento horizontal): se puede

considerar como la composicin de un avance horizontal rectilneo uniforme y la cada libre. Tambin conocido como Semi-parablico

El movimiento parablico completo: se puede considerar como la composicin de un avance horizontal rectilneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la accin de la gravedad.

En condiciones ideales: la resistencia al avance es nula y el campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

CAPTULO 3

FSICA I

54

1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.

2. La independencia de la masa en la cada libre y el lanzamiento vertical es igual de vlida en los movimientos parablicos.

3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parablicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

3.1.2 Ecuaciones del movimiento parablico Como ya se ha dicho, hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parablico:

1. jSenViCosVV 000 +=G 2. jga =G

donde:

0V es el mdulo de la velocidad inicial. es el ngulo de la velocidad inicial sobre la horizontal. g es la aceleracin de la gravedad.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

CosVVxi 0= componente horizontal de la velocidad inicial.

SenVVyi 0= componente vertical de la velocidad inicial.

Podemos expresar la velocidad inicial de este modo:

jViVV yixio +=G

FSICA I

55

3.1.3 Ecuacin de la aceleracin. La nica aceleracin que interviene en este movimiento, como ya se ha dicho, es la de la gravedad, que corresponde a la ecuacin:

jga =G la cual es vertical y hacia abajo.

3.1.4 Ecuacin de la velocidad

Partiendo de la ecuacin de la aceleracin y de la definicin de aceleracin:

1. jga =G

2. dtVdaGG =

tenemos que:

jgdtVd =G

ordenando trminos:

dtjgVd =G

FSICA I

56

integrando:

= tVV

dtjgVd0

0

G

extrayendo trminos constantes de la integral:

0

V t

0

V 0

dV gj dt V V gjt= = JG JGG ordenando: 0 VtjgV

GG +=

sustituyendo 0VG

, por su valor, y luego ordenando:

jVgtiVV yixi )( ++=G

Esta ecuacin determina la velocidad del mvil en funcin del tiempo, la componente horizontal no vara, no depende del tiempo y es la misma que para V0, la componente vertical si depende del tiempo y de la aceleracin de la gravedad.

3.1.5 Ecuacin de la posicin Partiendo de la ecuacin que establece la velocidad del mvil con relacin al tiempo y de la definicin de velocidad:

1. jVtgiVV yixi ).( ++=G

2. dtrdVGG =

tenemos: jVtgiVdtrd

yixi ).( ++=G

esto es: dtjVtgiVrd yixi )).(( ++=G integrando:

++= t yixirr

dtjVgtiVrd0

))((0

G

FSICA I

57

descomponiendo la integral, sacando los trminos constantes de la integral y realizando la integral:

tjVtjgtiVrr yixi )21( 20 += GG

ordenando trminos:

02

21 rjtVgttiVr yixi

GG +

++=

donde irG es el vector de posicin del mvil para el instante t = 0, podemos

dividirlo segn sus componentes en:

jYiXr iii +=G que sustituyndolo en la ecuacin resulta:

jYiXjtVtgitVr iiyixi ..21.. 2 ++

++=G

y ordenando, por fin:

( ) jYtVtgiXtVr iyiixi ..21.. 2

++++=G

La trayectoria del movimiento parablico esta formada por la combinacin de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante y otro vertical uniformemente acelerado, la conjugacin de los dos da como resultado una parbola.

3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro, si el radio de giro es constante la trayectoria ser una circunferencia, y si adems la velocidad de giro es constante se produce el movimiento circular uniforme que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante, por eso aqu veremos el caso general de este movimiento.

Se define movimiento circular como aqul cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

FSICA I

58

3.2.1 Conceptos En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos especficos para este tipo de movimiento:

Eje de giro: es la lnea alrededor de la cual se realiza la rotacin, este eje puede permanece fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotacin.

Arco angular: Tambin denominado Posicin Angular () partiendo de un eje de giro es el ngulo o arco de radio unitario con el que medimos el desplazamiento angular. Su unidad es el radian.

Velocidad angular: ( ) es la variacin de desplazamiento angular por unidad de tiempo

Aceleracin angular: ( ) es la variacin de la velocidad angular por unidad de tiempo

Posicin angular, En el instante t el mvil se encuentra en el punto P. Su posicin angular viene dada por el ngulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ngulos O.

El ngulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, =s/r. La posicin angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

( y s no son vectores)

FSICA I

59

3.2.2 Velocidad angular,

En el instante t' el mvil se encontrar en la posicin P' dada por el ngulo . El mvil se habr desplazado = en el intervalo de tiempo t=t' t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

t=

Como ya se explic en el movimiento rectilneo, de forma semejante, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

3.2.3 Aceleracin angular,

Si en el instante t la velocidad angular del mvil es y en el instante t' la velocidad angular del mvil es '. La velocidad angular del mvil ha cambiado ='- en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se define la aceleracin angular como la variacin de la velocidad angular por unidad de tiempo (tiempo que tarda en efectuar dicho cambio) y la representaremos con la letra: y se calcula:

FSICA I

60

t=

La aceleracin angular en un instante, se obtiene calculando la aceleracin angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

3.2.4 Velocidad tangencial: VT Es definida como la velocidad real del objeto que efecta el movimiento circular, Si llamamos VT a la velocidad tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:

. rVT .=

Si llamamos a a la aceleracin lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:

.

3.2.5 Periodo y frecuencia El periodo indica los segundos que tarda un mvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Su frmula principal es:

2=T

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un mvil en un segundo. Se mide en Hertz o s 1.

2

1 ==T

F

VT

ac

s

FSICA I

61

3.2.6 Aceleracin centrpeta La aceleracin centrpeta afecta a un mvil siempre que ste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La frmula para hallarla es:

rr

Vac .2

2

==

3.2.7 Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del mvil podemos calcular su desplazamiento -0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto dt representa el desplazamiento angular del mvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.

Hallamos la posicin angular del mvil en el instante t, sumando la posicin inicial 0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del rea bajo la curva - t o mediante clculo de la integral definida en la frmula anterior.

o

t to t

FSICA I

62

3.2.8 Dada la aceleracin angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del mvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular en funcin del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad -0 que experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de una grfica de la aceleracin angular en funcin del tiempo.

Resumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilneo.

o

t to t

En la figura, el cambio de velocidad -0 es el rea bajo la curva - t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular -0, y el valor inicial 0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular en el instante t.

FSICA I

63

3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Un movimiento circular uniforme es aqul cuya velocidad angular es constante, por tanto, la aceleracin angular es cero. La posicin angular del mvil en el instante t lo podemos calcular integrando

-0=(t-t0) o grficamente, en la representacin de en funcin de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son anlogas a las del movimiento rectilneo uniforme:

3.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin angular podemos obtener el cambio de velocidad angular -0 entre los instantes t0 y t, mediante integracin, o grficamente.

)( 00 tta =

o

to t t

FSICA I

64

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las frmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son anlogas a las del movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular con el desplazamiento -0

Dada la velocidad angular en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamiento -0 del mvil entre los instantes t0 y t, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando

Ejercicio:

Un motor elctrico arranca desde el reposo y alcanza su rapidez de rotacin normal de 174 rpm en un segundo y despus marcha con rapidez angular constante. Suponiendo que durante ese segundo la aceleracin angular es constante, encuentre:

FSICA I

65

a) La aceleracin angular.

b) La rapidez angular a los 0,5 s de haber conectado el motor.

c) El nmero de revoluciones del eje de la mquina durante el primer segundo.

Solucin:

0 = 0 f = 174 rpm = 18,22 rad/s t = 1 s 2f 0

(18, 22 0)rad / s18, 22rad / s

t 1s = = =

tf .0 = como: 0 = 0

sradssradf /11.9)5.0).(/22.18(2 ==

radssradtt 11.9)1).(/22.18.(210.

21. 2220 =+=+=

3.5 CLASES DE ACELERACIN De la definicin de aceleracin se concluye que sta es diferente de cero siempre que hayan cambios en la velocidad. Como la velocidad es un vector, puede cambiar en magnitud, en direccin, o en ambas. Si la velocidad cambia en

magnitud se dice que el cuerpo tiene aceleracin tangencial ( ) ; si cambia en

direccin , se dice que el cuerpo tiene aceleracin centrpeta o normal ( caJJG

). En

el caso que cambie simultneamente en magnitud y en direccin, la aceleracin

resultante ( ) ser la suma vectorial de la aceleracin tangencial y de la aceleracin centrpeta, por lo que la magnitud de la aceleracin resultante ser igual a:

FSICA I

66

3.6 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1.- Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 3 m/s y una aceleracin constante de 4 m/s2 en la misma direccin que la de velocidad Cul es la velocidad del cuerpo y la distancia recorrida al final de 7s? Usamos el mismo problema para un cuerpo cuya aceleracin tiene direccin opuesta de la velocidad. Escriba la expresin del desplazamiento en funcin del tiempo.

Solucin:

Tenemos

OmV 3s

= 2a 4m/ s=

Tenemos un movimiento con aceleracin constante, en la misma direccin que la velocidad

oV V at= +

2

m mV 3 4 (7s) 31m/ ss s

= + =

La distancia recorrida es;

( )2O 21 mx V t 4 7s2 s = +

( ) ( )22m 1 m3 x 7s 4 7ss 2 s = + = + =21m 98m 119m/ s

Cuando la aceleracin tiene una direccin opuesta con la velocidad (movimiento retardado):

oV V at= ( )2m m3 4 7m 25m/ ss s = =

FSICA I

67

Ox V at= ( ) ( )2

2

m 1 m3 7s 4 x 7s 21m 98ms 2 s

= =

77m.= El desplazamiento en funcin del tiempo.

20 ..2

1.)( tatVtx =

2.2.3)( tttx =

Problema 2.- Un automvil parte del reposo y se desplaza con una aceleracin de 1m/s durante 1s luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la funcin durante 10 s a un promedio de 5m/s. luego se aplica los frenos y el auto se detiene 5 segundos despus.

Solucin:

ov o= 2a 1m/ s=

( ) = + = 2

AB o 2

1 mX V t 1 1s 0,5m2 s

Para el tramo B C Calculamos la velocidad con la que llega al punto

( )B O 2mV V at 0 1 x 1 1m/ ss = + = + = BV 1m/ s=

2O

1X V t at2

=

= =2 2cm ma 5 0,05s s

FSICA I

68

( ) = 2

s2

1 mx 1m/ s(10s) 0,05 102 s

= =BCX 10m 2,5m 7,5m Para el tramo C D

t oV V at 0= =

= = =o 21m mV at 0,05 x10 0,5m/ ss s =cV 0,5m/ s

( )( ) ( )= = 22 2CD o 1 1X V t at 0,5m/ s 5s (0,1m/ s ) 5s2 2 = 1,25m. El espacio total recorrido es=0,5m+7,5m+1,2m

=ABX 9,25m.

FSICA I

69

Problema 3.- Un auto esta esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razn de 2m/s2, despus de la cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camin que se mueve en la misma direccin con movimiento uniforme de 10 m/s, lo pasa. En que tiempo, y a que distancia se encontraran nuevamente el auto y el camin?

Solucin:

Para el auto

( )2 2 2 2AB o 1 1 1X V t at at 2m/ s (6s) 36m2 2 2= + = = = F oV V at 2x6 12m/ s= + = =

( )( )BCX vt 12m / s t 5= = Para el camin AC oX V t= entonces el espacio debe ser igual ( ) 210t 36 12 t 5 t 125.= + = el tiempo total 18 por distancia X 10 180 180m= = Problema 4.- (a) A qu velocidad ha de lanzarse una pelota verticalmente hacia arriba para que alcance una altura de 20 m? (b) cuanto tiempo permanece en el aire.

Solucin: t =?

oV ?= hgVV ..220

2 = V 0=

20 0 00 V 2.g.h V 2.(9,8).(20) V 87,65m / s= = =

FSICA I

70

oV V gt= entonces 0V gt= 0Vt g=

= =19,8t 2,025.9,8

El tiempo que permanece en el aire es 4,04 s

Problema 5.- Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba tiene una velocidad de 10 m/s cuando alcanza la mitad de su altura mxima

a) A qu altura sube?

b) Cules sern su velocidad y aceleracin un segundo despus de lanzarlo?

c) y tres segundos despus?

d) Cul es la velocidad media durante el primer medio segundo?

Solucin:

a) Consideramos la mitad hacia la altura mx.

==2

..2..2 max202

0hgVhgV

( )220max 2

10m / sVh 10,20m

g 9,8m / s= = =

b) para t = 1,0 s

oV ?=

oV 0=

0V 10m / s====

2

2 20

g 9,8m / sV 0V V 2gh.

FSICA I

71

20V V g.t V 10m / s (9,8m / s ).(1,0s) V 0,2m / s = = = (hacia

arriba)

Su aceleracin ser: -9,8m/s2 j (dirigida hacia abajo)

c) para t = 3,0 s

20V V g.t V 10m / s (9,8m / s ).(3,0s) V 19,4m / s = = = (hacia

abajo)

d) __

o

o

y yVt t

= =

ot t 0.5s =

2 2 20

1 1Y V .t .g.t Y (10m / s).(0,5s) .(9,8m / s ).(0,5s) Y 3,775m

2 2= = =

De modo que

m3,775m 0

V 7,55m / s0,5s

= =

Problema 6.- La figura es una grafica de la aceleracin de un cuerpo que se mueve sobre el eje x. Dibjese los grficos de su velocidad y el desplazamiento en funcin del tiempo tomando x =v =0 en el instante t =0.

Solucin:

La aceleracin constante

2o

1x V t at2

= + y

oV V at= +

En el intervalo (0,5) 2

0 0a 2m/ s ,V x 0= + =

FSICA I

72

( )22 21 1 mx at x2 x 5s2 2 s= = X =25 m

( )2m mV at 2 x 5s 10s s = = =

En el intervalo (5,15) a =0

omx V t 10 x10 100s

= = = el desplazamiento total es ( )x 25 100 m 125m= + = V 10m/ s= En el intervalo (15,25) -2a= -2ms

2 20

1 1x V t at 10m/ sx10s x2x10 100 02 2

= + = = = La distancia total es 125 m

( ) ( )0 2m mV V at 10 2 10s 10 m/ ss s= + = = Para el intervalo (25s ,35s) a =a

2o

1x V t at /10m/ s)(10) 100m2

= + = = La distancia total es :125 -100=25 m

( )20 21 mV V at 10m/ s x5s x2 x 5s2 s= + = 50m 25m 25m= + =

La distancia total es(25-25)m =0m.

FSICA I

73

Problema 7.- Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley

3 2V t 4t 2= + + . Si x 4= pies cuando t 25= ; encontrar el valor de x cuando t =35.encontrar tambin su aceleracin

Solucin 3 2dxV t 4t 2

dt= + + 3 2dx t dt 4 t dt 2 dt= + +

4 3

0

t tdx 4 2t c4 3

= + + + 216 4 44x 2 4 c c

4 3 3= + + + =

Para t 35= ,tenemos:

3t4 tx 4 2t c4 3

= + + +

( )4 33 4 44x 3 2x34 3 3

= + +

= + + =81 4436 6 47,594 3

pies

La aceleracin 2dva 3t 8t

dt= = +

FSICA I

74

3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un atleta recorre la primera mitad del tiempo con una velocidad de 8 m/s

y durante la otra mitad del tiempo con velocidad de 5 m/s. Cul fue su velocidad media?

Rpta.- Vm = 6,5 m/s

2. Un tren recorri la primera mitad del camino con una velocidad de 100 km/h y la segunda mitad con una velocidad de 80 km/h. Cul fue su velocidad media?

Rpta.- Vm = 88,8 km/h.

3. El camino S, recorrido por un mvil, en funcin del tiempo est relacionado por la ecuacin S = 4 t2 4 t + 3, si S se mide en metros y t en segundos. Hallar (a) la velocidad media y (b) la aceleracin media en el intervalo de 2 a 5 segundos, (c) la velocidad y aceleracin instantnea para t = 3s.

Rpta.-

(a) Vm = 31 m/s (b) am =10 m/s2 (c) Vi = 26 m/s; a = 10 m/s2

4. Un mvil se recorre la mitad del camino con una velocidad V1. La parte restante lo hace a una velocidad V2 la mitad del tiempo, y a la velocidad V3 el tramo final. Encuentre la velocidad media del mvil durante el recorrido.

Rpta.: Vm = [2 V1 (V2 + V3)] / [ 2 V1 + V2 + V3 ]

5. Un mvil se mueve segn la ecuacin V = t2 9, donde V representa la velocidad en m/s y t el tiempo en segundos. Hallar la aceleracin para V=27 m/s.

Rpta.: a = 12 m/s2

6. Un mvil se desplaza con aceleracin a = 2t, a lo largo del eje X. Hallar (a) la velocidad para t = 1s. (b) El cambio de posicin de 0 a 1s para t = 0, V =2 m/s, X =0.

FSICA I

75

Rpta.: V = 3 m/s X = (7/3) m/s

7. Una partcula se mueve con una aceleracin de a = 3 V donde a se mide en m/s2 y V en m/s. Hallar el desplazamiento, velocidad y aceleracin cuando t = 0,2 s. Las condiciones iniciales son t0 = 0, X0 = 1,5 m, V0 = 12 m/s.

Rpta.: V = 6,586 m/s X = 3,30 m a = 19,76 m/s2

8. Dado el vector posicin de un mvil

S (t) = (2 t2) + (t3 t) + (2 t3 t2 1) k

Hallar:

(a) el vector unitario y tangente a la trayectoria dada, cuando t = 2 s.

(b) el mdulo de la aceleracin cuando t = 2 s.

9. Una partcula se mueve en el plano X Y, de acuerdo a las relaciones:

ax = 2 Sen 3t, ay = Cos 3t.

Cuando t= 0, X= 0, Y= 2, Vx= 4 m/s y Vy= 1 m/s.

Hallar: (a) la ecuacin de la trayectoria. (b) la velocidad para t = /6 s 10. El movimiento de una partcula que se desplaza segn una lnea recta,

viene definido por la relacin X= 2t3 15t2 + 36t 27, donde X se expresa en metros y t en segundos. Calcular el tiempo, posicin y aceleracin cuando V = 0.

11. El movimiento de una partcula que se desplaza segn una lnea recta viene definido por la relacin Y = t3 9t2 + 15t + 5, donde Y se expresa en metros y t en segundos. Calcular (a) cundo la velocidad es cero, (b) la posicin y el espacio total recorrido cuando la aceleracin sea cero.

12. La aceleracin de una partcula es directamente proporcional al tiempo t. Para t = 0, la velocidad de la partcula es V = 9 m/s. Sabiendo que la velocidad y la coordenada de posicin son cero cuando t = 3 s, hallar las ecuaciones del movimiento de la partcula.

FSICA I

76

13. La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a = k X2. Comienza el movimiento, sin la velocidad inicial, en X = 10 cm, y se observa que su velocidad es de 4 cm/s, cuando X = 5 cm. Calcular (a) el valor de k, (b) la velocidad de la partcula cuando X = 1,0 cm.

14. La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a = 0,002 V2 donde a es la aceleracin en m/s2 y V la velocidad en m/s. Si a la partcula se le da una velocidad inicial V0, hallar el espacio que recorrer (1) antes de que su velocidad descienda a la mitad de su valor inicial, (b) antes de detenerse.

Rpta.- (a) t = 1,107 sV = 10,86 m/s (b) t = 2,722 s V = 4,41 m/s

15. El tiempo medio de reaccin de un conductor de automvil es,

aproximadamente, 0,7 s (el tiempo de reaccin es el intervalo que

transcurre entre la percepcin de una seal para parar y la aplicacin de

los frenos). Si un automvil puede experimentar una desaceleracin de

4,8 m/s2, calcular la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez

percibida la seal, (a) cuando la velocidad es de 30 km/h, (b) cuando es

de 60 km/h.

16. Un antlope que se mueve con aceleracin constante cubre una distancia de 80 m, entre dos puntos en 7,0s. Su rapidez al pasar el segundo punto es de 15,0 m/s. a) Qu rapidez tenia en el primero b) Cul es su aceleracin?

17. Un mvil se desplaza a lo largo del eje X y su aceleracin con el tiempo se indica en la figura. Para t = 0, X = 0, V = 1 m/s. Hallar (a) la distancia total recorrida desde 0 a 2 s. (b) la velocidad para 2 s.

FSICA I

77

Rpta.: X = 4,31 m V = 4,46 m/s

18. Una partcula se mueve a lo largo del eje X, en la figura se muestra su

grfica de la velocidad en funcin del tiempo. Para qu valores del

tiempo X = 0. Si para t = 0, X = 2 m.

19. Una partcula se mueve a lo largo de una recta con aceleracin que se

indica en le grfico. Hallar la velocidad y el desplazamiento en el instante

t = 1 s. Suponga que la velocidad inicial es 2 m/s y que el desplazamiento

inicial es 2 m.

60 t (s)

a (m/s2 )

4 3 2 1 -2

a (m/s2)

1 7 6 5 4 3 2 t (s)

Rpta.: V = 5 m/s X = 5,5 m

Rpta.: t = 0,586 s

2

4

2 4

V(t)

t

FSICA I

78

20. Un mvil se desplaza a lo largo del eje X, tal como se indica en la figura.

Hallar el tiempo que emplea en recorrer los 20 m. Si X = 0, t = 0.

21. Un mvil se mueve a lo largo del eje X. Su grfico de velocidad en

funcin del tiempo se indica en la figura. Hallar la distancia recorrida, su

velocidad promedio y su aceleracin, durante los primeros 15 segundos.

22. Se dispara una pelota verticalmente hacia arriba, a partir del suelo, con

una velocidad de 24,4 m/s.

a) Cunto tiempo tarda en llegar a su altura mxima?

b) Hasta que altura llega la pelota?

c) Determine a qu altura estar y que velocidad tendr a los 3 s de haber sido lanzada.

23. Un golfista golpea la bola dndole una rapidez inicial de 24 m/s

formando un ngulo de 370 con la horizontal. La bola da contra un rbol

que est a 48 m del pequeo apoyo usado en este deporte para colocar la

bola antes de pegarle. No considere la resistencia del aire, encuentre:

3

X ( m )

V2 ( m2 / s2)

60 Rpta.: t = 5,08 s

40 30 15

12

3

6

0 5

10

8

V (m/s)

t( s )

Rpta.: X = 112,5 m Vm = 7.5 m/s a = 0,6 m/s2

FSICA I

79

a) El tiempo que la bola est en el aire antes de chocar con el rbol.

b) La altura a que golpea al rbol.

c) El vector velocidad en el momento que golpea al rbol.

d) La altura mxima que alcanzara la bola en su movimiento.

24. Una rueda parte del reposo y acelera de tal manera que su velocidad

angular aumenta uniformemente a 200 RPM en 6 s. Despus de haber

estado girando por algn tiempo a sta velocidad, se aplican los frenos y

a rueda le toma 5 minutos en detenerse. Si el nmero total de

revoluciones de la rueda es de 3100, calcular el tiempo total de rotacin.

25. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial cuyas componentes son:

Vx= 20 m/s y Vy = 15 m/s, respectivamente. Hallar el radio de

curvatura despus de haber transcurrido 1,2 s desde su lanzamiento.

(Asuma g=10,0 m/s2).

26. Una piedra atada en el extremo de una cuerda se hace girar en un crculo

vertical de 1,20 m de radio a una rapidez constante V1= 1,50 m/s, como

se muestra en la figura. El centro de la cuerda se encuentra a 1,50 m

sobre el piso. Cul es el alcance de la piedra si se suelta cuando la

cuerda est inclinada 30 respecto de la horizontal (a) en P, (b) en Q?

Cul es la aceleracin de la piedra (c) justo antes de que se suelta en P;

(d) Justo despus de que se suelta en P?

27. Un cuerpo se mueve por una circunferencia de radio 16 cm con una aceleracin tangencial constante de 4 cm/s2. Qu tiempo debe transcurrir

1.20 m

V1

V1

PQ

30 30

FSICA I

80

para que la aceleracin normal del punto sea igual a 4 veces la aceleracin tangencial?

28. Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleracin de 1 m/s2 durante 1 segundo. Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la friccin. Durante 10 segundos a un promedio de 5 cm/s2. Entonces se aplica los frenos y el auto se detiene 5 s ms tarde. Calcular la distancia total recorrida por el auto.

29. Un camin viaja a una rapidez constante de 80 km/h y rebasa a un automvil que se mueve ms lentamente, En el instante que el camin rebasa al auto, ste comienza a acelerar a una razn constante de 1,2 m/s2 y rebasa al camin despus de recorrer 0,5 km del camino. Cul es la rapidez del auto cuando ste rebasa al camin?

30. Dos automviles A y B que viajan en el mismo sentido por rutas contiguas estn paradas en un semforo. Cuando se enciende la luz verde, el automvil A acelera con 3 m/s2. El automvil B parte dos (2) segundos despus y acelera con un valor constante de 4m/s2. Determinar a) En que tiempo y donde B alcanzar a A. B) la velocidad de cada automvil en ese instante.

31. Un tren subterrneo parte de una estacin y acelera a 1,80 m/s2 durante 12,0s, viaja con rapidez constante 50,0s y frena a 3,50 m/s2 hasta parar en la siguiente estacin. Calcule