Filsafat Matematika

 

Kata “matematika” berasal dari bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga matematika yang diartikan sebagai “suka belajar”. Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimatikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan.Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak.

Filsafat matematika adalah adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Filsafat dan Matematika sudah tidak diragukan lagi bahwa sejak dulu sampai sekarang kedua bidang pengetahuan ini sangat erat hubungannya.

            Dari bukti yang didapat ternyatalah pendapat bahwa filsafat merupakan ayah atau ibu dari matematik adalah salah. Matematik itu tidak pernah lahir dari filsafat melainkan berkembang bersama-sama dengan saling memberikan persoalan-persoalan sebagai bahan untuk masuk dan umpan balik

 

Bidang pengetahuan yang sangat menarik menurut para silfus dan ahli matematika sebagai wujud dari interaksi antara filsafat dengan matematika yakni:

1. Filsafat Matematik2. Landasan Matematik3. Adi Matematik

4. Filsafat Kematematikan

Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematik adalah hasil pemikiran filsafati yang sasarannya ialah matematik itu sendiri. Pemikiran dan memberikan perhatian yang sungguh-sungguh. Di dalam sebuah kamus psikologi pemikiran reflektif sepadan dengan pemikiran logis yaitu aktivita budi manusia yang diarahkan sesuai dengan kaidah logika. Filsafat bersifat reflektif. Budi yang berfilsafat tidaklah semata-mata berfikir tentang suatu objek, budi itu senantiasa berfikir juga tentang pemikirannya sendiri mengenai obyek itu.

Di antara para ahli matematik dan para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa itu filsafat matematik. Dapat dimbil contoh dalam perumusan dari 2 buku matematik dan 2 kamus filsafat yag berikut:

1. Filsafat matematika dapat dilukiskan sebagai suatu sudut pandang dimana bagian dan kepingan matematik dapat disusun dan dipersatukan berdasarkan asas.

2. Suatu filsafat matematika itu sama dengan penyusunan kumpula pengetahuan matematika yang kacau balau yag terhimpu selama berabad-abad diberi suatu makna tertentu.

3. Penelaahan konsep-konsep pembenaran terhadap asas-asas yang digunakan dalam matematik.

4. Penelaahan tentang konsep-konsep dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematik, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan matematik.

Landasan matematik kadang-kadang disamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Tetapi sesungguhya landasan matematik merupakan bidang pengetahuan yang lebih sempit daripada filsafat matematik. Landasan matematik khususnya bersangkut paut dengan konsep-konsep dan asas-asas fundamental yang diguakan dalam matematik. Dari konsep pokok dan prinsip dasar landasan matematik meberuskan penelaahanya sehigga sampai pada sifat alami dari matematik dan bahkan juga tentang metode matematik. Dengan adanya perluasan pokoksoal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana landasan matematik seolah-olah idetik denga filsafat matematik. Tetapi telah dinyatakan bahwa landasan matematik kalah luas dengan filsafat matematik. Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematik yang terkenal denga nama logisisme, formalism, dan intuitionisme.

Mazhab logisisme dipelopori oleh Bertrand Arthur William Russell dari Inggris. Dalam 1903 terbitlah buku beliau yang berjudul “The Principles of Mathematics” yang berpegang pada pendapat bahwa matematik muri semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prisip-prinsip logika dari prisip-prinsip logika. Menurutnya logika telah mejadi lebih bersifat matematis dan matematik sehingga lebih logis. Akibatnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis diantara keduanya. Sesungguhnya kedua hal itu adalah satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa. Logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa dewasa dari logika.

Mazhab landasan matematik formalisme dipelopori oleh ahli matematik besar dari jerman David Hilbert. Menurut mazhab ini sifat alami dari matematik ialah sebagai sistem lambang yang formal. Matematik bersagkut paut dengan sifat-sifat structural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambing-lambang itu. Smbol-simbol dianggap sebagai sasaran yang menjadi objek matematik. Bilangan- bilangan misalnya dipandang sebagai sifat-sifat struktural yang paling sederhana dari benda-benda. Dengan simbolisme abstrak yag dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukan bentuknya saja mazhab formalism berusaha menyelidiki struktur dari berbagai system. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung mazhab tersebut merumuskan matematik ilmu tentang sistem-sistem formal.  

Matematika merupakan pengetahuan yang bersifat sintetik apriori dimana eksistensi matematika tergantung dari pancaindera adalah pendapat dari Immanuel kant. Akhir-akhir ini filsafat kant tentang matematika ini mendapat momentum baru dalam aliran yang disebut intuisionis dengan eksponen utamanya adalah seorang ahli matematika berkebangsaan belanda bernama jan brouwer (1881-1966). Namun dalam aliran ke tiga yang dipelopori oleh David Hilbert (1862-1943) terkenal dengan sebutan kaum formalis. Tesis utama kaum logistik adalah bahwa matematika murni merupakan cabang dari logika. Kaum formalis menolak anggapan kaum logistik ini yang menyatakan bahwa konsep matematika dapat direduksikan menjadi konsep logika. Mereka berpendapat bahwa banyak masalah-masalah dalam bidang logika yang sama sekali tidak ada hubungannya dengan matematika. Bagi kaum formalis matematika adalah pengetahuan tentang struktur formal dari lambang. Pengetahuan kita tentang bilangan merupakan pengertian rasional yang bersifat apriori yang kita pahami lewat mata penalaran yang memandang jauh kedalam struktur hakikat bilangan.namun kaum intuisionis menentang lewat brouwer bahwa intuisi murni dari berhitug merupakan titik tolak tentang matematika bilangan. Hakikat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitug dan menghitung.

Berlawanan dengan mazhab formalisme berkembanglah mazhab landasan matematik intuitionisme yang dipelopori oleh ahli matematik belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematik adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalil-dalil matematik terletak dalam akal manusia dan tidak pada simbol-simbol diatas kertas sebagaimana diyakini oleh mazhab formalisme. Dalam pemikiran mazhab intuitionisme matematik berlandaskan suatu ilham dasar mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas. Ilham ini pada hakekatnya merupakan suatu aktivita berfikir yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, serta bersifat obyektif.

Kiranya dari pembahasan diatas. Nampak jelas bahwa tidak satupu dari ketiga aliran dalam filsafat matematika ini sepeuhnya berhasil dalam usahanya. Walaupun demikian perbedaan pandangan ini tidak melemahkan perkembangan matematika malah justru sebaliknya dimana satu aliran memberi inspirasi kepada aliran-aliran lainnya dalam titik-titik pertemuan yang disebut Black sebagai kompromi yang bersifat elektik. Kaum logistik mempergunakan system simbol yang diperkembangkan oleh kaum formalis dalam kegiatan analisisnya. Kaum

intuisionis memberikan titik tolak dalam mempelajari matematika dalam perspektif kebudayaan suatu masyarakat tertentu yang memungkinkan diperklembangkannya filsafat pendidikan matematika yang sesuai. Ketiga pendekatan landasan matematika ini, lewat pemahamannya masing-masing, memperkukuh matematika sebagai sarana kegiatan berpikir deduktif.

Istilah landasan dalam bidang keilmuan mempunyai makna-makna berlainan. Oleh karena itu untuk kejelasan maknanya kadang-kadang dibubuhi cirinya yang dimaksud. Dalam kaitannya dengan matematik orang menegaskannya dengan istilah “logical foundations of mathematics” (landasan logis matematik). Istilah landasan logis matematik dapat disamakan dengan landasan filsafati seperti misalnya dilakukan oleh filsuf Rudolf Carnap (1891-1970). Dengan landasan logis atau filsafati itu para ahli sesuatu bidang ilmu disadarkan terhadap kemungkinan keterbatasan dan kesalahan dari patokan pikir-patokan pikir yang dipergunakannya sebagai pangkal dari ilmunya.

Phytagoras percaya bahwa angka bukan unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda. Pandangan Phytagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dengan angka dalam hubungan yang teratur, melainkan berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonis, seimbang. Dengan kata lain tata tertib terjadi melalui angka-angka.

Salah satu peninggalan Phytagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, Pythagoras memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.

Alam semesta diatur secara terukur (phytagoras). hal yang mengagumkan dari alam adalah disiplinnya yang patuh mengikuti hukum2 matematis. misalnya saja bumi mengelilingi matahari selama 365 hari, bulan mengelilingi bumi selama 30 hari, bumi berotasi pada sumbunya selama 24 jam setiap harinya. Angka-angka ini tidak pernah berubah seenak hati bulan dan bumi. semuanya teratur mengikuti ukuran yang telah ditentukan. dan kesadaran akan keteraturan inilah yang merupakan hakekat mengapa perlu belajar matematika. Matematika itu bukan hanya menyampaikan informasi secara jelas namun juga singkat.

ILMU DAN MATEMATIKA

PENDAHULUAN

Dalam filsafat ilmu pengetahuan mempelajari esensi atau hakikat ilmu pengetahuan tertentu secara rasional. Filsafat ilmu pengetahuan merupakan cabang filsafat yang mempelajari teori pembagian ilmu, metode yang digunakan dalam ilmu, tentang dasar kepastian dan jenis keterangan yang berkaitan dengan kebenaran ilmu tertentu.

Filsafat ilmu pengetahuan merupakan salah satu cabang yang mempersoalkan mengenai masalah hakikat pengetahuan. Yang dimaksud dalam hal ini adalah suatu ilmu pengetahuan kefilsafatan yang secara khusus hendak memperoleh pengetahuan tentang hakikat pengetahuan.

Dalam filsafat ilmu dipelajari mengenai ilmu dan matematika. Ilmu tanpa matematika  tidak berkembang, matematika tanpa ilmu tak ada keteraturan.

Dengan pengetahuan manusia dapat mengembangkan mengatasi kelangsungan hidupnya, memikirkan hal-hal yang baru dan menjadikan manusia sebagai makhluk yang khas di muka bumi ini.

Dalam tulisan ini hanya di paparkan  pengertian ilmu, pengertian matematika,  hubungan antara ilmu dan matematika. Ilmu dapat dipandang sebagai produk,sebagai proses dan sebagai paradigma ethika.Ia berusaha memahami alam sebagaimana adanya.

A. PENGERTIAN ILMU

Ilmu berasal dari bahasa Arab: ‘alima, ya‘lamu, ‘ilman yang berarti mengerti, memahami benar-benar. Dalam bahasa Inggris ilmu disebut science dan bahasa latin scientia(pengetahuan). Dalam kamus besar bahasa Indonesia Ilmu diartikan sebagai pengetahuan tentang suatu bidang yang disusun secara bersistem menurut metode-metode tertentu, yang dapat digunakan untuk menerangkan gejala-gejala tertentu dibidang pengetahuan itu.

Ada orang yang menamakannya ilmu, ada yang menamakannya ilmu pengetahuan, dan ada pula yang menyebutnya saint. Keberagaman istilah tersebut adalah suatu usaha untuk melahirkan padanan (meng-Indonesiakan) kata science yang asalnya dari bahasa Inggris.

Dari segi maknanya, pengertian ilmu sepanjang yang dibaca dalam pustaka menunjukkan pada sekurang-kurangnya tiga hal: pengetahuan, aktivitas dan metode. Dalam hal yang pertama dan ini yang terumum, Ilmu senantiasa berarti pengetahuan. Diantara fara filsuf dari berbagai aliran terdapat pemahaman umum bahwa ilmu adalah suatu kumpulan yang sistimatis dari pengetahuan yang dihimpun dengan perantaraan metode ilmiah.

Pengetahuan sesungguhnya hanyalah hasil atau produk dari suatu kegiatan yang dilakukan oleh manusia. Dengan demikian dapatlah dipahami bilamana ada makna tambahan dari ilmu sebagai aktivitas( atau suatu proses yakni serangkaian aktivitas yang dilakukan oleh manusia). Menurut Prof Harold H Titus, banyak orang telah mempergunakan istilah ilmu untuk menyebut suatu metode guna memperoleh pengetahuan yang objective dan dapat diperiksa kebenarannya.

Pengertian ilmu sebagai pengetahuan, aktivitas atau metode itu bila ditinjau lebih mendalam sesungguhnya tidak saling bertentangan. Bahkan sebaliknya, ketiga hal itu merupakan kesatuan logis yang mesti ada secara berurutan. Ilmu harus diusahakan dengan aktivitas manusia, aktivitas itu harus dilaksanakan dengan metode tertentu dan aktivitas itu menghasilkan pengetahuan yang sistimatis.

B. PERKEMBANGAN ILMU

Ditinjau dari perkembangannya maka ilmu dibagi dalam tiga tahap yakni:

1. Tahap sistematis

Pada tahap ini ilmu mulai menggolong-golongkan objek empiris kedalam kategori-kategori tertentu yang memungkinkan kita untuk menemukan ciri-ciri yang bersifat umum dari angggota-anggota yang menjadi kelompok tertentu. Ini merupakan pengetahuan manusia mengenali dunia fisik.

2. Tahap komparatif

Pada tahap ini ilmu mulai mencari hubungan yang didasarkan pada perbandingan antara berbagai objek yang kita kaji.

3. Tahap Kuantitatif

Pada tahap ini ilmu mencari hubungan sebab akibat berdasarkan pengukuran yang eksak dari objek yang kita selidiki.

C. PENGERTIAN MATEMATIKA

Matematika diambil dari bahasa Yunani, μαθηματικά – mathēmatiká) Perkataan itu mempunyai akar kata mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge,science), secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan,dan ruang: tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.

Beberapa aliran dalam filsafat matematika:

1. Aliran Logistik

-         Pelopornya : Immanuel Kant (1724 – 1804)

-         Berpendapat bahwa matematika merupakan cara logis (logistik) yang salah atau benarnya dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris.

-         Matematika murni merupakan cabang dari logika, konsep matematika dapat di reduksikan menjadi konsep logika.

1. Aliran Intuisionis

-         Pelopornya : Jan Brouwer (1881 – 1966)

-         Berpendapat bahwa matematika itu bersifat intusionis

-         Intuisi murni dari berhitung merupakan titik tolak tentang matematika bilangan. Hakekat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitung dan menghitung.

1. Aliran Formalis

-    Pelopornya :  David Hilbert (1862 – 1943)

-  Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang . Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang.

-  Kaum Formalis membantah aliran logistik dan menyatakan bahwa masalah-masalah dalam logika sama sekali tidak ada hubungan dengan matematika

Matematika adalah cara/ metode berpikir dan bernalar. Matematika adalah cara berpikir yang digunakan untuk memecahkan semua jenis persoalan. Matematika bila ditinjau dari segi epistemology ilmu  bukanlah ilmu. Ia lebih merupakan artificial yang bersifat eksak, cermat dan terbebas dari rona emosi. Matematika adalah logika yang telah berkembang, yang memberikan sifat kuantitatif kepada pengetahuan keilmuan.Matematika merupakan sarana berfikir deduktif yang amat berguna untuk membangun teori keilmuan dan menurunkan prediksi-prediksi daripadanya, dan untuk mengkomunikasikan hasil-hasil kegiatan keilmuan dengan benar dan jelas dan secara singkat dan jelas. Matematika adalah bahasa  yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang matematika mempunyai “artificial” yang baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya.

D. HAKEKAT MATEMATIKA

1. Matematika sebagai sarana berpikir deduktif

Matematika dikenal dengan ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan( induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran pada tahap-tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.

Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencarikebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam, apalagi dengan ilmu pengetahuan umum. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif atau eksperimen. Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.Sebagai contoh, dalam ilmu biologi berdasarkan pada pengamatan, dari beberapa binatang menyusui ternyata selalu melahirkan. Sehingga kita bisa membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang menyusui adalah melahirkan.

Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif. Contoh: untuk pembuktian jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. Pembuktian secara deduktif sebagai berikut: andaikan m dan n sembarang dua bilangan bulat maka 2m+ 1 dan 2n+1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan (2m+1) + (2n+1) = 2(m+n+1). Karena m dan n bilangan bulat maka  (m+n+1) bilangan bulat, sehingga 2(m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.

2. Matematika bersifat terstruktur

Menurut Ruseffendi(Tim MKPBM,2001;25) matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsure-unsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsure yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis, terstruktur,logis, dan sistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks.

Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau konsep selanjutnya. Ibaratmembangun rumah, maka fondasi harus kokoh. Contohnya konsep bilangan genap. Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua. Sebelum membahas blangan genap, siswa harus memahami dulu konsep bilangan bulat dan pengertian habis dibagi dua sebagai konsep prasyarat.

Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk unsure-unsur matematika yang terdefinisi. Misalnya segitiga adalah lengkungan tertutup sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah segmen garis.

Dari  unsur-unsur yang tidak terdefinisi dan unsure-unsur yang terdefinisi dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misalnya:  melalui sebuah titik sembarang hanya dapat  dibuat sebuah garis kesuatu titik yang lain.

Tahap selanjutnya dari unsure-unsur yang tidak terdefiisi , unsure-unsur yang terdefinsi , dan aksioma atau postulat dapat disusun teorema-teorema yang kebenarannya harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku umum. Misalnya: jumlah ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat.

3. Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu

Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain dan pada perkembangannya tidak tergantung pada ilmu lain. Dengan kata lain, banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika. Sebagai contoh: banyak teori-teori dan cabang-cabang dari fisika dan kimia yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep kalkulus. Teori mendel pada Biologi melalui konsep pada probabilitas. Teori ekonomi melalui konsep fungsi dan sebagainya.

Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan matemaika selain tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan lainnya dalam pengembangan dan operasinya. Cabang matematika yang memenuhi fungsinya seperti yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan matematika Terapan(Applied Mathematic)

4. Matematika sebagai bahasa

Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang matematika baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya. Tanpa itu maka matematika hanyalah merupakan kumpulan unsur-unsur yang mati.

Bahasa verbal mempunyai beberapa kekurangan yang sangat mengganggu karena terkadang mempunyai lebih dari satu arti. Untuk mengatasi kekurangan yang terdapat pada bahasa maka kita berpaling pada matematika. Dalam hal ini dapat kita katakan bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat kabur, majemuk, danemosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang darimatematika dibuat secara ”artifisial” yakni baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan. Dan bersifat individual yaitu berlaku khusus untuk masalahyang sedang kita kaji.

5. Matematika bersifat kuantitatif

Dengan bahasa verbal kita bisa membandingkan dua objek yang berlainan umpamanya  gajah dan semut, maka kita hanya bisa mengatakan gajah lebih besar daripada semut, kalau ingin menelusuri lebih lanjut berapa besar gajah dibandingkan dengan semut, maka kita mengalami kesulitan dalam mengemukakan hubungan itu, bila ingin mengetahui secara eksak berapa besar gajah bila dibandingkan dengan semut, maka dengan bahasa verbal tidak dapat mengatakan apa-apa.

Matematika mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran dapat mengetahui dengan tepat berapa panjang. Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan pernyataan yang bersifat kualitatif. Kita mengetahui bahwa sebatang logam bila dipanaskan akan memanjang, tetapi tidak bisa mengatakan berapa besar pertambahan panjang logamnya.

Untuk itu matematika mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran , maka kita dapat mengetahui dengan tepat berapa panjang sebatang logam dan berapa pertambahannya bila dipanaskan, Dengan mengetahui hal ini maka pernyataan ilmiah yang berupa pernyataan kualitatif seperti sebatang logam bila dipanaskan akan memanjang, dpat diganti dengan pernyataan matematika yang lebih eksak umpamanya: P1 = Po (1 + n), dimana P1 adalah panjang logam pada temperatur t, Po merupakan panjang logam pada temperatur nol dan n merupakan koefisien pemuai logam tersebut.

E.  KARAKTERISTIK MATEMATIKA

1. 1. Memiliki obyek yang abstrak

Obyek dasar matematika adalah abstrak dan disebut obyek mental, obyek pikiran yaitu :

a. Fakta

Berupa konvensi-konvensi yang di ungkap dengan simbol tertentu.

Contoh :

1. ”2” dipahami sebagai bilangan ”doa”2. ”5-2” dipahami sebagai ”lima kurang dua”3. ”//” bermakna ”sejajar” dan lain-lain

b. Konsep

Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sejumlah obyek. Apakah obyek tertentu merupakan konsep atau bukan.

c. Operasi

- Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang lain.

- Operasi adalah suatu relasi khusus karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui

-   Operasi unair, operasi biner dll

d. Prinsip

- Prinsip adalah obyek matemática yang komplek. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep, yang dikaitkan oleh suatu relasi / operasi

- Prinsip adalah hubungan antara berbagai obyek dasar matemática. Prinsip dapat berupa axioma , teorema, sifat dll

- Skill adalah Prosegur atau suatu kumpulan aturan-aturan yang digunakan untuk menyelesaikan soal matemática

2. Bertumpu pada kesepakatan

Kesepakatan yang amat mendasar adalah axioma dan konsep primitif . Aksioma disebut juga postulat adalah pernyataan pangkal yang tidak perlu di buktikan . Konsep primitif disebut juga undefined term adalah pengertian pangkal yang tidak perlu di definisikan.

3. Berpola pikir deduktif

Kebenaran suatu konsep atau pernyataan yang diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya sehingga kaitan Antar konsep atau pernyataan dalam matemática bersifat consisten. Proses pembuktian secara deduktif akan melibatkan teori atau rumus matemática lainnya yang sebelumnya sudad di buktikan kebenarannya secara deduktif juga.

4. Memiliki simbol yang kosong dari arti

Contoh : Model persamaan ”x+y=z” belum tentu bermakna bilangan, makna huruf atau tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu.

5. Memperhatikan semesta pembicaraan

Bila semesta pembicaraannya adalah bilangan maka simbol-simbol diarikan bilangan.

contohnya: jika kita bicara di ruang lingkup vektor a+vektor b =vektor c maka huruf-huruf yang digunakan bukan berarti bilangan tetapi harus di artikan sebagai vektor

6. Konsisten dalam sistemnya

Dalam matematika terdapat banyak sistem. Satu dengan yang lain bisa saling berkaitan tetapi juga bisa saling lepas. Sistem-sistem aljabar : sistem aksioma dari grup , sistem aksioma dari ring , sistem aksioma dari field, dsb. Sistem-sistem geometri : sistem geometri netral, sistem

geometri Euclides , sistem geometri non Euclides . Di dalam masing-masing sistem dan struktur itu terdapat KONSISTENSI.

1. F. PERBEDAAN MATEMATIKA DAN ILMU

Perbedaan matematika dan ilmu adalah:

-          Pembuktian pada matematika tidak di dapat dengan pembuktian empiris melainkan penalaran deduktif

-          Pembuktian  pada ilmu pengetahuan di dapat melalui pembuktian secara empiris.

G. HUBUNGAN ILMU DAN MATEMATIKA

Matematika sangat penting bagi keilmuan, terutama dalam peran yang dimainkannya dalam mengekspresikan model ilmiah. Mengamati dan mengumpulkan hasil-hasil pengukuran, sebagaimana membuat hipotesis dan dugaan, pasti membutuhkan model dan eksploitasi matematis. Cabang matematika yang sering dipakai dalam keilmuan di antaranya kalkulus dan statistika, meskipun sebenarnya semua cabang matematika mempunyai penerapannya, bahkan bidang “murni” seperti teori bilangan dan topologi. Tanpa matematika maka pengetahuan akan berhenti  pada tahap kualitatif yang tidak memungkinkan untuk meningkatkan penalaran lebih jauh. Oleh karena maka dapat dikatakan bahwa ilmu tanpa matematika tidak berkembang.

Beberapa orang pemikir memandang matematikawan sebagai ilmuwan, dengan anggapan bahwa pembuktian-pembuktian matematis setara dengan percobaan. Sebagian yang lainnya tidak menganggap matematika sebagai ilmu, sebab tidak memerlukan uji-uji eksperimental pada teori dan hipotesisnya. Namun, dibalik kedua anggapan itu, kenyataan pentingnya matematika sebagai alat yang sangat berguna untuk menggambarkan/menjelaskan alam semesta telah menjadi isu utama bagi filsafat matematika

KESIMPULAN

1. Matematika mengakibatkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif.

2. Fungsi matematika menjadi sangat penting dalam perkembangan berbagai ilmu pengetahuan

3. Matematika merupakan ilmu deduktif.

PUSTAKA

Depdiknas. 2003. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Edisi ketiga. Jakarta: Balai Pustaka.

Suriasumantri,Jujun S. 2005. Filsafat Ilmu Sebuah Pengantar Populer. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan.

″http://id.wikipedia.org/wiki/matematika″ Kategori: Matematika

FILSAFAT MATEMATIKA

Latar BelakangIlmu matematika bukan hanya ilmu yang terbatas pada hitungan , melainkan banyak lagi bagian dari matematika yang belum kita ketahui bentuknya.Apakah matematika itu ? Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”. Banyak definisi yang dikemukakan oleh para ilmuan tentang matematika ini, menunjukkan bahwa ilmu matematika ini adalah ilmu yang memiliki kajian luas.Pada makalah ini penyusun akan membahas seluk beluk ilmu matematika dan aliran – aliran dalam filsafat matematika.

A.  Hakikat Matematika 1.   Pengertian Matematika

Istilah matematika berasal dari bahasa Inggris , mathematics, yang artinya  ilmu pasti, matematika. Mathematical  merupakan kata sifat, artinya berhubungan dengan ilmu pasti. Mathematically adalah kata kerja yang artinya menurut ilmu pasti, secara mathematis, dan mathematician adalah kata benda yang artinya, yaitu orang ahli matematika.

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika artinya “ ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam  penyelesaian masalah mengenai bilangan”.

Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenaan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi (1985:13) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.Selain itu ada juga yang mengatakan bahwa matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat yang kurang jelas  dan emosional. Matematika adalah metode berpikir logis. Matematika adalah sarana berpikir. Matematika adalah raja dari ilmu lain yang perkembangannya tidak tergantung ilmu lain.Matematika merupakan puncak kegemilangan intelektual. Di samping pengetahuan matematika itu sendiri, matematika memberikan bahasa, proses dan teori, yang memberikan ilmu suatu bentuk dan kekuasaan. Perhitungan matematika menjadi dasar bagi desain ilmu teknik.

2.    Matematika adalah ilmu DeduktifMatematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi)

dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode yang pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metodeinduktif dan eksperimen.Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif tanpa mempersyaratkan penalaran induktif. Penalaran deduktif ini lahir melalui kebenaran suatu konsep yang diperoleh sebagai akibat logis dari pernyataan sebelumnya sehingga kaitan pernyataan yang dahulu dengan berikutnya di dalam matematika selalu konsisisten.Walaupun dalam mtematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi sterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa di buktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudahnya dibuktikan secara deduktif.Matematika merupakan ilmu  deduktif, aksiomatik, hirarkis, abstrak, bahasa simbol  yang padat artinya dan semacam sistem matematika. Sistem matematika merupakan sistem yang berisi model-model matematika yang digunakan untuk memecahkan persoalan-persoalan di dunia nyata. Manfaat lain dari ilmu matematika adalah menjadikan pola pikir manusia yang mempelajarinya menjadi pola pikir matematis yang sistematis, logis, kritis, dengan penuh kecermatan.Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam dua kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut, bahwa „mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge‟, sedangkan menurut fallibilis mathematicak truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction‟ (Ernest, 1991).

Menurut Woozley (dalam Ernest, 1991), pengetahuan terbagi dalam dua kategori, yaitu pengetahuan a priori dan pengetahuan a posteriori (empirical). Pengetahuan  apriori memuat proposisi yang didasarkan atas, tanpa dibantu dengan observasi terhadap dunia. Penalaran di sini memuat penggunaan logika.

Deduktif dan makna dari istilah-istilah, secara tipikal dapat ditemukan dalam definisi. Secara kontras pengetahuan a posteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman, yaitu berdasarkan observasi dunia.

Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi, dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro) asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran matematika. Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Kontradiksi lainnya muncul dalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika matematika itu pasti dan semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema itu? Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis;

pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi terus menerus.

B.    Aliran dalam Filsafat MatematikaPara ahli banyak berbeda pendapat tentang pemikiran filsafat dan matematika. Pemikiran tentang matematika diwarnai dengan perdebatan sengit antara ahli matematika yang satu dengan ahli matematika lainnya. Karena adanya perdebatan ini seoalah-olah  para ahli terkotak-kotak menurut kelompoknya masing-masing berdasarkan sudut pandang pandang dan ide yang dikeluarkannya.Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan matematika, termasuk perkembangan pendidikan matematika, yakni:

1. Aliran Logikalisme atau LogisismeLogisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Logisme dipelopori oleh filsuf Inggris bernama Bertrand Arthur William Russell menerima logisisme adalah yang paling jelas, pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika dan semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata. Dengan demikian logika dan matematika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan dari logika.

Secara umum, ilmu merupakan pengetahuan berdasarkan analisis dalam menarik kesimpulan menurut pola pikir tertentu. Matematika, menurut Wittgenstein, merupakan metode berpikir logis. Berdasarkan perkembangannya, masalah logika makin lama makin rumit dan membutukan suatu metode yang sempurna. Dalam pandangan inilah, logika berkembang menjadi matematika. Menurut Russell, bahwa “ matematika merupakan masa kedewasaan matematika, sedangkan logika adalah masa kecil matematika”

Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme antara lain: a. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi.

b. Teorema Ketiddaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran matematika.

c.  Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan

merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika. 

2.     Aliran FormalismeLandasan matematika formalisme dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut airan ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sistem lambang yang formal, matematika bersangkut paut dengan sifat – sifat struktural dari simbol – simbol dan proses pengolahan terhadap lambang – lambang itu. Simbol – simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi obyek matematika. Bilangan – bilangan misalnya dipandang sebagai sifat – sifat struktural yang paling sederhana dari benda – benda.

Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua dua tesis, yaitu 1. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.

2.  Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.  Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung aliran formalisme merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sistem – sistem formal.

Walaupun semua sistem matematika masih menggunakan sistem aksioma, tetapi menganggap matematika sebagai konsep formalisme tidak dterimaoleh beberapa ahli.keberatan bermula ketika Godel membuktikan bahwa tidak mungkin bisa membuat sistem yang lengkap dan konsisten dalam dirinya sendiri. Pernyataan ini dikenal dengan Teorema Ketidaklengkapan Godel (Godel’s Incompleteness Theorem).

3.    Aliran IntuitonismeAliran intuitonisme yang dipelopori oleh ahli matematik dari Belanda yaitu Luitzen Egbertus Jan Brouwer, be;iau berpendirian bahwa matematika adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran matematika. Ketetapan matematika terletak dalam akal manusia dan tidak pada simbol – simbol di atas kertas. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada.

Dalam pemikiran intuitionisme matematika berlandaskan suatu dasar mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas sebuah seri bilangan yang tak terbatas, pernyataan ini pada hakikatnya merupakan suatu aktivitas berfikir tang yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolis, serta bersifat obyektif.    Keberatan terhadap aliran ini adalah bahwa pandangan kaum intuitisme tidak memberikan gambaran yang  jelas tentang bagaimana matematika bekerja dalam pikiran. Kita tidak mengetahui secara tepat pengetahuan intuitif bekerja dalam pikiran. Seperti halnya cinta dan benci dalam pandangan setiap orang berbeda-beda. Bagaimanakah hasilnya kalau dalam setiap pandangan yang berbeda-beda itu setiap orang berbagi tentang matematika? Lalu,

mengapaperlu diajarkan kalau matematika itu bersfat intutif?

C.    Karakteristik MatematikaMatematika selalu berkembang seiring peradaban manusia. Namun dibalik semua itu matematika juga mempunyai suatu pandangan yang sudah disepakati bersama, di antaranya sebagi berikut :

1.    Memilliki Objek Kajian yang AbstrakMungkin ada perbedaan pendapat mengenai mengenai konsep matematika abstrak ini. Ada empat kajian matematika, yaitu: fakta, operasi/ relasi, konsep, dan prinsip.

2.    Bertumpu pada KesepakatanSimbol-simbol adalah istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi penting. Dengan  simbol atau istilah yang disepakati dalam matematika, maka pembahasan selanjtunya akan lebih mudah dilakukan dan dikumunikasikan.3.    Berpola Pikir DeduktifDalam matematika hanya diterima pola pikir yang bersifat deduktif. Pola pikir deduktif ini secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangakal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahakan kepada hal yang bersifat khusus.4.    Konsisten dalam sistemnyaDi dalam masing-masing sistem, berlaku ketaatasasan atau konsistensi. Artinya dalam setiap sistem tidak boleh adanya kontradiksi.

Kesimpulan

 Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”.

Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan matematika, termasuk perkembangan pendidikan matematika, yakni: aliran logikalisme, aliran formalisme, dan aliran intuisionisme.

Pandangan dalam matematika yang telah disepakati bersama, antara lain:-    Memiliki objek kajian yang abstrak-    Bertumpu pada kesepakatan-    Berpola pikir deduktif-    Konsistensi dalam sistemnya

DAFTAR PUSTAKA

Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai Pustaka.

Echols,John M dan Hasan Shadilly. 2003. Kamus Inggris-Indonesia. Jakarta: Gramedia.

Fathani,Abdul Halim. 2009. Matematika(Hakikat &Logika). Jogjakarta: Ar-Ruzz  Media

Gie ,The Liang. 1981. Filsafat Matematika. Yogyakarta : Supersukses.

Sumardyono. Karakterisitik Matematika dan Implikasinya Terhadap Pembelajaran Matematika.

Suriasumantri,Jujun S. 2003. Ilmu dalam Perspektif. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.

file.upi.edu/Direktori/.../JUR...MATEMATIKA/.../Aliran_matematika.pdf

Filsafat dalam Pendidikan Matematika

Dalam perkuliahan filsafat matematika di semester ini, saya mendapat banyak pengetauan dan manfaat dari perkuliahan ini. Sebelum belajar filsafat seringkali kita berpikir bahwa filsafat itu hanyalah untuk orang-orang hebat. Seringkali orang beranggapan bahwa filsafat merupakan suatu ilmu yang sangat tinggi, bahwa apabila ada orang berbicara ada kata “Filsafat” pasti lawan bicara langsung menaggapi bahwa “Bahasa tingkat tinggi”. Banyak orang juga yang akan mengatakan bahwa dirinya tidak dapat atau tidak mampu berfilsafat. Kita seringkali tidak menyadari bahwa dalam kehidupan kita, kita selalu berfilsafat hanya saja karena kita tidak mengerti akan pengertian filfasat sehingga kita salah kaprah dalam memaknai filsafat.

Secara harafiah filsafat yaitu philosophy, adapun istilah filsafat berasal dari bahasa Yunani, philosophia, yang terdiri atas dua kata: philos (cinta) atau philia (persahabatan, tertarik kepada) dan shopia (hikmah, kebijaksanaan, pengetahuan, keterampilan, pengalaman praktis, inteligensi). Jadi secara etimologi, filsafat berarti cinta kebijaksanaan atau kebenaran. Plato menyebut Socrates sebagai philosophos (filosof) dalam pengertian pencinta kebijaksanaan. Filsafat adalah pandangan hidup seseorang atau sekelompok orang yang merupakan konsep dasar mcngenai kehidupan yang dicita-citakan. Filsafat juga diartikan sebagai suatu sikap seseorang yang sadar dan dewasa dalam memikirkan segala sesuatu secara mendalam dan ingin melihat dari segi yang luas dan menyeluruh dengan segala hubungan.  Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata filsafat menunjukkan pengertian yang dimaksud, yaitu pengetahuan dan penyelidikan dengan akal budi mengenai hakikat segala yang ada, sebab asal dan hukumnya.

Apabila mencermati pengertian filsafat di atas, kita akan menemukan bahwa ternyata filsafat itu sangat berkaitan erat dengan kehidupan. Segala sesuatu yang terjadi dalam kehidupan dapat kita jadikan sebagai filsafat. Dari pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa filsafat adalah ilmu olah pikir manusia. Jadi setiap pemikiran manusia itu adalah filsafat sehingga tidak lain dan tidak bukan filsafat itu adalah diri kita sendiri.

Memperhatikan dari kehidupan kita, hal-hal yang kita lakukan mulai dari bangun pagi hingga tertidur lelap, sessungguhnya filsaftat itu ada. Namun seringkali kita tidak memperhatikan itu, yang kita tahu hanya sebatas melakukan dan menjalani kehidupan ini tapa memaknai apa yang akan, sedang dan telah kita lakukan sebagai rutinitas saja. Kita hanya mengingat kejadian itu tanpa mengambil makna atau pembelajaran dari kehidupan itu. Yang kita tahu hanya peristiwa itu baik atau buruk, menyenangkan atau menyedihkan. Bahkan kita tidak pernah tahu atau mengingat apa yang telah kita lakukan.

Di dalam filsafat tidak ada pangkal dan tidak ada ujung. Di dalam filsafat tidak ada yang tidak mungkin, di dalam filsafat selalu berbicara mengenai yang ada dan yang mungkin ada. Seperti yang telah kita ketahui, bahwa filsafat merupakan ilmu olah pikir, studi tentang fenomena-fenomena yang terjadi dalam kehidupan kita. Filsafat tidak bisa kita dapatkan dari eksperimen atau percobaan, karena filsafat itu sifatnya murni, tidak dibuat-buat, tidak ada yang mampu membuat filsafat. Filsafat akan datang dengan sendirinya. Filsafat akan selalu

menembus ruang dan waktu, sehingga filsafat itu akan bersifat relatif, tidak ada tolok ukur mengenai semua hal yang terjadi dalam kehidupan kita. Tidak ada yang dapat membenarkan dan menyalahkan semua hal yang ada dan yang mungkin ada. Semua bergantung bagaimana kita memikirkannya, dari sisi atau segi apa kita melihat dan memikirkannya. Mengingat bahwa filsafat berbicara mengenai yang ada dan yang mungkin ada maka, tidak ada yang dapat membatasi pikiran kita, sehingga tidak ada yang bisa membatasi filsafat. Manusia itu mempunyai dimensi yang lengkap, yaitu dimensi material, spiritual, formal, dan normatif.

Ruang itu dibatasi, dimensi yang mudah yaitu dimensi nol, dimensi satu, dimensi dua, dimensi tiga, dan yang lebih sulit yaitu dimensi empat, yang ruang awam mungkin tidak dapat memikirkannya. Orang matematika dapat menyebutkan ruang sampel, ruang acak, bangun ruang, dan sebagainya. Ruang dalam filsafat dapat meliputi normatif, formal, material, spiritual, suami istri, anak, dosen, mahasiswa, yang ada dan yang mungkin ada. Kemudian apa yang disebut dengan menembus, misalnya dikenalnya diri kita di kampung mempunyai kemampuan yg berbeda itu sebagai menembus ruang dan waktu secara formal. Apa yang disebut dengan waktu? Imannuel Kant membagi waktu menjadi tiga, yaitu waktu yang berurutan, berkelanjutan, dan berkesatuan. Untuk memahami waktu kita membutuhkan ruang. Mengapa demikian? Dalam menunjukan waktu, biasanya kita menggunakan jam, jam itulah sebagai ruang.

Filsafat, terutama filsafat Barat muncul di Yunani semenjak kira-kira abad ke-7 SM. Filsafat muncul ketika orang-orang mulai berpikir-pikir dan berdiskusi akan keadaan alam, dunia, dan lingkungan di sekitar mereka dan tidak menggantungkan diri kepada agama lagi untuk mencari jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini. Orang Yunani pertama yang bisa diberi gelar filosof ialah Thales dari Mileta, sekarang di pesisir barat Turki. Tetapi filosof-filosof Yunani yang terbesar tentu saja ialah: Socrates, Plato, dan Aristoteles. Socrates adalah guru Plato sedangkan Aristoteles adalah murid Plato. Bahkan ada yang berpendapat bahwa sejarah filsafat tidak lain hanyalah “komentar-komentar karya Plato belaka”. Hal ini menunjukkan pengaruh Plato yang sangat besar pada sejarah filsafat.

Filsafat Barat adalah ilmu yang biasa dipelajari secara akademis di universitas-universitas di Eropa dan daerah-daerah jajahan mereka. Filsafat ini berkembang dari tradisi falsafi orang Yunani kuno.

Filsafat Timur adalah tradisi falsafi yang terutama berkembang di Asia, khususnya di India, Tiongkok, dan daerah-daerah lain yang pernah dipengaruhi budayanya. Sebuah ciri khas filsafat timur ialah dekatnya hubungan filsafat dengan agama. Meskipun hal ini kurang lebih juga bisa dikatakan untuk filsafat barat, terutama di Abad Pertengahan, tetapi di Dunia Barat filsafat ’an sich’ masih lebih menonjol daripada agama.

Filsafat Islam ini sebenarnya mengambil tempat yang istimewa. Sebab dilihat dari sejarah, para filosof dari tradisi ini sebenarnya bisa dikatakan juga merupakan ahli waris tradisi Filsafat Barat (Yunani).

Aliran-aliran dalam filsafat1.      Rasionalisme

Rasionalisme adalah filsafat ilmu yang berpandangan bahwa rasio adalah sumber dari segala pengetahuan. Dengan demikian, kriteria kebenaran berbasis pada intelektualitas. Strategi pengembangan ilmu model rasionalisme, dengan demikian, adalah mengeksplorasi gagasan dengan kemampuan intelektual manusia. Sejak abad pencerahan, rasionalisme

diasosiasikan dengan pengenalan metode matematika (Rasionalisme continental). Tokoh-tokoh rasionalisme diantaranya adalah Descartes, Leibniz, Socrates, Baruch Spinoza dan Spinoza.

2.      Empirisme Empirisme adalah sebuah orientasi filsafat yang berhubungan dengan kemunculan ilmu

pengetahuan modern dan metode ilmiah. Empirisme menekankan bahwa ilmu pengetahuan manusia bersifat terbatas pada apa yang dapat diamati dan diuji. Oleh karena itu, aliran empirisme memiliki sifat kritis terhadap abstraksi dan spekulasi dalam membangun dan memperoleh ilmu. Strategi utama pemerolehan ilmu, dengan demikian, dilakukan dengan penerapan metode ilmiah. Para ilmuwan berkebangsaan Inggris seperti John Locke, George Berkeley dan David Hume adalah pendiri utama tradisi empirisme.

3.      Realisme Dalam pemikiran filsafat, realisme berpandangan bahwa kenyataan tidaklah terbatas pada

pengalaman inderawi ataupun gagasan yang tebangun dari dalam. Dengan demikian realisme dapat dikatakan sebagai bentuk penolakan terhadap gagasan ekstrim idealisme dan empirisme. Dalam membangun ilmu pengetahuan, realisme memberikan teori dengan metode induksi empiris. Gagasan utama dari realisme dalam konteks pemerolehan pengetahuan adalah bahwa pengetahuan didapatkan dari dual hal, yaitu observasi dan pengembangan pemikiran baru dari observasi yang dilakukan. Dalam konteks ini, ilmuwan dapat saja menganalisa kategori fenomena-fenomena yang secara teoritis eksis walaupun tidak dapat diobservasi secara langsung. Tradisi realisme mengakui bahwa entitas yang bersifat abstrak dapat menjadi nyata (realitas) dengan bantuan symbol-simbol linguistik dan kesadaran manusia. Gagasan ini sejajar dengan filsafat modern dari pendekatan pengetahuan versi Kantianism fenonomologi sampai pendekatan structural.

4.      Idealisme Idealisme adalah tradisi pemikiran filsafat yang berpandangan bahwa doktrin tentang

realitas eksternal tidak dapat dipahami secara terpisah dari kesadaran manusia. Dengan kata lain kategori dan gagasan eksis di dalam ruang kesadaran manusia terlebih dahulu sebelum adanya pengalaman-pengalaman inderawi. Pandangan Plato bahwa semua konsep eksis terpisah dari entitas materinya dapat dikatakan sebagai sumber dari pandangan idealism radikal. Karya dan pandangan Plato memberikan garis demarkasi yang jelas antara pikiran-pikiran idealis dengan pandangan materialis. Aritoteles menjadi orang yang memberikan tantangan pemikiran bagi gagasan-gagasan idealis Plato. Aristoteles mendasarkan pemikiran filsafatnya berdasarkan materi dan fisik.

5.      Positivisme Positivisme adalah doktrin filosofi dan ilmu pengetahuan sosial yang menempatkan peran

sentral pengalaman dan bukti empiris sebagai basis dari ilmu pengetahuan dan penelitian. Terminologi positivisme dikenalkan oleh Auguste Comte untuk menolak doktrin nilai subyektif, digantikan oleh fakta yang bisa diamati serta penerapan metode ini untuk membangun ilmu pengetahuan yang diabdikan untuk memperbaiki kehidupan manusia. Tokoh-tokoh yang paling berpengaruh dalam mengembangkan tradisi positivisme adalah Thomas Kuhn, Paul K. Fyerabend, W.V.O. Quine, and filosof lainnya. Pikiran-pikiran para tokoh ini membuka jalan bagi penggunaan berbagai metodologi dalam membangun pengetahuan dari mulai studi etnografi sampai penggunaan analisa statistik.

6.      PragmatismePragmatisme adalah mashab pemikiran filsafat ilmu yang dipelopori oleh C.S Peirce,

William James, John Dewey, George Herbert Mead, F.C.S Schiller dan Richard Rorty. Tradisi pragmatism muncul atas reaksi terhadap tradisi idealis yang dominan yang menganggap kebenaran sebagai entitas yang abstrak, sistematis dan refleksi dari realitas. Pragmatisme berargumentasi bahwa filsafat ilmu haruslah meninggalkan ilmu pengetahuan transendental dan menggantinya dengan aktifitas manusia sebagai sumber pengetahuan. Bagi para penganut mashab pragmatisme, ilmu pengetahuan dan kebenaran adalah sebuah perjalanan dan bukan merupakan tujuan.

Filsafat Matematika Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam dua

kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut, bahwa „mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge‟, sedangkan menurut fallibilis mathematicak truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction‟ (Ernest, 1991).

Menurut Woozley pengetahuan terbagi dalam dua kategori, yaitu pengetahuan a priori dan pengetahuan a posteriori (empirical). Pengetahuan a priori memuat proposisi yang didasarkan atas , tanpa dibantu dengan observasi terhadap dunia. Penalaran di sini memuat penggunaan logika eduktif dan makna dari istilah-istilah, secara tipikal dapat ditemukan dalam definisi. Secara kontras pengetahuan a posteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman, yaitu berdasarkan observasi dunia. Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi, dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro) asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran matematika. Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Russel telah menunjukkan bahwa sistem yang dipublikasikan Gottlob Frege tahun 1879 dan 1893 tidak konsisten. Kontradiksi lainnya muncul dalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika matematika itu pasti dan semua semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema itu? Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis; pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi terus menerus. Aliran dalam Matematika Formalisme Formalis seperti David Hilbert (1642 –1943) berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika. Hal ini disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda –tanda lingistik, seperti huruf-huruf dalam alpabet Bahasa Inggeris. Bilangan dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2, II atau SS0. Pada saat kita

membaca kadang-kadang kita memaknai bacaan secara matematika, tetapi sebaliknya istilah matematika tidak memiliki sebarang perluasan makna (Anglin, 1994). Formalis memandang matematika sebagai suatu permainan formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, yang mengikuti aturan (Ernest, 1991). Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua dua tesis, yaitu 1. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal. 2. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan. Ada bermacam keberatan terhadap formalisme, antara lain; (1) formalis dalam memahami obyek matematika seperti lingkaran, sebagai sesuatu yang kongkrit, padahal tidak bergantung pada obyek fisik; (2) formalis tidak dapat menjamin permainan matematika itu konsisten. Keberatan tersebut dijawab formalis bahwa (1) lingkaran dan yang lainnya adalah obyek yang bersifat material dan (2) meskipun beberapa permainan itu tidak konsisten dan kadang-kadang trivial, tetapi yang lainnya tidak demikian (Anglin, 1994).

Intuisionisme Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer (1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin, 1994). Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara mental) dari aksima-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang eksklusifpada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata (Ernest, 1991). Ada berbagai macam keberatan terhadap intusionisme, antara lain; (1) intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4; (2) matematisi intusionisme adalah manusi timpang yang buruk dengan menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini. Intusionisme, menjawab keberata tersebut seperti berikut; tidak ada dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba membayangkansuatu dunia tanpa manusia; (2) Lebih baik memiliki sejumlah sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg dari pada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994). Logisisme Logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Pengakuan Bertrand Russell menerima logisime adalah yang paling jelas dan dalam rumusan yang sangat ekspilisit. Dua pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu (1) semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika; (2) semua

kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata (Ernest, 1991). Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme antara lain: 1. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi. 2. Teorema Ketiddaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran matematika. 3. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.

Dari uraian di atas terlihat bahwa matematika berkaitan erat dengan filsafat. Matematika sangat membutuhkan logika dalam berpikir belajar matematika tanpa adanya logika tidak akan mampu menyelesikannya. Belajar matematika juga sangat membutuhkan kerativitas dan berpikir kritis. Namun saat ini seringkali intuisi siswa yang telah direbut oleh guru, karena guru mengajar hanya lah memberi materi dan rumus tanpa mengajarkan atau memberi kesempatan kepada siswa untuk menemukan sendiri rumus itu diperoleh. Mungkin alasan guru melakukan itu hanyalah untuk mengejar ujian akhir nasional. Pada ujian akhir nasioanal yang dibutuhkan hanyalah jawaban yang benar tanpa mempedulikan bagaiaman siswa dapat memperoleh jawaban itu, sehingga guru hanya menjejali siswa dengan rumus-rumus. Guru menganggap bahwa awal menemukan langkah atau rumus itu tidaklah penting. Sehingga kreativitas siswa sangat kurang berkembang. Berbeda dengan pendidikan luar negeri yang sangat menghargai hasil karya siswa di sekolah. Kurikulum di Indonesia pun nampak tidak memperhatikan kemampuan siswa, pemerintah kurang memperhatikan kurikulum tersebut apakah layak dan pantas untuk diterapkan pada pendidikan di Indonesia. Kurikulum yang mudah sekali berubah sangat menyulitkan guru dan siswa dalam pembelajaran. Di laur negeri setiap siswa berhak ikut menentukan kurikulum yang digunakan di sekolah karena kurikulum di luar negeri menggunakan kurikulum satuan pembelajaran sehingga setiap guru, setiap matapelajaran dan bahkan setiap materi mempunyai kurikulum yang berbeda.