Exercıcios para a ApostilaGET00143 - Teoria das Probabilidade II

Profa: Jessica Kubrusly

Capıtulo 1: Variaveis Aleatorias

1.1. Considere o seguinte experimento: dispositivos eletronicos sao selecionados, de formasequencial e ao acaso, e testados ate que seja encontrado um cujo tempo de funcionamentoseja menor que 10 minutos, nesse momento o experimento e encerrado. Em cada item aseguir uma variavel aleatoria e definida baseada neste experimento. Para cada uma delasdefina a sua imagem e em seguida classifique a variavel aleatoria como discreta ou nao.

(a) X e o numero de dispositivos testados.

(b) Y e o numero de dispositivos que duraram mais de 30 min, entre todos os testados.

(c) Z e o maior tempo de funcionamento (em minutos) entre os dispositivos testados.

(d) W e igual a 1 se foram testados mais de 100 dispositivos e 0 caso contrario.

(e) Defina uma outra v.a., indique a sua imagem e classifique-a como discreta ou nao.

1.2. Considere o experimento de lancar uma moeda 3 vezes.

(a) Defina um espaco amostral para esse experimento.

(b) Determine a probabilidade associada a cada elemento do espaco amostral.

Para esse experimento considere a variavel aleatoria X como a diferenca entre o numerode caras e o numero de coroas.

(c) Defina Im(X) e classifique X como v.a. discreta ou nao.

(d) Encontre a funcao de distribuicao de X e esboce seu grafico.

1.3. Cada item a seguir apresenta a funcao de distribuicao de alguma variavel aleatoria. Paracada item faca o seguinte: (i) Defina Im(X); (ii) Diga se X e discreta ou nao, justifiquesua resposta; (iii) Diga se X e contınua ou nao, justifique sua resposta.

(a) F (x) =

0 , x < −3;1/3 , −3 ≤ x < −2;2/3 , −2 ≤ x < 1;1 , x ≥ 1.

(b) F (x) =

0 , x < 0;x , 0 ≤ x < 1;1 , x ≥ 1.

(c) F (x) =

0 , x < 0;x/3 , 0 ≤ x < 1;(x+ 1)/3 , 1 ≤ x < 2;1 , x ≥ 2.

(d) F (x) =

0 , x < 0;0, 2 , 0 ≤ x < 1/3;0, 5 , 1/3 ≤ x < 2/3;0, 8 , 2/3 ≤ x < 1;1 , x ≥ 1.

1.4. Seja X uma variavel aleatoria com funcao distribuicao definida por:

FX(x) =

0 , x < 0;x2 , 0 ≤ x < 1;1 , x ≥ 1.

(a) Desenhe o grafico de FX e verifique as propriedades da funcao de distribuicao.

(b) Classifique X como variavel aleatoria discretas ou contınua.

(c) Defina a imagem da variavel aleatoria X.

(d) Calcule P(X > 0.3), P(X ≥ 0.3), P(X = 0.3), P(0.3 ≤ X ≤ 0.8).

1.5. Seja X uma variavel aleatoria com funcao distribuicao definida por:

FX(x) =

0 , x < 1/2;1/3 , 1/2 ≤ x < 1;2/3 , 1 ≤ x < 3/2;1 , x ≥ 3/2.

(a) Desenhe o grafico de FX e verifique as propriedades da funcao de distribuicao.

(b) Classifique X como variavel aleatoria discretas ou contınua.

(c) Defina a imagem da variavel aleatoria X.

(d) Calcule P(X > 1), P(X ≥ 1), P(X = 1), P(1 ≤ X ≤ 2).

1.6. ([Magalhaes, 2011] - Exercıcio 5 - Secao 2.2)Determine as constantes a e b, para que a funcao G seja funcao de distribuicao de algumavariavel aleatoria contınua.

G(x) =

a− 2b , x < 0;ax , 0 ≤ x < 1;a+ b(x− 1) , 1 ≤ x < 2;1 , x ≥ 2.

1.7. Seja Y v.a. com funcao de distribuicao G definida no exercıcio 1.6. acima.

(a) Esboce o grafico de G.

(b) Defina a imagem da variavel aleatoria Y .

(c) Calcule P(Y > 1, 5) e P(0 < Y < 1, 5).

1.8. ([Magalhaes, 2011] - Exercıcio 7 - Secao 2.2)A variavel X tem funcao de distribuicao dada por:

F (x) =

0, x < −1;1/2, −1 ≤ x < 1/2;3/4, 1/2 ≤ x < 2;1, x ≥ 2.

(a) Classifique a variavel X.

(b) Expresse P(X ≥ 0) e P(X > 0) em termos de F e calcule seus valores.

(c) Expresse P(X ≥ −1) e P(X > −1) em termos de F e indique os valores obtidos.Comente sobre as diferencas em relacao ao resultado do item (b).

1.9. ([Magalhaes, 2011] - Exercıcio 9 - Secao 2.2)A variavel X tem funcao de distribuicao dada por:

F (x) =

0, x < 1;1c (1− e

−(x−1)), 1 ≤ x < 2;1c (1− e

−1 + e−2 − e−2(x−1)), x ≥ 2.

(a) Obtenha o valor de c.

(b) Classifique a variavel X.

(c) Determine P(X ≥ 32 | X < 4).

1.10. Decida se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas. Prove as suas respostas.

(a) Se F e funcao de distribuicao, entao 2F tambem e.

(b) Se F e funcao de distribuicao, entao F 2 tambem e.

Capıtulo 2: Variaveis Aleatorias Discretas

2.1. ([Ross, 2010] - Probelma 4.1 - Capıtulo 4)Duas bolas sao selecionadas, de forma aleatoria e sem reposicao, de uma urna contendo 8bolas brancas, 4 bolas pretas e 2 laranjas. Suponha que ganhamos R$ 2,00 por cada bolapreta selecionada e perdemos R$ 1,00 por cada bola branca. Seja X valor arrecadado(ou perdido) depois de retirar as duas bolas. Quais os possıveis valores de X e quais asprobabilidades associadas a cada um desses valores?

2.2. ([Ross, 2010] - Problema 4.3 - Capıtulo 4)Tres dados sao lancados. Assumindo que cada uma das 63 = 216 saıdas sao igualmenteprovaveis, encontre a funcao de probabilidade da variavel aleatoria X definida pela somados valores dos tres dados.

2.3. ([Ross, 2010] - Problemas 4.7 e 4.8 - Capıtulo 4)Suponha o experimento de jogar dois dados. Para cada variavel aleatoria definida a seguirdetermine a sua imagem, a sua funcao de probabilidade e a sua funcao de distribuicao.

(a) X e o valor maximo entre as duas saıdas.

(b) Y e a soma das duas saıdas.

2.4. ([DeGroot e Schervish, 2012] - Exemplo 9 - pag.100)Suponha que uma variavel aleatoria X tenha distribuicao discreta dada pela funcao deprobabilidade

pX(x) =

c

2x, x = 0, 1, 2, ...,

0, caso contrario.

Determine o valor da constante c.

2.5. ([Farias e Laurencel, 2008] - Exemplo 1.11 - pag.30)O tempo T , em minutos, necessario para um operario processar certa peca e uma v.a.discreta com funcao de probabilidade definida na tabela abaixo.

t 2 3 4 5 6 7

pT (t) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1

Para cada peca processada, o operario ganha um fixo de 2 u.m. (unidade monetaria)mas, se ele processa a peca em menos de 6 minutos, ganha 0, 50 u.m. por cada minutopoupado. Encontre a funcao de distribuicao da v.a. G = quantia (em u.m.) ganha porpeca.

2.6. Considere uma urna com 2 bolas brancas e 1 bola preta. Suponha o experimento deretirar, com reposicao, 4 bolas dessa urna. Seja X = numero de bolas brancas nas quatroretiradas.

(a) Encontre a funcao de probabilidade da v.a. X, isto e, pX .

(b) Calcule E(X).

Defina Y = numero de bolas pretas nas quatro retiradas.

(c) Escreva Y como funcao de X e, usando as propriedades do valor esperado, calculeE(Y ).

(d) Encontre, a partir de pX , a funcao de probabilidade da v.a. Y , isto e, pY .

(e) Encontre novamente E(Y ), agora a partir de pY .

(f) Encontre Var(X) e Var(Y ).

2.7. ([Magalhaes, 2011] - Exercıcio 4 - Secao 4.2)Determine E(X), sendo a funcao de distribuicao da variavel X e dada por:

F (x) =

0, x < −2;1/2, −2 ≤ x < 0;5/8, 0 ≤ x < 1;7/8, 1 ≤ x < 2;1, x ≥ 2.

2.8. Seja X variavel aleatoria com funcao distribuicao

F (x) =

0, x ≤ −11/8, −1 ≤ x < −1/23/8, −1/2 ≤ x < 01/2, 0 ≤ x < 1/23/4, 1/2 ≤ x < 11, x ≥ 1.

(a) Calcule E(X).

(b) Calcule E(X2) a partir da distribuicao de X.

(c) Calcule E(X2) a partir da distribuicao de X2.

(d) Calcule Var(X).

2.9. ([Ross, 2010] - Problema 20 - Capıtulo 4)Um livro sobre jogos de azar recomenda a seguinte estrategia para o jogo de roleta.O jogador aposta R$ 1,00 no vermelho. Se sair um vermelho (probabilidade 18/38 deocorrer), o jogador deve pegar seu dinheiro (R$ 1,00 da aposta mais R$ 1,00 de lucro)e sair do jogo. Se nao sair o vermelho (probabilidade 20/38 de ocorrer), para as duasrodadas seguintes o jogador deve fazer apostas adicionais de R$ 1,00 no vermelho e entaosair do jogo. Seja X o ganho (ou perda, no caso de ganho negativo) do jogador depoisque ele saiu do jogo.

(a) Encontre P(X > 0).

(b) Voce esta convencido de que essa estrategia e realmente uma estrategia de vitoria?Explique sua resposta?

(c) Encontre E(X).

2.10. ([Ross, 2010] - Problemas 21 e 37 - Capıtulo 4)Quatro onibus escolares transportam 148 alunos. Os numeros de alunos por onibus sao:40, 33, 25 e 50. Considere o experimento de escolher de forma aleatoria um entre os 148alunos. Seja X o numero de alunos no onibus do aluno escolhido. Agora suponha queum entre os quatro motoristas e escolhido, tambem de forma aleatoria. Seja Y o numerode alunos no onibus do motorista escolhido.

(a) Quem voce acha que e maior, E(X) ou E(Y )? Por que?

(b) Calcule E(X) e E(Y ).

(c) Calcule Var(X) e Var(Y ).

2.11. Em uma urna existem 5 bolas, entre as quais 2 sao vermelhas. Suponha que bolas sejamretiradas, uma a uma e sem reposicao, ate que as duas vermelhas sejam observadas. Istoe, quando as duas vermelhas aparecerem termina o experimento. Encontre o numeroesperado de bolas retiradas dessa urna.

2.12. Um laptop de 3000 reais esta sendo rifado. O responsavel pela rifa esta vendendo 10000numeros que custam 1 real cada. Se voce compra um numero, qual e o seu ganho esperado?Se voce compra 100 numeros, qual e o seu ganho esperado? Encontre a variancia do seuganho em ambos os casos.

2.13. ([Ross, 2010] - Problema 38 - Capıtulo 4)Se E(X) = 1 e Var(X) = 5, encontre

(a) E((2 +X)2);

(b) Var(4 + 3X).

2.14. Decida se a afirmacao a seguir e falsa ou verdadeira. Demonstre se ela for verdadeira ouapresente um contra-exemplo no caso dela ser falsa.

“Seja X uma variavel aleatoria, entao E(1/X) = 1/E(X).”

2.15. ([Ross, 2010] - Problema 30 - Capıtulo 4) - Paradoxo de Sao PetersburgoUma pessoa lanca uma moeda justa ate aparecer coroa pela primeira vez. Se a coroaaparecer no n-esimo lancamento, a pessoa ganha 2n reais. Seja X o ganho dessa pessoa.

(a) Mostre que E(X) =∞.

(b) Voce pagaria R$ 1 milhao para jogar esse jogo uma unica vez?

(c) Voce pagaria R$ 1 milhao por cada partida se voce pudesse jogar quantas partidasquisesse e so pagasse a conta no final, quando parasse de jogar?

Capıtulo 3: Algumas DistribuicoesDiscretas

3.1. Suponha uma urna com 10 bolas, entre as quais 4 sao brancas. Para cada item a se-guir determine a variavel aleatoria em questao, identifique o modelo adequado para essavariavel aleatoria e calcule a probabilidade pedida.

(a) Se forem retiradas 8 bolas, com reposicao, qual a probabilidade de saırem pelo menos3 bolas brancas?

(b) Se forem retiradas 8 bolas, sem reposicao, qual a probabilidade de saırem mais de 3bolas brancas?

(c) Se as bolas forem retiradas com reposicao, qual a probabilidade da terceira bolabranca sair ser na 8a retirada?

(d) Se as bolas forem retiradas com reposicao, qual a probabilidade da primeira bolabranca sair depois da 8a retirada?

(e) E se a urna tivesse 1000 bolas, entre as quais 4 fossem brancas. Qual a probabilidadeaproximada de saırem 3 bolas brancas entre 80 retiradas com reposicao?

3.2. Suponha que itens sao inspecionados, um a um, numa linha de montagem e que a proba-bilidade de que um dado item tenha que ser reparado, devido a algum tipo de defeito, sejade 1/30. Imagine que a linha de montagem vai entrar em operacao em breve. Pergunta-se:

(a) Qual e a quantidade esperada de itens adequados que sao encontrados antes quecinco voltem para reparo?

(b) Qual e a probabilidade que o primeiro item com defeito apareca depois de que os 10primeiro itens sejam considerados adequados.

3.3. ([Farias e Laurencel, 2008] - ex.2.5 pag.61)Um supermercado faz a seguinte promocao: o cliente, ao passar pelo caixa, lanca umdado. Se sair face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair face 5 odesconto e de 20%. Se sair face 4 o desconto e de 10% e se ocorrerem faces 1, 2 ou 3, odesconto e de 5%. Seja X = desconto concedido.

(a) Encontre a funcao de distribuicao de probabilidade de X.

(b) Calcule o desconto medio concedido.

(c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de 5 clientes, pelo menos um consigaum desconto maior que 10%.

(d) Calcule a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a receber 30% dedesconto.

3.4. Na Lotofacil sao sorteados 15 entre os 25 numeros existentes. O apostador pode escolher15, 16, 17 ou 18 numeros para apostar. O apostador ganha o premio maximo se entre osnumeros escolhidos por ele estiverem os 15 numeros sorteados. Calcule a probabilidadede um apostador ganhar o premio maximo apostando em:(a) 15 numeros; (b) 16 numeros; (c) 17 numeros; (d) 18 numeros.

3.5. Considere o jogo da Lotofacil descrita no exercıcio anterior. Nesse tipo de jogo o apostadorgasta R$ 1,50, R$ 24,00, R$ 204,00 ou R$ 1.224,00 para apostar, respectivamente, em 15,16, 17 ou 18 numeros. Desconsiderando ganhos diferente do premio maximo, calcule oganho medio do apostador para cada tipo de aposta, supondo que o premio maximo parao proximo sorteio seja de R$ 1.700.000,00.

3.6. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.3)

(a) Se X ∼ Binomial(n, p), qual e o modelo de Y = n−X?

(b) Se X ∼ Geometrica(p), qual e o modelo de Y = X − 1?

3.7. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.3)Dentre os estudantes Joao, Pedro e Manoel, o professor escolhe ao acaso um deles parafazer uma pergunta. Suponha que esse procedimento (sortear um estudante e fazer umapergunta) seja repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de:

(a) Manoel nunca ser escolhido?

(b) Um (qualquer) dos estudantes nao ter sido escolhido para responder sequer umapergunta?

3.8. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.3)Uma vacina, com taxa de imunizacao de 80% segundo o fabricante, foi aplicada numconjunto de criancas de um certo bairro. As autoridades de saude desejam se certificarse a taxa de imunizacao tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 criancas foramsorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos paraavaliar a sua imunizacao.

(a) Sendo a afirmacao do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3criancas nao imunizadas no grupo de 20 criancas?

(b) Se voce fosse encarregado de decidir sobre a aceitacao ou nao da afirmacao dofabricante, que criterio voce estabeleceria?

3.9. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.3)O numero de chegadas a um posto de informacoes turısticas e modelado por um modeloPoisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidadede ocorrer:

(a) Pelo menos uma chegada?

(b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas?

3.10. ([Ross, 2010] - Capıtulo 4)Uma empresa que produz disquetes sabe que a probabilidade de um disquete ser produzidocom defeito e de 0,01, independente um do outro. A empresa vende os disquetes em caixascom 10 unidades. Ela garante que o cliente pode devolver uma caixa de disquetes casoesta contenha mais de um disquete com defeito. Suponha que um cliente comprou 3caixas de disquete, qual a probabilidade dele devolver exatamente um caixa.

3.11. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.3)Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros segundo um modelo dePoisson com taxa de 2 erros por pagina.

(a) Qual a probabilidade de encontrar pelo menos um erro em uma pagina escolhida aoacado?

(b) Se 5 paginas sao sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual e a probabilidadede pelo menos 1 pagina conter pelo menos 1 erro?

(c) Dentro das condicoes de (b), considere a variavel que conta o numero de paginascom pelo menos um erro. Voce identifica o modelo dessa variavel?

3.12. Uma moeda nao justa e tal que, em media, para sair a 2a cara ela tem que ser jogada5 vezes. Determine, para essa moeda, a probabilidade de sair cara quando ela e jogadauma unica vez.

3.13. ([Ross, 2010] - Capıtulo 4)Aproximadamente 80.000 casamentos ocorreram na cidade do Rio de Janeiro no ultimoano. Calcule, tanto pela forma precisa quanto pela aproximada, a probabilidade em pelomenos um desses casais

(a) ambos terem nascido no dia 30 de abril;

(b) ambos fazerem aniversario no mesmo dia do ano?

Por que nesse exemplo podemos fazer as contas aproximadas?

3.14. Um distribuidor recebe um lote de 100 pecas de um fornecedor. Como nao e possıvelverificar todas as 100 pecas o distribuidor realiza uma inspecao por amostragem, istoe, o distribuidor seleciona aleatoriamente 10 pecas do lote e verifica se cada uma delasapresenta defeito. O lote sera aceito pelo distribuidor se nao houver pecas com defeito naamostra.

(a) Considerando que a amostra e recolhida com reposicao calcule a probabilidade deum lote com 6 pecas com defeito ser aceito pelo distribuidor.

(b) Considerando que a amostra e recolhida sem reposicao calcule a probabilidade deum lote com 6 pecas com defeito ser aceito pelo distribuidor.

(c) Para cada um dos itens acima qual deveria ser o tamanho da amostra (menorpossıvel) para garantir que a probabilidade do distribuidor aceitar um lote com6 pecas seja menor que 0,10?

3.15. Para cada item a seguir primeiro mostre que pX e funcao de probabilidade e em seguidaidentifique a distribuicao de probabilidade da varavel aleatoria X.

(a) pX(x) =1

e22x

x!, x = 0, 1, 2, . . .

(b) pX(x) =3

2

(2

5

)x, x = 1, 2, 3, . . .

(c) pX(x) =

(10

x

)1

3x

(3

4

)10

, x = 0, 1, 2, . . . , 10.

(d) pX(x) = 4(x− 1)

(1

3

)x, x = 2, 3, 4, 5, . . .

Capıtulo 4: Variaveis AleatoriasContınuas

4.1. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Seja X uma variavel aleatoria com funcao densidade definida por:

fX(x) =

C(1− x2) , −1 < x < 10 , caso contrario

(a) Determine o valor de C.

(b) Determine FX , isto e, a funcao de distribuicao de X.

(c) Qual a probabilidade de X assumir valores positivos e menores que 12?

4.2. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.5)Obtenha o valor (ou valores) de c, para que as expressoes abaixo sejam funcoes densidade.

(a) f(x) =

0 , x ≤ −1;−cx , −1 < x ≤ 0;ce−6x , x > 0.

(b) f(x) = cx2I(−c,c)(x).

(c) f(x) = (c+ 1)f1(x)− cf2(x), x ∈ R e f1 e f2 sao densidades.

4.3. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.5)Seja X uma variavel aleatoria contınua com funcao de distribuicao:

FX(x) =

0 , x ≤ 0x2/2 , 0 < x ≤ 1/2;x3 , 1/2 < x ≤ 1;1 , x > 1.

(a) Verifique que F satisfaz as propriedades de funcao distribuicao.

(b) Obtenha a funcao de densidade de X.

4.4. Para a variavel aleatoria do exercıcio (4.3.) acima faca o que se pede:

(a) Esboco os graficos de F e f e determine a imagem de X.

(b) Calcule P(1/3 < X < 2/3) e P(X > 1/3 | X < 2/3).

(c) Encontre E(X), E(2X + 1) e E(2/X).

(d) Encontre Var(X), Var(1− 3X) e Var(X2).

4.5. ([Magalhaes e de Lima, 2002] - Secao 6.1)O tempo, em minutos, de digitacao de um texto por secretarias experientes e uma variavelaleatoria contınua X. Sua densidade e apresentada a seguir.

fX(x) =

14 , se 0 ≤ x < 218 , se 2 ≤ x < 60 , caso contrario.Determine:

(a) A probabilidade de uma secretaria experiente qualquer demorar mais de 3 minutospara digitar o texto.

(b) A probabilidade de uma secretaria experiente qualquer demorar entre 1 e 4 minutospara digitar o texto.

(c) A probabilidade de uma secretaria experiente qualquer demorar menos de 3 minutospara digitar o texto, dado que ela ja esta digitando o texto a 1 minuto.

(d) Um numero b tal que P(X > b) = 0, 6.

(e) O valor esperado e a variancia de X.

4.6. ([Magalhaes e de Lima, 2002] - Secao 6.1)A quantia gasta anualmente, em milhoes de reais, na manutencao do asfalto em umacidade do interior e representada pela variavel aleatoria Y com densidade dada por:

fY (y) =8

9y − 4

9, 0, 5 ≤ y < 2.

(a) Qual a probabilidade de se gastar menos de 0,8 milhoes em um ano na manutencaodo asfalto nesta cidade?

(b) Sabendo que ja foram gastos mais de 1 milhao na manutencao do asfalto nestacidade, qual a probabilidade deste gasto ser menor que 1,5 milhoes?

(c) Determine o valor esperado e a variancia de Y .

(d) Determine a mediana de Y .OBS: a mediana m de uma v.a. Y e tal que P(Y < m) = P(Y > m) = 1/2.

4.7. ([Magalhaes e de Lima, 2002] - Secao 6.1)Numa certa regiao, fosseis de pequenos animais sao frequentemente encontrados e um ar-queologo estabeleceu o seguinte modelo probabilıstico para o comprimento, em centımetros,desses fosseis.

f(x) =

x/40 , 4 ≤ x < 8;−x/20 + 3/5 , 8 ≤ x < 10;1/10 , 10 ≤ x < 11;0 , caso contrario.

(a) Faca o graficos da funcao de densidade.

(b) Para um fossil encontrado nessa regiao, determine a probabilidade do comprimentoser inferior a 6cm. Determine tambem a probabilidade do comprimento ser superiora 5cm e inferior a 10,5cm.

(c) Encontre o comprimento medio dos fosseis dessa regiao.

4.8. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.1.2 pag.22)A demanda diaria de arroz num supermercado, em centenas de quilos, e uma variavelaleatoria com funcao de densidade de probabilidade

fX(x) =

2x/3 , 0 ≤ x < 1;−x/3 + 1 , 1 ≤ x < 3;0 , caso contrario.

(a) Qual e a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido ao acaso?

(b) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada a disposicao dos clientes diaria-mente para que nao falte arroz em 95% dos dias?

4.9. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.1.4 pag.25) Calcule E(X) e Var(X) da variavel aleatoriaX com funcao de distribuicao acumulada FX dada por

FX(x) =

0 , x ≤ 0x5 , 0 < x < 11 , x ≥ 1.

4.10. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Suponha que o tempo de vida, em horas, de um certo componente eletronico seja umavariavel aleatoria contınua com funcao de densidade definida por:

fX(x) =

10x2

, se x > 10;0 , se x ≤ 10;

(a) Qual a probabilidade de um desses componentes eletronicos durar mais de 20 horas?

(b) Encontre a funcao distribuicao de X.

(c) Qual a probabilidade de, entre 6 desses componentes eletronicos, pelo menos 3 fun-cionarem por pelo menos 15 horas? Quais hipoteses e preciso assumir?

4.11. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Um posto de gasolina recebe combustıvel uma vez por semana. Sua venda semanal, emmilhares de galoes de combustıvel, pode ser definida como uma variavel aleatoria contınuacom funcao densidade definida por:

fX(x) =

5(1− x)4 , se 0 < x < 1;0 , caso contrario.

Qual o tamanho do tanque desse posto para que a probabilidade dele ficar vazio antes deacabar a semana seja menor que 0.01?

4.12. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Encontre E(X) se X tem funcao densidade dada por:

(a) f(x) =

14xe−x/2 , x > 0;

0 , caso contrario.(b) f(x) =

c(1− x2) , −1 < x < 1;0 , caso contrario.

(c) f(x) =

5/x2 , x > 5;0 , x ≤ 5.

4.13. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.5)Para X com densidade f(x) = |1− x|I(0,2)(x), obtenha:

(a) A funcao de distribuicao de X. (Dica: faca primeiro o grafico de f)

(b) P(X > 1/2).

(c) P(X < 2/3 | X > 1/2).

(d) E(X) e Var(X).

4.14. Seja X variavel aleatoria contınua com funcao de distribuicao dada por:

FX(x) =

0 , x < 2;x2 − 1 , 2 ≤ x ≤ 41 , x > 4

Determine:

(a) P(1 ≤ X ≤ 3) (b) P(−1 ≤ X ≤ 1) (c) P(X > 3 | X > 2.5)(d) E(X) e Var(X) (e) E(3X − 2) e Var(3X − 2) (f) E(X3 + 1) e Var(X3 + 1)

4.15. Suponha que X seja uma variavel aleatoria de media 10 e variancia 25. Para quais valoresde a e b a variavel aleatoria Y = aX + b tera media 0 e variancia 1?

Capıtulo 5: Algumas DistribuicoesContınuas

5.1. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Em uma estacao, trens partem para a cidade A de 15 em 15 minutos, comecando as7:00h; e trens partem para a cidade B de 15 em 15 minutos, comecando as 7:05h. Seum passageiro chega na estacao em um instante uniformemente distribuıdo entre 7:00h e8:00h, e pegar o primeiro trem que chegar, qual a probabilidade dele ir para a cidade A?

5.2. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Voce chega em um ponto de onibus as 10:00h e sabe que o instante em que o onibus chegae uniformemente distribuıdo entre 10:00h e 10:30h.

(a) Qual a probabilidade de voce ter que esperar o onibus por mais de 10 minutos?

(b) Se ate as 10:15h o onibus ainda nao tiver chegado, qual a probabilidade de voce terque esperar pelo menos por mais 10 minutos?

5.3. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Uma pessoa, que tenta acertar um alvo, recebe 10 pontos se o seu tiro for a 1 polegada doalvo, 5 pontos se for entre 1 e 3 polegadas do alvo, e 3 pontos se for entre 3 e 5 polegadasdo alvo. Encontre o numero esperado de pontos marcados, se a distancia entre o tiro e oalvo for uniformemente distribuıda entre 0 e 10.

5.4. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.4)Seja X ∼ U(−α, α), determine o valor do parametro α de modo que:

(a) P(−1 < X < 2) = 3/4.

(b) P(|X| < 1) = P(|X| > 2).

5.5. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)O tempo (em horas) que uma maquina leva para ser consertada e uma variavel aleatoriaexponencial com media de 2 horas.

(a) Qual a probabilidade do tempo de reparo ultrapassar de 2 horas?

(b) Qual a probabilidade do tempo de reparo ser no maximo de 10 horas, dado que suaduracao ja excedeu 9 horas?

(c) Encontre o tempo de conserto para o qual podemos afirmar com 90% de certeza quea maquina vai ser consertada antes desse tempo?

5.6. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)O numero de anos que um radio funciona pode ser considerado uma variavel aleatoriaexponencial com media de 8 anos. Se Joao comprou um radio usado, qual a probabilidadedele durar por mais 8 anos? E se a distribuicao nao fosse exponencial, ainda e possıvelde fazer as contas? Por que? Comente as respostas baseado na propriedade de “falta dememoria” da distribuicao exponencial.

5.7. Considere que o numero de ligacoes que chegam em uma central telefonica segue ummodelo de Poisson com media de 50 ligacao por hora. Faca os itens a seguir usandoprimeiro a distribuicao de Poisson e depois usando uma distribuicao contınua.

(a) Qual a probabilidade da 1a ligacao do dia demorar mais de 5 minutos para chegar?

(b) Qual a probabilidade da 1a ligacao do dia chegar nos primeiros dois minutos defuncionamento?

5.8. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Seja X variavel aleatoria exponencial com media 1/λ e k um inteiro positivo. Mostre que

E(Xk) =k!

λk.

5.9. Suponha que o tempo (em horas) ate a ocorrencia de um problema na n-esima bomba decombustıvel de um certo tipo de aeronave seja uma variavel aleatoria contınua com dis-tribuicao Gama(α = n, λ = 1/100). Se ocorre problema em uma bomba, esta e desligadae outra bomba e automaticamente acionada.

Em uma dessas aeronaves foram instaladas duas bombas de combustıvel. Quando ocorreum problema na primeira bomba, a segunda bomba e automaticamente acionada. Seocorrer um problema na segunda bomba durante um voo nao ha mais bombas para seremacionadas e por isso e necessario realizar um pouso de emergencia.

Considerando que essa aeronave ira realizar um voo com duracao de 50 horas, responda:

(a) Qual a probabilidade do voo terminar sem que a segunda bomba tenha sido acio-nada?

(b) Qual a probabilidade de ser necessario realizar um pouso de emergencia devido aproblemas com a bomba de combustıvel?

(c) Qual o tempo medio de voo dessa aeronave (com duas bombas) desde a sua decola-gem ate a realizacao de um pouso de emergencia?

(d) Quantas bombas deveriam ter a aeronave para que a probabilidade de realizar umpouso de emergencia devido a problemas com a bomba de combustıvel seja menorque 1%?

5.10. Seja X ∼ Gama(α, λ) e fX a sua funcao de densidade. Para cada um dos tres casos aseguir, faca os itens i, ii e iii.(a) α < 1; (b) α = 1; (c) α > 1.

i. Encontre limx→0 fX(x) e limx→∞ fX(x);

ii. Verifique o sinal de ddxfX(x), ∀ x > 0;

iii. Com as informacoes acima faca um esboco do grafico de fX .

5.11. A umidade relativa, quando medida um determinado local, pode ser considerada umavariavel aleatoria com funcao densidade dada por

f(y) =

ky3(1− y)2 , se 0 ≤ y ≤ 10 , caso contrario.

(a) Encontre o valor de k para que f seja realmente funcao de probabilidade.

(b) Qual o modelo probabilıstico adotado para a variavel umidade relativa? Porque essemodelo e adequado para esse tipo de variavel?

(c) Sabe-se que se a umidade relativa ficar abaixo de 30%, a localidade entra em estadode atencao. Calcule a probabilidade da localidade entrar em estado de atencao,segundo o modelo proposto.

5.12. O custo de reparacao semanal, para uma determinada maquina, em centenas de reais, euma variavel aleatoria com distribuicao beta de parametros α = 1 e β = 3. Qual a quantiaque deve ser reservado para os custos de reparacao, por semana, de forma a garantir queem apenas 10% das semanas o custo de reparacao semanal exceda o montante reservado?

5.13. Expresse os itens a seguir em termos da funcao Gama. Quando possıvel encontre aresposta numerica. Quando isso nao for possıvel, reduza ao maximo o argumento dafuncao Gama.

(a)

∫ ∞0

x3e−2xdx (b)

∫ ∞0

x−13 e−

x4 dx (c)

∫ ∞0

x92 e−

12xdx

(d) Γ

(5

2

)B

(3

2, 1

)(e)

B(72 ,

72

)B(52 ,

112

) (f)

∫ 1

0x

12 (1− x)

32dx

5.14. Seja X ∼ Beta(α, α).

(a) Mostre que a funcao de densidade de X e simetrica em torno de 1/2.

(b) Sem fazer contas, encontre E(X).

(c) Esboce o grafico da funcao de densidade de fX para: α < 1, α = 1 e α > 1. Antes deesbocar o grafico determine, para cada caso: limx→0 fX(x), limx→1 fX(x) e o sinalde d

dxfX(x), para 0 < x < 1.

5.15. A mediana de uma variavel aleatoria contınua X e o valor m tal que P(X < m) = P(X >m) = 1/2. Encontre a mediana de X para:

(a) X ∼ U(a, b);

(b) X ∼ Exp(λ).

(c) X ∼ Pareto(α, b).

5.16. Cada item a seguir apresenta uma funcao de densidade. Identifique o modelo proba-bilıstico da v.a. com essa distribuicao, assim como o valor dos parametros.

(a) fX(x) = 1/2, −1 < x < 1.

(b) fX(x) = e−x/3

3 , x > 0.

(c) fX(x) = 4x2e−2x, x > 0.

(d) fX(x) = 49(1−x)3√x2, 0 < x < 1.

(e) fX(x) = 32x3, x ≥ 4.

(f) fX(x) = e−x√πx, x > 0.

(g) fX(x) = 12xe−x2/4, x > 0.

Capıtulo 6: Funcoes de Variaveis AleatoriasContınuas

6.1. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Se X e uma variavel aleatoria exponencial com parametro λ = 1, encontre a funcaodensidade de probabilidade da variavel aleatoria Y definida por Y = ln(X).

6.2. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Se X ∼ U(0, 1), encontre a funcao de densidade de Y = eX .

6.3. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Se X ∼ U(a, b) e Y ∼ U(0, 1), quais os valores α e β tais que Y = αX + β?

6.4. ([Bussab e Morettin, 2002] - pag.186)Suponha X com f.d.p. definida a seguir. Seja Y = e−X . Determine a f.d.p. de Y .

fX(x) =

3x2

2 ,−1 < x < 1;0 , caso contrario.

6.5. Seja X um variavel aleatoria contınua com distribuicao de Pareto de parametros α e b.Mostre que Y = ln(X/b) ∼ Exp(α).

6.6. Seja X variavel aleatoria contınua com funcao densidade fX(x) = kxI(0,2)(x). Encontrea densidade Y = X(2−X) (Dica: primeiro encontre o valor de k).

6.7. Seja X ∼ Beta(α, 1). Mostre que − ln(X) ∼ Exp(α).

Para o exercıcios 6.8. - 6.11. a seguir considere X v.a. contınua com funcao de densidade

fX(x) =

2x , se 0 < x < 10 , caso contrario.

6.8. Seja Y = 1/X. Encontre fY e faca seu grafico.

6.9. Seja Y = (X − 1/2)2. Encontre fY e faca seu grafico.

6.10. Seja Y = |X − 1/4|. Encontre fY e faca seu grafico.

6.11. Seja Y = min(3X2, 1−X2). Encontre fY e faca seu grafico.

6.12. Considere X variavel aleatoria contınua com funcao de densidade fX definida a seguir.Para Y = 2X − 1, encontre fY e faca seu grafico.

fX(x) =

12 , se − 1 < x ≤ 0x , se 0 < x < 10 , caso contrario.

6.13. Encontre a distribuicao da variavel aleatoria dada pela raiz quadrada de uma outra quetem distribuicao Gama de media e variancia iguais a 1.

6.14. ([James, 2004] - ex.13 pag.90)Se X tem densidade fX(x) = e−2|x|, x ∈ R, qual a densidade de Y = |X|?

6.15. De uma repassada em todos os exercıcios desta lista apontando aqueles que poderiamser resolvidos com o Metodo Jacobiano. Se voce ainda nao tiver usado esse metodo naresolucao dos exercıcios, escolha alguns para usa-lo e compare a resposta a partir doMetodo do Jacobiano com a resposta a partir do Metodo da Funcao de Distribuicao.

Capıtulo 7: A Distribuicao Normal

7.1. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Se X e variavel aleatoria com parametros µ = 10 e σ2 = 36, calcule:(a) P(X > 5) (b) P(4 < X < 16) (c) P(X < 8) (d) P(X < 20) (e) P(X > 16)

7.2. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Suponha que X seja uma variavel aleatoria normal com media 5. Se P(X > 9) = 0.2,aproximadamente quanto vale Var(X)?

7.3. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Seja X variavel aleatoria normal de media 12 e variancia 4. Encontre o valor de c tal queP(X > c) = 0.10.

7.4. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)A largura da fenda de uma peca forjada de duralumınio e (em polegadas) normalmentedistribuıda com µ = 0, 900 e σ = 0, 003. Os limites de especificacao dessa fenda foramdados como 0, 900± 0, 005 polegadas.

(a) Qual porcentagem das pecas forjadas sao defeituosas, isto e, estao fora da especi-ficacao?

(b) Qual o valor maximo permitido para σ que garante nao mais que 1 peca defeituosaem cada 100 observadas quando a largura da fenda for normalmente distribuıda comµ = 0, 900 e σ?

7.5. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Se um indivıduo e selecionado de forma aleatoria para fazer um teste de QI a sua notapode ser considerada uma variavel aleatoria normal com media 100 e desvio padrao 15.Qual a probabilidade da nota dessa pessoa ficar

(a) abaixo de 125?

(b) entre 90 e 110?

7.6. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Suponha que o tempo gasto no trajeto da sua casa ate universidade seja uma variavelaleatoria normal com media 40 minutos e desvio padrao de 7 minutos. Suponha tambemque todos os dias da semana sua aula comeca as 9:00h.

(a) Se voce sair de casa as 08:10h, qual a probabilidade de se atrasar?

(b) Se durante um mes voce sair de casa todos os dias as 08:10h, qual a probabilidadede se atrasar mais de duas vezes? (considere um mes com 20 dias uteis)

(c) Se voce quer ter 95% de certeza que nao vai se atrasar, qual o horario mais tardeque voce pode sair de casa?

7.7. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)A vida de um certo tipo de pneus automotivos e normalmente distribuıda com media de34.000 milhas e desvio padrao 4.000 milhas.

(a) Qual a probabilidade desse pneu durar mais de 40.000 milhas?

(b) Qual a probabilidade desse pneu durar entre 30.000 e 35.000 milhas?

(c) Dado que um certo pneu ja rodou 30.000 milhas, qual a probabilidade condicionaldele rodar por mais 10.000 milhas?

7.8. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)A quantidade de chuva anual em uma certa cidade e aproximadamente normal com media40,2 polegadas e desvio padrao de 8,4 polegadas.

(a) Qual a probabilidade de no proximo ano chover mais de 44 polegadas?

(b) Qual a probabilidade de em exatos 3 dos proximos 7 anos chover mais de 44 pole-gadas?

7.9. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.2 pag.75))Suponha que os tempos de vida de 2 marcas de aparelhos eletricos sejam variaveisaleatorias T1 e T2, onde T1 ∼ N(42, 36) e T2 ∼ N(45, 9). Se o aparelho deve ser usadopor um perıodo de 45 horas, qual marca deve ser preferida? E se for por um perıodo de49 horas?

7.10. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.3 pag.75))Numa distribuicao normal, 31% dos elementos sao menores que 45 e 8% sao maiores que64. Calcular os parametros que definem a distribuicao.

7.11. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.9 pag.76))A distribuicao dos pesos de coelhos criados em uma granja pode ser representada por umadistribuicao normal com media de 5 kg e desvio padrao de 0,8 kg. Um abatedouro com-prara 5.000 coelhos e pretende classifica-los de acordo com o peso da seguinte forma: 20%dos leves como pequenos, os 55% seguintes como medios, os 15% seguintes como grandese os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificacao?

7.12. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.4)Sendo X ∼ N(µ, σ2), µ > 0, avalie as probabilidades abaixo em funcao de Φ(z) ounumericamente, se possıvel:(a) P(|X| < µ) (b) P(|X − µ| > 0) (c) P(X − µ < −σ) (d) P(σ < |X − µ| < 2σ)

7.13. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.4)Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal comparametros µ = 1 e σ2 = 10−4. Se tres garrafas forem sorteadas ao acaso, pergunta-se:

(a) A probabilidade de todas as tres terem pelo menos 980ml?

(b) A probabilidade de nao mais de uma ficar com volume inferior a 980ml?

7.14. ([Magalhaes, 2011] - Secao 2.4)Seja X ∼ N(µ, σ2) o desempenho de um certo equipamento. Ele sera considerado forade controle se afastar de µ por mais de 2σ unidades. Todo dia, o equipamento e avali-ado e, caso esteja fora de controle, sera desligado e enviado para manutencao. Admitaindependencia entre as avaliacoes diarias. Determine a probabilidade de:

(a) No primeiro dia o equipamento ser desligado.

(b) A primeira manutencao ser no decimo dia.

(c) Voce reconhece a variavel que conta os dias ate a manutencao?

7.15. ([Ross, 2010] - Capıtulo 5)Mostre que Γ(1/2) =

√π. (Dica: Γ(1/2) =

∫∞0 e−xx−1/2dx. Faca a substituicao y =

√2x

e entao reconheca a semelhanca com a expressao da densidade normal.)

Capıtulo 8: Momentos e sua FuncaoGeradora

8.1. ([Magalhaes, 2011] - Secao 5.2)Para X ∼ U(a, b), obtenha E[Xk], k ∈ N e calcule sua variancia.

8.2. ([Meyer, 2011] - ex.4 pag.261)Suponha X o resultado de uma moeda equilibrada.

(a) Determine a funcao geradora de momentos de X.

(b) Empregando a funcao encontrada no item anterior, calcule E[X] e V ar(X).

8.3. Seja X uma variavel aleatoria tal que sua funcao densidade de probabilidade e dada por:

fX(x) = 3e−3(x−1) , x > 1.

Determine a funcao geradora de momentos de X, isto e, MX(t). Em seguida calcule E(X)a partir de MX .

8.4. ([Meyer, 2011] - ex.6 pag.261)Suponha X uma v.a. com f.d.p. dada por

fX(x) =1

2exp−|x|, x ∈ R.

(a) Determine a funcao geradora de momentos de X.

(b) Empregando a funcao encontrada no item anterior, calcule E[X] e V ar(X).

8.5. ([Magalhaes, 2011] - Secao 5.3)Considere que a variavel X segue o modelo Laplace (ou Exponencial Duplo), isto e, suadensidade e dada por

fX(x) =λ

2exp−λ|x− µ|, x ∈ R,

com λ > 0 e −∞ < µ <∞. Determine a media e a variancia de X diretamente e atravesde sua funcao geradora de momentos.

8.6. ([Meyer, 2011] - ex.8 pag.261)Suponha que a funcao geradora de momentos de uma v.a. X seja da forma

MX(t) = (0, 4et + 0, 6)8.

(a) Qual a funcao geradora de momentos de Y = 3X + 2?

(b) Calcule E[X].

(c) Voce pode verificar sua resposta de (b) por algum outro metodo? Tente “reconhecer”MX(t).

8.7. Para as v.a. dos exercıcios 8.4. e 8.6., use a funcao geradora de momentos encontradapara calcular os coeficientes de assimetria das variaveis.

8.8. Mostre, a partir da funcao geradora de momentos, que se X ∼ U(a, b) e Y = cX + dentao Y tambem tem distribuicao uniforme. Em qual intervalo?

8.9. ([Meyer, 2011] - ex.11 pag.261)Uma variavel aleatoria contınua X tem distribuicao Qui-quadrado com n graus de liber-dade se X ∼ Gama(α = n/2, λ = 1/2). Neste caso usamos a notacao X ∼ χ2(n).

Seja X ∼ χ2(n), usando a funcao geradora de momentos de X, mostre que E[X] = n eV ar(X) = 2n.

8.10. Uma variavel aleatoria contınua X tem distribuicao Log-Normal com parametros µ e σ2

se ln(X) tem distribuicao N(µ, σ2). Ou seja, se X = eY com Y ∼ N(µ, σ2). Neste casousamos a notacao X ∼ Log-Normal(µ, σ2).

Seja X ∼ Log-Normal(µ, σ2). A partir da funcao geradora de momentos da distribuicaoNormal mostre que E(X) = eµ+σ

2/2 e Var(X) = e2µ+2σ2 − e2µ+σ2.

OBS: Nao e para encontrar a funcao geradora de momentos de X ∼ Log-Normal(µ, σ2),pois esta inclusive nao existe.

8.11. ([Meyer, 2011] - ex.18 pag.262)Se uma v.a. X tiver funcao geradora de momentos MX(t) = 3/(3 − t), qual o desviopadrao de X?

8.12. Se a funcao geradora de momentos de alguma variavel aleatoria existe e e dada pelaexpressao MX(t) = e3(e

t−1), para t ∈ R, entao determine P(X ≥ 1).

8.13. Em cada item a seguir identifique o modelo probabilıstico da variavel aleatoria X cujafuncao geradora de momento e MX .

(a) eete−1 (b)

3

3− 4t, t < 3

4 (c) 2et

3−et , t < ln(3)

(d) 18

(et − 1

)3(e) 3

√25

(5− t)2, t < 5 (f) et(2t−3)

8.14. ([DeGroot e Schervish, 2012] - ex.1 pag.358)Suponha X uma v.a. tal que P (X ≥ 0) = 1 e P (X ≥ 10) = 1/5. Prove que E[X] ≥ 2.

8.15. ([DeGroot e Schervish, 2012] - ex.2 pag.358)Suponha X uma v.a. tal que E[X] = 10, P (X ≤ 7) = 0, 2 e P (X ≥ 13) = 0, 3. Prove queV ar(X) ≥ 9/2.

8.16. Um posto distribui senhas de atendimento no inıcio do dia. Diariamente sao distribuıdas150 senhas e ha indivıduos que nao recebem senha, estes devem voltar outro dia paratentar uma nova senha. Considere saber apenas que por dia, em media, 120 indivıduosbuscam uma senha nesse posto.

(a) Encontre uma cota superior para a probabilidade de mais de 50 indivıduos ficaremsem senha em um determinado dia.

(b) Encontre uma cota superior para a probabilidade de mais de 100 indivıduos ficaremsem senha em um determinado dia.

(c) Quantas senhas deveriam ser distribuıdas para garantirmos, com a pouca informacaoque temos, que em menos de 40% dos dias vai haver mais de 80 pessoas sem senha?

8.17. Suponha que o diametro de um certo tipo de parafuso produzido por uma fabrica seja umavariavel aleatoria de media 5mm e desvio padrao de 1,5mm. Segundo as especificacoestecnicas, o diametro desse tipo de parafuso tem que estar entre 3mm e 7mm, caso contrarioele e descartado pela fabrica. Apenas com essas informacoes, encontre uma cota inferiorpara a probabilidade de um parafuso estar dentro das especificacoes tecnicas.

Referencias Bibliograficas

[Bussab e Morettin, 2002] Bussab, W. e Morettin, P. (2002). Estatıstica Basica. Editora Sa-raiva, 5 edicao.

[DeGroot e Schervish, 2012] DeGroot, M. e Schervish, M. (2012). Probability and Statistics.Pearson, 4 edicao.

[Farias e Laurencel, 2008] Farias, A. e Laurencel, L. (2008). Variaveis aleatorias discretas.

[Farias e Laurencel, 2009] Farias, A. e Laurencel, L. (2009). Variaveis aleatorias contınuas.

[James, 2004] James, B. R. (2004). Probabilidade: um curso em nıvel intermediarios. IMPA,3a edicao.

[Magalhaes, 2011] Magalhaes, M. N. (2011). Probabilidade e Variaveis Aleatorias. Edusp, 3a

edicao.

[Magalhaes e de Lima, 2002] Magalhaes, M. N. e de Lima, A. C. P. (2002). Nocoes de Proba-bilidade e Estatıstica. Edusp, 5a edicao.

[Meyer, 2011] Meyer, P. L. (2011). Probabilidade: aplicacoes a estatıstica. LTC.

[Ross, 2010] Ross, S. (2010). A first course in probability. Prentice Hall, 8a edicao.

Gabarito

Capıtulo 1

1.1. (a) Im(X) = 1, 2, 3, ... e X e discreta (b) Im(Y ) = 0, 1, 2, 3, ... e Y e discreta (c) Im(Z) = (0,∞)e Z nao e discreta (d) Im(W ) = 0, 1 e W e discreta.1.2. (a) Ω = (w1, w2, w3) |wi = H,K, para i = 1, 2, 3 (b) 1/8 (c) Im(X) = −3,−1, 1, 3 e X ediscreta.1.3. (a) Im(X) = −3,−2, 1, X e discreta, X nao e contınua (b) (c) (d) Im(X) = 0, 1/3, 2/3, 1, X ediscreta, X nao e contınua.1.4. (b) X e contınua (c) Im(X) = (0, 1) (d) P(X > 0, 3) = P(X ≥ 0, 3) = 0, 91, P(X = 0, 3) = 0,P(0, 3 ≤ X ≤ 0, 8) = 0, 55.1.5. (b) X e discreta (c) Im(X) = 1/2, 1, 3/2 (d) P(X > 1) = 1/3, P(X ≥ 1) = 2/3, P(X = 1) = 1/3,P(1 ≤ X ≤ 2) = 2/3.1.6. a = 2/3 e b = 1/3.1.7. (b) Im(Y ) = [0, 2] (c)1.8. (a) X e v.a. discreta (b) P(X ≥ 0) = P(X = 0) = 1/2 (c) P(X ≥ 1) = 1 e P(X > 1) = 1/2.1.9. (a) c = 1 − e−1 + e−2 (b) X e contınua e fX(x) = 0, se x < 1; (1/c)e−(x−1), se −1 ≤ x < 2;(2/c)e−2(x−1), se x ≥ 2 (c) P(X ≥ 3

2 | X < 4) = 0, 4856.

Capıtulo 2

2.1. Im(X) = −2,−1, 0, 1, 2, 4 e pX(−2) = 28/91, pX(−116/91) =, pX(0) = 1/91, pX(1) = 32/91,pX(2) = 8/91, pX(4) = 6/91.2.2. -2.3. (a) Im(X) = 1, 2, 3, 4, 5, 6; pX(x) = (2x− 1)/36, x ∈ Im(X) (b)2.4. c = 1/2.2.5. FG(g) = 0 se g < 2; 0, 3 se 2 ≤ g < 2, 5; 0, 5 se 2, 5 ≤ g < 3; 0, 8 se 3 ≤ g < 3, 50, 9 se 3, 5 ≤ g <4; 1 se g ≥ 4.2.6. (a) - (b) E(X) = 216

81 (c) Y = 4−X e Esp(Y ) = 4− 21681 = 108

81 (d) - (e) - (f) Var(X) = Var(Y ) = 0.89.2.7. E(X) = −0.5.2.8. (a) E(X) = 0.125 (b) E(X2) = 0.5 (c) - (d) Var(X) = 31/64.2.9. (a) 0,5918 (b) nao (c) -0,108.2.10. (b) E(X) = 39, 28 e E(Y ) = 37 (c) Var(X) = 82, 2 e Var(Y ) = 84, 5.2.11. 4.2.12. Com apenas um numero: ganho esperado = -0,7 reais e variancia do ganho = 899,91. Com 100numeros: ganho esperado = -70 reais e variancia do ganho = 89.100,0 .2.13. (a) 14 (b) 45.2.14. Falsa.2.15.

Capıtulo 3

3.1. (a) X ∼ Bin(8; 0, 4) e P (X ≥ 3) = 0, 51 (b) X ∼ hiper(10; 4; 8) e P (X > 3) = 0, 34 (c) X ∼BinNeg(3; 0, 4) e P (X = 8) = 0, 104 (d) X ∼ Geom(0, 4) e P (X > 8) = 0, 016 (e) X ≈ Poisson(0, 32)e P (X = 3) ≈= 0, 0039.3.2. (a) 145 (b) 0,712.3.3. (a) - (b) 12,5% de desconto em media (c) 0,868 (d) 0,02.3.4. (a) 1/3.268.760 (b) 1/204.297 (c) 1/24.035 (d) 1/4.005.3.5. -0,9799; -15,6787; -133,2698; -799,5305.3.6. (a) Y ∼ Bin(n, 1− p) (b) Y e a forma alternativa da geometrica com o mesmo parametro p.

3.7. (a) 0,1316 (b) 0,395.3.8. (a) 0,205 (b) -3.9. (a) 0,8647 (b) 0,2857.3.10. 0,0127.3.11. (a) 0,8647 (b) ≈ 1 (c) B(n = 5, p = 0, 8647).3.12. 0,4.3.13. (a) exata: 1 − (1 − 1/3652)80.000 ≈ 0.4514; aproximada: 1 − e−0,6 ≈ 0, 4512 (b) exata: 1 − (1 −1/365)80.000 ≈ 1; aproximada: 1− e−219,1781 ≈ 1.3.14. (a) 0,5386151 (b) 0,5223047 (c) 38 e 32.3.15. (a) X ∼ Poi(λ = 2) (b) X ∼ Geom(p = 3/5) (c) X ∼ B(n = 10, p = 1/4) (d) X ∼ BinNeg(r =2, p = 2/3).

Capıtulo 4

4.1. (a) 3/4 (b)F (x) = 0, se x < −1; (−x3 + 3x+ 2)/4, se −1 ≤ x < 1; 1, se x > 1 (c) 11/32.4.2. (a)3/2 (b)1,11 (c)c > 0.4.3. (b) f(x) = x, se 0 < x ≤ 1/2; 3x2, se 1/2 ≤ x < 1; 0, caso contrario.4.4. (b) 0,24 e 0,81 (c) E(X) = 0, 74, E(2X + 1) = 2, 48 e E(2/X) = 1, 625 (d) V ar(X) = 0, 052,V ar(1− 3X) = 0, 468 e V ar(X2) = 0.07.4.5. (a) 3/8 (b) 1/2 (c) 1/2 (d) b = 1, 6 (e) E(X) = 2, 5 e Var(X) = 3, 08.4.6. (a) 0, 04 (b) 0, 625 (c) E(X) = 1, 5 e Var(X) = 0, 125 (d) Med(X) = 1, 56.4.7. (a) 0,25 (b) 0,84 (c) 7,45 cm.4.8. (a) 0,375 (b) 245kg.4.9. E(X) = 5/6 e V ar(X) = 0, 02.4.10. (a) 0,5 (b) F (x) = 0, se ; (−10/x) + 1, se x > 10 (c) 2/3.4.11. 602 galoes.4.12. (a) 4 (b) 0 (c) ∞.4.13. (a) F (x) = 0, se x < 0; x − (1/2)x2, se 0 ≤ x < 1; 1 − x + (1/2)x2, se 1 ≤ x < 2; 1 se x ≥ 2 (b)5/8 (c) 1/9 (d) E(X) = 1.4.14. (a) 1/2 (b) 0 (c) 2/3 (d) E(X) = 3 e Var(X) = 1/3 (e) E(3X − 2) = 7 e Var(3X − 2) = 3 (f)E(X3 + 1) = 31 e Var(X3 + 1) ≈ 261, 14.4.15. (a) a = (1/5) e b = −2 ou a = (−1/5) e b = 2.

Capıtulo 5

5.1. 2/3.5.2. (a) 2/3 (b) 1/3.5.3. 2,6 pontos.5.4. (a) α = 2 (b) α = 3.5.5. (a) e−1 ≈ 0.368 (b) e−1/2 ≈ 0.606 (c) 2 ln(10) ≈ 4.6 horas, isto e, 4 horas e 36 minutos.5.6. P(radio funcionar por mais 8 anos) = e−1. Se a distribuicao nao fosse exponencial, nao da pra fazeras contas.5.7. (a) e−25/6 (b) 1− e−5/3.5.9. (a) (b) (c) (d)5.11. (a) 60 (b) Beta(4, 3) (c) 0.07.5.12. 0.535.13. (a) 3/8 (b) 2 3

√2Γ(2/3) (c) 945

√2Γ(1/2) (d) (1/2)Γ(1/2) (e) 224/(189Γ(1/2)) (f) (1/16)(Γ(1/2))2.

5.15. (a) (b+ a)/2 (b) − ln(1/2)/λ (c) 21/αb.5.16. (a) X ∼ U [−1, 1] (b) X ∼ Exp(λ = 1/3) (c) X ∼ Gama(α = 3, λ = 2) (d) X ∼ Beta(α = 1/3, β =2) (e) X ∼ Pareto(α = 2, b = 4) (f) X ∼ Gama(α = 1/2, λ = 1) (g) X ∼Weilbull(α = 2, β = 2).

Capıtulo 6

6.1. f(y) = e(−ey)+y, −∞ < y <∞.

6.2. f(y) = 1/y, se 1 < y < e; 0, caso contrario.6.3. α = 1/(b− a) e β = −a/(b− a) ou α = −1/(b− a) e β = b/(b− a).6.4. f(y) = 3 ln2(y)/(2y), se 1/e < y < e; 0, caso contrario.6.6. f(y) = 1/(2

√1− y),se 0 < y < 1; 0, caso contrario

6.8. f(y) = 2/y3, se y > 1; 0, caso contrario.6.9. f(y) = 1/

√y, se 0 < y < 1/4; 0, caso contrario.

6.10. f(y) = 1, se 0 < y < 1/4; (4y + 1)/2, se 1/4 < y < 3/4; 0, caso contrario.6.11. f(y) = 4/3, se 0 < y < 3/4; 0, caso contrario. Ou seja, Y ∼ U(0, 3/4).6.12. f(y) = 1/4, se −3 < y < −1 ;(y + 1)/4, se −1 < y < 1; 0, caso contrario.

6.13. f(y) = 2ye−y2

, se y > 0; 0, caso contrario. Ou seja, Y ∼Weibull(α = 2, β = 1).6.14. f(y) = 2e−2y, se, y > 0; 0, caso contrario. Ou seja, Y ∼ Exp(λ = 2).6.15.

Capıtulo 7

7.1. (a) 0,7977 (b) 0,6827 (c) 0,3695 (d) 0,9522 (e) 0,1587.7.2. 22,66.7.3. c = 14.56.7.4. (a) 9,5% (b) σ = 0, 0019.7.5. (a) 0,0478 (b) 0,4950.7.6. (a) (b) (c) Voce deve sair de casa no maximo 8,485 minutos depois das 8:00h.7.7. (a) 0,0668 (b) 0,44 (c) 0,079.7.8. (a) 0,3255 (b)7.9.7.10.7.11.7.12. (a) 0, 5− Φ(−2µ/σ) (b) 1 (c) Φ(−1) = 0, 1587 (d) 2[Φ(2)− Φ(1)] = 0, 2718.7.13. (a) 0,9331 (b) 0,9984.7.14. (a) 0,0456 (b) 0,03 (c) Geometrica com p = 0, 0456.

Capıtulo 8

8.1. E(Xk) = (bk+1 − ak+1)/(k + 1)(b− 1) e Var(X) = (b− a)2/12.8.2. MX(t) = (1 + et)/2, E(X) = 1/2 e Var(X) = 1/4.8.3. MX(t) = 3et/(3− t) e E(X) = 4/3.8.4. (a) MX(t) = (1− t2)−1 (b) E(X) = 0 e Var(X) = 2.

8.5. MX(t) = eµt

1−( tλ )2 E[X] = µ V ar(X) = 2/λ2.

8.6. (a) MY (t) = e2t(0, 4e3t + 0, 6)8 (b) E(X) = 3, 2 (c) Sim, X ∼ B(n = 8, p = 0, 4) ⇒ E(X) = np.8.7. 0 e 0, 2.8.11. 1/3.8.12. 1− e−3.8.13. (a) X ∼ Poisson(λ = 1) (b) X ∼ exp(λ = 3/4) (c) X ∼ geo(p = 2/3) (d) X ∼ B(N = 3, p = 1/2)(e) X ∼ Gama(α = 2/3, λ = 5) (f) X ∼ N(µ = 3, σ2 = 4).8.16. (a) 0,6 (b) 0,48 (c) 220 senhas.8.17. P(estar dentro das especificacoes tecnicas) ≥ 0, 4375.