ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR...

ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA

UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR SUNGAI

MENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMING

Nama : Zahroh Atiqoh

NRP : 1205 100 021

Dosen Pembimbing :

1. Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes

2. Drs. Sulistiyo, MT

Jurusan Matematika

Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

2010

ABSTRAK

Peramalan debit air sungai merupakan salah satu langkah

untuk mengantisipasi ketidakstabilan aliran sungai. Salah satu

metode yang dapat digunakan dalam peramalan debit air sungai

adalah metode time series. Model ARMA (autoregressive moving

average) merupakan salah satu model time series. Pada proses

peramalan, setelah identifikasi model dilakukan estimasi

parameter. Untuk mengestimasi parameter model ARMA digunakan

pendekatan conditional least square dan selanjutnya dioptimalkan

dengan menggunakan goal programming. Model ARMA untuk rata-

rata bulanan debit air sungai Brantas stasiun pengamatan Kediri

adalah:

Dengan:

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Debit Air Sungai

Peramalan

Time Series

Model ARMA

Goal Programming

RUMUSAN MASALAH

Permasalahan yang akan dibahas dalam tugas

akhir adalah :

1. Bagaimana model yang sesuai berdasarkan

analisis yang dilakukan terhadap debit air

sungai.

2. Bagaimana hasil peramalan debit air sungai

untuk periode mendatang dengan memanfaatkan

model yang telah diperoleh.

BATASAN MASALAH

Pada tugas akhir ini, dibuat batasan masalah

sebagai berikut :

1. Data yang digunakan pada tugas akhir ini

adalah data sekunder yaitu data rata-rata

bulanan debit air sungai Brantas stasiun

pengamatan Kediri yang dimulai pada Januari

tahun 2000 sampai dengan April tahun 2010.

2. Data diambil dari stasiun pengamatan yang

jumlah debit air sungainya hanya dipengaruhi

oleh air hujan dan air tanah.

3. Data yang diperoleh diasumsikan stasioner

terhadap mean.

TUJUAN PENELITIAN

Tujuan dari tugas akhir ini adalah :

1. Memperoleh model yang sesuai berdasarkan

analisis yang dilakukan terhadap debit air

sungai.

2. Mengetahui besar peramalan debit air sungai

untuk periode mendatang dengan memanfaatkan

model yang telah diperoleh.

MANFAAT PENELITIAN

Manfaat yang diharapkan dari tugas akhir ini

adalah:

1. Model yang didapat diharapkan mempermudah

Perum Jasa Tirta I dalam mendapatkan prediksi

debit air sungai pada periode mendatang.

2. Memberikan gambaran tentang langkah-

langkah mendapatkan model ARMA untuk

sungai yang lain.

TINJAUAN PUSTAKA

MODEL ARMA

Bentuk umum model ARMA (p,q):

atau

dengan:

: besarnya pengamatan (kejadian) pada waktu ke-t

: konstanta model

: suatu proses white noise atau galat pada waktu ke-t

: parameter autoregressive

: parameter moving average

qtqttptptt aaaZZZ ...... 1111

tqtp aBZB )()(

tZ

ta

p ,...,, 21

p ,...,, 21

LANJUTAN MODEL ARMA

ARMA (p,q)(P,Q)S adalah model ARMA reguler dan

ARMA musiman. Bentuk umum ARMA (p,q)(P,Q)S

adalah:

dengan:

: parameter autoregressive musiman

: parameter moving average musiman

t

S

Qqtp

S

P aBBZBB )()(

P ,...,, 21

Q ,...,, 21

IDENTIFIKASI

Syarat terpenting yang harus dipenuhi agar data dapat diolah

dengan metode time series adalah stasioner, baik dalam mean maupun

varian. Sebuah deret disebut stasioner jika sifat statistiknya bebas

dari waktu periode selama pengamatan. Untuk mengatasi

ketidakstationeran dalam varian perlu dilakukan transformasi

terlebih dahulu. Transformasi yang biasa digunakan adalah

transformasi Box-Cox. Nilai (parameter transformasi) yang umum

digunakan dalam transformasi Box-Cox dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Transformasi Box-Cox

Transformasi

-1

-0.5

0

0.5

1

tZ/1

tZ/1

tZln

tZ

tZ

ACF & PACF

Autokorelasi adalah korelasi antar deret pengamatan suatu

time series, sedangkan Autocorrelation Function (ACF)

menggambarkan kovarian dan korelasi antara pengamatan pada

waktu ke-t dengan pengamatan pada waktu ke-t+k yang dipisahkan

oleh k lag, sehingga persamaan ACF dapat dirumuskan sebagai

berikut:

Partial Autocorrelation Function (PACF) digunakan mengukur

keeratan hubungan dan setelah dependensi linier dalam varian

dihilangkan. (Wei, 1990). Nilai PACF dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan sebagai berikut:

n

t

t

kn

k

ktt

k

k

ZZ

ZZZZ

1

2

1

0 )(

))((

1

1

,1

1

1

,1

ˆˆ1

ˆˆˆ

ˆk

j

jjk

k

j

jkjkk

kk

ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI

Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk

mengestimasi parameter Model ARMA adalah Conditional Least

Squares (CLS) dengan bentuan software Minitab. Model ARMA

yang baik adalah model yang menunjukkan bahwa penaksiran

parameternya signifikan. Secara umum, misalkan adalah suatu

parameter pada model ARMA dan adalah nilai taksiran dari

parameter tersebut, serta adalah standar error dari , maka

uji kesignifikanan parameter dapat dilakukan dengan hipotesa

sebagai berikut:

Hipotesa:

H0 :

H1 :

Statistik uji:

)ˆ(SE

0

0

)ˆ(SE

ˆ

t

LANJUTAN ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI

H0 ditolak jika

dengan:

np : banyaknya parameter yang ditaksir

atau H0 ditolak jika P-value <

pnndftt

,2

DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING

Pemeriksaan diagnostik pada residual meliputi uji asumsi

white noise (independen dan identik) dan berdistribusi normal.

Pengujian dengan menggunakan uji L-jung Box dilakukan dengan

hipotesa sebagai berikut:

Hipotesa:

H0

H1 : minimal ada satu nilai , k = 1, 2,..., K.

Statistik uji:

dengan:

K : lag maksiumum

n : banyak pengamatan

: sampel ACF residual pada lag-k.

0...: 21 k

0k

2

1

1 ˆ)(2 k

K

k

knnnQ

k

LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING

Daerah Kritis :

H0 ditolak jika

dengan p dan q adalah order dari ARMA.

Untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal atau

tidak dilakukan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesa sebagai

berikut:

Hipotesa:

H0

H1

Statistik Uji:

qpKdfQ );1(2

)()(: 0 tt aFaF

)()(: 0 tt aFaF

)()( 0 tta

aFaSSupDt


dengan:

: fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel.

: fungsi peluang kumulatif distribusi yang dihipotesiskan.

: fungsi distribusi yang belum diketahui

Sup : nilai supremum untuk semua

Daerah Kritis:

H0 ditolak jika atau P-value < , dengan = 5%.

Salah satu prosedur diagnostic checking yang dikemukakan

oleb Box dan Jenkins adalah overfitting. Yaitu penggunaan beberapa

parameter lebih banyak daripada yang diperlukan. Ini merupakan

prosedur yang berguna meskipun memerlukan banyak waktu.

)( taS

)(0 taF

)( taF

ta

nDD ,1

GOAL PROGRAMMING

Goal programming merupakan salah satu teknik optimasi dari

beberapa tujuan yang dikembangkan dari linier programming

dalam riset operasi. Bentuk umum dari goal programming yang

digunakan dalam mengestimasi parameter model ARMA adalah:

m = 1,2,3,...,12 (2.3)

dan fungsi kendalanya adalah:

NT

i

imim ENVEPU1

min

121211111 ......... nininininini XSARXSARRMARMAXARXAR

iinini XdivENEPCmRSMARSMA 1... 12121

121211111 ......... nininininini XSARXSARRMARMAXARXAR

iinini XdivENEPCmRSMARSMA 1... 12121

ii XEdivEP 0

ii XEdivEN 0

LANJUTAN GOAL PROGRAMMING

dengan:

AR : parameter autoregressive

MA : parameter moving average

SAR : parameter autoregressive musiman

SMA : parameter moving average musiman

U,V : koefisien deviasi bulanan dari nilai sebenarnnya (prioritas)

EP : error relatif positif

EN : dan negatif

div : error relatif untuk peramalan

Ediv : error relatif maksimum untuk peramalan

X : nilai data

R : nilai residual

Cm : konstanta dalam model

NT : jumlah data

PEMILIHAN MODEL TERBAIK

Untuk menentukan model terbaik dapat digunakan beberapakriteria antara lain kriteria in-sample dan out-sample. Kriteria in-sample antara lain AIC dan SBC. Kriteria out-sample antara lainRMSE dan MAPE. Penjelasan mengenai kriteria pemilihan modeladalah sebagai berikut:

1. AIC (Akaike’s Information Criterion)

Kriteria AIC dirumuskan sebagai berikut:

AIC(M)

dengan;

n : banyaknya residual

: estimasi dari varians residual

M : jumlah parameter dalam model

2. SBC (Schwart’z Bayesian Criterion)

Schwartz (1978) menggunakan kriteria Bayesian dalam pemilihanmodel terbaik yang disebut dengan SBC dengan perumusan sebagaiberikut :

SBC(M) =

Mn a 2ˆln 2

2ˆa

nMn a lnˆln 2

LANJUTAN PEMILIHAN MODEL TERBAIK

3. Mean Square Error (MSE)

Kriteria MSE dirumuskan sebagai berikut

Pada penelitian ini akan digunakan kriteria RMSE (Root Mean

Square Error), dengan nilai RMSE =

4. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Kriteria MAPE dirumuskan sebagai berikut :

MSE

2

1

ˆ

n

ZZ

MSE

n

t

tt

% n

Z

ZZn

t t

tt

100

ˆ

MAPE1

DEBIT AIR

Dalam hidrologi dikemukakan, debit air sungai

adalah, tinggi permukaan air sungai yang terukur oleh

alat ukur pemukaan air sungai. Pengukurannya

dilakukan tiap hari, atau dengan pengertian yang lain

debit atau aliran sungai adalah laju aliran air (dalam

bentuk volume air) yang melewati suatu penampang

melintang sungai per satuan waktu. Dalam sistem

satuan SI besarnya debit dinyatakan dalam satuan meter

kubik per detik (m3/dt).

METODOLOGI PENELITIAN

LANGKAH-LANGKAH

Pembentukan model ARMA

Pada pembentukan model ARMA dilakukan dengan langkah-langkahsebagai berikut:

1. Data dibagi menjadi dua, yaitu data in sample dan data out sample.

2. Melakukan identifikasi Model ARMA dengan langkah sebagai berikut:

a. Membuat time series plot untuk melihat kestationeran data, jikadata belum stationer dalam varian maka dilakukantransformasi.

b. Membuat plot Autocorrelation Function (ACF) dan PartialAutocorrelation Function (PACF) dari data yang sudah stasioner.

3. Melakukan estimasi dan uji signifikansi parameter model

ARMA(p, q)(P,Q)s.

4. Melakukan diagnostic checking, yang meliputi uji residual white noisedan uji kenormalan residual.

5. Melakukan overfitting yaitu mencoba beberapa model yang lain.

6. Melakukan estimasi parameter model ARMA menggunakan goalprogramming sebagai pengoptimalan dari hasil estimasi parametermodel yang telah dilakukan sebelumnya.

LANJUTAN LANGKAH-LANGKAH

7. Melakukan seleksi model untuk menentukan model terbaik dengan

menghitung nilai AIC, SBC, RMSE, MAPE dari seluruh model yang

mungkin.

Peramalan

Peramalan debit sungai dilakukan dengan memanfaatkan model

yang telah diperoleh.

Penarikan Kesimpulan

a. Diperoleh model yang sesuai dan terbaik untuk memprediksi

debit air sungai.

b. Penggunaan model yang telah diperoleh untuk memprediksi

debit air sungai pada periode mendatang.

Program yang digunakan dalam penelitian ini adalah Minitab dan

LINDO.

PEMBAHASAN

IDENTIFIKASI

Identifikasi Model

Gambar 5.1 Plot Time Series dan Box-Cox (In Sample) Debit Air

Stasiun Kediri

Gambar 5.2 Plot Time Series dan Box-Cox Transformasi

Index

debi

t ai

t (in

sam

pel)

9988776655443322111

350

300

250

200

150

100

50

0

Time Series Plot of debit ait (in sampel)

Lambda

StDe

v

5,02,50,0-2,5-5,0

700

600

500

400

300

200

100

0

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

0,00

(using 95,0% confidence)

Estimate -0,05

Lower CL -0,36

Upper CL 0,29

Rounded Value

Box-Cox Plot of debit ait (in sampel)

Index

tran

sfor

mas

i 1

9988776655443322111

6,0

5,5

5,0

4,5

4,0

3,5

Time Series Plot of transformasi 1

Lambda

StDe

v

5,02,50,0-2,5-5,0

0,36

0,35

0,34

0,33

0,32

0,31

0,30

0,29

0,28

0,27

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

0,50


Estimate 0,67

Lower CL -0,79

Upper CL 2,10

Rounded Value

Box-Cox Plot of transformasi 1

LANJUTAN IDENTIFIKASI

Gambar 5.3 Plot Time Series dan Box-Cox Transformasi

Pada Gambar 5.3 terlihat bahwa data debit air sudah stasioner

dalam varian karena diperoleh λ=1.

Index

tran

sfor

mas

i 2

9988776655443322111

2,4

2,3

2,2

2,1

2,0

1,9

1,8

Time Series Plot of transformasi 2

Lambda

StD

ev

5,02,50,0-2,5-5,0

0,069

0,068

0,067

0,066

0,065

0,064

0,063

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

1,00


Estimate 1,35

Lower CL -1,51

Upper CL 4,35

Rounded Value

Box-Cox Plot of transformasi 2

LANJUTAN IDENTIFIKASI

Gambar 5.4 Plot ACF dan PACF Transformasi

Lag

Auto

corr

elat

ion

2624222018161412108642

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Autocorrelation Function for transformasi 2(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Lag

Part

ial A

utoc

orre

latio

n

2624222018161412108642

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Partial Autocorrelation Function for transformasi 2(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI

Tabel 5.1 Estimasi Parameter Debit Air Model ARMA(2,2)(0,0)

Pada Gambar 5.4 pola dari ACF adalah cuts off setelah lag 2dan pola dari PACF adalah cuts off setelah lag 2. Maka untuksementara, model yang diduga adalah ARMA(2,2)(0,0).

Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter danpengujian signifikansi parameter dari model tersebut denganmenggunakan statistik uji t-student dengan .

Par EstimasiStandart

Errort hitung

P value

1,6762 0,0478 35,04 0

-0,9295 0,0443 -20,98 0

1,1324 0,0988 11,47 0

-0,5336 0,0975 -5,47 0

0,547726 0,003166 173,03 0

LANJUTAN ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI

Hasil estimasi parameter dapat dilihat pada tabel 5.1 kolom

2 dan pengujian signifikansi masing-masing parameter adalah

sebagai berikut:

Uji Signifikansi Parameter

Hipotesis:

Statistik Uji :

Karena atau maka H0 ditolak

artinya parameter signifikan.

DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING

Begitu juga untuk uji signifikansi parameter yang lain yaitu

parameter dapat dilakukan dengan cara yang sama

seperti pada parameter . Berdasarkan hasil uji signifikasi

paramater dapat disimpulkan bahwa pada model

ARMA(2,2)(0,0) semua parameternya signifikan.

Diagnostic Checking dan Overfitting

Ada dua asumsi yang harus dipenuhi dalam menentukan

kecukupan model, yaitu residual bersifat white noise dan

berdistribusi normal. Pengujian asumsi residual white noise dapat

dilakukan dengan menggunakan uji Ljung-Box , sebagai

berikut :

Hipotesis:

minimal ada satu , dengan

,,, 212

,,,, 2121


Statistik uji Ljung-Box :

Untuk K = 12 maka:

= 17,723

Dengan cara yang sama seperti perhitungan di atas maka

untuk K = 12, 24, 36, dan 48 hasil yang diperoleh dapat dilihat pada

Tabel 5.2. Karena pada lag 12 dan 24 atau maka

H0 ditolak artinya residual tidak white noise.


Tabel 5.2 Uji Asumsi Residual White noise ARMA(2,2)(0,0)

Sedangkan pengujian asumsi distribusi normal dapat

dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, .

Pengujian ini dapat dilakukan melalui hipotesis sebagai berikut :

Hipotesis :

Lag Q P-value

12 17,7 14,0671 0,013

24 30,3 30,144 0,049

36 40,3 44,9853 0,122

48 56,2 59,3035 0,085


Statistik uji :

Karena maka H0 diterima artinya residual model

berdistribusi normal. Hal ini sesuai dengan hasil yang ada pada

Gambar 5.5 yaitu yang berarti residual model

berdistribusi normal.

Gambar 5.5 Plot Kenormalan Residual Model ARMA(2,2)(0,0)

040014778,0)()( 0 xFxSSupDx

11739,0108,05.0, DD n

(2,2)(0,0)

Perc

ent

0,30,20,10,0-0,1-0,2-0,3

99,9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0,1

Mean

>0,150

0,0005779

StDev 0,08038

N 108

KS 0,046

P-Value

Probability Plot of (2,2)(0,0)Normal


Dari hasil pengujian parameter signifikan, residual tidak

white noise dan residual berdistribusi normal dapat

disimpulkan bahwa model ARMA(2,2)(0,0) tidak sesuai untuk

deret in sample debit air stasiun Kediri.

Selanjutnya dilakukan overfitting dengan melihat

kemungkinan model-model yang lain, yaitu ARMA(2,1)(0,0),

ARMA(2,1)(0,1)12, ARMA(2,1) (0,2)12 , ARMA(1,0)(1,1)12.

Dari estimasi parameter, uji signifikansi parameter, uji

residual white noise, dan uji kenormalan residual, maka

model ARMA(2,1)(0,0) dan ARMA(2,1)(0,1)12 memenuhi

kecukupan model. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 5.6.


Tabel 5.3 Estimasi dan Uji Signifikansi

Model

ARMA

Parameter thitung ttabel P value Kepu-

tusan

(2,1)(0,0) = 1,5433 14 1,98304 0 signifikan

= -0,7494 -8,98 0 signifikan

= 0,6341 4,3 0 signifikan

= 0,4458 149,66 0 signifikan

(2,1)(0,1)12 = 1,4903 9,78 1,98326 0 signifikan

= -0,6733 -6,45 0 signifikan

= 0,6657 3,62 0 signifikan

= -0,3204 -3,34 0,001 signifikan

= 0,3965 113,28 0 signifikan


Model

ARMA

Parameter thitung ttabel P value Kepu-

tusan(2,1)(0,2)12 = 1,5061 10,75 1,98350 0 signifikan

= -0,6958 -6,89 0 signifikan

=0,6509 3,74 0 signifikan

= -0,2895 -2,79 0,006 signifikan

= 0,0805 0,73 0,469 Tidak

signifikan

= 0,4106 120,93 0 signifikan

(1,0)(1,1)12 = 0,6702 9,07 1,983 0 signifikan

= 1,0041 40,12 0 signifikan

= 0,8882 9,77 0 signifikan

= -0,0032 1,77 0,079 Tidak

signifikan


Tabel 5.4 Uji Residual White NoiseModel

ARMA

Lag Q P value Kepu

tusan

(2,1)(0,0) 12 12,95 15,5073 0,114 white noise

24 27,6 31,4104 0,118 white noise

36 41,9 46,1943 0,112 white noise

48 57,7 60,4809 0,081 white noise

(2,1)(0,1)12 12 8,1 14,0671 0,323 white noise

24 24,8 30,1435 0,168 white noise

36 38,6 44,9853 0,164 white noise

48 55,3 59,3035 0,099 white noise

(2,1)(0,2)12 12 7,6 12,5916 0,264 white noise

24 23,5 28,8693 0,171 white noise

36 36,1 43,7730 0,206 white noise

48 54,1 58,1240 0,100 white noise


Model

ARMA

Lag Q P value Kepu

tusan

(1,0)(1,1)12 12 7,4 15,5073 0,494 white noise

24 24,1 31,4104 0,328 white noise

36 33,1 46,1943 0,415 white noise

48 42,1 60,4809 0,525 white noise

Model

ARMA

D P value Keputusan

(2,1)(0,0) 0,04309 0,11739 >0,150 mengikuti distribusi normal

(2,1)(0,1)12 0,04639 >0,150 mengikuti distribusi normal



Tabel 5.5 Uji Kenormalan Residual

nD ,

ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN GP

Tabel 5.6 Kecukupan Model

Estimasi Parameter menggunakan Goal Programming

Dari dua model yang telah memenuhi kecukupan model, akan

dilakukan estimasi atau penaksiran parameternya dengan

menggunakan goal programming. Tujuannya adalah untuk

meminimalisasi deviasi.

Model

ARMA

Uji Signifikansi Uji Residual White

Noise

Uji Kenormalan Residual

(2,2)(0,0) signifikan tidak white noise berdistribusi normal

(2,1)(0,0) signifikan white noise berdistribusi normal

(2,1)(0,1)12 signifikan white noise berdistribusi normal

(2,1)(0,2)12 tidak signifikan white noise berdistribusi normal

(1,0)(1,1)12 tidak signifikan white noise berdistribusi normal

LANJUTAN ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN GP

ARMA (2,1)(0,0)

Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan:

AR1 = 0,756629, AR2 = 0, MA1 = 0, Cm = 0,53481

ARMA (2,1)(0,1)12

Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan:

AR1 = 0,791156, AR2 = 0, MA1 = 0, SMA1 = 0, Cm = 0,450847

Metode goal programming dapat meminimalkan deviasi atau

penyimpangan pada deret out sampel. Hal ini dapat dilihat pada

Tabel 5.7. Oleh karena itu, model ARMA yang parameternya telah

diestimasi menggunakan goal programming lebih akurat (dari pada

yang sebelum diestimasi menggunakan goal programming) untuk

digunakan pada peramalan debit air.

PEMILIHAN MODEL TERBAIK

Tabel 5.7 Mean Absolut Error

Pemilihan Model Terbaik

Tabel 5.8 Seleksi Model

Mode ARMA Metode Mean absolut error

Deret in sample Deret out sample

(2,1)(0,0) CLS 0,067793 0,097768

GP 0,073034 0,083665

(2,1)(0,1)12 CLS 0,065012 0,095023

GP 0,071197 0,075543

Model

ARMA

In sample Out sample

AIC SBC RMSE MAPE

(2,1)(0,0) -496,01 -485,358 0,09768 3,8544%

(2,1)(0,1)12 -446,55 -433,731 0,09186 3,4486%

PERAMALAN

Dari hasil Tabel 5.8, terlihat bahwa model ARMA(2,1)(0,1)12

adalah model terbaik untuk peramalan debit air karena memiliki

nilai RMSE dan MAPE yang lebih kecil dibandingkan dengan model

yang lain.

Peramalan

Hasil peramalan delapan periode berikutnya berdasarkan model

yang diperoleh adalah sebagai berikut:

Tabel 5.9 Peramalan Debit Air (dalam m3/ detik)

Periode Forecast Periode Forecast

Mei 2010 191,5882 September 2010 132,5817

Juni 2010 168,0118 Oktober 2010 126,3893

Juli 2010 152,2268 November 2010 121,7165

Agustus 2010 140,8916 Desember 2010 118,1544

PENUTUP

KESIMPULAN DAN SARAN

Dari analisa yang dilakukan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Model yang sesuai untuk peramalan debit air sungai Brantas padastasiun pengamatan Kediri adalah:

ARMA(2,1)(0,1)12 atau:

dengan:

AR1 = 0,791156, AR2 = 0, MA1 = 0, SMA1 = 0, Cm = 0,450847

2. Rata-rata debit air sungai pada bulan Mei tahun 2010 sampaidengan Desember tahun 2010 adalah 143,82 m3/detik dan standardeviasinya adalah 25,15 m3/detik.

Pada penelitian ini menggunakan data rata-rata bulanan.Maka disarankan pada penelitian selanjutnya menggunakan datayang lebih banyak seperti rata-rata harian. Selain itu, disarankanpula menggunakan goal programming untuk mengestimasiparameter model selain ARMA, seperti ARIMA, ARFIMA, maupunmodel yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

1. Daniel, W. W. 1986. Statistika Non Parametrik Terapan. Jakarta:Penerbit PT. Gramedia.

2. Makridakis, W. M. G. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisikedua. Bina Rupa Aksara. Jakarta.

3. Mohammadi, K., Eslami H.R., dan Kahwita R. May 2006. Parameterestimation of an ARMA model for rifer flow forecasting using goalprogramming. Journal of Hydrology 331, 293-299.

4. Mulyono, S. 2004. Operation Research. Jakarta: Fakultas EkonomiUniversitas Indonesia.

5. Perum Jasa Tirta I. 2002. Profil Perusahaan Perum Jasa Tirta I. Malang.http://www.jasatirta1.co.id/index.php (diakses tanggal 5 Juli 2010)

6. Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S. 2003. Analisis Time Series.Surabaya: Jurusan Statistika ITS.

7. Suharti, T. 2004. Pengelolaan sungai, danau, dan waduk untukkonservasi sumber daya air. http://www.rudyct.com/PPS702-ipb/09145/titing_suharti.pdf (diakses tanggal 4 Juli 2010)

8.Wei, W.W.S. 1994. Time Series Analysis: Univariate andMultivariate Methods. United State of America: Addison-WesleyPublishing Company.

http://www.jasatirta1.co.id/index.php












http://www.rudyct.com/PPS702-ipb/09145/titing_suharti.pdf















TERIMA

KASIH

ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR...

Documents

Transcript of ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR...