EnsambelEnsambeldandan SistemSistem InteraktifInteraktif

Ensambel dan Sistem InteraktifEnsambel dan Sistem Interaktif

TopikTopik--topik yang akan dibahas:topik yang akan dibahas: Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi, Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,

bab IV)bab IV)

Ensambel Kanonik (interaksi termal)Ensambel Kanonik (interaksi termal)

Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)

EnsambelEnsambel KanonikKanonik ((interaksiinteraksi termaltermal))Tinjau 2 sistem A dan A` yang berinteraksi termal, hanya ukurannya yang sangat berlainan, tepatnya salah satu sistem jauh lebih besar dari sistemlainnya. Sistem yang besar dapat dipandang sebagai tandon/reservoar

Sistem yang apabila berinteraksi dengan sistem yang lain seolah-olah tidak mengalami perubahan apapun setelah proses berlangsung dan mencapai

A`, E`

A*

apapun setelah proses berlangsung dan mencapai keseimbangan.A, E

Energi total sistem A dan tandon A` E`EE* +=

Keadaan makro sistem dengan energi E mempunyai banyak sekali keadaan mikro. Interkasi termal menyebabkan aliran panas dari tandon ke dalam

sistem (atau sebaliknya) sampai terjadi keadaan seimbang

Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untukmendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergiEr ?

Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untukmendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergiEr ?

Tinjau Sistem A*

Jumlah total keadaan yang diizinkan pada sistem A* adalah Ω*total

Jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A* dimana sistem A berenergi Eadalah Ω*(E)

Sehingga probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaanyang berenergi E adalah

(E)*ΩC(E)*Ω*Ω

1

*Ω

(E)*ΩP(E)

TotTot

===

Ω*(E) dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A dan sistem A’

Jika sistem A berenergi E dan jumlah keadaannya adalah Ω(E), maka

sistem A’ berenergi E’ = E* ˗ E dan jumlah keadaannya adalah Ω’(E* ˗ E), sehingga

E)*(EΩ' Ω(E) CP(E)

sehingga E),*(EΩ' Ω(E)(E)*Ω

−=−=

Contoh

Sistem A dan A’ dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*.Kedua sistem mengalami kesetimbangan dengan energi sistem A* adalah 13 satuan E.Tabel berikut menunjukkan energi yang dimiliki sistem A dan A’ dan jumlah keadaanyang berkaitan:

No ETotal EA EA’ Ω (E) Ω’(E’) Ω* (E)

1 13 3 10 2 40 80

2 13 4 9 5 26 130

3 13 5 8 10 16 160

4 13 6 7 17 8 1364 13 6 7 17 8 136

5 13 7 6 25 3 75

Berapakah probabilitas Pr untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi Er = 3 satuan E ?

E)*(EΩ' Ω(E) CP(E) −=581

802.40 .

581

1P(E) ==

Hitung juga probabilitas untuk mendapatkan sistem A dengan energi yang lain (Er = 4, 5, 6 dan 7 satuan E ?

Keadaan mana yang berpeluang besar mewakili sistem dalam keadaan setimbang tersebut?

Tinjau kembali sistem A dan A’ yang dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*

E)*(EΩ' Ω(E) CP(E) −=

Probabilitas P untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu yang berenergi Eadalah

Selanjutnya kita ingin mengetahui kondisi seperti apa saat terjadi keseimbangan antara sistem A dan A’

E)*(EΩ'ln Ω(E)lnClnP(E)ln

E)*(EΩ' Ω(E) CP(E)

−++=−=

Saat seimbang, P(E) bernilai maksimum

E)*(EΩ'ln Ω(E)lnClnP(E)ln −++=

ln P(E) bernilai maksimum

0 P(E)ln E

=∂∂ 0E)*(E'ln)(ElnCln

E=−Ω+Ω+

∂∂

0E

E)*E('ln

E

Ω(E)ln =∂

−Ω∂+∂

∂0

E'

)E'('ln

E

Ω(E)ln =∂Ω∂−

∂∂

E'

)E'('ln

E

Ω(E)ln

∂Ω∂=

∂∂)'('β)(β EE =

)'('β)(β EE =E'

)(E'Ω'

)(E''

1

E'

)E'('ln)'E('β

E

Ω(E)

)(E

1

E

Ω(E)ln)E(β

∂∂

Ω=

∂Ω∂=

∂∂

Ω=

∂∂=

Dua kuantitas penting: ln Ω dan β

β satuannya adalah: (energi)˗1

E

Ω(E)

Ω(E)

1

kT

1β

∂∂== k : konstanta Boltzmann

T : Temperatur AbsolutEΩ(E)kT ∂ T : Temperatur Absolut

ln Ω

Jadi saat setimbang: )'('β)(β EE = 'TT =

Ω= lnk S S : Entropi

k : konstanta Boltzmann

Sistem yang Kontak Termal dengan Reservoar Kalor

A`, E`

A, E

A*

A`: Reservoar KalorA : Sistem yang Kecil

Probabilitas sistem A dalam keadaan tertentu r yang berenergi Er adalah Pr

)E*(EΩ' )Ω(E C)(EP rrrr −= )E*(EΩ' )Ω(E C)(EP rrrr −=

rβ'r

rrr

e*)E(')E*E('

Eβ'*)E('lnE'E

'ln*)E('ln)E*E('ln

−Ω=−Ω

−Ω=

∂Ω∂−Ω=−Ω

Sehingga

rr Eβ'Eβ'rrr Ke(E*)eΩ' )Ω(E C)(EP −− == A : konstanta

β‘ : karakteristik reservoar =1/kT’Fungsi Distribusi Kanonik

1Ke)E(Pr

βEr

rr

r∑∑ == −∑ −=

r

βEreK

1

rEβ'rr Ke)(EP −=

Fungsi Distribusi Kanonik:

Konstanta K dapat ditentukan dari syarat normalisasi:

β'β →

∑−

−

=

r

kT

E

kT

E

rr r

r

e

e)E(P

Sehingga Fungsi Distribusi Kanonik dapat dituliskan:

Contoh Penggunaan Distribusi KanonikDistribusi Kanonik

1. ParamagnetismeKita akan menyelidiki sifat magnetik suatu material yang terdiri N0 atom magnetik persatuan volume yang ditempatkan dalam medan magnet luar B dan material tersebut bersuhu T

Bext.

Kasus sederhana : tiap atom magnetiknya berspin ½ dan momen magnetiknya µ0

Tinjau sebuah atom magnetik, berapakah momen magnetik rata-rata dari sebuah atom tersebut?

Keadaan partikel pada sistem di atas adalah sebagai berikut:

1. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang searah dengan medan magnet luar;

2. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang berlawanan arah dengan medan magnet luar.

Distribusi kanonik:

Pr = Ce -βEr

P+ = Ce -βE+ dan P- = Ce -βE-

Energinya:

E+ = -(B) (+µo) = -Bµo

E - = -(B) (-µo) = Bµo

Sehingga:

P+ = Ceβ Bµo dan P- = Ce-β Bµo

Karena hanya ada dua keadaan, maka :

P- + P+ = 1

Ce-β Bµo + Ceβ Bµo = 1, sehinggaoo βBµβBµ ee

1C −+

=

Pernyataan momen magnetik partikel rata-rata dinyatakan oleh:

∑= rrµPµoo

oo

βBµβBµ

βBµo

βBµo

ee

)eµ()eµ(−

−

+−++=

+−= −

−

oo

oo

βBµβBµ

βBµβBµ

o ee

eeµµ

dimana secara umum harga : θtanhee

eeθθ

θθ

=

+−

−

−

sehingga B)βtanh(µµµ oo=ee

+

Jika digunakan definisikT

1β=

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):

µNM =kT

BµtanhNµM o

o=

Deret Mc. Laurin tanh x adalah :

−+−+

+++

−+−−

+++

=...

!2!11...

!2!11

...!2!1

1...!2!1

1

tanh22

22

xxxx

xxxx

x .

!22

2

!32211

tanh 2

3

x

xx

x

+

++−=

1kT

Bµo <<Kasus harga µoB << kT maka nilai

Maka untuk harga x << 1, tanh x = 2x/2 = x

=kT

BµNµM o

o

sehingga

=

kT

BNµM

2o

=

kT

Nµχ

2o

χ: suseptibilitas material

kT

BµtanhNµM o

o=

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):

Hukum Curie

1kT

Bµo >>

kT

Bµ

kT

Bµ

kT

Bµ

kT

Bµ

o

oo

oo

ee

ee

kT

Bµtanh

−

−

+

−= 1

e

e

kT

Bµtanh

kT

Bµ

kT

Bµ

o

o

o

≈=

Kasus harga µoB >> kT maka nilai

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):

0NµM =

(Magnetisasi):

Nilai maksimum (saturasi), tidak bergantung B dan T

2. Energi Total Rata-Rata Gas IdealTinjau sebuah gas yang terdiri dari N buah molekul identik, masing-masing bermassa m yang ditampatkan pada sebuah kotak 3-D dengan sisi-sisi Lx , Ly , Lz

dan gas bersuhu T

Penyederhanaan Sistem (Idealisasi):

1. Energi potensial interaksi sangat kecil dibanding energi kinetik2. Non degenerasi3. Molekul gas monoatomik

Berapakah energi total rata-rata gas ideal tersebut?

NkT2

3E =

Penggunaan Distribusi Kanonik:

Tinjau sebuah molekul dalam gas ideal tersebut (sistem kecil)

Berapakah probabilitas menemukan molekul tersebut dalam keadaan kuantum ryang energinya εr ?

rβε

rr Ke)(EP −=

rβε

rr Ke)(EP −=∑

−

−

=

r

kT

ε

kT

ε

rr r

r

e

e)(EP

Pernyataan εr untuk sistem ini?

++= 2z

2z

2y

2y

2x

2x

22

rL

n

L

n

L

n

2m

πε

h

Energi rata-ratanya?

rr

rεPε ∑=∑

∑−

−

=kT

ε

βε

rr

r

r

e

eε

zyx LLL2m r ∑r

kTe

( )βββ ∂

∂−=

∂∂−=

∂∂−= ∑∑∑ −−− Z

rr

rrr βεβεβε

rr eeeε

Perhatikan pembilangnya!

Partisi Fungsi:eZr

βε r∑ −=

Sehingga energi rata-ratanya:ββ ∂

∂−=∂∂−= ZZ

Z

ln1ε

Fungsi partisi sebuah molekul:

zyxn

2z

2z

2y

2y

2x

2x

22

nnr

βε Z ZZL

n

L

n

L

n

2m

βπexpeZ

zyx

r =

++−== ∑∑∑∑

∞∞∞− h

dengan:

∑∞

−=

xn2x

2x

22

L

n

2m

βπexpZ

h

x

∑∞

−=2

2y

22

L

n

2m

βπexpZ

h

y

Karena bentuknya mirip, kita hitung salahsatu saja, misal Zx:

Aproksimasi, nx, ny, nz variabel kontinu:

nβπ 222 ∞h

∑

−=yn

2yL2m

expZ y

∑∞

−=

zn2z

2z

22

L

n

2m

βπexpZ

h

zkonstanta) :(b

Lb

dnL

n

2m

βπexpZ

21x

x

02x

2x

22

x

β=

−= ∫

∞h

Hal serupa untuk Zy dan Zz:

L

b dan Z L

b Z2

1z

z2

1

yy

ββ==

Vb

LLLb ZZZZ

23

3

23

zyx3zyx

ββ===

Sehingga fungsi partisi Z:

kT33lnβ3

3lnblnβ2

3lnV

ββ

lnZ

β

Z

Z

1ε

==∂=

+−∂∂−=

∂∂−=

∂∂−=

Energi rata-rata sebuah molekul:

V

bZ2

33

β=

kT22ββ2

==∂

=

Energi rata-rata gas ideal:

NkT2

3ε NE ==

3. Tekanan Rata-Rata Gas Ideal

fr

Lx

y

x

Ly

gas idealfr : Gaya dalam arah x yang diberikan oleh

sebuah molekul pada dinding kanankotak, dimana molekul tersebut dalamkeadaan kuantum r dan energinya εr

Misalkan dinding kanan berubah secara lambat sebesar dLxMisalkan dinding kanan berubah secara lambat sebesar dLx

Maka, molekul melakukan usaha pada dinding sebesar fr dLx

Molekul kehilangan energi sebesar ‒ dεr

x

rrrxr L

εf dεdLf

∂∂−=→−=

Sehingga:

Gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:

∑

∑

∑

∑∑ −

−

−

−

∂∂−

===

r

βε

r x

rβε

r

βε

βε

rr

rr

r r

r

r

r

e

Lε

e

e

effPf

Perhatikan pembilang:

L

Ze

Lr

∂∂=

∂∂=

∂∂− ∑∑ −−

βββε 11

L

εe rβε r

xrx Le

L ∂=

∂

=

∂− ∑∑ ββL

er x

Sehingga

xx

x

L

lnZ

β

1

L

Z

βZ

1

Z

LZ

β

1

f∂∂=

∂∂=∂

∂

=

LLLbZ

23

zyx3

β=

Diperoleh gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:

xx L

kT

L==

∂∂=

β1

L

lnZ

β

1f

x

Gaya rata-rata oleh N molekul pada dinding:

xL

NkTfNF ==

Tekanan rata-rata oleh N molekul pada dinding kanan seluas LyLz :

V

NkT

LLL

NkT

LL

fN

A

FP

zyxzy

====

NkTVP = Persamaan Keadaan Gas Ideal

Catatan: Perhitungan P pada dinding yang lain, akan menghasilkan persamaan yang sama