KOVARIANS UMUM, KOVARIANS LORENTZ, GAYA LORENTZ DAN

PERSAMAAN MAXWELL

Bergita Gela M Saka

PENGANTAR• Definisi standar yang diberikan dalam system koordinat

inersia tidak berlaku untuk noninersia.

• Hasil tersebut dihubungkan dengan komponen dari elektromagnetik tingkat kedua tensor F, (kovarians, kontravarians serta gabungan keduanya), salah satu yang digunakan untuk mengekspresikan istilah listik dan tiga medan vektor magnetik.

• Ambiguitas yang sama ini menentukan tiga bentuk vektor persamaan maxwell dalam kerangka noninersia.

• Beberapa definisi yang diberikan dari buku dan beberapa literatur lainnya serta hubungan ambiguitas faktanya bahwa koordinat ruang-waktu xµ bukan merupakan empat vektor dalam koordinat umum. Sebagai contohnya yaitu salah satu generator faraday menunjukkan bahwa orde terendah 1/c kontravarian dan kovarian sama dengan bentuk integral dari hukum faraday

DEFINISI LISTRIK, MEDAN MAGNETIK DAN TENSOR F

Medan listrik didefinisikan sebagai perbandingan gaya yang diukur pada harga tetap sampai dengan harga dalam batas ketika harganya menuju nol.

Dimana E merupakan harga yang dapat diberikan kecepatan seragam dari medan magnet

• Gaya F diperoleh dari Hukum Kedua Newton yaitu dan komponen yang ditentukan diperoleh dari definisi komponen E dan B dalam persamaan (1) dan (2).

• Perbandingan definisi listrik dan medan magnetik dengan gaya lorentz dalam relativitas umum perlu dilakukan untuk melihat apakah hal tersebut mengarah pada pilihan beberapa (jika ada) komponen-komponen medan elektromagnetik tensor F (kontravariant, covariant atau gabungan keduanya) merupakan listrik yang terukur dan medan magnetik dalam percepatan yang berubah-ubah dan/atau persamaan gaya lorentz

Persamaan gaya lorentz dalam bentuk lain dari kontravariant, gabungannya atau ubahan gabungan komponen tensor F:

Dimana merupakan interval waktu ditetapkan oleh :

Ditransforasikan ke dalam transformasi Lorentz

Sebagai komponen kontravarian tensor tingkat pertama

Karena metrik :

Dimana :

dan adalah komponen kovarian dari tensor

tingkat pertama,

adalah komponen kovarian tensor tingkat kedua ditransformasikan menjadi:

Diferensiasi kovarian didefinisikan:

Merupakan interval waktu sekarang

Dibawah ini merupakan interval waktu yang baru

Persamaan diferensiasi kovarian digunakan untuk membuat bentuk kovarian umum persamaan gaya lorentz. Bentuk relativitas khusus dapat dituliskan persamaan gaya lorentz dalanm bentuk lain kontravarian, gabungan, kovarian atau transpose gabungan komponen tensor F

Dengan menggunakan komponen kontravarian kita dapatkan :

Sedangkan, jika kita menggunakan komponen kovarian kita dapatkan:

Dalam semua batas relativitas umum adalah sama dan tiga persamaan diturunkan :

Dalam kasus umum untuk partikel (u0 = c), maka versi daripersamaan komponen kontravarian dan kovarian gaya lorentz adalah :

Maka persamaan kontravarian dan kovarian menjadi :

II. BENTUK KOVARIAN UMUM PERSAMAAN MAXWELL DAN BENTUK KETIGA VEKTORNYA

Dalam bagian ini, kita menggambarkan bentuk tiga dimensi persamaan Maxwell dalam percepatan yang berubah-ubah referensi dan/atau medan gravitasi.

Persamaan Maxwell dalam ruang vakum :

Persamaan tersebut mempunyai bentuk yang sama dalam kerangka inersia yang lain, diwujudkan postulat einstein yang pertama yaitu relativitas umum.

Bentuk kedua kovarian persamaan Maxwell:

Dimana

Sumber dari vektor kontravariant diberikan oleh :

Bentuk pertama kovarian persamaan Maxwell adalah:

dengan

Dimana derivatif kovarian perubahan tingkat kedua kontravarian tensor :

Bentuk kovarian umum dari kedua persamaan maxwell adalah:

Dengan menggunakan antisimetri, maka derivatif kovarian diberikan oleh persamaan

dan

Empat persamaan Maxwell menjadi :

Hukum Faraday dan tidak adanya perubahan magnetik dapat diberikan dalam bentuk medan E dan B kita gunakan:

Dimana, S adalah komponen matrik vektor

Untuk mengekspresikan humkum Coulomb dan hukum Ampere-Maxwell dalam bentuk

III. ELEKTRODINAMIKA KOVARIAN UMUM DALAM SISTEM KOORDINAT ROTASI

Dalam bagian ini, kita menetapkan metrik dalam sistem koordinat rotasi

Bentuk relativitas umum hukum Faraday dan tidak adanya perubahan magnetik secara sederhana adalah

dalam sistem rotasi. Dari bentuk diatas, secara langsung :

Elemen transformasi matrik adalah

Jika nonrotasi (tanpa adanya gravitasi) :

Matrik G adalah unit matrik dan :

Maka:

Komponen kontravarian tensor matrik :

Kita dapatkan:

Karena itu hukum tidak adanya perubahan magnetik menjadi :

IV. SATU BAGIAN PEMBANGKIT FARADAY DALAM KERANGKA INERSIADAN NONINERSIA

EMF (GGL) dari gaya Lorentz :

Sistem Inersia persamaan Maxwell

Dengan mengabaikan bentuk tertinggi daripada orde 1/c dan menggunakan theorema Stoke’s, maka:

V. RINGKASAN, KESIMPULAN DAN SARANDalam relativitas umum,bentuk koordinat tensor F Faraday dalam kontravarian dan kovarian adalah:

Ketentuan kovarian mempunyai keuntungan asthetic bahwa medan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk “curl” komponen kovarian vektor potensial dalam perubahan frame dan tidak adanya harga magnetik dan hukum Faraday yang mempunyai bentuk diferensial dalam frame inersia :

Hukum Coulomb dan Ampere-Maxwell yang sangat menyulitkan, yaitu:

Ketentuan kovarian dalam hukum Faraday dan tidak adanya harga magnetik yang sederhana ialah:

Hukum Faraday dan tidak adanya harga magnetik yang sangat kompleks ialah: