Contoh pohon berakar

Jika pohon mempunyaisimpul sebanyak n, makabanyaknya ruas atau edge adalah (n-1). Pada pohon P di Gambar, banyak simpuladalah n = 8, dan banyakedge (n – 1) = 8 – 1 = 7

Mempunyai simpul khusus yang disebut “root,” yang merupakansimpul yang memiliki derajatkeluar >= 0, dan derajat masuk= 0. Simpul P merupakan root pada pohon di Gambar di atas.

Mempunyai simpul yang disebut sebagai “daun” atau“leaf,” yang merupakansimpul berderajat keluar0, dan berderajat masuk = 1. Simpul-simpul R, S, V, W merupakan daun pada pohondi Gambar.

Setiap Simpul mempunyaitingkatan atau level, yang dimulai dari root yang le-velnya = 0, sampai denganlevel n pada daun paling bawah. Pada pohon P di Gambar : P berlevel 0 Q dan T berlevel 1 R, S dan U berlevel 2 V dan W berlevel 3 “Simpul yang mempunyai level sama disebut “bersaudara” atau“brother” atau “siblings”.

Pohon mempunyai ketinggianatau kedalaman atau “height,” yang merupakanlevel tertinggi + 1. Pohon diGambar mempunyai ketinggianatau kedalaman 3+1 = 4. Pohon mempunyai berat ataubobot atau “weight,” yang merupakan banyaknyadaun pada pohon. Pohon diGambar mempunyai bobot = 4.

Simpul akar adalah simpulyang digambar pada bagianpaling atas.

Untuk mengambarkansuksesor kiri serta suksesorkanan, dibuat garis ke kiribawah dan ke kanan bawah. Perhatikan pada Gambartersebut bahwa B adalahsuksesor kiri dariA, sedangkan C adalahsuksesor kanan dari A.

Subpohon kiri dari A mengandung simpul-simpulB, D, E dan F, sedangkansubpohon kanannyamengandung simpul-simpulC, G, H, J, K dan LSimpul A, B, C dan H mempunyai 2 anak, simpul E dan J mempunyai satu anak. Sementara itu simpul-simpulD, F, G, L dan K tidakmempunyai satu anakpun. Simpul yang tidakmempunyai anak disebut“daun” atau “terminal.”

disebut “similar” jika mereka mempunyai bangun(susunan) yang sama.

menggambarkan dua pohon yang tidak saja similar tetapi juga sama persis antara satu dengan lainnya (baiksusunan atau struktur pohon, maupun isi dari setiapsimpulnya) yang disebut dengan salinan (copy / copies)

Contoh untuk terminologi

Pada Gambar, K misalnya adalah keturunankanan dari D, tetapi bukan keturunan dariF, E ataupun M. Simpul G adalah ayah dari K dan L. Di sini K dan L adalahbersaudara, masing-masing anak kiri dankanan dari G. Selain terminologi hubungankeluarga di atas, terminologi dari teorigraph juga banyak digunakan. Garis yang ditarik dari simpul N ke suksesor disebutruas dan sederetan ruas yang berturutandisebut jalur atau path. Sebuah jalur yang berakhir pada daun (simpul terminal) disebut cabang.

Contoh untuk terminologi

Sebagai contoh, pada gambartersebut, garis AD, ataupun GL adalah contoh ruas. Sedangkanbarisan ruas (AD, DG, GL) adalahjalur dari simpul A ke simpul L. Jalurini sekaligus merupakancabang, karena berakhir di Simpulterminal (daun) L. Jalur (AD, DG) bukan sebuah cabang. Setiap simpuldari pohon mempunyai nomortingkat (level).

Contoh untuk terminologi

Pohon Binar pada Gambar , simpul A mempunyai tingkat 0. Simpul-simpulD dan E berada pada generasidengan tingkat 1. Generasiberikutnya terdiri atas simpul-simpul F, G dan M dengan tingkat 2. Generasi terakhir, diisi oleh simpul K dan simpul L dengan tingkat = 3.

Contoh untuk terminologi

Pohon pada Gambar mempunyaiketinggian 4. Perhatikan bahwacabang (AD, DG, GK) ataupun(AD, DG, GL) mengandung simpuldengan jumlah maksimum, yakni = 4. Cabang yang lain mengandungsimpul yang lebih sedikit, cabang(AE, EM) serta (AD, DF) misalnyahanya mengandung 3 simpul.

Jadi pohon binar lengkap dengan n simpul, Tn adalah tunggal(dalam hal ini dengan mengabaikan label simpul). Gambarberikut menggambarkan berturut-turut T4, T6, T11, dan T21.

Pohon binar yang akan dijadikan pohon-2

Simpul internal digambar sebagailingkaran, sedangkan simpul eksternal sebagai bujursangkar.

Sebuah pemakaian penting dari pohon-2 adalahuntuk menyajikan suatu ekspresi aritmetik yang mengandung operasi binar. Di sini simpul eksternalmenyajikan operand (variabel) sedangkan simpulinternal menyajikan operator yang bekerja terhadapke dua subpohonnya. Sebagai contoh adalah pohon-2 pada Gambar berikut yang menyajikan ekspresi(a-b) / ((c+d) *e)

Pohon binar (a-b) / ((c+d) *e)

Pohon binar yang mempunyai sifat bahwa ketinggiansubpohon kiri dan subpohon kanan dari pohon tersebutberbeda paling banyak 1, disebut pohon ketinggianseimbang atau height balanced tree (HBT).

Untuk menentukan ketinggian minimum, jika diberikan banyaknya simpul N, dapat digunakan rumus :

Sebagai contoh, untuk N = 80

Banyaknya simpul pohon binar merupakan ketinggianmaksimum Pohon binar tersebut.

Contoh sebuahpohon binar

Penggambaran skema penyajianLIST pada pohon binar

Diagram pohon binar dari Gambar

Harga dari ROOT = 14 menunjukkan bahwa record nomor 14 denganNAME = “Harris” adalah akar dari Pohon. LEFT[14] = 9 menunjukan bahwa Cohen (record nomor 9) adalah anak kiridari Harris, dan RIGHT[14] = 7 menunjukkan bahwa Lewis adalah anakkanan dari Harris.

Penyajian sekuensial dari pohon binar

Contoh pohon umum Langkah pertama pembentukan pohon binar

Langkah keduapembentukan pohon binar

Langkah pertama pembentukan pohon binar

Pohon binar Pohon umum

Penyajian notasi (c+d)*e Penyajian notasi ((a+b) * (c/d) + (e^f)) / g

operator

operand

Traversal preorder

Tiga kegiatan yang terdapatdalam traversal pohon binaradalah : (1) mengunjungi simpul akar (root) (2) melakukan traversal subpohonkiri dan(3) melakukan traversal subpohonkanan.

Ketiga traversal tersebut adalah :

1. Traversal pre-order,

2. in-order

3. post-order.

Pada traversal pre-order dilakukan berturut-turut :

(1) Kunjungi simpul akar(2) Lakukan traversal subpohon kiri secara pre-order (3) Lakukan traversal subpohon kanan secara pre-order

Gambar 1 : c * d + e Gambar 2 : a / b + c * d + e / f ^ g Gambar 3 : M E B A D L P N V T Z

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Untuk jelasnya perhatikan Gambar dengan arah daritraversal (dinyatakan dengan garis putus-putus)

1. Lakukan traversal subpohon kiri secara in-order

2. Kunjungi simpul akar

3. Lakukan traversal subpohon kanan secara in-order

Kalau kita lakukan traversal in-order terhadappohon pada Gambar maka diperoleh deretan urutanlinear, berturut-turut :

Gambar 1 : (c + d) * e Gambar 2 : ((a + b) * (c / d) + (e ^ f)) / g Gambar 3 : A B D E L M N P T V Z

Gambar 1

1.Lakukan traversal subpohon kiri secara post-order

2.Lakukan traversal subpohon kanan secara post-order

3.Kunjungi simpul akar.

Traversal post-order terhadap Pohon pada Gambarmenghasilkan:

Gambar 1 : c + d * e Gambar 2 : a + b / c * d ^ e + f / g Gambar 3 : A D B L E N T Z V P M

Traversal post-order

Apakah kedua notasi tersebut akan memilikistruktur pohon yang sama ? Kita mulai denganpohon binar (1).

c + d * e; maka operasi yang akan dilakukan pertama kali adalah d * e (sesuai kaidah derajat operasimatematika). Bila d * e kita anggap sebagai f, makanotasi semula bisa disederhanakan menjadi c + f.

c + f; struktur pohonnya adalah :

Kita ganti f di atas menjadi d * e, sehingga hasilakhirnya menjadi :

f * e akan digambarkan sebagai :

Kita tahu bahwa f adalah (c + d) yang strukturpohonnya adalah :

Contoh

Ekspresi infix : ( K + L + M – N – E – F ) * G / H

Prefix untuk Gambar adalah : K / L * M – N – E – F + G + H

Postfix untuk Gambar adalah : K + L + M – N – E – F * G / H

Ekspresi infix ((A + B) * C + D) / (E + F * H), mempunyaipohon binar seperti terlihat pada Gambar.