1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 12

Maret Pekan Ke-4, 2007

Nomor Soal: 111-120

111. Luas persegi panjang ABCD adalah 2007 cm2. Titik E dan F adalah titik tengah dari AB dan

CD, sedangkan G dan H adalah titik pada BC dan AD sedemikian sehingga CG = 2 GB dan AH

= 2 HD. Berapakah luas EGFH?

Solusi:

BCABABCD

kc 322006

6

2006ck

FDHEBGGCFAEHABCDEGFH

EBGAEHABCD 2

BGEBAHAEBCAB

2

1

2

12

BGEBAHAEBCAB

kckckc 232

ckck 36

ck3

2007

3 1003,56

cm2

112. Diberikan ABC di mana BC = 13 cm, AB = 14 cm, dan AC = 15 cm. Dengan menggunakan

setiap titik sudut sebagai titik pusat dibuat lingkaran-lingkaran yang bersinggungan pada tiap

sisinya. Hitunglah jari-jari ketiga lingkaran tersebut.

Solusi:

Dari gambar di sebelah diperoleh sistem persamaan:

1421 rr …. (1)

1531 rr …. (2)

1332 rr …. (3)

Jumlah dari ketiga persamaan itu adalah

422 321 rrr

21321 rrr

1332 rr 21321 rrr

21131 r

81 r

1531 rr 21321 rrr

21152 r

62 r

1421 rr 21321 rrr

A

B

C r1

r1

r3

r3

r2 r2

A B

C D

E

G

F

H

k

2k

c c

c c

2k

k

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

2114 3 r

73 r

jari-jari yang berpusat A, B, dan C masing-masing adalah 8 cm, 6 cm, dan 7 cm.

113. Dua lingkaran identik (sama) O1(r) dan O2(r) menyinggung dua sisi persegi ABCD yang

panjang sisinya a. Dua lingkaran identik dengan pusat O3 dan O4 dengan jar-jari t,

menyinggung dua sisi dari ABCD dan keduanya menyinggung secara luar kedua lingkaran O1

dan O2. Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, hitunglah nilai t.

Solusi:

22 )()( trrtBC 2222 22 trtrrtrt tr4 tr2

CDBCABAD

rrtta 2

2rta

rta

Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, maka

49 t

23 t

1t

t = 1cm

Jadi, nilai t = 1 cm.

114. Buktikan bahwa luas daerah lingkaran yang diarsir sama dengan luas bagian dalam lingkaran.

Solusi:

Luas lingkaran besar 2)2π( r

2π4 r

Luas bagian dalam lingkaran 2π2 r 2π2 r

Luas daerah lingkaran yang diarsir 222 π2π2π4 rrr

Jadi, luas daerah lingkaran yang diarsir = luas bagian dalam lingkaran.(qed)

115. ABCD adalah sebuah persegi dengan pusat O. Lingkaran-lingkaran digambarkan sekitar A, B,

C, dan D sebagai pusat, masing-masing dengan jari-jari AO, BO, CO, dan DO yang sama, yang

berpotongan di P, Q, R, dan S. Jika AB = 8 cm, hitunglah luas daerah yang diarsir.

r

r

O1

O2

O3

O4

O1

O2 O3

O4

A B C D

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi:

Panjang AB = 8 cm, sehingga 24 SAOA cm

Luas tembereng SO SAOAr 2

1π

360

90 2

o

o

24242

124π

4

1 2

16π324

1

16π8 cm2

Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran – 8 luas tembereng

16π888π2

128π64π64 128 cm2

116. AOB adadah diameter dari lingkaran besar. Dua lingkaran kecil berdiameter APO dan OQB

saling bersinggungan dan menyinggung lingkaran yang besar dari dalam. Dua lingkaran kecil

berpusat di R dan S menyinggung lingkaran yang besar dan lingkaran-lingkaran yang berpusat

di P dan Q. Jika a, b, dan c = 4 cm adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di O, P, dan R ,

carilah a: b : c dan nilai dari a dan b.

Solusi:

Perhatikan OQR siku-siku di O.

cbQR , bOQ , dan caOR

Menurut Teorema Pythagoras:

222 OROQQR

222cabcb

22222 22 cacabcbcb

acabc 22 2

222 aacbc

Diketahui bahwa ab2

1 , sehingga

A B

C D

P

Q

R

S O

A B

C D

P

Q

R

S O

8 cm

P

S

R

Q A B

b

b

c

O

a c

P

S

R

Q A B O

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

ab2

1 222 aacbc

22

2

12 aacca

22 aacac

23 aac

ac3

1

Jadi, 2:3:63

1:

2

1::: aaacba

2:6: ca

2:64: a

122:64 a cm

2:3: cb

2:34: b

62:34 b

Jadi, nilai a = 12 dan b = 6.

117. Diketahui empat titik P, Q, R, S masing-masing pada sutu sisi segiempat ABCD sedemikian

sehingga kSA

DS

RD

CR

QC

BQ

PB

AP . Carilah nilai k jika luas PQRS = 52 % luas ABCD.

Solusi:

Lambang ABC menyatakan “luas ABC”

Pandanglah SAP dan SAB: 1

k

k

AB

AP

SAB

SAP…. (1)

Pandanglah SAB dan DAB: 1

1

kDA

SA

DAB

SAB…. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 21

k

k

DAB

SAP

Dengan cara yang sama diperoleh

21

k

k

CAD

RSD

BDC

QRC

ABC

PBQ

RDSQCRPBQSAPABCDPQRS

CADBDCABCDAPk

kABCD

21

ABCDk

kABCD 2

12

ABCDk

k2

2

1

1

A B

C

D

P

Q

R

S

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

ABCDPQRS %52

100

52

ABCD

PQRS

25

13

1

12

2

k

k

1326132525 22 kkk

0122612 2 kk

06136 2 kk

(3k 2)(2k – 3) = 0

3

2k atau

2

3k

118. Sebuah panji berbentuk segitiga sama sisi dipancangkan vertikal pada dua pojoknya yang

tingginya a dan b. Pojok ketiga tertanam di tanah. Tentukan luas panji tersebut.

Solusi:

Menurut Teorema Pythagoras:

2222 brar 2222 BEBCADAC 2222 brar CEDC

2222 brar DE

2222 brar AF

2222 brar 22 BFAB

2 2 2 2r a r b 2 2( )r b a (kedua ruas dikuadratkan)

22222222 2 brbrarar 22 )( abr

22222222222 22 aabbrbrbrarar

22222 22 rabbrar

4222222224 44444 rabrbabarbar

22224 443 abrrbar , dengan r2.

222 43 babar

222

3

4babar

luas panji tersebut 23

4r 22

3

4

4

3baba 22

3

3baba satuan luas.

119. Diameter AB dari sebuah lingkaran panjangnya 2-angka bilangan bulat. Kebalikan dari angka

itu menyatakan panjang tali busur CD yang tegak lurus pada diameter itu. Jarak dari titik

potongnya H ke pusat O adalah bilangan rasional positif. Carilah panjang AB.

Solusi:

Misalnya utAB 10 , dengan t dan u adalah angka, sehingga tuCD 10 .

ABCD , ut .

Menurut Teorema Pythagoras:

22 CHOCOH

r r

r

a b

A

B

C D E

F

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

22

102

110

2

1

tuut

2222 201004

120100

4

1tutuuutt

2222 20100201002

1tutuuutt

22 99992

1ut

22112

3ut

OH adalah rasional, 222 11kut , dengan k adalah bilangan bulat.

211kutut , 11 ut , maka 11 ut dan 2kut , yaitu 1 ut (diterima) atau

4 ut (ditolak), sehingga memberikan 6t dan 5u .

Jadi, panjang AB adalah 65.

120. Luas segitiga siku-siku adalah 60 cm2 dan jumlah ketiga sisinya adalah 40 m. Carilah panjang

hipotenusanya.

Solusi:

Luas segitiga adalah 602

1 abL …. (1)

40 cba …. (2)

222 cba …. (3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh

222 40 baba

222 801600 bababa

2222 280801600 babababa

abba 40408000 …. (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh

120120

40408000 a

a

3120

200 a

a

0120232 aa

0158 aa

8a atau 15a

8a 602

1ab

60)8(2

1b

15b

15a 602

1ab

60152

1b

A B

C

D

O H

a c

b

7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

8b

4015

8

cba

b

a

40158 c

17c

Jadi, panjang hipotenusanya adalah 17 m.