Matematika Terapan

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKAJl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711

web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.idTel. / Fax.: +62 714 321099

Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 1

12/17/2016

Teori Himpunan

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atauanggota.

Obyek diskrit dalam kehidupan sehari – hari : buku, komputer,mahasiswa, nilai ujian,dll

Pada prakteknya, data yang diolah komputer adalah dalambentuk diskrit, misalnya angka, karakter, suara , gambar(digital)

Dalam membicarakan obyek diskrit, kita sering menjumpaisituasi yang berhubungan dengan sekumpulan obyek dalamsuatu kelompok atau kelas

22/17/2016

Enumerasi(Mendaftar semua anggotanya)

Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantaradua buah tanda kurung kurawalContoh 1

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8,

10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }- C = {a, {a}, {{a}} }- K = { {} }- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

32/17/2016

Enumerasi Cont…

Keanggotaan

x A : x merupakan anggota himpunan A;

x A : x bukan merupakan anggotahimpunan A.

42/17/2016

Enumerasi Cont (2)…

Contoh 2.Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},

R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }K = {{}}

maka3 A5 B{a, b, c} Rc R{} K{} R

52/17/2016

Enumerasi Cont (3)…

Contoh 3

Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}

maka

a P1

a P2

P1 P2

P1 P3

62/17/2016

Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ...}

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ...}

Z = himpunan bilangan bulat ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkandengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalahhimpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

72/17/2016

Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 4 i. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}atauA = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

ii. M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil matakuliah mtkterapan,

M={x|x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah mtk terapan}iii. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama

dengan 8, dinyatakan sebagai berikutB={2,4,6,8}

82/17/2016

Notasi Pembentuk Himpunan Cont..

Aturan yang digunakan dalam penulisan syaratkeanggotaan:1. Dibagian dikiri tanda ‘|’ melambangkan elemen

himpunan2. Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian

sehingga3. Bagian dikanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat

keanggotaan himpunan4. Setiap tanda ‘,’ didalam syarat keanggotaan

dibaca sebagai dan

92/17/2016

Diagram Venn

Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajianhimpuna ini diperkenalkan oleh matematikawan inggris yangbernama John Venn pada tahun 1881.Didalam diagram venn, himpunan semesta U digambarkan sebagaisuatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkansebagai lingkaran didalam didalam segi empat tersebut.Anggota –anggota suatu himpunan berada didalam lingkaran,sedangkan anggota himpunan lain berada dalam lingkaran yang lainpulaAda kemungkinan 2 himpunan memiliki anggota yang sama dan halini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan.Anggota u yang tidak termasuk didalam himpunan manapundigambarkan diluar lingkaran

102/17/2016

Diagram Venn

Contoh

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} danB = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

A dan B mempunyai anggotabersama yaitu 2 dan 5. anggotayang lain yaitu 7 dan 4tidaktermasuk didalam himpunan A danB

112/17/2016

Kardinalitas(jumlah elemen himpunan)

Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka Jumlah elemenberbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A

Contoh 6(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil

dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8

(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

Himpunan yang tidak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula.Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidakberhingga, maka |R|=tak hingga, begitu juga himpunan bilangan bulat taknegatif, himpunan garis yang melalui titik pusat koordinat, himpunan titik disepanjang garis y = 2x + 3, dan lain-lain.

122/17/2016

Himpunan Kosong

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).himpunan yang tidak memiliki satu elemenpun

Notasi : atau {}

Contoh 7

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0(iii) A ={x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 },

n(A)=0

132/17/2016

Himpunan Kosong Cont…

Perhatikan bahwa himpunan {{}} dapat jugaditulis sebagai{}, begitu pula himpunan {{},{{}}}dapat juga ditulis sebagai {,{}}. Pehatikan jugabahwa {} bukan himpunan kosong melainkandia memuat satu elemen yaitu

Istilah seperti kosong, hampa, nihil ketiganyamengacu pada himpunan yang tidakmengandung elemen, tetapi istilah nol tidak samadengan ketiga istilah diatas, sebab nolmenyatakan sebuah bilangan tertentu.

142/17/2016

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian darihimpunan B jika dan hanya jika setiap elemen Amerupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn: U

AB

152/17/2016

Himpunan Bagian (Subset) Cont…

Contoh 8

i. { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}

ii. {1, 2, 3} {1, 2, 3}

iii. N Z R C

iv. Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.

162/17/2016

Latihan

1. Tunjukkan bahwa A={a,b,c} adalah himpunanbagian sebenarnya dari B={a,b,c,d,e,f}

172/17/2016

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahwa A adalah himpunanbagian sebenarnya (proper subset) dari B, perlihatkan bahwa setiap elemen didalam A jugaelemen didalam B dan sekurang-kurangnya ada 1 elemen B yang tidak terdapat didalam A.

Setiap elemen dari A adalah juga elemen dari B sehingga A B. sebaliknya d B tetapi d A, olehkarena ituA tidak sama dengan B. dengan demikianA adalah himpunan bagian sebenarnya dai B, kitatuliskan AcB

182/17/2016

Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakanelemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakanelemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan Badalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian,maka A B.

Notasi : A = B A B dan B A

192/17/2016

Himpunan yang Sama Cont…

Analisa Contoh 9 berikut:i. Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = Bii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = Biii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:a. A = A, B = B, dan C = Cb. jika A = B, maka B = Ac. jika A = B dan B = C, maka A = C

202/17/2016

Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan Bjika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunantersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh 10

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B ={ a, b, c, d },

maka A ~ B sebab A = B = 4

212/17/2016

Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas(disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yangsama.

Notasi : A // B

Diagram Venn:

Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

U

A B

222/17/2016

Referensi

Matematika Diskrit : Rinaldi Munir

232/17/2016