doc.pdf

TRANSFORMASI LAPLACE DARI MASALAH NILAI BATAS

PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

SKRIPSI

Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata I

Untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains

Oleh:

Nama : Meyriska Aulia Harini

NIM : 4150401028

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2005

ABSTRAK

Transformasi Laplace merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Dengan mentransformasikan persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa kemudian mentransformasikan balik akan memperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial tersebut. Permasalahan yang muncul adalah Bagaimana menyelesaikan bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial?. Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial.

Metode penulisan yang digunakan adalah pemilihan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, memecahkan masalah, dan menarik kesimpulan.

Pemodelan matematika untuk masalah konduksi panas menghasilkan persamaan konduksi panas ttt kuu = . Penyelesaian bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas pada persamaan konduksi panas dimensi satu untuk interval tak terbatas pada kasus parabolik adalah

L=),( txu 1

+

dxexfe

ksk

ecx

ksx

ksx

ks

)(2

12

dxexfe

ksk

xksx

ks

)(2

1

sedangkan penyelesaian bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas pada persamaan konduksi panas dimensi satu untuk interval terbatas pada kasus

parabolik adalah L=),( txu -1

+ xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

cosh)(2

11

++ xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

sinh)(2

12 .

Saran yang dapat disampaikan adalah perlunya penelitian lebih lanjut dalam hal yang sama pada kasus-kasus lain dengan menggunakan metode yang sama maupun dengan metode lainnya.

ii

HALAMAN PENGESAHAN

Telah dipertahankan di hadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri

Semarang, pada:

Hari : Senin

Tanggal : 24 Oktober 2005

Panitia Ujian

Ketua Sekretaris

Drs. Kasmadi Imam S., M.S. Drs. Supriyono, M.Si. NIP. 130781011 NIP. 130815345

Pembimbing I Anggota Penguji Drs. M. Chotim, M.S. 1. Drs. Khaerun, M.Si NIP. 130781008 NIP. 131813671 Pembimbing II

2. Drs. M. Chotim, M.S. NIP. 130781008 Dr. St. Budi Waluya NIP. 132046848

3. Dr. St. Budi Waluya NIP. 132046848

iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Motto : Seseorang dengan tujuan yang jelas akan membuat kemajuan walaupun

melewati jalan yang sulit. Seseorang yang tanpa tujuan, tidak akan

membuat kemajuan walaupun ia berada di jalan yang lurus. Thomas

Carlyle

Persembahan :

1. Alloh Sesembahanku

2. Mama tercinta dan Alm. Papa tersayang

3. Mas Novi, Mas Roni, Mbak Acik, Daru

4. Seroja yang selalu memberi motivasi,

mendukung, mendampingi, mendoakan, dan

menyayangi

5. Sahabat-sahabat yang selalu mendukung,

mendoakan, dan menyayangi

iv

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, penulis panjatkan puji dan syukur kehadirat Allah

SWT, yang telah memberikan berkah, rahmat, dan hidayah-Nya sehingga penulis

dapat menyelesaikan skripsi dengan judul: Transformasi Laplace dari Masalah

Nilai Batas pada Persamaan Diferensial Parsial.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai

pihak sehingga penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada.

1. Drs. H.A.T. Soegito, SH.,MM., Rektor Universitas Negeri Semarang.

2. Drs. Kasmadi Imam S., M.S., Dekan FMIPA UNNES.

3. Drs. Supriyono, M.Si., Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.

4. Drs. M. Chotim, M.S., Dosen Pembimbing I.

5. Dr. St. Budi Waluya, Dosen Pembimbing II.

6. Alm. Ayah, Ibu, kakak-kakak, dan adikku yang selalu mendoakan,

mendukung, dan menyayangi.

7. Rina, Woro, Dwi, Lidia, Puput, Nanny, Eli, Taufik, Sigit, Bowo, Ardi, dan

teman-teman Math01 yang selalu mendukung dan membantu.

8. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna karena

keterbatasan kemampuan dan pengetahuan yang penulis miliki. Oleh karena itu

semua kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi perbaikan

skripsi ini. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Semarang, Oktober 2005

Penulis

v

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Abstrak ... ii

Halaman Pengesahan . iii

Motto dan Persembahan . iv

Kata Pengantar v

Daftar Isi . vi

Daftar Lampiran .. viii

BAB I Pendahuluan

A. Latar Belakang ... 1

B. Permasalahan . 4

C. Batasan Masalah .... 4

D. Tujuan Penelitian ... 4

E. Manfaat Penelitian . 5

F. Sistematika Penulisan Skripsi 5

BAB II Landasan Teori

A. Persamaan Diferensial Biasa . 7

B. Persamaan Diferensial Parsial ... 14

C. Transformasi Laplace .... 17

D. Maple . 20

BAB III Metode Penelitian .... 22

BAB IV Pembahasan

vi

A. Pemodelan Persamaan Konduksi Panas Dimensi Satu . 24

B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan

Transformasi Laplace ... 28

C. Penyelesaian Umum . 30

D. Pemrograman Komputer Persamaan Konduksi Panas Dimensi Satu .. 38

BAB V Penutup

A. Simpulan .. 53

B. Saran 54

Daftar Pustaka . 56

Lampiran ......................................................................................................... 57

vii

DAFTAR LAMPIRAN

Tabel 1. Sifat-sifat Umum Transformasi Laplace

viii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Perkembangan suatu ilmu pengetahuan banyak memegang peranan

penting dalam perkembangan suatu teknologi. Tanpa ilmu pengetahuan,

teknologi akan sulit bisa berkembang dengan cepat.

Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal sangat

erat hubungannya dengan kehidupan nyata. Kenyataan membuktikan bahwa

untuk menyelesaikan masalah-masalah kehidupan nyata dibutuhkan metode-

metode matematika.

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang

mempunyai ciri berbeda dengan disiplin yang dimiliki oleh ilmu pengetahuan

lain. Hal-hal yang dipelajari dalam matematika terdiri atas beberapa kelompok

ilmu, seperti: aljabar, geometri, analisis, dan matematika terapan. Persamaan

diferensial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam

kelompok analisis.

Di dalam dunia nyata kadang terdapat masalah-masalah yang sukar

diselesaikan dalam sistemnya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu

disusun suatu pemodelan matematika yang mirip dengan keadaan sistemnya.

Masalah nyata harus dikenali terlebih dahulu melalui beberapa tahapan.

Pertama, mengidentifikasi semua besaran yang terlibat. Kedua, memberi

lambang pada setiap besaran yang teridentifikasi. Ketiga, menentukan satuan

1

2

setiap lambang yang ada dengan menganut suatu sistem satuan. Keempat,

memilah-milah dari setiap lambang tersebut, mana yang konstanta dan mana

yang variabel. Dan kelima, menentukan hukum yang mengendalikan pada

masalah nyata tersebut. Dengan hukum yang mengendalikan masalah nyata

tersebut menentukan hubungan antara variabel dan konstanta, yang disebut

dengan model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan,

pertidaksamaan, persamaan diferensial, dan sebagainya. Kemudian dengan

memanfaatkan teori-teori dalam matematika diperoleh solusi model. Dengan

menginterpretasikan solusi model ditentukan solusi masalah. Pada proses ini

satuan muncul kembali.

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada bagan di gambar 1.

Identifikasi besaran Lambang Satuan Pilah variabel/konstanta

penerjemahan

? teori matematika

MASALAH NYATA

HUKUM YANG MENGENDALIKAN

MODEL MATEMATIKA

interpretasi

SOLUSI MODEL

SOLUSI MASALAH

NYATA

Gambar 1. Langkah-langkah mencari solusi masalah

Persamaan Diferensial dibedakan menjadi dua yaitu Persamaan

Diferensial Biasa (ordinary differential equation) dan Persamaan Diferensial

3

Parsial (partial differential equation). Persamaan Diferensial Biasa

didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih

turunan biasa suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah

bebas. Sedangkan Persamaan Diferensial Parsial didefinisikan sebagai suatu

persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi yang

tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas.

Setelah suatu model matematika diubah dalam bentuk persamaan

diferensial, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial

tersebut dengan menentukan solusinya. Solusi persamaan diferensial adalah

suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. Artinya, jika

fungsi itu dan turunan-turunannya disubtitusikan ke dalam persamaan

diferensial tersebut, diperoleh suatu pernyataan yang benar. Dikatakan solusi

umum jika persamaan fungsi masih memuat konstanta, dan disebut solusi

khusus jika tidak terdapat konstanta yang didapatkan dengan menggantikan

nilai-nilai awal dan syarat batas yang diketahui.

Metode Transformasi Laplace (Laplace Transformation)

merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial parsial. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh

Pierre Simon Marquas De Laplace seorang matematikawan Perancis dan

seorang guru besar di Paris. Bentuk umum Transformasi Laplace dapat

dituliskan dalam bentuk:

F(s)=L{f} , =0

)( dttfe st

4

dimana f(t) adalah suatu fungsi yang terdefinisi untuk

5

E. Manfaat

Manfaat yang diharapkan dalam penulisan skripsi ini adalah:

(1) setelah mengetahui metode transformasi Laplace diharapkan pembaca

dapat menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan

transformasi Laplace;

(2) pembaca diharapkan dapat menentukan bentuk transformasi Laplace dari

setiap masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial yang

diberikan.

F. Sistematika Penulisan Skripsi

Penulisan sistematika dimaksudkan untuk memberikan arah yang

lebih jelas dan lebih memudahkan dalam mempelajari dan memahami isi

skripsi.

Adapun sistematika penulisan skripsi yang penulis susun ini terdiri

dari 3 (tiga) bagian besar yang merupakan rangkaian dari bab-bab. Dan setiap

bab terdiri dari sub bab-sub bab sebagai berikut.

I. Bagian Awal Skripsi

1. Halaman Sampul

2. Halaman Judul

3. Abstraksi

4. Lembar Pengesahan

5. Motto dan Persembahan

6. Kata Pengantar

6

7. Daftar Isi

8. Daftar Lambang

9. Daftar Gambar

II. Bagian Isi Skripsi

BAB I : Pendahuluan

1. Latar Belakang

2. Permasalahan

3. Tujuan

4. Batasan Masalah

5. Sistematika Skripsi

BAB II : Landasan Teori

BAB III : Metode Penelitian

BAB IV : Pembahasan

BAB V : Simpulan dan Saran

III. Bagian Akhir Skripsi

1. Daftar Pustaka

2. Lampiran-lampiran

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung

turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang dinamakan

dan yang akan ditentukan persamaan tersebut (Hutahean, 1993).

)(xy

Sebagai contoh, jika laju pertumbuhan suatu populasi (manusia,

hewan, bakteri, dan sebagainya) dxdyy =' ( =x waktu) sama dengan populasi

, maka model populasi tersebut adalah )(xy yy =' , yaitu persamaan

diferensial.

Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan

yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sembarang y terhadap

peubah x; persamaan ini dapat pula melibatkan y itu sendiri, fungsi x yang

diberikan dan konstanta.

Contoh:

1. , xy cos'=

2. , 04'' =+ yy

3. . 222 )2(''2''" yxyeyyx x +=+Persamaan diferensial biasa dibagi menjadi dua bagian, yakni

persamaan diferensial linear orde satu dan persamaan diferensial linear orde

7

8

dua. Persamaan diferensial banyak sekali dikembangkan dalam matematika

teknik.

1. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Definisi 1.

Persamaan Diferensial Orde Satu secara umum dinyatakan

sebagai 0)',,( =yyxF . Jika dxdyy =' , maka dapat ditulis 0)',,( =yyxF

0),,( =dxdyyxF . (1)

Persamaan (1) merupakan persamaan dari persamaan diferensial yang

dinyatakan secara implisit. Persamaan (1) dapat dinyatakan secara

eksplisit sebagai

),( yxfdxdy = . (2)

Contoh:

Persamaan diferensial implisit: . 02' =+ xeyy

Persamaan diferensial eksplisit: xdxdyy = .

2. Solusi Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Suatu fungsi )(xyy = dinyatakan solusi persamaan diferensial

apabila 0)',,( =yyxF )(xyy = atau turunannya yakni memenuhi

persamaan diferensial tersebut.

'y

Contoh:

9

12 += xy adalah solusi persamaan diferensial xy 2'= .

Demikian pula untuk c adalah konstanta, merupakan solusi

persamaan diferensial

cxy += 2

xy 2'= . Solusi disebut solusi khusus

dan disebut solusi umum.

12 += xy

cxy += 2

3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

Definisi 2.

Persamaan diferensial berbentuk disebut

persamaan diferensial orde dua, dimana

0)",',,( =yyyxf

dxdyy =' dan 2

2

"dx

ydy =

(Hutahean, 1993).

Contoh:

1. merupakan persamaan diferensial orde

dua,

0sintan'")1( 2 =++ xyxyyx

2. 02sin'"'" =+++ xyxyxyxy bukan merupakan persamaan diferensial

orde dua.

Definisi 3.

Bila 0)",',,( =yyyxf linear dalam y, y, dan y maka

persamaan diferensial 0)",',,( =yyyxf disebut persamaan diferensial

linear orde dua. Secara umum persamaan diferensial orde dua berbentuk:

)()(')(")( xgyxcyxbyxa =++ ; (3)

10

dimana koefisien-koefisien dan fungsi merupakan

fungsi-fungsi yang kontinu di dalam selang

),(xa ),(xb ),(xc )(xg

bxa dengan di dalam selang ini (Hutahean, 1993).

0)( xa

Definisi 4.

Persamaan diferensial linear orde dua (3) disebut homogen

apabila dan disebut tidak homogen apabila 0)( =xg 0)( xg

(Hutahean, 1993).

Contoh:

1. Persamaan diferensial 03sin'" =++ yxyxy adalah persamaan

diferensial linear orde dua homogen karena 0)( =xg .

2. Persamaan diferensial adalah persamaan

diferensial linear orde dua tak homogen karena .

xyyxxy sin4'" 2 =++0)( xg

4. Solusi Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

Fungsi )(x dikatakan solusi persamaan diferensial (3) pada selang I, apabila )(x mempunyai turunan kedua dan memenuhi hubungan (3) pada selang I, yakni

)()()()(')()(")( xgxxcxxbxxa =++ untuk setiap . IxSekarang perhatikan persamaan diferensial linear orde dua

homogen

0)(')(")( =++ yxcyxbyxa . (4)

11

Teorema 1.

Misalkan )(x solusi persamaan diferensial (4) pada selang I maka )(x juga merupakan solusi persamaan diferensial (4) untuk setiap .

Bukti:

Tulis )(xy = dimana suatu konstanta. Jelas )('' xy = dan )("" xy = . Jelas ))()(())(')(())(")(( xxcxxbxxa ++ . Jelas 0)0())]()(())(')(())(")([( ==++ xxcxxbxxa . Jadi )(x juga solusi persamaan diferensial (4).

5. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Homogen dengan Koefisien

Konstanta

Perhatikan persamaan diferensial yang berbentuk

0'" =++ qypyy , (5)

dimana p dan q konstanta-konstanta. Intuisi merupakan solusi

persamaan diferensial (5) dengan m memenuhi persamaan tersebut.

Untuk itu akan dicari m agar merupakan solusi persamaan

diferensial (5). Dari diperoleh dan

sehingga jika dan disubstitusikan ke persamaan (5) didapat

persamaan .

mxey =

mxey =mxey = mxmey =' mxemy 2"=

,y ,'y "y

0)(0 22 =++=++ mxmxmxmx eqpmmqempeem

12

Dengan demikian dikatakan suatu solusi dari persamaan

diferensial (5), jika m merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat

. Dan karena , untuk setiap m dan x, maka

. (6)

mxey =

02 =++ qpmm 0mxe

02 =++ qpmm

Persamaan disebut persamaan karakteristik dari

persamaan diferensial (5) dan akar-akarnya disebut akar-akar

karakteristik. Akar-akarnya adalah

02 =++ qpmm

)4(21 2

1 baam += dan

)4(21 2

2 baam = .

Dari perhitungan di atas jelas bahwa dan

merupakan solusi dari persamaan diferensial

xmey 11 = xmey 22 =0'" =++ qypyy .

Dari aljabar matematika dapat diketahui bahwa, karena a dan b

merupakan bilangan real, maka akar-akar dari persamaan karakteristik

terbagi dalam tiga kasus, yaitu: dua akar berbeda, dua

akar sama, dan dua akar kompleks.

02 =++ qpmm

1. Akar real berlainan berbeda

Bila m1 dan m2 dua akar real berbeda maka dan adalah

solusi yang bebas linear sehingga merupakan

solusi umum persamaan diferensial (5).

xme 1 xme 2

xmxm BeAey 21 +=

Contoh:

Perhatikan persamaan diferensial 02'3" =+ yyy . Persamaan

karakteristiknya adalah dan akar-akarnya 0232 =+ mm

13

0)1)(2( = mm . Jadi 11 =m dan 22 =m merupakan akar real

berbeda maka solusi umumnya adalah . xx BeAey 2+=2. Kedua akar sama

Misalkan kedua akar persamaan sama, yakni

, maka adalah salah satu solusi persamaan

diferensial (5). Bila

02 =++ qpmm

amm == 21 axex =)(1)()()( 12 xxWx = solusi lainnya, maka

dxee

xW pxdxax

=

21)(

= dxee pxax21 .

Karena amm == 21 adalah akar persamaan , maka 02 =++ qpmm

pamm ==+ 221 .

Jadi === xdxdxeexW axax 221)( .

Hal tersebut memberikan dimana axxexxxx == )()()( 212 1 dan 2 bebas linear. Jadi solusi umum persamaan diferensial

adalah . 0'" =++ qypyy axaxax eBxABxeAey )( +=+=Contoh:

Misalkan persamaan diferensial 04'4" =+ yyy .

Tentukan solusi persamaan diferensial di atas.

Penyelesaian:

Jelas merupakan persamaan karakteristik. 0442 =+ mm

14

Jelas . 0)2( =m

Jelas 221 == mm .

Jadi suatu solusi umum persamaan diferensial

.

xeBxAy 2)( +=04'4" =+ yyy

3. Akar kompleks

Misalkan salah satu akar persamaan adalah 02 =++ qpmm

+=1m i, maka akar yang lain yakni =1m i, sehingga dan adalah solusi basis

untuk persamaan diferensial

xixm eex )(1 1)( +== xixm eex )(2 2)( ==

0'" =++ qypyy . Jadi solusi umum

persamaan diferensial tersebut adalah:

xixi ececy )(2)(

1 + +=

xixxix eeceec += 21 )sin(cos)sin(cos 21 xixecxixec

xx ++= . }sin)(cos){( 2121 xiccxcce

x ++=Dengan mengambil Acc =+ 21 dan Bcci = )( 21 maka solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah

. }sincos{ xBxAey x +=

15

B. Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang

mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi (yang tidak

diketahui) dengan dua atau lebih peubah bebas.

Tingkat (order) persamaan diferensial parsial adalah pangkat

tertinggi dari turunan yang termuat dalam persamaan diferensial parsial. Dan

derajat (degree) persamaan diferensial parsial adalah pangkat tertinggi dari

turunan tingkat tertinggi yang termuat dalam persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial linier adalah suatu bentuk persamaan

diferensial parsial yang berderajat satu dalam peubah tak bebasnya dan

turunan parsialnya (Hutahean, 1993).

Beberapa persamaan diferensial parsial linier orde-2 yang penting.

2

22

2

2

xu

ctu

=

, disebut persamaan gelombang dimensi satu; (7)

2

22

xu

ctu

=

, disebut persamaan konduksi panas dimensi satu; (8)

022

2

2

=+

yu

xu

, disebut persamaan laplace dimensi satu; (9)

),(22

2

2

yxfyu

xu =

+

, disebut persamaan poisson dimensi satu; (10)

022

2

2

2

2

=+

+

zu

yu

xu

,disebut persamaan laplace dimensi tiga. (11)

16

Dalam hal ini c adalah konstanta, t adalah waktu dan zyx ,, adalah

peubah bebas. Untuk memudahkan notasi maka digunakan indeks untuk

menotasikan turunan parsial, seperti xu

ux = , 2

2

xu

uxx = dan sebagainya.

Adapun bentuk umum persamaan diferensial parsial linier orde-2 diberikan

dengan

GFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx =+++++ , (12)

dimana A, B, C, D,E, F, dan G adalah fungsi-fungsi yang bergantung pada x

dan y.

Terdapat 3 jenis persamaan diferensial parsial linier yang penting,

yaitu parabolik, hiperbolik dan elliptik. Persamaan diferensial parsial orde

dua dalam persamaan (12);

jika , disebut persamaan parabolik, 042 = ACBjika , disebut persamaan hiperbolik, 042 > ACBjika , disebut persamaan elliptik (Pinsky, 1998). 042

17

yaitu interval terbatas, interval setengah terbatas, dan interval tak terbatas.

Untuk interval terbatas, besarnya interval I adalah sehingga

mempunyai dua syarat batas yaitu pada

Lx

18

C. Transformasi Laplace

Definisi 5.

Misalkan adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada interval

[0,). Transformasi Laplace dari f adalah suatu fungsi F(s) yang

didefinisikan dengan integral

)(tf

=0

)()( dttfesF st , (14)

dengan daerah asal F adalah semua nilai dari s sedemikian hingga integral

dari (14) ada. Fungsi asal dinyatakan dengan huruf kecil dan transformasi

Laplacenya dengan huruf yang sama tetapi huruf besar. Transformasi Laplace

dari f dinotasikan dengan F atau L{f}. Selanjutnya fungsi asal f(t) adalah

invers dari F(s) dan dinotasikan dengan =)(tf L-1{F(s)} (Hutahean, 1993).

Jika L{f}=F(s) maka f(t) disebut invers transformasi Laplace dari F(s) dan

secara simbolis ditulis:

f(t)= L-1{F(s)},

dengan L-1 disebut operator invers transformasi Laplace.

Definisi 6.

Suatu fungsi f(t) dikatakan kontinu bagian demi bagian pada suatu

selang jika f kontinu di sejumlah hingga titik pada selang tersebut

(Hutahean, 1993).

Dari pengertian tersebut berarti selang yang dimaksud dapat dibagi

menjadi sejumlah hingga sub selang sehingga f kontinu pada setiap sub

19

selang yang terjadi, jadi suatu fungsi f(t) kontinu pada [0,) jika f kontinu

pada selang [0,N) untuk semua . 0>NDefinisi 7.

Suatu fungsi f(t) dikatakan berorde eksponensial jika

terdapat konstanta tak negatif M dan T sehingga

ttMetf )( untuk semua

(Hutahean, 1993). Tt Teorema 2.

Diketahui f1 dan f2 suatu fungsi-fungsi. Jika transformasi Laplace dari f1 dan

f2 ada dan c merupakan suatu konstanta maka:

(i) L =+ }{ 21 ff L +}{ 1f L ; }{ 2f

(ii) L L . ccf =}{ 1 }{ 1f

Bukti:

(i) Jelas L . =+ }{ 21 ff +0

21 ))(( dttffest

L =+ }{ 21 ff +0

21 ))()(( dtetfetfstst

L =+ }{ 21 ff +0 0

21 )()( dtetfdtetfstst

L L =+ }{ 21 ff +}{ 1f L . }{ 2f

(ii) Jelas L . =0

11 ))((}{ dttcfecfst

L =0

11 ))((}{ dttfcecfst

20

L =0

11 ))((}{ dttfeccfst

L L . ccf =}{ 1 }{ 1f

Akibatnya, invers transformasi Laplace jika ada adalah linier.

Bukti:

Tulis L=)(1 tf -1 )}({ 1 sF dan =)(2 tf L-1 . )}({ 2 sF

(a) Jelas L-1 )()()}()({ 2121 tftfsFsF +=+ .

L -1 =+ )}()({ 21 sFsF L-1 )}({ 1 sF + L-1 )}({ 2 sF .

(b) Jelas L-1 )}({ 1 scF )(1 tcf= .

L -1 )}({ 1 scF c= L-1 )}({ 1 sF .

Jadi L-1 adalah linier.

D. Maple

Maple merupakan salah satu perangkat lunak yang dikembangkan

oleh Waterloo Inc. Kanada untuk keperluan Computer Algebraic System

(CAS). Maple sering digunakan untuk keperluan penyelesaian permasalahan

persamaan diferensial dan visualisasinya, karena mudah untuk digunakan.

Maple memiliki kemampuan menyederhanakan persamaan, hingga suatu

solusi persamaan diferensial dapat dipahami dengan baik. Keunggulan dari

Maple untuk aplikasi persamaan diferensial adalah kemampuan melakukan

gerakan/animasi grafik dari suatu fenomena yang dimodelkan ke dalam

21

persamaan diferensial yang memiliki nilai awal dan syarat batas (Kartono,

2001).

Untuk memulai Maple pada Windows, cukup dengan klik pada

icon Maple yang akan langsung memberikan respon dengan menampilkan

worksheet >. Menu-menu yang terdapat pada tampilan Maple terdiri dari

File, Edit, View, Insert, Format, Spreadsheet, Option, Windows, dan Help.

Sebagian besar menu di atas merupakan menu standar yang dikembangkan

untuk program aplikasi pada sistem operasi Windows. Bahasa yang

digunakan pada Maple merupakan bahasa pemrograman yang sekaligus

sebagai bahasa aplikasi, sebab pernyataan atau statement yang merupakan

input (masukan) pada Maple berupa deklarasi pada bahasa program dan

command (perintah) yang sering digunakan pada aplikasi. Simbol > ini

otomatis dan sebagai tanda bahwa Maple telah siap untuk dioperasikan.

Perintah ke komputer diberikan dengan mengetikkan pada papan ketik

setelah simbol >. Perintah ini dicetak dalam warna merah, sedangkan

hasilnya dicetak dalam warna biru. Setiap perintah Maple jika ingin

ditampilkan harus diakhiri dengan simbol titik koma (;) dan simbol titik dua

(:) jika respon tidak ingin ditampilkan.

BAB III

METODE PENELITIAN

Peranan metode penelitian dalam suatu penelitian sangat penting.

Sehingga dengan metode penelitian dapat mencapai tujuan penelitian yang telah

ditetapkan dan agar penelitian yang telah dilakukan berjalan dengan lancar.

Melalui metode penelitian, masalah yang dihadapi dapat diatasi dan dipecahkan

dari perolehan data yang telah dikumpulkan.

Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini meliputi beberapa hal yaitu.

A. Pemilihan Masalah

Dalam perkuliahan yang diperoleh penulis, banyak masalah yang perlu dikaji

lebih lanjut. Dari beberapa masalah tersebut dihadapkan pada persoalan

untuk memilih masalah yang kemudian dijadikan bahan dasar untuk

melakukan penelitian lebih lanjut.

B. Merumuskan Masalah

Perumusan masalah diperlukan untuk membatasi permasalahan sehingga

diperoleh bahan kajian yang jelas. Sehingga akan lebih mudah untuk

menentukan langkah dalam memecahkan masalah tersebut.

C. Studi Pustaka

Setelah diperoleh masalah untuk diteliti, peneliti mengadakan studi pustaka.

Studi pustaka adalah penelaahan sumber pustaka yang relevan, digunakan

untuk mengumpulkan data informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi

pustaka diawali dengan mengumpulkan sumber pustaka yang berupa buku

22

23

atau literatur, jurnal, skripsi dan sebagainya. Setelah pustaka terkumpul

dilanjutkan dengan pemahaman isi sumber pustaka tersebut yang pada

akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis

permasalahan.

D. Memecahkan Masalah

Setelah permasalahan dirumuskan dan sumber pustaka terkumpul, langkah

selanjutnya adalah pemecahan masalah melalui pengkajian secara teoritis

yang selanjutnya disususn secara rinci dalam bentuk pembahasan.

Dalam pembahasan masalah dilakukan beberapa langkah pokok yaitu:

1. memberikan masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial;

2. mentransformasikan masalah nilai batas pada persamaan diferensial

parsial dengan menggunakan metode transformasi Laplace;

3. menyelesaikan masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial

yang telah ditransformasikan dengan metode transformasi Laplace

dengan menggunakan invers transformasi Laplace.

E. Menarik Kesimpulan

Langkah terakhir dalam kegiatan penelitian ini adalah menarik kesimpulan

dari keseluruhan permasalahan yang telah dirumuskan dengan berdasarkan

pada landasan teori dan hasil pemecahan masalah.

BAB IV

PEMBAHASAN

A. Pemodelan Persamaan Konduksi Panas Dimensi Satu

Perhatikan suatu batang kawat tipis dengan ukuran panjang hingga

yang diisolasi dengan irisan melintangnya diasumsikan konstan dan terbuat

dari bahan homogen serta terletak pada sumbu X. Didefinisikan adalah

suhu pada titik x dan waktu t dalam batang kawat tersebut. Ujung-ujung kawat

dan (lihat gambar 1).

),( txu

0x 1x

u(x,t)

isolator

xo x1 X

t

Gambar 1. Sketsa Batang Kawat pada Sumbu X

1. Identifikasi Besaran yang Terlibat

Identifikasi besaran yang terlibat pada pemodelan di atas dapat

dilihat dalam tabel 1.

24

25

Tabel 1. Identifikasi Besaran yang Terlibat

Besaran yang terlibat Lambang Satuan Var/Kons

Waktu

Panjang kawat

Suhu kawat

Aliran panas

Energi masuk

Energi keluar

Energi yang diserap

t

x

),( txu

q(x,t)

q(x,t).t q(x+x,t+t)t

k[u(x+x,t+t)-u(x,t)]x

det

m

oC

Kg.m.s-3

Kg.m.s-2

Kg.m.s-2

2.. smKg

Var

Var

Var

Var

Var

Var

Var

2. Hukum yang Mengendalikan

Persamaan konduksi panas sederhana dikarakterisasikan oleh

hukum di bawah ini.

1. Panas mengalir dari tempat yang lebih panas ke tempat yang lebih

dingin.

2. Energi yang masuk sama dengan energi keluar ditambah dengan

energi yang diserap.

3. Energi berbanding lurus dengan laju perubahan suhu persatuan

panjang (Hukum Fourier pada hantaran panas).

3. Model Matematika

Jelas energi masuk: ttxq ),( ;

energi keluar: tttxxq ++ ),( ;

26

energi yang diserap: xtxuttxxuk ++ )],(),([ .

Jadi ttxq ),( tttxxq ++= ),( xtxuttxxuk +++ )],(),([

),(( txq tttxxq ++ )),( xtxuttxxuk ++= )],(),([1

t

txuttxxukx

ttxxqtxq

++=++ )],(),([),(),( 1

t

txuttxxukx

ttxxqtxqtx

++=++

)],(),([lim),(),(lim 100

tuk

xq

=

1 .

Sesuai dengan hukum Fourier yang menyatakan bahwa energi berbanding

lurus dengan laju perubahan panas terhadap x, maka diperoleh

xutxq

= ),( , 0>

tanda negatif pada hukum Fourier menunjukkan bahwa panas mengalir

dari tempat yang lebih panas ke tempat yang lebih dingin.

Jadi tuk

xu

x =

1

tuk

xu

=

122

tuk

xu

=

1

2

2

22

xuk

tu

=

, kk

=1

22

2

xuc

tu

=

, . (1) 2ck =

27

Persamaan ini disebut dengan persamaan konduksi panas dimensi satu.

Konstanta k dinamakan difusitas yang sama dengan K dengan

konduktifitas termal K, panas jenis , dan kerapatan diandaikan konstan. Distribusi temperatur pada saat awal, yaitu saat , 0=t

)()0,( xfxu = , Ix Syarat batas dapat ditentukan pada kedua ujung batang kawat

yaitu dan . Misalnya temperatur pada ujung-ujungnya adalah ,

diperoleh syarat batas Dirichlet:

0=x lx = )(tf

>=>=

0),(),(0),(),0(

ttftluttftu

.

Jika ujung batang kawat diisolasi, maka 0),( =

xtxu . Dan jika

panas yang mengalir proporsional terhadap pergantian temperatur pada

ujung batang kawat

),( txq

xtxu

),( , maka menurut hukum Fourier konduksi panas

dimensi satu x

txuktxq = ),(),( , sehingga diperoleh syarat batas Neumann:

>=

>=

0,),(),(

0),0(),0(

tk

tlqx

tlu

tk

tqx

tu

.

Jika pergantian temperatur pada ujung batang kawat x

txu

),(

proporsional terhadap temperatur , maka diperoleh syarat batas

Campuran:

),( txu

28

>=+

>=+

0),(),(),(

0),(),0(),0(

2

1

txftlux

tlu

txftux

tu

,

dimana , adalah suatu konstanta yang diberikan.

B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan Transformasi

Laplace

Interval setengah tak terbatas pada kasus parabolik

Diketahui persamaan konduksi panas 22

2

xuc

tu

=

.

Pada kondisi awal )()0,( xfxu = , diketahui syarat batasnya adalah: 0>x

)(),0(),0( tgx

tutu =+ ; 0>t

dengan , suatu konstanta yang diberikan.

Diketahui 22

2

xuc

tu

=

L =

),( tx

tu L

),(2

22 tx

xuc , kc =2

L =

),( tx

tu kL

),(2

2

txxu

22 ),(~)0,(),(~dx

sxudkxusxus =

kxusxu

ks

dxsxud )0,(),(~),(

~2

2

= . (2)

Substitusikan kondisi awal ke persamaan (2), sehingga diperoleh:

29

kxfsxu

ks

dxsxud )(),(~),(

~2

2

= , (3)

dengan syarat batas:

)(),0(),0( tgx

tutu =+

L =

+

xtutu ),0(),0( L{ })(tg

L{ }+),0( tu L =

xtu ),0( L{ })(tg

L{ }+),0( tu L =

xtu ),0( L{ })(tg

)(~),0(~

),0(~ sgdx

sudsu =+ . (4)

Interval terbatas pada kasus parabolik

Persamaan konduksi panas dimensi satu:

),(),( 22

txxuktx

tu

=

, lx

30

(2) diperoleh persamaan yang sama dengan persamaan (3), dengan syarat

batas:

)(),0(),0( 1 tgxtutu =

+

L =

+

xtutu ),0(),0( L{ })(1 tg

L{ }+),0( tu L =

xtu ),0( L{ })(1 tg

L{ }+),0( tu L =

xtu ),0( L{ })(1 tg

)(~),0(~

),0(~ 1 sgdxsudsu =+ , dan (8)

)(),(),( 2 tgxtlutlu =

+

L =

+

xtlutlu ),(),( L{ })(2 tg

L{ }+),( tlu L =

xtlu ),( L{ })(2 tg

L{ }+),( tlu L =

xtlu ),( L{ })(2 tg

)(~),(~

),(~ 2 sgdxsludslu =+ . (9)

C. Penyelesaian Umum

Dengan menggunakan transformasi Laplace (terhadap t atau x)

dalam masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial, maka

31

persamaan-persamaan diferensial parsial tersebut dapat ditransformasikan

menjadi persamaan diferensial biasa berbentuk:

)('' xfyy =+ . (10)

Sebagai contoh perhatikan persamaan diferensial 0'' =+ yy .

Tulis dan suatu selesaian. )(1 xy )(2 xy

Jadi .

=+=+

)()(')(')(')('0)()(')()('

21

21

xfxyxBxyxAxyxBxyxA

Dengan menyelesaikan A(x) dan B(x), diperoleh A(x) dan B(x) maka

penyelesaian persamaan (10) di atas adalah:

)()()()()( 21 xyxBxyxAxy += . Jika pada persamaan (10) tersebut berbentuk eksponensial, polinomial

dan trigonometri (terbatas pada

)(xf

sin dan cos ), maka A(x) dan B(x) berupa suatu konstanta.


Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan (10) adalah:

xmxm exBexAxy 21 )()()( += . (11) Dengan mengambil persamaan:

0)(')(' 21 =+ xmxm exBexA dan (12)

)()(')(' 21 21 xfexBtexAtxmxm =+ , (13)

diperoleh:

xmexfmm

xA 1)(1)('12

=

32

112

1)(1)( cdxexfmm

xA xm += , dan (14)

xmexfmm

xB 2)(1)('12

=

212

2)(1)( cdxexfmm

xB xm += . (15)

Jika A(x) dan B(x) dari (14) dan (15) disubstitusikan ke persamaan (11),

diperoleh:

xmxmxmxm edxexfmm

cedxexfmm

cxy 2212 )(1)(1)(12

212

1

++

= . Dari persamaan (3), akar-akar karakteristik dari persamaan

0),(~),(~

2

2

= sxuks

dxsxud adalah

kst =1 ; k

st =2 .

Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan (3) tersebut adalah:

xksx

ks

exBexAsxu+= )()(),(~ . (16)

Dengan mengambil persamaan:

0)`()`( =+ xksx

ks

exBexA dan

kxfexB

ksexA

ks xk

sxks )()`()`( = .

Diperoleh:

xks

e

ksk

xfxA=

2

)()`(

33

1)(2

1)( cdxexf

ksk

xAx

ks

+= . (17)

xks

e

ksk

xfxB2

)()`( =

2)(2

1)( cdxexf

ksk

xBx

ks

+= . (18)

Jika A(x) dan B(x) dari (17) dan (18) disubstitusikan ke persamaan (16)

sehingga diperoleh:

xks

xksx

ksx

ks

edxexf

ksk

cedxexf

ksk

csxu

++

= )(2

1)(2

1),(~ 21

+

+= dxexfe

ksk

dxexfe

ksk

ecec ksx

ks

xksx

ksx

ksx

ks

)(2

1)(2

121

karena haruslah terbatas bila ),( txu x maka L harus

pula terbatas bila

=),(~ sxu }{ ),( txux , maka harus diperoleh 01 =c , sehingga

+

= dxexfe

ksk

dxexfe

ksk

ecsxux

ksx

ksx

ksx

ksx

ks

)(2

1)(2

1),(~ 2 .

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan di atas dengan invers

transformasi Laplace, sehingga diperoleh:

34

=),( txu L-1

+

dxexfe

ksk

ecx

ksx

ksx

ks

)(2

12

dxexfe

ksk

xksx

ks

)(2

1 . (19)


Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan (10) tersebut adalah:

xxBxxAxy sinh)(cosh)()( += . (20)


0sinh)`(cosh)`( =+ xxBxxA dan

)(cosh)`(sinh)`( xfxxBxxA =+ ,

diperoleh:

xxfxA sinh)()`( =

x

x

eexfxA )1))(((

21)`(

2 =

++= 1))((21)( cdxeexfxA xx (21) xxfB cosh)(=`

x

x

eexfB )1))(((

21`

2 +=

++= 2))((21)( cdxeexfxB xx (22)

35


diperoleh:

+++

++= xcdxeexfxcdxeexfxy xxxx sinh))((21cosh))((21)( 21 . Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan (3) adalah :

xks

xBxks

xAsxu sinh)(cosh)(),(~ += . (23)


0sinh)`(cosh)`( =+ xks

xBxks

xA dan

k

xfx

ks

xBks

xks

xAks )(

cosh)`(sinh)`( =+ ,

sehingga diperoleh:

xks

ksk

xfxA sinh)()`( =

xks

xks

eksk

exf

xA

2

1)(

)`(

2

=

+

+= 1)(

2

1)( cdxeexf

ksk

xAx

ksx

ks

. (24)

xks

ksk

xfxB cosh)()`( =

36

xks

xks

eksk

exf

xB

2

1)(

)`(

2

+

=

2)(2

1)( cdxeexf

ksk

xBx

ksx

ks

+

+= . (25)


diperoleh:

xksdxeexf

ksk

csxux

ksx

ks

cosh)(2

1),(~ 1

+=

xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

sinh)(2

12

++ .

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan di atas dengan invers

transformasi Laplace, sehingga diperoleh:

=),( txu L-1

+ xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

cosh)(2

11

++ xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

sinh)(2

12 . (26)

37

Contoh 1.

Selesaikan masalah nilai batas persamaan konduksi panas pada suatu batang

kawat tipis semi infinite dengan temperatur awal dan ujung kawat pada

mempunyai temperatur konstan .

Co0

0=x ot

Penyelesaian:

Diketahui 22

2

xuc

tu

=

, , . 0>x 0>t

Dipunyai , . 0)0,( =xu 0>x

Jelas kxusxu

ks

dxsxud )0,(),(~),(

~2

2

=

0),(~),(~

2

2

= sxuks

dxsxud .

Dipunyai . ottu =),0( , 0>t

Jelas L L =)},0({ tu }{ ot

st

su o= ),0(~ .

Jadi x

ksx

ks

ececsxu+= 21),(~ .

Tulis . 01 =c

Jelas x

ks

ecsxu= 2),(~ .

Jadi st

su o=),0(~

02),0(~ ecsu =

38

st

c o= 2 .

Jadi x

ks

o estsxu

=),(~ .

Jadi L=),( txu -1 )},(~{ sxu

= ),( txu L-1

x

ks

o est

ottxu = ),( L-1

x

ks

es1

=kt

xerfcttxu o 2),( .

Jadi

=kt

xerfcttxu o 2),( .

D. Pemrograman Komputer Persamaan Konduksi Panas Dimensi Satu

Berikut ini adalah pemrograman Maple untuk persamaan konduksi

panas dimensi satu.


> restart;with(PDEtools): > p1:=(D@@2)(y)(x)+y(x)=f(x);

:= p1 = + ( )( )( )D( )2 y x ( )y x ( )f x > p2:=y(x)=A(x)*exp(m[1]*x)+B(x)*exp(m[2]*x);

:= p2 = ( )y x + ( )A x e( )m

1x

( )B x e( )m

2x

39

> s1:=D(A)(x)*exp(m[1]*x)+D(B)(x)*exp(m[2]*x)=0;

:= s1 = + ( )( )D A x e( )m

1x

( )( )D B x e( )m

2x

0

>s2:=m[1]*D(A)(x)*exp(m[1]*x)+m[2]*D(B)(x)*exp(m[2]*x)=f(x);

:= s2 = + m1 ( )( )D A x e( )m

1x

m2 ( )( )D B x e( )m

2x

( )f x

> sol1:=solve({s1,s2},{D(A)(x),D(B)(x)});

:= sol1

, = ( )( )D A x ( )f xe

( )m1

x

( ) + m2 m1 = ( )( )D B x ( )f x

e( )m

2x

( ) + m2 m1

> sol2:=sol1[1];

:= sol2 = ( )( )D A x ( )f xe

( )m1

x

( ) + m2 m1

> sol3:=sol1[2];

:= sol3 = ( )( )D B x ( )f xe

( )m2

x

( ) + m2 m1

> solu1:=dsolve({sol2},A(x));

:= solu1 = ( )A x + d

e

( )m1

x

( )f x + m2 m1

x _C1

> solu2:=dsolve({sol3},B(x));

:= solu2 = ( )B x + d

( )f x e

( )m2

x

+ m2 m1x _C1

> solu3:=subs(_C1=_C2,solu2);

40

:= solu3 = ( )B x + d

( )f x e

( )m2

x

+ m2 m1x _C2

> pers1:=subs(solu1,solu3,p2);

:= pers1 = ( )y x +

+ d

e

( )m1

x

( )f x + m2 m1

x _C1 e( )m

1x

+ d

( )f x e

( )m2

x

+ m2 m1x _C2 e

( )m2

x

> simplify(pers1);

( )y x e( )m

1x

de

( )m1

x

( )f x x e( )m

1x

_C1 m2 e( )m

1x

_C1 m1 e( )m

2x

d ( )f x e

( )m2

x

x + =

e( )m

2x

_C2 m2 e( )m

2x

_C2 m1 + + m2 m1 ( )

> restart;with(inttrans): > p:=diff(u(x,s),x$2)-s/k*(u(x,s))=0;

:= p =

2x2

( )u ,x s s ( )u ,x sk 0

> p1:=dsolve(p,u(x,s));

:= p1 = ( )u ,x s + ( )_F1 s e

s k xk

( )_F2 s e

s k xk

> p2:=subs(_F1(s)=A(x),_F2(s)=B(x),p1);

:= p2 = ( )u ,x s + ( )A x e

s k xk

( )B x e

s k xk

> s1:=D(A)(x)*exp(sqrt(s/k)*x)+D(B)(x)*exp(-sqrt(s/k)*x)=0;

:= s1 = + ( )( )D A x e

sk

x

( )( )D B x e

sk

x

0

41

> s2:=sqrt(s/k)*D(A)(x)*exp(sqrt(s/k)*x)-sqrt(s/k)*D(B)(x)*exp(-sqrt(s/k)*x)=-f(x)/k;

:= s2 = sk ( )( )D A x e

sk x s

k ( )( )D B x e

sk x ( )f xk

> s3:=solve({s1,s2},{D(A)(x),D(B)(x)});

:= s3

, = ( )( )D A x

12

( )f x

sk e

sk

x

k

= ( )( )D B x 12( )f x e

sk

x

sk k

> sol1:=s3[1];

:= sol1 = ( )( )D A x 12( )f x

sk e

sk

x

k

> sol2:=s3[2];

:= sol2 = ( )( )D B x 12( )f x e

sk

x

sk k

> so1:=dsolve({sol1},A(x));

:= so1 = ( )A x + d

12

( )f x e

sk

x

sk k

x _C1

> so2:=dsolve({sol2},B(x));

42

:= so2 = ( )B x + d

12

( )f x e

sk

x

sk k

x _C1

> so3:=subs(_C1=_C2,so2);

:= so3 = ( )B x + d

12

( )f x e

sk

x

sk k

x _C2

> pers1:=subs(so1,so3,p2); pers1 ( )u ,x s = :=

+

+ d

12

( )f x e

sk

x

sk k

x _C1 e

s k xk

+ d

12

( )f x e

sk

x

sk k

x _C2 e

s k xk

> pers2:=simplify(pers1);

pers2 ( )u ,x s 12 e

s k xk

d ( )f x e

sk

x

x 2 e

s k xk

_C1 sk k +

= :=

e

s k xk

d ( )f x e

sk

x

x 2 e

s k xk

_C2 sk k + + sk k

> per1:=subs(_C1=0,pers2); per1 ( )u ,x s = :=

12

+ + e

s k xk

d ( )f x e

sk

x

x e

s k xk

d ( )f x e

sk

x

x 2 e

s k xk

_C2 sk k

sk k

> invlaplace(per1,x,s);

43

( )invlaplace , ,( )u ,x s x s 12

invlaplace , ,e

s k xk

d ( )f x e

sk

x

x x s

=

invlaplace , ,e

s k xk

d ( )f x e

sk

x

x x s 2 _C2 sk k

Dirac s

s kk + +

sk k


> restart;with(PDEtools): > (D@@2)(y)(x)+y(x)=f(x);

= + ( )( )( )D( )2 y x ( )y x ( )f x > p:=A(x)*cosh(x)+B(x)*sinh(x);

:= p + ( )A x ( )cosh x ( )B x ( )sinh x > p1:=D(A)(x)*cosh(x)+D(B)(x)*sinh(x)=0;

:= p1 = + ( )( )D A x ( )cosh x ( )( )D B x ( )sinh x 0 > p2:=D(A)(x)*sinh(x)+D(B)(x)*cosh(x)=f(x);

:= p2 = + ( )( )D A x ( )sinh x ( )( )D B x ( )cosh x ( )f x > p3:=solve({p1,p2},{D(A)(x),D(B)(x)});

:= p3

, = ( )( )D A x

12

( )f x ( ) ( )e x 2 1e x

= ( )( )D B x 12( ) + ( )e x 2 1 ( )f x

e x

> s1:=p3[1];

:= s1 = ( )( )D A x 12( )f x ( ) ( )e x 2 1

e x

> s2:=p3[2];

44

:= s2 = ( )( )D B x 12( ) + ( )e x 2 1 ( )f x

e x

> sol1:=dsolve({s1},A(x));

:= sol1 = ( )A x + d

12 ( )f x ( ) + e

x e( )x

x _C1

> sol2:=dsolve({s2},B(x));

:= sol2 = ( )B x + d

12 ( )f x ( ) + e

x e( )x

x _C1

> sol3:=subs(_C1=_C2,sol2);

:= sol3 = ( )B x + d

12 ( )f x ( ) + e

x e( )x

x _C2

> pers1:=subs(sol1,sol3,p); pers1 :=

+

+ d

12 ( )f x ( ) + e

x e( )x

x _C1 ( )cosh x

+ d

12 ( )f x ( ) + e

x e( )x

x _C2 ( )sinh x

> pers2:=simplify(pers1);

pers2 12 ( )cosh x d ( )f x ( ) + e

x e( )x

x ( )cosh x _C1 12 ( )sinh x d ( )f x ( ) + e

x e( )x

x + + := ( )sinh x _C2 +

> restart;with(PDEtools):with(inttrans): > p:=diff(u(x,s),x$2)-s/k*(u(x,s))=-f(x)/k;

:= p =

2x2

( )u ,x s s ( )u ,x sk ( )f xk

> p1:=dsolve(p,u(x,s));

45

p1 ( )u ,x s d

12

e

s k xk

( )f xs k

x e

s k xk

d

12

e

s k xk

( )f xs k

x e

s k xk + = :=

( )_F1 s e

s k xk

( )_F2 s e

s k xk + +

> pp1:=subs(_F1=A(x),_F2=B(x),p1);

pp1 ( )u ,x s d

12

e

s k xk

( )f xs k

x e

s k xk

d

12

e

s k xk

( )f xs k

x e

s k xk + = :=

( )( )A x s e

s k xk

( )( )B x s e

s k xk + +

>p2:=D(A)(x)*cosh((sqrt(s/k))*x)+D(B)(x)*sinh((sqrt(s/k))*x)=0;

:= p2 = + ( )( )D A x cosh

sk x ( )( )D B x

sinh

sk x 0

>p3:=sqrt(s/k)*D(A)(x)*sinh((sqrt(s/k))*x)+sqrt(s/k)*D(B)(x)*cosh((sqrt(s/k))*x)=-f(x)/k;

:= p3 = + sk ( )( )D A x

sinh

sk x

sk ( )( )D B x

cosh

sk x

( )f xk

> s1:=solve({p2,p3},{D(A)(x),D(B)(x)});

:= s1

, = ( )( )D A x 12

( )f x

e

sk

x2

1

sk k e

sk x

= ( )( )D B x 12( )f x

+

e

sk

x2

1

sk k e

sk x

> s2:=s1[1];

:= s2 = ( )( )D A x 12( )f x

e

sk

x2

1

sk k e

sk x

46

> s3:=s1[2];

:= s3 = ( )( )D B x 12( )f x

+

e

sk

x2

1

sk k e

sk x

> sol1:=dsolve(s2,A(x));

:= sol1 = ( )A x + d

12

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

sk k

x _C1

> sol2:=dsolve(s3,B(x));

:= sol2 = ( )B x + d

12

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

sk k

x _C1

> sol3:=subs(_C1=_C2,sol2);

:= sol3 = ( )B x + d

12

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

sk k

x _C2

> solu1:=subs(sol1,sol3,pp1);

47

solu1 ( )u ,x s d

12

e

s k xk

( )f xs k

x e

s k xk

d

12

e

s k xk

( )f xs k

x e

s k xk + = :=

( )

+ d

12

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

sk k

x _C1 s e

s k xk +

( )

+ d

12

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

sk k

x _C2 s e

s k xk +

> solu2:=simplify(solu1);

solu2 ( )u ,x s 12 de

s k xk

( )f x x e

s k xk ( )s s

( )k s ( )k s

= :=

de

s k xk

( )f x x e

s k xk ( )s s

( )k s ( )k s +

s k e

s k xk

( )

d

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

x s

2 s k e

s k xk

( )_C1 s ( )s s( )k s ( )k s +

e

s k xk

s k ( )

d

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

x s

2 e

s k xk

s k ( )_C2 s ( )s s( )k s ( )k s + s k( )s s( )k s ( )k s

> solu3:=invlaplace(solu2,x,s);

48

solu3 ( )invlaplace , ,( )u ,x s x s 12

= :=

( )s s( )k s ( )k s

invlaplace , ,d

e

s k xk

( )f x x e

s k xk

x s

( )s s( )k s ( )k s

invlaplace , ,d

e

s k xk

( )f x x e

s k xk

x s +

s k ( )

d

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

x s Dirac + s

s kk

2 s k ( )_C1 s ( )s s( )k s ( )k s

Dirac + s

s kk +

s k ( )

d

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

x s Dirac + s

s kk

2 s k ( )_C2 s ( )s s( )k s ( )k s

Dirac + s

s kk + s k

( )s s( )k s ( )k s

> simplify(solu3);

( )invlaplace , ,( )u ,x s x s 12( )s s( )k s ( )k s

invlaplace , ,d

e

s k xk

( )f x x e

s k xk

x s

=

( )s s( )k s ( )k s

invlaplace , ,d

e

s k xk

( )f x x e

s k xk

x s

s k ( )

d

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

x s Dirac

+ s k s kk +

2 s k ( )_C1 s ( )s s( )k s ( )k s

Dirac

+ s k s kk

s k ( )

d

( )f x

+ e

sk

x

e

sk

x

x s Dirac

+ s k s kk +

2 s k ( )_C2 s ( )s s( )k s ( )k s

Dirac

+ s k s kk s k

( )s s( )k s ( )k s

Contoh 2.

49

Gambarlah u pada contoh 1 sebagai sebuah permukaan dalam ruang yang

mempuyai temperatur dan persamaan konduksi panasnya Ct oo 27=

2

2

2xu

tu

=

untuk 20 t dengan panjang Lx 0 , 2,0=L .

Penyelesaian:

> with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined

> u1:=u(x,t)=gamma*erf(x/(2*sqrt(k*t)));

:= u1 = ( )u ,x t

erf12

xk t

> u2:=subs(gamma=27,k=2,u1);

:= u2 = ( )u ,x t 27

erf

14

x 2t

>plot3d(rhs(u2),x=0..0.4,t=0..2,style=hidden,orientation=[25,30],title="Gambar 2");

Contoh 3.

50


mempuyai temperatur dan persamaan konduksi panasnya Ct oo 35=

2

2

8xu

tu

=

untuk 8,00 t dengan panjang Lx 0 , 1=L .

Penyelesaian:


> p1:=u(x,t)=gamma*erf(x/(2*sqrt(k*t)));

:= p1 = ( )u ,x t

erf12

xk t

> p2:=subs(gamma=35,k=8,p1);

:= p2 = ( )u ,x t 35

erf

116

x 8t

>plot3d(rhs(p2),x=0..1,t=0..0.8,style=hidden,orientation=[35,40],title="Gambar 3");

Contoh 4.

51


mempuyai temperatur dan pada persamaan konduksi

panas

Ct oo 37= Ct oo 38=

2

2

8xu

tu

=

untuk 8,00 t dengan panjang Lx 0 , 1=L .

Penyelesaian:


> p:=u(x,t)=gamma*erf(x/(2*sqrt(k*t)));

:= p = ( )u ,x t

erf12

xk t

> p1:=subs(gamma=37,k=8,p);

:= p1 = ( )u ,x t 37

erf

116

x 8t

> p1:=subs(gamma=38,k=8,p);

:= p1 = ( )u ,x t 38

erf

116

x 8t

>plot3d({rhs(p1),rhs(p2)},x=0..1,t=0..0.8,style=hidden,orientation=[35,40],axes=FRAMED,title="Gambar 4");

BAB V

PENUTUP

A. Simpulan

Pemodelan persamaan konduksi panas dimensi satu adalah

, dimana k adalah konstan. Bentuk transformasi Laplace dari masalah

nilai batas pada persamaan konduksi panas dimensi satu adalah.

ttt kuu =

1. Interval setengah tak terbatas pada kasus parabolik

+

= dxexfe

ksk

dxexfe

ksk

ecsxux

ksx

ksx

ksx

ksx

ks

)(2

1)(2

1),(~ 2


)(~),0(~

),0(~ sgdx

sudsu =+ .

2. Interval terbatas pada kasus parabolik

xksdxeexf

ksk

csxux

ksx

ks

cosh)(2

1),(~ 1

+=

xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

sinh)(2

12

++ ,


)(~),0(~

),0(~ 1 sgdxsudsu =+ , dan

53

54

)(~),(~

),(~ 2 sgdxsludslu =+ .

Sedangkan penyelesaian bentuk transformasi Laplace dari masalah

nilai batas pada persamaan konduksi panas dimensi satu adalah.

1. Interval setengah tak terbatas pada kasus parabolik

=),( txu L-1

+

dxexfe

ksk

ecx

ksx

ksx

ks

)(2

12

dxexfe

ksk

xksx

ks

)(2

1

2. Interval terbatas pada kasus parabolik

=),( txu L-1

+ xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

cosh)(2

11

++ xksdxeexf

ksk

cx

ksx

ks

sinh)(2

12

B. Saran

Pada penulisan skripsi ini, permasalahan hanya dibatasi

penyelesaian masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial linear

orde dua dengan kasus parabolik pada persamaan konduksi panas dimensi satu

55

dengan transformasi Laplace. Oleh karena itu, diperlukan penelitian lebih

lanjut dalam hal yang sama pada kasus-kasus lain dengan menggunakan

metode yang sama maupun dengan metode lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Hutahean, E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Jakarta: Erlangga.

Kartono. 2001. Maple untuk Persamaan Diferensial. Yogyakarta: J&J Learning.

Pinsky, M. A. 1998. Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with Applications, Third Edition. Singapore: McGraw-Hill Inc.

Pipes, L. A. 1988. Matematika Terapan: untuk Para Insinyur dan Fisikawan. Yogyakarta: Gajah Mada University Press.

Strauss, W. A. 1992. Partial Differential Equations an Introduction. New York: John Wiley & Sons Inc.

56

LAMPIRAN Tabel 1. Sifat-sifat Umum Transformasi Laplace

f(s) F(t)

s1 1

2

1s

t

ns1 ,...3,2,1=n

)!1(

1

nt n , 1!0 =

ns1 0>n

)(

1

nt n

as 1 ate

22

1as + a

atsin

22 ass+ atcos

22

1as a

atsinh

22 ass atcosh

se sa

taerf

2

)0,(),(~ xusxus ),( txtu

2

2 ),(~

dxsxud ),(2

2

txxu

57

cover.docco-skripsi.docBAB I.docBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

BAB II.docBAB III.docBAB IV1.docBAB V.docDAFTAR PUSTAKA.doc

doc.pdf

Documents

Transcript of doc.pdf