Disusun oleh :...

GAME THEORY

Disusun oleh :

Khamaludin

DEFINISI

• Teori permainan (game theory) adalah bagian dariilmu pengetahuan yang berkaitan denganpembuatan keputusan pada saat dua pihak ataulebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik.

• Asumsi : masing-masing pihak melakukan strategitindakan yang rasional untuk memenangkanpersaingan dan masing-masing pihak jugamengetahui strategi pihak lawannya.

• Pihak-pihak ini disebut sebagai pemain.

2

MODEL-MODEL GAME THEORY

• Bergantung pada faktor-faktor : banyaknya pemain, jumlahkeuntungan dan kerugian, dan banyaknya strategi yangdilakukan dalam permainan, seperti :

– Two-person game adalah banyaknya pemain dua pihak(baik individu maupun kelompok)

– N person game yaitu jika banyaknya pemain adalah Npihak (N≥3),

– Zero-sum game, jika permainan berjumlah nol ataupermainan berjumlah konstan (constant-sum game/ jikajumlah kerugian dan keuntungan dari permainannyaadalah nol)

– Nonzero-sum game yaitu permainan berjumlah bukan nol .

3

CONTOH TWO-PERSON ZERO-SUM GAME

• Pada permainan catur, kedua pemain setujubahwa yang kalah harus membayar sebanyakRp 500,00 kepada yang menang.

• Suatu situasi ketika dua perusahaan besarbersaing untuk memperoleh daerahpemasaran

4

CONTOH N-PERSON NONZERO-SUM GAME

• Situasi ketika sejumlah perusahaan melakukankampanye advertensi yang intensif untukmemperoleh daerah pemasaran yang lebihbesar.

• Kasus ini merupakan non zero-sum karenaukuran total pasar biasanya meningkatsebagai akibat dari advertensi yang intensif.

• Demikian pula jumlah kerugian dankeuntungannya akan positif.

5

ELEMEN-ELEMEN DASAR GAME THEORY

• Perhatikan persoalan two-person zero-sum gamedengan matriks pembayaran seperti pada tabel berikutini:

Pemain B

B1 B2 B3

Pemain A A1 6 9 2

A2 8 5 4

6


1. Bilangan-bilangan yang ada di dalam matriks pembayaran (payoffmatrix) menyatakan outcome atau pembayaran dari strategipermainan yang berbeda.– Payoff atau pembayaran diartikan sebagai suatu ukuran keefektifan seperti

uang, persentase daerah pemasaran, atau utilitas.

– Berdasarkan perjanjian, dalam two-person zero-sum game, bilangan positifmenyatakan perolehan (keuntungan) bagi pihak yang ditulis pada barissebagai pemain yang akan memaksimumkan, dan sekaligus merupakankerugian bagi pihak yang ditulis pada kolom sebagai pemain yang akanmeminimumkan.

– Sebagai contoh, jika A melakukan strategi A1 dan B memilih strategi B2,maka A akan memperoleh 9 dan B kehilangan (membayar) 9. Dalam hal inidiasumsikan bahwa matriks pembayaran ini diketahui oleh kedua pemain.

7


2. Strategi tidak dapat dibolak-balik oleh para pemain.(contoh pada tabel di atas, pemain A mempunyai 2strategi, dan B memiliki 3 strategi.

3. Aturan permainan menjelaskan tentang bagaimanacara para pemain memilih strategi-strategi mereka.Misalnya kita asumsikan bahwa para pemain ituharus memiliki strategi mereka secara serentak, danbahwa permainannya dilakukan berulang-ulang.

8

ELEMEN-ELEMEN DASAR GAME THEORY4. Sutu strategi dinyatakan dominan apabila setiap payoff yang

ada pada suatu strategi bersifat superior (paling tinggi)dibandingkan dengan setiap payoff pada strategi lainnya.Sebagai contoh, untuk pemain B, strategi B1 dan B2didominasi oleh strategi B3 sehingga untuk menyelesaikanpermainan, pemain B harus memilih strategi B3, dan pemain Amemilih strategi A2. Nilai permainan adalah 4. Aturandominansi ini dapat digunakan untuk mengurangi ukuranmatriks payoff dan menyederhanakan perhitungan.

5. Nilai permainan menyatakan ekspektasi outcome perpermainan jika kedua pemain melakukan strategi terbaik(strategi optimum) mereka. Suatu permainan dikatakan fair(adil) jika nilai permainannya nol, dan dinyatakan tidak fair jikanilai permainannya bukan nol. Pada contoh di atas diperolehnilai permainan 4 sehingga permainan itu dinyatakan sebagaipermainan yang tidak fair.

9


6. Tujuan model permainan adalah untukmengidentifikasi strategi optimum bagimasing-masing pemain. Pada contoh di atas,strategi optimum bagi A adalah strategi A2,sedangkan untuk B adalah strategi B3.

10

Two-person, Zero-sum Game

Dua jenis persoalan two-person zero-sum game :

• Permainan yang posisi pilihan terbaiknya bagi setiappemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggalsehingga permainannya disebut permainan strategimurni (pure-strategy game).

• Permainan yang kedua pemainnya melakukanpencampuran terhadap strategi-strategi yangberbeda dengan maksud untuk mencapai posisipilihan terbaik atau permainan strategi campuran(mixed-strategy game).

11

Pure-strategy Game

• Pada pure-strategy game, pemain yang akanmemaksimumkan (pada contoh adalah pemain A)akan mengidentifikasi strategi optimumnya denganmenggunakan kriteria maksimum, sedangkan pemainyang akan meminimumkan (pemain B) akanmengidentifikasi strategi optimumnya denganmenggunakan kriteria minimaks.

• Jika nilai maksimin = nilai minimaks saddle point

12

CatatanJika tidak terjadi saddle point,

permainan tidak dapat diselesaikan dengan strategi

murni, dan harus diselesaikan dengan menggunakan strategi

campuran.

13

CONTOH 1:

Perusahaan

B1 B2

B

B3

Minimum baris

Perusahaan A A1 1 9 2 1

A2 8 5 4 4 maksimin

Maksimum kolom 8 9 4

minimaks

14

LANJUTAN CONTOH 1 (DILIHAT DARI KEPENTINGAN PEMAIN A)

• Jika A memilih strategi A1, maka B akan memilihstrategi B1, sehingga payoff untuk A adalah 1.

• Jika A memilih strategi A2, maka B memilih strategiB3 sehingga payoff untuk A adalah 4.

• Dengan demikian, jelas bahwa perusahaan A akanberada pada posisi pilihan terbaik jika ia melakukansuatu strategi tunggal, yaitu strategi A2.

15

LANJUTAN CONTOH 1 (DILIHAT DARI KEPENTINGAN PEMAIN B)

• Strategi B3 mendominasi strategi B2, sehinggaperusahaan B tidak akan pernan memilih B2,sehingga kolom B2 dapat dieliminasi dari matrikspayoff tanpa mempengaruhi nilai permainan.

• Jika strategi B1 dipilih, maka jelas perusahaan A akanmemilih A2, dan B akan kehilangan 8 unit. Jikastrategi B3 dipilih perusahaan A masihkan memilih A2, tetapi kerugian yang diderita Bhanya 4 unit.

• Dengan demikian, perusahaan B akan berada padaposisi pilihan terbaiknya jika ia melakukan suatustrategi tunggal, yaitu strategi B3.

16

Mixed Strategy Game

1

Pemain B

2 3

Minimum baris

1

Pemain A 2

3

0

5

2

-2 2

4 -3

3 -4

-2 «— maksimin

-3

-4

5 4 2

minimaksMaksimum kolom

17

►Nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks,sehingga permainan di atas tidak mempunyaisaddle point

Solusi Grafis dari Permainan (2xn) dan (mx2)

A

B

Y1 Y2 ……Yn

X1 A11 A12 ……A1n

X2=1-X1 A21 A22 ……A2n

18

Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:

Strategi murni B Ekspektasi payoff A

1

2

(A11 - A2l) X1 + A21

(A12 - A22) X1 + A22

.

.

.

n

.

.

.

(Ain - A2n) X1 + A2n

19

CONTOH 2:

B

1 2 3

A 1 0 -2 2

2 5 4 -3

20

Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:

Strategi murni B Ekspektasi payoff A

1

2

3

-5x1 + 5

-6x1 + 4

5x1 - 3

21

22

X1

Ekspektasi payyoff

X1

Maksimin ekspektasi payoff

• v = maks [min (5-5x1), (4-6x1), (-3+5x1)]

• v = maks [min (4 - 6x1), (-3 + 5x1)]

Titik potong dicari secara aljabar biasa:

4 - 6x1 = -3 + 5x1

11x1 = 7

x1* = 7/11

23

• karena X1* + X2* =1 maka X2* = 4/11

• V = v* = -3 + 5(7/11) = 2/11

• Padahal v* = v dan v* = Σ Σ aij.xi.yj

Sehingga:

y1*(5-5x1)+ y2*(4-6x1) + y3*(-3+5x1) = 2/11

2/11 y1* + 2/11 y2* + 2/11 y3* = 2/11

dengan y1* + y2* + y3* = 1…………………..(1)

24

• Dalam hal ini, persamaan Σaij xi yang tidak melewati titikmaksimin berkorespondensi dengan yj = 0 (supaya tidakmenaikkan expected payoff). Karena itu, yi* = 0 sehinggay2*+y3*=1 atau

• y3*= l - y2* masukkan pada persamaan (1), didapat:

• jika x1 = 0 4y2* - 3y3* = 2/11

x1 = 1 -2y2* + 2y3* = 2/11

Sehingga didapat : Y3* = 6/11

Y2* = 5/11

25

KESIMPULAN

• Dengan demikian, maka solusi optimum untuk kedua pemain adalah:

• Pemain A: (x1, X2) = (7/11, 4/11)

• Pemain B: (y1, y2, y3) =(0, 5/11, 6/11) dengan nilai game v* = 2/11

26

Solusi Permainan (m x n) dengan Programa Linier

A 1

2

3

1

B

2 3

3

-3

-4

-1

3

-3 .

- 3

- 1

3

27

Contoh :

Tentukan strategi optimum untuk masing-masingpemain!

JAWAB CONTOH 2

• Dari matriks payoff diketahui bahwa nilai maksiminadalah -3 sehingga nilai permainannya dapatberharga negatif atau nol.

• Karena itu, diperlukan suatu konstanta k yangharganya paling sedikit sama dengan nilai maksiminyang negatif itu.

• Konstanta k kemudian ditambahkan kepada seluruhelemen matriks. Misalnya digunakan k = 5, makamatriksnya menjadi:

28

A

1

2

3

1

B

2 3

8

2

1

4

8

2 .

2

4

8

29

• Formulasi programa linier untuk pemain B adalah:

• Maks. w = Y1 + Y2 + Y3s/t 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≤ 1

2Y1 + 8Y2 + 4Y3 ≤ 1Y1 + 2Y2 + 8Y3 ≤ 1

Y1, Y2, Y3 ≥ 0

30

Setelah formulasi di atas diselesaikan dengan metode simpleks, maka didapat tabel optimumnya sebagai berikut:

Basis

Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 Solusi

w 0 0 0 5/49 11/196 1/14 45/196

Y1 1 0 0 1/7 -1/14 0 1/14

Y2 0 1 0 -3/98 31/196 -1/14 11/196

Y3 0 0 1 -1/98 -3/98 1/7 5/49

31

sehingga diperoleh:

• v* = 1/w - k = 196/45 - 5 = -29/45

Y1* = Y1/w = (1/14)/(45/196) = 14/45Y2* = Y2/w = (11/196)/(45/196) = 11/45Y3* = Y3/w = (5/49)/(45/196) = 20/45,

32

KESIMPULAN

• Strategi optimum untuk pemain A diperoleh dari solusi dual persoalan di atas. Maka :

• Z = W = 45/196, X1 = 5/49, X2 = 11/196, X3= 1/14

• Sehingga :

• X1* = X1/Z=20/45

• X2* = X2/Z=11/45

• X3* = X3/Z=14/45

33

Disusun oleh :...

Documents

Transcript of Disusun oleh :...