Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial Statistika Industri 1 Semester Genap 2017/2018 Jurusan Teknik Industri - Universitas Brawijaya 11

Outline

Distribusi Gamma

Distribusi Eksponensial

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

2

Distribusi Gamma Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk

memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila

digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi

eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

3

Distribusi Gamma (1)

¡ Definisi 1 :

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang disebut luas dalam bidang matematika.

¡ Definisi 2 : Fungsi gamma didefinisikan oleh

Untuk α > 0

dengan e=2,71828

Fungsi gamma diintegralkan, bila α = n dengan n adalah bilangan bulat positif, maka Γ(n) = (n-1)!

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

4

Distribusi Gamma (2)

¡ Definisi 3 :

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

5

Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter α dan β , jika fungsi padatnya berbentuk:

Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada Gambar 1. Distribusi gamma yang khusus dengan α=1 disebut distribusi Eksponensial (Gambar 2).

11 0

0

xx e ; xf(x) ( )

; x yanglain

α βαβ α

−−

⎧⎪ >

= ⎨ Γ⎪⎩

0 0dengan danα β> >

Gambar 1. Distribusi Gamma Beberapa nilai parameter α dan β

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

6

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

f(x)

Distribusi Gamma

Gambar 2. Distribusi Eksponensial (Distribusi Gamma dengan α=1 ) Grafik distribusi gamma dengan α=1 dan beberapa nilai β

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

7

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

8 Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah

Nilai e = 2,718281

2 2danµ αβ σ αβ= =T

ab

el

Ga

mm

a

q Misalkan variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatubantalanpeluru(dalamribuanjam)yangdiberipembebanandinamikpadasuatuputarankerjatertentumengikutisuatudistribusigammadenganα=8danβ=15,makaprobabilitassebuahbantalanpelurudapatdigunakanselama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik padaputarankerjatersebutadalah:

q *karena contoh soal ini dipengaruhi parameter α dan β, makamenggunakan definisi ke-3, kita cari peluang ketahanan pembebananantara 60 ribu sampai 120 ribu jam, dan perhitungannya sesuai rumuspada definisi 3 dengan fungsi padat seperti di bawah ini:

( ) ( )120 60

15 15

(60 120) 120 60(120;8,15) (60;8,15)( ;8) ( ;8) (8;8) (4;8)

0,5470 0,0511 0,4959

G GG G G G

P X P X P X F F F F F F

≤ ≤ = ≤ − ≤= −= − = −= − =

q Beberapaukuranstatistikdeskriptifdistribusigammadiatasadalah:

Mean : ( ) (8)(15) 120x E Xµ αβ= = = = Varians : 2 2 2(8)(15 ) 1800 42,43x xσ αβ σ= = = → =

Contoh (1)

Lihat tabel

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

9

¡  Sebenarnya, rumus yang digunakan:

¡  Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F.

¡  Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).

¡  Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x.

⎪⎩

⎪⎨⎧ >

Γ=−−

lainnya

xexxfx

0

0)(

1),;(

/1 βαα αββα

dxex

dxex

XP

x

x

∫

∫

−

−−

Γ

=Γ

===≤

60

0

10/75

60

0

/1

)8(101

)(1

)10,8;60(

βαα αβ

βα

Contoh (1)

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

10

Contoh (2)

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

11

Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial à Keadaan khusus distribusi gamma

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

12

Distribusi Eksponensial (1)

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

13

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

14 Distribusi Eksponensial (2)

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

15 Distribusi Eksponensial (3)

Distribusi Eksponensial (4)

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

16

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

17 Distribusi Eksponensial (5)

Hubungan distribusi Poisson, Eksponensial, dan Gamma

Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian (atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial. Sedangkan waktu sampai terjadinya kejadian ke-α akan berdistribusi gamma.

Contoh (1)

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

18

Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu: a.  Berapa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan? b.  Berapa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut?

Solusi :

Distribusi eksponensial tidak memiliki memori, maka sebuah kecelakaan di bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya. Jadi:

a.  probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah P (31) = 1 – e (-31/44) = 0,506

b.  varians dari distribusi eksponensial adalah (442) = 1936

Contoh (2)

14/07/2014 Statistika Industri 1 - Genap 2017/2018

19