Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan...

11
Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected] 7.2

Transcript of Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan...

Page 1: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]

7.2

Page 2: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Outline

Pendahuluan

Pendekatan Binomial – Poisson

Distribusi Poisson

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

2

Page 3: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Kapan distribusi Poisson digunakan?

¡  Jika parameter n sangat besar (lebih dari 50) sedangkan p sangat kecil (kurang dari 0,1)

¡  Sulit menggunakan pendekatan binomial

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

3

Teorema : Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel ∞→n , nilai proporsi sukses 0→p , dan digunakan pendekatan

np=µ , maka nilai );(),;( µxppnxb → .

Page 4: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Pendekatan Binomial – Poisson (1) 4

Fungsi distribusi peluang binomial dapat ditulis:

Jika dilakukan transformasi p= µ/n, maka diperoleh:

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 5: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Pendekatan Binomial – Poisson (2) 5

Dari definisi bilangan natural e, diperoleh hubungan:

Dengan memperhatikan syarat limit, diperoleh:

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 6: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

6 Pendekatan Binomial – Poisson (3)

à Sulit Dilakukan!

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 7: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Distribusi Poisson bermanfaat dalam penentuan

probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/

volume tertentu. 7

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 8: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Distribusi Probabilitas Poisson (1)

dimana ¡  α = rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) à n.p

¡  e = bilangan logaritmik natural (e=2.71828...).

8

P(x) = αxe−α

x! untuk x = 1,2,3,...

( )!

);(xtetxpxt λ

λλ−

=

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Statistik deskriptif untuk distribusi Poisson

Rata-rata = μ= n.p Variansi = σ2= n.p

Page 9: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Distribusi Probabilitas Poisson (2) 9

11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Proses & syarat Poisson:

1.  Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.

2.  Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek (Δt ≈ 0) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut.

3.  Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.

Page 10: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

Distribusi Probabilitas Poisson (3)

Contoh:

¡  Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, tipe, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang, atau tiga orang karyawan?

¡  n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ;

¡  α = np = (200)(0.001) = 0.2 11/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

10

P e

P e

P e

P e

( ) .

!

( ) .

!

( ) .

!

( ) .

!

.

.

.

.

0 2

0

1 2

1

2 2

2

3 2

3

0 2

1 2

2 2

3 2

=

=

=

=

-

-

-

-

= 0.8187

= 0.1637

= 0.0164

= 0.0011

Penyelesaian

Page 11: Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson · Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses

e e adalah basis dari logaritma natural e adalah bilangan dimana gradien (kemiringan) dari fungsi f(x)=ex pada setiap titiknya sama dengan nilai (tinggi) fungsi tersebut pada titik yang sama. Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

11/07/2014

www.debrina.lecture.ub.ac.id

11