Dinamika Teknik T.Nas

228
DINAMIKA TEKNIK Pertemuan 1 1. Kontrak belajar 2. Pendahuluan TEKNIK MESIN STTNAS YOGYAKARTA 1

Transcript of Dinamika Teknik T.Nas

Page 1: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAHDINAMIKA TEKNIK

Pertemuan 1

1. Kontrak belajar2. Pendahuluan

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

1

Page 2: Dinamika Teknik T.Nas

Pertemuan 2

1. Dinamika Teknik2. Dimensi & Satuan3. Persamaan Gaya, Massa &

percepatan TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

2

Page 3: Dinamika Teknik T.Nas

SOAL PRE TEST

Apa yang dimaksud dengan dinamika teknik? Sebutkan aplikasi nya dalam teknik mesin.

Tuliskan dimensi & satuan dari massa (mass. m), bobot (weight. w), gaya (force. f), Energi (energy. E), Daya (power. P).

Keterangan:1 . Tulis nama, no. mhs dan jawaban pada

selembar kertas.2. Waktu 10 menit

3

Page 4: Dinamika Teknik T.Nas

APA YANG ANDA LIHAT…?

4

Page 5: Dinamika Teknik T.Nas

DINAMIKA TEKNIK

Konsep

Aplikasi

5

Page 6: Dinamika Teknik T.Nas

DIMENSI & SATUAN

6

Page 7: Dinamika Teknik T.Nas

1. Massa (mass), (m) = kg2. Bobot (Weight), (W)

m . g = kg . m/det2

= N (newton)pengaruh gravitasi (g)

3. Gaya (force), (F)m . a = kg . m/det2

= N (newton) pengaruh akselerasi / percepatan (a)

7

Page 8: Dinamika Teknik T.Nas

4. Energi (energy), (E)f . l = N . m

= JouleGaya x Jarak

5. Daya (power), (F)

= = watttime

Energi

ik

Joule

det

8

Page 9: Dinamika Teknik T.Nas

GAYA, MASSA & PERCEPATAN

Konsep : gayagaya diperlukan untuk mengubah keadaan

gerak suatu bendakeadaan gerak : diam (tidak bergerak),

bergerak dengan kecepatan konstan, bergerak dengan percepatan konstan

9

Page 10: Dinamika Teknik T.Nas

PERUBAHAN KEADAAN (STATE)

diam menjadi bergerak bergerak menjadi diam bergerak dengan kecepatan konstan tertentu

menjadi bergerak dengan kecepatan yang berbeda

hanya gaya yang menyebabkan perubahan kecepatan (perubahan kecepatan : besarnya, arahnya, atau dua-duanya)

10

Page 11: Dinamika Teknik T.Nas

kategori gaya

1. gaya sentuh (kontak):- mendorong,- menarik,- menendang,- memukul,- menahan,- gaya Normal,- gesekan, dsb

2. gaya non-kontak (field):- gaya gravitasi,- gaya listrik (gaya coulomb),- gaya magnet, dsb

11

Page 12: Dinamika Teknik T.Nas

BEBERAPA GAYA BEKERJA PADA SEBUAH BENDA

F1 sampai dengan F4 disebut gaya luar12

Page 13: Dinamika Teknik T.Nas

PENJUMLAHAN VEKTOR GAYA

1 2 3 4= = + + +∑R F F F F Fresultan

13

Page 14: Dinamika Teknik T.Nas

DUA KEMUNGKINAN HASIL

ΣF = 0 benda tetap pada keadaan geraknya

ΣF ≠ 0 benda berubah keadaan geraknya

14

Page 15: Dinamika Teknik T.Nas

SETIMBANG TRANSLASI

jika jumlah semua gaya luar = 0, maka benda berada dalam kesetimbangan translasi

0

0

x

y

F

F

=

=∑∑

2 2 1 1

1 1 2 2

0

0

cos cos

sin sin

F F

F F

θ θθ θ

− =+ =

15

Page 16: Dinamika Teknik T.Nas

MASSA

massa adalah sifat yang dimiliki oleh benda, menentukan seberapa sulitnya/sukarnya untuk mengubah kecepatannya

F m1m1

a1

F m2m2a2

1 2

2 1

m am a

=

16

Page 17: Dinamika Teknik T.Nas

dengan gaya yang sama, jika massa benda lebih besar, percepatan semakin kecil

percepatan berbanding terbalik dengan massa

17

Page 18: Dinamika Teknik T.Nas

MASSA DAN BOBOT (BERAT)

massa tidak dipengaruhi oleh lingkungan di sekitar objek

massa adalah besaran skalar berat merupakan gaya tarik gravitasi yang

besarnya bergantung pada lokasi/lingkungan berat adalah besaran vektor

18

Page 19: Dinamika Teknik T.Nas

PERCEPATAN DAN GAYA

F mma

2F2a

3F3a

mm

mm

19

Page 20: Dinamika Teknik T.Nas

PERCEPATAN DAN GAYA ...

untuk massa yang sama, semakin besar gaya yang diberikan, percepatan benda semakin besar

percepatan berbanding lurus dengan gaya

20

Page 21: Dinamika Teknik T.Nas

CONTOH SOAL:

Percepatan gravitasi di bulan adalah seperenam kali percepatan gravitasi di bumi. Percepatan gravitasi di bumi 10 N/kg, seorang altet angkat besi mampu mengangkat beban yang massanya 180 kg. Berapa massa beban yang mampu diangkat jika dilakukan di bulan ?

21

Page 22: Dinamika Teknik T.Nas

LATIHAN SOAL Contoh Soal: Percepatan gravitasi di bulan adalah seperenam kali percepatan gravitasi di bumi.

Percepatan gravitasi di bumi 10 N/kg, seorang altet angkat besi mampu mengangkat beban yang massanya 180 kg. Berapa massa beban yang mampu diangkat jika dilakukan di bulan ?

Penyelesaian:

Diketahui    :  g  = 10 N/kg                      g’ = 1/6 x 10 N/kg                        m = 180 kg

Ditanyakan :   m’  = …… ?

Jawab         :   Berat beban di bumi

                        w = m . g                        w = 180 kg . 10 N/kg                        w = 1800 N

Berat beban yang mampu diangkat di bulan sama dengan di bumi yaitu 1800 N w’ = w

m’.g’ = 1800 Nm’.10/6 N/kg’ = 1800 Nm’ = 1800 N x 6/10 kg/Nm’ = 1080 kg

Jadi beban yang mampu diangkat di bulan adalah 1080 kg. 22

Page 23: Dinamika Teknik T.Nas

Latihan Soal (pre test & post test)Apakah yang dimaksud dengan dinamika

teknik? Sebutkan aplikasi nya dalam teknik mesin.

Tuliskan dimensi & satuan dari massa (mass. m), bobot (weight. w), gaya (force. f), Energi (energy. E), Daya (power. P).

Rangkumlah tentang materi persamaan yang telah di uraikan?

Tugas PaperBuatlah paper tentang Kaidah Hukum Newton & d’ Alembert (di kumpul hari rabu, via email: [email protected] )

23

Page 24: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

1. Hukum newton

Pertemuan 3

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

24

Page 25: Dinamika Teknik T.Nas

Newton’s Laws of MotionNewton’s Laws of Motion� First Law First Law - - A body remains in its state of motion unless acted A body remains in its state of motion unless acted

upon by an outside forceupon by an outside force

Partikel akan tetap diam atau terus bergerak lurus beraturan dengan kecapatan tetap bila bila resultan gaya yang bekerja pada partikel adalah nol ( ΣF = 0 )

� Second Law Second Law - - A body acted upon by an external force will A body acted upon by an external force will change its momentum in the direction of the force such that the greater change its momentum in the direction of the force such that the greater the force the greater the change in momentum (F= ma).the force the greater the change in momentum (F= ma).

Percepatan partikel berbanding lurus dengan gaya yang bekerja padanya dan searah dengan gaya tersebut

� Third Law Third Law - - Forces always occur in pairs, i.e. for every action Forces always occur in pairs, i.e. for every action there is an equal and opposite reactionthere is an equal and opposite reactionGaya aksi dan reaksi antara benda-benda yang saling mempengaruhi adalah sama besar, berlawanan arah dan segaris (Faksi = Freaksi)

25

Page 26: Dinamika Teknik T.Nas

11STST LAW OF MOTION LAW OF MOTION (LAW OF INERTIA) (LAW OF INERTIA)

An object at rest will stay at rest, and an object in motion will stay in motion at constant velocity, unless acted upon by an unbalanced force.

26

Page 27: Dinamika Teknik T.Nas

2ND LAW

27

Page 28: Dinamika Teknik T.Nas

KESETIMBANGAN GAYA PADA PARTIKEL Ditinjau sebuah benda bermassa m yang dikenai

gaya sebesar F. Dengan menganggap gaya-gaya luar yang lain tidak ada, maka benda tersebut akan bergerak dengan percepatan yang tertentu. Dari hukum II Newton akan di dapatkan hukum kesetimbangan gaya.

F = m.a Formula di atas, m.a dapat diterjemahkan

sebagai gaya reaksi dari gaya-gaya yang mempengaruhi. Formula di atas dapat juga dituliskan sebagai:

F – m.a = 0 Dengan kata lain jumlah gaya-gaya yang bekerja

pada suatu benda adalah nol.28

Page 29: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh 1. Sebuah benda diluncurkan pada sebuah papan yang dimiringkan dengan sudut

30°. Jika gesekan diabaikan, tentukan besar percepatan benda tersebut.

Gaya-gaya yang bekerja searah bidang miring: Proyeksi gaya berat: w sinα Gaya akibat gerakan benda: m.a

Sehingga berlaku hukum kesetimbangan gaya pada arah bidang miring:w sinα - m.a = 0m.g sin 30° - m. a = 0Percepatan benda dapat dicari dengan:a = g sin 30°a = 9,8 m/det2 x 0,5a = 4,9 m/det2

29

Page 30: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh 2. Dua buah beban A dan B masing-masing mempunyai

massa 1 kg dan 2 kg dihubungkan melalui sebuah katrol dengan sebuah tali. Jika massa katrol dan tali serta gesekkan diabaikan, hitung percepatan dan arah gerakan kedua beban tersebut.

30

Page 31: Dinamika Teknik T.Nas

Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Hukum Newton yang anda

ketahui? Dan uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin.

Jelas kan tentang kaidah d’ Alembert yang anda ketahui? Dan uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin.

Latihan soal. Tugas Paper

Buatlah paper tentang Gaya satis & dinamis (di kumpul hari rabu, via email: [email protected] ) 31

Page 32: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Konsep & analisa

Gaya statis & dinamis

Pertemuan 4

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

32

Page 33: Dinamika Teknik T.Nas

Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Gaya statis & Gaya dinamis ?

Dan uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin. Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang kinetika partikel (di

kumpul hari rabu, via email: [email protected] )

33

Page 34: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Kinetika Partikel

Pertemuan 5

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

34

Page 35: Dinamika Teknik T.Nas

Force & Acceleration Work & Energy Impuls & Momentum

35

Page 36: Dinamika Teknik T.Nas

Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Kinetika Partikel? Dan

uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin.Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang kinetika partikel (di

kumpul hari rabu, via email: [email protected] )

36

Page 37: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Kerja & energi

Pertemuan 6

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

37

Page 38: Dinamika Teknik T.Nas

PENGERTIAN ENERGI

38

Page 39: Dinamika Teknik T.Nas

SIFAT – SIFAT ENERGI

39

Page 40: Dinamika Teknik T.Nas

40

Page 41: Dinamika Teknik T.Nas

41

Page 42: Dinamika Teknik T.Nas

MACAM & JENIS ENERGI

42

Page 43: Dinamika Teknik T.Nas

43

Page 44: Dinamika Teknik T.Nas

HUKUM KEKEKALAN ENERGI

44

Page 45: Dinamika Teknik T.Nas

45

Page 46: Dinamika Teknik T.Nas

DAYA

46

Page 47: Dinamika Teknik T.Nas

47

Page 48: Dinamika Teknik T.Nas

Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Kerja & energi? Dan uraikan

aplikasi nya dalam teknik mesin.Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang Impuls & momentum (di

kumpul hari rabu, via email: [email protected] )

48

Page 49: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Impuls & momentum

Pertemuan 7

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

49

Page 50: Dinamika Teknik T.Nas

50

Page 51: Dinamika Teknik T.Nas

51

Page 52: Dinamika Teknik T.Nas

HUBUNGAN IMPULS DAN MOMENTUM

Besar gaya yang bekerja pada benda selama terjadi tumbukan dapat dilukiskan dengan grafik hubungan antara F dengan t, dengan asumsi bahwa arah gaya adalah tetap.

52

Page 53: Dinamika Teknik T.Nas

. Sebuah partikel bermassa m yang bergerak dengan kecepatan v

memiliki momentum linear p yang merupakan perkalian antara kecepatan partikel itu dengan massanya

p = mv.

F = ma.

Menurut hukum Newton II resultan gaya yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus dengan percepatan

dt

dp

dt

mvdF == )(

dp=Fdt

Jia masing-masing diintegralkan maka diperoleh:

m v

53

Page 54: Dinamika Teknik T.Nas

∫∫ ==−2

1

2

1

.21

t

t

p

p

dtFdppp

Kelestarian Momentum Linear

Jika gaya eksternal resultan yang bekerja pada sistem sama dengan nol, maka vektor momentum total sistem tetap konstan

0=dt

dp

Untuk sistem partikel

pppp n =+++ ........21

54

Page 55: Dinamika Teknik T.Nas

BEBERAPA PENGGUNAN PRINSIP MOMENTUM

Dua buah balok A dan B yang bermassa mA dan mB, yang dihubungkan oleh sebuah pegas dan terletak di atas meja horisontal tanpa gesekan. Pegas kita regangkan dengan menarik kedua balok kesamping seperti pada gambar

55

Page 56: Dinamika Teknik T.Nas

Balok yang satu bermomentum positif ( A bergerak dalam arah +x) dan balok yang lain bemomentum negative (B bergerak dalam arah –x) dari hokum kekekalan momentum

kita peroleh:

Momentum awal = momentum akhir

AABB vmvm +=0

AABB vmvm −=Atau

BA

BA v

m

mv −=

56

Page 57: Dinamika Teknik T.Nas

TUMBUKAN

sebelum selama setelah

1. Tumbukan Lenting sempurna

JENIS-JENIS TUMBUKAN

Suatu tumbukan dikatakan lenting sempurna bila jumlahan tenaga kinetik benda-benda yang bertumbukan baik sebelum dan sesudah

sumbukan sama.(Hukum kelestarian energi kinetic)57

Page 58: Dinamika Teknik T.Nas

sebelum sesudah

m1

m1m2 m2

v2

v’2

v’1

v1

Gambar 6.4. Tumbukan dua benda

momentun awal total : paw = m1v1 + m2v2

tenaga kinetik awal total : Ekaw = m1v12 + m2v2

2.

momentum total kedua benda itu setelah tumbukan adalah

pak = m1v’1 + m2v’2

tenaga kinetik total setelah tumbukan adalah Ekak = m1v’12 + m2v2’

2.58

Page 59: Dinamika Teknik T.Nas

paw = pak m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2

Ekaw = Ekak m1v1

2 + m2v22 = m1v’1

2 + m2v2’ 2

m1(v1 − v’1) = m2(v’2 − v2),

m1v12 − m1v’1

2 = m2v2’ 2 − m2v2

2

Atau

m1 (v1 − v’1)( v1 + v’1) = m2(v’2 − v2) (v’2 + v2)

Atau

Dari dua persamaan dalam kotak merah diperoleh

v1 + v’1 = v’2 + v2 atau 1''

12

12 −=−−vv

vv

Secara umum perbandingan evv

vv =−−−

12

12 ''

59

Page 60: Dinamika Teknik T.Nas

2. Tumbukan Lenting sebagian

Setelah tumbukan ada sebagian energi mekanik yang berubah menjadi energi panas, bunyi atau energi yang lain. Sehingga setelah tumbukan ada energi yang dibebaskan. Hukum kelestarian energi mekanik tidak berlaku. Pada tumbukan ini dicirikan harga

elastisitasnya adalah 0<e<1

3. Tumbukan Tidak Lenting sama sekali

Setelah tumbukan kedua benda melekat menjadi satu dan bergerak dengan kecepatan yang sama setelah tumbukan kedua benda menyatu . Harga e=0

60

Page 61: Dinamika Teknik T.Nas

BANDUL-BALISTIK

61

Page 62: Dinamika Teknik T.Nas

Jika massa peluru adalah m dan massa bandul adalah M, dengan kelestarian momentum diperoleh

')( vMmmv +=energi sistem akan berubah menjadi energi potensial peluru bersama bandul hingga sampai pada puncak ayunan peluru-bandul

ghMmvMm )(')(2

1 2 +=+ Atau ghv 2'=

Jika persamaan dalam kotak kuning digabung diperoleh :

ghm

Mmv 2

+=62

Page 63: Dinamika Teknik T.Nas

TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI

63

Page 64: Dinamika Teknik T.Nas

Klesterian momentum untuk masing-masing arah

ϕθ .cos.cos 2211 vmvmvm om +=Arah sumbu x :

Arah sumbu y : ϕθ sinsin0 2211 vmvm −=

222

211

21 2

1

2

1

2

1vmvmvm o +=Jika tumbukan bersifat elastis

Tetapi jika tumbukan inelastis io Evmvmvm ++= 2

22211

21 2

1

2

1

2

1

Bola billiard dengan kecepatan 30 m/s menumbuk bola biliard II yang diam dan bermassa sama. Setelah tumbukan, bola I bergerak menyimpang 30o dari arah semula. Carilah kecepatan masing-masing bola dan arah gerak bola II. (tumbukan dianggap elastis)

64

Page 65: Dinamika Teknik T.Nas

Sebuah balok bermassa m1 = 2,0 kg bergerak sepanjang permukaan meja yang sangat licin dengan laju 10 m/dt. Di depan balok pertama itu ada sebuah balok bermassa m2 = 5,0 kg

bergerak dengan laju 3,0 m/dt searah dengan balok pertama. Sebuah pegas dengan tetapan k = 1120 N/m ditempelkan pada balok kedua sebagaimana diperlihatkan pada gambar

Berapa jauhkah pegas itu termampatkan pada saat terjadi tumbukan?

10 m/dt

m1 m2

3,0 m/dt

Kunci = 0,25 m 65

Page 66: Dinamika Teknik T.Nas

TENAGA PENDORONG ROKET

Momentum awal roket P1=mv Pada saat t+dt kecepatan roket bertambah

v+dv.Misal µ massa yang menyembur per satuan waktu. Massa roket tinggal m- µdt, massa bahan bakar yang dilepaskan µdt.

Jika vr kecepatan roket relatif terhadap bahan bakar yang menyembur.v’=v-vrMomentum akhirnya adalah (m- µdt)(v+dv)Momentum bahan bakar yang tersembu adalah v’

µdt66

Page 67: Dinamika Teknik T.Nas

Maka berlaku :

-mgdt=((m- µdt)(v+dv)+v’ µdt)-mv

Jika m sangant besar maka µdtdv dapat diabaikan

Maka: mdv=vr µdt-mgdt\

dm=- µdt, sehingga diperoleh:

Dengan mengintegrasikan diperoleh:

v=-vrlnm-gt+C

Jika modan vo massa dan kec saat t=0 maka

vo=-vrlnmo+C

Dan v=vo-gt+vrln(mo/m)

gdtm

dmvdv r −−=

67

Page 68: Dinamika Teknik T.Nas

KASUS NEUTRINO

Jika dua benda terbang terpisah dg kecepatan v1 dan v2 maka energi kinetiknya juga terpisah :

Q=K1 + K2 =1/2 m12 +1/2 m2

2

Momentum kedua partikel harus sama dengan nol sehingga:

m1v1 = -m2v2

Jika kedua persamaan dikuadratkan dan di bagi dua maka diperoleh:

68

Page 69: Dinamika Teknik T.Nas

1/2M12V1

2=1/2M22V2

2

M1K1=M2K2

JIKA PERSAMAAN INI DIKOMBINASIKAN DENGAN PERSAMAAN DI ATAS DIPEROLEH:

QK mmm

21

2

1 += QK mmm

21

1

2 += 69

Page 70: Dinamika Teknik T.Nas

Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan Impuls & momentum? Dan uraikan aplikasi

nya dalam teknik mesin.Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang Rankuman materi dari

perteuan 1 - 7 (di kumpul hari rabu, via email: [email protected])

70

Page 71: Dinamika Teknik T.Nas

MOMENTUM LINEARDANTUMBUKAN

71

Page 72: Dinamika Teknik T.Nas

vp m≡(9-1)

xx mvp =

yy mvp =

zz mvp =

(9-2)

Hukum Newton II :dt

dpF = (9-3)

Laju perubahan momentum

Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak adagaya yang bekerja pada benda tersebut ?

dtd Fp =(9-4) Impuls

MOMENTUM LINEAR :

∫=−=∆ f

i

t

tif dtFppp(9-5)

72

Page 73: Dinamika Teknik T.Nas

IMPULS :

pFI ∆=≡ ∫ f

i

t

tdt(9-6)

Impuls suatu gaya F sama denganperubahan momentum benda.

Teorema Impuls-MomentumF

tti tf

∫∆≡ f

i

t

tdt

tFF

1(9-7)

Gaya rata-rata :

Untuk F konstan :

t∆=∆= FpI (9-9)

t∆=∆= FpI (9-8)

73

Page 74: Dinamika Teknik T.Nas

KEKEKALAN MOMENTUM LINIERUNTUK SISTEM DUA PARTIKEL

m1

p1 = m1v1

m2 p2 = m2v2

p1

p2

F21

F12

dtd 1

12

pF =

dt

d 221

pF =

02112 =+ FF

2112 FF −=Hukum Newton III

021 =+dtd

dtd pp 0)( 21 =+ pp

dtd

konstan21 =+= ppP (9-10)

fxix PP = fyiy PP = fziz PP =

21 ppP +=

Momentum partikel di dalam suatu sistem tertutup selalu tetap

Hukum kekekalan momentum

ffii mmmm 22112211 vvvv +=+ (9-11)

(9-12)ffii 2121 pppp +=+ 74

Page 75: Dinamika Teknik T.Nas

TUMBUKAN

+

++

F12

F21

p

He4

F12 F21

m1 m2

Interaksi antar partikel yang berlangsung dalam selang waktu yang sangat singkat Gaya impulsiv

Diasumsikan jauh lebih besar dari gaya luar yang ada Kontak langsung

Proses hamburan

F

t

F12

F21

∫=∆ 2

1 212tt dtFp

dt

dpF = (9-3)

∫=∆ 2

1 121tt dtFp

2112 FF −=Hukum Newton III

21 pp ∆−=∆

021 =∆+∆ pp

0)( 21 =+∆ pp konstan21 =+= ppP

Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan

Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan75

Page 76: Dinamika Teknik T.Nas

KLASIFIKASI TUMBUKAN

Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum dan kekekalan energi

Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)

Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu

v1iv2i

m1m2

Sebelum tumbukan

vf

m1 + m2

Setelah tumbukan

Hukum kekekalan momentum :

Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi

fii vmmvmvm )( 212211 +=+ (9-13)

21

2211

mmvmvm

v iif +

+= (9-14) 76

Page 77: Dinamika Teknik T.Nas

UNTUK TUMBUKAN LENTING SEMPURNA DALAM SATU DIMENSI

v1iv2i

m1m2

Sebelum tumbukan

v1f

m1

Setelah tumbukan

m2

v2f

Hukum kekekalan momentum :

ffii vmvmvmvm 22112211 +=+ (9-15)2222

12112

12222

12112

1ffii vmvmvmvm +=+ (9-16)

)()( 22

222

21

211 iffi vvmvvm −=−

))(())(( 2222211111 ififfifi vvvvmvvvvm +−=+− (9-17)

)()( 222111 iffi vvmvvm −=− (9-18)

iffi vvvv 2211 +=+

)( 2121 ffii vvvv −−=− (9-19)

+−+

+

=21

121

21

12

2mmmm

vmmm

v if (9-21)

+

+

+−=

21

21

21

211

2mmm

vmmmm

v if (9-20)

77

Page 78: Dinamika Teknik T.Nas

TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI

v1i

m1

m2

Sebelum tumbukan Setelah tumbukan

v1f

v2f

m1

m2

θφ

v1f sin θ

v1f cos θ

v2f cos φ

-v2f sin φ

Komponen ke arah x : φθ coscos 221111 ffi vmvmvm += (9-24a)

φθ sinsin0 2211 ff vmvm −= (9-24b)

Jika tumbukan lenting sempurna : 2222

12112

12112

1ffi vmvmvm += (9-24a)

78

Page 79: Dinamika Teknik T.Nas

PUSAT MASSA SISTEM PARTIKEL

PM x

79

Page 80: Dinamika Teknik T.Nas

m1

m

2

y1

y2

Y

X

yc

21

2211

mm

ymymyc +

+≡

Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?

n

nnc mmm

ymymymy

+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≡

21

2211

Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?

∑=

=

=n

ii

n

iii

m

ym

1

1

M

ymn

iii∑

= =1

80

Page 81: Dinamika Teknik T.Nas

M

ymy

n

iii

c

∑= =1

M

xmx

n

iii

c

∑= =1

M

zmz

n

iii

c

∑= =1

kjir ˆˆˆcccc zyx ++=

M

zmymxm iiiiiic

kjir

ˆˆˆ ∑+∑+∑=

M

zyxm iiiic

)ˆˆˆ( kjir

++∑=

M

m iic

∑= rr kjir ˆˆˆ

iiii zyx ++=

Bagaimana untuk benda pejal (sistem partikel kontinyu) ?

81

Page 82: Dinamika Teknik T.Nas

Y

X

Z

∆m

i

ri

rc

PM

M

miic

∑ ∆≈ rr

M

mii

mc

i

∑ ∆=→∆

rr

0lim

∫= dmMc rr1

∫= xdmM

xc1

∫= ydmM

yc1

∫= zdmM

zc1

82

Page 83: Dinamika Teknik T.Nas

GERAK SISTEM PARTIKEL

∑=dt

dm

Mi

ir1

M

m ii∑= vdt

d cc

rv =Kecepatan :

∑= p = P∑= iic mM vvMomentum :

Percepatan :dt

d cc

va = ∑=

dt

dm

Mi

iv1

∑= iimMa

1

∑= iic mM aa ∑= iFdt

dP=

0=∑ iF 0=dt

dP konstan== cMvP

83

Page 84: Dinamika Teknik T.Nas

84

Page 85: Dinamika Teknik T.Nas

v

M+∆m

vp )( mMi ∆+=

M

v+∆v

∆m

ve

Kecepatan bahan bakar relatip terhadap roket

v - ve

)()()( emMmM vvvvv −∆+∆+=∆+

mM e∆=∆ vv

Untuk interval waktu yang sangat pendek :

dmvMdv e=

dMdm −=

Massa bahan bakaryang terbakar

Pengurangan massa roketdMMd evv −=

∫ ∫−=f

i

f

i

M

Me M

dMd

v

vvv

=−

f

ieif M

Mlnvvv

85

Page 86: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Impact(tumbukan)

Pertemuan 10

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

86

Page 87: Dinamika Teknik T.Nas

Impact = a collision between two bodies which occurs in a verry small interval of time, and during which the two bodies exert on each other relatively large force

Tubrukan (tumbukan) diantara 2 benda yang terjadi pada interval waktu yang sangat kecil dan selama dua benda saling mendesak satu sama lain dengan gaya yang relative besar

87

Page 88: Dinamika Teknik T.Nas

88

Page 89: Dinamika Teknik T.Nas

89PADA BENDA BERGERAK, DIDESKRIPSIKAN DENGAN BESARAN-BESARAN YANG TELAH DIPELAJARI ANTARA LAIN

Posisi Jarak Kecepatan Percepatan Waktu tempuh Energi kinetik Perpindahan Laju Gaya total

Ada yang merupakan besaran vektor ada yang merupakan besaran skalar

Page 90: Dinamika Teknik T.Nas

90

BESARAN YANG MERUPAKAN UKURAN MUDAH ATAU SUKARNYA SUATU BENDA MENGUBAH KEADAAN GERAKNYA (MENGUBAH KECEPATANNYA, DIPERLAMBAT ATAU DIPERCEPAT) MOMENTUM

Definisi momentum :Hasil kali massa dan kecepatan

p= vmr r

Momentum besaran vektor , satuannya kg.m/s

Page 91: Dinamika Teknik T.Nas

91

CONTOH SOAL :

Berapa besar momentum burung 22 g yang terbang dengan laju 8,1 m/s?

Gerbong kereta api 12.500 kg berjalan sendiri di atas rel yang tidak mempunyai gesekan dengan laju konstan 18,0 m/s. Berapa momentumnya?

Jika suatu peluru memiliki massa 21,0 g ditembakkan dan memiliki laju 210 m/s, berapa momentumnya?

Page 92: Dinamika Teknik T.Nas

92

LAJU PERUBAHAN MOMENTUM SEBUAH BENDA SAMA DENGAN GAYA TOTAL YANG DIBERIKAN PADANYA

pF

t

∆Σ =∆

rr

( )00v vv v

Fmm m

t t

−−Σ = =∆ ∆

r rr rr

vam m

t

∆= =∆

rr

Hk. Newton II

Page 93: Dinamika Teknik T.Nas

93

CONTOH

Air keluar dari selang dengan debit 1,5 kg/s dan laju 20 m/s, dan diarahkan pada sisi mobil, yang menghentikan gerak majunya, (yaitu, kita abaikan percikan ke belakang.) Berapa gaya yang diberikan air pada mobil?

Mencuci mobil: perubahan momentum dan gaya.

Page 94: Dinamika Teknik T.Nas

94

PENYELESAIAN

Kita ambil arah x positif ke kanan. Pada setiap sekon, air dengan momentum px = mvx = (1,5 kg)(20 m/s) = 30 kg.m/s berhenti pada saat mengenai mobil. Besar gaya (dianggap konstan) yang harus diberikan mobil untuk merubah momentum air sejumlah ini adalah

akhir awal 0 30 kg.m/s30 N

1,0 s

p ppF

t t

−∆ −= = = = −∆ ∆

Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pada air berlawanan arah dengan kecepatan asal air. Mobil memberikan gaya sebesar 30 N ke kiri untuk menghentikan air, sehingga dari hukum Newton ketiga, air memberikan gaya sebesar 30 N pada mobil.

Page 95: Dinamika Teknik T.Nas

95KEKEKALAN MOMENTUM , TUMBUKANMomentum total dari suatu sistem benda-benda yang terisolasi adalah konstan

Sistem sekumpulan benda yang berinteraksi satu sama lain

Sistem terisolasi

suatu sistem di mana gaya yang ada hanyalah gaya-gaya di antara benda-benda pada sistem itu sendiri

Page 96: Dinamika Teknik T.Nas

96JENIS TUMBUKAN (BERDASAR KEKAL-TIDAKNYA ENERGI KINETIK SELAMA PROSES TUMBUKAN)

Lenting (tenaga kinetik kekal)

Tidak Lenting (energi kinetik total setelah tumbukan selalu lebih kecil

dari tenaga kinetik total sebelum tumbukan)

Page 97: Dinamika Teknik T.Nas

97

Page 98: Dinamika Teknik T.Nas

98

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1' '

2 2 2 2m v m v m v m v+ = +

•Momentum kekal•Energi kinetik kekal

Tumbukan Lenting :

Page 99: Dinamika Teknik T.Nas

99

CONTOH Bola bilyar dengan massa m yang bergerak dengan laju v bertumbukan dari depan dengan bola kedua yang massanya sama dan sedang dalam keadaan diam (v2 = 0). Berapa laju kedua bola setelah tumbukan, dengan menganggap tumbukan tersebut lenting?Penyelesaian Penyelesaian Hk Kekekalan Hk Kekekalan

Momentum :Momentum : 1 2

1 2

1 2

0 ' '

' '

' '

mv mv mv

v v v

v v v

+ = +⇒ = +⇒ − =Hk Kekekalan Energi Hk Kekekalan Energi

Kinetik:Kinetik: 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 21 2

1 1 10 ' ' ' '

2 2 2

' '

mv mv mv v v v

v v v

+ = + ⇒ = +

⇒ − =

(1)

(2)

Page 100: Dinamika Teknik T.Nas

100

PERSAMAAN (2) DAPAT DITULIS : ( ) ( ) 2

1 1 2' ' 'v v v v v− × + =

Gunakan Persamaan (1)Gunakan Persamaan (1) : : ( ) 22 1 2' ' 'v v v v× + =

Diperoleh :Diperoleh : 1 2' 'v v v+ = (3)

Persamaan (1) = Persamaan (3)Persamaan (1) = Persamaan (3)1 1

1

1

' '

2 ' 0

' 0

v v v v

v

v

− = +⇒ × =⇒ =

Kemudian dari persamaan (1) (atau (3)) Kemudian dari persamaan (1) (atau (3)) diperolehdiperoleh

2'v v=Bola 1 diberhentikan oleh tumbukan, sementara bola 2

mendapat kecepatan awal bola 1.

Page 101: Dinamika Teknik T.Nas

101

TUMBUKAN TIDAK LENTING• Momentum kekal• Energi kinetik total setelah tumbukan lebih

kecil dari energi kinetik total sebelum

tumbukan

•Tumbukan tidak lenting sama sekali : kecepatan kedua benda setelah tumbukan sama•Tumbukan tidak lenting

Page 102: Dinamika Teknik T.Nas

102

CONTOHSebuah gerbong kereta 10.000 kg yang Sebuah gerbong kereta 10.000 kg yang berjalan dengan laju 24,0 m/s menabrak berjalan dengan laju 24,0 m/s menabrak gerbong lain yang sejenis yang sedang gerbong lain yang sejenis yang sedang dalam keadaan diam. Jika kedua gerbong dalam keadaan diam. Jika kedua gerbong tersebut tersambung sebagai akibat dari tersebut tersambung sebagai akibat dari tumbukan, berapa kecepatan bersama tumbukan, berapa kecepatan bersama mereka? mereka?

hitung berapa besar energi kinetik awal hitung berapa besar energi kinetik awal yang diubah menjadi energi panas atau yang diubah menjadi energi panas atau bentuk energi lainnya !bentuk energi lainnya !

Page 103: Dinamika Teknik T.Nas

103

Sebelum tumbukan

Sesudah tumbukan

Page 104: Dinamika Teknik T.Nas

104

PENYELESAIANMomentum total sistem sebelum tumbukan

1 1 1 2 2

5

(10.000 kg)(24,0 m/s)+(10.000 kg)(0 m/s)

2,40 10 kg m/s

p m v m v= +=

= × ×

Kedua gerbong menyatu dan bergerak Kedua gerbong menyatu dan bergerak dengan kecepatan yang sama, misal dengan kecepatan yang sama, misal vv. . Momentum total sistem setelah tumbukanMomentum total sistem setelah tumbukan

52 1 2 1( ) 2,40 10 kg m/sp m m v p= + × = = × ×

Selesaikan untuk Selesaikan untuk v, ketemu V = 12 m/sv, ketemu V = 12 m/s

Page 105: Dinamika Teknik T.Nas

105ENERGI KINETIK AWAL :

( ) 221 1 1

6

1 10 (10.000 kg) 24,0 m/s

2 2

2,88 10 J

EK m v= + = ×

= ×Energi kinetik setelah Energi kinetik setelah tumbukan :tumbukan :

( ) ( ) ( ) 222 1 2

6

1 120.000 kg 12,0 m/s

2 2

1,44 10 J

EK m m v= + × =

= ×

Energi yang diubah menjadi bentuk lain :Energi yang diubah menjadi bentuk lain :

6 6 62,88 10 J 1,44 10 J 1,44 10 J× − × = ×

Page 106: Dinamika Teknik T.Nas

106

Page 107: Dinamika Teknik T.Nas

107

Page 108: Dinamika Teknik T.Nas

108

Page 109: Dinamika Teknik T.Nas

109

TUMBUKAN DAN IMPULS

Ketika terjadi tumbukan, gaya biasanya melonjak dari nol pada saat kontak menjadi nilai yang sangat besar dalam waktu yang sangat singkat, dan kemudian dengan drastis kembali ke nol lagi. Grafik besar gaya yang diberikan satu benda pada yang lainnya pada saat tumbukan, sebagai fungsi waktu, kira-kira sama dengan yang ditunjukkan oleh kurva pada gambar. Selang waktu Δt biasanya cukup nyata dan sangat singkat.

0 Waktu, t

Gay

a, F

Page 110: Dinamika Teknik T.Nas

110

pF

t

∆=∆

kedua ruas dikalikan dengan Δt

F

Impuls perubahan momentum

t p×∆ = ∆⇒ =

Gaya rata-rata F yang bekerja selama selang waktu Δt menghasilkan impuls yang sama (F Δt) dengan gaya yang sebenarnya.

Page 111: Dinamika Teknik T.Nas

111

TUMBUKAN PADA DUA ATAU TIGA DIMENSI

Kekekalan momentum dan energi juga bisa diterapkan pada tumbukan dua atau tiga dimensi, dan sifat vektor momentum sangat penting. Satu tipe umum dari tumbukan yang tidak berhadapan adalah di mana sebuah partikel yang bergerak (disebut proyektil) menabrak partikel kedua yang diam (partikel "target"). Ini merupakan situasi umum pada permainan seperti bilyar, dan untuk eksperimen pada fisika atom dan nuklir (proyektil, dari pancaran radioaktif atau akselerator energi-tinggi, menabrak inti target yang stasioner).

y

x

m1

m1

m2

m2

p1

p’1

p’2

θ’1

θ’2

Page 112: Dinamika Teknik T.Nas

112

KEKEKALAN MOMENTUM PADA TUMBUKAN 2 DIMENSI

Pada arah sumbu-x:Pada arah sumbu-x:

( ) ( )1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 2

' '

' cos ' '2cos 'x x x xp p p p

m v m v m vθ θ+ = +

⇒ = +

Karena pada awalnya tidak ada gerak pada arah Karena pada awalnya tidak ada gerak pada arah sumbu-y, komponen-y dari momentum adalah sumbu-y, komponen-y dari momentum adalah nolnol

( ) ( )1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

' '

0 ' sin ' ' sin '

y y y yp p p p

m v m vθ θ

+ = +

⇒ = +

Page 113: Dinamika Teknik T.Nas

113

CONTOHTumbukan bola bilyar pada 2-dimensi. Sebuah bola bilyar yang bergerak dengan laju v1 = 3,0 m/s pada arah +x (lihat gambar) menabrak bola lain dengan massa sama yang dalam keadaan diam. Kedua bola terlihat berpencar dengan sudut 45° terhadap sumbu x (bola 1 ke atas dan bola 2 ke bawah). Yaitu, θ '1 = 45° dan θ '2 = -45°. Berapa laju bola-bola tersebut (laju keduanya sama) ?

y

x

m1

m1

m2

m2

p1

p’1

p’2

θ’1

θ’2

Page 114: Dinamika Teknik T.Nas

114

PENYELESAIAN

Sumbu-x : ( ) ( )1 1 2' cos 45 ' cos 45mv mv mv= +o o

Sumbu-Sumbu-y :y :

( ) ( )1 20 ' sin 45 ' sin 45mv mv= + −o o

m m saling menghilangkan. saling menghilangkan. Dari persamaan untuk sumbu-y :Dari persamaan untuk sumbu-y :

( )( )

( )( )2 1 1 1

sin 45 sin 45' ' ' '

sin 45 sin 45v v v v

÷= − = − = ÷− − ÷

o o

o o

Setelah tumbukan, kedua bola mempunyai laju Setelah tumbukan, kedua bola mempunyai laju yang samayang sama

Page 115: Dinamika Teknik T.Nas

115

Dari persamaan untuk sumbu-x :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 1

11 2

' cos 45 ' cos 45 2 ' cos 45

3,0 m/s' ' 2,1 m/s

2 0,7072cos 45

v v v v

vv v

= + =

⇒ = = = =

o o o

o

Page 116: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

kinetika benda tegar (pers. Umum gerak, kerja &

energi

Pertemuan 10

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

116

Page 117: Dinamika Teknik T.Nas

BENDA TEGAR

117

Page 118: Dinamika Teknik T.Nas

APA BEDA PARTIKEL DENGAN BENDA TEGAR ?

In contrast to the forces on a particle, the forces on a rigid-body are not usually concurrent and may cause rotation of the body (due to the moments created by the forces).

For a rigid body to be in equilibrium, the net force as well as the net moment about any arbitrary point O must be equal to zero.

∑ F = 0 and ∑ MO = 0

Forces on a rigid body

Forces on a particle

118

Page 119: Dinamika Teknik T.Nas

Benda Tegar Biasanya Memiliki Tumpuan

119

Page 120: Dinamika Teknik T.Nas

Benda Tegar Biasanya Memiliki Tumpuan

120

Page 121: Dinamika Teknik T.Nas

Macam-macam Tumpuan dan Reaksinya

121

Page 122: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Menggambar FBD nya

Idealized model Free body diagram

Lho kok ada beban yang segiempat, apa itu?

122

Page 123: Dinamika Teknik T.Nas

Beban Terdistribusi

123

Page 124: Dinamika Teknik T.Nas

Mencari Gaya Resultan pada Beban Terdistribusi

Mencari titik berat dari beban terdistribusi Gaya resultan sama dengan luasan dari beban

terdistribusi Gaya resultan terletak pada titik berat beban

terdisribusi

124

Page 125: Dinamika Teknik T.Nas

Kalo beban terdistribusinya berbentuk segitiga ?

1. FR = ____________

A) 12 N B) 100 N

C) 600 N D) 1200 N

2. x = __________.

A) 3 m B) 4 m

C) 6 m D) 8 m

FR100 N/m

12 m x

125

Page 126: Dinamika Teknik T.Nas

Prosedur Menyelesaikan Soal

Gambar FBD dari soal Jangan lupa kasih perjanjian tandanya Gambar gaya reaksi yang ada Kalo ada beban terdistribusi, cari dulu besar

gaya resultan, dan posisinya Hitung besar gaya reaksi di tumpuan,

menggunakan

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Mo = 0

titik O itu titik apa? Yang mana?

126

Page 127: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 1

Given: Weight of the boom = 125 lb, the center of mass is at G, and the load = 600 lb.

Find: Support reactions at A and B.

Plan:

1. Put the x and y axes in the horizontal and vertical directions, respectively.

2. Draw a complete FBD of the boom.

3. Apply the EofE to solve for the unknowns.127

Page 128: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 1 (Jawaban)

AX

AY

A

1 ft 1 ft 3 ft 5 ft

B GD

600 lb125 lbFB

40°

FBD of the boom:

+ ∑MA = - 125 ∗ 4 - 600 ∗ 9 + FB sin 40° ∗ 1 + FB cos 40° ∗ 1 = 0

FB = 4188 lb or 4190 lb

→ + ∑FX = AX + 4188 cos 40° = 0; AX = – 3210 lb

↑ + ∑FY = AY + 4188 sin 40° – 125 – 600 = 0; AY = – 1970 lb128

Page 129: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 2

A fixed crane has a mass of 1000 kg and is used to lift a 2400 kg crate. It is held in place by a pin at A and a rocker at B. The center of gravity of the crane is located at G.

Determine the components of the reactions at A and B.

SOLUTION:

• Create a free-body diagram for the crane.

• Determine B by solving the equation for the sum of the moments of all forces about A. Note there will be no contribution from the unknown reactions at A.

• Determine the reactions at A by solving the equations for the sum of all horizontal force components and all vertical force components.

• Check the values obtained for the reactions by verifying that the sum of the moments about B of all forces is zero.

129

Page 130: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 2 (jawaban)

• Create the free-body diagram.

• Check the values obtained.

• Determine B by solving the equation for the sum of the moments of all forces about A.

( ) ( )( ) 0m6kN5.23

m2kN81.9m5.1:0

=−

−∑ += BM A

kN1.107+=B

• Determine the reactions at A by solving the equations for the sum of all horizontal forces and all vertical forces.

0:0 =+=∑ BAF xx

kN1.107−=xA

0kN5.23kN81.9:0 =−−=∑ yy AF

kN 3.33+=yA130

Page 131: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 3

↓=

−=−+−==Σ

↑=−

−−=

−−==Σ

N18.75

75.18

22575.3631200

N363.75

400.

)500(.225)275(.120

)500(.225)275(.120)(400.0

y

y

y

y

yA

A

NA

NNNAyFy

B

m

mNmNB

mNmNBmM+

+

131

Page 132: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 4

Given: The loading on the beam as shown.

Find: Support reactions at A and B.

132

Page 133: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 4 (jawaban)

SOLUTION:

• Taking entire beam as a free-body, determine reactions at supports.

∑ = :0AM

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0m .48kN 45

m .24kN 45m .81kN 90m .27

=−−−D

kN 117=D

:0∑ =yF

0kN 54kN 117kN 54kN 90 =−+−−yAkN 81=yA

133

Page 134: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh Soal 5

Tentukan Reaksi di A dan B

134

Page 135: Dinamika Teknik T.Nas

Soal Tantangan

Given: The loading on the beam as shown.

Find: Reaction at B and A 135

Page 136: Dinamika Teknik T.Nas

Tentukan Reaksi di A dan C

Soal Tantangan (2)

136

Page 137: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

percepatan & perlambatan

Pertemuan 12

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

137

Page 138: Dinamika Teknik T.Nas

ACCELERATION-DECCELERATION

138

Page 139: Dinamika Teknik T.Nas

WHAT IS SPEED?

A way of describing “how fast” something is moving.

More technically, speed is the rate of change of an objects position with respect to time.

139

Page 140: Dinamika Teknik T.Nas

CALCULATION OF SPEED There are a couple of different ways to

calculate speed Average speed, S, is simply the change in

position, x, divided by the time, t, taken to travel that distance…

IF

IF

tt

xx

t

xS

−−=

∆∆=

Maximum Speed = 62 mph140

Page 141: Dinamika Teknik T.Nas

APPLICATIONS OF SPEED: BRITISH THRUST SSC MAX SPEED = 763 MPH

141

Page 142: Dinamika Teknik T.Nas

APPLICATIONS OF SPEED: SUPERSONIC FLIGHT MAX SPEED = 1650 MPH (MACH 2.2)

142

Page 143: Dinamika Teknik T.Nas

APPLICATIONS OF SPEED: SKY DIVER TERMINAL VELOCITY = 200 MPH

143

Page 144: Dinamika Teknik T.Nas

SAMPLE PROBLEM: SPEED

A runner runs a 400 meter race in a time of 50 seconds.What is her average speed?

( )( )s

mS

tt

xxS

IF

IF

050

0400

−−=⇒

−−=

smS 8=⇒

144

Page 145: Dinamika Teknik T.Nas

WHAT IS ACCELERATION?

A way of describing how fast something is speeding up or slowing down.

More technically, acceleration is the rate of change of an objects speed with respect to time.

145

Page 146: Dinamika Teknik T.Nas

CALCULATION OF ACCELERATION As with speed, there are a couple of

different ways to calculate acceleration Average acceleration, a, is simply the time

rate of change of speed, S,…

IF

IF

tt

SS

t

Sa

−−=

∆∆=

146

Page 147: Dinamika Teknik T.Nas

APPLICATIONS OF ACCELERATION: LAMBORGHINI ACCEL. = 15.38 MPH/SEC = 22.56 FT/SEC^2

Engine: 6 liter, V12Horsepower: 550 @ 7100 RPMMaximum Speed: 210 MPH0-60: 3.9 sec0-100: 8.8 secPrice: $275,000

147

Page 148: Dinamika Teknik T.Nas

APPLICATIONS OF ACCELERATION: SPACE SHUTTLE ACCEL. = 64.87 MPH/SEC = 95.14 FT/SEC^2

Speed Attained: > 17,500 MPHTime to Low Orbit: 11 min.Time to Space: 45 min.

148

Page 149: Dinamika Teknik T.Nas

SAMPLE PROBLEM: ACCELERATION

A motorcycle turns the corner of a race track at 85 MPH and then speeds up to 150 MPH on the straightaway. Knowing that it took 5 seconds to change speed, what is the average acceleration?

( )( )s

MPHa

tt

SSa

IF

IF

05

85150

−−=⇒

−−=

sMPHa 13=⇒

149

Page 150: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Dinamika benda tegar

Pertemuan 13

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

150

Page 151: Dinamika Teknik T.Nas

KECEPATAN SUDUT DAN PERCEPATAN SUDUT

θr

P

lintasan titik PPanjang busur lintasan : θrs = (10.1a)

Posisi sudut : rs=θ (10.1b)

rθ1

P,t1θ2

Q,t2

r

Kecepatan sudut rata-rata :

12

12

tt −−≡ θθω

t∆∆= θ (10.2)

Kecepatan sudut sesaat :

tt ∆∆≡

→∆

θω lim0 dt

dθ= (10.3)

12

12

tt −−≡ ωωα

Percepatan sudut rata-rata :

t∆∆= ω (10.4)

tt ∆∆≡

→∆

ωα lim0

Percepatan sudut sesaat :

dtdω= (10.5) 151

Page 152: Dinamika Teknik T.Nas

GERAK ROTASI UNTUK PERCEPATAN SUDUT TETAP

dtdθω =

tt o αωω =−)(dtdωα =

konstan

∫ +=∫ to

t dttdo 0

)( )( αωθθθ

221)( ttt oo αωθθ +=− (10.7)

∫=∫ tt dtdo 0

)( αωωω

∫=∫ tt dtdo 0

)( ωθθθ

tt o αωω +=)( (10.6)(10.6)

)(222oo θθαωω −+= (10.8)

atvtv o +=)(2

21)( attvsts oo +=−

)(222oo ssavv −+=

GLBB

Adakah relasi antara besaran sudut dan besaran linier ?152

Page 153: Dinamika Teknik T.Nas

RELASI BESARAN SUDUT DAN LINIER

θr

P

dtds

v =dtdrv

θ=

ωrv = (10.9)

P

at

ω

ar

a

θrs =panjang lintasan

dt

dvat =

dt

dr

ω=

αrat = (10.10)

rv

ar2

= 2ωr= (10.11)

22rt aaa += 4222 ωα rr += 42 ωα += r (10.12)

Kecepatan linier :

Percepatan tangensial :

Percepatan radial :

153

Page 154: Dinamika Teknik T.Nas

ENERGI KINETIK ROTASI

θri

mi

vi

ω

Energi kinetik partikel ke i :2

21

iii vmK =

Energi kineti seluruh benda :

∑=∑= 221

iii vmKK ∑= 2221 ωiirm

ωii rv =

Momen kelembaman( ) 22

21 ω∑= iirmK (10.13)

∑= 2iirmI (10.14)

221 ωIK = (10.15)

Momen kelembaman untuk benda pejal :

m∆

∑ ∆=→∆

mrIm

2

0lim ∫= dmr2 (10.16)

rapat massa :

Vm

V ∆∆=

→∆lim

dVdm= dVdm ρ= dVrI ∫= 2ρ

154

Page 155: Dinamika Teknik T.Nas

O

TEOREMA SUMBU SEJAJAR

C

d

2MdII c +=

Jika Ic adalah momen kelembaman benda terhadap sumbu putar yang melalui pusat massanya, maka momen kelembaman benda terhadap sembarang sumbu putar yang sejajar dan berjarak d dari sumbu tersebut adalah : (10.17)

155

Page 156: Dinamika Teknik T.Nas

MOMEN GAYA

d1

d2

F3

r3

φτ sinrF≡

F2 cos φφ

F2 sin φF2

r2

F1

r1

dr =φsinFd=τ (10.18)

21 τττ +=net 2211 dFdF −=

Bagaimana keterkaitan momen gaya dengan besaran sudut ?

m

Ft

r

rFt=τtt maF = rmat )(=τ

αrat = rmr )( ατ =ατ )( 2mr=

ατ I= (10.19)

156

Page 157: Dinamika Teknik T.Nas

USAHA DAN ENERGI

P

φdsdθ

sF ddW ⋅=Usaha :

θφ rdF )sin(=FF sinφ

= τ

θτ ddW =

ατ I=dt

dI

ω=dt

d

d

dI

θθω= ω

θωd

dI=

ωω dIdW =

ωωωω dIW t

o∫=

2212

21

ot II ωω −=

Usaha yang dilakukan oleh gaya luar untuk memutar benda tegar terhadapsumbu tetap sama dengan perubahan energi kenetik rotasi benda tersebut !

157

Page 158: Dinamika Teknik T.Nas

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Gaya & Momen inersia

Pertemuan 14

TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

158

Page 159: Dinamika Teknik T.Nas

1.1 PENDAHULUAN

Fisika :Fisika :

Ilmu pengetahuan yang mempelajari benda-benda dialam, gejala-gejala, kejadian-kejadian alam serta interaksi dari benda-benda dialam .

Fisika merupakan ilmu pengetahuan dasar yang mempelajari sifat-sifat dan interaksi antar materi dan radiasi.

Fisika merupakan ilmu pengetahuan yang didasarkan pada pengamatan eksperimental dan pengukuran kuantitatif (Metode Ilmiah).

1.2

159

Page 160: Dinamika Teknik T.Nas

Fisika

Klasik Kuantum(sebelum 1920) (setelah 1920)

Posisi dan Momentum partikel dapat ditetapkan secara tepat ruang dan waktu merupakan dua hal yang terpisah

Ketidak pastian Posisi dan Momentum partikel ruang dan waktu merupakan satu kesatuan

Hukum Newton Dualisme Gelombang-Partikel

Teori Relativitas Einsten1.3

160

Page 161: Dinamika Teknik T.Nas

1.2 BESARAN DAN 1.2 BESARAN DAN SATUANSATUAN

Besaran :

Sesuatu yang dapat diukur dinyatakan dengan angka (kuantitatif) Contoh : panjang, massa, waktu, suhu, dll.

Mengukur :

Membandingkan sesuatu dengan sesuatu yang lain yang sejenis yang ditetapkan sebagai satuan.

contoh : panjang jalan 10 km

Besaran Fisika baru terdefenisi jika : ada nilainya (besarnya) ada satuannya

nilai

satuan

1.4

161

Page 162: Dinamika Teknik T.Nas

Satuan : Ukuran dari suatu besaran ditetapkan sebagai satuan. Contoh :

Sistem satuan : ada 2 macam 1. Sistem Metrik : a. mks (meter, kilogram, sekon)

b. cgs (centimeter, gram, sekon)2. Sistem Non metrik (sistem British)

Sistem Internasional (SI) Sistem satuan mks yang telah disempurnakan yang paling

banyak dipakai sekarang ini. Dalam SI :Ada 7 besaran pokok berdimensi dan 2 besaran pokok tak berdimensi

meter, kilometer satuan panjang detik, menit, jam satuan waktu gram, kilogram satuan massa dll.

1.5

162

Page 163: Dinamika Teknik T.Nas

NO Besaran Pokok Satuan Singkatan Dimensi

1 Panjang Meter m L

2 Massa Kilogram kg M

3 Waktu Sekon s T

4 Arus Listrik Ampere A I

5 Suhu Kelvin K θ

6 Intensitas Cahaya Candela cd j

7 Jumlah Zat Mole mol N

7 Besaran Pokok dalam Sistem internasional (SI)7 Besaran Pokok dalam Sistem internasional (SI)

NO Besaran Pokok Satuan Singkatan Dimensi

1 Sudut Datar Radian rad -

2 Sudut Ruang Steradian sr -

Besaran Pokok Tak Berdimensi

1.6

163

Page 164: Dinamika Teknik T.Nas

Dimensi Cara besaran itu tersusun oleh besaran pokok.

Besaran TurunanBesaran yang diturunkan dari besaran pokok.

1. Untuk menurunkan satuan dari suatu besaran2. Untuk meneliti kebenaran suatu rumus atau persamaan

- Metode penjabaran dimensi :

1. Dimensi ruas kanan = dimensi ruas kiri2. Setiap suku berdimensi sama

- Guna Dimensi :

1.7

164

Page 165: Dinamika Teknik T.Nas

Contoh :

a. Tidak menggunakan nama khusus

NO Besaran Satuan

1 Kecepatan meter/detik

2 Luas meter 2

b. Mempunyai nama khusus

NO Besaran Satuan Lambang

1 Gaya Newton N

2 Energi Joule J

3 Daya Watt W

4 Frekuensi Hertz Hz

1.8

165

Page 166: Dinamika Teknik T.Nas

Besaran Turunan dan Dimensi

NO Besaran Pokok Rumus Dimensi

1 Luas panjang x lebar [L]2

2 Volume panjang x lebar x tinggi [L]3

3 Massa Jenis [m] [L]-3

4 Kecepatan

[L] [T]-1

5 Percepatan [L] [T]-2

6 Gaya massa x percepatan [M] [L] [T]-2

7 Usaha dan Energi gaya x perpindahan [M] [L]2 [T]-2

8 Impuls dan Momentum gaya x waktu [M] [L] [T]-1

 massa volume

 perpindahan waktu

kecepatan waktu

1.9

166

Page 167: Dinamika Teknik T.Nas

Faktor Penggali dalam SI

NO Faktor Nama Simbol

1 10 -18 atto a

2 10 -15 femto f

3 10 -12 piko p

4 10 -9 nano n

5 10 -6 mikro μ

6 10 -3 mili m

7 10 3 kilo K

8 10 6 mega M

9 10 9 giga G

10 10 12 tera T

1.10167

Page 168: Dinamika Teknik T.Nas

1. Tentukan dimensi dan satuannya dalam SI untuk besaran turunan berikut :

a. Gaya

b. Berat Jenis

c. Tekanan

d. Usaha

e. Daya

Jawab :

b. Berat Jenis = = =

= MLT-2 (L-3) = ML-2T-2 satuan kgm-2

berat

volume

Gaya

Volume

MLT -2

L3a. Gaya = massa x percepatan

= M x LT -2

= MLT -2 satuan kgms-2

c. Tekanan = = = MLT -2 satuan kgm-1s-1

gaya

luas

MLT -2

L2

d. Usaha = gaya x jarak = MLT -2 x L = ML 2 T -2 satuan kgm-2s-2

e. Daya = = = ML 2 T -1 satuan kgm-2s-1 usaha

waktu

ML 2 T -2

T

Contoh SoalContoh Soal

1.11

168

Page 169: Dinamika Teknik T.Nas

2. Buktikan besaran-besaran berikut adalah identik :

a. Energi Potensial dan Energi Kinetik

b. Usaha/Energi dan Kalor

Jawab :

a. Energi Potensial : Ep = mgh

Energi potensial = massa x gravitasi x tinggi

= M x LT-2 x L = ML2T-2

Energi Kinetik : Ek = ½ mv2

Energi Kinetik = ½ x massa x kecepatan2

= M x (LT-1) 2

= ML2T-2

Keduanya (Ep dan Ek) mempunyai dimensi yang sama keduanya identik

b. Usaha = ML2T-2

Energi = ML2T-2

Kalor = 0.24 x energi = ML2T-2

Ketiganya memiliki dimensi yang sama identik

1.12

169

Page 170: Dinamika Teknik T.Nas

170

LEARNING OUTCOMES

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa

akan mampu : Menghitung momen inersia arah x dan y

dari penampang majemuk dengan koordinat Cartesian & Polar TIK - 3

Page 171: Dinamika Teknik T.Nas

171

CONTOH SOAL

Momen inersia suatu bentuk bidang terhadap sumbu x dan y di bidangnya masing - masing didefinisikan dengan integral-integral (KOORDINAT CARTESIAN)

∫=

∫=

dAxIy

dAyIx

2

2

∫ ===2

a

0

32 )a....(12/badyby2Ix,bdydA

Page 172: Dinamika Teknik T.Nas

172

Page 173: Dinamika Teknik T.Nas

173

Melalui cara yang sama, dengan mengambil momen inersia terhadap sumbu y diperoleh:

Rumus (a) dapat digunakan pula untuk menghitung momen inersia Ix jajaran genjang atau belah ketupat (gambar a)

)b....(12/abIy 3=

Page 174: Dinamika Teknik T.Nas

174

Belah ketupat ini dapat dipandang sebagai bentuk empat persegi panjang, lihat garis putus-putus, dengan suatu pergeseran tertentu untuk setiap elemen tertentu (berarsir) yang sejajar dengan sumbu x.

Transformasi ini tidak mengubah luas elemen ataupun jaraknya dari sumbu x, maka harga Ix untuk empat persegi panjang akan sama harganya dengan belah ketupat.

Page 175: Dinamika Teknik T.Nas

175

Page 176: Dinamika Teknik T.Nas

176

Dalam menghitung momen inersia sebuah segitiga terhadap alasnya (gambar b), maka untuk suatu elemen pada jarak y dari alas,

Dan diperoleh:

h

dy)yh(bdA

−=

∫ =−=h

0

32 12/bhdy)yh(yh/bIx

Page 177: Dinamika Teknik T.Nas

177

MOMEN INERSIA POLAR

Momen inersia luas relatif terhadap garis atau sumbu tegak lurus bidang luas disebut momen inersia polar simbul J.

Momen inersia luas pada bidang X Y terhadap sumbu Z adalah:

Page 178: Dinamika Teknik T.Nas

178

IyIx

dAydAx

dA)yx(

dArJz

dAI

22

22

2

2

+=∫ ∫+=∫ +=∫=

∫= ρ

Page 179: Dinamika Teknik T.Nas

Pertemuan ke-14TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA

179

KULIAH

DINAMIKA TEKNIK

Page 180: Dinamika Teknik T.Nas

Sebuah roda gila (flywheel) adalah sebuah massa berputar yang digunakan sebagai penyimpan tenaga dalam mesin.

Energi kinetik dari sebuah benda berputar adalah 1/2Iw2 di mana I adalah momen kelembaman dari suatu massa terhadap suatu sumbu putaran dan w adalah percepatan sudutnya.

Jika kecepatan dari mesin ditambah, tenaga akan tersimpan dalam roda gila, dan jika kecepatannya dikurangi, tenaga akan dikeluarkan oleh roda gila.

180

Page 181: Dinamika Teknik T.Nas

Ada 2 macam mesin yang mendapatkan keuntungan dari penggunaan sebuah roda gila yaitu :

1. generator listrik yang digerakkan oleh sebuah motor bakar

2. mesin press pembuat lubang

181

Page 182: Dinamika Teknik T.Nas

Momen puntir yang diberikan ke generator berubah-ubah karena adanya langkah tenaga hanya terdapat sekali dalam setiap dua kali putaran mesin.

Voltase kelu-aran dari suatu generator adalah fungsi dari kecepatan, suatu perubahan dalam vol-tase akan mengakibatkan suatu kedipan dalam cahaya lampu.

Sebuah roda gila diguna-kan dalam hal seperti ini untuk menjamin kecepatan dan momen puntir yang cukup merata dari generator.

182

Page 183: Dinamika Teknik T.Nas

Proses pembuatan lubang membu-tuhkan sejumlah tenaga yang besar dalam keadaan mesin berjalan cepat dan tiba-tiba, dan jika roda gila tidak digunakan semua teraga ini harus dilakukan oleh sebuah motor, yang akan memerlukan tenaga yang besar.

Dengan menggunakan sebuah roda gila, motor yang jauh lehih kecil dapat digunakan.

Hal ini karena tenaga dari motor disim-pan dalam sebuah roda gila selama selang waktu antara proses pembuatan lubang dan tersedia untuk digunakan pada waktu proses pembuatan lubang terjadi.

183

Page 184: Dinamika Teknik T.Nas

Adalah variasi dari kecepatan yang diperlukan dan didefinisikan sebagai :

184

Page 185: Dinamika Teknik T.Nas

185

Page 186: Dinamika Teknik T.Nas

misalkanlah bahwa kecepatan sudutnya bervariasi, di mana V1 adalah kecepatan maksimum dari pelek, V2 adalah kecepatan minimum dari pelek, dan V adalah kecepatan rata-rata pelek, maka: 186

Page 187: Dinamika Teknik T.Nas

atau 2V = V1 + V2 ……pers1 Mengingat koefisien fluktuasi dalam kecepatanMaka ……pers2

Umpamakan bahwa seluruh massa M dari roda gila berpusat pada jari rata-rata R. Maka tenaga kinetis(KE) pada kecepatan V1 dan V2 adalah:

187

Page 188: Dinamika Teknik T.Nas

188

Page 189: Dinamika Teknik T.Nas

Dalam sebuah roda gila aktual tidak semua massanya dipusatkan pada peleknya se-perti telah kita asumsikan, tetapi sebuah roda gila biasanya dirancang sedemikian hingga hampir semua massanya ada dalam peleknya, sehingga tenaga kinetisnya akan menjadi lebih besar pada suatu kecepatan sudut yang tertentu. Dalam persamaan-persamaan di atas, M adalah massa efektif dari roda gila pada peleknya dan sama dengan massa dari pelek ditambah efek dari semua lengan dan porosnya.

Mengingat tegangan-tegangan dalam pelek dan lengan adalah dischabkan oleh gaya-gaya sentrifugal yang merupakan fungsi dart kecepatan, kecepatan pelek V biasanya dibatasi sampai 30 m/detik untuk besi tuang dan 40 m/detik untuk baja. Berat jenis dari besi tuang ada-lah 7090 kg/m3 dan baja adalah 7830 kg/m2

189

Page 190: Dinamika Teknik T.Nas

Sebagai suatu contoh dari analisa sebuah roda gila kita akan menentukan ukuran dari roda gila yang perlu untuk digunakan dalain sebuah mesin press pem-buat lubang. Suatu diagram dari sebuah mesin press ditunjukkan dalam Gambar, di mana sebuah peluncur dari mekanisme engkol-peluncur bekerja sebagai penembus (punch) untuk memaksa segumpal metal dari pelat melalui lubang dari cetakan. Mesin press tersebut dapat membuat lubang sebanyak 30 lubang per menit dan berarti waktu yang diperlukan untuk pembuatan 1 lubang adalah 2 detik.

Kita akan mengumpamakan bahwa waktu nyata yang diperlukan untuk membuat lubang adalah 1/6 interval waktu keseluruhan kerja pembuatan lubang, atau waktu pembuatan lubang yang nyata adalah 1/6 (2) = 1/3 detik. Sebuah lubang dengan diameter 20 mm harus dibuat pada pelat baja 102 yang tebalnya 13 mm. Motor penggeraknya berjalan dengan 900 putaran/menit dan melalui roda gigi reduksi akan memberikan 30 kerja pembuatan lubang per menit. 190

Page 191: Dinamika Teknik T.Nas

Jawab :

191

Page 192: Dinamika Teknik T.Nas

Gambar dibawah menunjukkran sebuah tipa kurva yang menggambarkan hubungan antara gaya vs perpindahan untuk suatu langkah pembuatan lubang dalam sebuah material yang kenyal seperti baja. Luasan di bawah kurva gaya vs perpindahan gerak dalam Gambar dibawah, kira-kira dapat dianggap merupakan sebuah segitiga,

192

Page 193: Dinamika Teknik T.Nas

maka lzerja yang dilakukan untuk pembuatan suatu lubang adalah:

Jadi

ANALISA TANPA RODA GILA Tenaga rata-rata yang diperlukan selama kerja pem-buatan lubang, dengan mengasumsikan kurva gaya lintasan dalam Gambar (b) adalah siku-siku, adalah:

193

Page 194: Dinamika Teknik T.Nas

Akan tetapi, mengingat P dalam Gambar (a) adalah dua kali yang ada dalam Gambar (b), tenaga sesaat maksimum nyatanva kira-kira adalah 9840 W.

ANALISA DENGAN RODA GILA Jika sebuah roda gila digunakan, tenaga motor dapat dikurangi cukup banyak. Gambar (c) menunjukkan bahwa waktu pem­buatan lubang adalah 2 detik dan waktu pembuatar lubang yang nyata adalah 1/3 detik. Jika sebuah roda gila digunakan jumlah tenaga yang sama untuk tiap periode harus diberikan dan dinyatakan oleh luasan FGIE. Jadi dengan sebuah roda gila tenaga sehesar 1640 J diberikar. dalam 2 detik, ini menunjukkan bahwa diperlukan tenaga motor = 1640/2 = 840 W. Selama 1/3 detik interval pembuatan lubang, mo­tor memberikan tenaga yang dinyatakan oleh luasan AHIE, yang besar = 273 J, tetapi tenaga yang diperlukan untuk pembuatan lubang dinyatakan oleh luasan ABODE. yang besarnya 1640 J. Jadi tenaga yang harus diambil oleh roda gila adalah 1640 – 273 = 1367 J. Jadi kita lihat bahwa tenaga yang diberikan oleh motor selama kerja pembuatan lubang adalah 273/1640 = 1/6 dari jumlah total tenaga yang diperlukan selama seluruh periode.

194

Page 195: Dinamika Teknik T.Nas

Untuk menentukan massa dan ukuran dari roda gila, kita umpamakan diameter pelek rata-rata = 900 mm, maka kecepatan pelek rata-rata akan sama dengan:

195

Page 196: Dinamika Teknik T.Nas

196

Page 197: Dinamika Teknik T.Nas

Sebagai contoh lain dari penggunaan sebuah roda gila, marilah kita perhatikan suatu roda gila yang diperlukan dalarn sebuah mesin empat langkah satu silinder. Dalam Gambar momen puntir keluaran digambarkan terhadap posisi dari engkol. Empat langkah dari torak terjadi selama sebuah periode dan hanya ada satu kali langkah tenaga untuk 2 putaran. Momen puntir keluaran kombinasi adalah jumlah momen punter yang disebabkan oleh tekanan gas dan momen puntir kelembaman. Tekanan gas pada torak dapat diperoleh dari suatu diagram indikator. yang memberikan gambaran tentang te-kanan gas sebagai funesi dari posisi torak. Momen puntir keluaran yang disebabkan kare-na tekanan gas dapat diperoleh dari analisa gaya statis dan digambarkan terhadap (ver-sus) posisi menyudut dari engkol. Momen puntir kelembaman keluarannya diperoleh dari analisa tentang gaya kelembaman.

197

Page 198: Dinamika Teknik T.Nas

Luasan yang terletak di atas garis momen puntir nol menyatakan kerja positif yang dilakukan oleh mesin. dan luasan di bawahnva menyatakan kerja negatif. Momen puntir rata-ratanya diperoleh dengan menjumlahkan secara ilmu hitung luasan-luasan ini dan membaginya dengan lintasan engkol pada 720°. Jika ada sebuah mesin yang digerakkan oleh mesin motor (engine) memberikan momen puntir penahan yang sama dengan momen puntir rata-rata, sesuatu peralatan harus ditambahkan untuk meratakan kurva mo-men puntir kombinasi. Tujuan dari suatu roda gila adalah memberikan momen puntir keluaran yang merata (uniform). Luasan yang ditandai dengan garis-garis miring di atas garis momen puntir rata-rata menyatakan adanya kelebihan tenaga yang disebabkan ka-rena kecepatan yang bertambah dan kelebihan tenaga ini tersimpan dalam roda gila, dan luasan yang ditandai dengan garis-garis miring di bawah garis momen puntir rata-rata me-nyatakan adanya kekurangan tenaga yang disebabkan karena berkurangnya kecepatan dan kekurangan tenaga ini diambil dari roda gila. Besar relatif dari luasan yang ditandat dengan garis-garis miring dalam gambar diberikan oleh jumlah luasan seperti ditunjukkan dalam gambar.

198

Page 199: Dinamika Teknik T.Nas

Untuk menentukan tenaga yang harus disimpan dalam roda gila kita hams menentu-kan posisi di mana kecepatan engkolnya maksimum dan minimum. Pertama-tama kita seakan-akan percaya bahwa kecepatan akan minimum pada awal dari lanakah tenaga dan maksimum pada akhir dari langkah tenaga. Bagaimanapun juga dari penyelidikan Gambar kita akan melihat bahwa ini bukaniah posisi-posisi yang benar. Jika kita mu-lai pada titik A dan pergi ke titik B, kita melihat bahwa luasan di bawah kurva mo-men puntir kombinasi adalah negatif, menunjukkan adanya pengurangan pada tenaga, jadi kecepatannya berkurang. Maka sewaktu kita pergi dari B ke C, kita akan melihat bahwa luasannya positif, menunjukkan adanya kelebihan tenaga, jadi kecepatannya ber-tambah. Oleh karena itu kecepatan maksimum dan minimum terjadi pada suatu posisi di mana kurva momen puntir kombinasinya memotong kurva momen puntir rata-rata.

199

Page 200: Dinamika Teknik T.Nas

Untuk menentukan titik-titik di mana kecepatannya maksimum dan minimum, se-cara kasar kita akan memulainya di titik D, suatu titik awal di mana kurva momen puntir kombinasinya memotong kurva rata-rata dan kita sebut kecepatan di sini = ω l . Pada titik ini energi kinetiknya adalah E1, dan pada waktu kita meneruskannya ke titik A, karena kelebihan tenaga = 100, tenaga pada A adalah E1 + 100. Maka sewaktu kita me-neruskan ke titik B, ada kekurangan tenaga 75 unit. dan jadi pada waktu di B. tenaga telah berkurang menjadi E1 + 25. Pada puncak dari gambar, tingkat tenaga relatifnya dinyatakan untuk tiap perpotongan, dan kita melihat bahwa kecepatan maksimum ter-jadi di titik A, di mana merupakan suatu titik yang tenaganya adalah maksimum, dan kecepatan minimum terjadi pada titik E, di mana tenaganya adalah minimum. Kemudian perubahan tenaga maksimum diberikan oleh jumlah secara ilmu hitting dari luasan yang diarsir di antara titik-titik ini, ini adalah tenaga yang digunakan dalam persamaan 5.

200

Page 201: Dinamika Teknik T.Nas

Roda gila sering disebut juga roda gaya, roda penerus, adalah sebuah komponen berupa sebuah piringan yang dipasangkan pada flensa  di ujung roda poros engkol. Bagian tepi roda gila biasanya memiliki cincin bergerigi untuk pertautan dengan roda gigi motor starter pada saat motor dihidupkan. Karena itu tanpa roda gila hampir tidak mungkin menghidupkan mesin. Kalaupun hidup, putaran mesin menjadi tidak teratur. Bobot yang dimiliki roda gila inilah yang menyebabkan putaran poros engkol mantap dan halus. Bobot roda gila pada mesin mobil penumpang berkisar 7.5-50 KG.

Sirip pengimbang pada poros engkol sering dimanfaatkan untuk membuat putaran mesin menjadi lebih merata. Beberapa merek mobil juga memakai mesin yang dilengkapi alat peredam getaran sehingga putaran mesin menjadi sangat halus. Bentuk peranti ini mirip roda gila, tetapi ukurannya lebih kecil dan dipasang diujung poros engkol bagian depan.

Roda gila dipasang kokoh pada ujung poros engkol sehingga tidak mudah bergeser dari dudukannya. Ini untuk menjamin agar roda gila, mesin , dan kode penyalaan tetap pada posisi yang benar. Selain itu, tepat ditengah roda gila ada lubang kecil. Bantalan peluru ini bertugas menahan ujung bagian depan poros kopling.

Fungsi lain dari roda gila adalah sebagai tempat pemasangan kopling. Kopling terpasang pada roda gila berikut tempurung yang seputar sisi sekrupnya pada roda gila. Permukaan salah satu roda gila dibubut sangat halus. Jadi disamping sebagai alat untuk meneruskan atau menyalurkan tenaga dari mesin ke poros gardan melalui kopling.

Roda Gila pada Kopling

201

Page 202: Dinamika Teknik T.Nas

202

Page 203: Dinamika Teknik T.Nas

HUBBLE’S LAW Hubble interpreted redshift-distance relationship as a

linear increase of the recession velocity of external galaxies with their distance

Mathematically, the Hubble law is v=H×d where v=velocity and d=distance Modern measurement gives the Hubble constant as

H=72 km/s/Mpc In fact, Hubble’s interpretation is only “sort of” correct What really increases linearly with distance is simply

wavelength of light observed, and this redshift is due to the cosmological expansion of space over the time since the light left the distant galaxy and arrived at the Milky Way! 203

Page 204: Dinamika Teknik T.Nas

SPACE TIME STRUCTURE – THE METRIC EQUATION

2 2 2

2 2 22

r x y

r f x g x y h y

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆ ∆ + ∆

f, g, h Metric coefficients

2 2 2 2 2 2cosr R Rθ θ φ∆ = ∆ + ∆sphere

Metric is invariant

2 2 2 2s c t c t x xα β γ∆ = ∆ − ∆ ∆ − ∆2D space­time metric

204

Page 205: Dinamika Teknik T.Nas

POSSIBLE GEOMETRIES FOR THE UNIVERSE The Cosmological Principles constrain the

possible geometries for the space-time that describes Universe on large scales.

The problem at hand - to find curved 4-d space-times which are both homogeneous and isotropic…

Solution to this mathematical problem is the Friedmann-Robertson-Walker (FRW) metric.

205

Page 206: Dinamika Teknik T.Nas

COSMOLOGICAL PRINCIPLE

Universe is homogeneous – every place in the universe has the same conditions as every other place, on average.

Universe is isotropic – there is no preferred direction in the universe, on average.

Ignoring details… All matter in universe is “smoothed” out ignore details like stars and galaxies, but deal

with a smooth distribution of matter

206

Page 207: Dinamika Teknik T.Nas

OBSERVATIONAL EVIDENCE FOR HOMOGENEITY AND ISOTROPY

Let’s look into space… see how matter is distributed on large scales.

“Redshift surveys”…Make 3-d map of galaxy

positionsUse redshift &

Hubble’s law to determine distance

207

Page 208: Dinamika Teknik T.Nas

CfA redshiftsurvey

Each point is a bright galaxy

208

Page 209: Dinamika Teknik T.Nas

Las CampanasRedshift survey

209

Page 210: Dinamika Teknik T.Nas

FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER METRIC A “metric” describes how the space-time intervals relate to

local changes in the coordinates We are already familiar with the formula for the space-time

interval in flat space (generalized for arbitrary space coordinate scale factor R):

In terms of radius and angles instead of x,y,z, this is written:

General solution for isotropic, homogeneous curved space is:

And in fact, in general the scale factor may be a function of time, i.e. R(t)

∆s2=(c∆t)2−R2 ∆r2

1−kr2+∆θ2+sin2θ(∆ϕ)2

∆s2=(c∆t)2−R2∆x2+∆y2+∆z2( )

∆s2=(c∆t)2−R2∆r2+∆θ2+sin2θ(∆ϕ)2( )

210

Page 211: Dinamika Teknik T.Nas

CURVATURE IN THE FRW METRIC

This introduces the curvature constant, k

Three possible cases…

Spherical spaces (closed; k=+1)

211

Page 212: Dinamika Teknik T.Nas

Flat spaces (open; k=0)

Hyperbolic spaces (open; k=-1)

212

Page 213: Dinamika Teknik T.Nas

MEANING OF THE SCALE FACTOR, R.

Scale factor, R, is a central concept! R tells you how “big” the space is… Allows you to talk about changing the size of the space

(expansion and contraction of the Universe - even if the Universe is infinite).

Simplest example is k=+1 case (sphere) Scale factor is just the radius of the sphere

R=1 R=2R=0.5

213

Page 214: Dinamika Teknik T.Nas

What about k=-1 (hyperbolic) universe? Scale factor gives “radius of curvature”

For k=0 universe, there is no curvature… shape is unchanged as universe changes its scale (stretching a flat rubber sheet)

R=1 R=2

214

Page 215: Dinamika Teknik T.Nas

CO-MOVING COORDINATES. What do the coordinates x,y,z or r,θ,ϕ represent? They are positions of a body (e.g. a galaxy) in the space that

describes the Universe Thus, ∆x can represent the separation between two galaxies But what if the size of the space itself changes? EG suppose space is sphere, and has a grid of coordinates on

surface, with two points at a given latitudes and longitudes θ1,ϕ1

and θ2,ϕ2

If sphere expands, the two points would have the same latitudes and longitudes as before, but distance between them would increase

Coordinates defined this way are called comoving coordinates

215

Page 216: Dinamika Teknik T.Nas

If a galaxy remains at rest relative to the overall space (i.e. with respect to the average positions of everything else in space) then it has fixed co-moving coordinates.

Consider two galaxies that have fixed co-moving coordinates.Let’s define a “co-moving” distance DThen, the real (proper) distance between the

galaxies is d=R(t) ×D216

Page 217: Dinamika Teknik T.Nas

DtR )(

DttR )( ∆+

Galaxies and galaxy clusters gravitationally bound. Their meter length does not change with expansion

217

Page 218: Dinamika Teknik T.Nas

218

Page 219: Dinamika Teknik T.Nas

219

Page 220: Dinamika Teknik T.Nas

220

Page 221: Dinamika Teknik T.Nas

221

Page 222: Dinamika Teknik T.Nas

HUBBLE LAW

222

Page 223: Dinamika Teknik T.Nas

EXPANSION RATE

223

Page 224: Dinamika Teknik T.Nas

224

Page 225: Dinamika Teknik T.Nas

225

Page 226: Dinamika Teknik T.Nas

HUBBLE TIME

Hubble sphere

DH

226

Page 227: Dinamika Teknik T.Nas

SCALE FACTOR –ROBERTSON WALKER METRIC

According to GR, the possible space-time intervals in a homogeneous, isotropic Universe are the FRW metric forms with k=0 (flat), k=1 (spherical), k=-1(hyperbolic):

The scale factor R(t) describes the relative expansion of space as a function of time.

Both physical distances between galaxies and wavelengths of radiation vary proportional to R(t). d(t) =Dcomoving R(t)

λ(t)=λemitted R(t)/R(emitted)

Observed redshift of radiation from distant source is related to scale factor at emission time (t) and present time (t0) by 1+z=R(t0)/R(t)

Hubble observed that Universe is currently expanding; expansion can be characterized by H=(∆ R/∆ t)/R

For nearby galaxies, v=d×H0 ,where the present value of the Hubble parameter is approximately H0 =70 km/s/Mpc

∆s2=(c∆t)2−R(t)2∆r2

1−kr2+∆θ2+sin2θ(∆ϕ)2

227

Page 228: Dinamika Teknik T.Nas

INTERPRETATION OF HUBBLE LAW IN TERMS OF RELATIVITY

New way to look at redshifts observed by Hubble Redshift is not due to velocity of galaxies

Galaxies are (approximately) stationary in space… Galaxies get further apart because the space between

them is physically expanding! The expansion of space, as R(t) in the metric equation, also

affects the wavelength of light… as space expands, the wavelength expands and so there is a redshift.

So, cosmological redshift is due to cosmological expansion of wavelength of light, not the regular Doppler shift from local motions.

228